第三章多维随机变量及其分布一、二维随机变量二、边缘分布三、相互独立的随机变量四、两个随机变量的函数的分布第一节 二维随机变量在许多随机试验中，需要考察的数量指标不止一个。
例如 1.考察某地区学龄前儿童的身体发育情况，对这一地区的儿童进行检查，需同时测量他们的身高和体重，则得到两个随机变量 可用 来描述儿童的发育情况。
2.射击，如果在靶纸上没有平面坐标系，那弹着点就可用随机变量横坐标和纵坐标描述。
定义 1 设随机试验 的样本空间是 设和 是定义在 上的随机变量，则由它们构成的一个向量 称为 二维随机变量或二维随机向量 。
定义 2 设 是二维随机变量，对于任意实数二元函数
{,}P X x Y y
称为二维随机变量 的 分布函数，或联合分布函数 。
}{)( xXPxF
二维分布函数的几何意义处的函数值,在随机点 落在以 为顶点的左下方矩形开域上的概率。
),( yx
x
y
0
21(,)xy
22(,)xy12(,)xy
11(,)xy
y
2x1x
1y
2y
0
x
所以
2 2 1 2 2 1 1 1(,) (,) (,) (,)F x y F x y F x y F x y
性质：
① 是变量 和 的 不减函数,即对任意固定的,当 时，
对任意固定的,当 时，
② 0 (,) 1F x y
③ 关于 右连续,即
,0),( yF,0),(xF
.1),(F
(,) 1,F(,) 0,F 0),(F
),( YX
)4a r c t a n)(3a r c t a n(),( yCxBAyxF
{ 3,4 },P X Y
例 1,设 的分布函数为求常数,,A B C 的值及概率解 由分布函数的性质得
1)2)(2( CBA
0)2)(2( CBA
0)2)(2( CBA
2
1
A
2
B
2
C
)4,3(F?
16
9?
定义,若二维随机变量 ),( YX 的所有可能取值 (,),
ijxy
,1,2,ij? 是有限对或可列无限多对时，则称 ),( YX 为离散型随机变量。
一、二维离散型随机变量
),2,1,(ji jiji pyYxXP },{
的 分布律 。),( YX称为二维随机变量
0)1?jip 1)2
1 1
i j
jip
性质：
例 2,将骰子抛两次,X— 第一次出现的点数，
Y— 第二次出现的点数，求（ X,Y）的分布律。
解,XY 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
例 3.一袋中有四个球,上面分别标有数字 1,2,2,3.从袋中任取一球后不放回,再从袋中任取一个球,以,XY
分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求 ),( YX
的分布律。
解 可能取值均为 1,2,3.,XY
11 { 1,1 }p P X Y
12 { 1,2 }p P X Y
1{ 1 } { 1 | 1 } 0 0
4P X P Y X
1 2 1{ 1 } { 2 | 1 }
4 3 6P X P Y X
13 1 / 4 1 / 3 1 / 1 2,p21 2 / 4 1 / 3 1 / 6p
22 2 / 4 1 / 3 1 / 6,p23 2 / 4 1 / 3 1 / 6p
同理可得
31 1 / 4 1 / 3 1 / 1 2,p32 1 / 4 2 / 3 1 / 6p
33 1 / 4 0 0,p
所以 ),( YX 的分布律为
0 1/6 1/12
1/6 1/6 1/6
1/12 1/6 0
1
2
3
1 2 3X Y
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4 甲、乙两人投篮，每人投中的概率分别为 0,6,0,7,
今各投三次，求①两人投中次数相同的概率；
② 甲投中次数比乙多的概率；
③ 甲投中次数比乙小一次的概率。
解 X 表示甲投中的次数,Y 表示乙投中的次数，
由题意可得 ~ ( 3,0,6 ),Xb ~ ( 3,0,7 )Yb
{ (,) (,) } { ( ) ( ) }ijp P X Y i j P X i Y j
独立性 { } { }P X i P Y j
33330,6 0,4 0,7 0,3i i i j j jCC
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0 0 1 1 2 2 3 3① { }?P X Y P P P P
1 0 2 0 2 1 3 0 3 1 3 2② { }?P X Y P P P P P P
0 1 1 2 2 3③ { 1 }?P X Y P P P
),( YX
xx yy
ij
i i
pyYxXPyxF },{),(
,iix x y y ji,
二维离散型随机变量 的分布函数为其中和式是对一切满足 的 求和。
一维随机变量的分布函数为
()
i
ixxF x p
定义,设二维随机变量 ),( YX 的分布函数为 (,),F x y
若存在 (,) 0,f x y? 使得对任意实数,,xy 总有
(,) (,)yxF x y f u v d u d v
则称 ),( YX 为 二维连续型随机变量,(,)f x y 称为 ),( YX 的概率密度,或称为随机变量 X 和 Y 的联合概率密度。
二、二维连续型随机变量
① (,) 0f x y?
② (,) 1f x y d x d y
f (x,y)的性质,
③ 若 (,)f x y 在点 (,)xy 连续，则有 2 (,)
(,)F x y f x y
xy
④
{ (,) (,) } 0P X Y x y,即连续型随机变量在某点的概率为 0。
{ (,) } (,),
G
P X Y G f x y d x d y
G表示 xoy平面上的区域,
落在此区域上的概率相当于以 G为底,以曲面 (,)z f x y?
为顶的曲顶柱体体积。
注：
例 5 设二维随机变量 ),( YX 的概率密度
2,0,0,
(,)
0,.
xyk e x y
f x y
其它试求：
⑴ 常数 k 的值；
⑵ 分布函数 (,) ;F x y
⑶ 概率 { } ;P Y X?
⑷ 概率 { 1 } ;P X Y
解 ⑴ 由概率密度的性质
2
00
1 (,) 2xy kf x y d x d y k e d x d y
得 2k? 从而得
22,0,0,
(,)
0,.
xye x y
f x y
其它
⑵ 由分布函数的性质
(,) (,)xyF x y f u v d v d u
2
00
2,0,0,
0,.
xy uv
e d v d u x y
o th e r s
2( 1 ) ( 1 ),0,0,
0,.
xye e x y
o th e r s
(,)xy
x
y
0
:
{ } {(,) } (,)
G y x
P Y X P X Y G f x y d x d y
2
0
2 1 / 3xy
y
d y e d x
⑷
11 2 1 2
00
2 1 2y xyd y e d x e e
x
y
0 1
1
1xy
x
y
0
'G
yx?
⑶ 将 ),( YX 看作平面上随机点的坐标，有例 6 设二维随机变量 ),( YX 的概率密度为
2 1,0 1 0 2,
,) 3
0,.
x x y x y
f x y
othe rs
，
试求概率．1 YXP
解 积分区域如右图所示
1
(,)
xy
f x y d x d y
1P X Y
12 2
01
() 3
x
xyd x x d y
6572?
x
y
0 1
1
1xy
2
)16)(9(
12),(),(
222
2
yxyx
yxFyxf
{ 0 3 }PX
的分布函数为),( YX
)4a r c t a n2)(3a r c t a n2(1),( 2 yxyxF
(,) ;f x y
例 7 已知试求：⑴ ),( YX 的概率密度
⑵
{ 0 3 },PX
解 ⑴ 由概率密度的性质知
⑵
{ 0 3 }P X Y，
3
2 2 20
12,
( 9 ) ( 1 6 ) 4
d y d x
xy
30 ),( d y d xyxf
的概率密度为),( YX例 6 已知 2,0 1,(,)
0,.
A x y y xf x y
othe rs
⑴ 求常数 A的值；⑵ 求 ),( YX 的分布函数 (,),F x y
解 ⑴ 由性质 (,) 1f x y d x d y
可得
1 2
00 1 1 5
xA d x x y d y A
x
y
0
G
yx?
1
所以
215,0 1,
(,)
0,.
x y y xf x y
othe rs
⑵ 由于 (,) (,)
xyF x y f x y d x d y
① 当 0x? 0y?
xyx,10
xyx 0,10
或 时，
(,) 0 ;F x y?
