控制工程导论讲授：卢 京 潮作者：周 雪 琴 张 洪 才出版：西北工业大学出版社控制工程导论本次课程作业 (25)
4 — 7,8
绘制根轨迹的法则法则 5 渐近线
mn
zp
n
i
m
j
ii
a?
1 1?
mn
k
a?
)12(
法则 1 根轨迹的起点和终点法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性法则 3 实轴上的根轨迹法则 4 根之和?
n
i
i C
1
)2( mn
法则 6 分离点
m
j j
n
i i zdpd 11
11
法则 7 与虚轴交点法则 8 出射角 /入射角 1) π( 2 km
1j
)jz(s)n
1i i
p(s
0)(Im)(Re jDjD
控制工程导论
（第 25 讲）
§ 4.1 概述
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则
§ 4.3 广义根轨迹和零度根轨迹
§ 4.4 系统性能分析与估算
§ 4 根轨迹法控制工程导论
（第 25 讲）
§ 4.3 广义根轨迹和零度根轨迹
§ 4 根轨迹法
§ 4.3 广义根轨迹 和零度根轨迹 (1)
例 2 系统开环传递函数
04141)( 23 assssD解,(1)
② 渐近线,31a 1 8 0,60a?
① 实轴根轨迹,[-∞,0]
)1(
4)()(
2?
ss
assG,a=0→∞ 变化，绘制根轨迹； x?1时,F(s)
③ 分离点,05.021 dd
整理得,05.03d 61 d
④ 与虚轴交点：
§ 4.3.1 广义根轨迹 — 除 K* 之外 其他参数变化时系统的根轨迹
223
*
)5.0(
4
4
4)(
ss
a
sss
asG构造,等效开环传递函数,
2725.04 2 dda d
04)(Re 2 ajD
04)(Im 3jD
21
1a
044)( 23 assssD
§ 4.3.1 参数根轨迹 （ 1）
解,(2) x?1 时，对应于分离点 d,ad=2/27
)1(
)272(41
)1(
)(41
)( 2
272
2?
ss
s
ss
as
sG
a
)
3
2()
6
1(
)
27
2(
4
1
)
27
2(
4
1)1(
)
27
2(
4
1
)(
22
F
ss
s
sss
s
s
2
*
)5.0(
4)(
ss
asG
§ 4.3.1 参数根轨迹 （ 2）
例 3 单位反馈系统的开环传递函数为
01 5 9 9 06 1 5)( 23 ssTssD解 I,
② 出射角, )12(302 k
180,60?
① 实轴上的根轨迹,[-∞,-587.7],[-27.7,0]
)1(
)26(615)(
2?
Tss
ssG,T=0→∞,绘制根轨迹。
④ 分离点：
7.5 8 7
1
7.27
13
ddd
整理得,04 7 9 7 01 2 3 12 dd
解根：
1 1 9 0,5.40 21 dd
0 00 5 5.07.5 877.27 3 d ddT d
33
2
*
)7.587)(7.27(1)1 5 9 9 0615(1
)( s
SsT
s
ssT
sG
③ 虚轴交点, 01 5 9 9 0)(Re 2jD
06 1 5)(Im 3 TjD
45.12615990
0 3 8 5.01 5 9 9 06 1 5T
§ 4.3.1 参数根轨迹 （ 3）
例 3 单位反馈系统的开环传递函数为
01 5 9 9 06 1 5)( 23 ssTssD解 II,
④ 入射角, 180,60?
① 实轴根轨迹,[-∞,-587.7],[-27.7,0]
)1(
)26(615)(
2?
Tss
ssG,T=0→∞,绘制根轨迹。
② 分离点,1190d
0 0 0 5 5.0?dT
)1)(7.587)(7.27()(
3
*
2 ss
TssG
③ 虚轴交点,45.126
0358.0?T
s
§ 4.3 广义根轨迹
n
j
j
m
i
i
n
m
ps
zsK
pspsps
zszsK
sHsG
1
1
*
21
1
*
)(
)(
)())((
)()(
)()(
1
)(
)(
)()(
1
1*
21
1
*
n
j
j
m
i
i
n
m
ps
zs
K
pspsps
zszsK
sHsG
— 模值条件
— 相角条件
§ 4.3.2 零度根轨迹 — 系统实质上处于正反馈时的根轨迹
1)())(( )()()()(
21
1
*?
n
m
pspsps
zszsKsHsG
n
j
j
m
i
i pszssHsG
11
)()()()(?k2
)()(1
)()(
sHsG
sGs?F
绘制 零度 根轨迹的基本法则
★ 法则 5 渐近线
mn
zp
n
i
m
j
ii
a?
