概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科,随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来,也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象,
第五章 大数定律与中心极限定理研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究,
极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种,
与大数定律 中心极限定理下面我们先介绍大数定律大数定律第五章第一节一,切比雪夫 Chebyshev不等式二、几个常见的大数定律定义 1
,有,
对随机变量序列
12,,,nX X X
，如果存在常数 a,使得对于任意依概率收敛 于 a,记为则称预备知识：
等价形式：
,0
2
(){ | ( ) | } DXP X E X?
2
(){ | ( ) | } 1 DXP X E X?
有则称此式为 切比雪夫不等式 。
存在，则对任意证明 设 X 为连续型（离散型类似），其密度为 ()fx
2()E X D X和方差 （ ）设随机变量 X 的数学期望命题 (切比雪夫 Chebyshev不等式）
切比雪夫
2
2
| ( ) |
[ ( ) ] ()
x E X
x E X f x d x
则
| ( ) |
{ | ( ) | } ( )
x E X
P X E X f x d x
2
2
1 [ ( ) ] ( )x E X f x d x
2
2
[ ( ) ] 1x E X
2
()DX
注,Chebyshev不等式 对随机变量在以 ()EX
的一个 ε领域外取值的概率给出了一个上界 2().DX?
为中心例 1 一电网有 1万盏路灯,晚上每盏灯开的概率为 0.7，
求同时开的灯数在 6800至 7200之间的概率至少为多少?
解,设 X 为同时开的灯数。 4~ (1 0,0,7)Xb
由二项分布
{ 6 8 0 0 7 2 0 0 }PX
用切比雪夫不等式
{ 6 8 0 0 7 2 0 0 }PX
4
7200
10
10
6800
0,7 0,3k k k
k
C?
{ 6 8 0 0 7 0 0 0 7 0 0 0 7 2 0 0 7 0 0 0 }PX
{ 7 0 0 0 2 0 0 }PX221001 0,9 5200 200
已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数解 设每毫升白细胞数为 X
依题意,EX =7300,DX =7002 所求为
{ 2 1 0 0 2 1 0 0 }P X E X
2)2 1 0 0(
)(1 XD
由切比雪夫不等式
{ 2 1 0 0 }P X E X 98911
{ 2 1 0 0 }P X E X
{ 5 2 0 0 7 3 0 0 7 3 0 0 9 4 0 0 7 3 0 0 }PX
{ 5 2 0 0 9 4 0 0 }PX
估计每毫升白细胞数在 5200～ 9400 之间的概率,
平均是 7300，均方差是 700,利用切比雪夫不等式例 2
2)
21 00
70 0(1
即每毫升白细胞数在 5200-9400之间的概率不小于 8/9。
大数定律的客观背景大量的随机现象中平均结果的稳定性大量抛掷硬币正面出现频率 字母使用频率生产过程中的 废品率几个常见的大数定律定理 1（切比雪夫大数定律）
1
1l im { | | } 1n
in
i
PX
n
则即对任意的 ε> 0，
设 X1,X2,… 是一列相互独立的随机变量序列，
它们都有相同的数学期望 2()
iiE X D X和方差 （ ）
1
1,n P
i
i
X
n
证明
1 1 1
1 1 1( ) ( )n n n
ii
i i i
E X E X
n n n
2
2
22
1 1 1
1 1 1( ) ( )n n n
ii
i i i
D X D X
n n n n
由 切比晓夫不等式 得：
2
2
1
1}|
1
{|
n
X
n
P
n
k
k
1?
所以
1
1l im { | | } 1n
in
i
PX
n
n
i
iXn
1
1
其取值接近于其数学期望的概率接近于 1.
