控制工程导论讲授：卢 京 潮作者：周 雪 琴 张 洪 才出版：西北工业大学出版社本次课程作业 (35)
5 — 12
控制工程导论控制工程导论
（第 35 讲）
§ 5,频率响应法
§ 5.1 频率特性的一般概念
§ 5.2 典型环节的频率特性
§ 5.3 系统开环频率特性
§ 5.4 稳定性分析
§ 5.5 系统闭环频率特性和性能指标
§ 5.6 开环对数频率特性和时域指标
§ 5.7 传递函数的实验确定法控制工程导论
（第 35 讲）
§ 5,频率响应法
§ 5.4 稳定性分析 （ 2）
§ 5.4.2 奈氏判据的应用 (3)
例 3 已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性 。
解 依题有
0)0( jG
K
(稳定 )
)1T)(1T()( 21 sss
KsG
2 7 00)( jG
)(1 小K 0?N
00202 NPZ
)(2 大K 1N
2)1(202 NPZ
(不稳定 )
90)0( jG
§ 5.4.2 奈氏判据的应用 (4)
例 4 已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性 。
解 依题有
0)0( jG
K
(稳定 )
)1T)(1T(
)1()(
21
2
sss
sKsG?
2 7 00)( jG
)(1 小K 0?N
00202 NPZ
)(2 大K 1N
2)1(202 NPZ
(不稳定 )
1 8 0)0( jG
21 TTτ
§ 5.4.3 对数稳定判据 (1)
例 5 已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性 。
NPZ 2
K (稳定 )
)1T)(1T()( 21 sss
KsG
1K
000 NNN
00202 NPZ
2K
110 NNN
2)1(202 NPZ
(不稳定 )
NNN
对数稳定判据
§ 5.4.3 对数稳定判据 (2)
1 8 0)0( KjG
例 6 已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性 。
K
(不稳定 )
)1T)(1T)(1T()( 321 sss
KsG
1K
000 NNN
10212 NPZ
2K
2
10
2
1
NNN
021212 NPZ
(稳定 )
2 7 00)( jG
3K
2
11
2
1
NNN
2)21(212 NPZ
(不稳定 )
§ 5.4.3 对数稳定判据 (3)
)12.0)(25(
1 0 0 0)(
2 ssssG
例 1
0)0( jG
3 6 00)( jG
)15](1)5[(
40
2
ss
s
90)0( jG
1 3 5)5( jG
315)5( jG
110 NNN
2)1(202 NPZ
§ 5.4.3 对数稳定判据 (4)
注意问题
Z
闭环系统不稳定0?
0?
0?
闭环系统稳定有误！
2,N 的最小单位为二分之一
1,当 [s]平面虚轴上有开环极点时，奈氏路径要从其右边绕出半径为无穷小的圆弧； [G]平面对应要补充大圆弧
3,
本次课程作业 (35)
5 — 12
控制工程导论
§ 5.4 频域稳定判据
§ 5.4 频域稳定判据系统稳定的充要条件 — 全部闭环极点均具有负的实部代数稳定判据 —
由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能的问题频域稳定判据 — Nyquist 判据对数稳定判据
Ruoth判据由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性用实验方法容易获得系统的频率特性可进一步研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能的问题控制工程导论讲授：卢 京 潮作者：周 雪 琴 张 洪 才出版：西北工业大学出版社本次课程作业 (36)
5 — 13
控制工程导论控制工程导论
（第 36 讲）
§ 5,频率响应法
§ 5.1 频率特性的一般概念
§ 5.2 典型环节的频率特性
§ 5.3 系统开环频率特性
§ 5.4 稳定性分析
§ 5.5 系统闭环频率特性和性能指标
§ 5.6 开环对数频率特性和时域指标
§ 5.7 传递函数的实验确定法控制工程导论
（第 36 讲）
§ 5,频率响应法
§ 5.4 稳定性分析 （ 3）
§ 5.5 稳定裕度 (1)
时域（ t）
系统动态性能稳定边界 稳定程度频域（ w）
稳定程度虚轴 阻尼比 x
到 (-1,j0)的距离(-1,j0)
稳定裕度
(开环频率指标 )
§ 5.5 稳定裕度 (2)
§ 5.5.1 稳定裕度的定义的 几何意义h,?
cω截止频率
相角裕度 )(180 cjG w
1)(?cjωG
gω相角交界频率
h幅值裕度 )(
1
gjG
h w?
