第二章随机变量及其分布一、随机变量二、离散型随机变量及其分布三、随机变量的分布函数四、连续型随机变量及其分布五、随机变量的函数的分布第一节为了更方便地从数量方面研究随机现象的统计规律,
第二章有必要将 随机试验的结果数量化 。
随机变量对于随机试验而言，它的结果未必是数量化的。
人们作随机试验时，常常不是关心试验结果本身，而是对和试验结果联系着的某个数感兴趣引例 将一枚硬币连抛三次,事件 A1为,恰有一次出现正面,,A2为至少有一次出现正面，求 P(A1)，
P(A2)
},,,,,,,{ T T TT T HT HTHT TT HHHT HHHTHHHS?
0 1 1 1 2 2 2 3
出现正面的个数 eeXX )(
X
},,{1 TTHT H TH T TA?
出现正面的次数:X
e
}1{1 XA
TTTTTHT HTHT TT HHHT HHH THH H
}1{2 XXA
}3,2,1,0{?XR
e,样本点引例 2 测量某灯泡的寿命,
令定义,设 E是随机试验，它的样本空间为
X=X(e)是定义在样本空间上的 实值单值函数,
称 X 为 随机变量 。
注：如果 e本身是数，则令 X = X(e) = e,那么 X就是一个随机变量。
随机变量定义在样本空间上,定义域可以是数也可以不是数；而普通函数是定义在实数域上的。
2,随机变量函数的取值在试验之前无法确定,有一定的概率；而普通函数却没有。
随机变量的分类：
随机变量非离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量其它随机变量函数和普通函数的区别：
1,定义域不同离散型随机变量及其分布第二章一、离散型随机变量的定义二、常用的离散型随机变量第二、三节定义 1.若随机变量 X 的全部可能取值是有限个或可列无限多个,则称 X是 离散型随机变量 。
定义 2.设离散型随机变量 的所有可能取值为,其中事件 的概率：
{ },1,2,kkP X x p k
一、离散型随机变量的定义
eg,引例 1,X={0,1,2,3};
火车站候车人数,X={0,1,2,…}
称为 X的 概率分布或分布律 。
分布律也可用如下表格的形式表示：
性质：
例 1,袋中有 2个白球和 3个黑球,每次从中任取 1个,直到取到白球为止,X—取球次数，求 (1)无放回,(2)有放回情况下 X的分布律。
解,(1) 1 2 3 4
(2) X=1,2,3,……
kXP
5
2
5
3 1
k,k =1,2,3,……
例 2.设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号灯，每盏信号灯以概率 允许汽车通过,变量表示汽车停车次数 (设各信号灯的工 作是相互独立的）,
求 的分布律。
解 由题意可知 的分布律为，则将 带入可得 的分布律为
Ⅰ,(0— 1)分布定义 1.如果随机变量 的分布律为则称 服从参数为 的 (0—1)分布。
二、常用的离散型随机变量及其分布 （重点）
（ 0 —1）分布的分布律也可写成注,如果随机试验只有两个结果，总能定义一个服从
(0 —1)分布的随机变量。
1.伯努利 概型
① n重独立试验在相同的条件下对试验 E重复做 n次，若 n次试验中各结果是相互独立的，则称这 n次试验是相互独立的。
② 伯努利概型设随机试验 E只有 两种可能结果，且
,将试验 E独立地重复进行 n次，则称这 n次试验为 n重伯努利试验，或称 n重伯努利概型。
Ⅱ,二项分布
n重伯努利试验中,X— 事件 A发生的次数所以注：
定义 2.如果随机变量 的分布律为则称 服从参数为其中记为 ~ (,),X b n p
2、二项分布的二项分布,
特别,当 时,二项分布为这就是（ 0—1）分布，常记为某班有 30名同学参加外语考试，每人及格的概率解,X 0 1 2 …… 30
例 1、
例 2,设 100件产品中有 95件合格品,5件次品，先从中随机抽取 10件，每次取一件,X—10件产品中的次品数，
(1)有放回的抽取，求 X的分布律；
(2)无放回的抽取，求 X的分布律；
(3)有放回的情况，求 10件产品中至少有 2件次品的概率。
解,(1) A — 取得次品,P(A)=0.05,
k=0,1,2,3,4,5
(3)
注,明确告知有放回抽样时，是 n重贝努利试验；若没有告知，当总数很大，且抽查元件的数量相对于总数很小，
可以当作放回抽样。
对于固定 n 及 p，当 k 增加时,
概率 P( X = k ) 先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少,
当 (n+1) p 不为整数时，二项概率
P ( X = k ) 在 k =[(n+1) p]达到最大值；,.,n=10,p = 0.7
k
Pk
0
3,二项分布的图形特点,
当 (n+1) p 为整数时，二项概率 P
( X= k ) 在 k = (n +1) p 和 k = (n+1)
p-1处达到最大值,
),(~ pnbX
n=13,p = 0.5
Pk
k.,,.0
例 3.
}{ kXP )8 0 0,,1,0(k
}2{ XP
799800 99.001.08 0 099.01
某人购买彩票,设每次买一张,中奖的概率为 0.01，
共买 800次，求他至少中奖两次的概率。
解,把每次购买彩票看成一次随机试验
X设中奖的次数为 )01.0,800(~ bX，则即
kkkC 8 0 08 0 0 99.01.0
}1{}0{1 XPXP
997.0?
注,不可忽略小概率事件。 P44.eg3
例 4,设有 80台同类型设备，各台工作是相互独立的，
发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的办法,1、有四人维护，
每人负责 20台； 2、三人共同维护 80台。比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率。
解,1、设 X表示“第一个人维护的 20台中同时发生故障的台数,iA 表示“第 i个人维护的 20台中发生故障而不能及时维修,,1,2,3,4i =
所以,4个人维护 80台，发生故障而不能及时维修的概率：
)( 4321 AAAAP )( 1AP? ).2( XP =0.0169.