当 n充分大时,差不多不再是随机的了，注：
定理 2（辛钦定律）
且具有相同的数学期望辛钦设随机变量序列 X1,X2,… 独立同分布,
则
( ),1,2,iE X i
1
1l im { | | } 1n
in
i
PX
n
辛钦大数定律中，随机变量的方差可以不存在，只要独立同分布就可以了。
比较和定理 1的条件有什么不同？
定理 3（伯努利大数定律）
P是事件 A发生的概率，则对任给的 ε> 0，有
1}|{|lim
pnnP A
n
或 0}|{|lim
pnnP A
n
设 nA是 n重贝努里试验中事件 A发生的次数，
即,
PAn p
n
证明 引入随机变量
1,
0i
i
X
i
第次
，第 次试验中 A发生，
试验中 A不发生,12i?,，
显然 12Ann X X X
且又由于各次试验相互独立，所以
12,,,nX X X独立同分布,
则由辛钦大数定律可得
1}|{|lim
pnnP A
n
显然伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况。
例 3 如何测量某一未知的物理量 a,使得误差较小？
解 在相同的条件下测量 n 次，其结果为
12,,,nX X X，它们可看成是相互独立、相同分布的随机变量，并且有数学期望为 a,于是由辛钦大数定律可知，当 n 时，有
1
1
1 ()n P
i
i
X E X a
n?
因此我们可取 n次测量值 12,,,nx x x的算术平均值作为 a 的近似值，即
1
1 n
i
i
ax
n?
,当 n充分大时误差很小。
一 中心极限定理的客观背景在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响,
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响,
§ 2 中心极限定理则这种量 X 一般 都服从或近似服从 正态分布。
观察表明：
如果一个量是由 大量相互独立的 随机因素的影响所造成，
nXXXX21
习惯于把 和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理,
在概率论中，
而每一个别因素在总影响 X 中所起的作用不大。
定理 1（独立同分布的中心极限定理）
且服从同一分布，
且具有期望和方差
2 0 1,2,,.kkE X D X k n
则设 相互独立，12,,,,nX X X
，即或
1l im ( )
n
i
i
n
Xn
P x x
n
1 ~ ( 0,1 )
n
i
i
Xn
N
n
近似
2
1
~ (,)
n
i
i
X N n n
近似之和总可以近似服从正态分布,
此定理表明,无论,,,,
21 nXXX 原来服从什么分布,当 n充分大时，
例 1 某人要测量甲、乙两地之间的距离。 限于测量工具，他分成 1200 段来测量。 每段测量误差（单位厘米）服从于（ -0.5,0.5)上的均匀分布。求总距离误差的绝对值超过 20厘米的概率。
解 设第 k 段的测量误差为,1200,,2,1kX
k
1 2 0 021,,,XXX?
且 是独立同分布的随机变量。且
,1200,,2,15.0,5.0~ kUX k
211( ) 0 ( ) [ 0,5 ( 0,5 ) ]
1 2 1 2kkE X D X
累计误差即总距离误差为?
n
i
kX
1
，由独立同分布的中心极限定理可得,即则所求概率为
20
1 2 0 0
1k
kXP
12
1
12 00
20
12
1
12 00
0
1 2 0 0
1k
k
X
P
1200
2
1
~ (,)i
i
X N n n
近似 1200
1
~ ( 0,10 0)i
i
XN
近似
2
10
0
1
1 2 0 0
1k
k
X
P
2 2 22 0,0 2 2 8 0,0 4 5 6
定理 2（棣莫佛 -拉普拉斯定理） De Moivre-Laplace
l im { }
( 1 )
n
n
npPx
n p p
dte
x t
2
2
2
1
n?设随机变量 服从参数为10, ppn 的二项分布则对任意的,有
x
~ (,( 1 ) ),n N n p n p p n 近似地即或证 因为 ~ (,)n b n p?
~ ( 0,1 )
( 1 )
n np N
n p p
近似所以
1
n
nk
k
X?
其中
{ 1 },{ 0 } 1kkP X p P X p
kX 相互独立，且都服从（ 0-1）分布。
,( 1 )kkE X p D X p p
由独立同分布的中心极限定理可得
1l im { } l im { } ( )
( 1 ) ( 1 )
n
k
nk
nn
X n p
np
P x P x x
n p p n p p
注,此定理表明正态分布是二项分布的极限分布，
当 n 充分大时，可以利用正态分布计算二项分布的概率。
)()(
n p q
npa
n p q
npb?
).,(~ pnBnY推论,设随机变量近似计算，当 n充分大时有：
{} k k n knn
a k b
P a Y b C p q?