180)( gjωG
的 物理意义h,?
系统在 方面的稳定储备量?
h 幅值相角一般要求 40?
2?h
§ 5.5 稳定裕度 (3)
§ 5.5.2稳定裕度的计算
)(1 8 0 cjG w
解法 I：由幅相曲线求 。h,?
例 3
)10)(2(
100
)110)(12(
5)(
sssssssG
，求 。h,?
(1)令 1)(?cjωG
2222 102
100
ccc www
1 0 0 0]4 0 01 0 4[ 242 ccc www
9.2?cw试根得
)9.2(180
10
9.2a r c t a n
2
9.2a r c t a n901 8 0
5.181.164.5590
§ 5.5 稳定裕度 (4)
)(
1
gjG
h w?
(2.1)令 180)(
gw?
10a r c t a n2a r c t a n90
gg ww
90t a n
20
1
102
2
g
gg
w
ww
可得 90
10a r c t a n2a r c t a n
gg ww
202?gw
47.4?gw
)dB6.7(4.2100 102
47.42222?
gggg wwww
§ 5.5 稳定裕度 (5)
)(
1
gjG
h w?
(2.2)将 G(jw)分解为实部、虚部形式
)10)(2(
100)(
wwww jjjjG
令 0)](I m [ YGjG w
)1 0 0)(4(
)20(1 0 01 2 0 0
22
2
www
ww
j YX jGG
47.420gw得
4 1 6 7.0)(gXG w代入实部
4.24 1 6 7.0 1
4167.0)(?gG w
§ 5.5 稳定裕度 (6)
)47.4(
1
jGh?
)110)(12(
5)(
ss
s
sG
由 L(w),1)(?
cjG w
16.310cw得
4.24 1 6 7.0 1
解法 II：由 Bode图求 。h,?
2
10
12
5
cc
c
www
)(1 8 0 cjG w )16.3(180
10
16.3a r c t a n
2
16.3a r c t a n90180
8.145 4 1.1767.5790
9.2?
5.18
47.4102gw
§ 5.5 稳定裕度 (7)
)(1 8 0 cjG w
解,作 L(w)求
cw
法 I:
2
5.26?
cw
5.12
8.4a r c t a n
5
8.4a r c t a n
2
8.4a r c t a n90
5.2
8.4a r c t a n180
3.20218.434.67905.62180
例 4,求 。h,?
)1
5.12
)(1
5
)(1
2
(
)1
5.2
(6
)(
sss
s
s
sG
8.45.2 26cw
法 II,1)(?
cjG w 8.4
5.2
26
cw
cc
c
c
www
w
5.2
26
11
2
5.2
6?
§ 5.5 稳定裕度 (8)
)(
1
gjG
h w?
求 wg
90
5.22
1
5.22a r c t a n
55.12
1
55.12a r c t a n
22
g
gg
g
gg
w
ww
w
ww
整理得
1 3 5.3
5.23 0 0
5.1252
22
222222
g
gggg
w
wwww
1 8 05.12a r c t a n5a r c t a n2a r c t a n905.2a r c t a n)( ggggg wwwww?
905.2a r c t a n2a r c t a n5a r c t a n5.12a r c t a n gggg wwww
90
1a r c t a n BA
BA 1 BA
05.31275.49 24 gg ww 解出 )s/r a d(4.7?gw
课程小结稳定裕度的 概念 (开环频率指标 )
稳定裕度的 定义稳定裕度 计算方法的几何意义h,?
cω截止频率
相角裕度 )(180 cjG w
1)(?cjωG
gω相角交界频率
h幅值裕度 )(
1
gjG
h w?
