电工技术
主编 李中发
制作 李中发
2005年 1月第 5章 非正弦周期电流电路分析
了解非正弦周期信号的基本概念
了解非正弦周期信号的平均值和有效值的概念及其计算方法
了解非正弦周期信号线性电路的分析方法学习要点第 5章 非正弦周期电流电路分析
5.1 非正弦周期信号的谐波分析
5.2 非正弦周期信号的有效值,
平均值和平均功率
5.3 非正弦周期电流电路的计算
5.1 非正弦周期信号的谐波分析
作用于电路的电源是非正弦的 。
几个不同频率的电源作用于同一电路 。
电路中存在非线性元件 。
5.1.1 非正弦周期信号的产生
5.1.2 非正弦周期信号的分解电工和电子技术中非正弦周期信号一般都满足狄里赫利条件,可分解成收敛的三角级数,称为傅里叶级数 。
)2s i n ()s i n ()( 22m11m0 tAtAAtf
直流分量 基波 二次谐波方波
f ( t )
t
0 T 2 T
A
)s i n
1
5s i n
5
1
3s i n
3
1
( s i n
4
)(
tk
k
ttt
A
tf
k 为奇数三角波
0
f ( t )
t
T 2 T
A
)s i n
)1(
5s i n
25
1
3s i n
9
1
( s i n
8
)(
2
2
1
2
tk
k
ttt
A
tf
k
k 为奇数锯齿波
0
f ( t )
T 2 T
A
t
)s i n
1
3s i n
3
1
2s i n
2
1
( s i n
2
)(
tk
k
ttt
AA
tf
脉冲波
f ( t )
0
T
A
aT /2
t
)c o ss i n
1
3c o s3s i n
3
1
c o s2s i n
2
1
c o s( s i n
2
)(
tkka
k
ta
tata
A
aAtf
半波整流
0 T
A
t
f ( t )
)c o s
)1)(1(
2
4c o s
15
2
2c o s
3
2
s i n
2
1()(
tk
kk
ttt
A
tf
k 为偶数全波整流
t
0 T
f ( t )
A
)c o s
14
1
2c o s
15
1
c o s
3
1
2
1
(
4
)(
2
tk
k
tt
A
tf
5.1.3 非正弦周期信号的频谱幅频谱,用长度与直流分量和各次谐波分量幅值大小相对应的线段按频率的高低依次排列起来得到的图形 。
相频谱,把非正弦周期函数各次谐波的初相用相应的线段按频率的高低依次排列起来得到的图形 。
幅频谱和相频谱统称为 频谱 。 如无特别说明,一般所说的频谱是专指幅频谱而言的 。
A km
k ω
0 ω 2 ω 3 ω 4 ω 5 ω
A 0
A 1m
A 2m
A 3m
A 4m
A 5m
（ a ）幅频谱幅频谱
0
θ k
k ω
ω
2 ω
3 ω
4 ω
5 ω
90 °
－ 90 °
( b) 相频谱
5.2 非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率如果已经知道非正弦周期信号在一个周期内的表达式,
有效值的计算公式为：
5.2.1 非正弦周期信号的有效值
T tiTI 0 2 d1
如果已经知道非正弦周期信号的傅里叶级数分解结果,
有效值的计算公式为：
2
2
2
1
2
0
1
2
km
2
0 2
1 IIIIII
k
T tuTU 0 2 d1
2
2
2
1
2
0
1
2
km
2
0 2
1 UUUUUU
k
5.2.2 非正弦周期信号的平均值
T tiTI 00 d1
T tuTU 00 d1
如果已经知道非正弦周期信号在一个周期内的表达式,
平均值的计算公式为：
如果已经知道非正弦周期信号的傅里叶级数分解结果,
平均值就等于其直流分量 。
例,已知非正弦周期电流的波形如图所示,试求其有效值和平均值 。