② 当 时,（如下图 3-5(1)）
2 3 2 2
0
1(,) 1 5 ( 5 3 ) ;
2
yx
y
F x y d y x y d x y x y
③ 当 时,（如下图 3-5(2)）
25
00(,) 1 5 ;
xxF x y d x x y d y x
10,1 yx④ 当 时,（如下图 3-5(3)）
1 2 3 2
0
1(,) 1 5 ( 5 3 ) ;
2
y
y
F x y d y x y d x y y
1,1xy⑤ 当 时,（如下图 3-5(4)）
1 2
00(,) 1 5 1,
xF x y d x x y d x
3 2 2
5
32
0,0 0,
1
( 5 3 ),0 1,0,
2
(,),0 1,,
1
( 5 3 ),1,0 1,
2
1,1,1,
x or y
y x y x y x
F x y x x y x
y y x y
xy
故边缘分布第三章二、边缘分布律一,边缘分布函数三、边缘概率密度第二节一,边缘分布函数的分布函数为
()XFx
分别的分布函数为设记
()YFy和的 边缘分布函数。,称为关于 和则?)( xF
X ),( xF
同理可得 ),( yF
研究问题,已知联合分布，怎样求 X,Y 的边缘分布。
解,的边缘分布函数为关于例 1,已知 的分布函数为的边缘分布函数 和求 关于问 各服从什么分布？
同理，
2
3
二,离散型随机变量的边缘分布律
),( YX
{,} (,1,2,)i j i jP X x Y y p i j
),( YX X
设 的分布律为则 关于 的 边缘分布律 为
}{ ixXP
},{
1
j
ji yYxXP
},{ ixXP? )(
1 jj
yY?
ip记做
,2,1,?i
1
}{
i
jij pyYP jp?
记做同理?,2,1,?j
通常用以下表格表示 ),( YX 的分布律和边缘分布律机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1 已知下面分布率,求二维随机变量 ),( YX 关于 X
和关于 Y的边缘分布律。
注意 ijpp和 不要反了。
ip
jp
1/9 2/9 1/9
2/9 2/9 0
1/9 0 0
1
2
3
1 2 3X Y
4/9 4/9 1/9 1
4/9
4/9
1/9
三、连续型随机变量的边缘概率密度
,),( yxf
),()( xFxF X dux?
若 是二维连续型随机变量,其概率密度为则,
)( xf X
dx)y,x(f)y(f Y同理
dvvuf ),(
dyyxf ),(
关于 X 和 Y 的边缘概率密度。),( YX分别是解,
,0,10|),( xyxyxG设 GYX 在),(
的边缘概率和关于求 YXYX ),(
例 2.
上服从均匀分布,
)(xf X )( yfY密度 和的概率密度为
)( xf X
dyyxf ),(?
其它,0
10,2
0
xdy
x
x
y
0 1
y=x
)( yf Y
其它,0
10),1(2 yy
dxyxf ),(
其它,0
10,2
1
ydx
y
x
y
0 1
y=x解,
例 2.
上服从均匀分布,
密度 和的概率密度为
y
o x
2yx?
yx?1
1
例 3 已知
26,,
(,) ~ (,)
0,
x y xX Y f x y
其它.
( ),( )XYf x f y求。
解 ( ) (,)Xf x f x y d y
2
26 6( ),0 1,
0,.
x
x
dy x x x
其它 6 6( ),0 1,( ) (,)
0,.
y
y
Y
dx y y y
f y f x y dx
其它例 4 已知
221,1,
(,) ~ (,)
0,
xy
X Y f x y?
其它.
( ),( )XYf x f y求。
11?
1?
1
y
x解 ( ) (,)Xf x f x y d y
2
2
2
1
1
1 2 1
,1 1,
0,.
x
x
x
d y x
其它
221
,1 1,()
0,.
Y
y
yfy
其它由对称性得注,联合分布 边缘分布条件分布第三章二、连续型随机变量的条件分布一,离散型随机变量的条件分布第三节对二维随机变量,在一个随机变量取固定值的条
(,)XY
件下,另一随机变量的概率分布,称为条件概率分布 (简称
2、二维离散型随机变量的条件分布
(,)XY设二维离散型随机变量 的联合分布律为
ijji pyYxXP ),(
,3,2,1,?ji
则关于 X的边缘分布律为X
i
j
iji ppxXP )(
,2,1?i
关于 Y 的边缘分布律为
ji ijj ppyYP)(
,2,1?j
条件分布 )
若,则由条件概率的定义知0jp
)|( ji yYxXP
)(
),(
j
ji
yYP
yYxXP
j
ij
p
p
,2,1?i
称之为在 条件下 X的 条件分布律 。
jyY?
类似地，当 时，在 条件下 Y 的 条件分布律 为0ip
ixX?
)|( ij xXyYP
)(
),(
i
ji
xXP
yYxXP
i
ij
p
p?,2,1?j
例 1 已知 10件产品中有 3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从这批产品中任意抽出 4 件,求其中一等品件数 及二等品件数的联合分布列,?
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
求随机变量 (或 )的分布列,
(1) 已知抽取的 4件产品中有 2件二等品,求一等品件数的概率分布,
(2) 已知抽取的 4件产品中有 1件一等品,求二等品件数的概率分布,
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
(1) 已知抽取的 4件产品中有 2件二等品,求一等品件数的概率分布,
(2) 已知抽取的 4件产品中有 1件一等品,求二等品件数的概率分布,
解,}2|{ iP 3,2,1,0?i(1) 所求概率分布律为于是 }2|0{P
}2{
}2,0{
P
P
2 1 0
1 0 0
2 1 0
10?
10
1?
}2|1{P 2 1 01 0 02 1 060? 53?同理
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
}2|2{P 2 1 01 0 02 1 030? 103?
}2|3{P 2101000? 0?
(1) 已知抽取的 4件产品中有 2件二等品,求一等品件数的概率分布,
(2) 已知抽取的 4件产品中有 1件一等品,求二等品件数的概率分布,
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
解,
}2|0{P 101? }2|1{P 53?
}2|2{P 103? }2|3{P 0?
}2|{ iP 3,2,1,0?i(1) 所求概率分布律为
(1) 已知抽取的 4件产品中有 2件二等品,求一等品件数的概率分布,
(2) 已知抽取的 4件产品中有 1件一等品,求二等品件数的概率分布,
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
解,}1|{ iP 4,3,2,1,0?i(2) 所求概率分布律为
}1|0{P 0? 71? 74?
7
2? 0?
}1|1{P }1|2{P
}1|3{P }1|4{P
(1) 已知抽取的 4件产品中有 2件二等品,求一等品件数的概率分布,
(2) 已知抽取的 4件产品中有 1件一等品,求二等品件数的概率分布,
3、二维连续型随机变量的条件分布对于二维连续型随机变量，由于对任一特定值 x或 y，均有
( ) 0P X x ( ) 0P Y y及,故对二维连续型随机变量，不能直接套用条件概率来定义条件概率分布。
下面我们利用 极限 来定义二维连续型随机变量的条件分布：
设 (X,Y) 的联合分布函数为,),( yxf 边缘密度
( ) (,)Yf y f x y d x
连续型随机变量 X 的条件分布函数定义为,
在条件 Y=y下,若 连续,(,),( )Yf x y f y 则对使 的点 y,( ) 0Yfy?
{ | }P X x Y y
0l i m { | }y P X x y Y y y
0
{,}l i m
{}y
P X x y Y y y
P y Y y y
0
(,)
l im
()
x y y
y
yyy
Yy
f u v d v d u
f v d v
0
(,)
l im ()
x
y Y
f u s y d u
f t y?
