第四章随机变量的数字特征一、数学期望二、方差三、协方差和相关系数四、矩和协方差矩阵数学期望第四章第一节二,随机变量函数的数学期望一,数学期望的概念三、数学期望的性质一、数学期望的概念起源,法国数学家 帕斯卡
（ Pascal,1623— 1662）
法国数学家 费马
（ Fermat,1601— 1665）
法国贵族 德,梅勒
（ de Mere,1607— 1684）
帕斯卡 德,梅勒约定先赢 5局，获全部赌金
A,4
B,3
分赌金写信费马假设再赌一局 A赢获全赌金,1A输获赌金,1/2
A最后获赌金,1/2× 1+1/2× 1/2=3/4
B最后获赌金,1/2× 0+1/2× 1/2=1/4
期望（提前分钱）
朋友引例,某人参加一个掷骰子游戏，规则如下：
掷得点数获得 (元 )
1点
1
2,3点
2
4,5,6点
4
求：平均每次游戏得多少钱？
解,设一次游戏得钱数为 X,则 X是一个随机变量。
它的分布率为：
X
P(X)
1
1/6
2
1/3
4
1/2
假设做了 n次游戏，
每次平均得：
当 n很大时，
注,离散型随机变量的数学期望由分布律唯一决定，
1
() kk
k
E X x p
1
kk
k
xp
若级数 绝对收敛,
设离散型随机变量 X 的分布律为
),3,2,1(,}{ kpxXP kk
简称 期望或均值,记为 E(X).
则称此级数的和为 X 的 数学期望 。
即其与 X 取值顺序无关。
定义 1
离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和,
6.03.01.0
1098
kp
X 8 9 1 0
0,2 0,5 0,3k
Y
p
例 1 甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出试问哪个人的射击水平较高？
解 甲乙的平均环数可求得：
因此，甲的射击水平要比乙的好。
解 设试开次数为 X,
n
k n
kXE
1
1
2
)1(1 nn
n
2
1 n于是某人的一串钥匙上有 n 把钥匙,其中只有一把能打开自己的家门,他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门,若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时试开次数的数学期望,
例 2
例 3 掷一颗均匀的骰子，以 X 表示掷得的点数，
6
1
17
62() iE X k
求 X 的数学期望。
1 12,,,.P X k k nn
2、几种常用离散型分布的期望
(1) （ 0— 1）分布
( ) 0 ( 1 ) 1E X p p p
(2) 二项分布
.)( npXE?
(3) 泊松分布
}{ kXP
)(~X
e
k
k
!?,2,1,0?k)( XE
设连续型随机变量 X 的概率密度为
()x f x d x
为 X 的数学期望。
()x f x d x
3、定义 2
如果
,xf
绝对收敛,则称简称期望或均值，记为 E (X),
即 ( ) ( )E X x f x d x
4、几种常用连续型分布的期望
(1) 均匀分布
其它,0
,
1
)(
bxa
abxf
dxxxfXE )()( ba dxab x baabx )(2
2
,2
ba
(2) 指数分布
00
0
x
xexf x
(3) 正态分布
.)(XE
注,1、并不是任何随机变量都存在期望。
（要满足绝对收敛的条件）
反例：
2,E(X)是一个常数，表示的是 随机变量取值的平均,
与一般算术值不同，它是以概率为权的加权平均，
反映了 随机变量取值集中在均值附近 。
发散的例 4,有 5个独立工作的电子装置,它们的寿命服从同一个指数分布，概率密度为
00
0
x
xexf x
(1)若将这 5个电子串联工作组成整机，求整机寿命 N的数学期望。
(2)并联成整机，求整机寿命 M的数学期望。
解：
(1)
(2)
4.11)( )(?NE ME
例 5,某项任务完成所需时间 T )5,1 0 0(~ 2N
该项任务若在 100天之内完成则得奖金 10000元，若在 100天至 115天内完成，则得奖金 1000 元,
115 天,罚款 5000,求完成任务获得的平均奖金数解,
)5,100(~ 2NT由 得
,规定：
若超过设 Y 是完成该任务所获奖金数，则
Y的可能取值为 10000,1000,-5000
)5 10 011 5(1 }115{ TP}5 0 0 0{YP
31 0013.0?
}1000{ YP }1 1 51 0 0{ TP 4987.0?
}10000{ YP
)20()0(
从而 Y 的分布律为 0.5
10000
0.0013
-5000
0.4987
1000
kp
Y
}5 0 0 0{YP 0013.0?
}1000{ YP 4987.0
已求出,
2.5492?
)(YE 5.01 0 0 0 04 9 8 7.01 0 0 00 0 1 3.05 0 0 0
}1 0 00{ TP
5.005.0
二、随机变量函数的数学期望那么应该如何计算呢？
设已知随机变量 X 的分布,我们需要计算的不是 X
的期望,而是 X 的某个函数 g(X)的期望,
按照期望的定义把 E [ g(X ) ]计算出来,
一种方法,因为 g( X )也是随机变量,故应有概率分布，
g( X )的分布可以由已知的 X 的分布求出来,
知道了 g(X )的分布，
)( 2XE
解,
283241181041)1( 2222
已知 X 的分布律为求 的数学期望 。2X
kp
X
1/4 1/8 1/4 3/8
-1 0 1 2Eg:
kp
2X
1/4 1/8 1/4 3/8
1 0 1 4
定理 1 设 ()Y g X? ( g为连续函数 )
⑴ 设 X为离散型随机变量，其分布律为
),3,2,1(,}{ kpxXP kk
1
()kk
k
g x p
若级数 绝对收敛,
则 g(X) 的数学期望为
1
( ) ( ( ) ) ( )kk
k
E Y E g X g x p
⑵ 设 X为连续型随机变量，其概率密度为 f (x),
若 绝对收敛,( ) ( )g x f x d x
则 g(X) 的数学期望为 ( ) ( ( ) ) ( ) ( )E Y E g X g x f x d x
连续型离散型
Xdxxfxg
Xpxg
XgEYE k
kk
,)()(
,)(
)]([)( 1
这给求随机变量函数的期望带来很大方便。
该公式的重要性在于,
知道 g ( X )的分布,而只需知道 X 的分布就可以了。
当我们求 E[g(X )]时,不必定理 2 设 ( X,Y )是二维随机变量,g ( X,Y )是二元连续函数 (,)Z g X Y?