180)( gjωG
的物理意义h,?稳定裕度的 意义
)(180)( ccL www
)(
11 8 0)(
g
g jGh www
本次课程作业 (36)
5 — 13
控制工程导论
5 — 12
控制工程导论控制工程导论
（第 35 讲）
§ 5,频率响应法
§ 5.1 频率特性的一般概念
§ 5.2 典型环节的频率特性
§ 5.3 系统开环频率特性
§ 5.4 稳定性分析
§ 5.5 系统闭环频率特性和性能指标
§ 5.6 开环对数频率特性和时域指标
§ 5.7 传递函数的实验确定法控制工程导论
（第 35 讲）
§ 5,频率响应法
§ 5.4 稳定性分析 （ 2）
§ 5.4.2 奈氏判据的应用 (3)
例 3 已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性 。
解 依题有
0)0( jG
K
(稳定 )
)1T)(1T()( 21 sss
KsG
2 7 00)( jG
)(1 小K 0?N
00202 NPZ
)(2 大K 1N
2)1(202 NPZ
(不稳定 )
90)0( jG
§ 5.4.2 奈氏判据的应用 (4)
例 4 已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性 。
解 依题有
0)0( jG
K
(稳定 )
)1T)(1T(
)1()(
21
2
sss
sKsG?
2 7 00)( jG
)(1 小K 0?N
00202 NPZ
)(2 大K 1N
2)1(202 NPZ
(不稳定 )
1 8 0)0( jG
21 TTτ
§ 5.4.3 对数稳定判据 (1)
例 5 已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性 。
NPZ 2
K (稳定 )
)1T)(1T()( 21 sss
KsG
1K
000 NNN
00202 NPZ
2K
110 NNN
2)1(202 NPZ
(不稳定 )
NNN
对数稳定判据
§ 5.4.3 对数稳定判据 (2)
1 8 0)0( KjG
例 6 已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性 。
K
(不稳定 )
)1T)(1T)(1T()( 321 sss
KsG
1K
000 NNN
10212 NPZ
2K
2
10
2
1
NNN
021212 NPZ
(稳定 )
2 7 00)( jG
3K
2
11
2
1
NNN
2)21(212 NPZ
(不稳定 )
§ 5.4.3 对数稳定判据 (3)
)12.0)(25(
1 0 0 0)(
2 ssssG
例 1
0)0( jG
3 6 00)( jG
)15](1)5[(
40
2
ss
s
90)0( jG
1 3 5)5( jG
315)5( jG
110 NNN
2)1(202 NPZ
§ 5.4.3 对数稳定判据 (4)
注意问题
Z
闭环系统不稳定0?
0?
0?
闭环系统稳定有误！
2,N 的最小单位为二分之一
1,当 [s]平面虚轴上有开环极点时，奈氏路径要从其右边绕出半径为无穷小的圆弧； [G]平面对应要补充大圆弧
3,
本次课程作业 (35)
5 — 12
控制工程导论
§ 5.4 频域稳定判据
§ 5.4 频域稳定判据系统稳定的充要条件 — 全部闭环极点均具有负的实部代数稳定判据 —
由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能的问题频域稳定判据 — Nyquist 判据对数稳定判据
Ruoth判据由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性用实验方法容易获得系统的频率特性可进一步研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能的问题控制工程导论讲授：卢 京 潮作者：周 雪 琴 张 洪 才出版：西北工业大学出版社本次课程作业 (36)
5 — 13
控制工程导论控制工程导论
（第 36 讲）
§ 5,频率响应法
§ 5.1 频率特性的一般概念
§ 5.2 典型环节的频率特性
§ 5.3 系统开环频率特性
§ 5.4 稳定性分析
§ 5.5 系统闭环频率特性和性能指标
§ 5.6 开环对数频率特性和时域指标
§ 5.7 传递函数的实验确定法控制工程导论
（第 36 讲）
§ 5,频率响应法
§ 5.4 稳定性分析 （ 3）
§ 5.5 稳定裕度 (1)
时域（ t）
系统动态性能稳定边界 稳定程度频域（ w）
稳定程度虚轴 阻尼比 x
到 (-1,j0)的距离(-1,j0)
稳定裕度
(开环频率指标 )
§ 5.5 稳定裕度 (2)
§ 5.5.1 稳定裕度的定义的 几何意义h,?
cω截止频率
相角裕度 )(180 cjG w
1)(?cjωG
gω相角交界频率
h幅值裕度 )(
1
gjG
h w?