(,)
()
x
Y
f u y d u
fy
(利用积分中值定理 )
(,)
()
x
Y
f u y du
fy
条件分布函数记为 )|( yxF
即 (,)( | )
()
x
Y
f u yF x y d u
fy
(,)( | )
()
x
Y
f u yF x y d u
fy
在条件 下,Yy? 连续型随机变量 X 的条件分布函数为,
条件概率密度函数为 )(
),()|(
yf
yxfyxf
(,)( | )
()
y
X
f x vF y x d v
fx
条件概率密度函数为 (,)( | )
()X
f x yf y x
fx
在条件 X=x 下,连续型随机变量 Y 的条件分布函数为,同理,
例 4 已知二维随机变量 (X,Y) 的密度为试求 及
23 0 1() 0Y yyfy 其 它解,由 例 1知于是，对 有)1,0(?y
(,)( | )
()Y
f x yf x y
fy
其它0
10,1
3
6 2
2 xyxy
xy
其它0
102 yx
y
x
53 3 0 1() 0X x x xfx 其 它
23 0 1() 0Y yyfy 其 它解,由 例 1知
53 3 0 1() 0X x x xfx 其 它
(,)( | )
()Y
f x yf y x
fx
其它0
10,1
)(3
6 2
5 xyxxx
xy
其它0
10,1
1
2 2
4 xyxx
y
对 有)1,0(?x类似地,
例 4 已知二维随机变量 (X,Y) 的密度为试求 及
3 ( 1 ) 0 1()
0Y
yyfy
其 它解：
则
23 0 1() 0X xxfx 其 它练习 P75 第 4题于是，对 有)1,0(?y (,)
( | ) ()
Y
f x yf x y
fy?
1 1
1
0
yx
y
其 它
(,)( | )
()Y
f x yf y x
fx?
2
2
1 0
0
yx
x
其 它对 有)1,0(?x类似地,
}.1{ YXP
的条件例 5 设 X 在区间 上服从均匀分布，在
(2)Y 的概率密度；
(3)概率
(1) 随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；
)1,0( )10( xxX
下，随机变量 Y 在区间 服从均匀分布，求),0( x
解,（ 1） 随机变量 X 的概率密度函数为
其他，，
，
0
10,1)( xxf
X
其他，，
，
0
0,1)|( xy
xxyf
在 的条件下,Y 的条件概率密度函数为 )10( xxX
xxyfxfyxf X
1)|()(),(
当 时,X 和 Y 的联合概率密度函数为10 xy
0),(?yxf在其它点 处，有),( yx
(2004)
．
xy
xyxf
其他，
，
0
10,1),(
从而
dxyxfyf Y ),()(（ 2） 当 时，10 y
dxyxfyf Y ),()(? 1 1y dxx yln
当 或 时，0?y 1?y 0)(?yfY
因此
．
yyyf
Y 其他，
，
0
10,ln)(
}.1{ YXP
的条件例 6 设 X 在区间 上服从均匀分布，在
(2)Y 的概率密度；
(3)概率
(1) 随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；
)1,0( )10( xxX
下，随机变量 Y 在区间 服从均匀分布，求),0( x
(2004)
．
xy
xyxf
其他，
，
0
10,1),(
从而
（ 3） }1{ YXP
x x dyxdx 11
2
1
1
1
),(
yx
dxdyyxf
1
2
1 )
12( dx
x
O x
y xy?
1 yx
1
2
1
2ln1
}.1{ YXP
的条件例 6 设 X 在区间 上服从均匀分布，在
(2)Y 的概率密度；
(3)概率
(1) 随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；
)1,0( )10( xxX
下，随机变量 Y 在区间 服从均匀分布，求),0( x
(2004)
相互独立的随机变量第三章二,n个随机变量的独立性一、两个随机变量的独立性第四节均有
),( YX yx,
{,} { } { } ⑴P X x Y y P X x P Y y
XY与一、两个随机变量的独立性定义 1 若二维随机变量 对任意的实数成立，则称随机变量 是相互独立的。
)()(),( yFxFyxF YX?即
1) 对于离散型的随机变量
},{ ji yYxXP ji,? }{}{ ji yYPxXP
2) 对于连续型的随机变量
)()(),( yfxfyxf YX? 几乎处处成立。
例 1 设随机变量 相互独立，试确定 a,b,c 的值？
解,因为 相互独立
6
11)
3
1
9
1()
9
1( cbca
其它．,0
,10,10,4
),(
yxyx
yxf
),( YX例 2 设随机变量 的概率密度为试问 X 与 Y 是否相互独立?
),( YX
dyyxfxf X ),()(
X
其它．,0
,10,24
1
0
xxx y d y
解 因为 关于 的边缘概率密度
其它．,0
,10,2
)(
yy
yf Y )()(),( yfxfyxf YX
故 X 与 Y 是相互独立的。
例 3.（约会问题）张三与李四决定在老地方相会，他们到达时间均匀分布在晚上 7:00— 7:30,且时间相互独立,
求：两人在 5分钟之内能见面的概率。
解 设张三到达的时间为 X ；李四到达的时间为 Y,1 / 3 0,0 3 0,
() 0,.X xfx o th e rs
1 / 3 0,0 3 0,()
0,.Y
yfy
o th e rs
0 3 0
1 / 9 0 0,
(,) ( ) ( ) 0 3 0,
0,.
XY
x
f x y f x f y y
o the rs
所以，
所求概率为 {| | 5 }P X Y
2
1 1 1
9 0 0 3 6GS
2 5 1 1( 1 )
3 6 3 6or5 2530x
y
5
0
2G
G
d x d yyxf ),(
2
900
1
G
d x d y
注,关于正态分布的重要结论。（ 86页例 5）
二,n个随机变量的独立性 （自学）参 87页定理 设随机变量 12(,,)mX X X12(,,)nY Y Y和 相互独立,h,g 是连续函数，则随机变量 12(,,)mh X X X
12(,,)ng Y Y Y和 也相互独立。
二维随机变量的函数的分布第三章一、离散型随机变量函数的分布第五节二、连续型随机变量函数的分布一、二维离散型随机变量的函数的分布设离散型随机变量 ),( YX 的分布律为
,2,1,,},{ jipyYxXP jiji
设 ),( yxgz? 为二元函数,求 的分布律。
ji yYxX,),( ji yxgz?
jiji pyxgZP )},({?,2,1,?ji
当 时,Z 相应的值为且有
),( yxgz?
例：
例 1 假设随机变量 ( X,Y )的分布律为分别求
1 2 3,,Z X Y Z X Y Z X Y
的分布律，
并判断
12ZZ和是否独立？
解
1 { 0,1,2,3 }ZR?
且
1{ 0 } { 0 }P Z P X Y
{ 1,1 } 0,0 7P X Y
= 0.19.
Z
p
0 1 2 3
0.07 0.37 0.37 0.19
所以，
同理可得下表化简整理,得各函数的分布律为：
12{ 0,0 } 0P Z Z
因为
12{ 0 } { 0 } 0,0 7 0,1 5P Z P Z
而
12ZZ和不相互独立。故例 2 假设随机变量 X 与 Y 相互独立，它们分别服从参数为
12和的泊松分布。求 Z X Y的分布律。
解 由题意可知 { 0,1,2,}ZR?
1
11
11
1
{ },0,1,2,
!
k
P X k e k
k
2
22
22
2
{ },0,1,2,
!
k
P Y k e k
k
{ } { }P Z i P X Y i
{ 0,} {,0 }P X Y i P X i Y
0
{,}
i
k
P X k Y i k
故
0
{ } { }
i
k
P X k P Y i k
{ } { }P Z i P X Y i
{ 0,} {,0 }P X Y i P X i Y
0
{,}
i
k
P X k Y i k
21
!)(!
2
0
1
e
ki
e
k
kii
k
k
12()
12
0
1!
! ! !
i
k i k
k
ie
i k i k
12()
12
0
1
!
i
k k i k
i
k
eC
i
12()12
()
!
i
e
i
,2,1,0?i
)(~ 21 YXZ故 泊松分布具有可加性二、二维连续型随机变量的函数的分布
Ⅰ,Z = X+Y 的分布已知 ( X,Y )的概率密度为 f (x,y),求 Z=X+Y的概率密度。
Z=X+Y的分布函数为解：
x y z
y
x0令 x =u-y,则
z ),(),( duyyufdxyxfyz而特别地,当 X 与 Y 相互独立时,有
( ) ( ) ( )Z X Yf z f z y f y d y
( ) ( ) ( )Z X Yf z f x f z x d x
上式称为 XYff与 的 卷积公式,记为 XYff?
