数字信号的最佳接收
通信系统的质量优劣主要取决于接收机的性能。这是因为，影响信息可靠传输的不利因素直接作用在接收端。通信理论中一个重要的问题：最佳接收或信号接收最佳化
最佳接收理论研究从噪声中如何最好地提取有用信号。,最好,或,最佳,的概念是在某个准则意义下说的一个相对概念。
这就是说，在某个准则下是最佳的接收机，
在另一准则下就并非一定是最佳的数字信号接收的统计表述
在噪声背景下数字信号接收过程是一个统计判决问题。数字通信系统的统计模型：
x s + y 判决规则 r
n
消息空间 信号空间噪声空间观察空间 判决空间离散消息源可以用概率场来表述?
)()()( 21
21
m
m
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xxx
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xp
1
1)(
发送信号与消息之间通常是一一对应的?
)()()( 21
21
m
m
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sss
m
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sp
1
1)(
n 代表信道噪声的取值,n为零均值高斯型噪声，
n的统计特性应该用多维联合概率密度函数来描述 ),,()(
21 knnnfnf )()()(
21 knfnfnf ]2
1e x p [
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n
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0
Tk
n
dttnnnf
( ) ( ) ( )y t s t n t
当接收到信号取值 s1,s2,… sm 之一时,y也将服从高斯分布,方差仍为,均值为 si2n?
当发送信号为 si(t)时,y(t)的条件概率密度函数为 })]()([1e x p {
)2(
1)(
0
2
0
T ik
n
si dttstynyf
似然函数最佳接收准则
最小差错概率准则在二进制数字调制中，发送信号只有两个 s1(t)和 s2(t),
假设 s1(t)和 s2(t)在观察时刻的取值为 a1和 a2,
则当发送信号为 s1(t)或 s2(t)时,y(t)的条件概率密度函数为 }])([1e x p {
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0 )(11 y s dyyfQ 0 )(22 y s dyyfQ
每一次判决总的平均错误概率为
Pe = p(s1) Q1 + p(s2) Q2
一般 p(s1),p(s2) 认为是已知的,故 Pe 是 y0的函数 0)()()()(
022011
0
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为了达到最小错误概率,可按如下规则进行判决
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判为 r1
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判为 r2
似然比判决准则若 p(s1) = p(s2) 则 )()(
21 yfyf ss?判为 s1 )()(
21 yfyf ss?判为 s2
最大似然比判决准则确知信号的最佳接收
到达接收机的信号分为两类
确知信号
随参信号
确知信号
所有参数 (幅度、频率、相位、到达时间等 )都确知，未知的只是信号出现与否
随参信号
随机相位信号
随机振幅二进制确知信号的最佳接收机设到达接收机的两个可能信号为 s1(t)和 s2(t),它们的持续时间为 (0,T)。且有相等的能量。 n(t)是高斯白噪声，其均值为零、单边功率谱密度为 n0
现在我们的目的是要设计一个接收机，它能在噪声干扰下有最小的错误概率检测信号观察到的波形 y(t)可表示为
y(t)={s1(t) 或 s2(t) } + n(t)
Tk
n
s dttstynyf 0
2
1
0
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Tk
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若 则判决收到 s1(t),
于是判决收到 s1(t)的条件成为 )()( 21 yfyf ss?
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其中
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当 P(s1)=P(s2) 时，条件成为
TT dttstydttsty 0 20 1 )()()()(
对应的接收机结构称为,相关接收机,
相乘器 积分器 相加器相乘器 积分器 相加器判决器
S1(t)
S2(t) 清洗脉冲
U1
U2
简化的相关接收机积分器×
y ( t ) s 1 ( t ) 输出积分器×
s
2
( t )
比较器二进制确知信号最佳接收机的性能当发送信号为 s1(t)时，接收机输入信号为
1( ) ( ) ( )y t s t n t
其中,n(t)是高斯白噪声，其均值为零，方差为 σ2n。若
TT dttstyUdttstyU 0 220 11 )()()()(
正确判决
TT dttstyUdttstyU 0 220 11 )()()()(
错误判决将 y(t)=s1(t)+n(t)代入判决式中可得错误判决条件为
T dttstntsU 0 111 )()()(
T dttstntsU 0 111 )()()(
T dttststn0 21 )()()(
T dttsts
sP
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错误事件可以表示为
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式中 E{n(t)n(t’)}为高斯白噪声 n(t)的自相关函数，
由随机信号分析可知
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总的错误概率为
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)(
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sP
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Pe
由此看出，所求的最佳接收机的极限性能只与先验概率 P(s1)和 P(s2)、噪声功率诺密度 n0
及两信号之差的能量有关，而与、
s1(t)及 s2(t)本身的具体形式无关分析 Pe与先验概率的关系
P(s1)=0,P(s2)＝ 1或反之 P(s1)＝ 1，而 P(s2)=0时
Pe=0 这意味着接收端知道发送的是什么，故不会有错先验等概时 Pe只与两信号之差的能量及 n0有关当 P(s1)/ P(s2)<>1时 Pe比先验等概时略小在 A一定的情况下，先验等概时的错误概率 Pe最大，即，先验等概对于差错性能而言是一种最不利的情况若先验不等概，则得到的 Pe比等概时略有下降先验分布是不易确知的，故实际中常常使用先验等概的假设匹配滤波器
使输出信噪比在某一特定时刻达到最大
￡? H ( w )?D
s ( t )
n ( t )
x ( t ) y ( t ) t ￡? t
0
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S
N
( )
o
输入 x(t)=s(t)+n(t)
s(t)为输入数字信号，其频谱函数为 S(ω)
n(t)为高斯白噪声，其双边功率谱密度为 n0/2
输出 y(t)=s0(t)+n0(t)
其中输出信号 s0(t)，其 频谱函数为 So(ω)，关系为
0
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2
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滤波器输出噪声的平均功率为
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1
在抽样时刻 t0，线性滤波器输出信号的瞬时功率与噪声平均功率之比为
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n
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)(
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选择 H(w)使该比值最大
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Er?
