概率论与数理统计任课教师,姚香娟概率论的起源概率论的起源之一是博奕问题。 15～ 16世纪意大利数学家帕乔利 ( Pacioli )、塔尔塔利亚 (Tartaglia)和卡尔达诺的著述中曾讨论过,如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金,等概率问题。 1654年左右，
爱好赌博的法国人梅雷（ A,G,C,de Mere）向帕斯卡提出了类似的合理分配赌金问题，引发了帕斯卡与费马之间探讨概率论问题的多封通信，他们用不同的组合方法给出了这类问题的正确答案。
荷兰数学家惠更斯（ C,Huygens,1629～ 1695）访问巴黎时了解到帕斯卡与费马的通信研究,对这类问题产生兴趣并著,论赌博中的计算,(1657）
探讨概率问题的原理。
这些数学家主要以代数方法计算概率，他们的著述中出现了第一批概率论专门概念 （如数学期望） 与定理 （如概率加法、乘法定理）,标志着概率论作为一门科学的诞生。
内容与学时第一章 —— 第五章第六章 —— 第九章参考学习书目：
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概率论数理统计如何学习概率统计?
1.认识其重要性,培养浓厚的学习兴趣
2,学数学最好的方式是做数学 读、听、作在科学上没有平坦的大道,
只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人,才有希望到达光辉的顶点,马克思
3,学习要求,
预习 听课 (记笔记 ) 复习、巩固自然界和社会中有两类现象：
① 确定性现象,在一定条件下必然发生的现象例 抛一石子必然落下；
（结果可以事先预言的）
② 随机现象,在个别试验中其结果呈现出不确定性在大量的重复观察中又具有某种 统计规律性 的现象。
（ 结果不可事先预言 ）
例 抛一枚硬币，落下时正面朝上或反面朝上；
绪 言同性电荷互斥第一章第一节随机事件及其运算一、随机试验二、样本空间与随机事件三、事件间的关系及其运算 （重点）
一、随机试验对随机现象进行观察的试验
1、可以在相同的条件下重复进行；
2、试验的可能结果不止一个，并且在试验前能预先知道全部可能结果；
3、在每次试验前不能预先知道哪个结果会出现。
E1,抛一枚硬币，观察出现正反面情况。例：
E2,将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面的情况。
E4:在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命 。
E3,记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数 。
E(experimentation)
，具有以下特点：
二、样本空间与随机事件定义 1 随机试验 E的所有可能结果组成的集合称为 E
的 样本空间,记为 S,样本空间的元素,即 E的每个结果，
称为 样本点,记为 e。
例如上页引例中：
={ H,T }
={HHT,HHH,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}
有限个样本点可列无穷个={0,1,2,3……}
={ t | t≥0}
连续、
不可列
Ⅰ,样本空间
S1
S2
S3
S4
例,将一枚硬币连抛三次
1) 观察正反面出现的情况,
2) 观察正面出现的次数,
Ⅱ,随机事件定义 2 样本空间中的子集称为 随机事件,简称 事件,
一般记为 A,B,C等。
A — 点数之和为 7,
例,抛两个骰子，骰子可分辨，观察其出现的点数，
注意,样本空间的元素是由 试验目的 所决定的。
={HHH,HHT……}S1
={0,1,2,3}S2
S={11,12,13,……,61,……,66 }
A={16,25,34,43,52,61}
特殊随机事件：
3,基本事件,一个样本点组成的单点集 (试验 E的每个可能结果）
例,有两个基本事件 { H } 和 { T }
1,必然事件,每次试验中必然发生的事件,记为 S。
2,不可能事件,每次试验一定不发生的事件,记?
事件 A发生 A中的某一个样本点在试验中出现
① 包含、相等关系
A发生必然导致 B发生
1.事件的关系三、事件间的关系及其运算 （重点）
事件 B包含事件 A
A与 B相等，
记为 A=B。
② 事件的和
A和 B的 和事件表示 A与 B中至少有一个发生，即：
A与 B中至少有一个发生时,发生。
③ 事件的积表示事件 A和 B同时发生,即：
且 A与 B的 积事件当且仅当 A与 B同时发生时,通常简记为 AB。
BA?
发生。
④ 事件的差
A-B 表示事件 A发生但事件 B不发生但
⑤ 互斥事件 (互不相容 )
，则称 A,B为互不相容事件即,A,B不能同时发生。
⑥ 对立事件 (逆事件 )
基本事件都互不相容。
A与 B的 差事件且,则称事件 A与 B互为逆事件或互为对立事件。 A的对立事件记为,=S -A。
2,事件的运算法则
① 交换律 ；
② 结合律
③ 分配律
④ 德 ·摩根律,；
推广,;
①
，
，，则,设
②
③
注：事件的一些关系式例 1,设 A,B,C 表示三个事件,试表示下列事件
(1) A 发生,B 与 C 不发生
(2) A 与 B 发生,C 不发生
(3) A,B 与 C 都发生
(4) A,B 与 C 至少有一个发生
(5) A,B 与 C 全不发生
(6) A,B 与 C 至少有两个发生
)( CBA
)( CAB
)( A BC
)( CBA
)( CBA
A B C( )CABCBABCA
例 2 以 A表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则 为
(A) 甲滞销，乙畅销 (B) 甲乙两种产品均畅销
(C) 甲种产品畅销 (D) 甲滞销或乙畅销解 设 B=“甲产品畅销”,C=“乙产品畅销”
则,故选 (D)
例 3 关系 ( )成立，则事件 A与 B为对立事件。
(a) (b)
(c) (d) 与 为对立事件
(c)显然成立,(d)也成立。
解释 (d)：
例 4,在掷子的试验中,样本空间 }6,2,1{S
事件 A—出现偶数点,事件 B —出现奇数点事件 C —出现点数大于 4,事件 D —点数大于 5
求,DADACBBA?,,,
解,,BACB? }5{
DA? }6,4,2{ DA }6,5,3,1{
∵ A={2,4,6},B={1,3,5},C={5,6}
D={6}
A与 B为对立事件二、概率的统计定义一,频率第二节 频率与概 率三、概率的公理化定义重点掌握利用关系式计算概率一个事件在某次试验中的出现具有偶然性，但在大量重复试验中随机事件的出现呈现出一定的数量规律，
频率这一概念近似反映了这个数量规律。
1.定义 1 设 E,S,A为 E中某一事件，在相同条件下进行 n次独立重复试验，事件 A发生的次数记为称为 A的 频率 。 (frequency)
2,性质,0≤ ≤1
一、频率则比值
02
03 若 两两互不相容结论,当 n较小时，频率呈偶然性，波动性很大；随着