⑴ 设 ( X,Y )为离散型随机变量，其联合分布律为
{,},(,1,2,3,)i j ijP X x Y y p i j
则 Z 的数学期望为
⑵ 设 X为连续型随机变量，其概率密度为 f (x,y),
则 Z 的数学期望为 ( ) (,) (,)E Z g x y f x y d x d y
绝对收敛
1 1
),()(
i j
ijji pyxgZE
设随机变量 X 的概率密度为例 1
求 E ( 1 / X )。
2
,0,()
0,0,
xx e x
fx
x
解：
2
0
1 xx e d x
x
2
2
0
xe d x
例 2,设某公共汽车站于每小时的 10分,50分发车,
乘客在每小时内任一时刻到达车站是等可能的。求乘客到达车站等车时间的数学期望。
设 T 为乘客到达车站的时刻 (分 )，
设 Y 为乘客等车时间，则
.,0
,600,
60
1
其它
t
tf
解,则其概率密度为已知已知 的概率密度),( YX
)(),(),( XYEYEXE
o t h e r
yxyx
yxf
,0
10,10,
),(
例 3、
求
)( XE
7
2)(?YE
)( XYE
d x d yyxfx ),( 72)(1
0
1
0
dx dyyxx解
10 10 )( d x d yyxxy
3
1?
d x d yyxx y f ),(
)()( YEXE?
同理
1,设 C 是常数，则 E(C )=C ;
2,若 C 是常数，则 E(CX ) = CE(X );
3.
三、数学期望的性质证明,设
d x d yyxfyxYXE ),()()(
d x d yyxxf ),(
d x d yyxyf ),(
yxfYX,~.
( ) ( ) ( )E X Y E X E Y
n
i
i
n
i
i XEXE
11
)(][:推广
( ) ( )E X E Y
4,设 X,Y 独立，则 E(XY )=E(X )E(Y );
证明,设
dx dyyxx y fXYE ),()(
dx dyyfxx y f YX )()(
yxfYX,~.
ydyfyxdxfx YX )()( )()( YEXE?
n
i
i
n
i
i XEXE
11
)(][ （当 Xi 独立时）
注意,该性质不是充要条件。
推广：
例 1,任意掷 5颗骰子,X— 5颗骰子出现的点数之和,求 E(X).
解：
1 2 3 4 5 6
例 2,二 项分布pnBX,~
解：
则
次试验失败如第次试验成功如第
i
iX
i 0
1
.,,2,1 ni
12 nX X X X
而 ~ ( 0 1 )iX? 分布，则 ()iE X p?
所以,
1
n
i
i
E X E X n p
，求 E(X)。
X表示 n重伯努利试验中成功的次数,
注意,分割随机变量的原则。
例 3,将 n封不同的信，随机放入 n个写好地址的信封，
用 X表示装对信件的个数，求 E(X)。
解：
.,,2,1 ni
则 12 nX X X X
0
n
11?
n
1
1
例 4 一民航送客载有 20 位旅客自机场开出，旅客有
10个车站可以下车，
就不停车。 以 X 表示停车的次数。 求 E( X ).（设每个旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立）。
如到达一个车站没有旅客下车
0,
1,i
X
第 i 站无人下车,
第 i 站有人下车,
解,设 1,2,1 0i?
则 1 2 1 0X X X X
20{ 0 } ( 9 / 1 0 )iPX
20{ 1 } 1 ( 9 / 1 0 )iPX
1 2 1 0( ) ( )E X E X X X
20( ) 1 ( 9 / 1 0 ),1,2,1 0iE X i
201 0 [ 1 ( 9 / 2 0 ) ] 8,7 8 4
注,iX 不是相互独立的。
方 差第四章第二节三、方差的性质一,方差的定义二、几种重要分布的方差例如,甲、乙两门炮同时向一目标射击 10发炮弹，
哪门炮射击效果好一些呢?其落点距目标的位置如图，
又如,甲、乙两个合唱队都由 5名成员组成，身高如下：
甲,1.60,1.62,1.59,1.60,1.59
乙,1.80,1.60,1.50,1.50,1.60
哪个合唱队演出效果好？
甲炮射击结果 甲炮射击结果一、方差的定义方差的算术平方根为 X 的方差。记为 D(X)或 Var(X)。
定义 设 X 是一个随机变量,若则称
2{ [ ( ) ] }E X E X
称为均方差或标准差。
2{ [ ( ) ] }E X E X
存在，
记为注,方差实际上就是 X的函数 g(X)=[X-E(X)]2 的期望。
方差反映了随机变量的取值与平均值的偏离程度。
若 X 的取值比较分散，则方差较大,
若 X 的取值比较集中，则方差较小；
机动 目录 上页 下页 返回 结束
22
1
( ) [ ( ) ] [ ( ) ]ii
i
D X E X E X x E X p
离散型 已知 X 分布律连续型 已知 X 的概率密度
2( ) [ ( ) ] ( )D X x E X f x d x
{} kkP X x p
()fx
证明：
推论：
常用计算公式：
（柯西 — 许瓦兹不等式）
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1
X 8 9 10
P 0.3 0.2 0.5
Y 8 9 10
P 0.2 0.4 0.4
甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：
试问那个人的射击水平较高？
解 比较量个人射击的平均环数，甲的平均环数为乙的平均环数为
：甲击中的环数； X,乙击中的环数；Y
5.0102.093.08EX
4.0104.092.08EY
环2.9?
环2.9?
