中 国 矿 业 大 学主讲教师,姚香娟概率论与数理统计习题课中 国 矿 业 大 学第一讲 事件及其概率
1,事件及其关系和运算
（ 1）事件之间的关系：
包含、相等,互不相容,对立 (互逆 )
（ 2）事件之间的运算及运算率：
和 (并）、差、积（交）
交换率、结合律、分配率德摩根律 BA? ;BA BA? ;BA
BABA ;ABA
中 国 矿 业 大 学
2,概率的概念和公式
.1)(;0)(1 PP）（
)(1)( APAP有(2)对于任一事件 A,
事件的概率,事件在随机试验中发生的可能性的大小。
概率的运算法则和基本公式：
A,B相互独立
)( ABP )|()( ABPAP
)()( BPAP
一般情况(3)乘法公式中 国 矿 业 大 学
4）
可推广到多个事件的情形,如三个事件
)( BAP?
)()()()( ABPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
一般情况
AB
)()()()( 321321 APAPAPAAAP
)()()()( 321323121 AAAPAAPAAPAAP
也可利用对立事件
BAPBAPBAP 11
化为事件的积中 国 矿 业 大 学
7）全概率公式
k
n
K
k ABPAPBP |
1
nAAA,,,21?
为划分
2）用公式
1）在缩减样本空间中计算。
3）用贝叶斯公式
8）条件概率
)(
)()/(
AP
ABPABP?
)|( ABP i
),,2,1( ni
)(
)(
AP
ABP i?
n
i
ii BPBAP
1
)()|(
)()|( ii BPBAP
中 国 矿 业 大 学
3.事件的概率的计算
1）直接 计算 古典概型（几何概型）
2）利用概率的性质和公式
3）利用概率分布
4.事件的独立性和独立试验事件 A和 B独立，如果
)()()( BPAPABP?
中 国 矿 业 大 学例 1.
)( CAB
)( A B C
)( CBA
)( CBA
A B C( )CABCBABCA
)( ACBCAB或设 表示三个事件,试表示下列事件CBA,,
(1) 与 都发生BA,C
(2) 与 发生,不发生CA B
(3) 与 至少有一个发生BA,C
(4) 与 全不发生BA,C
(5) 与 至少有两个发生BA,C
(6) 与 恰有一个发生BA,C )( CBACBACBA
中 国 矿 业 大 学例 2.已知 )()(,5.0)()( BAPABPBPAP 证明
)( BAP证明,)( BAP? )(1 BAP
)()()(1 ABPBPAP )( ABP?
例 3：,求解,)()( BAPBAP )()( ABPAP
)()()( BAPAPABP
中 国 矿 业 大 学例 4、
例 5、
0.6
0.3
例 6,0.3
中 国 矿 业 大 学例 7,在 1~100整数中任取一数，
求 （ 1）它能被 2整除又能被 5整除的概率；
（ 2）它能被 2整除或者能被 5整除的概率。
解,A— 能被 2整除,B— 能被 5整除，
中 国 矿 业 大 学例 8.甲盒中有两只白球,一只黑球，乙盒中有一只白球五只黑球,求从甲盒中任取一球投入乙盒后，随机地从乙盒中取出一球而恰为白球的概率 ;
解,设
1B
=“从甲盒中取到白球,
2B =,从甲盒中取到黑球,A =“从乙中取到为白球,
)|( 1BAP?)|( 2BAP
则
7
2
)()|()()|()( 2211 BPBAPBPBAPAP
3
2)(
1?BP 3
1)(
2?BP
7
1
中 国 矿 业 大 学例 9 从袋中第一次任取白红其中只球袋中有,73,10
:,18,2 问球球中任取第二次再在剩下的个不放回率；）第二次取到白球的概（ 1
求第一次取到的球）若第二次取到的为白（,2；两只球都为白球的概率个红球”恰有“第一次取到的两球中解 iB i?
）（ 2,1,0?i,第二次取到白球”；?A
2
0
)()|()(
i
ii BPBAPAP
中 国 矿 业 大 学
2
0
)()|()(
i
ii BPBAPAP
)( 0BP
个红球”“恰有 iB i?
2
10C
27C
)( 1BP
2
10C
1317CC
)( 2BP
2
10C
23C
)|( 0BAP
8
5?)|(
1BAP 8
6?)|(
2BAP 8
7
10
7)()|()( 2
0
i
ii BPBAPAP
)|()2( 0 ABP
)(
)()|( 00
AP
BPBAP?;125?
中 国 矿 业 大 学例 10 假如某公路上行驶的载重汽车与其它汽车的
“载重汽车”解?1B,其它汽车”?2B
“汽车停车修理”；?A
)(
)()( 1
1 AP
ABPABP?
数量之比是 3,2；前者中途停车修理 的概率是 0.02，
后者中途停车修理的概率是 0.01。现在有一辆汽车停车修理，求它是载重汽车的概率。
)()()()(
)()(
2211
11
BAPBPBAPBP
BAPBP
01.05/202.05/3
02.05/3
4
3?