n的增加，波动幅度减小，最后集中在某一个数附近。
历史上著名的统计学家蒲丰和皮尔逊曾进行过大量掷硬币的试验，所得结果如下：
试验者蒲丰皮尔逊皮尔逊次数 正面的次数 正面的频率
4040 2048 0.5069
12000 6019 0.5016
24000 12012 0.5005
这种现象称为 频率稳定性,也就是通常所说的统计规律性,频率稳定值注,试验次数越多，并不说明越精确，只能说明波动范围越小。
即 概率的统计定义 。
二、概率（概率的公理化定义）
1.定义 设 E,S,对于 E的每一事件 A，赋予一个实数，
记为 P(A),称为事件 A的 概率,如果 P( · )满足以下三个公理：
⑴ 非负性,
⑵ 规范性,
⑶ 可列可加性,
2,性质：
0P
故由可列可加性又因为 ≥0，
有限可加性
1 2 1 2kkP A A A P A P A P A
其中 两两互不相容。
，则证明 取所以如果 则
①PA ≤PB②P B A P B P A
证明且 A 和 B－ A互不相容得①式成立；
,0≤PA ≤1SA
)(1)( APAPSA,
证明推广：
P A B P A P B P A B(加法公式 )
BA
12 nP A A A
1 1 1
n
i i j i j k
i i j n i j k n
P A P A A P A A A
1 121 n nP A A A提示：可用归纳法证明例 1,已知证明,
例 2、
解：
07
例 3 某人外出旅游两天，据天气预报知：
第一天下雨的概率为 0.6，第二天下雨的概率为 0.3，
两天都下雨的概率为 0.1,试求下列事件的概率：
(2) 第一天不下雨，第二天下雨
(4) 两天都不下雨；
(1) 第一天下雨，第二天不下雨
(3) 至少有一天下雨解,设 A—第一天下雨,B—第二天下雨则
(5) 至少有一天不下雨
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
例 4 (订报问题 ) 在某城市中，共发行三种报纸 A,B，
C，订购 A,B,C的用户占用分别为 45%,35%,30%，
同时订购 A,B的占 10%，同时订购 A,C的占 8%，同时订购 B,C的占 5%，同时订购 A,B,C的占 3%，试求下列事件的概率：
(1) 只订购 A的
(2) 只订购 A,B的
(3) 只订购一种报纸的
(4) 只订购两种报纸的
(5) 至少订购一种报纸的
(6) 不订购任何报纸的
)( CBAP
)( CABP
)( CBAP
)( CBAP
()P A B C A B C A B C
P A B C A B C A B C
解 设 A,B,C分别表示“用户订购 A,B,C 报纸”
(1)
(2)
(3) ﹏﹏ ﹏﹏ ﹏﹏ 两两互不相容的
(4) ﹏﹏﹏﹏ ﹏﹏ 两两互不相容
(5)
(6)
例 5 已知,25.0)()()( CPBPAP 1 2 5.0)(?ACP
,0)()( BCPABP 求 A,B,C 中至少有一个发生解?)( CBAP )()()( CPBPAP
)()()( BCPACPABP )( AB CP?
ABAB C ( ) ( )P A B C P A B 0?
0)( AB CP
)( CBAP 125.075.0? 625.0?
的概率。
例 6 证明证例 7,求解?)( BAP
)( ABAP? )()( ABPAP
3.0)( ABP
)()( BAPABP
)()( BAPABP?
第一章第三节等可能概型（古典概型）
一、等可能概型的定义二、计算公式三、计算方法
1.定义,具有以下两个条件的随机试验称为等可能概型，
01
02
有限性 试验的样本空间中的元素只有有限个；
等可能性 每个基本事件的发生的可能性相同。
例,E1—抛硬币,观察哪面朝上
2.计算公式：
①
等可能概型也称为古典概型。
E2—投一颗骰子，观察出现的点数
={ H,T }S1
={1,2,3,4,5,6}S2
1 1,2,,iP e i nn
② 若事件 A包含 k个基本事件，即其中 ( 表示 中的 k个不同的数 )
kPA n?则有例 1 投两枚 骰子，事件 A——“点数之和为 3”,求解 法一,出现点数之和的可能数值
11 12 21
× ∵ 不是等可能的法二,36个
∴ 要注意对于 用的时候要两个条件都满足。
例 2 投两枚 骰子，点数之和为奇数的概率。
解 令 A——点数之和为奇数法一,36个
18个法二,所有可能结果 (奇,奇 ),(奇,偶 ),(偶,奇 ),(偶,偶 )
A={(奇,偶 ),(偶,奇 )}
∴ 说明样本空间的选取可以不同，但必须保证等可能。
3.方法,构造 A和 S的样本点 (当样本空间 S的元素较少时，先一一列出 S和 A中的元素，直接利用 求解 )
用排列组合方法求 A和 S的样本点个数预备知识
Ⅰ,加法原理,完成一项工作 m类方法，第 i类方法有种,(i=1,2,m)，则完成这项工作共有：
12 mn n n种方法。
Ⅱ,乘法原理,完成一项工作有 m个步骤，第 i步有
，则完成该项工作一共有：
12 mn n n 种方法。
种方法（ i=1,2,…,m)
Ⅲ,排列：
从 n个元素中取出 r个元素，按一定顺序排成一列，
称为从 n个元素里取出 r个元素的排列。 (n,r均为 整数 )
进行排列，共有
① (无放回选取 )从 n个不同元素中无放回的取出 m个 (m≤n)﹏﹏﹏﹏﹏
)!(
!)1),,,(1(
mn
nmnnnP m
n
种方法。
② (有放回选取 )从 n个不同元素中有放回地抽取 r个，依﹏﹏﹏﹏﹏
次排成一列，称为可重复排列，一共有 种方法。rn
Ⅳ,组合从 n个元素中无放回取出 r个元素，不考虑其顺序，
组合数为 或
!
! ! !
r
r n
n
P nC
r n r r
,
例,袋中有三个球，标号 1,2,3，任取两次
① 无放回，考虑顺序 {12,13,21,23,31,32}
无放回，不考虑顺序 {12,13,23}
② 有放回，考虑顺序 {11,12,13,21,22,23,31,32,33}
例 3 6只不同球 (4白 2红 )，从袋中依次取两球，观察其颜色。 分别做 a.有放回抽样 b.不放回抽样,
(1),取到的两只球都是白球”
(2),取到的两只球颜色相同”
(3),取到的两只球中至少有一个是白球”
解 a.
(1)
(2)
(乘法原理 )S,6× 6=36
求下列事件的概率：
(3) 表示“两只都是红球”，
若直接考虑：
(1)
(2)
(3)
b.无放回 (考虑先后顺序 ) 30,2
6?PS
思考：如果不考虑顺序呢？
例 4.某教研室共有 11 名教师,其中男教师 7 人,现在要选 3 名优秀教师,问其中至少有一女教师概率解 (方法一 )
设 A =,3 名优秀教师中至少有一名女教师”
=,3 名优秀教师中恰有 名女教师”iA i
则?A
321 AAA 两两互不相容且 321,,AAA
)( AP )()()( 321 APAPAP
311C
2714CC
311C
1724 CC
311C
0734CC
788.0?
方法二 设 A =,3 名优秀教师全是男教师”
)( AP )(1 AP 1 3
11C
37C 788.0?