2、设 Y—80台同一时刻发生故障的台数,
则 Y~b(80,0.01)
=0.0087
所以,1,2两种方案，选取第二种。
定理 1（ 泊松 Poisson定理 ) 设 是一常数,n是正整数，若,则对任一固定的非负整数证明 由 得对于任意固定的故有
Ⅲ,泊松分布
}{ kXP
若随机变量 X 的分布律
)).(~ )(~ pXX （或
X称?服从参数为 的泊松分布,
记为
0其中 是常数,
e
k
k
!?,2,1,0?k
泊松分布的图形特点,)(~X
近数十年来,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一 。 泊松分布在管理科学,运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位 。
泊松分布的应用
① 排队问题：在一段时间内窗口等待服务的顾客
~ ( ),X pl数
② 生物存活的个数
~ ( ),X pl
~ ( ),X pl
③ 放射的粒子数随机变量的分布函数第二章一、分布函数的概念二、分布函数的性质第四节三、离散型分布函数的求法
)( x
为 X 的 分布函数 。
设 X 是一个随机变量，定义 1
x
的 函数值的含义,
上的概率,
xF
],( x
分布函数一、分布函数的概念是任意实数，则称函数x
表示 X 落在
∴ 可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。
(1) }{
21 xXxP
}{ 21 xXxP(2) }{ 1xXP
}{ 1xXP
同理，还可以写出二、分布函数的性质
⑴ 单调不减性：
⑶ 右连续性,
⑵,且
，则
1)(0 xF
上述三条性质，也可以理解为判别函数是否是分布函数的充要条件。
解,
例 1,已知随机变量 X 的分布律为
6
1
2
1
3
1
1X
kp
0 2
求分布函数 )(xF
}{)( xXPxF
当 时,0?x }{ xX 0)( xF
当 时,10 x }{)( xXPxF }0{ XP
3
1?
当 时,21 x
)( xF
6
1
3
1
)( xF 1?
2
1? }1{}0{ XPXP
}2{}1{ XPXP}0{?XP
时当 2?x
所以，
例 2,向 [0,1]区间随机抛一质点，以 X表示质点坐标,
特别,令解,
长度成正比,求 X的分布函数,
假定 质点落在 [0,1]区间内任一子区间内的概率与区间当 时,
当 时,
当 时,
连续型随机变量及其分布第二章一、连续型随机变量的定义二、常用的连续型随机变量第五、六节一、连续型随机变量的定义
()fx
定义 1,设 F(x) 是 随机变量 X的分布函数,若存在非负
，使对任意实数,xxf
则称 X为 连续型随机变量,称 为 X 的 概率密度函数,简称 概率密度 或 密度函数 。
x有函数
1,概率密度
f (x)的意义,随机变量 X在点 x 处的密集程度。
面积为 1
这两条性质是判定一个函数 )(xp 是否为某随机变量
X的概率密度函数的充要条件。
.1)( ＝ dxxp
性质 (1),(2)是密度函数的充要性质；
,0 xxp
(2) 归一性
(1) 非负性
p (x)
0 x
1
二,密度函数的性质
)(3 21 xXxP 2
1
)(x
x
tdtp＝ 21 xx?
即 X落在 上的概率上曲线xpy? 之下的曲边梯形的面积。
p (x)
x0
1x 2x
密度函数的几何意义
],[ 21 xx ],[ 21 xx?
(4) f (x)在点 x 处连续，则 )()( xFxf
x
xFxxFxf
x?
)()(l i m)(
0
故
x
xxXxP
x?
)(lim
0
进而 xxfxxXxP )()(
3、连续性随机变量的特点
(1)
(2)
(3) F(x)连续。
例 1,设连续型随机变量 X的概率密度为求 A的值，
解,
dxxf )(
0
3 dxAe x
0
3)
3
1( xeA 1
3
A
.3 A
3
1
)( dxxf3
1
0
33 dxe x
3
1
0
3xe,1
1 e
例 2,求常数 a,b,
及概率密度函数 f (x)。
解：
例 3、,求 A,B 及 f (x)。
解：
注,.)()( 的方法xfxF?
分布函数离散型 r.v的分布函数连续型 r.v的分布函数分布函数的性质概率分布律 概率密度随机变量的统计规律二、常用的连续型随机变量定义,若 连续型随机变量 X 的概率密度为：
则称 X 服从 [a,b]上的均匀分布，
X ～ U [a,b]
1、均匀分布
其它,0
,
1
)(
bxa
abxf
记作：
f (x)的图形
0,
( ) ( ),
1,.
x
xa
xa
F x f t dt a x b
ba
xb
，
，
分布函数为,
a b x
F (x)
0
1
图形如下
lcc dxxflcXcP )(}{
1cl
c
ldx
b a b a
因为由此可得，如果随机变量 X 服从区间 上的均匀分布，则随机变量 X 在区间 上的任一子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的位置无关。
均匀分布的概率背景
[,]ab
[,]ab
解依题意,X ～ U [ 0,30 ]
以 7:00为起点 0，以分为单位
1
,0 3 0,
() 30
0,.
x
fx
o th e r
随机变量例 1 某公共汽车站从上午 7时起,每 15分钟来一班车，
即 7:00,7:15,7:30,7:45 等时刻有汽车到达此站，
如果乘客到达此站时间 X是 7:00 到 7:30 之间的均匀
,试求他候车时间少于 5分钟的概率,
所求概率为：
}3025{}1510{ XPXP
3
1
30
1
30
1 30
25
15
10
dxdx
即乘客候车时间少于 5分钟的概率是 1/3。
2 10t X t+ + =
例 2,设随机变量 X 服从 [1,6]上的均匀分布，求一元二次方程 有实根的概率。
解 因为当 时，方程有实根，故所求概率为从而
042 X
}04{ 2XP )}2(2){( XXP?
},2{2}{ XPXP
其它利用
0,
61,
5
1
)(
x
xf
}2{ XP 6
22
.5451)( dxdxxf
.0}2{XP同理
5
4?