机动 目录 上页 下页 返回 结束从平均环数上看,甲、乙射击水平是一样的。
但两人射击环数的方差分别为：
这表明乙的射击水平比甲稳定。
5.02.9102.02.993.02.98 222DX
76.0?
4.02.9104.02.992.02.98 222DY
624.0?
，由于 DXDY?
0)1()1()(
1
0
0
1
dxxxdxxxXE
6
1)1()1()( 1
0
2
0
1
22
dxxxdxxxXE
6
1)( XD
设随机变量 X 的概率密度为
1,1 0,
( ) 1,0 1,
0,.
xx
f x x x
o the rs
求 D(X )。
例 2
解：
1,（ 0-1） 分布 参数为 p
X
p p?1 p
0 1
二、几种常见分布的方差
22 ][)()( EXXEXD 2pp )1( pp
()E X p?
pEX? (1 )D X p p
),,2,1,0()1(}{ nkppCkXP knkkn
2．二项分布
()E X n p? ( ) (1 )D X n p p
~ (,)X b n p
)(~X
{} !
k e
P X k k
),2,1,0(k
3．泊松分布
()EX ()DX
),(~ baUX4．均匀分布
1
,,
()
0,.
a x b
fx ba
o th e rs
)( 2XE
3
22 baba
dxxfx )(2
2b
a
x dx
ba
22( ) ( ) ( )D X E X E X
2 2 2()
34
a a b b a b 2()
12
ba
⒌ 指数分布
,0,()
0,0,
xex
fx
x
1()EX?
2
1,( )DX?
2()
,( ) 12baDX
2)(
baXE
2~ (,)XN⒍ 正态分布
2
2
()
21()
2
x
f x e x
()EX 2,( )DX
注：服从正态分布的随机变量完全由它的数学期望和方差所决定。
特别,当 ~ (0,1 )XN ( ) 0EX?,( ) 1DX?
已知
1
c os,0,
~ ( ) 22
0,.
x
x
X f x
othe rs
例 3
求的次数，对 X 独立观察 4 次,Y 表示 X 的观察值大于
2( ),EY
/2?
解 由题意可知 ~ ( 4,)Y b p
/2
12{ } c o s 1
2 2 2 2
xp P X d x?
2 2 1 4 2
2 2 2( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )E Y D Y E Y n p p n p
1,设 C是常数,则 D(C) =0 ;
2,若 C是常数,则 D(CX )=C 2D(X );
3,若 X与 Y 独立，则三、方差的性质
( ) ( )D X Y D X D Y
证 2( ) { [ ( ) ] }D C X E C X E C X
2 2 2{ [ ( ) ] } ( )C E X E X C D X
注,这条性质同样不是一个充要条件。
11
[ ] ( ),
nn
ii
ii
D X D X
推广 若 X1,X2,…,Xn 相互 独立,则
n
i
ii
n
i
ii XDCXCD
1
2
1
)(][
4,D(X )=0
例 4,已知 X ~ b(n,p)，求 D(X)。
则
次试验失败如第次试验成功如第
i
iX
i 0
1,,,2,1 ni
12 nX X X X
~ ( 0 1 )iX? 分布所以,
解：
，则
= np(1-p).
注,利用方差和的性质时要注意相互独立的条件。
例 5 设 X 的可能取值为 1 2 31,0,1,x x x且
( ) 0,1,( ) 0,8 9E X D X，求 X 的分布律。
解 设 X 的分布律为
22 13( ) ( ) ( ) 0,9 0,9E X D X E X p p
13( ) 0,1 0,1E X p p
1 2 30,4,0,1,0,5p p p
1 2 3 1p p p
所以解 Z 为正态随机变量的线性组合，所以仍然服从正态分布，且其参数为
2 ( ) ( ) 4 ( ) 5D Z D X D Y
故例 6 设 X,Y 是两个相互独立的且服从正态分布的
~ ( 3,1 ),~ ( 2,1 )X N Y N?随机变量,且,则求随机变量 服从什么分布？
)( ZE 7)(2)( YEXE
Z ~ N(-7,5)
协方差和相关系数第四章第三节一、协方差和相关系数的定义二、协方差的性质三、相关系数的性质
1、定义 设二维随机变量 ),( YX
),( YXC o v
),( YXC o v则称它为 X与 Y的协方差，
即
)()(
),(
YDXD
YXC o v
XY
称为随机变量 X与 Y的 相关系数 。
)]}([)]({[ YEYXEXE若 存在，
)]}([)]({[ YEYXEXE
一、协方差和相关系数的定义记为
Covariance
2、常用计算公式
XYE {?
)()()( YEXEXYE
( ) ( ) ( )E X Y E X E Y?
)()()()( YEXEYEXE
YXE )(? )(YEX? )}()( YEXE?
)]}([)]({[ YEYXEXE),( YXC o v
( ) ( ) ( )E X Y E X E Y
证,
⑴
⑵
1,(,) (,)C o v X Y C o v Y X?
(,) (,),C o v a X b Y a b C o v Y X a b?为常数
3、
1 2 1 2(,) (,) (,)C o v X X Y C o v X Y C o v X Y
12(,)C o v X X Y?
2、
二、协方差的性质证：
三、相关系数的性质
1?XY?1)
1?XY?2) 的充要条件是 X与 Y以概率 1成线性关系
1}{ baXYP即
ba,)0(?a其中 为常数定理 1 设随机变量 X和 Y的相关系数存在，则引理等号成立当且仅当存在常数说明：
| | 1XY,X 与 Y 的线性关系越显著；
| | 0XY,X 与 Y 的线性关系越不显著；
2） (,) 0 ;C o v X Y?
( ) ( ) ( ) ;E X Y E X E Y?3） ( ) ( ) ( ),D X Y D X D Y4）
,0?XY?定义,相关系数 X Y则称 与 不相关 ;
相关系数 XY? 之间线性关系的一种度量,是 X与 Y
下列命题等价：
,0?XY?1）
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1 设随机变量 YX是 的线性函数,Y a X b
则求 X 和 Y 的相关系数。
解法一 由已知可得
(,) (,)C o v X Y C o v X a X b
所以
(,)
( ) ( )XY
Co v X Y
D X D Y
解法二 由已知可得 { } 1P Y a X b
所以 | | 1XY 1XY
()a D X?