中 国 矿 业 大 学
1、随机变量及分布函数的概念第二讲 随机变量及其概率分布性质
1)(0.1 xF 右连续)(.2 xF
随机变量非离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量其它
)( x
随机变量 X 的 分布函数,
1)(,0)(.3 FF
中 国 矿 业 大 学
2、离散型随机变量
X 的取值 为有限个或可列无穷多个概率分布（分布律） 表示法
,2,1 kpxXP kk公式法列表法
nkk
nk
ppppP
xxxxX
21
21
性质
,2,10}{.1 kxXP k
n
k
kp
1
1.2
中 国 矿 业 大 学离散型随机变量的常见分布：
（ 1） (0— 1)分布
（ 2）二项分布 X~b（ n,p）
(3) 泊松分布中 国 矿 业 大 学
3）,连续型
x duufxXPxF )(}{)( ＝＝
f (x)
0 xx
)(xF
)()(}{ 1221 xFxFxXxP ＝
21 )(xx tdtf＝ 21 xx?
f (x)
x0 1x 2x
在 的连续点处，)( xf
)()( xFxf;1)( ＝ dxxf 0)(?xf
中 国 矿 业 大 学几种常用的连续型分布
X ～ U [a,b]均匀分布：
指数分布：
正态分布：
标准正态分布：
中 国 矿 业 大 学称为标准化的随机变量,有正态分布随机变量函数的标准化,
),(~ 2NX )1,0(~ 2NX
X )(x? 表可查。
注意
),,(~ 2NX若
)( bXaP )(
b )(
a
中 国 矿 业 大 学若 X的分布律,,,2,1 nkpxXP
kk
，若 )( XY })({}{ kk yXPyYP
1） 离散型
4,随机变量函数的分布
lili ppxXPxXP }{}{
)}({})({}{ yhXPyXPyYP
2）连续性设 X 是取值于区间ba,且具有概率密度的连续型随机变量,)( XY
xf
)(
)(
yhx
dxxf
中 国 矿 业 大 学例 1、选择中 国 矿 业 大 学
（ A) 保持不变 （ B）增大
(C) 变小 （ D) 不确定中 国 矿 业 大 学
3、设 X～ b(2,p),Y~b(3,p) 且 P(X≥1)=5/9,则
P(Y ≥1)=( )
例 2、填空
1
1/3 -1/6
0.2
19/27
中 国 矿 业 大 学中 国 矿 业 大 学例 3 一批 10件产品有 3件是次品。现在一件一件地检验，直到发现次品。以 X表示共检验产品的件数，求
X的概率分布。
8,,1,)(
10
1
3
1
7
k
P
CPkXP
k
k
解,
中 国 矿 业 大 学
x
x
x
x
x
x
xF
5.31
5.339.0
328.0
216.0
105.0
00
)(
若若若若若若
1.01.02.01.05.0
5.33210
解,X的分布率为：
例 4,设离散型随机变量 的分布函数如下，X
.求其分布率中 国 矿 业 大 学例 5 设 X是连续型随机变量，其密度函数为解,⑴．由密度函数的性质中 国 矿 业 大 学中 国 矿 业 大 学例 6 设 X 的分布函数为
00
01 2
x
xexF x
求.,3,2 xpXPXP
解,2?XP
3?XP
2F? 41 e
31 F31 XP 6 e
xFxp
00
02 2
x
xe x
中 国 矿 业 大 学
其它0,
11,1
2
)(
2 xx
xf? 求,
x dttf )(( ) { }F x P X x解：
例 7.
1 0 dt
2
1a r c s i n11 2 xxx
,1 时当x 0)(?xF
,11 时当 x
,1时当?x 1)(?xF 合并即可
)( xF?
x dtt
1
212
设随机变量 的密度函数为X ),( xf
)(xF
中 国 矿 业 大 学
6,,1)
3
2()
3
1(}{ 6
6
kCkXP kkk＝＝
例 8 设从甲地到乙地共有六个交通岗，假设在各个
(1)设 X为途中遇到的红灯数，求 X的分布率。
交通岗遇到红灯的事件相互独立，概率都是,
3
1
(2)设 Y为在停车前遇到的交通岗数，求 Y的分布率。
(3)求从甲地到乙地至少遇到一次红灯的概率。
解,(1)
(2)Y的分布率为：
Y 0 1 2 3 4 5 6
P 7 2 9647 2 9322 4 3168182749231
中 国 矿 业 大 学
（ 3）
)0(1)1( XPXP
729
665)
3
2(1 6
中 国 矿 业 大 学解：
例 9,设 X 的概率密度为
其它,0
40,8/
)(
xx
xf X
求 Y = 2 X+8 的概率密度于是 Y的密度函数
dy
ydFyf Y
Y
)()(?
设 Y 的分布函数为
)( yF Y }{ yYP? }82{ yXP
}2 8{ yXP
)( yFY
)2 8( yF X
2
1)
2
8( yf
X
168 y
其它,0
168,
32
8
y
y
中 国 矿 业 大 学
}{ yXyP
求导可得
)( yf Y
}{)( yYPyF Y }{ 2 yXP
)()( yFyF XX
例 10 设 X 具有概率密度,求 的概率密度)(xf X 2XY?
解,)()( yFxFYX
YX 和的分布函数分别为和设
2XY 0?
,0 时当?y
0)(?yF Y,0 时当 y
0,0?ydy
ydF Y )(
0,)()(
2
1 yyfyf
y XX
中 国 矿 业 大 学即 e x
X xf 2
2
2
1)(
x
)( yf Y
0,0?ydy
ydF Y )(
0,)()(
2
1 yyfyf
y XX
0,
2
1 2 ye
y
y
)( yf
Y
0,0?y
)1,0(~ NX
中 国 矿 业 大 学例 11 一食盐供应站的月销售量 X(百吨 )是随机变量。其概率密度为：
其它若
0
10)1(2)( xxxf
问每月储备多少食盐，才能以 96%的概率不至脱销？
解：设 每月储备 a 吨食盐，则
a adxxfaXP 96.0)1(1)()( 2
故 8.0?a
中 国 矿 业 大 学例 12 有三只独立工作的同型号的电器元件，其使用寿命 X是随机变量，概率密度为：
其它若
0
0
6 0 0
1
)(
600 xe
xf
x
求在使用的最初 200h之内至少有 1只损坏的概率？
11 e
解,
中 国 矿 业 大 学例 13 某电子元件的寿命服从,)35,3 0 0( 2N
求,电子元件寿命在 250个小时以上的概率 ;
解,,)35,3 0 0(~ 2NX则设 X =,电子元件的寿命,
}2 5 0{ XP }250{1 XP
)35 300250(1
9236.0?