1 1?
法则 1 根轨迹的起点和终点法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性
★ 法则 3 实轴上的根轨迹法则 4 根之和?
n
i
i C
1
)2( mn
法则 6 分离点
m
j j
n
i i zdpd 11
11
法则 7 与虚轴交点
★ 法则 8 出射角 /入射角
0)(Im)(Re jDjD
mna
k2
m
1j
)jz(s)n
1i i
p(s?k2
§ 4.3.2 零度根轨迹 （ 1）
例 4 系统结构图如图所示,K*= 0→∞,变化,
试分别绘制 0°,180° 根轨迹。
)1)(1(
)1(
22
)1()(
2 jsjs
sK
ss
sKsG
解,
① 实轴轨迹,[-∞,-1]
0
2
v
KK k
② 出射角, 1 8 0]90[90?
180?
③ 分离点：
1
1
22
)1(21
1
1
2
ddd
d
jidjd
整理得,0)2(22 dddd
解根：
02?d
21 11 21 dd d jdjdK 21
11 0
2
d
d d
jdjdK
(1) 180o根轨迹 (2) 0o根轨迹
[-1,∞]
0]90[90?
0?
21d
§ 4.3.2 零度根轨迹 （ 2）
例 5 系统开环传递函数,分别绘制 0o,180o根轨迹 。
解,
③ 渐近线,42
133
a?
902 )12( ka
① 实轴上的根轨迹,[-3,-1]
0
27*
v
KK
② 出射角, )12(3180 k
1 2 0,0321 k
3
*
)3(
)1()(
s
sKsG
3
*
)3(
)1()(
s
sKsG
(1) 绘制 180o根轨迹
§ 4.3.2 零度根轨迹 （ 3）
解,
④ 渐近线,42)133(a?
180,022 ka
① 实轴轨迹,[-∞,-3],[-1,-∞]
0
27*
v
KK
② 出射角, k231 8 0
1 8 0,603 )12( k
3
*
)3(
)1()(
s
sKsG
(2) 绘制 0o根轨迹
③ 分离点：
1
1
3
3
dd
整理得,333 dd
2713 03* dd ddK
0 d
§ 4.3.2 零度根轨迹 （ 4）
0
27*
v
KK
3
*
)3(
)1()(
s
sKsG
0o根轨迹渐近线,4a?
1 8 0,0a?
出射角, 1 8 0,60?
分离点,27*?
dK0?d
0)1()3()( *3 sKssD
0)1(9)( **23 sKsssD
27*** KK
27*** KK
)1()27()3( **3 sKs
)9(
)1()(
2
**
*
ss
sKsG 1
)9(
)1()(
2
**
*?
ss
sKsG
演示
027:*K
270:**K
课程小结
§ 4.3 广义根轨迹和零度根轨迹
§ 4.3.1 参数根轨迹
— 构造等效开环传递函数
§ 4.3.2 零度根轨迹
— 注意与绘制 180o根轨迹不同的 3条法则控制工程导论本次课程作业 (25)
4 — 7,8
控制工程导论讲授：卢 京 潮作者：周 雪 琴 张 洪 才出版：西北工业大学出版社控制工程导论本次课程作业 (26)
4 — 11,12,13,14
根轨迹法的基本概念
根轨迹,系统某一参数由 0 → ∞ 变化时，系统闭环极点在 s 平面相应变化所描绘出来的轨迹
闭环极点 与开环零点、开环极点及 K* 均有关相角条件：
模值条件：
根轨迹方程
根轨迹增益
闭环零点 = 前向通道零点 + 反馈通道极点绘制根轨迹的基本法则
★ 法则 5 渐近线
mn
zp
n
i
m
j
ii
a?
1 1?
法则 1 根轨迹的起点和终点法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性
★ 法则 3 实轴上的根轨迹法则 4 根之和?
n
i
i C
1
)2( mn
法则 6 分离点
m
j j
n
i i zdpd 11
11
法则 7 与虚轴交点
★ 法则 8 出射角 /入射角
0)(Im)(Re jDjD
mn
k
a?