例 1 报童沿街向行人兜售报纸，假设每位行人买报的概率为 0.2,且他们是否买报是相互独立的。求报童向 100位行人兜售之后，卖掉 15－ 30份报纸的概率。
解 设报童卖掉报纸的份数为 X,~,X b n p
416202.0100 npqnppn
3015 XP?
4
2015
4
2030
8 8 6 2.01 0 5 6.09 9 1 8.025.15.2
例 2 某单位有 200台电话分机，每台分机有 5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以 90%以上的概率保证分机用外线时不等待？
解 设有 X 部分机同时使用外线，则有 ),,(~ pnBX
2 0 0,0,0 5,1 0,( 1 - ) 3,0 8,n p n p n p p
设有 N 条外线。由题意有 9.0}{ NXP
由德莫佛 -拉普拉斯定理得
}{ NXP ( 1 ) ( 1 )
X np N npP
np p np p
其中
10,
3,08( 1 )
N np N
np p
条外线。即至少要安装取即 14,14.94.13 NN
.90.0)28.1(查表得 10
1,2 83,0 8N故 N 应满足条件例 3 根据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布,现随机地取 16只
,设它们的寿命是相互独立的,求这 16只元件的寿命总和大于 1920小时的概率,
由题给条件知,诸 Xi独立,
16只元件的寿命的总和为?
16
1k
kXY
解,设第 i只元件的寿命为 Xi,i =1,2,…,16
E(Xi)=100,D(Xi)=10000
依题意，所求为 P(Y>1920)
由中心极限定理,
近似 ~N(0,1)
400
1600?Y
P(Y>1920)=1-P(Y?1920)
=1-?(0.8)
)400 16001920400 1600(1 YP
=1-0.7881=0.2119
n
k
k
n
k
n
k
kk
XD
XEX
1
1 1
)(
)(
)40 016 0019 20(1-
例 4 利用 ⑴ 契比雪夫不等式
⑵ 中心极限定理分别确定需要投掷一枚均匀硬币多少次，使得出现
“正面向上”的频率在 0.4到 0.6之间的概率不小于 0.9。
解 设 X 表示正面出现的次数（ n 次试验）
~ (,1 / 2 )X b n
⑴ 利用契比雪夫不等式
{ 0,4 0,6 }XP n
1()
2E X n p n
{ 0,4 0,6 }P n X n
1 1 1{ 0,4 0,6 }
2 2 2P n n X n n n1
{| | 0,1 }2P X n n0.9?
由契比雪夫不等式
2
1 / 4{| | 0,1 } 1
2 ( 0,1 )
nP X n n
n0.9?
所以 250n?
{ 0,4 0,6 }XP n{ 0,4 0,6 }P n X n
0,4 0,5 0,5 0,6 0,5{ } 0,9
/ 2 / 2 / 2
n n X n n nP
n n n
~ (,1 / 2 )X b n因为由德莫佛 -拉普拉斯定理得
0.12 ( ) 1 0.9
/2
n
n
0,1( ) 0,95
/2
n
n
0,2 1,6 4 5n 6 7,6 5
68n?故取
(2)中心极限定理
~ ( / 2,/ 4 )X N n n近似例 5 (供电问题 )某车间有 200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位臵及调换工件等常需停车,设开工率为 0.6,并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力 1千瓦,
问应供应多少瓦电力就能以 99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?
用 X表示在某时刻工作着的车床数，
解：
依题意,X~b(200,0.6),
现在的问题是：
P(X≤N)≥0.999 的最小的 N.求满足由德莫佛 -拉普拉斯极限定理
)1( pnp
npX
近似 ~N(0,1),这里 np=120,
np(1-p)=48
设供应 N千瓦的电力于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N)
)
48
120()
48
120( N
此项为 0.
)
48
1 2 0( N
查正态分布函数表得由 ≥0.999，)
48
120( N
即所求 N=142.
也就是说,应供应 142 千瓦电力就能以
99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产,
999.0)1.3(
例 6 在一个罐子中,装有 10个编号为 0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码,
否则次取到号码第
0
01 k
X k解 (1) 设,k=1,2,…
(1) 至少应取球多少次才能使,0”出现的频率在 0.09-0.11之间的概率至少是 0.95?