中 国 矿 业 大 学第三讲 二维随机变量及其概率分布设 X和 Y都是随机变量，则称 为二维随机变量(,)XY
或二维随机向量。 对于任意实数 x,y,二元函数
{,}P X x Y y
称为二维随机变量 (,)XY的分布函数，或联合分布
)}(){(),( yYxXPyxF
1、二维随机变量及联合分布函数的概念函数。
中 国 矿 业 大 学
2,离散型随机变量中 国 矿 业 大 学
3,连续型随机变量
),( YX 的联合分布函数为则称 ),( yxf
y x dvduvufyxF ),(),(
概率密度,或联合概率密度。
性质：
dydxyxf ),(
0),(?yxf1)
2) 1),( F
曲面在平面的上方
3)
),(),(
2
yxfyx yxF
),( yxf若 ),( yx在点 处连续,
则有中 国 矿 业 大 学
4) 设 G是 xoy平面上的任意一个区域，则有同理的分布函数为记 和的 边缘分布函数 。
，称为关于 x和 y
中 国 矿 业 大 学
2) 对于连续型的随机变量几乎处处成立
1) 对于离散型随机变量
4、随机变量的独立性中 国 矿 业 大 学
其它．,0
,10,10,4
),(
yxyx
yxf
),( YX例 1 设随机变量 的概率密度为
1)求关于 x和 y的边缘密度 ; 2) X 与 Y 是否相互独立?
dyyxfxf X ),()(
其它．,0
,10,24
1
0
xxx y d y
解
其它．,0
,10,2
)(
yy
yf Y
)()(),( yfxfyxf YX 故 X 与 Y 是相互独立的。
中 国 矿 业 大 学的概率密度为),( YX例 2 已知
⑴ 求常数 a的值；⑵ 求 ),( YX 的分布函数 (,),F x y
o t h e r s,0
10,),( yxa x yyxf
答案：
(1) a=8; (2)
yx
yxxxxy
yxyy
yx
x
x
yx
yxF
1,1,1
1,10,2
10,,
1,10),
2
(2
00,0
),(
422
4
4
2
或中 国 矿 业 大 学
y
o x
2yx?
yx?1
1
例 3 已知
26,,
(,) ~ (,)
0,
x y xX Y f x y
其它.
( ),( )XYf x f y求。
解 ( ) (,)Xf x f x y d y
2
26 6( ),0 1,
0,.
x
x
dy x x x
其它 6 6( ),0 1,( ) (,)
0,.
y
y
Y
dx y y y
f y f x y dx
其它中 国 矿 业 大 学例 4 设随机变量 ( X,Y )的概率密度为 3,0 1,0,(,)
0,.
x x y x
f x y
o th e rs
试求随机变量 Z X Y的概率密度 。
解
xy?y
x
x y z
1z
G
( ) { }ZF z P X Y z
(,)
x y z
f x y d x d y
结合概率密度的非零区域可得中 国 矿 业 大 学
① 0z? 时 ( ) 0ZFz?
② 01z时
( ) 3Z
G
F z x d x d y
xy?y
x
x y z
1z
G
1
00 33
z x x
z x zd x x d y d x x d y
331
22zz
③ ( ) 1ZFz?时1?z
中 国 矿 业 大 学
3
0,0,
31
( ),0 1,
22
1,1.
Z
z
F z z z z
z
所以故 Z = X -Y 的概率密度为
23 ( 1 ),0 1,
() 2
0,.
Z
zz
fz
othe rs
中 国 矿 业 大 学第四讲 随机变量的数字特征
1、数学期望 E(X)
定义 X为离散型
X为连续型若 )( XY
X为离散型
X为连续型
,1}{ kpxXP kkX为离散型,其分布律为
X为连续型,其密度函数为 ).( xf
)( XE
1k
kk px
dxxfx )(
)( YE
1
)(
k
kk px?
dxxfx )()(?
中 国 矿 业 大 学数学期望的性质
)()()()( 2121 nn XEXEXEXXXE
nXXX,,,21?
)()()( 22112211 XEkXEkXkXkE
kkE?)(.1 其中 k 为常数。
2,对于任何常数 2,1?
ik
3,若 相互独立,则中 国 矿 业 大 学
2、方差
k
n
k
k pEXx?
1
2)(
2)]([)( XEXEXD
)( XD
X为离散型
X为连续型 2( ) ( )x E X f x d x
常用计算公式 22 )]([)()( XEXEXD
)()]([)( 22 XDXEXE
中 国 矿 业 大 学
)()()( 2121 XDXDXXD
)( bkXD
0)(.1?kD 其中 k 为常数。
3,对于任何常数 k，及 b )(2 XDk
方差的性质
DXkkXD 2)(.2?
),(2)()()(.4 2121 YXC o vXDXDXXD
独立特别,YX,
中 国 矿 业 大 学几种常用分布的期望与方差
（ 0-1） 分布指数分布中 国 矿 业 大 学已知随机变量解：
)(~Y),,(U~X 331?
