第七章参 数 估 计二,估计量的评选标准一,点估计三,区间估计四,正态总体均值与方差的区间估计统计推断的基本问题估计问题假设检验问题点估计区间估计矩估计法最大似然估计法参数估计是 统计推断 的基本问题之一参数估计要解决的问题,
总体分布函数的形式为已知,估计其一个或多个未知参数点 估 计第七章第一节二,矩估计法一,点估计问题的一般提法三,最大似然估计法一,点估计问题的一般提法
nXXX?,,21?
是待估参数,是 的一个样本,X
nxxx?,,21 是相应的一个样本值。 点估计就是构造一个适当的统计量 ),,(
21 nXXX?
用它的观察值 作为未知参数的近似值。 ),,(
21 nxxx?
称 为估计量 ),,( 21 nXXX
为估计值 ),,(
21 nxxx?
设总体 X 的分布函数为 );(?XF 形式为已知,
二,矩估计法其基本思想是用样本矩估计总体矩。
它是基于一种简单的,替换,思想建立起来的一种估计方法。
是英国统计学家 K.皮尔逊最早提出的。
kPkA
.PkkA
命题,若总体 X 的 k 阶矩 存在，则证明 因为样本
12,,,nX X X
相互独立且与总体 X
服从相同的分布。则
12,,,k k knX X X
也相互独立，且与 kX 服从相同的分布。
由辛钦定理
1
1 n Pk
ik
i
Xn?
即,PkkA
基本思想,
Eg.若 X为连续型随机变量，设概率密度为
11(,,,),,,eefx 未知令
11
22
ee
A
A
A
1
1 n k
ki
i
AXn
1( ) (,,)
kk
keE X x f x d x
解出
12? (,,,),1,2,,i i ng X X X i s
例 1 设总体求? 的矩估计量。
解,令 11A
其中
1
1
1 n
i
i
A X X
n?
所以 λ的矩估计量为为 X的一个样本，
.
1?
1
n
i
ix
n
x
估计量估计值例 2 设总体 X 的概率密度为解 dxxxXE )1()( 1
01
2
1)1( 11
0?
dxx
即
2
1
1?
其它,0
10,)1()( xxxf
是未知参数,
其中 1
X1,X2,…,Xn是取自 X 的样本,求参数 α 的矩估计量,
11A令
，则 1
2
X?
从而 α的矩估计量 21?,
1
X
X
12~ (,),,,,nX U a b a b X X X未知，
为 X 的一个样本，求,ab 的矩估计量。
例 3 设总体解 1 ( ) ( ) / 2E X a b
22
22
2
( ) ( )( ) ( ) ( )
1 2 4
b a a bE X D X E X
令 11
22
A
A
1
22
2
2
( ) ( )
12 4
a b A
b a a b
A
2
1 2 1? 3 ( )a A A A
2
1 2 1? 3 ( )b A A A
1
1
1 n
i
i
A X X
n?
2
2
1
1 n
i
i
AX
n?
2
1
3? ()n
i
i
a X X X
n?
2
1
3? ()n
i
i
b X X X
n?
例 4 设
12,,nX X X为 X 的一个样本，求 X 的数
2和方差 的矩估计量。学期望解,令 11
22
A
A
1 ()EX
2 2 2 22 ( ) ( ) ( )E X D X E X
其中则
1
2 2 2
1
1
1
n
i
i
n
i
i
X
n
X
n
解得数学期望 2和方差 的矩估计量分别为
1
1? n
i
i
X
n
22
1
1? ()n
i
i
XX
n
21n Sn
总结：任何分布的均值和方差的矩估计量的表达式都不变例 5 设总体 2
12~ (,),,,nX N X X X
一个样本，求 2, 的矩估计量。
为 X 的解 由 22~ (,) ( ),( )X N E X D X知所以由上例可得
1
1? n
i
i
X
n
221? n S
n?