2( ) ( ) ( )D Y D a X b a D X()
1| | ( )a D Xa D X
例 2,X ~ N(0,1),
,2XY?令 证明 X与 Y不相关。
证：,0)(?XE
)()( 3XEXYE
dxex
x
2
3 2
2?
= 0
)()()( YEXEXYE
X与 Y不相关。
但是，显然,X与 Y 不是相互独立的。
不相关,X 与 Y 之间没有线性关系，并不表示它们之间没有任何关系。
独立,X 与 Y 之间没有任何关系。
(,) 0C o v X Y? 0XY
独立 不相关例 3 设随机变量 (,)XY的概率密度为 221 /,1,
(,)
0,.
xyf x y
othe rs
问 X 和 Y 是否相互独立，是否不相关？
解 ⑴ 先求关于 X 和 Y 的边缘概率密度
221
,1 1,
()
0,.
X
x
x
fx
o the rs
221
,1 1,
()
0,.
Y
y
y
fy
othe rs
因为 ( ) ( ) (,)XYf x f y f x y
所以 X 和 Y 不相互独立。
⑵ 求 X 和 Y 的相关系数
( ) ( )XE X x f x d x 1 2
1
2 10x d x
( ) ( )YE Y y f y d y 1 2
1
2 10y y d y
( ) (,)E X Y x y f x y d x d y
所以 (,) 0C o v X Y? 0
XY
故 X 和 Y 不相关。
2
2
1
1
1
1
1x
x
d y d xxy
= 0.
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4 已知二维随机变量 的联合分布律为),( YX
),( YXC o v XY?求,,
0.30 0.12 0.18
0.10 0.18 0.12
－ 1
1
-2 0 1Y
X
解 边缘分布律为YX,11
~ 0,6 0 0,4 0X
2 0 1~
0,4 0 0,3 0 0,3 0Y
20.040.0160.01)(XE
机动 目录 上页 下页 返回 结束
50.030.0130.0040.02)(YE
( ) 1 ( 2 ) 0,3 0 ( 1 ) 0 0,1 2 ( 1 ) 1
0,1 8 1 ( 2 ) 0,0 1 1 0 0,1 8 1 1 0,1 2
0,3 4
E X Y
)()()(),( YEXEXYEYXCo v
XY与 的协方差为,
0,3 4 ( 0,2 0 ) ( 0,5 0 ) 0,2 4
0.30 0.12 0.18
0.10 0.18 0.12
－ 1
1
-2 0 1YX
下面求 的方差,YX,
00.140.0160.0)1()( 222XE
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2 2 2 2( ) ( 2 ) 0,4 0 0 0,3 0 1 0,3 0 1,9 0EY
96.0)20.0(00.1)]([)()( 222 XEXEXD
2 2 2( ) ( ) [ ( ) ] 1,9 0 ( 0,5 ) 1,6 5D Y E Y E Y
)()(
),(
YDXD
YXC o v
XY
19.0?
65.196.0
24.0
XY与 的相关系数为,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5 已知二维随机变量 的概率密度为),( YX
其它,0
20,20),(
8
1
),(
yxyx
yxf
的相关系数与 XY?X Y试求 ()XY D X Y和解?)( XE
)(YE
d x d yyxfx ),(
20 20 )(81 d y d xxyx67?
20 20 67)(81 d x d yyyx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
()E X Y?
22
00
14()
83x y x y d x d y
故 与 的协方差为X Y 1
(,) ( ) ( ) ( ) 36Co v X Y E X Y E X E Y
又?)( 2XE
5
3?
)( XD
所以 X 的方差为
22 )]([)( XEXE?
36
11)
6
7(
3
5 2
20 20 2 )(81 d x d yyxx
机动 目录 上页 下页 返回 结束同理，,
36
11)(?YDY 的方差为 从而得
XY?
)()(
),(
YEXD
YXC o v
1 / 3 6 1
1 1 / 3 6 1 1
( ) ( ) ( ) 2 (,)D X Y D X D Y C o v X Y
1 1 1 1 12
3 6 3 6 3 65
9?
例 6 设随机变量 XY与 相互独立，且
22~ ( 1,2 ),~ ( 0,3 )X N Y N,,.23 XZ
XYZ 求?
解
(,)
( ) ( )XZ
Co v X Z
D X D Z
(,) (,)23XYCo v X Z Co v X
11(,) (,)
23Co v X X Co v X Y
1 ( ) 0 2
2 DX
( ) ( )23XYD Z D11( ) ( ) 249D X D Y
22
242XZ
例 7 将一枚硬币重复掷 n 次，以 分别表示XY与正面向上和反面向上的次数，求 XY与 的相关系数。
解,X Y n Y n XXY与 满足故 (,) (,)C o v X Y C o v X n X
(,)
( ) ( )XZ
Co v X Z
D X D Z Cov(X,Z)=2,D(X)=4,D(Z)=2
(,) (,) ( )C o v X n C o v X X D X(,) ( ) 1
()( ) ( )XY
Co v X Y D X
DXD X D Y
矩和协方差矩阵第四章第四节矩和协方差的定义
)( kXE?,2,1?k若存在，称它为 X k的 阶 原点矩,简称 阶矩。k
k
},)]({[ kXEXE,2,1?k若 存在，称它为 X 的阶 中心矩 。
lk? 阶 混合原点矩 。
),( lk YXE?,2,1,?lk X Y若 存在，称它为 和 的
,2,1,?lk },)]([()]({[ lk YEYXEXE若 存在，
X Y lk?和 的称它为 阶 混合中心矩 。
和 是随机变量，X Y设矩：
协方差阵,二维随机变量 ( X,Y )
记为随机变量 ( X,Y )的 协方差阵 。
n维随机变量说明：
所以 C是一个对称矩阵。
2、对角线上元素就是求 (X,Y)的协方差阵 C。
解：
（ Pascal,1623— 1662）
法国数学家 费马
（ Fermat,1601— 1665）
法国贵族 德,梅勒
（ de Mere,1607— 1684）
帕斯卡 德,梅勒约定先赢 5局，获全部赌金
A,4
B,3
分赌金写信费马假设再赌一局 A赢获全赌金,1A输获赌金,1/2
A最后获赌金,1/2× 1+1/2× 1/2=3/4
B最后获赌金,1/2× 0+1/2× 1/2=1/4
期望（提前分钱）
朋友引例,某人参加一个掷骰子游戏，规则如下：
掷得点数获得 (元 )
1点
1
2,3点
2
4,5,6点
4
求：平均每次游戏得多少钱？
解,设一次游戏得钱数为 X,则 X是一个随机变量。
它的分布率为：
X
P(X)
1
1/6
2
1/3
4
1/2
假设做了 n次游戏，
每次平均得：
当 n很大时，
注,离散型随机变量的数学期望由分布律唯一决定，
1
() kk
k
E X x p
1
kk
k
xp
若级数 绝对收敛,
设离散型随机变量 X 的分布律为
),3,2,1(,}{ kpxXP kk
简称 期望或均值,记为 E(X).