)12(
)12(m
1j
)jz(s)n
1i i
p(s
k
控制工程导论
（第 26 讲）
§ 4.1 概述
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则
§ 4.3 广义根轨迹和零度根轨迹
§ 4.4 系统性能分析与估算
§ 4 根轨迹法控制工程导论
（第 26 讲）
§ 4.4 系统性能分析与估算
§ 4 根轨迹法
§ 4.4 系统性能分析与估算 （ 1）
例 1 已知系统结构图,K*= 0→∞,绘制系统根轨迹并确定：
⑴ 使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围；
⑶ 当?35 时,?1,2?？相应 K
利用根轨迹法分析系统性能的基本步骤
⑴ 绘制系统根轨迹；
⑵ 依题意确定闭环极点位置；
⑶ 确定闭环零点；
⑷ 保留主导极点，利用零点极点法估算系统性能
⑵ 复极点对应 x?0.5 (b?60o) 时的 K 值及闭环极点位置；
⑷ 当 K*=4 时,求?1,2,3 并估算系统动态指标 (,ts)。
§ 4.4 系统性能分析与估算 （ 2）
)4)(2()(
*
sss
KsG解,绘制系统根轨迹
② 渐近线,23)42(a?
1 8 0,60a?
① 实轴上的根轨迹,[-∞,-4],[-2,0]
1
8*
v
KK
③ 分离点,0
4
1
2
11?
ddd
整理得,08123 2 dd
解根,1 5 5.3;8 4 5.0 21 dd
④ 虚轴交点：
08.342 845.0* dd dddK
086)4)(2()( *23* KsssKssssD
06)(Re *2 KjD
08)(Im 3jD 8 2 8.28
48*K
§ 4.4 系统性能分析与估算（ 3）
10x依题，对应设
4808.3 * K
应有：
解根：
*2 )6(
86
Knn
n
比较系数
⑴ 使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围有：
68488808.3 * KK
⑵ 复极点对应 x?0.5 (b?60o) 时的 K 值及闭环极点位置
nn j?xx 22,1 1
由根之和 326420?x nC
nn?x
x 626 5.0
3
*23* 86)4)(2()( KsssKssssD
3.8
34
*K
n
667.46
1547.1667.0
0375.18
3
2,1
*
n
j
KK
))()(( 321 sss
)6(66 223 nnn sss
)6)(2( 22 nnn sssx
§ 4.4 系统性能分析与估算（ 4）
*23 86)( KssssD
2s
解根：
试根
⑶ 当?35 时,?1,2?？相应 K
⑷ 当 K*=4 时,求?1,2,3 并估算系统动态指标 (,ts)
383.4
86
383.4
)( *23
s
Ksss
s
sD
3 8 3.4
5 0 9.08 0 8.0
3
2,1
j
)3)(5( 2 sss
6583.15.02,1 j
8 7 5.18158* KK
23 5ss?
ss 82?
ss 52?
*3 Ks?
153?s
s? 3?
*23 865 Kssss
0 15
*K
15*?K
442 333*K
383.43
令
9127.0617.12 ss
§ 4.4 系统性能分析与估算（ 5）
视?1,2 为主导极点
⑷ 当 K*=4 时,求?1,2,3 并估算系统动态指标 (,ts)
4
383.4
509.0808.0
3
2,1
z
j
*
*
*
*
)4)(2(
)4(
)4)(2(
1
)2()(
Ksss
sK
sss
K
ss
K
s
F
)5 0 9.08 0 8.0)[3 8 3.4(
)4(*4*
jss
sKK
)9 1 2 7.06 1 7.1)[3 8 3.4(
)4(4
2
sss
s
9 1 2 7.06 1 7.1
9 1 2 7.04
2
ss
8 46 3.0)9 55.02(6 17.1
9 55.09 12 7.0
x
n
33.48 0 8.05.35.3
6 8 9.0 00100 2
nst
e
x?
xx?