⑵ 若 X为 离散型 随机变量，设其分布律为
11{ } (,,,),,,i i s sp P X x p x 未知令
11
22
ss
A
A
A
i?求
，其中
1,,nXX
为样本，
1,,nxx 为样本值，
1
1 n k
ki
i
AXn
1
1
( ) (,,)
n
kk
k i i s
i
E X x p x
解出
12? (,,,),1,2,,i i ng X X X i s
三、最大似然估计法这是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法,
它首先是由德国数学家高斯在 1821年提出的,Gauss
Fisher
然而，这个方法常归功于英国统计学家费歇 。
费歇在 1922年重新发现了这一方法，
并首先研究了这种方法的一些性质,
最大似然法的基本思想：
假定一个盒子中有白、黑球共 3个，但不知各有几个，
如果有放回的抽取 3次球，发现第 1,3次是黑球，第 2次是白球，试估计黑球所占的比例？
准备内容：
当总体 X是离散型，,}{
kk pxXP
分布律改写为,).,(}{?xpxXP
以泊松分布为例，
,2,1,0,!}{
xxexXP
x
分布律为 (,)iip p x,其中 θ未知。
12,,,nX X X
为 X 的样本,12,,,nx x x为 X 的样本值，
⑴ X 为离散型记为
—— 样本的似然函数
1? (,,)nXX?
为 θ的 最大似然估计量 ；
1? (,,)nxx? 为 θ的 最大似然估计值 ；
满足条件,
具体算法：
令
n
i
ixp
1
),(?
对数似然方程设 x1,x2,…,xn是取自总体 X~b(1,p) 的一个
1
1
( ) ( 1 )ii
n
xx
i
L p p p?
解
n
i
i
n
i
i xnx
pp 11 )1(
例 1
似然函数为,
1{ } ( 1 ),0,1xxP X x p p x
11
l n ( ) l n ( ) l n ( 1 ) ( )
nn
ii
ii
L p p x p n x
样本值,求参数 p的最大似然估计值。
11
l n ( ) 1 1 ( ) 0
1
nn
ii
ii
d L p x n x
d p p p
11
l n ( ) l n ( ) l n ( 1 ) ( )
nn
ii
ii
L p p x p n x
所以
1
1? n
i
i
p x x
n?
为 p 的最大似然估计值。
设 X1,X2,…,Xn 是取自总体 X 的一个样本,
，求参数 λ的最大似然估计值。~ ( )X
例 2
解例 2 设 X1,X2,…,Xn 是取自总体 X 的一个样本,
，求参数 λ的最大似然估计值。~ ( )X
{ },0,1,
!
ix
ii
i
eP X x x
x
1
()
!
ixn
i i
eL
x
似然函数为,
⑵ X 为连续型思想,随机点
1(,,)nXX
落在点
1(,,)nxx
的邻域内的概率近似地为
1
(,)
n
ii
i
f x d x?
所以似然函数为
1
1
( ) (,,; ) ( ; )
n
ni
i
L L x x f x
() 0dL
d
l n ( ) 0dL
d
利用 或得
11?(,,; ) m a x (,,; )nnL x x L x x使，
例 3 设 X1,X2,…,Xn 是取自总体 X 的一个样本,
X 服从参数 λ的指数分布，求 λ的最大似然估计值。
解
,0,
( ; )
0,,0,
xex
fx
x
0
1
( ) (,)
n
i
i
L f x
1,0,1,2,,
0,0,
n
i
i
X
n
i
i
ex in
x
似然函数当 ( ) 0,L
1
l n ( ) l n
n
i
i
L n x
令 l n ( ) 0dL
d
1
0
n
i
i
n x
所以 1?,
x
设 x1,x2,…,xn 是取自总体 X 的一个样本值,
2~ (,)XN，求参数 的最大似然估计值。2,
解
2
2
()
2 21( ;,),
2
x
f x e x
例 4
2
2
()
2 2
1
1(,)
2
ixn
i
Le
2 2 2
2
1
1l n (,) l n 2 l n ( )
2 2 2
n
i
i
nnLx
令
2
1
2
2 2 4
1
l n 1
[ ] 0
l n 1
( ) 0
22
n
i
i
n
i
i
L
nx
Ln
x
2 2 2
2
1
1l n (,) l n 2 l n ( )
2 2 2
n
i
i
nnLx
所以 2, 的最大似然估计值为
1
2 2 2
1
1
11
()
n
i
i
n
i
i
xx
n
n
xs
nn
例 5 设 X1,X2,…,Xn 是取自总体 X 的一个样本,
，求参数 a,b 的最大似然估计量。~ (,)X U a b
解
1
,,
( ;,)
0,,.