注：在使用排列组合时，分子分母要保持一致。
例 6 (分房问题 ) 将 r个球随机地放入 n(n>r)个盒子中，
设各个球放入每个盒子是等可能的，
解求：每个盒子至多有一个球的概率。
将 r个球放入 n个盒子，每一种方法是一个基本事件例 5 袋中有 a只黑球和 b只白球,k个人把球随机的一只只摸出来，求第 i个人摸出的是黑球的概率。
解 将 k个人取球的每一种取法看成一个样本点例 7(生日问题 ) 设每个人的生日在一年 365天中的任一天是等可能的,即都等于,那么随机选取 n(≤365)人。
(1) 他们的生日各不相同的概率为多少？
(2) n个人中至少有两个人生日相同的概率为多少？
解 (1) 设 A=,n个人的生日各不相同”
(2) 设 B =,n个人中至少有两个人生日相同”
当 n 等于 64时，在 64人的班级中,B发生的概率接近于 1，即 B几乎 总是会出现。
作业 2
第 9页 2,4
第 14页,1,2,5
第四节 条件概率一 条件概率二 乘法公式三 全概率公式,贝叶斯公式 （重点）
第一章引例,取一副牌,随机的抽取一张,问,
(1) 抽中的是 k的概率 ;
(2) 若已知抽中的是红桃,问抽中的是 k的概率。
解,A ——抽中的是红桃,B ——抽中的是 k
(1)
(2)
上述式子具有普遍性吗?
在古典概型中,
一 条件概率
1、定义,设 A,B为两事件，且 则称为事件 A发生条件下事件 B发生的 条件概率 。
3,设 是两两互不相容的事件则条件概率 满足概率公理化定义中的 三个公理,
2.
性质：条件概率类似满足概率的 6条性质。
(1) 在缩减样本空间中求事件概率（实际意义法）
(2) 定义法例 1,设一批产品的一、二、三等品各占 60%,30%,10%,
现从中任取一件,结果不是三等品,求取得是一等品的概率。
解则由已知得如引例
2,条件概率的求法定理 设,则有推广其中
，则有或二、乘法公式推广到 n个事件，如果,0)(
121nAAAP?
则有设袋中装有 r只红球,t只白球，每次从袋中任取一只，
观察其颜色然后放回，并再放入 a只与所取的同色的球，
第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。
若在袋中连续取球四次，求：
iA,第 次取到红球”i解,设例 2.
i=1,2,3,4
)( 4321 AAAAP
)( 1AP? )|( 12 AAP )|( 213 AAAP )|( 3214 AAAAP
)( 4321 AAAAP
)( 1AP? )|( 12 AAP )|( 213 AAAP )|( 3214 AAAAP
tr r atr ar atr t 2 atr at 3
注,a =0时，就是有放回抽样；
a = -1时，就是无放回抽样。
设一个班中 30名学生采用抓阄的办法分一张电影票,问各人获得此票的机会是否均等？
解 设,第 名学生抓到电影票” i=1,2,…,30
例 3、
同理,第 i个人要抓到此票,他前面的 i-1个人都没抓到此票思考：如果是两张电影票呢？
三、全概率公式与贝叶斯（ Bayes）公式定义
(1)
(2)
则称注,对每次试验，
例如 设试验 E 为“掷骰子观察其点数”。样本空间为
，,
，,而 不是划分。
1、全概率公式定理 设随机试验 E的样本空间为 A为 E的事件，
则有全概率公式证,
两两互不相容
321
如图所示 。
解 3,2,1”, iiA
i 号箱球取自设
”,取得红球?B
有三个箱子，分别编号为 1,2,3,箱内所放东西球，求取得红球的概率,
则某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一例 4、
的一个划分。是 SAAA 321,,
)( BP? 1 1 2 2( ) ( | ) ( ) ( | )P A P B A P A P B A
33( ) ( | )P A P B A? = 158?
去构造这一组 Bi 往往可以简化计算,
全概率公式的理论和实用意义在于,在较复杂情况下计算 P(A)不易,但 A 总是伴随着某个 Bi 出现,所以适当地例 5,假设有甲、乙两袋，甲袋中有 3个白球 2个红球，乙再从乙中任取一球，问取到白球的概率为多少？
解 设 A —从乙中取到白球,B—从甲中取到白球袋中有 2个白球 3个红球，今从甲中任意取一只放入乙中，
的一个划分可作为和 SBB?
=
例 6.
)3,2,1(?i
)|( 1ABP则 2.0
)()|()()|()( 2211 APABPAPABPBP
甲乙丙三人同时向飞机进行射击,三人击中的概率分别为 0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而击落的概率为 0.2,
被两人击中而击落的概率为 0.6,若三人都击中,飞机必被击落,求飞机被击落的概率,
解,设 i
iA
=,飞机被 个人击中”
B =,飞机被击落”
)|( 2ABP 6.0?)|( 3ABP 1
)()|( 33 APABP? 458.0?
iiC =,飞机被第 人击中”
)( 1AP?321( CCCP 321 CCC )321 CCC?
)( 2AP?321( CCCP 321 CCC )321 CCC?
)( 3AP )( 321 CCCP
36.0?
41.0?
14.0?
运用全概率公式计算 P(A)
2,贝叶斯公式定理
nBBB,,,21?,0)(?AP
0)(?iBP ),,,2,1( ni
设随机试验 E的样本空间为 S,A为 E的任意一个事件,为 S的一个划分,且
)(
)(
AP
ABP i?
则
n
j
jj BPBAP
1
)()|(
)()|( ii BPBAP
),,2,1( ni,称此式为 贝叶斯公式 。
)( ABP i
例 7,设某工厂甲,乙,丙 3 个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的 45％,35％,20％,且各车间的合格品率为
0.96,0.98,0.95,现在从待出厂的产品中检查出 1个次品,
问该产品是由哪个车间生产的可能性最大？
解分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产，
设 A 表示“任取一件产品为次品”
45.0)( 1?BP 35.0)( 2?BP 20.0)( 3?BP
04.0)|( 1?BAP 02.0)|( 2?BAP 05.0)|( 3?BAP
由题意得由贝叶斯公式?)|( ABP
i )(
)()|(
AP
BPBAP ii 3,2,1?i
321 BBB
)( AP
( ) 0,0 4 0,4 5PA
3
1
)()|(
i
ii BPBAP
35.002.0 20.005.0 035.0?
)|( 1 ABP
)|( 2 ABP
)|( 3 ABP
45.004.0?
035.0
35.002.0?
035.0
20.005.0?
035.0
所以该产品是甲车间生产的可能性最大。
用全概率公式求得 0.51?
0.2?
0,2 9?