325 YXZ
22 13)(XE
例 1
3?)Y(E
)325()( YXEZE
且 X,Y相互独立。 求 E(Z),D(Z)。
3
1
12
)13()( 2XD
3?)Y(D
3)(2)(5 YEXE
733225
)325()( YXDZD )Y(D)X(D 425
3320343125,
中 国 矿 业 大 学解 Z 为正态随机变量的线性组合，所以仍然服从正态分布，且其参数为
2 ( ) ( ) 4 ( ) 5D Z D X D Y
故例 2 设 X,Y 是两个相互独立的且服从正态分布的
~ ( 3,1 ),~ ( 2,1 )X N Y N?随机变量,且,则求随机变量 服从什么分布？
)( ZE 7)(2)( YEXE
Z ~ N(-7,5)
中 国 矿 业 大 学或
2)(,)( XDXE 方差,0
2
2
}|{|XP
2
2
1}|{|
XP
定理：（切比雪夫不等式）
第五讲 大数定理设 对任意 不等式中 国 矿 业 大 学独立同分布下的中心极限定理原来服从什么分布，无论,,,,21 nXXX
1,0~1 N
n
nX
n
i
i
2
1
,~ nnNX
n
i
i?
即近似服从正态分布。充分大时，之和总可以当 n
nY
设随机变量10),(~ ppnB?
n
k
kn XY
1
)()(
np q
npa
np q
npb?
}{ bYaP
n
中 国 矿 业 大 学例 6 在一个罐子中,装有 10个编号为 0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码,
否则次取到号码第
0
01 k
X k解：设,k=1,2,…
在 100次抽取中,数码,0”出现次数在 7和 13之间的概率,
用中心极限定理计算在 100次抽取中,数码,0”出现次数为?
1 0 0
1k
kXY
1 0 0
9)(,
10
1)(
ii XDXE
中 国 矿 业 大 学
3
10
1 0 0
1
k
kX 近似 ~N(0,1)
由中心极限定理
)137( YP
=0.6826
)1
3
10
1(
100
1?
k
kX
P
)1()1(
1)1(2
即在 100次抽取中，数码,0”出现次数在 7和 13
之间的概率为 0.6826.
中 国 矿 业 大 学例 3 根据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布,现随机地取 16只
,设它们的寿命是相互独立的,求这 16只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率,
由题给条件知,诸 Xi独立,
16只元件的寿命的总和为?
16
1k
kXY
解,设第 i只元件的寿命为 Xi,i =1,2,…,16
E(Xi)=100,D(Xi)=10000
依题意，所求为 P(Y>1920)
中 国 矿 业 大 学由中心极限定理,
近似 ~N(0,1)
400
1600?Y
P(Y>1920)=1-P(Y?1920)
=1-?(0.8)
)400 16001920400 1600(1 YP
=1-0.7881=0.2119
n
k
k
n
k
n
k
kk
XD
XEX
1
1 1
)(
)(
)40 016 0019 20(1-
中 国 矿 业 大 学第七讲 参数估计
1、参数估计的一般概念
1） 点估计
3）区间估计、置信区间、置信度
2）估计量的标准
1.无偏性,2.有效性,
置信区间的求法中 国 矿 业 大 学
1） 均值的区间估计
(1) 已知方差，估计均值
1 为该区间的置信度
),(
22 n
σzX
n
σzX
未知方差，估计均值(2) ),(
22 n
StX
n
StX
2）方差的区间估计
)
)1(
)1(
,
)1(
)1(
( 2
21
2
2
2
2
n
Sn
n
Sn
正态总体均值和方差的区间估计中 国 矿 业 大 学第八讲 单个正态总体均值与方差的假设检验
1、总体均值 μ 的假设检验提出原假设和备择假设第一步：
第二步,取统计量，在 H0成立下求出它的分布
)1,0(~0 N
n
XZ
0100,, HH
第三步,拒绝域为
2
0
6
Z
X
Z?
2)1? 已知，
中 国 矿 业 大 学第四步 查表
2
zk?
(6) 2||?zz?
则否定 H0，接受 H12||?zz?
则 H0相容，接受 H0
n
xz
0(5)计算中 国 矿 业 大 学为真）00 ()1(~)2( Hnt
nS
XZ
(4)查表
0100,:)1( HH
2
tk?
(3)拒绝域为 )1(
2
0 nt
nS
X
Z?
未知2)2?
(6) 2||?tT?
则否定 H0，接受 H12||?tT?
则 H0相容，接受 H0
nS
xT 0(5)计算中 国 矿 业 大 学的检验：未知时,2,3
221220
00,:( 1 ), HH
).1(~ 2?n?
2
2
2 S)1().2(
n
2
2
2
2
)1()1(
Snn )1()1( 2
2
12
2
nSn
或拒绝域为：).3(
(4).查表 )1(),1( 2
21
2
2
nn
中 国 矿 业 大 学
),N(~X1 2用水的升高温度、已知某压缩机的冷却例升高温度的平均值台压缩机的冷却用水的观测 5
,6 3 1.0s,34.5x 2 样本方差为下，是否可以认为冷却在显著性水平 0,0 5)1(
？等于用水升高温度的平均值 5?
的置信区间。的置信水平为求 95.0)2( 2?
解 5:5:)1(
0100 HH
为真检验统计量,00 )1(~
/
Xt Hnt
nS
)1(
2
ntt?拒绝域：
中 国 矿 业 大 学
7 7 6 4.2)4()1( 025.0
2
tnt?查表：
9570.0
5/631.0
534.5
/
t 0
ns
x?计算：
7764.29570.0t?
。等于，即认为平均值接受 5H o
)
)1(
)1(,
)1(
)1((
2
21
2
2
2
2
n
Sn
n
Sn
(2) 2? 的置信水平为 0.95的置信区间为
)4 8 4.0 6 3 1.04,1 4 3.11 6 3 1.04(
)2 1 4 9.5,2 2 6 5.0(?