a x b
f x a b ba
o th e rs
1 /( ),,
(,)
0,.
n
ib a a x bL a b
o th e rs
似然函数则要使得 (,)L a b 取最大值注：特殊的似然函数通过求导得不到其最大，
需要从函数本身入手。
所以，最大似然估计量为例 6 设 X1,X2,…,Xn 是取自总体 X 的一个样本,
求参数 θ 的最大似然估计值。
( 1 ),0 1,
( ),1
0,.
xx
fx
o the rs
解
11
( ) ( ; ) ( 1 )
nn
ii
ii
L f x x
似然函数
1
l n ( ) l n ( 1 ) l n
n
i
i
L n x
1
l n ( ) l n 0
1
n
i
i
d L n x
d
所以 θ的最大似然估计值为
1
1.
ln
n
i
i
n
x
例 7 设 X1,X2,…,Xn 是取自总体 X 的一个样本,
求 ⑴ 参数 θ和 μ的矩估计量；
1
,,
( ;,),0
0,.
x
ex
fx
x
⑵ 参数 θ和 μ的最大似然估计量。
解 ⑴ 令 11
22
A
A
2
12
1
1 n
i
i
A X A X
n?
其中,
1 ( ) ( ;,)E X x f x d x
xx
e d x
22
2 ( ) ( ;,)E X x f x d x
2
2222
xx
e d x
所以
1
2 2 2
1
1
1
22
n
i
i
n
i
i
X
n
X
n
解得参数 θ和 μ的矩估计量为
11,nnS X S
nn
⑵ 设 x1,x2,…,xn是 X1,X2,…,Xn的样本值，则似然函数为
1
1 ()
1
(,) ( ;,)
n
i
i
n x
n
i
i
L f x e
其中,1,2,,ix i n
当,1,2,,ix i n 时令
2
1
l n 1
( ) 0
ln
0
n
i
i
Ln
x
Ln
ln 0Ln
，表明 L是 μ的严格递增函数，
,1,2,,ix i n,故 1m in {,,}nxx
1
1 ()
1
(,) ( ;,)
n
i
i
n x
n
i
i
L f x e
1m in {,,}nxx所以当 时 L 取到最大值从而参数 θ和 μ的最大似然估计值分别为
1? m in {,,}nxx
1
1
1( ) m in {,,}n
in
i
x x x x
n
则参数 θ和 μ的最大似然估计量分别为
1? m in {,,}nXX
1? m in {,,}nX X X
估计量的评选标准第七章第二节二,有效性一,无偏性三,一致性一,无偏性定义结论,无论 X 服从什么分布,只要它的数学期望存在，
X 总是 1 ()EX 的无偏估计量。
2S 是 2? 的无偏估计例 1 设总体 X 的 2,
则都存在，且的估计量
2, 都未知,
2? 22
1
1? ()n
i
i
XX
n
是无偏的吗?
证明 2 2 2
2
1
1? ()n
i
i
X X A X
n
2 2 222( ) ( )E A E X
2 2 2 2( ) ( ) ( ) /E X D X E X n
2 2 2
2
1?( ) ( ) ( ) nE E A E X
n
2
所以 2 是有偏的。
例 2 设 X1,X2,…,Xn 是取自总体 X 的一个样本,
2~ (,)XN
⑴ 求 k 使 为 122
1
1
()
n
ii
i
k X X?
