2009-7-29 通信原理 ——周扬 1
第 2章 随机过程
本章教学目的,了解随机过程和数理统计的基本知识（因为它是分析和设计通信系统的重要工具）。
说明,随机过程与数理统计属于数学学科的内容。为了使大家迅速掌握随机过程与数理统计的有关知识，本章不准备从严格的数学角度介绍随机过程与数理统计的完整内容，而将结合本课程的特点从工程的角度有重点的介绍。
2009-7-29 通信原理 ——周扬 2
第 2章的主要内容
随机过程的一般表述
平稳随机过程及其数字特征
高斯噪声
正弦波加窄带高斯噪声
随机信号通过线性系统
周期平稳随机过程
2009-7-29 通信原理 ——周扬 3
随机过程的一般表述
随机过程的概念
举例,n部接收机的输出噪声电压
2009-7-29 通信原理 ——周扬 4
随机过程的一般表述
随机过程的定义,设随机试验 E的可能结果为?(t)，试验的样本空间 S为； {x1(t)，
x2(t),?,xi(t),? },i为正整数，
xi(t)为第 i个样本函数（又称．之为实现）每次试验之后,?(t)取空间 S中的某一样本函数，于是称此? (t)为随机函数。
当 t代表时间量时，称此?(t)为随机过程。
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随机过程的一般表述
随机过程的数字特征
随机过程?(t)的一维分布函数,
(t)的一维概率密度函数,
1 1 1 1 1(,) { ( ) }F x t P t x
1 1 1
1 1 1
1
(,) (,)F x t f x t
x
2009-7-29 通信原理 ——周扬 6
随机过程的一般表述
(t)的 n维分布函数,
(t)的 n维概率密度函数,
1 2 1 2(,,,;,,,)n n nF x x x t t t
1 1 2 2{ ( ),( ),,( ) }nnP t x t x t x
1 2 1 2
1 2 1 2
12
(,,,;,,,) (,,,;,,,)
,,,
n n n
n n n
n
F x x x t t t f x x x t t t
x x x
2009-7-29 通信原理 ——周扬 7
随机过程的一般表述
随机过程?(t)的数学期望,
随机过程的方差,
1[ ( ) ] (,)E t x f x t d x?
2[ ( ) ] { ( ) [ ( ) ] }D t E t E t
2009-7-29 通信原理 ——周扬 8
随机过程的一般表述
随机过程?(t)的协方差函数,
相关函数 R(t1,t2)定义为,
1 2 1 1 2 2(,) { [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] }B t t E t a t t a t
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2(,) [ ( ) ( ) ] (,;,)R t t E t t x x f x x t t d x d x
2009-7-29 通信原理 ——周扬 9
随机过程的一般表述
互协方差函数,
互相关函数,
1 2 1 1 2 2(,) { [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] }B t t E t a t t a t
1 2 1 2(,) [ ( ) ( ) ]R t t E t t
2009-7-29 通信原理 ——周扬 10
平稳随机过程及其数字特征
平稳随机过程的数学表述,如果对于任意的正整数 n和任意实数 t1,t2,?,tn,?，
随机过程?(t)的 n维概率密度函数满足则称?(t)是平稳随机过程。
1 2 1 2(,,,;,,,)n n nf x x x t t t
1 2 1 2(,,,;,,,)n n nf x x x t t t
2009-7-29 通信原理 ——周扬 11
平稳随机过程及其数字特征
广义平稳随机过程,若一个随机过程的数学期望与时间无关，而其自相关函数仅与?有关。
说明：在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数均可视为平稳的随机过程。
11(,) ( )R t t R[ ( ) ]E t a
2009-7-29 通信原理 ——周扬 12
平稳随机过程及其数字特征