例 3 假设 X 和 Y 相互独立,且都服从标准正态分布，
解 由题意可知 X 与 Y 的概率密度分别为由卷积公式可得 Z 的概率密度为结论,正态分布的可加性（ 96页）
nXXX,,,21?
若随机变量 相互独立，并且
),(~ 2kkk NX ( 1,2,,)kn?
),(~
1
22
11
n
k
kk
n
k
kk
n
k
kk NXZ
,则为常数ka,
例 4 设随机变量 ( X,Y )的概率密度为
ZZ X Y f求 的概率密度 ( z ) ;
,0,(,)
0,.
ye x y
f x y
othe rs
解,Z X Y的概率密度为
( ) (,)Zf z f z y y d y
),( yyzf
其他,0
,0,yyze y
z
y
2zy?
zy?
( ) (,)Zf z f z y y d y
),( yyzf
其他,0
,0,yyze y
z
y
2zy?
zy?
当 0z? 时，
/2()
z y
Z zf z e d y
/2zzee
当 0z? 时,( ) 0Zfz?
所以
/2,0,
()
0,0.
zz
Z
e e z
fz
z
例 5 设随机变量 X,Y 相互独立,X 服从区间 (0,1)上的上的均匀分布,Y 服从 1 的指数分布，试求随机变量 Z=X+Y 的概率密度函数。
解,由题意，可知
其它0
101 xxf
X
00
0
y
yeyf y
Y
，则有的密度函数为设随机变量 zfYXZ Z
dxxzfxfzf YXZ
,?
dxxzfxfzf YXZ 0,10 xzx
x
z
0xz
0 1
1 )()( xzfxf
YX
其他,0
0,10,1 )( xzxe xz
，⑴．若 0?z 0?zf Z
，⑵．若 10 z
()
0
1
z
zx
Zf z e d x
ze 1
z
xz dxee
0
，⑶．若 1?z
1 ()0 zxZf z e d x zz ee 110zxe e d x
1
0,0,
( ) 1,0 1,
,1,
z
Z
zz
z
f z e z
e e z
综上所述随机变量 Z=X+Y 的密度函数为总结：用公式求和函数的一般过程
1、根据 x和 y的概率密度，确定是否用卷积公式。
并且决定用 dx或是 dy型的积分。
,?
dxxzfxfzf YXZ
以 为例
.
,)()(2
零的区域平面不为，确定、写出被积函数 zxxzfxf YX?
,3 z同的、根据平面图，讨论不 计算积分。
4、整理成完整的表达式。
例 6、
练习解法 1 利用概率密度公式
Ⅱ,M= max(X,Y ),N= min(X,Y )的分布
(随机变量相互独立） ( ) ( )XYF x F y和X和 Y的分布函数
( ) { } {m a x (,) }MF z P M z P X Y z
解 m a x (,)M X Y? 的分布函数为
{,}P X z Y z
( ) {m in (,) }NF z P X Y z1 {m in (,) }P X Y z
m in (,)N X Y? 的分布函数为
1 { } { }P X z P Y z1 [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]XYF z F z
( ) ( ) ( )M X YF z F z F z
( ) 1 [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]N X YF z F z F z
所以推广 当 12,,nX X X独立同分布时，随机变量
( ) [ ( ) ],i nMXF z F z?
( ) 1 [ 1 ( ) ]i nNXF z F z
12m a x (,,),nM X X X? 12m in (,,)nN X X X?
的分布函数为例 7 设随机变量 X 的概率密度为 2,0 1,
()
0,.
xxfx
o th e rs
1 2 3 4,,,X X X X随机变量 相互独立且与 X 有相同的分布,试求随机变量 1 2 3 4m a x (,,,)M X X X X? 的概率密度和 { 0,5 }.PM?
解 X 的分布函数为
2
0,0,
( ) ( ),0 1,
1,1,
x
X
x
F x f t d t x x
x
1 2 3 4m a x (,,,)M X X X X? 的分布函数为
4( ) [ ( ) ],MXF x F x?
所以 M 的概率密度为
3( ) ( ) 4 [ ( ) ] ( )M M Xf x F x F x f x78,0 1,
0,.
xx
othe rs
所以,{ 0,5 } 1 { 0,5 } 1 ( 0,5 )MP M P M F
81 0,5 0,9 9 6 1,
例 8 设系统 L 由两个相互独立的子系统 12,LL
⑶ 备用（当系统 1损坏时，系统 2开始工作）。
设试求系统 L 的寿命 Z 的概率密度。
连结而成，连接的方式分别为⑴ 串联；⑵ 并联；
,0,()
0,0.
x
X
exfx
x
12,LL的寿命分别为 X,Y,并且,0,()
0,0.
x
Y
eyfy
y
解 由题意可得
m in (,) ;Z X Y?⑴ m a x (,) ;Z X Y?⑵
Z X Y⑶
( ) ( )xXF x f x d x
1,0,
0,0.
xex
x
1,0,
()
0,0.
y
Y
eyFy
y
则 ⑴ m in ( ) 1 ( 1 ( ) ) ( 1 ( ) )XYF z F z F z()1,0,
0,0.
zez
z
()
m in m in
( ),0,( ) ( )
0,0.
zez
f z F z
z
⑵ m a x ( ) ( ) ( )XYF z F z F z?( 1 ) ( 1 ),0,
0,0.
zze e z
z
()
m a x
( ),0,()
0,0.
z z ze e e z
fz
z
(3) Z=X+Y
[ ],0,
()
0,0.
zye e z
fz
z
例 9 设随机变量 X,Y 相互独立,X 服从区间 (0,1)上的上的均匀分布,Y 服从 1 的指数分布，试求随机变量 Z=X+Y 的概率密度函数。
（方法二）用分布函数法由独立性可知,0 1,0,,
0,.
ye x y
f x y
oth e rs
⑴ 先求随机变量 Z=X+Y 的分布函数
( ) { } (,)Z
x y z
F z P X Y z f x y d x d y
x
y
1
1
z
z
x y z
1xy
当 0z? 时,( ) 0ZFz?
当 01z时，
00()
z z x y
ZF z d x e d y
0 ( 1 )
z xze d x
1 zze
( ) { } (,)Z
x y z
F z P X Y z f x y d x d y
x
y
1
1
z
z
x y z
1xy
当 1z? 时，
1
00()
zx y
ZF z d x e d y
1
0 ( 1 )
xze d x
11 zzee
⑵ 再对随机变量 Z=X+Y 的分布函数积分可得
1
0,0,
( ) ( ) 1,0 1,
,1,
z
ZZ
zz
z
f z F z e z
e e z
例 10 设随机变量 ( X,Y )的概率密度为 3,0 1,0,(,)
0,.
x x y x
f x y
o th e rs
试求随机变量 Z X Y的概率密度 。
解
xy?y
x
x y z
1z
G
( ) { }ZF z P X Y z
(,)
x y z
f x y d x d y
结合概率密度的非零区域可得
① 0z? 时 ( ) 0ZFz?
② 01z时
( ) 3Z
G
F z x d x d y
xy?y
x
x y z
1z
G
1
00 33
z x x
z x zd x x d y d x x d y
331
22zz
③ ( ) 1ZFz?时1?z
3
0,0,
31
( ),0 1,
22
1,1.
Z
z
F z z z z
z
所以故 Z = X -Y 的概率密度为
23 ( 1 ),0 1,
() 2
0,.