2? 的无偏估计,
⑵ 求 l 使 为
1
||
n
i
i
l X X?
的无偏估计,
解 ⑴ 12 2 2
11
1
( ) ( 2 )
n
i i i i
i
E k E X X X X?
1
2 2 2 2 2
1
( 2 )
n
i
k
1
2
1
2
n
i
k?
22 ( 1 )nk
故当 1 / 2 ( 1 )kn时结论成立,
⑵ 由于 2
1
1~ ( 0,)nX X N
n
1( | |)E X X?
2
22 ( 1 ) /1
||
2 ( 1 ) /
z
nnz e d z
nn
2( 1 )n
n
1
2 2 2 2 2
1
( 2 )
n
i
k
2 ( 1 )nnl?
故当
2 ( 1 )
l
nn
时结论成立,?( ),E
1( | |)E X X?
2( 1 )n
n
的样本，证明，都是总体 )(~X,,1nXX?
为任意常数）（统计量 22 )1(,,X SXS
的无偏估计。都是参数?
)()( XEXE )()( 2 XDSE
))1(( 2SXE )()1()( 2SEXE
)1(
一个未知数可以有不同的无偏估计量。
的无偏估计。所以都是参数?
解例 3
二、有效性定义：
都是参数 的无偏估计量，如果注,比较有效性，必须是在无偏估计量的前提。
例 4 设 X1,X2,…,Xn 是取自总体 X 的一个样本,
2~ (,),XN
⑴ 验证 都是1 2 3,, ()EX 的无偏估计,
⑵ 问那个估计量最有效?
2 1 2 3
1 1 1?,
2 4 4X X X3 1 2 3
1 1 1?
3 3 3X X X
,
632
3211 XXX
解 ⑴?)?( 1?E )
632(
321 XXXE
613121
都是总体均值 的无偏估计量 ;?321?,?,故
)?( 3?E
)?( 2?E
4
1
4
1
2
1 )
442(
321 XXXE
)333( 321 XXXE 313131
)632()?( 3211 XXXDD
2222
18
7
36
1
9
1
4
1
⑵
)442()?( 3212 XXXDD
)333()?( 3213 XXXDD
2222
8
3
16
1
16
1
4
1
2222
3
1
9
1
9
1
9
1
因为 ),?()?()?(
123 DDD
所以 更有效
3
nXXX,,,21?
是总体 的样本 ),(~ 2NX
,)(1
1
22
1?
n
i
iXnS
n
i
i XXnS
1
22
2 )(1
1
证明 都是 的无偏估计量，且 有效。2
221,SS
2? 2
1S 22S比证 (1) 由于总体 因此 ),,(~ 2NX
)( 21SE
即 是 的无偏估计量。2
1S 2?
])[(1
1
2?
n
i
iXEn?
2
1
21
n
in
例 5 设
)( 22SE得 )1(
1
2
22
2
SnE
n?
1
2
n
)1( n
2
~1 222 Sn )1(2?n?又由即 是 的无偏估计量。22S 2?
(2) 由 得 ),,(~ 2NX
i ~)(
2
iX
),(~)( 2
1
2 nX
n
i
i?
),(~)(1 2
1
2
2 nX
n
i
i
即
)( 21SD
),1(2?
])(1[
1
2
22
4
n
i
iXDn
n
n
n
4
2
4 2
2
~1 222 Sn
)( 22SD
得又由
),()( 2221 SDSD? 21S 22S 有效。比即因为
)1(2?n?
)1(
)1(
2
222
4
SnD
n?
1
2)1(2
)1(
4
2
2
n
n
n
)( 21SD
n
42?