§ 4.4 系统性能分析与估算 （ 6）
例 1 系统结构图如图所示。
)3(4
2
)3)(2(
)4()( **
ss
K
s
s
sss
sKsG解,(1)
1
3*
v
KK
（ 1）绘制当 K*= 0→∞ 时系统的根轨迹；
（ 2）使复极点对应的 x?0.5 (b?60o)时的 K 及
])3()[2(
)4(
)3(
1
)3)(2(
)4(
)( *
*
*
*
Ksss
sK
ss
K
sss
sK
s
F
62.1
17.5 0000
st
(3)
（ 3）估算系统动态性能指标 (,ts)
(2) 当 x?0.5 (b?60o)时
5 9 8.25.12,1 j
95 9 8.25.13 2211*K
33* KK
§ 4.4 系统性能分析与估算 （ 7）
例 2 PID控制系统结构图如图所示。
)2()(
*
ss
KsG
P
解,(1) P,
1
2*
v
KK
4.109
90
入射角出射角
(3) PI:
(2) PD:
设,K*= 0→∞,采用 控制,分别绘根轨迹。
5.1
25.0
1
I
D
P
K
K
K
PID
PI
PD
P
)2(
)125.0()( *
ss
sKsG
PD
1
2*
v
KK
)2(
)5.1(
)2(
)5.11()(
2
**
ss
sK
ss
sKsG
PI
2
43 *
v
KK
(4) PID:
)2(
)5.125.01()( *
ss
ssKsG
P ID
2
43 *
v
KK
)2(
]22[25.0
2
*
ss
jsK
§ 4.4 系统性能分析与估算 （ 8）
例 3 单位反馈系统的开环传递函数为
)2)(1()(
*
sss
KsG解,
② 渐近线,1a 1 8 0,60
a?
① 实轴上,[-∞,-2],[-1,0]
1
2*
v
KK
)2)(1(
)1()( *
sss
TsKsG,选定 K
*值，绘制
③ 分离点,0
2
1
1
11?
ddd
解根,423.01d
④ 虚轴交点：
3 8 5.021* dddK d
当 T变化时的根轨迹。
0)1()2)(1()( * TsKssssD
*23
**
23)( Ksss
TsKsG
023)( *23 KssssD 02)(I m [ 03)(R e [ 3
*2
jD
KjD
6
2
*K
控制工程导论本次课程作业 (26)
4 — 11,12,13,14
4 — 7,8
绘制根轨迹的法则法则 5 渐近线
mn
zp
n
i
m
j
ii
a?
1 1?
mn
k
a?
)12(
法则 1 根轨迹的起点和终点法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性法则 3 实轴上的根轨迹法则 4 根之和?
n
i
i C
1
)2( mn
法则 6 分离点
m
j j
n
i i zdpd 11
11
法则 7 与虚轴交点法则 8 出射角 /入射角 1) π( 2 km
1j
)jz(s)n
1i i
p(s
0)(Im)(Re jDjD
控制工程导论
（第 25 讲）
§ 4.1 概述
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则
§ 4.3 广义根轨迹和零度根轨迹
§ 4.4 系统性能分析与估算
§ 4 根轨迹法控制工程导论
（第 25 讲）
§ 4.3 广义根轨迹和零度根轨迹
§ 4 根轨迹法
§ 4.3 广义根轨迹 和零度根轨迹 (1)
例 2 系统开环传递函数
04141)( 23 assssD解,(1)
② 渐近线,31a 1 8 0,60a?
① 实轴根轨迹,[-∞,0]
)1(
4)()(
2?
ss
assG,a=0→∞ 变化，绘制根轨迹； x?1时,F(s)
③ 分离点,05.021 dd
整理得,05.03d 61 d
④ 与虚轴交点：
§ 4.3.1 广义根轨迹 — 除 K* 之外 其他参数变化时系统的根轨迹
223
*
)5.0(
4
4
4)(
ss
a
sss
asG构造,等效开环传递函数,
2725.04 2 dda d
04)(Re 2 ajD
04)(Im 3jD
21
1a
044)( 23 assssD
§ 4.3.1 参数根轨迹 （ 1）
解,(2) x?1 时，对应于分离点 d,ad=2/27
)1(
)272(41
)1(
)(41
)( 2
272
2?
ss
s
ss
as
sG
a
)
3
2()
6
1(
)
27
2(
4
1
)
27
2(
4
1)1(
)
27
2(
4
1
)(
22
F
ss
s
sss
s
s
2
*
)5.0(
4)(
ss
asG
§ 4.3.1 参数根轨迹 （ 2）
例 3 单位反馈系统的开环传递函数为
01 5 9 9 06 1 5)( 23 ssTssD解 I,
② 出射角, )12(302 k
180,60?