(2) 用中心极限定理计算在 100次抽取中,
数码,0”出现次数在 7和 13之间的概率,
设应取球 n次,0出现频率为?
n
k
kXn
1
1
,1.0)1(
1
n
k
kXnE nXnD
n
k
k
09.0)1(
1
由中心极限定理近似 N(0,1)
n
nX
n
k
k
3.0
1.0
1
n
X
n
n
k
k
3.0
1.0
1
1
}11.0109.0{
1
n
k
kXnP
}01.0|1.01{|
1
n
k
kXnP
}
30
|
3.0
1.0
1
{| 1
n
n
X
n
P
n
k
k
1)
30
(2 n?
n
X
n
n
k
k
3.0
1.0
1
1
近似 N(0,1)
95.01)
30
(2n?
欲使
975.0)
30
(?n?即
96.1
30
n
查表得从中解得 3458?n
即至少应取球 3458次才能使,0”出现的频率在 0.09-0.11之间的概率至少是 0.95.
解 (2)：在 100次抽取中,数码,0”出现次数为?
100
1k
kX
由中心极限定理,
100
1
100
1
100
1
)(
)(
k
k
k
k
k
k
XD
XEX
近似 N(0,1)
3
10
100
1
k
kX即 近似 N(0,1)
E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09
即在 100次抽取中，数码,0”出现次数在
7和 13之间的概率为 0.6826.
1 0 0
1
)137(
k
kXP
=0.6826
3
10
100
1
k
kX
近似 N(0,1)
)1
3
10
1(
100
1?
k
kX
P
)1()1(
1)1(2
在一个物理实验中的测量误差是由许多不可能观察到的,而可看作是可加的小误差所组成,
在任一给定时刻,一个城市的耗电量是大量单独的耗电者需用电量的总和,
在一个蓄水池中的储水量可以看作是极大数量的单独供水池的供水量的总和,
不难发现,在许多领域里,研究的课题所碰到的许多随机现象都很好地近似正态分布,从中心极限定理看来,这是合理的,
第五章 大数定律与中心极限定理研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究,
极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种,
与大数定律 中心极限定理下面我们先介绍大数定律大数定律第五章第一节一,切比雪夫 Chebyshev不等式二、几个常见的大数定律定义 1
,有,
对随机变量序列
12,,,nX X X
，如果存在常数 a,使得对于任意依概率收敛 于 a,记为则称预备知识：
等价形式：
,0
2
(){ | ( ) | } DXP X E X?
2
(){ | ( ) | } 1 DXP X E X?
有则称此式为 切比雪夫不等式 。
存在，则对任意证明 设 X 为连续型（离散型类似），其密度为 ()fx
2()E X D X和方差 （ ）设随机变量 X 的数学期望命题 (切比雪夫 Chebyshev不等式）
切比雪夫
2
2
| ( ) |
[ ( ) ] ()
x E X
x E X f x d x
则
| ( ) |
{ | ( ) | } ( )
x E X
P X E X f x d x
2
2
1 [ ( ) ] ( )x E X f x d x
2
2
[ ( ) ] 1x E X
2
()DX
注,Chebyshev不等式 对随机变量在以 ()EX
的一个 ε领域外取值的概率给出了一个上界 2().DX?
为中心例 1 一电网有 1万盏路灯,晚上每盏灯开的概率为 0.7，
求同时开的灯数在 6800至 7200之间的概率至少为多少?
解,设 X 为同时开的灯数。 4~ (1 0,0,7)Xb
由二项分布
{ 6 8 0 0 7 2 0 0 }PX
用切比雪夫不等式
{ 6 8 0 0 7 2 0 0 }PX
4
7200
10
10
6800
0,7 0,3k k k
k
C?