Z
zz
fz
othe rs
第三章 小 结
1 二维随机变量的概念
2 二维随机变量的分布函数和边缘分布函数
3 离散型二维随机变量离散型二维随机变量的分布率及边缘分布率
6 会求二维随机变量的简单函数的分布。
4 连续型二维随机变量连续型二维随机变量的密度函数及边缘密度函数
5 随机变量的相互独立性
例如 1.考察某地区学龄前儿童的身体发育情况，对这一地区的儿童进行检查，需同时测量他们的身高和体重，则得到两个随机变量 可用 来描述儿童的发育情况。
2.射击，如果在靶纸上没有平面坐标系，那弹着点就可用随机变量横坐标和纵坐标描述。
定义 1 设随机试验 的样本空间是 设和 是定义在 上的随机变量，则由它们构成的一个向量 称为 二维随机变量或二维随机向量 。
定义 2 设 是二维随机变量，对于任意实数二元函数
{,}P X x Y y
称为二维随机变量 的 分布函数，或联合分布函数 。
}{)( xXPxF
二维分布函数的几何意义处的函数值,在随机点 落在以 为顶点的左下方矩形开域上的概率。
),( yx
x
y
0
21(,)xy
22(,)xy12(,)xy
11(,)xy
y
2x1x
1y
2y
0
x
所以
2 2 1 2 2 1 1 1(,) (,) (,) (,)F x y F x y F x y F x y
性质：
① 是变量 和 的 不减函数,即对任意固定的,当 时，
对任意固定的,当 时，
② 0 (,) 1F x y
③ 关于 右连续,即
,0),( yF,0),(xF
.1),(F
(,) 1,F(,) 0,F 0),(F
),( YX
)4a r c t a n)(3a r c t a n(),( yCxBAyxF
{ 3,4 },P X Y
例 1,设 的分布函数为求常数,,A B C 的值及概率解 由分布函数的性质得
1)2)(2( CBA
0)2)(2( CBA
0)2)(2( CBA
2
1
A
2
B
2
C
)4,3(F?
16
9?
定义,若二维随机变量 ),( YX 的所有可能取值 (,),
ijxy
,1,2,ij? 是有限对或可列无限多对时，则称 ),( YX 为离散型随机变量。
一、二维离散型随机变量
),2,1,(ji jiji pyYxXP },{
的 分布律 。),( YX称为二维随机变量
0)1?jip 1)2
1 1
i j
jip
性质：
例 2,将骰子抛两次,X— 第一次出现的点数，
Y— 第二次出现的点数，求（ X,Y）的分布律。
解,XY 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
例 3.一袋中有四个球,上面分别标有数字 1,2,2,3.从袋中任取一球后不放回,再从袋中任取一个球,以,XY
分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求 ),( YX
的分布律。
解 可能取值均为 1,2,3.,XY
11 { 1,1 }p P X Y
12 { 1,2 }p P X Y
1{ 1 } { 1 | 1 } 0 0
4P X P Y X
1 2 1{ 1 } { 2 | 1 }
4 3 6P X P Y X
13 1 / 4 1 / 3 1 / 1 2,p21 2 / 4 1 / 3 1 / 6p
22 2 / 4 1 / 3 1 / 6,p23 2 / 4 1 / 3 1 / 6p
同理可得
31 1 / 4 1 / 3 1 / 1 2,p32 1 / 4 2 / 3 1 / 6p
33 1 / 4 0 0,p
所以 ),( YX 的分布律为
0 1/6 1/12
1/6 1/6 1/6
1/12 1/6 0
1
2
3
1 2 3X Y
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4 甲、乙两人投篮，每人投中的概率分别为 0,6,0,7,
今各投三次，求①两人投中次数相同的概率；
② 甲投中次数比乙多的概率；
③ 甲投中次数比乙小一次的概率。
解 X 表示甲投中的次数,Y 表示乙投中的次数，
由题意可得 ~ ( 3,0,6 ),Xb ~ ( 3,0,7 )Yb
{ (,) (,) } { ( ) ( ) }ijp P X Y i j P X i Y j
独立性 { } { }P X i P Y j
33330,6 0,4 0,7 0,3i i i j j jCC
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0 0 1 1 2 2 3 3① { }?P X Y P P P P
1 0 2 0 2 1 3 0 3 1 3 2② { }?P X Y P P P P P P
0 1 1 2 2 3③ { 1 }?P X Y P P P
),( YX
xx yy
ij
i i
pyYxXPyxF },{),(
,iix x y y ji,
二维离散型随机变量 的分布函数为其中和式是对一切满足 的 求和。
一维随机变量的分布函数为
()
i
ixxF x p
定义,设二维随机变量 ),( YX 的分布函数为 (,),F x y
若存在 (,) 0,f x y? 使得对任意实数,,xy 总有
(,) (,)yxF x y f u v d u d v
则称 ),( YX 为 二维连续型随机变量,(,)f x y 称为 ),( YX 的概率密度,或称为随机变量 X 和 Y 的联合概率密度。
二、二维连续型随机变量
① (,) 0f x y?
② (,) 1f x y d x d y
f (x,y)的性质,
③ 若 (,)f x y 在点 (,)xy 连续，则有 2 (,)
(,)F x y f x y
xy
④
{ (,) (,) } 0P X Y x y,即连续型随机变量在某点的概率为 0。
{ (,) } (,),
G
P X Y G f x y d x d y
G表示 xoy平面上的区域,
落在此区域上的概率相当于以 G为底,以曲面 (,)z f x y?
为顶的曲顶柱体体积。
注：
例 5 设二维随机变量 ),( YX 的概率密度
2,0,0,
(,)
0,.
xyk e x y
f x y
其它试求：
⑴ 常数 k 的值；
⑵ 分布函数 (,) ;F x y
⑶ 概率 { } ;P Y X?
⑷ 概率 { 1 } ;P X Y
解 ⑴ 由概率密度的性质
2
00
1 (,) 2xy kf x y d x d y k e d x d y
得 2k? 从而得
22,0,0,
(,)
0,.
xye x y
f x y
其它
⑵ 由分布函数的性质
(,) (,)xyF x y f u v d v d u
2
00
2,0,0,
0,.
xy uv
e d v d u x y
o th e r s
2( 1 ) ( 1 ),0,0,
0,.
xye e x y
o th e r s
(,)xy
x
y
0
:
{ } {(,) } (,)
G y x
P Y X P X Y G f x y d x d y
2
0
2 1 / 3xy
y
d y e d x
⑷
11 2 1 2
00
2 1 2y xyd y e d x e e
x
y
0 1
1
1xy
x
y
0
'G
yx?
⑶ 将 ),( YX 看作平面上随机点的坐标，有例 6 设二维随机变量 ),( YX 的概率密度为
2 1,0 1 0 2,
,) 3
0,.
x x y x y
f x y
othe rs
，
试求概率．1 YXP
解 积分区域如右图所示
1
(,)
xy
f x y d x d y
1P X Y
12 2
01
() 3
x
xyd x x d y
6572?
x
y
0 1
1
1xy
2
)16)(9(
12),(),(
222
2
yxyx
yxFyxf
{ 0 3 }PX
的分布函数为),( YX
)4a r c t a n2)(3a r c t a n2(1),( 2 yxyxF
(,) ;f x y
例 7 已知试求：⑴ ),( YX 的概率密度
⑵
{ 0 3 },PX
解 ⑴ 由概率密度的性质知
⑵
{ 0 3 }P X Y，
3
2 2 20
12,
( 9 ) ( 1 6 ) 4
d y d x
xy
30 ),( d y d xyxf
的概率密度为),( YX例 6 已知 2,0 1,(,)
0,.
A x y y xf x y
othe rs
⑴ 求常数 A的值；⑵ 求 ),( YX 的分布函数 (,),F x y
解 ⑴ 由性质 (,) 1f x y d x d y
可得
1 2
00 1 1 5
xA d x x y d y A
x
y
0
G
yx?
1
所以
215,0 1,
(,)
0,.
x y y xf x y
othe rs
⑵ 由于 (,) (,)
xyF x y f x y d x d y
① 当 0x? 0y?
xyx,10
xyx 0,10
或 时，
(,) 0 ;F x y?