2,指数分布定义,若随机变量 X 的概率密度为：
00
0
1
x
xexf
x
指数分布。
为常数，则称随机变量 X服从 参数为其中? 的分布函数,
01
00
xe
x
xF x
0
()fx
x0
1
概率密度的图形例 3 假设顾客在某银行窗口等待服务的时间 (单位,分钟 )
X 服从参数为 的指数分布。若等待时间超过 10
分钟，则他离开。假设他一个月内要来银行 5次,以 Y
表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求 Y
的分布律及至少有一次没有等到服务的概率解 Y是离散型,~ ( 5,)Y b p，其中 { 1 0 }p P X=>
现在 X 的概率密度为
/51 / 5 0
()
0 0,
xex
fx
x
解
,00
03)( 3
x
xexf x
36
2
( 1 ) { 2 } 3 xp X e d x e
(2)已知该电子元件已使用了 1.5年，求它还能使用两
.电子元件的寿命 X(年） 服从参数为 1/3的指数分布例 4
(1)求该电子元件寿命超过 2年的概率。
年的概率为多少？
由已知得 X 的概率密度为
{ 3,5,1,5 }
{ 1,5 }
p X X
X
5.15.32 XXP
3
3,5
3 xe d x
3
1,5
3 xe dx
6e-=
由⑴、⑵结果得,指数分布具有无记忆性,即
P X s t X s ( 0 )P X t t
3,正态分布定义 1,若随机变量 X 的概率密度函数为则称 X 服从参数为的正态分布或高斯分布，
f (x)的图形：
特点,(52页）
(1) f (x)关于
(2) f (x)在
(3)
定义 2、,1,0若
).1,0(~ NX记为称 X 服从标准正态分布，
)(),( xx特殊写法：
.
2
1)( 2
2
x t
dtex
性质,),()( xx ).(1)( xx
思考,怎样证明
1
2
1 2
2
dxe
x
正态分布标准化
),(~ 2NX一般地，若,我们只要通过一个线性变换就能将它化成标准正态分布。
定理 1 若随机变量 ),(~ 2NX,则
~ 0,1XYN
YFy
证 要求 XY?
的分布函数
P Y y {}XPy
y t
dte
2
2
2
2
1
，代入上式，得，则作变换 dtdutu
2
21
2
uy
YF y e d u?
()y
{}P X y
标准正态分布的分布函数所以~ 0,1XYN?
( ) { }XF x P X x )(}{
xxXP
结论
① 若 ),(~ 2NX,则它的分布函数可以写成
),,(~ 2NX② 若
{}abPY)( bXaP
)()( ab
1,0~ NXY
例 5、
解：
= 0.8413.
= 0.0668.
原则：?3
超出这个范围的可能性仅占不到 0.3%。
这说明,X 的取值几乎全部集中在区间 内，]3,3[
例 6 设
()fx
3 51 x0
解 由图形可得
0.2=
,3.0)31(),,3(~ 2 XPsNX 且
)5(?XP求
)5(?XP
3.021
例 7,某电子元件的寿命服从,)35,300( 2N
求,1) 电子元件寿命在 250个小时以上的概率
k?3002) 求 k,使元件寿命在 之间的概率为 0.9
解,设 X =,电子元件的寿命”
58 k
}250{)1 XP }250{1 XP
)43.1(1)35 3 0 02 5 0(1 9236.0?
2) 由题意,9.0}3 0 03 0 0{ kXkP要使
)35()35( kk
95.0)35( k
9.01)35(2 k
查表,65.1
35?
k
公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01以下来设计的,设男子身高 X～ N (170,62),问车门高度应如何确定?
解 设车门高度为 h cm,按设计要求即
0.99故查表得例 8、
因为分布函数非减随机变量的函数的分布第二章一、离散型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布第七节随机变量的函数也是一个随机变量,xgyYxX?取值时，取值当本节的任务就是：
的分布．要求随机变量
，的分布，并且已知已知随机变量
Y
XgYX?
的函数，是是一随机变量，设 XYXXgY? Y则,
一、离散型随机变量的函数
X 是 离 散 型,其 分 布 律
,2,1 npxXP nn
X 1x 2x,? nx?
P 1p 2p,? np?
或
,，，,nyyy 21
，，其中 21 nxgy nn
Y X Y g X Y?是 的 函,,也 是 离 散 型它 的 取 值第 一 种 情 形
,，，,nyyy 21
两两不相同，则由
，,21 nxXPyYP nn
的分布律为可知随机变量 Y
,2,1 npyYP nn
或
Y 1y 2y,? ny?
P 1p 2p,? np?
如果第 二 种 情 形如果,，，,nyyy 21 有相同的项，
,的分布律随机变量应的概率相加，即可得相（看作是一项），并把则把这些相同的项合并
XgY?
例 1 的分布律为设离散型随机变量 X
X -3 -1 0 2 6 9
P
25 2
1
25 2
5
25 2
15
25 2
35
25 2
70
25 2
12 6
的分布律．，试求随机变量 YXY 32
解,的取值为随机变量 32 XY
，，，，，,1591359
Y - 9 - 5 - 3 1 9 15
P
25 2
1
25 2
5
25 2
15
25 2
35
25 2
70
25 2
12 6
32 XY
．这些取值两两互不相同 由此得随机变量的分布律为例 2,X设随机变量 的分布律见下表,试求随机变量的可能取值为Y 4,1,0
}0{ YP
}1{YP
}4{ YP
解,
}0)1{( 2XP 2.0}1{ XP
}4)1{( 2XP }1{ XP 1.0?
}0{ XP }1)1{( 2XP }2{ XP
7.0?
4.0 2.01.0
1X
kp
0 21?
3.0
21 XY 的分布律。
所以 Y 的分布率为：
2.0 1.07.0
4Y
kp
10
二,连续型随机变量函数的分布
，其密度函数为是一连续型随机变量，设 xfX X
随机变量．
也是连续型，我们假定的函数是再设 YXXgY?