i /A
0
10
T /4
t
T
A10?i,
4
0
T
t
0?i,Tt
T
4
所以有效值为：
A5d101d1 40 240 2
TT
t
T
ti
T
I
解,本题中给出了非正弦周期电流的波形 。 由电流波形可以写出其在一个周期内的表达式,为：
电流平均值为：
A5.20d11d1 40400
TT
tTtiTI
例,已知非正弦周期电流：
)502s i n(23.0)20s i n(25.01 tti
试求其有效值和平均值。
解,本题中给定的非正弦周期电流包括直流分量和两个不同频率的正弦量，并且已知各正弦量的有效值，所以其有效值为：
A16.13.05.01 222222120 IIII
平均值就等于其直流分量，为：
A10?I
5.2.3 非正弦周期信号的平均功率如果电压 u和电流 i同频率的非正弦周期量,并且已知电压 u和电流 i的函数表达式,则平均功率为：
22211100
1
kkk00
1
k0
c osc os
c os
IUIUIU
IUIUPPP
kk
TT tuiTtpTP 00 d1d1
如果电压 u和电流 i已被分解为傅里叶级数,则由平均功率的计算公式,可求得平均功率为：
上式表明,非正弦周期电流电路的平均功率等于直流分量和各次谐波分别产生的平均功率之和 。
例,已知某无源二端网络的端电压和电流分别为：
解,直流分量的功率为：
所以,该二端网络的平均功率为：
V)102s i n(240)30s i n(26050 ttu
A)502s i n(23.0)20s i n(25.01 tti
试求该二端网络的平均功率 。
W50150000 IUP
基波的平均功率为,W3.196 4 3.05.060)2030c o s (111 IUP
二次谐波的平均功率为：
W2.97 6 6.03.040)5010c o s (222 IUP
W5.782.93.1950210 PPPP
5.3.1 非正弦周期电流电路的计算方法
（ 1） 把给出的电压源或电流源的非正弦周期电压或电流分解为傅里叶级数,高次谐波取到哪一项为止,要由所需要的准确度的高低来确定 。
5.3 非正弦周期电流电路的计算
（ 2） 分别求出电源的直流分量及各次谐波分量单独作用时在电路各处所产生的电压分量和电流分量 。
（ 3） 把所求得的相量转化为用三角函数表示的瞬时表达式后,
应用叠加定理将属于同一支路的电压或电流分量相加,即得电路中实际的电压或电流 。
注意,应用叠加定理时不能将表示不同频率的电压相量或电流相量直接相加,更不能将各电压或电流的有效值直接相加 。
例,图示电路中，作用于电路两端的电压为：
5.3.2 非正弦周期电流电路计算举例
V)302s i n(250s i n210050 ttu
已知电阻 R=100Ω,电容 C=20μF,角频率 ω=500rad/s。 求各支路电流和电路的有功功率。
+
u
－
R
i
C
i R i
C
解,直流分量 U0=50V单独作用时电容可视为开路,总电流的直流分量 I0和电阻支路的电流
IR0相等,为：
A5.0100500R00 RUII
基波分量 u1单独作用时，由于,Vs i n2100
1 tu
其相量为,V0100
1U?
这时电容的容抗为：
1001020500 11 6C1 CX?
所以电阻支路、电容支路及总电流的基波相量分别为：
A011 0 0 01 0 01R1 RUI
A90110 0j 010 0j
C1
1
C1
X
UI
A4521j1C1R11 III
二次谐波分量 u2单独作用时,由于 V)302s i n(250
2 tu?
其相量为：
这时电容的容抗为：
所以电阻支路、电容支路及总电流的二次谐波相量分别为：
V30502U?
5010205002 12 1 6C2 CX?