三、相合性（一致性）
定义：
区 间 估 计第七章第三节二,正态总体均值与方差的区间估计一,置信区间三,两个正态总体均值与方差的区间估计例如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数 N 的最大似然估计值为 1000条,
湖中鱼数的真值
[ ]
也就是说，希望确定一个区间，使我们能以 比较高的可靠程度 相信它包含真参数值,
一,置信区间
{ } 1,( 0 1 )P
定义 1 设总体 X
,?含一待估参数,,,1 nXX? 为一样本，
11(,,),(,,),nnX X X X
满足则称 ],[ 为? 的置信度为 的置信区间，1
的分布函数为 ( ; )Fx?,其中
给定若由样本确定的两个统计量下限 上限置信水平通常,采用 95%的置信度,有时也取 99% 或 90%.
，%5 即置信度为 %.951 这时重复抽样 100次,则在得到的 100个数值区间中包含? 真值的有 95个左右,不包含? 真值的有 5个左右。
含义,若具体的计算方法
⑴ 由样本 12,,,nX X X寻找一个样本函数
12(,,,; )ng X X X?，不含其他任何未知参数，
分布已知，且只含有一个未知参数 θ。
⑶ 由 12(,,,; )na g X X X b解出等价的不等式 11(,,) (,,)nnX X X X
11[ (,,),(,,) ]nnX X X X是 θ的置信度为
1 的置信区间。
⑵ 对于给定的置信水平1,找 a,b 使得二,正态总体均值与方差的区间估计
nXX,,1?
设 为总体 ),(~ 2NX 的一个样本置信度1 下，来确定? 的置信区间 ],[
⑴ 已知方差,估计均值 μ2? )1,0(~
/
N
n
X
对于给定的 ( 0 1 )
/ 2 / 2{ } 1/
XP z z
n
，有可得 / 2 / 2{ } 1P X z X znn
所以 μ的置信水平为 1-α的置信区间为
/ 2 / 2[,]X z X znn
简记为 /2[]Xzn?
注,μ的置信水平 1－ α的置信区间不唯一。
,可以取标准正态分布 上 α 分位点
-Z0.04和 Z0.01,则也有则 μ的置信度为 0.95的置信区间为
01.0
01.0z
04.0
04.0z?
0,0 1 0,0 4{ } 0,95P X z X znn
0,0 1 0,0 4[,]X z X znn
但对称时的区间长度 /2
2Lz
n?
最短。
1 1 5)1 1 01 2 01 1 5(91x
已知幼儿身高服从正态分布，现从 5~6岁的幼儿中随机地抽查了 9人，其高度分别为,115,120
131,115,109,115,115,105,110 cm; 假设标准差
，70 置信度为 95%; 试求总体均值 μ的置信区间解 已知,05.0,9,70 n 由样本值算得：
查正态分布表得,由此得置信区间
57.119,43.110?
例 1
0,0 2 5 1,9 6z?
0
0,02 5[]Xz n
例 2 从一批零件中随机抽取 16个,测得长度（单位,厘米 ) 为 2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,
2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11设零件长度,)01.0,(~ 2?NX 求总体均值 μ的置信水平为 0.90 的置信区间。
解,01.0,10.0,645.12z查表得
，1 2 5.2
16
1 16
1
i
ixx
所以 μ的置信水平为 0.90的置信区间为
)1 2 9.2,1 2 1.2(即,
2
0,01[ ] [ 2,12 5 1,64 5 ]
16
xz
n?
设总体,)25.1,(~ 2?NX 问需要抽取容量为多
大的样本,才能使 的置信水平为 0.95 的置信区间的长度不大于 0.49?
解 设需要抽取容量为 n的样本,其样本均值为,X
,05.095.01,96.12z查表得 于是 μ的置信水平为 0.95的置信区间为?
0 2 5.0
25.1 z
n
X
该区间长度例 3
1,25 4,92 1,96L
nn
0.49?
解得 100n? 取 100n?