例 9、
A—某种临床试验呈阳性
B—被诊断者患有癌症根据以往的临床纪录，癌症患者某项实验呈阳性的概率为 0.95，而正常人该试验成阴性的概率为 0.95，
已知常人患癌症的概率为 0.005，现对自然人群进行普查，
如果某人试验呈阳性，求他患癌症的概率有多大？
解由题，已知注,样本空间划分的寻找
1、直接找题目中概率相加等于 1的事件 ;
2、从问题分析，看影响问题的是什么事件。
已知,结果” 求,原因”
全概率公式寻找导致 A 发生的每个原因的概率,
② 贝叶斯公式是在观察到事件 A 已发生的条件下，
注,① 全概率公式是在已知导致事件 A的每个原因发生的概率的条件下，求事件 A 发生的概率。
已知,原因” 求,结果”
贝叶斯公式练习,在电报系统中，不断发出,0”和,1”,发,0”和
,1”的概率为 0.6和 0.4，发,0”分别以 0.7,0.1和 0.2接受为,0”
“1”和模糊信息,X,，发,1”分别以 0.85,0.05和 0.1接收
“1”,“0”和模糊信息,X,，试求：
⑴ 收到信息为模糊信息的概率。
⑵ 收到模糊信息应该译成什么信息的最好。
分析 发信息 收信息
“0”
“0” 0.7
“1” 0.1
“X,0.2
0.6
“1”
“1” 0.05
“0” 0.85
“X,0.1
0.4
0,2 0,6 0,7 5
0,1 6
解 设 Ai 表示“发出的信息为,i”,i=0,1
Bi 表示“收到的信息为,i”,i=0,1,
X⑴
0 0 1 1( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )X X XP B P B A P A P B A P A
0,2 0,6 0,1 0,4 0,1 6
⑵ 00
0
( | ) ( )( | )
()
X
X
X
P B A P AP A B
PB
1( | ) 0,2 5XP A B?同理,所以应为,0”信息好。
第五节 事件的相互独立性引例,E — 掷两枚硬币，观察正反面的情况
A — 甲币出现 H,B — 乙币出现 H
={HH,HT,TH,TT}S
由此看出一,两个事件相互独立定义 1 设 A,B是两个事件，如果有如下等式成立则称事件 A,B相互独立。
定理 设 A,B是两个事件
⑴ 若,则 A,B 相互独立的 充分必要条件为
⑵ 若 A,B 相互独立,
)|( ABP
证 BA,相互独立,)()()( BPAPABP?则有
)(
)(
AP
ABP
)(
)()(
AP
BPAP? )(BP?
)( ABP反之，由乘法公式 )()( BPAP? )|()( ABPAP
)()|( BPABP?
0)(?AP⑴ 若,则 A,B 相互独立的充分必要条件为证：
其余同理可证。
⑵ 若 A,B 相互独立,
思考,如图所示的事件独立吗?
则 A 与 B 不相互独立,
则 A,B不互斥,
故 A,B不独立
A B0)(?ABP
而 0)(?AP 0)(?BP
)()()( BPAPABP?
即 若 A,B互斥,且,0)(?AP 0)(?BP
反之,若 A 与 B 相互独立,,0)(?AP 0)(?BP且互斥 (互不相容 ) 独立例 1,甲乙两人各自同时向一架飞机射击，两人的命中率分别为 0.6,0.5，求飞机被命中的概率。
解,A —甲击中飞机,B —乙击中飞机,C—飞机被击中
= 0.8
注,判断独立性问题时，可以根据具体问题分析，
或者题目会告知是否独立（如 24页例 6）。
利用德 ·摩根律，把求和事件的概率转化为求积事件的概率，这种方法在解决独立性的问题中经常用到。
或例 2.
相互独立与 BA
)|( ABP
)(
)(
AP
BAP
,)|()|( ABPABP?
)(
)(
AP
ABP
)()()( BPAPABP?
1)(0 AP设,且 试证证,
)(
)(
AP
ABP
)|( ABP?
)()( ABPBP?
)(1 AP?
)|()|( ABPABP
)()( ABPBP?
)(1 AP?
相互独立与 BA
二,多个事件的相互独立性
)()()( BPAPABP?
,,,三个事件对于 CBA 若下面四个等式同时成立
)()()( CPAPACP?
)()()()( CPBPAPAB CP?
)()()( CPBPBCP?
定义 2
则称 A,B,C相互独立,
如果只有前三个等式成立，则称 A,B,C两两独立 。
注,A,B,C相互独立 两两独立例,现有四张卡片，第一张只写有 1，第二张只写有 2，
第三张只写有 3，第四张写有 1,2,3三个数字，现从中任取一张卡片，卡片上出现什么数字？
设 A — 出现数字 1,B—出现数字 2,C —出现数字 3
显然,P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C)，
P(BC)=P(B)P(C)
但是,P(ABC) P(A)P(B)P(C)
推广：
……………
同时成立,相互独立。则称
nAAA,,,21?
个等式成立共有 12 nn
性质：
(1) 其中任意 k个事件也相互独立 ;
若 n个事件相互独立
(2) 其中任意 k个事件的逆事件与其余的事件组成的 n个事件仍然相互独立。
例 3,设某型号高炮命中率为 0.6，现若干门炮同时发射
（每炮一发）,欲以 99%以上的把握击中来犯的一架敌机，
至少需要配备几门炮？
解,设 n为所需炮数，
所以至少需要配备 6门高炮。
例 4.某电路如图所示,A
C
B
CBA,,已知
7.09.0,8.0 和正常工作的概率为假定 CBA,,能否正常工作是相互独立的,
试求,1) 整个电路正常工作的概率
CBA,,解,设 表示 正常工作,CBA,,
2) 若整个电路正常工作,求 正常工作的概率BA,
D =,电路正常工作”?D
1 ()PD?）
)()()()()()()( CPBPAPCPAPBPAP 776.0?
则相互独立
ACABA )( CB?
)( ACABP? )()()( A B CPACPABP
2 ( | )P A D?）
)(
)(
DP
DP?
)(
)(
DP
ADP 1?
)|( DBP
)(
)(
DP
ABP?
)(
)(
DP
BDP
)(
)()(
DP
BPAP? 9278.0?
备用：
解,
分别表示他乘火车,汽车,轮船,飞机设 A =,他来迟了”
3.0)( 1?BP 2.0)( 2?BP 1.0)( 3?BP
41)|( 1?BAP 31)|( 2?BAP 121)|( 3?BAP
由题意,则
,31 121
某人从外地来参加会议,他乘火车,汽车,轮船
4.0,1.0,2.0,3.0或飞机来的概率为 如果他乘飞机来
41不会迟到 ; 而乘火车,轮船或汽车来迟的概率为试求,1) 他来迟的概率
2)如果他来迟了，试推断他是怎样来的？
1 2 3 4,,,B B B B
4.0)( 4?BP
0)|( 4?BAP 下求 )()( ABPAP i及
3.0)( 1?BP 2.0)( 2?BP 1.0)( 3?BP
41)|( 1?BAP 31)|( 2?BAP 121)|( 3?BAP
0)|( 4?BAP 下求 )()( ABPAP i及
)( AP
10
3
4
1
1) 由全概率公式
4
1
)()|(
i
ii BPBAP
20
3?0
5
2
5
1
3
1
10
1
12
1
4.0)( 4?BP
2) 由贝叶斯公式
)|( ABP i
)(
)()|(
AP
BPBAP ii
乘火车的可能性最大备 2.
为 0.01，求这批产品是合格品的概率。
一批产品共 100件,其中有 4件次品,每次抽取一件检验,有放回,连续抽取检验 3 次,如发现次品,
则认为这批产品不合格,但检验时,一正品被误判为次品的概率为 0.05，而一次品被误判为正品的概率解,设 A =,任取一件被认为是合格品”
B =,任取一件是合格品” C =,这批产品是合格品”
04.0)(?BP 96.0)(?BP
01.0)|(?BAP 95.0)|(?BAP
由题意
)( AP )()|()()|( BPBAPBPBAP?9124.0?