中 国 矿 业 大 学
（?=0.05）
某次统考后随机抽查 26份试卷,测得平均成绩试分析该次考试成绩标准差是否为已知该次考试成绩例 2
(2)在 H0成立下
(3)拒绝域为解 (1) 假设中 国 矿 业 大 学
(4)查表确定临界值
(5)计算故接受 H0。
即可认为该次考试成绩标准差为
1,事件及其关系和运算
（ 1）事件之间的关系：
包含、相等,互不相容,对立 (互逆 )
（ 2）事件之间的运算及运算率：
和 (并）、差、积（交）
交换率、结合律、分配率德摩根律 BA? ;BA BA? ;BA
BABA ;ABA
中 国 矿 业 大 学
2,概率的概念和公式
.1)(;0)(1 PP）（
)(1)( APAP有(2)对于任一事件 A,
事件的概率,事件在随机试验中发生的可能性的大小。
概率的运算法则和基本公式：
A,B相互独立
)( ABP )|()( ABPAP
)()( BPAP
一般情况(3)乘法公式中 国 矿 业 大 学
4）
可推广到多个事件的情形,如三个事件
)( BAP?
)()()()( ABPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
一般情况
AB
)()()()( 321321 APAPAPAAAP
)()()()( 321323121 AAAPAAPAAPAAP
也可利用对立事件
BAPBAPBAP 11
化为事件的积中 国 矿 业 大 学
7）全概率公式
k
n
K
k ABPAPBP |
1
nAAA,,,21?
为划分
2）用公式
1）在缩减样本空间中计算。
3）用贝叶斯公式
8）条件概率
)(
)()/(
AP
ABPABP?
)|( ABP i
),,2,1( ni
)(
)(
AP
ABP i?
n
i
ii BPBAP
1
)()|(
)()|( ii BPBAP
中 国 矿 业 大 学
3.事件的概率的计算
1）直接 计算 古典概型（几何概型）
2）利用概率的性质和公式
3）利用概率分布
4.事件的独立性和独立试验事件 A和 B独立，如果
)()()( BPAPABP?
中 国 矿 业 大 学例 1.
)( CAB
)( A B C
)( CBA
)( CBA
A B C( )CABCBABCA
)( ACBCAB或设 表示三个事件,试表示下列事件CBA,,
(1) 与 都发生BA,C
(2) 与 发生,不发生CA B
(3) 与 至少有一个发生BA,C
(4) 与 全不发生BA,C
(5) 与 至少有两个发生BA,C
(6) 与 恰有一个发生BA,C )( CBACBACBA
中 国 矿 业 大 学例 2.已知 )()(,5.0)()( BAPABPBPAP 证明
)( BAP证明,)( BAP? )(1 BAP
)()()(1 ABPBPAP )( ABP?
例 3：,求解,)()( BAPBAP )()( ABPAP
)()()( BAPAPABP
中 国 矿 业 大 学例 4、
例 5、
0.6
0.3
例 6,0.3
中 国 矿 业 大 学例 7,在 1~100整数中任取一数，
求 （ 1）它能被 2整除又能被 5整除的概率；
（ 2）它能被 2整除或者能被 5整除的概率。
解,A— 能被 2整除,B— 能被 5整除，
中 国 矿 业 大 学例 8.甲盒中有两只白球,一只黑球，乙盒中有一只白球五只黑球,求从甲盒中任取一球投入乙盒后，随机地从乙盒中取出一球而恰为白球的概率 ;
解,设
1B
=“从甲盒中取到白球,
2B =,从甲盒中取到黑球,A =“从乙中取到为白球,
)|( 1BAP?)|( 2BAP
则
7
2
)()|()()|()( 2211 BPBAPBPBAPAP
3
2)(
1?BP 3
1)(
2?BP
7
1
中 国 矿 业 大 学例 9 从袋中第一次任取白红其中只球袋中有,73,10
:,18,2 问球球中任取第二次再在剩下的个不放回率；）第二次取到白球的概（ 1
求第一次取到的球）若第二次取到的为白（,2；两只球都为白球的概率个红球”恰有“第一次取到的两球中解 iB i?
）（ 2,1,0?i,第二次取到白球”；?A
2
0
)()|()(
i
ii BPBAPAP
中 国 矿 业 大 学
2
0
)()|()(
i
ii BPBAPAP
)( 0BP
个红球”“恰有 iB i?
2
10C
27C
)( 1BP
2
10C
1317CC
)( 2BP
2
10C
23C
)|( 0BAP
8
5?)|(
1BAP 8
6?)|(
2BAP 8
7
10
7)()|()( 2
0
i
ii BPBAPAP
)|()2( 0 ABP
)(
)()|( 00
AP
BPBAP?;125?
中 国 矿 业 大 学例 10 假如某公路上行驶的载重汽车与其它汽车的
“载重汽车”解?1B,其它汽车”?2B
“汽车停车修理”；?A
)(
)()( 1
1 AP
ABPABP?
数量之比是 3,2；前者中途停车修理 的概率是 0.02，
后者中途停车修理的概率是 0.01。现在有一辆汽车停车修理，求它是载重汽车的概率。
)()()()(
)()(
2211
11
BAPBPBAPBP
BAPBP
01.05/202.05/3
02.05/3
4
3?