则称此级数的和为 X 的 数学期望 。
即其与 X 取值顺序无关。
定义 1
离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和,
6.03.01.0
1098
kp
X 8 9 1 0
0,2 0,5 0,3k
Y
p
例 1 甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出试问哪个人的射击水平较高？
解 甲乙的平均环数可求得：
因此，甲的射击水平要比乙的好。
解 设试开次数为 X,
n
k n
kXE
1
1
2
)1(1 nn
n
2
1 n于是某人的一串钥匙上有 n 把钥匙,其中只有一把能打开自己的家门,他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门,若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时试开次数的数学期望,
例 2
例 3 掷一颗均匀的骰子，以 X 表示掷得的点数，
6
1
17
62() iE X k
求 X 的数学期望。
1 12,,,.P X k k nn
2、几种常用离散型分布的期望
(1) （ 0— 1）分布
( ) 0 ( 1 ) 1E X p p p
(2) 二项分布
.)( npXE?
(3) 泊松分布
}{ kXP
)(~X
e
k
k
!?,2,1,0?k)( XE
设连续型随机变量 X 的概率密度为
()x f x d x
为 X 的数学期望。
()x f x d x
3、定义 2
如果
,xf
绝对收敛,则称简称期望或均值，记为 E (X),
即 ( ) ( )E X x f x d x
4、几种常用连续型分布的期望
(1) 均匀分布
其它,0
,
1
)(
bxa
abxf
dxxxfXE )()( ba dxab x baabx )(2
2
,2
ba
(2) 指数分布
00
0
x
xexf x
(3) 正态分布
.)(XE
注,1、并不是任何随机变量都存在期望。
（要满足绝对收敛的条件）
反例：
2,E(X)是一个常数，表示的是 随机变量取值的平均,
与一般算术值不同，它是以概率为权的加权平均，
反映了 随机变量取值集中在均值附近 。
发散的例 4,有 5个独立工作的电子装置,它们的寿命服从同一个指数分布，概率密度为
00
0
x
xexf x
(1)若将这 5个电子串联工作组成整机，求整机寿命 N的数学期望。
(2)并联成整机，求整机寿命 M的数学期望。
解：
(1)
(2)
4.11)( )(?NE ME
例 5,某项任务完成所需时间 T )5,1 0 0(~ 2N
该项任务若在 100天之内完成则得奖金 10000元，若在 100天至 115天内完成，则得奖金 1000 元,
115 天,罚款 5000,求完成任务获得的平均奖金数解,
)5,100(~ 2NT由 得
,规定：
若超过设 Y 是完成该任务所获奖金数，则
Y的可能取值为 10000,1000,-5000
)5 10 011 5(1 }115{ TP}5 0 0 0{YP
31 0013.0?
}1000{ YP }1 1 51 0 0{ TP 4987.0?
}10000{ YP
)20()0(
从而 Y 的分布律为 0.5
10000
0.0013
-5000
0.4987
1000
kp
Y
}5 0 0 0{YP 0013.0?
}1000{ YP 4987.0
已求出,
2.5492?
)(YE 5.01 0 0 0 04 9 8 7.01 0 0 00 0 1 3.05 0 0 0
}1 0 00{ TP
5.005.0
二、随机变量函数的数学期望那么应该如何计算呢？
设已知随机变量 X 的分布,我们需要计算的不是 X
的期望,而是 X 的某个函数 g(X)的期望,
按照期望的定义把 E [ g(X ) ]计算出来,
一种方法,因为 g( X )也是随机变量,故应有概率分布，
g( X )的分布可以由已知的 X 的分布求出来,
知道了 g(X )的分布，
)( 2XE
解,
283241181041)1( 2222
已知 X 的分布律为求 的数学期望 。2X
kp
X
1/4 1/8 1/4 3/8
-1 0 1 2Eg:
kp
2X
1/4 1/8 1/4 3/8
1 0 1 4
定理 1 设 ()Y g X? ( g为连续函数 )
⑴ 设 X为离散型随机变量，其分布律为
),3,2,1(,}{ kpxXP kk
1
()kk
k
g x p
若级数 绝对收敛,
则 g(X) 的数学期望为
1
( ) ( ( ) ) ( )kk
k
E Y E g X g x p
⑵ 设 X为连续型随机变量，其概率密度为 f (x),
若 绝对收敛,( ) ( )g x f x d x
则 g(X) 的数学期望为 ( ) ( ( ) ) ( ) ( )E Y E g X g x f x d x
连续型离散型
Xdxxfxg
Xpxg
XgEYE k
kk
,)()(
,)(
)]([)( 1
这给求随机变量函数的期望带来很大方便。
该公式的重要性在于,
知道 g ( X )的分布,而只需知道 X 的分布就可以了。
当我们求 E[g(X )]时,不必定理 2 设 ( X,Y )是二维随机变量,g ( X,Y )是二元连续函数 (,)Z g X Y?