它出现的条件是
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这就是最佳线性滤波器的传输函数，
由于它是信号频谱的复共扼，故称为 匹配滤波器冲激响应
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*
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K
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Ks t t
匹配滤波器为了获得物理可实现的匹配滤波器，要求当 t<0时有
h(t)=0。为了满足这个条件，冲激响应 h(t)应满足
S(t0-t)=0,t<0
S(t)=0,t>t0
其输入端的信号必须在它输出最大信噪比的时刻 t0之前结束。
对于接收机来说,t0是时间延迟，通常总是希望时间延迟尽可能小，因此一般情况可取 t0=T
若输入信号为 s(t),则匹配滤波器的输出信号为
so(t)=s(t)*h(t)
dtKsts )()( 0
)( 0ttKR 匹配滤波器的输出是输入的自相关函数例：设输入信号如图 8 - 13(a)所示，试求该信号的匹配滤波器传输函数和输出信号波形。
1 0()
0
tst
o th e r w is e
输入信号 s(t)的频谱函数为
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匹配滤波器的传输特性为
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选择 t0=τ，可得
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h(t)=s(t0-t)= s(τ-t)
通信系统的质量优劣主要取决于接收机的性能。这是因为，影响信息可靠传输的不利因素直接作用在接收端。通信理论中一个重要的问题：最佳接收或信号接收最佳化
最佳接收理论研究从噪声中如何最好地提取有用信号。,最好,或,最佳,的概念是在某个准则意义下说的一个相对概念。
这就是说，在某个准则下是最佳的接收机，
在另一准则下就并非一定是最佳的数字信号接收的统计表述
在噪声背景下数字信号接收过程是一个统计判决问题。数字通信系统的统计模型：
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假设 s1(t)和 s2(t)在观察时刻的取值为 a1和 a2,
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最大似然比判决准则确知信号的最佳接收
到达接收机的信号分为两类
确知信号
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所有参数 (幅度、频率、相位、到达时间等 )都确知，未知的只是信号出现与否
随参信号
随机相位信号
随机振幅二进制确知信号的最佳接收机设到达接收机的两个可能信号为 s1(t)和 s2(t),它们的持续时间为 (0,T)。且有相等的能量。 n(t)是高斯白噪声，其均值为零、单边功率谱密度为 n0
现在我们的目的是要设计一个接收机，它能在噪声干扰下有最小的错误概率检测信号观察到的波形 y(t)可表示为
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对应的接收机结构称为,相关接收机,
相乘器 积分器 相加器相乘器 积分器 相加器判决器
S1(t)
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U1
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简化的相关接收机积分器×
y ( t ) s 1 ( t ) 输出积分器×
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比较器二进制确知信号最佳接收机的性能当发送信号为 s1(t)时，接收机输入信号为
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其中,n(t)是高斯白噪声，其均值为零，方差为 σ2n。若
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正确判决
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由随机信号分析可知
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由此看出，所求的最佳接收机的极限性能只与先验概率 P(s1)和 P(s2)、噪声功率诺密度 n0
及两信号之差的能量有关，而与、
s1(t)及 s2(t)本身的具体形式无关分析 Pe与先验概率的关系
P(s1)=0,P(s2)＝ 1或反之 P(s1)＝ 1，而 P(s2)=0时
Pe=0 这意味着接收端知道发送的是什么，故不会有错先验等概时 Pe只与两信号之差的能量及 n0有关当 P(s1)/ P(s2)<>1时 Pe比先验等概时略小在 A一定的情况下，先验等概时的错误概率 Pe最大，即，先验等概对于差错性能而言是一种最不利的情况若先验不等概，则得到的 Pe比等概时略有下降先验分布是不易确知的，故实际中常常使用先验等概的假设匹配滤波器
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输出 y(t)=s0(t)+n0(t)
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由于它是信号频谱的复共扼，故称为 匹配滤波器冲激响应
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