．的密度函数我们要求的是 yfXgY Y?
法 1：分部函数法
yxg
XY dxxfyXgPyYPyF
XgY
)(
)(
的分布函数⑴．先求
yFyfXgY
XgY
YY
的密度函数关系求之间的的分布函数与密度函数⑵．利用定理 设随机变量 X 具有概率密度,,)( xxf X
).0)((0)()( xgxgxg 或恒有处处可导，且有又设函数则 Y =g(X ) 是 一个连续型随机变量 Y,其概率密度为
.,0
,|,)(|)]([
)(
其它
yyhyhf
yf
X
Y
其中 h(y) 是 g(x) 的反函数,
即 ) },(),(m a x {
) },(),(m in {
gg
gg
)()(1 yhygx
此时仍有：或恒有上恒有在设以外等于零，则只须假在有限区间若
),0)((0)(],[
],[)(
xgxgba
baxf
) },(),(m a x {) },(),(m i n { bgagbgag这里
.,0
,|,)(|)]([
)(
其它
yyhyhf
yf
X
Y
定理（续）
(证明略 )
解：
例 3,设 X 的概率密度为
其它,0
40,8/
)(
xx
xf X
求 Y = 2 X+8 的概率密度。
设 Y 的分布函数为
)( yFY }{ yYP? }82{ yXP
)(yFY 168 y
}2 8{ yXP )2 8( yF X
()() Y
Y
d F yfy
dy 2
1)
2
8( yf
X
8
,8 16
32
0,
y
y
其它
2
8
)(
y
X dttf
设随机变量 X 具有 概率密度,),( xxf
X
求 Y = X 2 的概率密度,
解,(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)：
.0)(0,01 20 yFyXY Y时故当由于
}{}{)(
,02
2
0
yXPyYPyF
y
Y
时当例 4
}{ yXyP
)()( yFyF XX
（ 2） 关于 y复合求导，
.0,0
,0) ],()([
2
1
)(
y
yyfyf
yyf
XX
Y
.0,0
,0,
2
1
)(
22
1
y
yey
yf
y
Y?
例如,设 X~N(0,1),其概率密度为：
.,
2
1)( 2
2
xex
x
则 Y = X 2 的概率密度为：
分布。的服从自由度为此时称 21?Y
的概率密度求 xeY?,
其它,0
40,8/
)(
xx
xf X例 4：练习
XeY? ）（ 4,1 e
)( yFY
,4 时当 ey)( yFY
解,由题意可知 的取值范围为
}{ yYP? 0?
}{ yYP? 1?
)( yFY }ln{ yXP
)(ln yF X?
其它,0?
)(' yF
Y )( yf Y
41,
8
ln ey
y
y
}{ yYP? }{ yeP X
,1 4 时当 ey
.)0(
),,(~ 2
也服从正态分布的线性函数试证明设随机变量
a
baXYXNX
满足定理的条件，,)(,)( axgbaxxgy
.1)(,)()( ayha byyhxxgy 且的反函数为：
证 X的概率密度为：
.,
2
1)( 2
2
2
)(
xexf
x
X
例 5
)(
||
1|)(|)]([)(
a
byf
a
yhyhfyf XXY
由定理的结论得：
.
||2
1
2
1
||
1 2
2
2
2
)(2
)]([
2
)(
a
baya
by
e
a
e
a
)(
||
1|)(|)]([)(
a
byf
a
yhyhfyf XXY
.)(,~ 2 abaNbaXY即有特别地,取 1,ab?
得 ~ ( 0,1 )XYN?
例 6
．的密度函数
，试求随机变量，，设随机变量
yfY
eYNX
Y
X?2~
解,的密度函数为，知题设由 X
．
函数为是严格增加的，它的反因为函数
yx
ey x
ln?
xexf
x
2
2
2
2
1
上变化．，在区间
，上变化时，在区间并且当随机变量
0
XeYX
时，，所以，当 0y
yyfyf XY lnln yy 12lne x p
2
1
2
2
00
0
2
ln
e x p
2
1
2
2
y
y
y
yyf Y?
的密度函数为由此得随机变量 XeY?
例 7
．的密度函数求随机变量
，试，的密度函数为随机变量设
yfY
XYxfX
Y
X?
解,
yFY
yFX
Y
X
的分布函数为
，随机变量的分布函数为设随机变量
yYPyF YyXP
，则⑴．若 0?y
yYPyF YyXP P 0?
，则⑵．若 0?y
yXyP
yYPyF YyXP
yFyF XX
的分布函数为综上所述，得随机变量 Y
00
0
y
yyFyF
yF XXY
的密度函数为对上式求导，可得 XY?
00
0
y
yyfyf
yf XXY
备用均匀分布，试求电压 V的概率密度,
上服从在区间是一个随机变量相角是一个已知的正常数其中设电压
2
,
2
,
,,s i n
AAV
解：
,
1
)(
,a r c s i n)(,0c os)(
22
,s i n)(
22
vA
vh
A
v
vhAxg
Agv
以及且有反函数
）上恒有，在（
的概率密度为：?
.,0
,
22
,
1
)(
其它
f
.,0
,|,)(|)]([
)(:
其它利用定理的结论
yyhyhf
yf
X
Y
,1)(
22 vA
vh
.,0
,,
11
)(
s i n
22
其它的概率密度为：得
AvA
vAyf
AV
Y
第二章 小 结
1 随机变量随即变量的概念，会用随机变量表示随机事件。
2 分布函数分部函数的定义及性质，会利用分布函数求事件的概率。
3 离散型随机变量离散型随机变量及其分布率的定义、性质 ;
会求离散型随机变量的分布率及分布函数 ;
掌握常用的离散型随机变量分布：两点分布、
二项分布、泊松分布。
5 会求随机变量的简单函数的分布。
4 连续型随机变量连续型随机变量及概率密度的定义、性质 ;
掌握概率密度与分布函数之间关系及其运算 ;
掌握常用的连续型随机变量分布：均匀分布、指数分布和正态分布。
第二章有必要将 随机试验的结果数量化 。
随机变量对于随机试验而言，它的结果未必是数量化的。
人们作随机试验时，常常不是关心试验结果本身，而是对和试验结果联系着的某个数感兴趣引例 将一枚硬币连抛三次,事件 A1为,恰有一次出现正面,,A2为至少有一次出现正面，求 P(A1)，
P(A2)
},,,,,,,{ T T TT T HT HTHT TT HHHT HHHTHHHS?