② 当 时,（如下图 3-5(1)）
2 3 2 2
0
1(,) 1 5 ( 5 3 ) ;
2
yx
y
F x y d y x y d x y x y
③ 当 时,（如下图 3-5(2)）
25
00(,) 1 5 ;
xxF x y d x x y d y x
10,1 yx④ 当 时,（如下图 3-5(3)）
1 2 3 2
0
1(,) 1 5 ( 5 3 ) ;
2
y
y
F x y d y x y d x y y
1,1xy⑤ 当 时,（如下图 3-5(4)）
1 2
00(,) 1 5 1,
xF x y d x x y d x
3 2 2
5
32
0,0 0,
1
( 5 3 ),0 1,0,
2
(,),0 1,,
1
( 5 3 ),1,0 1,
2
1,1,1,
x or y
y x y x y x
F x y x x y x
y y x y
xy
故边缘分布第三章二、边缘分布律一,边缘分布函数三、边缘概率密度第二节一,边缘分布函数的分布函数为
()XFx
分别的分布函数为设记
()YFy和的 边缘分布函数。,称为关于 和则?)( xF
X ),( xF
同理可得 ),( yF
研究问题,已知联合分布，怎样求 X,Y 的边缘分布。
解,的边缘分布函数为关于例 1,已知 的分布函数为的边缘分布函数 和求 关于问 各服从什么分布？
同理，
2
3
二,离散型随机变量的边缘分布律
),( YX
{,} (,1,2,)i j i jP X x Y y p i j
),( YX X
设 的分布律为则 关于 的 边缘分布律 为
}{ ixXP
},{
1
j
ji yYxXP
},{ ixXP? )(
1 jj
yY?
ip记做
,2,1,?i
1
}{
i
jij pyYP jp?
记做同理?,2,1,?j
通常用以下表格表示 ),( YX 的分布律和边缘分布律机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1 已知下面分布率,求二维随机变量 ),( YX 关于 X
和关于 Y的边缘分布律。
注意 ijpp和 不要反了。
ip
jp
1/9 2/9 1/9
2/9 2/9 0
1/9 0 0
1
2
3
1 2 3X Y
4/9 4/9 1/9 1
4/9
4/9
1/9
三、连续型随机变量的边缘概率密度
,),( yxf
),()( xFxF X dux?
若 是二维连续型随机变量,其概率密度为则,
)( xf X
dx)y,x(f)y(f Y同理
dvvuf ),(
dyyxf ),(
关于 X 和 Y 的边缘概率密度。),( YX分别是解,
,0,10|),( xyxyxG设 GYX 在),(
的边缘概率和关于求 YXYX ),(
例 2.
上服从均匀分布,
)(xf X )( yfY密度 和的概率密度为
)( xf X
dyyxf ),(?
其它,0
10,2
0
xdy
x
x
y
0 1
y=x
)( yf Y
其它,0
10),1(2 yy
dxyxf ),(
其它,0
10,2
1
ydx
y
x
y
0 1
y=x解,
例 2.
上服从均匀分布,
密度 和的概率密度为
y
o x
2yx?
yx?1
1
例 3 已知
26,,
(,) ~ (,)
0,
x y xX Y f x y
其它.
( ),( )XYf x f y求。
解 ( ) (,)Xf x f x y d y
2
26 6( ),0 1,
0,.
x
x
dy x x x
其它 6 6( ),0 1,( ) (,)
0,.
y
y
Y
dx y y y
f y f x y dx
其它例 4 已知
221,1,
(,) ~ (,)
0,
xy
X Y f x y?
其它.
( ),( )XYf x f y求。
11?
1?
1
y
x解 ( ) (,)Xf x f x y d y
2
2
2
1
1
1 2 1
,1 1,
0,.
x
x
x
d y x
其它
221
,1 1,()
0,.
Y
y
yfy
其它由对称性得注,联合分布 边缘分布条件分布第三章二、连续型随机变量的条件分布一,离散型随机变量的条件分布第三节对二维随机变量,在一个随机变量取固定值的条
(,)XY
件下,另一随机变量的概率分布,称为条件概率分布 (简称
2、二维离散型随机变量的条件分布
(,)XY设二维离散型随机变量 的联合分布律为
ijji pyYxXP ),(
,3,2,1,?ji
则关于 X的边缘分布律为X
i
j
iji ppxXP )(
,2,1?i
关于 Y 的边缘分布律为
ji ijj ppyYP)(
,2,1?j
条件分布 )
若,则由条件概率的定义知0jp
)|( ji yYxXP
)(
),(
j
ji
yYP
yYxXP
j
ij
p
p
,2,1?i
称之为在 条件下 X的 条件分布律 。
jyY?
类似地，当 时，在 条件下 Y 的 条件分布律 为0ip
ixX?
)|( ij xXyYP
)(
),(
i
ji
xXP
yYxXP
i
ij
p
p?,2,1?j
例 1 已知 10件产品中有 3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从这批产品中任意抽出 4 件,求其中一等品件数 及二等品件数的联合分布列,?
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
求随机变量 (或 )的分布列,
(1) 已知抽取的 4件产品中有 2件二等品,求一等品件数的概率分布,
(2) 已知抽取的 4件产品中有 1件一等品,求二等品件数的概率分布,
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
(1) 已知抽取的 4件产品中有 2件二等品,求一等品件数的概率分布,
(2) 已知抽取的 4件产品中有 1件一等品,求二等品件数的概率分布,
解,}2|{ iP 3,2,1,0?i(1) 所求概率分布律为于是 }2|0{P
}2{
}2,0{
P
P
2 1 0
1 0 0
2 1 0
10?
10
1?
}2|1{P 2 1 01 0 02 1 060? 53?同理
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
}2|2{P 2 1 01 0 02 1 030? 103?
}2|3{P 2101000? 0?
(1) 已知抽取的 4件产品中有 2件二等品,求一等品件数的概率分布,
(2) 已知抽取的 4件产品中有 1件一等品,求二等品件数的概率分布,
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
解,
}2|0{P 101? }2|1{P 53?
}2|2{P 103? }2|3{P 0?
}2|{ iP 3,2,1,0?i(1) 所求概率分布律为
(1) 已知抽取的 4件产品中有 2件二等品,求一等品件数的概率分布,
(2) 已知抽取的 4件产品中有 1件一等品,求二等品件数的概率分布,
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
解,}1|{ iP 4,3,2,1,0?i(2) 所求概率分布律为
}1|0{P 0? 71? 74?
7
2? 0?
}1|1{P }1|2{P
}1|3{P }1|4{P
(1) 已知抽取的 4件产品中有 2件二等品,求一等品件数的概率分布,
(2) 已知抽取的 4件产品中有 1件一等品,求二等品件数的概率分布,
3、二维连续型随机变量的条件分布对于二维连续型随机变量，由于对任一特定值 x或 y，均有
( ) 0P X x ( ) 0P Y y及,故对二维连续型随机变量，不能直接套用条件概率来定义条件概率分布。
下面我们利用 极限 来定义二维连续型随机变量的条件分布：
设 (X,Y) 的联合分布函数为,),( yxf 边缘密度
( ) (,)Yf y f x y d x
连续型随机变量 X 的条件分布函数定义为,
在条件 Y=y下,若 连续,(,),( )Yf x y f y 则对使 的点 y,( ) 0Yfy?
{ | }P X x Y y
0l i m { | }y P X x y Y y y
0
{,}l i m
{}y
P X x y Y y y
P y Y y y
0
(,)
l im
()
x y y
y
yyy
Yy
f u v d v d u
f v d v
0
(,)
l im ()
x
y Y
f u s y d u
f t y?