各态历经性,平稳随机过程一般具有一个有趣的又非常有用的特性，这个特性称为,各态历经性,。即随机过程的数学期望（统计平均值），可以由任一实现的时间平均值来代替；随机过程的自相关函数，也可以由对应的,时间平均,
来代替,统计平均,。
2009-7-29 通信原理 ——周扬 13
平稳随机过程及其数字特征
若令
平稳随机过程的各态历经性表现为
2
2
2
2
1
l im ( )
1
l im ( ) ( ) ( )
T
T
T
T
T
T
x t d t a
T
x t x t d t R
T
( ) ( )
aa
RR
2009-7-29 通信原理 ——周扬 14
平稳随机过程及其数字特征
［例］讨论随机过程 X(t)=Acos(t+?)的各态历经性。式中振幅 A和初相?均为随机变量，两者统计独立,?在（ 0,2?）
之间均匀分布。
因为
[ ( ) ) ] [ c o s ( ) ] 0E X t E A t
2[]
(,) c o s
2
EAR t t
2009-7-29 通信原理 ——周扬 15
平稳随机过程及其数字特征
所以，该随机过程为平稳随机过程。
又因为显然，该过程满足平稳性条件，但并不具备各态历经性。
2
2
1l im ( ) 0T
TTa x t d tT
2
2
21
( ) l im ( ) ( ) c o s ( )2
T
TT
AR x t x t d t
T
2009-7-29 通信原理 ——周扬 16
平稳随机过程及其数字特征
1.相关函数的性质
（ 1）?(t)的平均功率
（ 2） R(?)是偶函数
2( 0 ) [ ( ) ]R E t S
( ) ( )RR
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平稳随机过程及其数字特征
（ 3） R(?)的上界
（ 4）?(t)的直流功率
( ) ( 0 )RR
2( ) [ ( ) ]R E t
2009-7-29 通信原理 ——周扬 18
平稳随机过程及其数字特征
（ 5）方差,?(t)的交流功率
2( 0 ) ( )RR
2009-7-29 通信原理 ——周扬 19
平稳随机过程及其数字特征
2.频谱特性
确定（知）功率信号 f(t)，它的功率谱密度 PS(?)可表示成式中,FT(?)是 f(t)的截短函数 fT(t) 的频谱函数。
2()
( ) l i m Ts
T
FP
T
2009-7-29 通信原理 ——周扬 20
平稳随机过程及其数字特征
功率信号 f(t)及其截短函数 fT(t)
2009-7-29 通信原理 ——周扬 21
平稳随机过程及其数字特征
随机过程?(t)的功率谱密度为
(t)的平均功率
2()
( ) [ ( ) ] l i m Ts
T
EFP E P
T?
2()11
( ) l i m22 T
T
EFS P d d
T?
2009-7-29 通信原理 ——周扬 22
平稳随机过程及其数字特征
(t)的自相关函数与其功率谱密度之间为傅里叶变换关系
( ) ( ) jP R e d
( ) ( )PR
2009-7-29 通信原理 ——周扬 23
平稳随机过程及其数字特征求随机相位正弦波 ξ(t)=sin(ω0t+θ）的自相关函数与功率谱密度。 ω0其中是常数，
θ为 [0,2π]之间的随机变量。
2009-7-29 通信原理 ——周扬 24
高斯噪声
高斯随机过程（正态随机过程）
定义,高斯随机过程?(t)，即指它的任意 n维（ n=1,2,? ）概率密度函数由下式表示的随机过程，即
1 2 1 2(,,,;,,,)nnf x x x t t t
122
1112
11 e xp [ ( ) ( ) ]
2( 2 )
nn jj
kk
jkn jk
jkn
xa xaB
BB
2009-7-29 通信原理 ——周扬 25
高斯随机过程
特例,高斯随机过程中的一维分布。一维概率密度函数式中 a及?是两个常量（均值及方差）。
2
2
1 ( )( ) e x p [ ]
22
xafx
2009-7-29 通信原理 ——周扬 26
高斯随机过程
f(x)的特性,高斯随机过程中的一维概率密度函数的特性理解比较容易，同学们可以参看书。
高斯过程如果是宽平稳的，则它也是严平稳的高斯过程中各个变量如果互不相关，则它们统计独立
2009-7-29 通信原理 ——周扬 27
高斯随机过程
21
( ) e x p ( )2
2
x t
x d t?