0 1 1 1 2 2 2 3
出现正面的个数 eeXX )(
X
},,{1 TTHT H TH T TA?
出现正面的次数:X
e
}1{1 XA
TTTTTHT HTHT TT HHHT HHH THH H
}1{2 XXA
}3,2,1,0{?XR
e,样本点引例 2 测量某灯泡的寿命,
令定义,设 E是随机试验，它的样本空间为
X=X(e)是定义在样本空间上的 实值单值函数,
称 X 为 随机变量 。
注：如果 e本身是数，则令 X = X(e) = e,那么 X就是一个随机变量。
随机变量定义在样本空间上,定义域可以是数也可以不是数；而普通函数是定义在实数域上的。
2,随机变量函数的取值在试验之前无法确定,有一定的概率；而普通函数却没有。
随机变量的分类：
随机变量非离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量其它随机变量函数和普通函数的区别：
1,定义域不同离散型随机变量及其分布第二章一、离散型随机变量的定义二、常用的离散型随机变量第二、三节定义 1.若随机变量 X 的全部可能取值是有限个或可列无限多个,则称 X是 离散型随机变量 。
定义 2.设离散型随机变量 的所有可能取值为,其中事件 的概率：
{ },1,2,kkP X x p k
一、离散型随机变量的定义
eg,引例 1,X={0,1,2,3};
火车站候车人数,X={0,1,2,…}
称为 X的 概率分布或分布律 。
分布律也可用如下表格的形式表示：
性质：
例 1,袋中有 2个白球和 3个黑球,每次从中任取 1个,直到取到白球为止,X—取球次数，求 (1)无放回,(2)有放回情况下 X的分布律。
解,(1) 1 2 3 4
(2) X=1,2,3,……
kXP
5
2
5
3 1
k,k =1,2,3,……
例 2.设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号灯，每盏信号灯以概率 允许汽车通过,变量表示汽车停车次数 (设各信号灯的工 作是相互独立的）,
求 的分布律。
解 由题意可知 的分布律为，则将 带入可得 的分布律为
Ⅰ,(0— 1)分布定义 1.如果随机变量 的分布律为则称 服从参数为 的 (0—1)分布。
二、常用的离散型随机变量及其分布 （重点）
（ 0 —1）分布的分布律也可写成注,如果随机试验只有两个结果，总能定义一个服从
(0 —1)分布的随机变量。
1.伯努利 概型
① n重独立试验在相同的条件下对试验 E重复做 n次，若 n次试验中各结果是相互独立的，则称这 n次试验是相互独立的。
② 伯努利概型设随机试验 E只有 两种可能结果，且
,将试验 E独立地重复进行 n次，则称这 n次试验为 n重伯努利试验，或称 n重伯努利概型。
Ⅱ,二项分布
n重伯努利试验中,X— 事件 A发生的次数所以注：
定义 2.如果随机变量 的分布律为则称 服从参数为其中记为 ~ (,),X b n p
2、二项分布的二项分布,
特别,当 时,二项分布为这就是（ 0—1）分布，常记为某班有 30名同学参加外语考试，每人及格的概率解,X 0 1 2 …… 30
例 1、
例 2,设 100件产品中有 95件合格品,5件次品，先从中随机抽取 10件，每次取一件,X—10件产品中的次品数，
(1)有放回的抽取，求 X的分布律；
(2)无放回的抽取，求 X的分布律；
(3)有放回的情况，求 10件产品中至少有 2件次品的概率。
解,(1) A — 取得次品,P(A)=0.05,
k=0,1,2,3,4,5
(3)
注,明确告知有放回抽样时，是 n重贝努利试验；若没有告知，当总数很大，且抽查元件的数量相对于总数很小，
可以当作放回抽样。
对于固定 n 及 p，当 k 增加时,
概率 P( X = k ) 先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少,
当 (n+1) p 不为整数时，二项概率
P ( X = k ) 在 k =[(n+1) p]达到最大值；,.,n=10,p = 0.7
k
Pk
0
3,二项分布的图形特点,
当 (n+1) p 为整数时，二项概率 P
( X= k ) 在 k = (n +1) p 和 k = (n+1)
p-1处达到最大值,
),(~ pnbX
n=13,p = 0.5
Pk
k.,,.0
例 3.
}{ kXP )8 0 0,,1,0(k
}2{ XP
799800 99.001.08 0 099.01
某人购买彩票,设每次买一张,中奖的概率为 0.01，
共买 800次，求他至少中奖两次的概率。
解,把每次购买彩票看成一次随机试验
X设中奖的次数为 )01.0,800(~ bX，则即
kkkC 8 0 08 0 0 99.01.0
}1{}0{1 XPXP
997.0?
注,不可忽略小概率事件。 P44.eg3
例 4,设有 80台同类型设备，各台工作是相互独立的，
发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的办法,1、有四人维护，
每人负责 20台； 2、三人共同维护 80台。比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率。
解,1、设 X表示“第一个人维护的 20台中同时发生故障的台数,iA 表示“第 i个人维护的 20台中发生故障而不能及时维修,,1,2,3,4i =
所以,4个人维护 80台，发生故障而不能及时维修的概率：
)( 4321 AAAAP )( 1AP? ).2( XP =0.0169.