中 国 矿 业 大 学
1、随机变量及分布函数的概念第二讲 随机变量及其概率分布性质
1)(0.1 xF 右连续)(.2 xF
随机变量非离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量其它
)( x
随机变量 X 的 分布函数,
1)(,0)(.3 FF
中 国 矿 业 大 学
2、离散型随机变量
X 的取值 为有限个或可列无穷多个概率分布（分布律） 表示法
,2,1 kpxXP kk公式法列表法
nkk
nk
ppppP
xxxxX
21
21
性质
,2,10}{.1 kxXP k
n
k
kp
1
1.2
中 国 矿 业 大 学离散型随机变量的常见分布：
（ 1） (0— 1)分布
（ 2）二项分布 X~b（ n,p）
(3) 泊松分布中 国 矿 业 大 学
3）,连续型
x duufxXPxF )(}{)( ＝＝
f (x)
0 xx
)(xF
)()(}{ 1221 xFxFxXxP ＝
21 )(xx tdtf＝ 21 xx?
f (x)
x0 1x 2x
在 的连续点处，)( xf
)()( xFxf;1)( ＝ dxxf 0)(?xf
中 国 矿 业 大 学几种常用的连续型分布
X ～ U [a,b]均匀分布：
指数分布：
正态分布：
标准正态分布：
中 国 矿 业 大 学称为标准化的随机变量,有正态分布随机变量函数的标准化,
),(~ 2NX )1,0(~ 2NX
X )(x? 表可查。
注意
),,(~ 2NX若
)( bXaP )(
b )(
a
中 国 矿 业 大 学若 X的分布律,,,2,1 nkpxXP
kk
，若 )( XY })({}{ kk yXPyYP
1） 离散型
4,随机变量函数的分布
lili ppxXPxXP }{}{
)}({})({}{ yhXPyXPyYP
2）连续性设 X 是取值于区间ba,且具有概率密度的连续型随机变量,)( XY
xf
)(
)(
yhx
dxxf
中 国 矿 业 大 学例 1、选择中 国 矿 业 大 学
（ A) 保持不变 （ B）增大
(C) 变小 （ D) 不确定中 国 矿 业 大 学
3、设 X～ b(2,p),Y~b(3,p) 且 P(X≥1)=5/9,则
P(Y ≥1)=( )
例 2、填空
1
1/3 -1/6
0.2
19/27
中 国 矿 业 大 学中 国 矿 业 大 学例 3 一批 10件产品有 3件是次品。现在一件一件地检验，直到发现次品。以 X表示共检验产品的件数，求
X的概率分布。
8,,1,)(
10
1
3
1
7
k
P
CPkXP
k
k
解,
中 国 矿 业 大 学
x
x
x
x
x
x
xF
5.31
5.339.0
328.0
216.0
105.0
00
)(
若若若若若若
1.01.02.01.05.0
5.33210
解,X的分布率为：
例 4,设离散型随机变量 的分布函数如下，X
.求其分布率中 国 矿 业 大 学例 5 设 X是连续型随机变量，其密度函数为解,⑴．由密度函数的性质中 国 矿 业 大 学中 国 矿 业 大 学例 6 设 X 的分布函数为
00
01 2
x
xexF x
求.,3,2 xpXPXP
解,2?XP
3?XP
2F? 41 e
31 F31 XP 6 e
xFxp
00
02 2
x
xe x
中 国 矿 业 大 学
其它0,
11,1
2
)(
2 xx
xf? 求,
x dttf )(( ) { }F x P X x解：
例 7.
1 0 dt
2
1a r c s i n11 2 xxx
,1 时当x 0)(?xF
,11 时当 x
,1时当?x 1)(?xF 合并即可
)( xF?
x dtt
1
212
设随机变量 的密度函数为X ),( xf
)(xF
中 国 矿 业 大 学
6,,1)
3
2()
3
1(}{ 6
6
kCkXP kkk＝＝
例 8 设从甲地到乙地共有六个交通岗，假设在各个
(1)设 X为途中遇到的红灯数，求 X的分布率。
交通岗遇到红灯的事件相互独立，概率都是,
3
1
(2)设 Y为在停车前遇到的交通岗数，求 Y的分布率。
(3)求从甲地到乙地至少遇到一次红灯的概率。
解,(1)
(2)Y的分布率为：
Y 0 1 2 3 4 5 6
P 7 2 9647 2 9322 4 3168182749231
中 国 矿 业 大 学
（ 3）
)0(1)1( XPXP
729
665)
3
2(1 6
中 国 矿 业 大 学解：
例 9,设 X 的概率密度为
其它,0
40,8/
)(
xx
xf X
求 Y = 2 X+8 的概率密度于是 Y的密度函数
dy
ydFyf Y
Y
)()(?
设 Y 的分布函数为
)( yF Y }{ yYP? }82{ yXP
}2 8{ yXP
)( yFY
)2 8( yF X
2
1)
2
8( yf
X
168 y
其它,0
168,
32
8
y
y
中 国 矿 业 大 学
}{ yXyP
求导可得
)( yf Y
}{)( yYPyF Y }{ 2 yXP
)()( yFyF XX
例 10 设 X 具有概率密度,求 的概率密度)(xf X 2XY?
解,)()( yFxFYX
YX 和的分布函数分别为和设
2XY 0?
,0 时当?y
0)(?yF Y,0 时当 y
0,0?ydy
ydF Y )(
0,)()(
2
1 yyfyf
y XX
中 国 矿 业 大 学即 e x
X xf 2
2
2
1)(
x
)( yf Y
0,0?ydy
ydF Y )(
0,)()(
2
1 yyfyf
y XX
0,
2
1 2 ye
y
y
)( yf
Y
0,0?y
)1,0(~ NX
中 国 矿 业 大 学例 11 一食盐供应站的月销售量 X(百吨 )是随机变量。其概率密度为：
其它若
0
10)1(2)( xxxf
问每月储备多少食盐，才能以 96%的概率不至脱销？
解：设 每月储备 a 吨食盐，则
a adxxfaXP 96.0)1(1)()( 2
故 8.0?a
中 国 矿 业 大 学例 12 有三只独立工作的同型号的电器元件，其使用寿命 X是随机变量，概率密度为：
其它若
0
0
6 0 0
1
)(
600 xe
xf
x
求在使用的最初 200h之内至少有 1只损坏的概率？
11 e
解,
中 国 矿 业 大 学例 13 某电子元件的寿命服从,)35,3 0 0( 2N
求,电子元件寿命在 250个小时以上的概率 ;
解,,)35,3 0 0(~ 2NX则设 X =,电子元件的寿命,
}2 5 0{ XP }250{1 XP
)35 300250(1
9236.0?