概率积分函数误差函数
2
0
2
()
( ) 1 ( )
x
te r f x e d t
e r f c x e r f x
2009-7-29 通信原理 ——周扬 28
窄带高斯噪声、白噪声、带限白噪声
窄带信号,是指频谱只限于以?fC为中心频率而带宽为?f,?f <<fC的信号，更确切地应该称之为高频窄带信号。
2009-7-29 通信原理 ——周扬 29
窄带高斯噪声、白噪声、带限白噪声（续 1）
窄带随机过程,如果信号或噪声满足窄带条件，且是一个随机过程，则称它们为 窄带随机过程 。如果噪声的瞬时取值服从高斯分布，则称它为 窄带高斯噪声 。
在不特别声明情况下，我们仅仅讨论零均值平稳高斯窄带过程。
2009-7-29 通信原理 ——周扬 30
窄带高斯噪声、白噪声、带限白噪声（续 2）
零均值平稳高斯窄带过程,
或
其中?C(t)及?S(t) 称为?(t)的同相分量及正交分量：
( ) ( ) c o s [ ( ) ],( ) 0ct a t t t a t
( ) ( ) c o s ( ) s i nc c s ct t t t t
( ) ( ) c o s ( )c t a t t
( ) ( ) s i n ( )s t a t t
2009-7-29 通信原理 ——周扬 31
窄带高斯噪声、白噪声、带限白噪声（续 3）
容易证明如下结论
结论之一,一个均值为零的窄带平稳高斯随机过程，它的同相分量?C(t)和正交分量?S(t)同样是平稳高斯随机过程，而且均值都为零，方差也相同，且等于?(t)
的方差。另外，在同一时刻上得到的?C、
S是不相关的或统计独立的。
2009-7-29 通信原理 ——周扬 32
窄带高斯噪声、白噪声、带限白噪声（续 4）
通过数学推导得：
2
22( ) e x p [ ],02
aaf a a
1( ) 0 2
2f
2
22(,) e x p [ ]22
aa
fa
2009-7-29 通信原理 ——周扬 33
窄带高斯噪声、白噪声、带限白噪声（续 5）
结论之二,一个均值为零的平稳高斯窄带过程，其包络的一维分布是瑞利分布，
相位的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，包络与相位是统计独立的。
2009-7-29 通信原理 ——周扬 34
窄带高斯噪声、白噪声、带限白噪声（续 6）
白噪声,功率谱密度在整个频域内都是均匀分布（相同大小）的噪声（一般不特别声明，我们所讨论的白噪声的概率分布都是高斯的）。功率谱密度为式中,n0是一个常数，单位取,瓦／赫,
（ W／ Hz）。
0()
2
nP
2009-7-29 通信原理 ——周扬 35
窄带高斯噪声、白噪声、带限白噪声（续 7）
白噪声的自相关函数
说明：白噪声的自相关函数仅在?=0时才不为零；而对于其他任意的?它都为零。这说明，
白噪声只有在?=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是不相关的。自相关函数及其功率谱密度，如图 2-5（ a）所示。
0( ) ( )
2
nR
2009-7-29 通信原理 ——周扬 36
窄带高斯噪声、白噪声、带限白噪声（续 8）
带限白噪声,如果噪声被限制在（ -f0,
f0）之内，且在该频率区间范围内有
P?(?)=n0/2，在该区间外 P?(?)=0，则这样的噪声被称为带限白噪声。带限白噪声的自相关函数为式中,?0=2?f0。
0
0
200
00
0
s i n()
2
f jf
f
nR e d f f n
2009-7-29 通信原理 ——周扬 37
窄带高斯噪声、白噪声、带限白噪声（续 9）
说明,带限白噪声只有在?=k/2f0（ k=1，
2,3,? ）上得到的随机变量才不相关。
即：对带限白噪声按抽样定理最低抽样速率抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。
带限白噪声的自相关函数与功率谱密度如图 2-5（ b）所示。
2009-7-29 通信原理 ——周扬 38
窄带高斯噪声、白噪声、带限白噪声（续 10）
图 2-5白噪声与带限白噪声的相关函数与谱密度
2009-7-29 通信原理 ——周扬 39
2.4正弦波加窄带高斯噪声
正弦波加窄带高斯噪声的信号形式
信号 r(t)的包络为
( ) c o s ( ) ( ) c o s ( ) [ ( ) c o s ( ) ( ) s i n ( ) ]c c c cr t A t n t A t x t t y t t