2、设 Y—80台同一时刻发生故障的台数,
则 Y~b(80,0.01)
=0.0087
所以,1,2两种方案，选取第二种。
定理 1（ 泊松 Poisson定理 ) 设 是一常数,n是正整数，若,则对任一固定的非负整数证明 由 得对于任意固定的故有
Ⅲ,泊松分布
}{ kXP
若随机变量 X 的分布律
)).(~ )(~ pXX （或
X称?服从参数为 的泊松分布,
记为
0其中 是常数,
e
k
k
!?,2,1,0?k
泊松分布的图形特点,)(~X
近数十年来,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一 。 泊松分布在管理科学,运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位 。
泊松分布的应用
① 排队问题：在一段时间内窗口等待服务的顾客
~ ( ),X pl数
② 生物存活的个数
~ ( ),X pl
~ ( ),X pl
③ 放射的粒子数随机变量的分布函数第二章一、分布函数的概念二、分布函数的性质第四节三、离散型分布函数的求法
)( x
为 X 的 分布函数 。
设 X 是一个随机变量，定义 1
x
的 函数值的含义,
上的概率,
xF
],( x
分布函数一、分布函数的概念是任意实数，则称函数x
表示 X 落在
∴ 可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。
(1) }{
21 xXxP
}{ 21 xXxP(2) }{ 1xXP
}{ 1xXP
同理，还可以写出二、分布函数的性质
⑴ 单调不减性：
⑶ 右连续性,
⑵,且
，则
1)(0 xF
上述三条性质，也可以理解为判别函数是否是分布函数的充要条件。
解,
例 1,已知随机变量 X 的分布律为
6
1
2
1
3
1
1X
kp
0 2
求分布函数 )(xF
}{)( xXPxF
当 时,0?x }{ xX 0)( xF
当 时,10 x }{)( xXPxF }0{ XP
3
1?
当 时,21 x
)( xF
6
1
3
1
)( xF 1?
2
1? }1{}0{ XPXP
}2{}1{ XPXP}0{?XP
时当 2?x
所以，
例 2,向 [0,1]区间随机抛一质点，以 X表示质点坐标,
特别,令解,
长度成正比,求 X的分布函数,
假定 质点落在 [0,1]区间内任一子区间内的概率与区间当 时,
当 时,
当 时,
连续型随机变量及其分布第二章一、连续型随机变量的定义二、常用的连续型随机变量第五、六节一、连续型随机变量的定义
()fx
定义 1,设 F(x) 是 随机变量 X的分布函数,若存在非负
，使对任意实数,xxf
则称 X为 连续型随机变量,称 为 X 的 概率密度函数,简称 概率密度 或 密度函数 。
x有函数
1,概率密度
f (x)的意义,随机变量 X在点 x 处的密集程度。
面积为 1
这两条性质是判定一个函数 )(xp 是否为某随机变量
X的概率密度函数的充要条件。
.1)( ＝ dxxp
性质 (1),(2)是密度函数的充要性质；
,0 xxp
(2) 归一性
(1) 非负性
p (x)
0 x
1
二,密度函数的性质
)(3 21 xXxP 2
1
)(x
x
tdtp＝ 21 xx?
即 X落在 上的概率上曲线xpy? 之下的曲边梯形的面积。
p (x)
x0
1x 2x
密度函数的几何意义
],[ 21 xx ],[ 21 xx?
(4) f (x)在点 x 处连续，则 )()( xFxf
x
xFxxFxf
x?
)()(l i m)(
0
故
x
xxXxP
x?
)(lim
0
进而 xxfxxXxP )()(
3、连续性随机变量的特点
(1)
(2)
(3) F(x)连续。
例 1,设连续型随机变量 X的概率密度为求 A的值，
解,
dxxf )(
0
3 dxAe x
0
3)
3
1( xeA 1
3
A
.3 A
3
1
)( dxxf3
1
0
33 dxe x
3
1
0
3xe,1
1 e
例 2,求常数 a,b,
及概率密度函数 f (x)。
解：
例 3、,求 A,B 及 f (x)。
解：
注,.)()( 的方法xfxF?
分布函数离散型 r.v的分布函数连续型 r.v的分布函数分布函数的性质概率分布律 概率密度随机变量的统计规律二、常用的连续型随机变量定义,若 连续型随机变量 X 的概率密度为：
则称 X 服从 [a,b]上的均匀分布，
X ～ U [a,b]
1、均匀分布
其它,0
,
1
)(
bxa
abxf
记作：
f (x)的图形
0,
( ) ( ),
1,.
x
xa
xa
F x f t dt a x b
ba
xb
，
，
分布函数为,
a b x
F (x)
0
1
图形如下
lcc dxxflcXcP )(}{
1cl
c
ldx
b a b a
因为由此可得，如果随机变量 X 服从区间 上的均匀分布，则随机变量 X 在区间 上的任一子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的位置无关。
均匀分布的概率背景
[,]ab
[,]ab
解依题意,X ～ U [ 0,30 ]
以 7:00为起点 0，以分为单位
1
,0 3 0,
() 30
0,.
x
fx
o th e r
随机变量例 1 某公共汽车站从上午 7时起,每 15分钟来一班车，
即 7:00,7:15,7:30,7:45 等时刻有汽车到达此站，
如果乘客到达此站时间 X是 7:00 到 7:30 之间的均匀
,试求他候车时间少于 5分钟的概率,
所求概率为：
}3025{}1510{ XPXP
3
1
30
1
30
1 30
25
15
10
dxdx
即乘客候车时间少于 5分钟的概率是 1/3。
2 10t X t+ + =
例 2,设随机变量 X 服从 [1,6]上的均匀分布，求一元二次方程 有实根的概率。
解 因为当 时，方程有实根，故所求概率为从而
042 X
}04{ 2XP )}2(2){( XXP?
},2{2}{ XPXP
其它利用
0,
61,
5
1
)(
x
xf
}2{ XP 6
22
.5451)( dxdxxf
.0}2{XP同理
5
4?