① 实轴上的根轨迹,[-∞,-587.7],[-27.7,0]
)1(
)26(615)(
2?
Tss
ssG,T=0→∞,绘制根轨迹。
④ 分离点：
7.5 8 7
1
7.27
13
ddd
整理得,04 7 9 7 01 2 3 12 dd
解根：
1 1 9 0,5.40 21 dd
0 00 5 5.07.5 877.27 3 d ddT d
33
2
*
)7.587)(7.27(1)1 5 9 9 0615(1
)( s
SsT
s
ssT
sG
③ 虚轴交点, 01 5 9 9 0)(Re 2jD
06 1 5)(Im 3 TjD
45.12615990
0 3 8 5.01 5 9 9 06 1 5T
§ 4.3.1 参数根轨迹 （ 3）
例 3 单位反馈系统的开环传递函数为
01 5 9 9 06 1 5)( 23 ssTssD解 II,
④ 入射角, 180,60?
① 实轴根轨迹,[-∞,-587.7],[-27.7,0]
)1(
)26(615)(
2?
Tss
ssG,T=0→∞,绘制根轨迹。
② 分离点,1190d
0 0 0 5 5.0?dT
)1)(7.587)(7.27()(
3
*
2 ss
TssG
③ 虚轴交点,45.126
0358.0?T
s
§ 4.3 广义根轨迹
n
j
j
m
i
i
n
m
ps
zsK
pspsps
zszsK
sHsG
1
1
*
21
1
*
)(
)(
)())((
)()(
)()(
1
)(
)(
)()(
1
1*
21
1
*
n
j
j
m
i
i
n
m
ps
zs
K
pspsps
zszsK
sHsG
— 模值条件
— 相角条件
§ 4.3.2 零度根轨迹 — 系统实质上处于正反馈时的根轨迹
1)())(( )()()()(
21
1
*?
n
m
pspsps
zszsKsHsG
n
j
j
m
i
i pszssHsG
11
)()()()(?k2
)()(1
)()(
sHsG
sGs?F
绘制 零度 根轨迹的基本法则
★ 法则 5 渐近线
mn
zp
n
i
m
j
ii
a?
1 1?
法则 1 根轨迹的起点和终点法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性
★ 法则 3 实轴上的根轨迹法则 4 根之和?
n
i
i C
1
)2( mn
法则 6 分离点
m
j j
n
i i zdpd 11
11
法则 7 与虚轴交点
★ 法则 8 出射角 /入射角
0)(Im)(Re jDjD
mna
k2
m
1j
)jz(s)n
1i i
p(s?k2
§ 4.3.2 零度根轨迹 （ 1）
例 4 系统结构图如图所示,K*= 0→∞,变化,
试分别绘制 0°,180° 根轨迹。
)1)(1(
)1(
22
)1()(
2 jsjs
sK
ss
sKsG
解,
① 实轴轨迹,[-∞,-1]
0
2
v
KK k
② 出射角, 1 8 0]90[90?
180?
③ 分离点：
1
1
22
)1(21
1
1
2
ddd
d
jidjd
整理得,0)2(22 dddd
解根：
02?d
21 11 21 dd d jdjdK 21
11 0
2
d
d d
jdjdK
(1) 180o根轨迹 (2) 0o根轨迹
[-1,∞]
0]90[90?
0?
21d
§ 4.3.2 零度根轨迹 （ 2）
例 5 系统开环传递函数,分别绘制 0o,180o根轨迹 。
解,
③ 渐近线,42
133
a?
902 )12( ka
① 实轴上的根轨迹,[-3,-1]
0
27*
v
KK
② 出射角, )12(3180 k
1 2 0,0321 k
3
*
)3(
)1()(
s
sKsG
3
*
)3(
)1()(
s
sKsG
(1) 绘制 180o根轨迹
§ 4.3.2 零度根轨迹 （ 3）
解,
④ 渐近线,42)133(a?