)( C P 39 1 2 4.0 7595.0?
爱好赌博的法国人梅雷（ A,G,C,de Mere）向帕斯卡提出了类似的合理分配赌金问题，引发了帕斯卡与费马之间探讨概率论问题的多封通信，他们用不同的组合方法给出了这类问题的正确答案。
荷兰数学家惠更斯（ C,Huygens,1629～ 1695）访问巴黎时了解到帕斯卡与费马的通信研究,对这类问题产生兴趣并著,论赌博中的计算,(1657）
探讨概率问题的原理。
这些数学家主要以代数方法计算概率，他们的著述中出现了第一批概率论专门概念 （如数学期望） 与定理 （如概率加法、乘法定理）,标志着概率论作为一门科学的诞生。
内容与学时第一章 —— 第五章第六章 —— 第九章参考学习书目：
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概率论数理统计如何学习概率统计?
1.认识其重要性,培养浓厚的学习兴趣
2,学数学最好的方式是做数学 读、听、作在科学上没有平坦的大道,
只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人,才有希望到达光辉的顶点,马克思
3,学习要求,
预习 听课 (记笔记 ) 复习、巩固自然界和社会中有两类现象：
① 确定性现象,在一定条件下必然发生的现象例 抛一石子必然落下；
（结果可以事先预言的）
② 随机现象,在个别试验中其结果呈现出不确定性在大量的重复观察中又具有某种 统计规律性 的现象。
（ 结果不可事先预言 ）
例 抛一枚硬币，落下时正面朝上或反面朝上；
绪 言同性电荷互斥第一章第一节随机事件及其运算一、随机试验二、样本空间与随机事件三、事件间的关系及其运算 （重点）
一、随机试验对随机现象进行观察的试验
1、可以在相同的条件下重复进行；
2、试验的可能结果不止一个，并且在试验前能预先知道全部可能结果；
3、在每次试验前不能预先知道哪个结果会出现。
E1,抛一枚硬币，观察出现正反面情况。例：
E2,将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面的情况。
E4:在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命 。
E3,记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数 。
E(experimentation)
，具有以下特点：
二、样本空间与随机事件定义 1 随机试验 E的所有可能结果组成的集合称为 E
的 样本空间,记为 S,样本空间的元素,即 E的每个结果，
称为 样本点,记为 e。
例如上页引例中：
={ H,T }
={HHT,HHH,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}
有限个样本点可列无穷个={0,1,2,3……}
={ t | t≥0}
连续、
不可列
Ⅰ,样本空间
S1
S2
S3
S4
例,将一枚硬币连抛三次
1) 观察正反面出现的情况,
2) 观察正面出现的次数,
Ⅱ,随机事件定义 2 样本空间中的子集称为 随机事件,简称 事件,
一般记为 A,B,C等。
A — 点数之和为 7,
例,抛两个骰子，骰子可分辨，观察其出现的点数，
注意,样本空间的元素是由 试验目的 所决定的。
={HHH,HHT……}S1
={0,1,2,3}S2
S={11,12,13,……,61,……,66 }
A={16,25,34,43,52,61}
特殊随机事件：
3,基本事件,一个样本点组成的单点集 (试验 E的每个可能结果）
例,有两个基本事件 { H } 和 { T }
1,必然事件,每次试验中必然发生的事件,记为 S。
2,不可能事件,每次试验一定不发生的事件,记?
事件 A发生 A中的某一个样本点在试验中出现
① 包含、相等关系
A发生必然导致 B发生
1.事件的关系三、事件间的关系及其运算 （重点）
事件 B包含事件 A
A与 B相等，
记为 A=B。
② 事件的和
A和 B的 和事件表示 A与 B中至少有一个发生，即：
A与 B中至少有一个发生时,发生。
③ 事件的积表示事件 A和 B同时发生,即：
且 A与 B的 积事件当且仅当 A与 B同时发生时,通常简记为 AB。
BA?
发生。
④ 事件的差
A-B 表示事件 A发生但事件 B不发生但
⑤ 互斥事件 (互不相容 )
，则称 A,B为互不相容事件即,A,B不能同时发生。
⑥ 对立事件 (逆事件 )
基本事件都互不相容。
A与 B的 差事件且,则称事件 A与 B互为逆事件或互为对立事件。 A的对立事件记为,=S -A。
2,事件的运算法则
① 交换律 ；
② 结合律
③ 分配律
④ 德 ·摩根律,；
推广,;
①
，
，，则,设
②
③
注：事件的一些关系式例 1,设 A,B,C 表示三个事件,试表示下列事件
(1) A 发生,B 与 C 不发生
(2) A 与 B 发生,C 不发生
(3) A,B 与 C 都发生
(4) A,B 与 C 至少有一个发生
(5) A,B 与 C 全不发生
(6) A,B 与 C 至少有两个发生
)( CBA
)( CAB
)( A BC
)( CBA
)( CBA
A B C( )CABCBABCA
例 2 以 A表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则 为
(A) 甲滞销，乙畅销 (B) 甲乙两种产品均畅销
(C) 甲种产品畅销 (D) 甲滞销或乙畅销解 设 B=“甲产品畅销”,C=“乙产品畅销”
则,故选 (D)
例 3 关系 ( )成立，则事件 A与 B为对立事件。
(a) (b)
(c) (d) 与 为对立事件
(c)显然成立,(d)也成立。
解释 (d)：
例 4,在掷子的试验中,样本空间 }6,2,1{S
事件 A—出现偶数点,事件 B —出现奇数点事件 C —出现点数大于 4,事件 D —点数大于 5
求,DADACBBA?,,,
解,,BACB? }5{
DA? }6,4,2{ DA }6,5,3,1{
∵ A={2,4,6},B={1,3,5},C={5,6}
D={6}
A与 B为对立事件二、概率的统计定义一,频率第二节 频率与概 率三、概率的公理化定义重点掌握利用关系式计算概率一个事件在某次试验中的出现具有偶然性，但在大量重复试验中随机事件的出现呈现出一定的数量规律，
频率这一概念近似反映了这个数量规律。
1.定义 1 设 E,S,A为 E中某一事件，在相同条件下进行 n次独立重复试验，事件 A发生的次数记为称为 A的 频率 。 (frequency)
2,性质,0≤ ≤1
一、频率则比值
02
03 若 两两互不相容结论,当 n较小时，频率呈偶然性，波动性很大；随着
n的增加，波动幅度减小，最后集中在某一个数附近。
历史上著名的统计学家蒲丰和皮尔逊曾进行过大量掷硬币的试验，所得结果如下：
试验者蒲丰皮尔逊皮尔逊次数 正面的次数 正面的频率