{ 6 8 0 0 7 0 0 0 7 0 0 0 7 2 0 0 7 0 0 0 }PX
{ 7 0 0 0 2 0 0 }PX221001 0,9 5200 200
已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数解 设每毫升白细胞数为 X
依题意,EX =7300,DX =7002 所求为
{ 2 1 0 0 2 1 0 0 }P X E X
2)2 1 0 0(
)(1 XD
由切比雪夫不等式
{ 2 1 0 0 }P X E X 98911
{ 2 1 0 0 }P X E X
{ 5 2 0 0 7 3 0 0 7 3 0 0 9 4 0 0 7 3 0 0 }PX
{ 5 2 0 0 9 4 0 0 }PX
估计每毫升白细胞数在 5200～ 9400 之间的概率,
平均是 7300，均方差是 700,利用切比雪夫不等式例 2
2)
21 00
70 0(1
即每毫升白细胞数在 5200-9400之间的概率不小于 8/9。
大数定律的客观背景大量的随机现象中平均结果的稳定性大量抛掷硬币正面出现频率 字母使用频率生产过程中的 废品率几个常见的大数定律定理 1（切比雪夫大数定律）
1
1l im { | | } 1n
in
i
PX
n
则即对任意的 ε> 0，
设 X1,X2,… 是一列相互独立的随机变量序列，
它们都有相同的数学期望 2()
iiE X D X和方差 （ ）
1
1,n P
i
i
X
n
证明
1 1 1
1 1 1( ) ( )n n n
ii
i i i
E X E X
n n n
2
2
22
1 1 1
1 1 1( ) ( )n n n
ii
i i i
D X D X
n n n n
由 切比晓夫不等式 得：
2
2
1
1}|
1
{|
n
X
n
P
n
k
k
1?
所以
1
1l im { | | } 1n
in
i
PX
n
n
i
iXn
1
1
其取值接近于其数学期望的概率接近于 1.
当 n充分大时,差不多不再是随机的了，注：
定理 2（辛钦定律）
且具有相同的数学期望辛钦设随机变量序列 X1,X2,… 独立同分布,
则
( ),1,2,iE X i
1
1l im { | | } 1n
in
i
PX
n
辛钦大数定律中，随机变量的方差可以不存在，只要独立同分布就可以了。
比较和定理 1的条件有什么不同？
定理 3（伯努利大数定律）
P是事件 A发生的概率，则对任给的 ε> 0，有
1}|{|lim
pnnP A
n
或 0}|{|lim
pnnP A
n
设 nA是 n重贝努里试验中事件 A发生的次数，
即,
PAn p
n
证明 引入随机变量
1,
0i
i
X
i
第次
，第 次试验中 A发生，
试验中 A不发生,12i?,，
显然 12Ann X X X
且又由于各次试验相互独立，所以
12,,,nX X X独立同分布,
则由辛钦大数定律可得
1}|{|lim
pnnP A
n
显然伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况。
例 3 如何测量某一未知的物理量 a,使得误差较小？
解 在相同的条件下测量 n 次，其结果为
12,,,nX X X，它们可看成是相互独立、相同分布的随机变量，并且有数学期望为 a,于是由辛钦大数定律可知，当 n 时，有
1
1
1 ()n P
i
i
X E X a
n?
因此我们可取 n次测量值 12,,,nx x x的算术平均值作为 a 的近似值，即
1
1 n
i
i
ax
n?
,当 n充分大时误差很小。
一 中心极限定理的客观背景在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响,
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响,
§ 2 中心极限定理则这种量 X 一般 都服从或近似服从 正态分布。
观察表明：
如果一个量是由 大量相互独立的 随机因素的影响所造成，
nXXXX21
习惯于把 和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理,
在概率论中，
而每一个别因素在总影响 X 中所起的作用不大。
定理 1（独立同分布的中心极限定理）
且服从同一分布，
且具有期望和方差
2 0 1,2,,.kkE X D X k n
则设 相互独立，12,,,,nX X X
，即或
1l im ( )
n
i
i
n
Xn
P x x
n
1 ~ ( 0,1 )
n
i
i
Xn
N
n
近似
2
1
~ (,)
n
i
i
X N n n
近似之和总可以近似服从正态分布,
此定理表明,无论,,,,
21 nXXX 原来服从什么分布,当 n充分大时，
例 1 某人要测量甲、乙两地之间的距离。 限于测量工具，他分成 1200 段来测量。 每段测量误差（单位厘米）服从于（ -0.5,0.5)上的均匀分布。求总距离误差的绝对值超过 20厘米的概率。
解 设第 k 段的测量误差为,1200,,2,1kX
k
1 2 0 021,,,XXX?