(,)
()
x
Y
f u y d u
fy
(利用积分中值定理 )
(,)
()
x
Y
f u y du
fy
条件分布函数记为 )|( yxF
即 (,)( | )
()
x
Y
f u yF x y d u
fy
(,)( | )
()
x
Y
f u yF x y d u
fy
在条件 下,Yy? 连续型随机变量 X 的条件分布函数为,
条件概率密度函数为 )(
),()|(
yf
yxfyxf
(,)( | )
()
y
X
f x vF y x d v
fx
条件概率密度函数为 (,)( | )
()X
f x yf y x
fx
在条件 X=x 下,连续型随机变量 Y 的条件分布函数为,同理,
例 4 已知二维随机变量 (X,Y) 的密度为试求 及
23 0 1() 0Y yyfy 其 它解,由 例 1知于是，对 有)1,0(?y
(,)( | )
()Y
f x yf x y
fy
其它0
10,1
3
6 2
2 xyxy
xy
其它0
102 yx
y
x
53 3 0 1() 0X x x xfx 其 它
23 0 1() 0Y yyfy 其 它解,由 例 1知
53 3 0 1() 0X x x xfx 其 它
(,)( | )
()Y
f x yf y x
fx
其它0
10,1
)(3
6 2
5 xyxxx
xy
其它0
10,1
1
2 2
4 xyxx
y
对 有)1,0(?x类似地,
例 4 已知二维随机变量 (X,Y) 的密度为试求 及
3 ( 1 ) 0 1()
0Y
yyfy
其 它解：
则
23 0 1() 0X xxfx 其 它练习 P75 第 4题于是，对 有)1,0(?y (,)
( | ) ()
Y
f x yf x y
fy?
1 1
1
0
yx
y
其 它
(,)( | )
()Y
f x yf y x
fx?
2
2
1 0
0
yx
x
其 它对 有)1,0(?x类似地,
}.1{ YXP
的条件例 5 设 X 在区间 上服从均匀分布，在
(2)Y 的概率密度；
(3)概率
(1) 随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；
)1,0( )10( xxX
下，随机变量 Y 在区间 服从均匀分布，求),0( x
解,（ 1） 随机变量 X 的概率密度函数为
其他，，
，
0
10,1)( xxf
X
其他，，
，
0
0,1)|( xy
xxyf
在 的条件下,Y 的条件概率密度函数为 )10( xxX
xxyfxfyxf X
1)|()(),(
当 时,X 和 Y 的联合概率密度函数为10 xy
0),(?yxf在其它点 处，有),( yx
(2004)
．
xy
xyxf
其他，
，
0
10,1),(
从而
dxyxfyf Y ),()(（ 2） 当 时，10 y
dxyxfyf Y ),()(? 1 1y dxx yln
当 或 时，0?y 1?y 0)(?yfY
因此
．
yyyf
Y 其他，
，
0
10,ln)(
}.1{ YXP
的条件例 6 设 X 在区间 上服从均匀分布，在
(2)Y 的概率密度；
(3)概率
(1) 随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；
)1,0( )10( xxX
下，随机变量 Y 在区间 服从均匀分布，求),0( x
(2004)
．
xy
xyxf
其他，
，
0
10,1),(
从而
（ 3） }1{ YXP
x x dyxdx 11
2
1
1
1
),(
yx
dxdyyxf
1
2
1 )
12( dx
x
O x
y xy?
1 yx
1
2
1
2ln1
}.1{ YXP
的条件例 6 设 X 在区间 上服从均匀分布，在
(2)Y 的概率密度；
(3)概率
(1) 随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；
)1,0( )10( xxX
下，随机变量 Y 在区间 服从均匀分布，求),0( x
(2004)
相互独立的随机变量第三章二,n个随机变量的独立性一、两个随机变量的独立性第四节均有
),( YX yx,
{,} { } { } ⑴P X x Y y P X x P Y y
XY与一、两个随机变量的独立性定义 1 若二维随机变量 对任意的实数成立，则称随机变量 是相互独立的。
)()(),( yFxFyxF YX?即
1) 对于离散型的随机变量
},{ ji yYxXP ji,? }{}{ ji yYPxXP
2) 对于连续型的随机变量
)()(),( yfxfyxf YX? 几乎处处成立。
例 1 设随机变量 相互独立，试确定 a,b,c 的值？
解,因为 相互独立
6
11)
3
1
9
1()
9
1( cbca
其它．,0
,10,10,4
),(
yxyx
yxf
),( YX例 2 设随机变量 的概率密度为试问 X 与 Y 是否相互独立?
),( YX
dyyxfxf X ),()(
X
其它．,0
,10,24
1
0
xxx y d y
解 因为 关于 的边缘概率密度
其它．,0
,10,2
)(
yy
yf Y )()(),( yfxfyxf YX
故 X 与 Y 是相互独立的。
例 3.（约会问题）张三与李四决定在老地方相会，他们到达时间均匀分布在晚上 7:00— 7:30,且时间相互独立,
求：两人在 5分钟之内能见面的概率。
解 设张三到达的时间为 X ；李四到达的时间为 Y,1 / 3 0,0 3 0,
() 0,.X xfx o th e rs
1 / 3 0,0 3 0,()
0,.Y
yfy
o th e rs
0 3 0
1 / 9 0 0,
(,) ( ) ( ) 0 3 0,
0,.
XY
x
f x y f x f y y
o the rs
所以，
所求概率为 {| | 5 }P X Y
2
1 1 1
9 0 0 3 6GS
2 5 1 1( 1 )
3 6 3 6or5 2530x
y
5
0
2G
G
d x d yyxf ),(
2
900
1
G
d x d y
注,关于正态分布的重要结论。（ 86页例 5）
二,n个随机变量的独立性 （自学）参 87页定理 设随机变量 12(,,)mX X X12(,,)nY Y Y和 相互独立,h,g 是连续函数，则随机变量 12(,,)mh X X X
12(,,)ng Y Y Y和 也相互独立。
二维随机变量的函数的分布第三章一、离散型随机变量函数的分布第五节二、连续型随机变量函数的分布一、二维离散型随机变量的函数的分布设离散型随机变量 ),( YX 的分布律为
,2,1,,},{ jipyYxXP jiji
设 ),( yxgz? 为二元函数,求 的分布律。
ji yYxX,),( ji yxgz?
jiji pyxgZP )},({?,2,1,?ji
当 时,Z 相应的值为且有
),( yxgz?
例：
例 1 假设随机变量 ( X,Y )的分布律为分别求
1 2 3,,Z X Y Z X Y Z X Y
的分布律，
并判断
12ZZ和是否独立？
解
1 { 0,1,2,3 }ZR?
且
1{ 0 } { 0 }P Z P X Y
{ 1,1 } 0,0 7P X Y
= 0.19.
Z
p
0 1 2 3
0.07 0.37 0.37 0.19
所以，
同理可得下表化简整理,得各函数的分布律为：
12{ 0,0 } 0P Z Z
因为
12{ 0 } { 0 } 0,0 7 0,1 5P Z P Z
而
12ZZ和不相互独立。故例 2 假设随机变量 X 与 Y 相互独立，它们分别服从参数为
12和的泊松分布。求 Z X Y的分布律。
解 由题意可知 { 0,1,2,}ZR?
1
11
11
1
{ },0,1,2,
!
k
P X k e k
k
2
22
22
2
{ },0,1,2,
!
k
P Y k e k
k
{ } { }P Z i P X Y i
{ 0,} {,0 }P X Y i P X i Y
0
{,}
i
k
P X k Y i k
故
0
{ } { }
i
k
P X k P Y i k
{ } { }P Z i P X Y i
{ 0,} {,0 }P X Y i P X i Y
0
{,}
i
k
P X k Y i k
21
!)(!
2
0
1
e
ki
e
k
kii
k
k
12()
12
0
1!
! ! !
i
k i k
k
ie
i k i k
12()
12
0
1
!
i
k k i k
i
k
eC
i
12()12
()
!
i
e
i
,2,1,0?i
)(~ 21 YXZ故 泊松分布具有可加性二、二维连续型随机变量的函数的分布
Ⅰ,Z = X+Y 的分布已知 ( X,Y )的概率密度为 f (x,y),求 Z=X+Y的概率密度。
Z=X+Y的分布函数为解：
x y z
y
x0令 x =u-y,则
z ),(),( duyyufdxyxfyz而特别地,当 X 与 Y 相互独立时,有
( ) ( ) ( )Z X Yf z f z y f y d y
( ) ( ) ( )Z X Yf z f x f z x d x
上式称为 XYff与 的 卷积公式,记为 XYff?