[ c o s ( ) ] c o s ( ) [ s i n ( ) ] s i n ( )ccA x t t A y t t
2 2 1 2( ) { [ c o s ( ) ] [ s i n ( ) ( ) ] }z t A x t A y t
2009-7-29 通信原理 ——周扬 40
正弦波加窄带高斯噪声（续 1）
相位随机变量为
以相位?为条件的 z与?的联合密度函数为
a r c t a n 0 2s
c
z
z
(,/ ) (,/ ) (,/ )
cs
c s c s
cs
zz
zz
f z f z z f z z z
zz
22
22
1e xp{ [ 2 c os( ) ] }
22
z z A Az
2009-7-29 通信原理 ——周扬 41
正弦波加窄带高斯噪声（续 2）
推导可得包络概率密度函数为
称为广义瑞利分布也称莱斯（ Rice）密度函数。
22
02 2 2
1( ) e x p [ ( ) ] ( ) 0
2
z A zf z z A I z
2009-7-29 通信原理 ——周扬 42
正弦波加窄带高斯噪声（续 3）
图 2-6正弦波加高斯窄带过程的包络和相位分布
2009-7-29 通信原理 ——周扬 43
随机信号通过线性系统
本节主要讨论平稳随机过程通过线性时不变系统后输出信号的统计特性，以及系统输入输出之间的一些重要关系。
设：确知信号 vi(t)表示系统输入,v0(t)
表示系统输出。则
0 ( ) ( ) ( )iv t v h t d
2009-7-29 通信原理 ——周扬 44
随机信号通过线性系统（续 1）
输入随机过程?i(t)有界且系统是物理可实现的，则输出随机过程?0(t)为
以下讨论：在输入?i(t)是平稳随机过程，
分析系统输出过程?0(t)的统计特性。
0 0( ) ( ) ( )it h t d
2009-7-29 通信原理 ——周扬 45
随机信号通过线性系统（续 2）
1,?0(t)的数学期望 E[?0(t)]
式中,E[?i(t-?)]= E[?i(t)]=?i
0 00[ ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ]iiE t E h t d h E t d
0[ ( ) ] ( 0 )iE t H
0( 0 ) ( )H h t d t
2009-7-29 通信原理 ——周扬 46
随机信号通过线性系统（续 3）
说明：输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与 H(0)相乘，并且 E[?0(t)]
与 t无关。
2,?0(t)的自相关函数 R0(t1,t1+?)
根据自相关函数的定义可推导得：
0 1 1 000(,) ( ) ( ) ( ) ( )iR t t h h R d d R
2009-7-29 通信原理 ——周扬 47
随机信号通过线性系统（续 4）
说明：自相关函数只依赖时间间隔?，而与时间起点 t1无关。所以，输出过程也是宽平稳的随机过程。
3,?0(t)的功率谱密度
经过推导得
0 ()P
0
2( ) ( ) ( )
i
P H P
2009-7-29 通信原理 ——周扬 48
随机信号通过线性系统（续 5）
说明：系统输出功率谱密度是输入功率谱密度 与 的乘积。
4.输出过程?0(t)的分布
（ 1）原理上，在给定输入过程的分布的情况下，总可以确定输出过程的分布。
（ 2）如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。
()iP 2()H?
2009-7-29 通信原理 ——周扬 49
试求功率谱密度为 n0/2的白噪声通过如下低通滤波器后的功率谱密度、相关函数和噪声功率
0,()
0
djt
HKeH
o th e rw ise
2009-7-29 通信原理 ——周扬 50
周期平稳随机过程
周期平稳随机过程,随机过程?(t)的均值是随时间变化的，并且是时间 t的周期函数，自相关函数也是 T的周期函数。称这种随机过程为 周期平稳随机过程 。
举例：设随机过程（实际信号序列）
( ) ( )n
n
t a g t n T?
2009-7-29 通信原理 ——周扬 51
周期平稳随机过程（续 1）
其中,是一个时间离散的实随机序列，对于所有的 n，其均值,自相关序列为 ； g(t)是确知信号。
(t)的均值
{}na
[]naE a m?
( ) [ ]a a n n kk E a a
[ ( ) ] [ ] ( ) ( )na
nn
E t E a g t n T m g t n T?