且 是独立同分布的随机变量。且
,1200,,2,15.0,5.0~ kUX k
211( ) 0 ( ) [ 0,5 ( 0,5 ) ]
1 2 1 2kkE X D X
累计误差即总距离误差为?
n
i
kX
1
，由独立同分布的中心极限定理可得,即则所求概率为
20
1 2 0 0
1k
kXP
12
1
12 00
20
12
1
12 00
0
1 2 0 0
1k
k
X
P
1200
2
1
~ (,)i
i
X N n n
近似 1200
1
~ ( 0,10 0)i
i
XN
近似
2
10
0
1
1 2 0 0
1k
k
X
P
2 2 22 0,0 2 2 8 0,0 4 5 6
定理 2（棣莫佛 -拉普拉斯定理） De Moivre-Laplace
l im { }
( 1 )
n
n
npPx
n p p
dte
x t
2
2
2
1
n?设随机变量 服从参数为10, ppn 的二项分布则对任意的,有
x
~ (,( 1 ) ),n N n p n p p n 近似地即或证 因为 ~ (,)n b n p?
~ ( 0,1 )
( 1 )
n np N
n p p
近似所以
1
n
nk
k
X?
其中
{ 1 },{ 0 } 1kkP X p P X p
kX 相互独立，且都服从（ 0-1）分布。
,( 1 )kkE X p D X p p
由独立同分布的中心极限定理可得
1l im { } l im { } ( )
( 1 ) ( 1 )
n
k
nk
nn
X n p
np
P x P x x
n p p n p p
注,此定理表明正态分布是二项分布的极限分布，
当 n 充分大时，可以利用正态分布计算二项分布的概率。
)()(
n p q
npa
n p q
npb?
).,(~ pnBnY推论,设随机变量近似计算，当 n充分大时有：
{} k k n knn
a k b
P a Y b C p q?
例 1 报童沿街向行人兜售报纸，假设每位行人买报的概率为 0.2,且他们是否买报是相互独立的。求报童向 100位行人兜售之后，卖掉 15－ 30份报纸的概率。
解 设报童卖掉报纸的份数为 X,~,X b n p
416202.0100 npqnppn
3015 XP?
4
2015
4
2030
8 8 6 2.01 0 5 6.09 9 1 8.025.15.2
例 2 某单位有 200台电话分机，每台分机有 5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以 90%以上的概率保证分机用外线时不等待？
解 设有 X 部分机同时使用外线，则有 ),,(~ pnBX
2 0 0,0,0 5,1 0,( 1 - ) 3,0 8,n p n p n p p
设有 N 条外线。由题意有 9.0}{ NXP
由德莫佛 -拉普拉斯定理得
}{ NXP ( 1 ) ( 1 )
X np N npP
np p np p
其中
10,
3,08( 1 )
N np N
np p
条外线。即至少要安装取即 14,14.94.13 NN
.90.0)28.1(查表得 10
1,2 83,0 8N故 N 应满足条件例 3 根据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布,现随机地取 16只
,设它们的寿命是相互独立的,求这 16只元件的寿命总和大于 1920小时的概率,
由题给条件知,诸 Xi独立,
16只元件的寿命的总和为?
16
1k
kXY
解,设第 i只元件的寿命为 Xi,i =1,2,…,16
E(Xi)=100,D(Xi)=10000
依题意，所求为 P(Y>1920)
由中心极限定理,
近似 ~N(0,1)
400
1600?Y
P(Y>1920)=1-P(Y?1920)
=1-?(0.8)
)400 16001920400 1600(1 YP
=1-0.7881=0.2119
n
k
k
n
k
n
k
kk
XD
XEX
1
1 1
)(
)(
)40 016 0019 20(1-
例 4 利用 ⑴ 契比雪夫不等式
⑵ 中心极限定理分别确定需要投掷一枚均匀硬币多少次，使得出现
“正面向上”的频率在 0.4到 0.6之间的概率不小于 0.9。
解 设 X 表示正面出现的次数（ n 次试验）
~ (,1 / 2 )X b n
⑴ 利用契比雪夫不等式
{ 0,4 0,6 }XP n
1()
2E X n p n
{ 0,4 0,6 }P n X n
1 1 1{ 0,4 0,6 }
2 2 2P n n X n n n1
{| | 0,1 }2P X n n0.9?