⑴ 设 ( X,Y )为离散型随机变量，其联合分布律为
{,},(,1,2,3,)i j ijP X x Y y p i j
则 Z 的数学期望为
⑵ 设 X为连续型随机变量，其概率密度为 f (x,y),
则 Z 的数学期望为 ( ) (,) (,)E Z g x y f x y d x d y
绝对收敛
1 1
),()(
i j
ijji pyxgZE
设随机变量 X 的概率密度为例 1
求 E ( 1 / X )。
2
,0,()
0,0,
xx e x
fx
x
解：
2
0
1 xx e d x
x
2
2
0
xe d x
例 2,设某公共汽车站于每小时的 10分,50分发车,
乘客在每小时内任一时刻到达车站是等可能的。求乘客到达车站等车时间的数学期望。
设 T 为乘客到达车站的时刻 (分 )，
设 Y 为乘客等车时间，则
.,0
,600,
60
1
其它
t
tf
解,则其概率密度为已知已知 的概率密度),( YX
)(),(),( XYEYEXE
o t h e r
yxyx
yxf
,0
10,10,
),(
例 3、
求
)( XE
7
2)(?YE
)( XYE
d x d yyxfx ),( 72)(1
0
1
0
dx dyyxx解
10 10 )( d x d yyxxy
3
1?
d x d yyxx y f ),(
)()( YEXE?
同理
1,设 C 是常数，则 E(C )=C ;
2,若 C 是常数，则 E(CX ) = CE(X );
3.
三、数学期望的性质证明,设
d x d yyxfyxYXE ),()()(
d x d yyxxf ),(
d x d yyxyf ),(
yxfYX,~.
( ) ( ) ( )E X Y E X E Y
n
i
i
n
i
i XEXE
11
)(][:推广
( ) ( )E X E Y
4,设 X,Y 独立，则 E(XY )=E(X )E(Y );
证明,设
dx dyyxx y fXYE ),()(
dx dyyfxx y f YX )()(
yxfYX,~.
ydyfyxdxfx YX )()( )()( YEXE?
n
i
i
n
i
i XEXE
11
)(][ （当 Xi 独立时）
注意,该性质不是充要条件。
推广：
例 1,任意掷 5颗骰子,X— 5颗骰子出现的点数之和,求 E(X).
解：
1 2 3 4 5 6
例 2,二 项分布pnBX,~
解：
则
次试验失败如第次试验成功如第
i
iX
i 0
1
.,,2,1 ni
12 nX X X X
而 ~ ( 0 1 )iX? 分布，则 ()iE X p?
所以,
1
n
i
i
E X E X n p
，求 E(X)。
X表示 n重伯努利试验中成功的次数,
注意,分割随机变量的原则。
例 3,将 n封不同的信，随机放入 n个写好地址的信封，
用 X表示装对信件的个数，求 E(X)。
解：
.,,2,1 ni
则 12 nX X X X
0
n
11?
n
1
1
例 4 一民航送客载有 20 位旅客自机场开出，旅客有
10个车站可以下车，
就不停车。 以 X 表示停车的次数。 求 E( X ).（设每个旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立）。
如到达一个车站没有旅客下车
0,
1,i
X
第 i 站无人下车,
第 i 站有人下车,
解,设 1,2,1 0i?
则 1 2 1 0X X X X
20{ 0 } ( 9 / 1 0 )iPX
20{ 1 } 1 ( 9 / 1 0 )iPX
1 2 1 0( ) ( )E X E X X X
20( ) 1 ( 9 / 1 0 ),1,2,1 0iE X i
201 0 [ 1 ( 9 / 2 0 ) ] 8,7 8 4
注,iX 不是相互独立的。
方 差第四章第二节三、方差的性质一,方差的定义二、几种重要分布的方差例如,甲、乙两门炮同时向一目标射击 10发炮弹，
哪门炮射击效果好一些呢?其落点距目标的位置如图，
又如,甲、乙两个合唱队都由 5名成员组成，身高如下：
甲,1.60,1.62,1.59,1.60,1.59
乙,1.80,1.60,1.50,1.50,1.60
哪个合唱队演出效果好？
甲炮射击结果 甲炮射击结果一、方差的定义方差的算术平方根为 X 的方差。记为 D(X)或 Var(X)。
定义 设 X 是一个随机变量,若则称
2{ [ ( ) ] }E X E X
称为均方差或标准差。
2{ [ ( ) ] }E X E X
存在，
记为注,方差实际上就是 X的函数 g(X)=[X-E(X)]2 的期望。
方差反映了随机变量的取值与平均值的偏离程度。
若 X 的取值比较分散，则方差较大,
若 X 的取值比较集中，则方差较小；
机动 目录 上页 下页 返回 结束
22
1
( ) [ ( ) ] [ ( ) ]ii
i
D X E X E X x E X p
离散型 已知 X 分布律连续型 已知 X 的概率密度
2( ) [ ( ) ] ( )D X x E X f x d x
{} kkP X x p
()fx
证明：
推论：
常用计算公式：
（柯西 — 许瓦兹不等式）
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1
X 8 9 10
P 0.3 0.2 0.5
Y 8 9 10
P 0.2 0.4 0.4
甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：
试问那个人的射击水平较高？
解 比较量个人射击的平均环数，甲的平均环数为乙的平均环数为
：甲击中的环数； X,乙击中的环数；Y
5.0102.093.08EX
4.0104.092.08EY
环2.9?
环2.9?
机动 目录 上页 下页 返回 结束从平均环数上看,甲、乙射击水平是一样的。
但两人射击环数的方差分别为：
这表明乙的射击水平比甲稳定。
5.02.9102.02.993.02.98 222DX
76.0?