4040 2048 0.5069
12000 6019 0.5016
24000 12012 0.5005
这种现象称为 频率稳定性,也就是通常所说的统计规律性,频率稳定值注,试验次数越多，并不说明越精确，只能说明波动范围越小。
即 概率的统计定义 。
二、概率（概率的公理化定义）
1.定义 设 E,S,对于 E的每一事件 A，赋予一个实数，
记为 P(A),称为事件 A的 概率,如果 P( · )满足以下三个公理：
⑴ 非负性,
⑵ 规范性,
⑶ 可列可加性,
2,性质：
0P
故由可列可加性又因为 ≥0，
有限可加性
1 2 1 2kkP A A A P A P A P A
其中 两两互不相容。
，则证明 取所以如果 则
①PA ≤PB②P B A P B P A
证明且 A 和 B－ A互不相容得①式成立；
,0≤PA ≤1SA
)(1)( APAPSA,
证明推广：
P A B P A P B P A B(加法公式 )
BA
12 nP A A A
1 1 1
n
i i j i j k
i i j n i j k n
P A P A A P A A A
1 121 n nP A A A提示：可用归纳法证明例 1,已知证明,
例 2、
解：
07
例 3 某人外出旅游两天，据天气预报知：
第一天下雨的概率为 0.6，第二天下雨的概率为 0.3，
两天都下雨的概率为 0.1,试求下列事件的概率：
(2) 第一天不下雨，第二天下雨
(4) 两天都不下雨；
(1) 第一天下雨，第二天不下雨
(3) 至少有一天下雨解,设 A—第一天下雨,B—第二天下雨则
(5) 至少有一天不下雨
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
例 4 (订报问题 ) 在某城市中，共发行三种报纸 A,B，
C，订购 A,B,C的用户占用分别为 45%,35%,30%，
同时订购 A,B的占 10%，同时订购 A,C的占 8%，同时订购 B,C的占 5%，同时订购 A,B,C的占 3%，试求下列事件的概率：
(1) 只订购 A的
(2) 只订购 A,B的
(3) 只订购一种报纸的
(4) 只订购两种报纸的
(5) 至少订购一种报纸的
(6) 不订购任何报纸的
)( CBAP
)( CABP
)( CBAP
)( CBAP
()P A B C A B C A B C
P A B C A B C A B C
解 设 A,B,C分别表示“用户订购 A,B,C 报纸”
(1)
(2)
(3) ﹏﹏ ﹏﹏ ﹏﹏ 两两互不相容的
(4) ﹏﹏﹏﹏ ﹏﹏ 两两互不相容
(5)
(6)
例 5 已知,25.0)()()( CPBPAP 1 2 5.0)(?ACP
,0)()( BCPABP 求 A,B,C 中至少有一个发生解?)( CBAP )()()( CPBPAP
)()()( BCPACPABP )( AB CP?
ABAB C ( ) ( )P A B C P A B 0?
0)( AB CP
)( CBAP 125.075.0? 625.0?
的概率。
例 6 证明证例 7,求解?)( BAP
)( ABAP? )()( ABPAP
3.0)( ABP
)()( BAPABP
)()( BAPABP?
第一章第三节等可能概型（古典概型）
一、等可能概型的定义二、计算公式三、计算方法
1.定义,具有以下两个条件的随机试验称为等可能概型，
01
02
有限性 试验的样本空间中的元素只有有限个；
等可能性 每个基本事件的发生的可能性相同。
例,E1—抛硬币,观察哪面朝上
2.计算公式：
①
等可能概型也称为古典概型。
E2—投一颗骰子，观察出现的点数
={ H,T }S1
={1,2,3,4,5,6}S2
1 1,2,,iP e i nn
② 若事件 A包含 k个基本事件，即其中 ( 表示 中的 k个不同的数 )
kPA n?则有例 1 投两枚 骰子，事件 A——“点数之和为 3”,求解 法一,出现点数之和的可能数值
11 12 21
× ∵ 不是等可能的法二,36个
∴ 要注意对于 用的时候要两个条件都满足。
例 2 投两枚 骰子，点数之和为奇数的概率。
解 令 A——点数之和为奇数法一,36个
18个法二,所有可能结果 (奇,奇 ),(奇,偶 ),(偶,奇 ),(偶,偶 )
A={(奇,偶 ),(偶,奇 )}
∴ 说明样本空间的选取可以不同，但必须保证等可能。
3.方法,构造 A和 S的样本点 (当样本空间 S的元素较少时，先一一列出 S和 A中的元素，直接利用 求解 )
用排列组合方法求 A和 S的样本点个数预备知识
Ⅰ,加法原理,完成一项工作 m类方法，第 i类方法有种,(i=1,2,m)，则完成这项工作共有：
12 mn n n种方法。
Ⅱ,乘法原理,完成一项工作有 m个步骤，第 i步有
，则完成该项工作一共有：
12 mn n n 种方法。
种方法（ i=1,2,…,m)
Ⅲ,排列：
从 n个元素中取出 r个元素，按一定顺序排成一列，
称为从 n个元素里取出 r个元素的排列。 (n,r均为 整数 )
进行排列，共有
① (无放回选取 )从 n个不同元素中无放回的取出 m个 (m≤n)﹏﹏﹏﹏﹏
)!(
!)1),,,(1(
mn
nmnnnP m
n
种方法。
② (有放回选取 )从 n个不同元素中有放回地抽取 r个，依﹏﹏﹏﹏﹏
次排成一列，称为可重复排列，一共有 种方法。rn
Ⅳ,组合从 n个元素中无放回取出 r个元素，不考虑其顺序，
组合数为 或
!
! ! !
r
r n
n
P nC
r n r r
,
例,袋中有三个球，标号 1,2,3，任取两次
① 无放回，考虑顺序 {12,13,21,23,31,32}
无放回，不考虑顺序 {12,13,23}
② 有放回，考虑顺序 {11,12,13,21,22,23,31,32,33}
例 3 6只不同球 (4白 2红 )，从袋中依次取两球，观察其颜色。 分别做 a.有放回抽样 b.不放回抽样,
(1),取到的两只球都是白球”
(2),取到的两只球颜色相同”
(3),取到的两只球中至少有一个是白球”
解 a.
(1)
(2)
(乘法原理 )S,6× 6=36
求下列事件的概率：
(3) 表示“两只都是红球”，
若直接考虑：
(1)
(2)
(3)
b.无放回 (考虑先后顺序 ) 30,2
6?PS
思考：如果不考虑顺序呢？
例 4.某教研室共有 11 名教师,其中男教师 7 人,现在要选 3 名优秀教师,问其中至少有一女教师概率解 (方法一 )
设 A =,3 名优秀教师中至少有一名女教师”
=,3 名优秀教师中恰有 名女教师”iA i
则?A
321 AAA 两两互不相容且 321,,AAA
)( AP )()()( 321 APAPAP
311C
2714CC
311C
1724 CC
311C
0734CC
788.0?
方法二 设 A =,3 名优秀教师全是男教师”
)( AP )(1 AP 1 3
11C
37C 788.0?