由契比雪夫不等式
2
1 / 4{| | 0,1 } 1
2 ( 0,1 )
nP X n n
n0.9?
所以 250n?
{ 0,4 0,6 }XP n{ 0,4 0,6 }P n X n
0,4 0,5 0,5 0,6 0,5{ } 0,9
/ 2 / 2 / 2
n n X n n nP
n n n
~ (,1 / 2 )X b n因为由德莫佛 -拉普拉斯定理得
0.12 ( ) 1 0.9
/2
n
n
0,1( ) 0,95
/2
n
n
0,2 1,6 4 5n 6 7,6 5
68n?故取
(2)中心极限定理
~ ( / 2,/ 4 )X N n n近似例 5 (供电问题 )某车间有 200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位臵及调换工件等常需停车,设开工率为 0.6,并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力 1千瓦,
问应供应多少瓦电力就能以 99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?
用 X表示在某时刻工作着的车床数，
解：
依题意,X~b(200,0.6),
现在的问题是：
P(X≤N)≥0.999 的最小的 N.求满足由德莫佛 -拉普拉斯极限定理
)1( pnp
npX
近似 ~N(0,1),这里 np=120,
np(1-p)=48
设供应 N千瓦的电力于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N)
)
48
120()
48
120( N
此项为 0.
)
48
1 2 0( N
查正态分布函数表得由 ≥0.999，)
48
120( N
即所求 N=142.
也就是说,应供应 142 千瓦电力就能以
99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产,
999.0)1.3(
例 6 在一个罐子中,装有 10个编号为 0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码,
否则次取到号码第
0
01 k
X k解 (1) 设,k=1,2,…
(1) 至少应取球多少次才能使,0”出现的频率在 0.09-0.11之间的概率至少是 0.95?
(2) 用中心极限定理计算在 100次抽取中,
数码,0”出现次数在 7和 13之间的概率,
设应取球 n次,0出现频率为?
n
k
kXn
1
1
,1.0)1(
1
n
k
kXnE nXnD
n
k
k
09.0)1(
1
由中心极限定理近似 N(0,1)
n
nX
n
k
k
3.0
1.0
1
n
X
n
n
k
k
3.0
1.0
1
1
}11.0109.0{
1
n
k
kXnP
}01.0|1.01{|
1
n
k
kXnP
}
30
|
3.0
1.0
1
{| 1
n
n
X
n
P
n
k
k
1)
30
(2 n?
n
X
n
n
k
k
3.0
1.0
1
1
近似 N(0,1)
95.01)
30
(2n?
欲使
975.0)
30
(?n?即
96.1
30
n
查表得从中解得 3458?n
即至少应取球 3458次才能使,0”出现的频率在 0.09-0.11之间的概率至少是 0.95.
解 (2)：在 100次抽取中,数码,0”出现次数为?
100
1k
kX
由中心极限定理,
100
1
100
1
100
1
)(
)(
k
k
k
k
k
k
XD
XEX
近似 N(0,1)
3
10
100
1
k
kX即 近似 N(0,1)
E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09
即在 100次抽取中，数码,0”出现次数在
7和 13之间的概率为 0.6826.
1 0 0
1
)137(
k
kXP
=0.6826
3
10
100
1
k
kX
近似 N(0,1)
)1
3
10
1(
100
1?
k
kX
P
)1()1(
1)1(2
在一个物理实验中的测量误差是由许多不可能观察到的,而可看作是可加的小误差所组成,
在任一给定时刻,一个城市的耗电量是大量单独的耗电者需用电量的总和,
在一个蓄水池中的储水量可以看作是极大数量的单独供水池的供水量的总和,
不难发现,在许多领域里,研究的课题所碰到的许多随机现象都很好地近似正态分布,从中心极限定理看来,这是合理的,