A305.01 0 030502R2 RUI
A120150j 3050j
C2
2
C2
X
UI
A4.9312.11201305.0C2R22 III
把上面求得的基波电流分量及二次谐波电流分量用三角函数式表示，然后将属于同一支路的各个电流分量进行相加，即得最终结果，分别为：
)302s i n (25.0s i n25.0R tti （ A ）
)1 2 02s i n (2)90s i n (2C tti （ A ）
)4.932s i n (212.1)45s i n (25.0 tti （ A ）
因为电路的有功功率就是电阻 R上所消耗的功率，所以有功功率可以计算如下：
W1501005.010011005.0 2222 2R2 1R2 0R RIRIRIP
主编 李中发
制作 李中发
2005年 1月第 5章 非正弦周期电流电路分析
了解非正弦周期信号的基本概念
了解非正弦周期信号的平均值和有效值的概念及其计算方法
了解非正弦周期信号线性电路的分析方法学习要点第 5章 非正弦周期电流电路分析
5.1 非正弦周期信号的谐波分析
5.2 非正弦周期信号的有效值,
平均值和平均功率
5.3 非正弦周期电流电路的计算
5.1 非正弦周期信号的谐波分析
作用于电路的电源是非正弦的 。
几个不同频率的电源作用于同一电路 。
电路中存在非线性元件 。
5.1.1 非正弦周期信号的产生
5.1.2 非正弦周期信号的分解电工和电子技术中非正弦周期信号一般都满足狄里赫利条件,可分解成收敛的三角级数,称为傅里叶级数 。
)2s i n ()s i n ()( 22m11m0 tAtAAtf
直流分量 基波 二次谐波方波
f ( t )
t
0 T 2 T
A
)s i n
1
5s i n
5
1
3s i n
3
1
( s i n
4
)(
tk
k
ttt
A
tf
k 为奇数三角波
0
f ( t )
t
T 2 T
A
)s i n
)1(
5s i n
25
1
3s i n
9
1
( s i n
8
)(
2
2
1
2
tk
k
ttt
A
tf
k
k 为奇数锯齿波
0
f ( t )
T 2 T
A
t
)s i n
1
3s i n
3
1
2s i n
2
1
( s i n
2
)(
tk
k
ttt
AA
tf
脉冲波
f ( t )
0
T
A
aT /2
t
)c o ss i n
1
3c o s3s i n
3
1
c o s2s i n
2
1
c o s( s i n
2
)(
tkka
k
ta
tata
A
aAtf
半波整流
0 T
A
t
f ( t )
)c o s
)1)(1(
2
4c o s
15
2
2c o s
3
2
s i n
2
1()(
tk
kk
ttt
A
tf
k 为偶数全波整流
t
0 T
f ( t )
A
)c o s
14
1
2c o s
15
1
c o s
3
1
2
1
(
4
)(
2
tk
k
tt
A
tf
5.1.3 非正弦周期信号的频谱幅频谱,用长度与直流分量和各次谐波分量幅值大小相对应的线段按频率的高低依次排列起来得到的图形 。
相频谱,把非正弦周期函数各次谐波的初相用相应的线段按频率的高低依次排列起来得到的图形 。
幅频谱和相频谱统称为 频谱 。 如无特别说明,一般所说的频谱是专指幅频谱而言的 。
A km
k ω
0 ω 2 ω 3 ω 4 ω 5 ω
A 0
A 1m
A 2m
A 3m
A 4m
A 5m
（ a ）幅频谱幅频谱
0
θ k
k ω
ω
2 ω
3 ω
4 ω
5 ω
90 °
－ 90 °
( b) 相频谱
5.2 非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率如果已经知道非正弦周期信号在一个周期内的表达式,
有效值的计算公式为：
5.2.1 非正弦周期信号的有效值
T tiTI 0 2 d1
如果已经知道非正弦周期信号的傅里叶级数分解结果,
有效值的计算公式为：
2
2
2
1
2
0
1
2
km
2
0 2
1 IIIIII
k
T tuTU 0 2 d1
2
2
2
1
2
0
1
2
km
2
0 2
1 UUUUUU
k
5.2.2 非正弦周期信号的平均值
T tiTI 00 d1
T tuTU 00 d1
如果已经知道非正弦周期信号在一个周期内的表达式,
平均值的计算公式为：
如果已经知道非正弦周期信号的傅里叶级数分解结果,
平均值就等于其直流分量 。
例,已知非正弦周期电流的波形如图所示,试求其有效值和平均值 。
i /A