4.02.9104.02.992.02.98 222DY
624.0?
，由于 DXDY?
0)1()1()(
1
0
0
1
dxxxdxxxXE
6
1)1()1()( 1
0
2
0
1
22
dxxxdxxxXE
6
1)( XD
设随机变量 X 的概率密度为
1,1 0,
( ) 1,0 1,
0,.
xx
f x x x
o the rs
求 D(X )。
例 2
解：
1,（ 0-1） 分布 参数为 p
X
p p?1 p
0 1
二、几种常见分布的方差
22 ][)()( EXXEXD 2pp )1( pp
()E X p?
pEX? (1 )D X p p
),,2,1,0()1(}{ nkppCkXP knkkn
2．二项分布
()E X n p? ( ) (1 )D X n p p
~ (,)X b n p
)(~X
{} !
k e
P X k k
),2,1,0(k
3．泊松分布
()EX ()DX
),(~ baUX4．均匀分布
1
,,
()
0,.
a x b
fx ba
o th e rs
)( 2XE
3
22 baba
dxxfx )(2
2b
a
x dx
ba
22( ) ( ) ( )D X E X E X
2 2 2()
34
a a b b a b 2()
12
ba
⒌ 指数分布
,0,()
0,0,
xex
fx
x
1()EX?
2
1,( )DX?
2()
,( ) 12baDX
2)(
baXE
2~ (,)XN⒍ 正态分布
2
2
()
21()
2
x
f x e x
()EX 2,( )DX
注：服从正态分布的随机变量完全由它的数学期望和方差所决定。
特别,当 ~ (0,1 )XN ( ) 0EX?,( ) 1DX?
已知
1
c os,0,
~ ( ) 22
0,.
x
x
X f x
othe rs
例 3
求的次数，对 X 独立观察 4 次,Y 表示 X 的观察值大于
2( ),EY
/2?
解 由题意可知 ~ ( 4,)Y b p
/2
12{ } c o s 1
2 2 2 2
xp P X d x?
2 2 1 4 2
2 2 2( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )E Y D Y E Y n p p n p
1,设 C是常数,则 D(C) =0 ;
2,若 C是常数,则 D(CX )=C 2D(X );
3,若 X与 Y 独立，则三、方差的性质
( ) ( )D X Y D X D Y
证 2( ) { [ ( ) ] }D C X E C X E C X
2 2 2{ [ ( ) ] } ( )C E X E X C D X
注,这条性质同样不是一个充要条件。
11
[ ] ( ),
nn
ii
ii
D X D X
推广 若 X1,X2,…,Xn 相互 独立,则
n
i
ii
n
i
ii XDCXCD
1
2
1
)(][
4,D(X )=0
例 4,已知 X ~ b(n,p)，求 D(X)。
则
次试验失败如第次试验成功如第
i
iX
i 0
1,,,2,1 ni
12 nX X X X
~ ( 0 1 )iX? 分布所以,
解：
，则
= np(1-p).
注,利用方差和的性质时要注意相互独立的条件。
例 5 设 X 的可能取值为 1 2 31,0,1,x x x且
( ) 0,1,( ) 0,8 9E X D X，求 X 的分布律。
解 设 X 的分布律为
22 13( ) ( ) ( ) 0,9 0,9E X D X E X p p
13( ) 0,1 0,1E X p p
1 2 30,4,0,1,0,5p p p
1 2 3 1p p p
所以解 Z 为正态随机变量的线性组合，所以仍然服从正态分布，且其参数为
2 ( ) ( ) 4 ( ) 5D Z D X D Y
故例 6 设 X,Y 是两个相互独立的且服从正态分布的
~ ( 3,1 ),~ ( 2,1 )X N Y N?随机变量,且,则求随机变量 服从什么分布？
)( ZE 7)(2)( YEXE
Z ~ N(-7,5)
协方差和相关系数第四章第三节一、协方差和相关系数的定义二、协方差的性质三、相关系数的性质
1、定义 设二维随机变量 ),( YX
),( YXC o v
),( YXC o v则称它为 X与 Y的协方差，
即
)()(
),(
YDXD
YXC o v
XY
称为随机变量 X与 Y的 相关系数 。
)]}([)]({[ YEYXEXE若 存在，
)]}([)]({[ YEYXEXE
一、协方差和相关系数的定义记为
Covariance
2、常用计算公式
XYE {?
)()()( YEXEXYE
( ) ( ) ( )E X Y E X E Y?
)()()()( YEXEYEXE
YXE )(? )(YEX? )}()( YEXE?
)]}([)]({[ YEYXEXE),( YXC o v
( ) ( ) ( )E X Y E X E Y
证,
⑴
⑵
1,(,) (,)C o v X Y C o v Y X?
(,) (,),C o v a X b Y a b C o v Y X a b?为常数
3、
1 2 1 2(,) (,) (,)C o v X X Y C o v X Y C o v X Y
12(,)C o v X X Y?
2、
二、协方差的性质证：
三、相关系数的性质
1?XY?1)
1?XY?2) 的充要条件是 X与 Y以概率 1成线性关系
1}{ baXYP即
ba,)0(?a其中 为常数定理 1 设随机变量 X和 Y的相关系数存在，则引理等号成立当且仅当存在常数说明：
| | 1XY,X 与 Y 的线性关系越显著；
| | 0XY,X 与 Y 的线性关系越不显著；
2） (,) 0 ;C o v X Y?
( ) ( ) ( ) ;E X Y E X E Y?3） ( ) ( ) ( ),D X Y D X D Y4）
,0?XY?定义,相关系数 X Y则称 与 不相关 ;
相关系数 XY? 之间线性关系的一种度量,是 X与 Y
下列命题等价：
,0?XY?1）
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1 设随机变量 YX是 的线性函数,Y a X b
则求 X 和 Y 的相关系数。
解法一 由已知可得
(,) (,)C o v X Y C o v X a X b
所以
(,)
( ) ( )XY
Co v X Y
D X D Y
解法二 由已知可得 { } 1P Y a X b
所以 | | 1XY 1XY
()a D X?