2,指数分布定义,若随机变量 X 的概率密度为：
00
0
1
x
xexf
x
指数分布。
为常数，则称随机变量 X服从 参数为其中? 的分布函数,
01
00
xe
x
xF x
0
()fx
x0
1
概率密度的图形例 3 假设顾客在某银行窗口等待服务的时间 (单位,分钟 )
X 服从参数为 的指数分布。若等待时间超过 10
分钟，则他离开。假设他一个月内要来银行 5次,以 Y
表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求 Y
的分布律及至少有一次没有等到服务的概率解 Y是离散型,~ ( 5,)Y b p，其中 { 1 0 }p P X=>
现在 X 的概率密度为
/51 / 5 0
()
0 0,
xex
fx
x
解
,00
03)( 3
x
xexf x
36
2
( 1 ) { 2 } 3 xp X e d x e
(2)已知该电子元件已使用了 1.5年，求它还能使用两
.电子元件的寿命 X(年） 服从参数为 1/3的指数分布例 4
(1)求该电子元件寿命超过 2年的概率。
年的概率为多少？
由已知得 X 的概率密度为
{ 3,5,1,5 }
{ 1,5 }
p X X
X
5.15.32 XXP
3
3,5
3 xe d x
3
1,5
3 xe dx
6e-=
由⑴、⑵结果得,指数分布具有无记忆性,即
P X s t X s ( 0 )P X t t
3,正态分布定义 1,若随机变量 X 的概率密度函数为则称 X 服从参数为的正态分布或高斯分布，
f (x)的图形：
特点,(52页）
(1) f (x)关于
(2) f (x)在
(3)
定义 2、,1,0若
).1,0(~ NX记为称 X 服从标准正态分布，
)(),( xx特殊写法：
.
2
1)( 2
2
x t
dtex
性质,),()( xx ).(1)( xx
思考,怎样证明
1
2
1 2
2
dxe
x
正态分布标准化
),(~ 2NX一般地，若,我们只要通过一个线性变换就能将它化成标准正态分布。
定理 1 若随机变量 ),(~ 2NX,则
~ 0,1XYN
YFy
证 要求 XY?
的分布函数
P Y y {}XPy
y t
dte
2
2
2
2
1
，代入上式，得，则作变换 dtdutu
2
21
2
uy
YF y e d u?
()y
{}P X y
标准正态分布的分布函数所以~ 0,1XYN?
( ) { }XF x P X x )(}{
xxXP
结论
① 若 ),(~ 2NX,则它的分布函数可以写成
),,(~ 2NX② 若
{}abPY)( bXaP
)()( ab
1,0~ NXY
例 5、
解：
= 0.8413.
= 0.0668.
原则：?3
超出这个范围的可能性仅占不到 0.3%。
这说明,X 的取值几乎全部集中在区间 内，]3,3[
例 6 设
()fx
3 51 x0
解 由图形可得
0.2=
,3.0)31(),,3(~ 2 XPsNX 且
)5(?XP求
)5(?XP
3.021
例 7,某电子元件的寿命服从,)35,300( 2N
求,1) 电子元件寿命在 250个小时以上的概率
k?3002) 求 k,使元件寿命在 之间的概率为 0.9
解,设 X =,电子元件的寿命”
58 k
}250{)1 XP }250{1 XP
)43.1(1)35 3 0 02 5 0(1 9236.0?
2) 由题意,9.0}3 0 03 0 0{ kXkP要使
)35()35( kk
95.0)35( k
9.01)35(2 k
查表,65.1
35?
k
公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01以下来设计的,设男子身高 X～ N (170,62),问车门高度应如何确定?
解 设车门高度为 h cm,按设计要求即
0.99故查表得例 8、
因为分布函数非减随机变量的函数的分布第二章一、离散型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布第七节随机变量的函数也是一个随机变量,xgyYxX?取值时，取值当本节的任务就是：
的分布．要求随机变量
，的分布，并且已知已知随机变量
Y
XgYX?
的函数，是是一随机变量，设 XYXXgY? Y则,
一、离散型随机变量的函数
X 是 离 散 型,其 分 布 律
,2,1 npxXP nn
X 1x 2x,? nx?
P 1p 2p,? np?
或
,，，,nyyy 21
，，其中 21 nxgy nn
Y X Y g X Y?是 的 函,,也 是 离 散 型它 的 取 值第 一 种 情 形
,，，,nyyy 21
两两不相同，则由
，,21 nxXPyYP nn
的分布律为可知随机变量 Y
,2,1 npyYP nn
或
Y 1y 2y,? ny?
P 1p 2p,? np?
如果第 二 种 情 形如果,，，,nyyy 21 有相同的项，
,的分布律随机变量应的概率相加，即可得相（看作是一项），并把则把这些相同的项合并
XgY?
例 1 的分布律为设离散型随机变量 X
X -3 -1 0 2 6 9
P
25 2
1
25 2
5
25 2
15
25 2
35
25 2
70
25 2
12 6
的分布律．，试求随机变量 YXY 32
解,的取值为随机变量 32 XY
，，，，，,1591359
Y - 9 - 5 - 3 1 9 15
P
25 2
1
25 2
5
25 2
15
25 2
35
25 2
70
25 2
12 6
32 XY
．这些取值两两互不相同 由此得随机变量的分布律为例 2,X设随机变量 的分布律见下表,试求随机变量的可能取值为Y 4,1,0
}0{ YP
}1{YP
}4{ YP
解,
}0)1{( 2XP 2.0}1{ XP
}4)1{( 2XP }1{ XP 1.0?
}0{ XP }1)1{( 2XP }2{ XP
7.0?
4.0 2.01.0
1X
kp
0 21?
3.0
21 XY 的分布律。
所以 Y 的分布率为：
2.0 1.07.0
4Y
kp
10
二,连续型随机变量函数的分布
，其密度函数为是一连续型随机变量，设 xfX X
随机变量．
也是连续型，我们假定的函数是再设 YXXgY?
．的密度函数我们要求的是 yfXgY Y?