0
10
T /4
t
T
A10?i,
4
0
T
t
0?i,Tt
T
4
所以有效值为：
A5d101d1 40 240 2
TT
t
T
ti
T
I
解,本题中给出了非正弦周期电流的波形 。 由电流波形可以写出其在一个周期内的表达式,为：
电流平均值为：
A5.20d11d1 40400
TT
tTtiTI
例,已知非正弦周期电流：
)502s i n(23.0)20s i n(25.01 tti
试求其有效值和平均值。
解,本题中给定的非正弦周期电流包括直流分量和两个不同频率的正弦量，并且已知各正弦量的有效值，所以其有效值为：
A16.13.05.01 222222120 IIII
平均值就等于其直流分量，为：
A10?I
5.2.3 非正弦周期信号的平均功率如果电压 u和电流 i同频率的非正弦周期量,并且已知电压 u和电流 i的函数表达式,则平均功率为：
22211100
1
kkk00
1
k0
c osc os
c os
IUIUIU
IUIUPPP
kk
TT tuiTtpTP 00 d1d1
如果电压 u和电流 i已被分解为傅里叶级数,则由平均功率的计算公式,可求得平均功率为：
上式表明,非正弦周期电流电路的平均功率等于直流分量和各次谐波分别产生的平均功率之和 。
例,已知某无源二端网络的端电压和电流分别为：
解,直流分量的功率为：
所以,该二端网络的平均功率为：
V)102s i n(240)30s i n(26050 ttu
A)502s i n(23.0)20s i n(25.01 tti
试求该二端网络的平均功率 。
W50150000 IUP
基波的平均功率为,W3.196 4 3.05.060)2030c o s (111 IUP
二次谐波的平均功率为：
W2.97 6 6.03.040)5010c o s (222 IUP
W5.782.93.1950210 PPPP
5.3.1 非正弦周期电流电路的计算方法
（ 1） 把给出的电压源或电流源的非正弦周期电压或电流分解为傅里叶级数,高次谐波取到哪一项为止,要由所需要的准确度的高低来确定 。
5.3 非正弦周期电流电路的计算
（ 2） 分别求出电源的直流分量及各次谐波分量单独作用时在电路各处所产生的电压分量和电流分量 。
（ 3） 把所求得的相量转化为用三角函数表示的瞬时表达式后,
应用叠加定理将属于同一支路的电压或电流分量相加,即得电路中实际的电压或电流 。
注意,应用叠加定理时不能将表示不同频率的电压相量或电流相量直接相加,更不能将各电压或电流的有效值直接相加 。
例,图示电路中，作用于电路两端的电压为：
5.3.2 非正弦周期电流电路计算举例
V)302s i n(250s i n210050 ttu
已知电阻 R=100Ω,电容 C=20μF,角频率 ω=500rad/s。 求各支路电流和电路的有功功率。
+
u
－
R
i
C
i R i
C
解,直流分量 U0=50V单独作用时电容可视为开路,总电流的直流分量 I0和电阻支路的电流
IR0相等,为：
A5.0100500R00 RUII
基波分量 u1单独作用时，由于,Vs i n2100
1 tu
其相量为,V0100
1U?
这时电容的容抗为：
1001020500 11 6C1 CX?
所以电阻支路、电容支路及总电流的基波相量分别为：
A011 0 0 01 0 01R1 RUI
A90110 0j 010 0j
C1
1
C1
X
UI
A4521j1C1R11 III
二次谐波分量 u2单独作用时,由于 V)302s i n(250
2 tu?
其相量为：
这时电容的容抗为：
所以电阻支路、电容支路及总电流的二次谐波相量分别为：
V30502U?
5010205002 12 1 6C2 CX?
A305.01 0 030502R2 RUI
A120150j 3050j
C2
2
C2
X
UI
A4.9312.11201305.0C2R22 III
把上面求得的基波电流分量及二次谐波电流分量用三角函数式表示，然后将属于同一支路的各个电流分量进行相加，即得最终结果，分别为：
)302s i n (25.0s i n25.0R tti （ A ）
)1 2 02s i n (2)90s i n (2C tti （ A ）
)4.932s i n (212.1)45s i n (25.0 tti （ A ）
因为电路的有功功率就是电阻 R上所消耗的功率，所以有功功率可以计算如下：
W1501005.010011005.0 2222 2R2 1R2 0R RIRIRIP