180,022 ka
① 实轴轨迹,[-∞,-3],[-1,-∞]
0
27*
v
KK
② 出射角, k231 8 0
1 8 0,603 )12( k
3
*
)3(
)1()(
s
sKsG
(2) 绘制 0o根轨迹
③ 分离点：
1
1
3
3
dd
整理得,333 dd
2713 03* dd ddK
0 d
§ 4.3.2 零度根轨迹 （ 4）
0
27*
v
KK
3
*
)3(
)1()(
s
sKsG
0o根轨迹渐近线,4a?
1 8 0,0a?
出射角, 1 8 0,60?
分离点,27*?
dK0?d
0)1()3()( *3 sKssD
0)1(9)( **23 sKsssD
27*** KK
27*** KK
)1()27()3( **3 sKs
)9(
)1()(
2
**
*
ss
sKsG 1
)9(
)1()(
2
**
*?
ss
sKsG
演示
027:*K
270:**K
课程小结
§ 4.3 广义根轨迹和零度根轨迹
§ 4.3.1 参数根轨迹
— 构造等效开环传递函数
§ 4.3.2 零度根轨迹
— 注意与绘制 180o根轨迹不同的 3条法则控制工程导论本次课程作业 (25)
4 — 7,8
控制工程导论讲授：卢 京 潮作者：周 雪 琴 张 洪 才出版：西北工业大学出版社控制工程导论本次课程作业 (26)
4 — 11,12,13,14
根轨迹法的基本概念
根轨迹,系统某一参数由 0 → ∞ 变化时，系统闭环极点在 s 平面相应变化所描绘出来的轨迹
闭环极点 与开环零点、开环极点及 K* 均有关相角条件：
模值条件：
根轨迹方程
根轨迹增益
闭环零点 = 前向通道零点 + 反馈通道极点绘制根轨迹的基本法则
★ 法则 5 渐近线
mn
zp
n
i
m
j
ii
a?
1 1?
法则 1 根轨迹的起点和终点法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性
★ 法则 3 实轴上的根轨迹法则 4 根之和?
n
i
i C
1
)2( mn
法则 6 分离点
m
j j
n
i i zdpd 11
11
法则 7 与虚轴交点
★ 法则 8 出射角 /入射角
0)(Im)(Re jDjD
mn
k
a?
)12(
)12(m
1j
)jz(s)n
1i i
p(s
k
控制工程导论
（第 26 讲）
§ 4.1 概述
§ 4.2 绘制根轨迹的基本法则
§ 4.3 广义根轨迹和零度根轨迹
§ 4.4 系统性能分析与估算
§ 4 根轨迹法控制工程导论
（第 26 讲）
§ 4.4 系统性能分析与估算
§ 4 根轨迹法
§ 4.4 系统性能分析与估算 （ 1）
例 1 已知系统结构图,K*= 0→∞,绘制系统根轨迹并确定：
⑴ 使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围；
⑶ 当?35 时,?1,2?？相应 K
利用根轨迹法分析系统性能的基本步骤
⑴ 绘制系统根轨迹；
⑵ 依题意确定闭环极点位置；
⑶ 确定闭环零点；
⑷ 保留主导极点，利用零点极点法估算系统性能
⑵ 复极点对应 x?0.5 (b?60o) 时的 K 值及闭环极点位置；
⑷ 当 K*=4 时,求?1,2,3 并估算系统动态指标 (,ts)。
§ 4.4 系统性能分析与估算 （ 2）
)4)(2()(
*
sss
KsG解,绘制系统根轨迹
② 渐近线,23)42(a?
1 8 0,60a?
① 实轴上的根轨迹,[-∞,-4],[-2,0]
1
8*
v
KK
③ 分离点,0
4
1
2
11?