中 国 矿 业 大 学第三讲 二维随机变量及其概率分布设 X和 Y都是随机变量，则称 为二维随机变量(,)XY
或二维随机向量。 对于任意实数 x,y,二元函数
{,}P X x Y y
称为二维随机变量 (,)XY的分布函数，或联合分布
)}(){(),( yYxXPyxF
1、二维随机变量及联合分布函数的概念函数。
中 国 矿 业 大 学
2,离散型随机变量中 国 矿 业 大 学
3,连续型随机变量
),( YX 的联合分布函数为则称 ),( yxf
y x dvduvufyxF ),(),(
概率密度,或联合概率密度。
性质：
dydxyxf ),(
0),(?yxf1)
2) 1),( F
曲面在平面的上方
3)
),(),(
2
yxfyx yxF
),( yxf若 ),( yx在点 处连续,
则有中 国 矿 业 大 学
4) 设 G是 xoy平面上的任意一个区域，则有同理的分布函数为记 和的 边缘分布函数 。
，称为关于 x和 y
中 国 矿 业 大 学
2) 对于连续型的随机变量几乎处处成立
1) 对于离散型随机变量
4、随机变量的独立性中 国 矿 业 大 学
其它．,0
,10,10,4
),(
yxyx
yxf
),( YX例 1 设随机变量 的概率密度为
1)求关于 x和 y的边缘密度 ; 2) X 与 Y 是否相互独立?
dyyxfxf X ),()(
其它．,0
,10,24
1
0
xxx y d y
解
其它．,0
,10,2
)(
yy
yf Y
)()(),( yfxfyxf YX 故 X 与 Y 是相互独立的。
中 国 矿 业 大 学的概率密度为),( YX例 2 已知
⑴ 求常数 a的值；⑵ 求 ),( YX 的分布函数 (,),F x y
o t h e r s,0
10,),( yxa x yyxf
答案：
(1) a=8; (2)
yx
yxxxxy
yxyy
yx
x
x
yx
yxF
1,1,1
1,10,2
10,,
1,10),
2
(2
00,0
),(
422
4
4
2
或中 国 矿 业 大 学
y
o x
2yx?
yx?1
1
例 3 已知
26,,
(,) ~ (,)
0,
x y xX Y f x y
其它.
( ),( )XYf x f y求。
解 ( ) (,)Xf x f x y d y
2
26 6( ),0 1,
0,.
x
x
dy x x x
其它 6 6( ),0 1,( ) (,)
0,.
y
y
Y
dx y y y
f y f x y dx
其它中 国 矿 业 大 学例 4 设随机变量 ( X,Y )的概率密度为 3,0 1,0,(,)
0,.
x x y x
f x y
o th e rs
试求随机变量 Z X Y的概率密度 。
解
xy?y
x
x y z
1z
G
( ) { }ZF z P X Y z
(,)
x y z
f x y d x d y
结合概率密度的非零区域可得中 国 矿 业 大 学
① 0z? 时 ( ) 0ZFz?
② 01z时
( ) 3Z
G
F z x d x d y
xy?y
x
x y z
1z
G
1
00 33
z x x
z x zd x x d y d x x d y
331
22zz
③ ( ) 1ZFz?时1?z
中 国 矿 业 大 学
3
0,0,
31
( ),0 1,
22
1,1.
Z
z
F z z z z
z
所以故 Z = X -Y 的概率密度为
23 ( 1 ),0 1,
() 2
0,.
Z
zz
fz
othe rs
中 国 矿 业 大 学第四讲 随机变量的数字特征
1、数学期望 E(X)
定义 X为离散型
X为连续型若 )( XY
X为离散型
X为连续型
,1}{ kpxXP kkX为离散型,其分布律为
X为连续型,其密度函数为 ).( xf
)( XE
1k
kk px
dxxfx )(
)( YE
1
)(
k
kk px?
dxxfx )()(?
中 国 矿 业 大 学数学期望的性质
)()()()( 2121 nn XEXEXEXXXE
nXXX,,,21?
)()()( 22112211 XEkXEkXkXkE
kkE?)(.1 其中 k 为常数。
2,对于任何常数 2,1?
ik
3,若 相互独立,则中 国 矿 业 大 学
2、方差
k
n
k
k pEXx?
1
2)(
2)]([)( XEXEXD
)( XD
X为离散型
X为连续型 2( ) ( )x E X f x d x
常用计算公式 22 )]([)()( XEXEXD
)()]([)( 22 XDXEXE
中 国 矿 业 大 学
)()()( 2121 XDXDXXD
)( bkXD
0)(.1?kD 其中 k 为常数。
3,对于任何常数 k，及 b )(2 XDk
方差的性质
DXkkXD 2)(.2?
),(2)()()(.4 2121 YXC o vXDXDXXD
独立特别,YX,
中 国 矿 业 大 学几种常用分布的期望与方差
（ 0-1） 分布指数分布中 国 矿 业 大 学已知随机变量解：
)(~Y),,(U~X 331?