2009-7-29 通信原理 ——周扬 52
2.6 周期平稳随机过程（续 2）
(t)的自相关函数
时间平均自相关函数
**(,) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( )
a a n m
nn
t t E t t E a a g t n T g t m T
( ) ( ) ( )aa
nn
m n g t n T g t m T
2
2
1( ) (,)T
x x x xT t t dtT
2009-7-29 通信原理 ——周扬 53
2.6 周期平稳随机过程（续 3）
(t)的平均功率谱密度
21( ) ( ) j ft
x x x xf e dT
2009-7-29 通信原理 ——周扬 54
本章小结
一、主要内容
2.1随机过程的一般表述
2.2平稳随机过程及其数字特征
2.3高斯噪声
2.4正弦波加窄带高斯噪声
2.5随机信号通过线性系统
2.6周期平稳随机过程
2009-7-29 通信原理 ——周扬 55
本章小结（续 1）
二、几点说明
1、本章通过对随机过程等有关基础知识的介绍，使读者在学习通信理论之前准备必要的数学知识，力求在设计、分析优化通信系统时能得心应手。
2009-7-29 通信原理 ——周扬 56
本章小结（续 2）
2,建议,需要深入学习和研究通信理论的读者还需学习、参阅随机过程、数理统计、矩阵论等方面的更深入广泛的数学知识，可以参阅书后文献。
第 2章 随机过程
本章教学目的,了解随机过程和数理统计的基本知识（因为它是分析和设计通信系统的重要工具）。
说明,随机过程与数理统计属于数学学科的内容。为了使大家迅速掌握随机过程与数理统计的有关知识，本章不准备从严格的数学角度介绍随机过程与数理统计的完整内容，而将结合本课程的特点从工程的角度有重点的介绍。
2009-7-29 通信原理 ——周扬 2
第 2章的主要内容
随机过程的一般表述
平稳随机过程及其数字特征
高斯噪声
正弦波加窄带高斯噪声
随机信号通过线性系统
周期平稳随机过程
2009-7-29 通信原理 ——周扬 3
随机过程的一般表述
随机过程的概念
举例,n部接收机的输出噪声电压
2009-7-29 通信原理 ——周扬 4
随机过程的一般表述
随机过程的定义,设随机试验 E的可能结果为?(t)，试验的样本空间 S为； {x1(t)，
x2(t),?,xi(t),? },i为正整数，
xi(t)为第 i个样本函数（又称．之为实现）每次试验之后,?(t)取空间 S中的某一样本函数，于是称此? (t)为随机函数。
当 t代表时间量时，称此?(t)为随机过程。
2009-7-29 通信原理 ——周扬 5
随机过程的一般表述
随机过程的数字特征
随机过程?(t)的一维分布函数,
(t)的一维概率密度函数,
1 1 1 1 1(,) { ( ) }F x t P t x
1 1 1
1 1 1
1
(,) (,)F x t f x t
x
2009-7-29 通信原理 ——周扬 6
随机过程的一般表述
(t)的 n维分布函数,
(t)的 n维概率密度函数,
1 2 1 2(,,,;,,,)n n nF x x x t t t
1 1 2 2{ ( ),( ),,( ) }nnP t x t x t x
1 2 1 2
1 2 1 2
12
(,,,;,,,) (,,,;,,,)
,,,
n n n
n n n
n
F x x x t t t f x x x t t t
x x x
2009-7-29 通信原理 ——周扬 7
随机过程的一般表述
随机过程?(t)的数学期望,
随机过程的方差,
1[ ( ) ] (,)E t x f x t d x?
2[ ( ) ] { ( ) [ ( ) ] }D t E t E t
2009-7-29 通信原理 ——周扬 8
随机过程的一般表述
随机过程?(t)的协方差函数,
相关函数 R(t1,t2)定义为,
1 2 1 1 2 2(,) { [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] }B t t E t a t t a t
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2(,) [ ( ) ( ) ] (,;,)R t t E t t x x f x x t t d x d x
2009-7-29 通信原理 ——周扬 9
随机过程的一般表述
互协方差函数,
互相关函数,
1 2 1 1 2 2(,) { [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] }B t t E t a t t a t
1 2 1 2(,) [ ( ) ( ) ]R t t E t t
2009-7-29 通信原理 ——周扬 10
平稳随机过程及其数字特征
平稳随机过程的数学表述,如果对于任意的正整数 n和任意实数 t1,t2,?,tn,?，
随机过程?(t)的 n维概率密度函数满足则称?(t)是平稳随机过程。
1 2 1 2(,,,;,,,)n n nf x x x t t t
1 2 1 2(,,,;,,,)n n nf x x x t t t