例 3 假设 X 和 Y 相互独立,且都服从标准正态分布，
解 由题意可知 X 与 Y 的概率密度分别为由卷积公式可得 Z 的概率密度为结论,正态分布的可加性（ 96页）
nXXX,,,21?
若随机变量 相互独立，并且
),(~ 2kkk NX ( 1,2,,)kn?
),(~
1
22
11
n
k
kk
n
k
kk
n
k
kk NXZ
,则为常数ka,
例 4 设随机变量 ( X,Y )的概率密度为
ZZ X Y f求 的概率密度 ( z ) ;
,0,(,)
0,.
ye x y
f x y
othe rs
解,Z X Y的概率密度为
( ) (,)Zf z f z y y d y
),( yyzf
其他,0
,0,yyze y
z
y
2zy?
zy?
( ) (,)Zf z f z y y d y
),( yyzf
其他,0
,0,yyze y
z
y
2zy?
zy?
当 0z? 时，
/2()
z y
Z zf z e d y
/2zzee
当 0z? 时,( ) 0Zfz?
所以
/2,0,
()
0,0.
zz
Z
e e z
fz
z
例 5 设随机变量 X,Y 相互独立,X 服从区间 (0,1)上的上的均匀分布,Y 服从 1 的指数分布，试求随机变量 Z=X+Y 的概率密度函数。
解,由题意，可知
其它0
101 xxf
X
00
0
y
yeyf y
Y
，则有的密度函数为设随机变量 zfYXZ Z
dxxzfxfzf YXZ
,?
dxxzfxfzf YXZ 0,10 xzx
x
z
0xz
0 1
1 )()( xzfxf
YX
其他,0
0,10,1 )( xzxe xz
，⑴．若 0?z 0?zf Z
，⑵．若 10 z
()
0
1
z
zx
Zf z e d x
ze 1
z
xz dxee
0
，⑶．若 1?z
1 ()0 zxZf z e d x zz ee 110zxe e d x
1
0,0,
( ) 1,0 1,
,1,
z
Z
zz
z
f z e z
e e z
综上所述随机变量 Z=X+Y 的密度函数为总结：用公式求和函数的一般过程
1、根据 x和 y的概率密度，确定是否用卷积公式。
并且决定用 dx或是 dy型的积分。
,?
dxxzfxfzf YXZ
以 为例
.
,)()(2
零的区域平面不为，确定、写出被积函数 zxxzfxf YX?
,3 z同的、根据平面图，讨论不 计算积分。
4、整理成完整的表达式。
例 6、
练习解法 1 利用概率密度公式
Ⅱ,M= max(X,Y ),N= min(X,Y )的分布
(随机变量相互独立） ( ) ( )XYF x F y和X和 Y的分布函数
( ) { } {m a x (,) }MF z P M z P X Y z
解 m a x (,)M X Y? 的分布函数为
{,}P X z Y z
( ) {m in (,) }NF z P X Y z1 {m in (,) }P X Y z
m in (,)N X Y? 的分布函数为
1 { } { }P X z P Y z1 [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]XYF z F z
( ) ( ) ( )M X YF z F z F z
( ) 1 [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]N X YF z F z F z
所以推广 当 12,,nX X X独立同分布时，随机变量
( ) [ ( ) ],i nMXF z F z?
( ) 1 [ 1 ( ) ]i nNXF z F z
12m a x (,,),nM X X X? 12m in (,,)nN X X X?
的分布函数为例 7 设随机变量 X 的概率密度为 2,0 1,
()
0,.
xxfx
o th e rs
1 2 3 4,,,X X X X随机变量 相互独立且与 X 有相同的分布,试求随机变量 1 2 3 4m a x (,,,)M X X X X? 的概率密度和 { 0,5 }.PM?
解 X 的分布函数为
2
0,0,
( ) ( ),0 1,
1,1,
x
X
x
F x f t d t x x
x
1 2 3 4m a x (,,,)M X X X X? 的分布函数为
4( ) [ ( ) ],MXF x F x?
所以 M 的概率密度为
3( ) ( ) 4 [ ( ) ] ( )M M Xf x F x F x f x78,0 1,
0,.
xx
othe rs
所以,{ 0,5 } 1 { 0,5 } 1 ( 0,5 )MP M P M F
81 0,5 0,9 9 6 1,
例 8 设系统 L 由两个相互独立的子系统 12,LL
⑶ 备用（当系统 1损坏时，系统 2开始工作）。
设试求系统 L 的寿命 Z 的概率密度。
连结而成，连接的方式分别为⑴ 串联；⑵ 并联；
,0,()
0,0.
x
X
exfx
x
12,LL的寿命分别为 X,Y,并且,0,()
0,0.
x
Y
eyfy
y
解 由题意可得
m in (,) ;Z X Y?⑴ m a x (,) ;Z X Y?⑵
Z X Y⑶
( ) ( )xXF x f x d x
1,0,
0,0.
xex
x
1,0,
()
0,0.
y
Y
eyFy
y
则 ⑴ m in ( ) 1 ( 1 ( ) ) ( 1 ( ) )XYF z F z F z()1,0,
0,0.
zez
z
()
m in m in
( ),0,( ) ( )
0,0.
zez
f z F z
z
⑵ m a x ( ) ( ) ( )XYF z F z F z?( 1 ) ( 1 ),0,
0,0.
zze e z
z
()
m a x
( ),0,()
0,0.
z z ze e e z
fz
z
(3) Z=X+Y
[ ],0,
()
0,0.
zye e z
fz
z
例 9 设随机变量 X,Y 相互独立,X 服从区间 (0,1)上的上的均匀分布,Y 服从 1 的指数分布，试求随机变量 Z=X+Y 的概率密度函数。
（方法二）用分布函数法由独立性可知,0 1,0,,
0,.
ye x y
f x y
oth e rs
⑴ 先求随机变量 Z=X+Y 的分布函数
( ) { } (,)Z
x y z
F z P X Y z f x y d x d y
x
y
1
1
z
z
x y z
1xy
当 0z? 时,( ) 0ZFz?
当 01z时，
00()
z z x y
ZF z d x e d y
0 ( 1 )
z xze d x
1 zze
( ) { } (,)Z
x y z
F z P X Y z f x y d x d y
x
y
1
1
z
z
x y z
1xy
当 1z? 时，
1
00()
zx y
ZF z d x e d y
1
0 ( 1 )
xze d x
11 zzee
⑵ 再对随机变量 Z=X+Y 的分布函数积分可得
1
0,0,
( ) ( ) 1,0 1,
,1,
z
ZZ
zz
z
f z F z e z
e e z
例 10 设随机变量 ( X,Y )的概率密度为 3,0 1,0,(,)
0,.
x x y x
f x y
o th e rs
试求随机变量 Z X Y的概率密度 。
解
xy?y
x
x y z
1z
G
( ) { }ZF z P X Y z
(,)
x y z
f x y d x d y
结合概率密度的非零区域可得
① 0z? 时 ( ) 0ZFz?
② 01z时
( ) 3Z
G
F z x d x d y
xy?y
x
x y z
1z
G
1
00 33
z x x
z x zd x x d y d x x d y
331
22zz
③ ( ) 1ZFz?时1?z
3
0,0,
31
( ),0 1,
22
1,1.
Z
z
F z z z z
z
所以故 Z = X -Y 的概率密度为
23 ( 1 ),0 1,
() 2
0,.
Z
zz
fz
othe rs
第三章 小 结
1 二维随机变量的概念
2 二维随机变量的分布函数和边缘分布函数
3 离散型二维随机变量离散型二维随机变量的分布率及边缘分布率
6 会求二维随机变量的简单函数的分布。
4 连续型二维随机变量连续型二维随机变量的密度函数及边缘密度函数
5 随机变量的相互独立性