ddd
整理得,08123 2 dd
解根,1 5 5.3;8 4 5.0 21 dd
④ 虚轴交点：
08.342 845.0* dd dddK
086)4)(2()( *23* KsssKssssD
06)(Re *2 KjD
08)(Im 3jD 8 2 8.28
48*K
§ 4.4 系统性能分析与估算（ 3）
10x依题，对应设
4808.3 * K
应有：
解根：
*2 )6(
86
Knn
n
比较系数
⑴ 使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围有：
68488808.3 * KK
⑵ 复极点对应 x?0.5 (b?60o) 时的 K 值及闭环极点位置
nn j?xx 22,1 1
由根之和 326420?x nC
nn?x
x 626 5.0
3
*23* 86)4)(2()( KsssKssssD
3.8
34
*K
n
667.46
1547.1667.0
0375.18
3
2,1
*
n
j
KK
))()(( 321 sss
)6(66 223 nnn sss
)6)(2( 22 nnn sssx
§ 4.4 系统性能分析与估算（ 4）
*23 86)( KssssD
2s
解根：
试根
⑶ 当?35 时,?1,2?？相应 K
⑷ 当 K*=4 时,求?1,2,3 并估算系统动态指标 (,ts)
383.4
86
383.4
)( *23
s
Ksss
s
sD
3 8 3.4
5 0 9.08 0 8.0
3
2,1
j
)3)(5( 2 sss
6583.15.02,1 j
8 7 5.18158* KK
23 5ss?
ss 82?
ss 52?
*3 Ks?
153?s
s? 3?
*23 865 Kssss
0 15
*K
15*?K
442 333*K
383.43
令
9127.0617.12 ss
§ 4.4 系统性能分析与估算（ 5）
视?1,2 为主导极点
⑷ 当 K*=4 时,求?1,2,3 并估算系统动态指标 (,ts)
4
383.4
509.0808.0
3
2,1
z
j
*
*
*
*
)4)(2(
)4(
)4)(2(
1
)2()(
Ksss
sK
sss
K
ss
K
s
F
)5 0 9.08 0 8.0)[3 8 3.4(
)4(*4*
jss
sKK
)9 1 2 7.06 1 7.1)[3 8 3.4(
)4(4
2
sss
s
9 1 2 7.06 1 7.1
9 1 2 7.04
2
ss
8 46 3.0)9 55.02(6 17.1
9 55.09 12 7.0
x
n
33.48 0 8.05.35.3
6 8 9.0 00100 2
nst
e
x?
xx?
§ 4.4 系统性能分析与估算 （ 6）
例 1 系统结构图如图所示。
)3(4
2
)3)(2(
)4()( **
ss
K
s
s
sss
sKsG解,(1)
1
3*
v
KK
（ 1）绘制当 K*= 0→∞ 时系统的根轨迹；
（ 2）使复极点对应的 x?0.5 (b?60o)时的 K 及
])3()[2(
)4(
)3(
1
)3)(2(
)4(
)( *
*
*
*
Ksss
sK
ss
K
sss
sK
s
F
62.1
17.5 0000
st
(3)
（ 3）估算系统动态性能指标 (,ts)
(2) 当 x?0.5 (b?60o)时
5 9 8.25.12,1 j
95 9 8.25.13 2211*K
33* KK
§ 4.4 系统性能分析与估算 （ 7）
例 2 PID控制系统结构图如图所示。
)2()(
*
ss
KsG
P
解,(1) P,
1
2*
v
KK
4.109
90
入射角出射角
(3) PI:
(2) PD:
设,K*= 0→∞,采用 控制,分别绘根轨迹。
5.1
25.0
1
I
D
P
K
K
K
PID
PI
PD
P
)2(
)125.0()( *
ss
sKsG
PD
1
2*
v
KK
)2(
)5.1(
)2(
)5.11()(
2
**
ss
sK
ss
sKsG
PI
2
43 *
v
KK
(4) PID:
)2(
)5.125.01()( *
ss
ssKsG
P ID
2
43 *
v
KK
)2(
]22[25.0
2
*
ss
jsK
§ 4.4 系统性能分析与估算 （ 8）
例 3 单位反馈系统的开环传递函数为
)2)(1()(
*
sss
KsG解,
② 渐近线,1a 1 8 0,60
a?
① 实轴上,[-∞,-2],[-1,0]
1
2*
v
KK
)2)(1(
)1()( *
sss
TsKsG,选定 K
*值，绘制
③ 分离点,0
2
1
1
11?
ddd
解根,423.01d
④ 虚轴交点：
3 8 5.021* dddK d
当 T变化时的根轨迹。
0)1()2)(1()( * TsKssssD
*23
**
23)( Ksss
TsKsG
023)( *23 KssssD 02)(I m [ 03)(R e [ 3
*2
jD
KjD
6
2
*K
控制工程导论本次课程作业 (26)
4 — 11,12,13,14