2009-7-29 通信原理 ——周扬 11
平稳随机过程及其数字特征
广义平稳随机过程,若一个随机过程的数学期望与时间无关，而其自相关函数仅与?有关。
说明：在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数均可视为平稳的随机过程。
11(,) ( )R t t R[ ( ) ]E t a
2009-7-29 通信原理 ——周扬 12
平稳随机过程及其数字特征
各态历经性,平稳随机过程一般具有一个有趣的又非常有用的特性，这个特性称为,各态历经性,。即随机过程的数学期望（统计平均值），可以由任一实现的时间平均值来代替；随机过程的自相关函数，也可以由对应的,时间平均,
来代替,统计平均,。
2009-7-29 通信原理 ——周扬 13
平稳随机过程及其数字特征
若令
平稳随机过程的各态历经性表现为
2
2
2
2
1
l im ( )
1
l im ( ) ( ) ( )
T
T
T
T
T
T
x t d t a
T
x t x t d t R
T
( ) ( )
aa
RR
2009-7-29 通信原理 ——周扬 14
平稳随机过程及其数字特征
［例］讨论随机过程 X(t)=Acos(t+?)的各态历经性。式中振幅 A和初相?均为随机变量，两者统计独立,?在（ 0,2?）
之间均匀分布。
因为
[ ( ) ) ] [ c o s ( ) ] 0E X t E A t
2[]
(,) c o s
2
EAR t t
2009-7-29 通信原理 ——周扬 15
平稳随机过程及其数字特征
所以，该随机过程为平稳随机过程。
又因为显然，该过程满足平稳性条件，但并不具备各态历经性。
2
2
1l im ( ) 0T
TTa x t d tT
2
2
21
( ) l im ( ) ( ) c o s ( )2
T
TT
AR x t x t d t
T
2009-7-29 通信原理 ——周扬 16
平稳随机过程及其数字特征
1.相关函数的性质
（ 1）?(t)的平均功率
（ 2） R(?)是偶函数
2( 0 ) [ ( ) ]R E t S
( ) ( )RR
2009-7-29 通信原理 ——周扬 17
平稳随机过程及其数字特征
（ 3） R(?)的上界
（ 4）?(t)的直流功率
( ) ( 0 )RR
2( ) [ ( ) ]R E t
2009-7-29 通信原理 ——周扬 18
平稳随机过程及其数字特征
（ 5）方差,?(t)的交流功率
2( 0 ) ( )RR
2009-7-29 通信原理 ——周扬 19
平稳随机过程及其数字特征
2.频谱特性
确定（知）功率信号 f(t)，它的功率谱密度 PS(?)可表示成式中,FT(?)是 f(t)的截短函数 fT(t) 的频谱函数。
2()
( ) l i m Ts
T
FP
T
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平稳随机过程及其数字特征
功率信号 f(t)及其截短函数 fT(t)
2009-7-29 通信原理 ——周扬 21
平稳随机过程及其数字特征
随机过程?(t)的功率谱密度为
(t)的平均功率
2()
( ) [ ( ) ] l i m Ts
T
EFP E P
T?
2()11
( ) l i m22 T
T
EFS P d d
T?
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平稳随机过程及其数字特征
(t)的自相关函数与其功率谱密度之间为傅里叶变换关系
( ) ( ) jP R e d
( ) ( )PR
2009-7-29 通信原理 ——周扬 23
平稳随机过程及其数字特征求随机相位正弦波 ξ(t)=sin(ω0t+θ）的自相关函数与功率谱密度。 ω0其中是常数，
θ为 [0,2π]之间的随机变量。
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高斯噪声
高斯随机过程（正态随机过程）
定义,高斯随机过程?(t)，即指它的任意 n维（ n=1,2,? ）概率密度函数由下式表示的随机过程，即
1 2 1 2(,,,;,,,)nnf x x x t t t
122
1112
11 e xp [ ( ) ( ) ]
2( 2 )
nn jj
kk
jkn jk
jkn
xa xaB
BB
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高斯随机过程
特例,高斯随机过程中的一维分布。一维概率密度函数式中 a及?是两个常量（均值及方差）。
2
2
1 ( )( ) e x p [ ]
22
xafx
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高斯随机过程
f(x)的特性,高斯随机过程中的一维概率密度函数的特性理解比较容易，同学们可以参看书。
高斯过程如果是宽平稳的，则它也是严平稳的高斯过程中各个变量如果互不相关，则它们统计独立
2009-7-29 通信原理 ——周扬 27
高斯随机过程
21
( ) e x p ( )2
2
x t
x d t?