180)( gjωG
的 物理意义h,?
系统在 方面的稳定储备量?
h 幅值相角一般要求 40?
2?h
§ 5.5 稳定裕度 (3)
§ 5.5.2稳定裕度的计算
)(1 8 0 cjG w
解法 I：由幅相曲线求 。h,?
例 3
)10)(2(
100
)110)(12(
5)(
sssssssG
，求 。h,?
(1)令 1)(?cjωG
2222 102
100
ccc www
1 0 0 0]4 0 01 0 4[ 242 ccc www
9.2?cw试根得
)9.2(180
10
9.2a r c t a n
2
9.2a r c t a n901 8 0
5.181.164.5590
§ 5.5 稳定裕度 (4)
)(
1
gjG
h w?
(2.1)令 180)(
gw?
10a r c t a n2a r c t a n90
gg ww
90t a n
20
1
102
2
g
gg
w
ww
可得 90
10a r c t a n2a r c t a n
gg ww
202?gw
47.4?gw
)dB6.7(4.2100 102
47.42222?
gggg wwww
§ 5.5 稳定裕度 (5)
)(
1
gjG
h w?
(2.2)将 G(jw)分解为实部、虚部形式
)10)(2(
100)(
wwww jjjjG
令 0)](I m [ YGjG w
)1 0 0)(4(
)20(1 0 01 2 0 0
22
2
www
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j YX jGG
47.420gw得
4 1 6 7.0)(gXG w代入实部
4.24 1 6 7.0 1
4167.0)(?gG w
§ 5.5 稳定裕度 (6)
)47.4(
1
jGh?
)110)(12(
5)(
ss
s
sG
由 L(w),1)(?
cjG w
16.310cw得
4.24 1 6 7.0 1
解法 II：由 Bode图求 。h,?
2
10
12
5
cc
c
www
)(1 8 0 cjG w )16.3(180
10
16.3a r c t a n
2
16.3a r c t a n90180
8.145 4 1.1767.5790
9.2?
5.18
47.4102gw
§ 5.5 稳定裕度 (7)
)(1 8 0 cjG w
解,作 L(w)求
cw
法 I:
2
5.26?
cw
5.12
8.4a r c t a n
5
8.4a r c t a n
2
8.4a r c t a n90
5.2
8.4a r c t a n180
3.20218.434.67905.62180
例 4,求 。h,?
)1
5.12
)(1
5
)(1
2
(
)1
5.2
(6
)(
sss
s
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sG
8.45.2 26cw
法 II,1)(?
cjG w 8.4
5.2
26
cw
cc
c
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www
w
5.2
26
11
2
5.2
6?
§ 5.5 稳定裕度 (8)
)(
1
gjG
h w?
求 wg
90
5.22
1
5.22a r c t a n
55.12
1
55.12a r c t a n
22
g
gg
g
gg
w
ww
w
ww
整理得
1 3 5.3
5.23 0 0
5.1252
22
222222
g
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w
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1 8 05.12a r c t a n5a r c t a n2a r c t a n905.2a r c t a n)( ggggg wwwww?
905.2a r c t a n2a r c t a n5a r c t a n5.12a r c t a n gggg wwww
90
1a r c t a n BA
BA 1 BA
05.31275.49 24 gg ww 解出 )s/r a d(4.7?gw
课程小结稳定裕度的 概念 (开环频率指标 )
稳定裕度的 定义稳定裕度 计算方法的几何意义h,?
cω截止频率
相角裕度 )(180 cjG w
1)(?cjωG
gω相角交界频率
h幅值裕度 )(
1
gjG
h w?
180)( gjωG
的物理意义h,?稳定裕度的 意义
)(180)( ccL www
)(
11 8 0)(
g
g jGh www
本次课程作业 (36)
5 — 13
控制工程导论