注：在使用排列组合时，分子分母要保持一致。
例 6 (分房问题 ) 将 r个球随机地放入 n(n>r)个盒子中，
设各个球放入每个盒子是等可能的，
解求：每个盒子至多有一个球的概率。
将 r个球放入 n个盒子，每一种方法是一个基本事件例 5 袋中有 a只黑球和 b只白球,k个人把球随机的一只只摸出来，求第 i个人摸出的是黑球的概率。
解 将 k个人取球的每一种取法看成一个样本点例 7(生日问题 ) 设每个人的生日在一年 365天中的任一天是等可能的,即都等于,那么随机选取 n(≤365)人。
(1) 他们的生日各不相同的概率为多少？
(2) n个人中至少有两个人生日相同的概率为多少？
解 (1) 设 A=,n个人的生日各不相同”
(2) 设 B =,n个人中至少有两个人生日相同”
当 n 等于 64时，在 64人的班级中,B发生的概率接近于 1，即 B几乎 总是会出现。
作业 2
第 9页 2,4
第 14页,1,2,5
第四节 条件概率一 条件概率二 乘法公式三 全概率公式,贝叶斯公式 （重点）
第一章引例,取一副牌,随机的抽取一张,问,
(1) 抽中的是 k的概率 ;
(2) 若已知抽中的是红桃,问抽中的是 k的概率。
解,A ——抽中的是红桃,B ——抽中的是 k
(1)
(2)
上述式子具有普遍性吗?
在古典概型中,
一 条件概率
1、定义,设 A,B为两事件，且 则称为事件 A发生条件下事件 B发生的 条件概率 。
3,设 是两两互不相容的事件则条件概率 满足概率公理化定义中的 三个公理,
2.
性质：条件概率类似满足概率的 6条性质。
(1) 在缩减样本空间中求事件概率（实际意义法）
(2) 定义法例 1,设一批产品的一、二、三等品各占 60%,30%,10%,
现从中任取一件,结果不是三等品,求取得是一等品的概率。
解则由已知得如引例
2,条件概率的求法定理 设,则有推广其中
，则有或二、乘法公式推广到 n个事件，如果,0)(
121nAAAP?
则有设袋中装有 r只红球,t只白球，每次从袋中任取一只，
观察其颜色然后放回，并再放入 a只与所取的同色的球，
第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。
若在袋中连续取球四次，求：
iA,第 次取到红球”i解,设例 2.
i=1,2,3,4
)( 4321 AAAAP
)( 1AP? )|( 12 AAP )|( 213 AAAP )|( 3214 AAAAP
)( 4321 AAAAP
)( 1AP? )|( 12 AAP )|( 213 AAAP )|( 3214 AAAAP
tr r atr ar atr t 2 atr at 3
注,a =0时，就是有放回抽样；
a = -1时，就是无放回抽样。
设一个班中 30名学生采用抓阄的办法分一张电影票,问各人获得此票的机会是否均等？
解 设,第 名学生抓到电影票” i=1,2,…,30
例 3、
同理,第 i个人要抓到此票,他前面的 i-1个人都没抓到此票思考：如果是两张电影票呢？
三、全概率公式与贝叶斯（ Bayes）公式定义
(1)
(2)
则称注,对每次试验，
例如 设试验 E 为“掷骰子观察其点数”。样本空间为
，,
，,而 不是划分。
1、全概率公式定理 设随机试验 E的样本空间为 A为 E的事件，
则有全概率公式证,
两两互不相容
321
如图所示 。
解 3,2,1”, iiA
i 号箱球取自设
”,取得红球?B
有三个箱子，分别编号为 1,2,3,箱内所放东西球，求取得红球的概率,
则某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一例 4、
的一个划分。是 SAAA 321,,
)( BP? 1 1 2 2( ) ( | ) ( ) ( | )P A P B A P A P B A
33( ) ( | )P A P B A? = 158?
去构造这一组 Bi 往往可以简化计算,
全概率公式的理论和实用意义在于,在较复杂情况下计算 P(A)不易,但 A 总是伴随着某个 Bi 出现,所以适当地例 5,假设有甲、乙两袋，甲袋中有 3个白球 2个红球，乙再从乙中任取一球，问取到白球的概率为多少？
解 设 A —从乙中取到白球,B—从甲中取到白球袋中有 2个白球 3个红球，今从甲中任意取一只放入乙中，
的一个划分可作为和 SBB?
=
例 6.
)3,2,1(?i
)|( 1ABP则 2.0
)()|()()|()( 2211 APABPAPABPBP
甲乙丙三人同时向飞机进行射击,三人击中的概率分别为 0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而击落的概率为 0.2,
被两人击中而击落的概率为 0.6,若三人都击中,飞机必被击落,求飞机被击落的概率,
解,设 i
iA
=,飞机被 个人击中”
B =,飞机被击落”
)|( 2ABP 6.0?)|( 3ABP 1
)()|( 33 APABP? 458.0?
iiC =,飞机被第 人击中”
)( 1AP?321( CCCP 321 CCC )321 CCC?
)( 2AP?321( CCCP 321 CCC )321 CCC?
)( 3AP )( 321 CCCP
36.0?
41.0?
14.0?
运用全概率公式计算 P(A)
2,贝叶斯公式定理
nBBB,,,21?,0)(?AP
0)(?iBP ),,,2,1( ni
设随机试验 E的样本空间为 S,A为 E的任意一个事件,为 S的一个划分,且
)(
)(
AP
ABP i?
则
n
j
jj BPBAP
1
)()|(
)()|( ii BPBAP
),,2,1( ni,称此式为 贝叶斯公式 。
)( ABP i
例 7,设某工厂甲,乙,丙 3 个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的 45％,35％,20％,且各车间的合格品率为
0.96,0.98,0.95,现在从待出厂的产品中检查出 1个次品,
问该产品是由哪个车间生产的可能性最大？
解分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产，
设 A 表示“任取一件产品为次品”
45.0)( 1?BP 35.0)( 2?BP 20.0)( 3?BP
04.0)|( 1?BAP 02.0)|( 2?BAP 05.0)|( 3?BAP
由题意得由贝叶斯公式?)|( ABP
i )(
)()|(
AP
BPBAP ii 3,2,1?i
321 BBB
)( AP
( ) 0,0 4 0,4 5PA
3
1
)()|(
i
ii BPBAP
35.002.0 20.005.0 035.0?
)|( 1 ABP
)|( 2 ABP
)|( 3 ABP
45.004.0?
035.0
35.002.0?
035.0
20.005.0?
035.0
所以该产品是甲车间生产的可能性最大。
用全概率公式求得 0.51?
0.2?
0,2 9?