概率积分函数误差函数
2
0
2
()
( ) 1 ( )
x
te r f x e d t
e r f c x e r f x
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窄带高斯噪声、白噪声、带限白噪声
窄带信号,是指频谱只限于以?fC为中心频率而带宽为?f,?f <<fC的信号，更确切地应该称之为高频窄带信号。
2009-7-29 通信原理 ——周扬 29
窄带高斯噪声、白噪声、带限白噪声（续 1）
窄带随机过程,如果信号或噪声满足窄带条件，且是一个随机过程，则称它们为 窄带随机过程 。如果噪声的瞬时取值服从高斯分布，则称它为 窄带高斯噪声 。
在不特别声明情况下，我们仅仅讨论零均值平稳高斯窄带过程。
2009-7-29 通信原理 ——周扬 30
窄带高斯噪声、白噪声、带限白噪声（续 2）
零均值平稳高斯窄带过程,
或
其中?C(t)及?S(t) 称为?(t)的同相分量及正交分量：
( ) ( ) c o s [ ( ) ],( ) 0ct a t t t a t
( ) ( ) c o s ( ) s i nc c s ct t t t t
( ) ( ) c o s ( )c t a t t
( ) ( ) s i n ( )s t a t t
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窄带高斯噪声、白噪声、带限白噪声（续 3）
容易证明如下结论
结论之一,一个均值为零的窄带平稳高斯随机过程，它的同相分量?C(t)和正交分量?S(t)同样是平稳高斯随机过程，而且均值都为零，方差也相同，且等于?(t)
的方差。另外，在同一时刻上得到的?C、
S是不相关的或统计独立的。
2009-7-29 通信原理 ——周扬 32
窄带高斯噪声、白噪声、带限白噪声（续 4）
通过数学推导得：
2
22( ) e x p [ ],02
aaf a a
1( ) 0 2
2f
2
22(,) e x p [ ]22
aa
fa
2009-7-29 通信原理 ——周扬 33
窄带高斯噪声、白噪声、带限白噪声（续 5）
结论之二,一个均值为零的平稳高斯窄带过程，其包络的一维分布是瑞利分布，
相位的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，包络与相位是统计独立的。
2009-7-29 通信原理 ——周扬 34
窄带高斯噪声、白噪声、带限白噪声（续 6）
白噪声,功率谱密度在整个频域内都是均匀分布（相同大小）的噪声（一般不特别声明，我们所讨论的白噪声的概率分布都是高斯的）。功率谱密度为式中,n0是一个常数，单位取,瓦／赫,
（ W／ Hz）。
0()
2
nP
2009-7-29 通信原理 ——周扬 35
窄带高斯噪声、白噪声、带限白噪声（续 7）
白噪声的自相关函数
说明：白噪声的自相关函数仅在?=0时才不为零；而对于其他任意的?它都为零。这说明，
白噪声只有在?=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是不相关的。自相关函数及其功率谱密度，如图 2-5（ a）所示。
0( ) ( )
2
nR
2009-7-29 通信原理 ——周扬 36
窄带高斯噪声、白噪声、带限白噪声（续 8）
带限白噪声,如果噪声被限制在（ -f0,
f0）之内，且在该频率区间范围内有
P?(?)=n0/2，在该区间外 P?(?)=0，则这样的噪声被称为带限白噪声。带限白噪声的自相关函数为式中,?0=2?f0。
0
0
200
00
0
s i n()
2
f jf
f
nR e d f f n
2009-7-29 通信原理 ——周扬 37
窄带高斯噪声、白噪声、带限白噪声（续 9）
说明,带限白噪声只有在?=k/2f0（ k=1，
2,3,? ）上得到的随机变量才不相关。
即：对带限白噪声按抽样定理最低抽样速率抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。
带限白噪声的自相关函数与功率谱密度如图 2-5（ b）所示。
2009-7-29 通信原理 ——周扬 38
窄带高斯噪声、白噪声、带限白噪声（续 10）
图 2-5白噪声与带限白噪声的相关函数与谱密度
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2.4正弦波加窄带高斯噪声
正弦波加窄带高斯噪声的信号形式
信号 r(t)的包络为
( ) c o s ( ) ( ) c o s ( ) [ ( ) c o s ( ) ( ) s i n ( ) ]c c c cr t A t n t A t x t t y t t
[ c o s ( ) ] c o s ( ) [ s i n ( ) ] s i n ( )ccA x t t A y t t
2 2 1 2( ) { [ c o s ( ) ] [ s i n ( ) ( ) ] }z t A x t A y t
2009-7-29 通信原理 ——周扬 40
正弦波加窄带高斯噪声（续 1）
相位随机变量为
以相位?为条件的 z与?的联合密度函数为
a r c t a n 0 2s
c
z
z
(,/ ) (,/ ) (,/ )
cs
c s c s
cs
zz
zz
f z f z z f z z z
zz
22
22
1e xp{ [ 2 c os( ) ] }
22
z z A Az