法 1：分部函数法
yxg
XY dxxfyXgPyYPyF
XgY
)(
)(
的分布函数⑴．先求
yFyfXgY
XgY
YY
的密度函数关系求之间的的分布函数与密度函数⑵．利用定理 设随机变量 X 具有概率密度,,)( xxf X
).0)((0)()( xgxgxg 或恒有处处可导，且有又设函数则 Y =g(X ) 是 一个连续型随机变量 Y,其概率密度为
.,0
,|,)(|)]([
)(
其它
yyhyhf
yf
X
Y
其中 h(y) 是 g(x) 的反函数,
即 ) },(),(m a x {
) },(),(m in {
gg
gg
)()(1 yhygx
此时仍有：或恒有上恒有在设以外等于零，则只须假在有限区间若
),0)((0)(],[
],[)(
xgxgba
baxf
) },(),(m a x {) },(),(m i n { bgagbgag这里
.,0
,|,)(|)]([
)(
其它
yyhyhf
yf
X
Y
定理（续）
(证明略 )
解：
例 3,设 X 的概率密度为
其它,0
40,8/
)(
xx
xf X
求 Y = 2 X+8 的概率密度。
设 Y 的分布函数为
)( yFY }{ yYP? }82{ yXP
)(yFY 168 y
}2 8{ yXP )2 8( yF X
()() Y
Y
d F yfy
dy 2
1)
2
8( yf
X
8
,8 16
32
0,
y
y
其它
2
8
)(
y
X dttf
设随机变量 X 具有 概率密度,),( xxf
X
求 Y = X 2 的概率密度,
解,(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)：
.0)(0,01 20 yFyXY Y时故当由于
}{}{)(
,02
2
0
yXPyYPyF
y
Y
时当例 4
}{ yXyP
)()( yFyF XX
（ 2） 关于 y复合求导，
.0,0
,0) ],()([
2
1
)(
y
yyfyf
yyf
XX
Y
.0,0
,0,
2
1
)(
22
1
y
yey
yf
y
Y?
例如,设 X~N(0,1),其概率密度为：
.,
2
1)( 2
2
xex
x
则 Y = X 2 的概率密度为：
分布。的服从自由度为此时称 21?Y
的概率密度求 xeY?,
其它,0
40,8/
)(
xx
xf X例 4：练习
XeY? ）（ 4,1 e
)( yFY
,4 时当 ey)( yFY
解,由题意可知 的取值范围为
}{ yYP? 0?
}{ yYP? 1?
)( yFY }ln{ yXP
)(ln yF X?
其它,0?
)(' yF
Y )( yf Y
41,
8
ln ey
y
y
}{ yYP? }{ yeP X
,1 4 时当 ey
.)0(
),,(~ 2
也服从正态分布的线性函数试证明设随机变量
a
baXYXNX
满足定理的条件，,)(,)( axgbaxxgy
.1)(,)()( ayha byyhxxgy 且的反函数为：
证 X的概率密度为：
.,
2
1)( 2
2
2
)(
xexf
x
X
例 5
)(
||
1|)(|)]([)(
a
byf
a
yhyhfyf XXY
由定理的结论得：
.
||2
1
2
1
||
1 2
2
2
2
)(2
)]([
2
)(
a
baya
by
e
a
e
a
)(
||
1|)(|)]([)(
a
byf
a
yhyhfyf XXY
.)(,~ 2 abaNbaXY即有特别地,取 1,ab?
得 ~ ( 0,1 )XYN?
例 6
．的密度函数
，试求随机变量，，设随机变量
yfY
eYNX
Y
X?2~
解,的密度函数为，知题设由 X
．
函数为是严格增加的，它的反因为函数
yx
ey x
ln?
xexf
x
2
2
2
2
1
上变化．，在区间
，上变化时，在区间并且当随机变量
0
XeYX
时，，所以，当 0y
yyfyf XY lnln yy 12lne x p
2
1
2
2
00
0
2
ln
e x p
2
1
2
2
y
y
y
yyf Y?
的密度函数为由此得随机变量 XeY?
例 7
．的密度函数求随机变量
，试，的密度函数为随机变量设
yfY
XYxfX
Y
X?
解,
yFY
yFX
Y
X
的分布函数为
，随机变量的分布函数为设随机变量
yYPyF YyXP
，则⑴．若 0?y
yYPyF YyXP P 0?
，则⑵．若 0?y
yXyP
yYPyF YyXP
yFyF XX
的分布函数为综上所述，得随机变量 Y
00
0
y
yyFyF
yF XXY
的密度函数为对上式求导，可得 XY?
00
0
y
yyfyf
yf XXY
备用均匀分布，试求电压 V的概率密度,
上服从在区间是一个随机变量相角是一个已知的正常数其中设电压
2
,
2
,
,,s i n
AAV
解：
,
1
)(
,a r c s i n)(,0c os)(
22
,s i n)(
22
vA
vh
A
v
vhAxg
Agv
以及且有反函数
）上恒有，在（
的概率密度为：?
.,0
,
22
,
1
)(
其它
f
.,0
,|,)(|)]([
)(:
其它利用定理的结论
yyhyhf
yf
X
Y
,1)(
22 vA
vh
.,0
,,
11
)(
s i n
22
其它的概率密度为：得
AvA
vAyf
AV
Y
第二章 小 结
1 随机变量随即变量的概念，会用随机变量表示随机事件。
2 分布函数分部函数的定义及性质，会利用分布函数求事件的概率。
3 离散型随机变量离散型随机变量及其分布率的定义、性质 ;
会求离散型随机变量的分布率及分布函数 ;
掌握常用的离散型随机变量分布：两点分布、
二项分布、泊松分布。
5 会求随机变量的简单函数的分布。
4 连续型随机变量连续型随机变量及概率密度的定义、性质 ;
掌握概率密度与分布函数之间关系及其运算 ;
掌握常用的连续型随机变量分布：均匀分布、指数分布和正态分布。