例 9、
A—某种临床试验呈阳性
B—被诊断者患有癌症根据以往的临床纪录，癌症患者某项实验呈阳性的概率为 0.95，而正常人该试验成阴性的概率为 0.95，
已知常人患癌症的概率为 0.005，现对自然人群进行普查，
如果某人试验呈阳性，求他患癌症的概率有多大？
解由题，已知注,样本空间划分的寻找
1、直接找题目中概率相加等于 1的事件 ;
2、从问题分析，看影响问题的是什么事件。
已知,结果” 求,原因”
全概率公式寻找导致 A 发生的每个原因的概率,
② 贝叶斯公式是在观察到事件 A 已发生的条件下，
注,① 全概率公式是在已知导致事件 A的每个原因发生的概率的条件下，求事件 A 发生的概率。
已知,原因” 求,结果”
贝叶斯公式练习,在电报系统中，不断发出,0”和,1”,发,0”和
,1”的概率为 0.6和 0.4，发,0”分别以 0.7,0.1和 0.2接受为,0”
“1”和模糊信息,X,，发,1”分别以 0.85,0.05和 0.1接收
“1”,“0”和模糊信息,X,，试求：
⑴ 收到信息为模糊信息的概率。
⑵ 收到模糊信息应该译成什么信息的最好。
分析 发信息 收信息
“0”
“0” 0.7
“1” 0.1
“X,0.2
0.6
“1”
“1” 0.05
“0” 0.85
“X,0.1
0.4
0,2 0,6 0,7 5
0,1 6
解 设 Ai 表示“发出的信息为,i”,i=0,1
Bi 表示“收到的信息为,i”,i=0,1,
X⑴
0 0 1 1( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )X X XP B P B A P A P B A P A
0,2 0,6 0,1 0,4 0,1 6
⑵ 00
0
( | ) ( )( | )
()
X
X
X
P B A P AP A B
PB
1( | ) 0,2 5XP A B?同理,所以应为,0”信息好。
第五节 事件的相互独立性引例,E — 掷两枚硬币，观察正反面的情况
A — 甲币出现 H,B — 乙币出现 H
={HH,HT,TH,TT}S
由此看出一,两个事件相互独立定义 1 设 A,B是两个事件，如果有如下等式成立则称事件 A,B相互独立。
定理 设 A,B是两个事件
⑴ 若,则 A,B 相互独立的 充分必要条件为
⑵ 若 A,B 相互独立,
)|( ABP
证 BA,相互独立,)()()( BPAPABP?则有
)(
)(
AP
ABP
)(
)()(
AP
BPAP? )(BP?
)( ABP反之，由乘法公式 )()( BPAP? )|()( ABPAP
)()|( BPABP?
0)(?AP⑴ 若,则 A,B 相互独立的充分必要条件为证：
其余同理可证。
⑵ 若 A,B 相互独立,
思考,如图所示的事件独立吗?
则 A 与 B 不相互独立,
则 A,B不互斥,
故 A,B不独立
A B0)(?ABP
而 0)(?AP 0)(?BP
)()()( BPAPABP?
即 若 A,B互斥,且,0)(?AP 0)(?BP
反之,若 A 与 B 相互独立,,0)(?AP 0)(?BP且互斥 (互不相容 ) 独立例 1,甲乙两人各自同时向一架飞机射击，两人的命中率分别为 0.6,0.5，求飞机被命中的概率。
解,A —甲击中飞机,B —乙击中飞机,C—飞机被击中
= 0.8
注,判断独立性问题时，可以根据具体问题分析，
或者题目会告知是否独立（如 24页例 6）。
利用德 ·摩根律，把求和事件的概率转化为求积事件的概率，这种方法在解决独立性的问题中经常用到。
或例 2.
相互独立与 BA
)|( ABP
)(
)(
AP
BAP
,)|()|( ABPABP?
)(
)(
AP
ABP
)()()( BPAPABP?
1)(0 AP设,且 试证证,
)(
)(
AP
ABP
)|( ABP?
)()( ABPBP?
)(1 AP?
)|()|( ABPABP
)()( ABPBP?
)(1 AP?
相互独立与 BA
二,多个事件的相互独立性
)()()( BPAPABP?
,,,三个事件对于 CBA 若下面四个等式同时成立
)()()( CPAPACP?
)()()()( CPBPAPAB CP?
)()()( CPBPBCP?
定义 2
则称 A,B,C相互独立,
如果只有前三个等式成立，则称 A,B,C两两独立 。
注,A,B,C相互独立 两两独立例,现有四张卡片，第一张只写有 1，第二张只写有 2，
第三张只写有 3，第四张写有 1,2,3三个数字，现从中任取一张卡片，卡片上出现什么数字？
设 A — 出现数字 1,B—出现数字 2,C —出现数字 3
显然,P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C)，
P(BC)=P(B)P(C)
但是,P(ABC) P(A)P(B)P(C)
推广：
……………
同时成立,相互独立。则称
nAAA,,,21?
个等式成立共有 12 nn
性质：
(1) 其中任意 k个事件也相互独立 ;
若 n个事件相互独立
(2) 其中任意 k个事件的逆事件与其余的事件组成的 n个事件仍然相互独立。
例 3,设某型号高炮命中率为 0.6，现若干门炮同时发射
（每炮一发）,欲以 99%以上的把握击中来犯的一架敌机，
至少需要配备几门炮？
解,设 n为所需炮数，
所以至少需要配备 6门高炮。
例 4.某电路如图所示,A
C
B
CBA,,已知
7.09.0,8.0 和正常工作的概率为假定 CBA,,能否正常工作是相互独立的,
试求,1) 整个电路正常工作的概率
CBA,,解,设 表示 正常工作,CBA,,
2) 若整个电路正常工作,求 正常工作的概率BA,
D =,电路正常工作”?D
1 ()PD?）
)()()()()()()( CPBPAPCPAPBPAP 776.0?
则相互独立
ACABA )( CB?
)( ACABP? )()()( A B CPACPABP
2 ( | )P A D?）
)(
)(
DP
DP?
)(
)(
DP
ADP 1?
)|( DBP
)(
)(
DP
ABP?
)(
)(
DP
BDP
)(
)()(
DP
BPAP? 9278.0?
备用：
解,
分别表示他乘火车,汽车,轮船,飞机设 A =,他来迟了”
3.0)( 1?BP 2.0)( 2?BP 1.0)( 3?BP
41)|( 1?BAP 31)|( 2?BAP 121)|( 3?BAP
由题意,则
,31 121
某人从外地来参加会议,他乘火车,汽车,轮船
4.0,1.0,2.0,3.0或飞机来的概率为 如果他乘飞机来
41不会迟到 ; 而乘火车,轮船或汽车来迟的概率为试求,1) 他来迟的概率
2)如果他来迟了，试推断他是怎样来的？
1 2 3 4,,,B B B B
4.0)( 4?BP
0)|( 4?BAP 下求 )()( ABPAP i及
3.0)( 1?BP 2.0)( 2?BP 1.0)( 3?BP
41)|( 1?BAP 31)|( 2?BAP 121)|( 3?BAP
0)|( 4?BAP 下求 )()( ABPAP i及
)( AP
10
3
4
1
1) 由全概率公式
4
1
)()|(
i
ii BPBAP
20
3?0
5
2
5
1
3
1
10
1
12
1
4.0)( 4?BP
2) 由贝叶斯公式
)|( ABP i
)(
)()|(
AP
BPBAP ii
乘火车的可能性最大备 2.
为 0.01，求这批产品是合格品的概率。
一批产品共 100件,其中有 4件次品,每次抽取一件检验,有放回,连续抽取检验 3 次,如发现次品,
则认为这批产品不合格,但检验时,一正品被误判为次品的概率为 0.05，而一次品被误判为正品的概率解,设 A =,任取一件被认为是合格品”
B =,任取一件是合格品” C =,这批产品是合格品”
04.0)(?BP 96.0)(?BP
01.0)|(?BAP 95.0)|(?BAP
由题意
)( AP )()|()()|( BPBAPBPBAP?9124.0?
)( C P 39 1 2 4.0 7595.0?