325 YXZ
22 13)(XE
例 1
3?)Y(E
)325()( YXEZE
且 X,Y相互独立。 求 E(Z),D(Z)。
3
1
12
)13()( 2XD
3?)Y(D
3)(2)(5 YEXE
733225
)325()( YXDZD )Y(D)X(D 425
3320343125,
中 国 矿 业 大 学解 Z 为正态随机变量的线性组合，所以仍然服从正态分布，且其参数为
2 ( ) ( ) 4 ( ) 5D Z D X D Y
故例 2 设 X,Y 是两个相互独立的且服从正态分布的
~ ( 3,1 ),~ ( 2,1 )X N Y N?随机变量,且,则求随机变量 服从什么分布？
)( ZE 7)(2)( YEXE
Z ~ N(-7,5)
中 国 矿 业 大 学或
2)(,)( XDXE 方差,0
2
2
}|{|XP
2
2
1}|{|
XP
定理：（切比雪夫不等式）
第五讲 大数定理设 对任意 不等式中 国 矿 业 大 学独立同分布下的中心极限定理原来服从什么分布，无论,,,,21 nXXX
1,0~1 N
n
nX
n
i
i
2
1
,~ nnNX
n
i
i?
即近似服从正态分布。充分大时，之和总可以当 n
nY
设随机变量10),(~ ppnB?
n
k
kn XY
1
)()(
np q
npa
np q
npb?
}{ bYaP
n
中 国 矿 业 大 学例 6 在一个罐子中,装有 10个编号为 0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码,
否则次取到号码第
0
01 k
X k解：设,k=1,2,…
在 100次抽取中,数码,0”出现次数在 7和 13之间的概率,
用中心极限定理计算在 100次抽取中,数码,0”出现次数为?
1 0 0
1k
kXY
1 0 0
9)(,
10
1)(
ii XDXE
中 国 矿 业 大 学
3
10
1 0 0
1
k
kX 近似 ~N(0,1)
由中心极限定理
)137( YP
=0.6826
)1
3
10
1(
100
1?
k
kX
P
)1()1(
1)1(2
即在 100次抽取中，数码,0”出现次数在 7和 13
之间的概率为 0.6826.
中 国 矿 业 大 学例 3 根据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布,现随机地取 16只
,设它们的寿命是相互独立的,求这 16只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率,
由题给条件知,诸 Xi独立,
16只元件的寿命的总和为?
16
1k
kXY
解,设第 i只元件的寿命为 Xi,i =1,2,…,16
E(Xi)=100,D(Xi)=10000
依题意，所求为 P(Y>1920)
中 国 矿 业 大 学由中心极限定理,
近似 ~N(0,1)
400
1600?Y
P(Y>1920)=1-P(Y?1920)
=1-?(0.8)
)400 16001920400 1600(1 YP
=1-0.7881=0.2119
n
k
k
n
k
n
k
kk
XD
XEX
1
1 1
)(
)(
)40 016 0019 20(1-
中 国 矿 业 大 学第七讲 参数估计
1、参数估计的一般概念
1） 点估计
3）区间估计、置信区间、置信度
2）估计量的标准
1.无偏性,2.有效性,
置信区间的求法中 国 矿 业 大 学
1） 均值的区间估计
(1) 已知方差，估计均值
1 为该区间的置信度
),(
22 n
σzX
n
σzX
未知方差，估计均值(2) ),(
22 n
StX
n
StX
2）方差的区间估计
)
)1(
)1(
,
)1(
)1(
( 2
21
2
2
2
2
n
Sn
n
Sn
正态总体均值和方差的区间估计中 国 矿 业 大 学第八讲 单个正态总体均值与方差的假设检验
1、总体均值 μ 的假设检验提出原假设和备择假设第一步：
第二步,取统计量，在 H0成立下求出它的分布
)1,0(~0 N
n
XZ
0100,, HH
第三步,拒绝域为
2
0
6
Z
X
Z?
2)1? 已知，
中 国 矿 业 大 学第四步 查表
2
zk?
(6) 2||?zz?
则否定 H0，接受 H12||?zz?
则 H0相容，接受 H0
n
xz
0(5)计算中 国 矿 业 大 学为真）00 ()1(~)2( Hnt
nS
XZ
(4)查表
0100,:)1( HH
2
tk?
(3)拒绝域为 )1(
2
0 nt
nS
X
Z?
未知2)2?
(6) 2||?tT?
则否定 H0，接受 H12||?tT?
则 H0相容，接受 H0
nS
xT 0(5)计算中 国 矿 业 大 学的检验：未知时,2,3
221220
00,:( 1 ), HH
).1(~ 2?n?
2
2
2 S)1().2(
n
2
2
2
2
)1()1(
Snn )1()1( 2
2
12
2
nSn
或拒绝域为：).3(
(4).查表 )1(),1( 2
21
2
2
nn
中 国 矿 业 大 学
),N(~X1 2用水的升高温度、已知某压缩机的冷却例升高温度的平均值台压缩机的冷却用水的观测 5
,6 3 1.0s,34.5x 2 样本方差为下，是否可以认为冷却在显著性水平 0,0 5)1(
？等于用水升高温度的平均值 5?
的置信区间。的置信水平为求 95.0)2( 2?
解 5:5:)1(
0100 HH
为真检验统计量,00 )1(~
/
Xt Hnt
nS
)1(
2
ntt?拒绝域：
中 国 矿 业 大 学
7 7 6 4.2)4()1( 025.0
2
tnt?查表：
9570.0
5/631.0
534.5
/
t 0
ns
x?计算：
7764.29570.0t?
。等于，即认为平均值接受 5H o
)
)1(
)1(,
)1(
)1((
2
21
2
2
2
2
n
Sn
n
Sn
(2) 2? 的置信水平为 0.95的置信区间为
)4 8 4.0 6 3 1.04,1 4 3.11 6 3 1.04(
)2 1 4 9.5,2 2 6 5.0(?
中 国 矿 业 大 学
（?=0.05）
某次统考后随机抽查 26份试卷,测得平均成绩试分析该次考试成绩标准差是否为已知该次考试成绩例 2
(2)在 H0成立下
(3)拒绝域为解 (1) 假设中 国 矿 业 大 学
(4)查表确定临界值
(5)计算故接受 H0。
即可认为该次考试成绩标准差为