2009-7-29 通信原理 ——周扬 41
正弦波加窄带高斯噪声（续 2）
推导可得包络概率密度函数为
称为广义瑞利分布也称莱斯（ Rice）密度函数。
22
02 2 2
1( ) e x p [ ( ) ] ( ) 0
2
z A zf z z A I z
2009-7-29 通信原理 ——周扬 42
正弦波加窄带高斯噪声（续 3）
图 2-6正弦波加高斯窄带过程的包络和相位分布
2009-7-29 通信原理 ——周扬 43
随机信号通过线性系统
本节主要讨论平稳随机过程通过线性时不变系统后输出信号的统计特性，以及系统输入输出之间的一些重要关系。
设：确知信号 vi(t)表示系统输入,v0(t)
表示系统输出。则
0 ( ) ( ) ( )iv t v h t d
2009-7-29 通信原理 ——周扬 44
随机信号通过线性系统（续 1）
输入随机过程?i(t)有界且系统是物理可实现的，则输出随机过程?0(t)为
以下讨论：在输入?i(t)是平稳随机过程，
分析系统输出过程?0(t)的统计特性。
0 0( ) ( ) ( )it h t d
2009-7-29 通信原理 ——周扬 45
随机信号通过线性系统（续 2）
1,?0(t)的数学期望 E[?0(t)]
式中,E[?i(t-?)]= E[?i(t)]=?i
0 00[ ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ]iiE t E h t d h E t d
0[ ( ) ] ( 0 )iE t H
0( 0 ) ( )H h t d t
2009-7-29 通信原理 ——周扬 46
随机信号通过线性系统（续 3）
说明：输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与 H(0)相乘，并且 E[?0(t)]
与 t无关。
2,?0(t)的自相关函数 R0(t1,t1+?)
根据自相关函数的定义可推导得：
0 1 1 000(,) ( ) ( ) ( ) ( )iR t t h h R d d R
2009-7-29 通信原理 ——周扬 47
随机信号通过线性系统（续 4）
说明：自相关函数只依赖时间间隔?，而与时间起点 t1无关。所以，输出过程也是宽平稳的随机过程。
3,?0(t)的功率谱密度
经过推导得
0 ()P
0
2( ) ( ) ( )
i
P H P
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随机信号通过线性系统（续 5）
说明：系统输出功率谱密度是输入功率谱密度 与 的乘积。
4.输出过程?0(t)的分布
（ 1）原理上，在给定输入过程的分布的情况下，总可以确定输出过程的分布。
（ 2）如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。
()iP 2()H?
2009-7-29 通信原理 ——周扬 49
试求功率谱密度为 n0/2的白噪声通过如下低通滤波器后的功率谱密度、相关函数和噪声功率
0,()
0
djt
HKeH
o th e rw ise
2009-7-29 通信原理 ——周扬 50
周期平稳随机过程
周期平稳随机过程,随机过程?(t)的均值是随时间变化的，并且是时间 t的周期函数，自相关函数也是 T的周期函数。称这种随机过程为 周期平稳随机过程 。
举例：设随机过程（实际信号序列）
( ) ( )n
n
t a g t n T?
2009-7-29 通信原理 ——周扬 51
周期平稳随机过程（续 1）
其中,是一个时间离散的实随机序列，对于所有的 n，其均值,自相关序列为 ； g(t)是确知信号。
(t)的均值
{}na
[]naE a m?
( ) [ ]a a n n kk E a a
[ ( ) ] [ ] ( ) ( )na
nn
E t E a g t n T m g t n T?
2009-7-29 通信原理 ——周扬 52
2.6 周期平稳随机过程（续 2）
(t)的自相关函数
时间平均自相关函数
**(,) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( )
a a n m
nn
t t E t t E a a g t n T g t m T
( ) ( ) ( )aa
nn
m n g t n T g t m T
2
2
1( ) (,)T
x x x xT t t dtT
2009-7-29 通信原理 ——周扬 53
2.6 周期平稳随机过程（续 3）
(t)的平均功率谱密度
21( ) ( ) j ft
x x x xf e dT
2009-7-29 通信原理 ——周扬 54
本章小结
一、主要内容
2.1随机过程的一般表述
2.2平稳随机过程及其数字特征
2.3高斯噪声
2.4正弦波加窄带高斯噪声
2.5随机信号通过线性系统
2.6周期平稳随机过程
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本章小结（续 1）
二、几点说明
1、本章通过对随机过程等有关基础知识的介绍，使读者在学习通信理论之前准备必要的数学知识，力求在设计、分析优化通信系统时能得心应手。
2009-7-29 通信原理 ——周扬 56
本章小结（续 2）
2,建议,需要深入学习和研究通信理论的读者还需学习、参阅随机过程、数理统计、矩阵论等方面的更深入广泛的数学知识，可以参阅书后文献。