2( ) ( ) ( )D Y D a X b a D X()
1| | ( )a D Xa D X
例 2,X ~ N(0,1),
,2XY?令 证明 X与 Y不相关。
证：,0)(?XE
)()( 3XEXYE
dxex
x
2
3 2
2?
= 0
)()()( YEXEXYE
X与 Y不相关。
但是，显然,X与 Y 不是相互独立的。
不相关,X 与 Y 之间没有线性关系，并不表示它们之间没有任何关系。
独立,X 与 Y 之间没有任何关系。
(,) 0C o v X Y? 0XY
独立 不相关例 3 设随机变量 (,)XY的概率密度为 221 /,1,
(,)
0,.
xyf x y
othe rs
问 X 和 Y 是否相互独立，是否不相关？
解 ⑴ 先求关于 X 和 Y 的边缘概率密度
221
,1 1,
()
0,.
X
x
x
fx
o the rs
221
,1 1,
()
0,.
Y
y
y
fy
othe rs
因为 ( ) ( ) (,)XYf x f y f x y
所以 X 和 Y 不相互独立。
⑵ 求 X 和 Y 的相关系数
( ) ( )XE X x f x d x 1 2
1
2 10x d x
( ) ( )YE Y y f y d y 1 2
1
2 10y y d y
( ) (,)E X Y x y f x y d x d y
所以 (,) 0C o v X Y? 0
XY
故 X 和 Y 不相关。
2
2
1
1
1
1
1x
x
d y d xxy
= 0.
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4 已知二维随机变量 的联合分布律为),( YX
),( YXC o v XY?求,,
0.30 0.12 0.18
0.10 0.18 0.12
－ 1
1
-2 0 1Y
X
解 边缘分布律为YX,11
~ 0,6 0 0,4 0X
2 0 1~
0,4 0 0,3 0 0,3 0Y
20.040.0160.01)(XE
机动 目录 上页 下页 返回 结束
50.030.0130.0040.02)(YE
( ) 1 ( 2 ) 0,3 0 ( 1 ) 0 0,1 2 ( 1 ) 1
0,1 8 1 ( 2 ) 0,0 1 1 0 0,1 8 1 1 0,1 2
0,3 4
E X Y
)()()(),( YEXEXYEYXCo v
XY与 的协方差为,
0,3 4 ( 0,2 0 ) ( 0,5 0 ) 0,2 4
0.30 0.12 0.18
0.10 0.18 0.12
－ 1
1
-2 0 1YX
下面求 的方差,YX,
00.140.0160.0)1()( 222XE
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2 2 2 2( ) ( 2 ) 0,4 0 0 0,3 0 1 0,3 0 1,9 0EY
96.0)20.0(00.1)]([)()( 222 XEXEXD
2 2 2( ) ( ) [ ( ) ] 1,9 0 ( 0,5 ) 1,6 5D Y E Y E Y
)()(
),(
YDXD
YXC o v
XY
19.0?
65.196.0
24.0
XY与 的相关系数为,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5 已知二维随机变量 的概率密度为),( YX
其它,0
20,20),(
8
1
),(
yxyx
yxf
的相关系数与 XY?X Y试求 ()XY D X Y和解?)( XE
)(YE
d x d yyxfx ),(
20 20 )(81 d y d xxyx67?
20 20 67)(81 d x d yyyx
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()E X Y?
22
00
14()
83x y x y d x d y
故 与 的协方差为X Y 1
(,) ( ) ( ) ( ) 36Co v X Y E X Y E X E Y
又?)( 2XE
5
3?
)( XD
所以 X 的方差为
22 )]([)( XEXE?
36
11)
6
7(
3
5 2
20 20 2 )(81 d x d yyxx
机动 目录 上页 下页 返回 结束同理，,
36
11)(?YDY 的方差为 从而得
XY?
)()(
),(
YEXD
YXC o v
1 / 3 6 1
1 1 / 3 6 1 1
( ) ( ) ( ) 2 (,)D X Y D X D Y C o v X Y
1 1 1 1 12
3 6 3 6 3 65
9?
例 6 设随机变量 XY与 相互独立，且
22~ ( 1,2 ),~ ( 0,3 )X N Y N,,.23 XZ
XYZ 求?
解
(,)
( ) ( )XZ
Co v X Z
D X D Z
(,) (,)23XYCo v X Z Co v X
11(,) (,)
23Co v X X Co v X Y
1 ( ) 0 2
2 DX
( ) ( )23XYD Z D11( ) ( ) 249D X D Y
22
242XZ
例 7 将一枚硬币重复掷 n 次，以 分别表示XY与正面向上和反面向上的次数，求 XY与 的相关系数。
解,X Y n Y n XXY与 满足故 (,) (,)C o v X Y C o v X n X
(,)
( ) ( )XZ
Co v X Z
D X D Z Cov(X,Z)=2,D(X)=4,D(Z)=2
(,) (,) ( )C o v X n C o v X X D X(,) ( ) 1
()( ) ( )XY
Co v X Y D X
DXD X D Y
矩和协方差矩阵第四章第四节矩和协方差的定义
)( kXE?,2,1?k若存在，称它为 X k的 阶 原点矩,简称 阶矩。k
k
},)]({[ kXEXE,2,1?k若 存在，称它为 X 的阶 中心矩 。
lk? 阶 混合原点矩 。
),( lk YXE?,2,1,?lk X Y若 存在，称它为 和 的
,2,1,?lk },)]([()]({[ lk YEYXEXE若 存在，
X Y lk?和 的称它为 阶 混合中心矩 。
和 是随机变量，X Y设矩：
协方差阵,二维随机变量 ( X,Y )
记为随机变量 ( X,Y )的 协方差阵 。
n维随机变量说明：
所以 C是一个对称矩阵。
2、对角线上元素就是求 (X,Y)的协方差阵 C。
解：