⑵ 方差 未知，估计均值 μ2?
nS
X t
/
)1(~?nt
/ 2 / 2{ } 1/
XP t t
Sn
所以 μ的置信水平为 1-α的置信区间为
/ 2 / 2[,]
SSX t X t
nn
简记为 /2[ ( 1 ) ]
SX t n
n?
。),(~ 2NX
用仪器测量温度,重复测量 7次,测得温度分别为,115,120,131,115,109,115,115 ; 设温度在置信度为 95%时,试求温度均值所在范围。
例 4
0,0 2 5 ( 6 ) 2,4 4 7t?
查表得
.29.1,8.1 1 2 2 Sx
已知,05.0,7n 由样本值算得：解得区间,85.1 1 3,75.1 1 1? 1,29[ 11 2,8 2,44 7 ]
7
例 5对 某种型号飞机的飞行速度进行 15次试验,测得最大飞行速度 (单位,米 /秒 )为
420.3,425.8,423.1,418.7,438.3,434.0,412.3,431.5
最大飞行速度服从正态分布,求飞机最大飞行速度
422.2,417.2,425.6
413.5,441.3,423.0,428.2,根据长期经验,可以认为的期望值的置信水平为 0.95 的置信区间。
解 以 X 表示该飞机的最大飞行速度,则
),(~ 2NX 0.42 5
15
1 15
1
i
ixx
，05.72)(
115
1 15
1
22
i
i xxs
查表得 1 4 5.2)14()1( 025.02 tnt?
由于总体方差 未知,因此? 的置信水平为 0.952?
的置信区间为,
145.2
15
49.80.425)1(
2 ntn
sx
05.095.01由
( 4 2 0,3,4 2 9,7)?
⑶ 方差 的置信区间2? （均值 μ未知）
设
nXX,,1? ),(~ 2NX
为总体 的一个样本
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1 2?是 的无偏估计并且样本函数,)1(~)1( 2
2
2
nSn?
由于 2? 分布不对称性，
，
1})1({ 22
2
1
SnP
由 2? 分布表的构造
，
1})1({ 22
2
1
SnP
22
2
22
122
( 1 ) ( 1 ){ } 1
( 1 ) ( 1 )
n S n SP
nn
置信区间
2
22
/221
2
( 1 ){ ( 1 ) ( 1 ) } 1nSP n n
,
即
22
22
122
( 1 ) ( 1 )
,
( 1 ) ( 1 )
n S n S
nn
2
1 2 ( 1)n 2 /2( 1)n
/2?/2?
标准差 σ的一个置信水平为 1 的置信区间
22
22
122
( 1 ) ( 1 )
,
( 1 ) ( 1 )
n S n S
nn
注意,在密度函数不对称时，如 2 F? 分布和 分布，
习惯上仍取和对称类似的分位点，但其置信区间的长度并不最短。
例 6 某自动车床加工零件，抽查 16个测得长
1 2,1 5 1 2,1 2 1 2,0 1 1 2,0 8 1 2,0 9
加工零件长度的方差。
解 先求
2 2 2
1
1 []
1
n
i
i
s x n x
n?
度（毫米）
1 2,1 6 1 2,0 3 1 2,0 1 1 2,1 5 1 2,0 6 1 2,1 3 1 2,0 7
1 2,1 1 1 2,0 8 1 2,0 1 1 2,0 6，怎样估计该车床
( 0,0 5 )
11 2 [ 0,1 5 0,1 2 0,6 ] 1 2,0 7 5
16
x
0 0 2 4.0]5.7161215[151 0 0 0 01 222
查表 262.6)15(2
975.0 488.27)15(
2 025.0
[0,0 0 1 3 3,0,0 0 5 8 8 ]?
22
22
/ 2 1 / 2
( 1 ) ( 1 )[,]
( 1 ) ( 1 )
n S n S
nn
]2 6 2.6
0 0 2 4.015,
4 8 8.27
0 0 2 4.015[
所求 σ2的置信度为 0.95的置信区间例 7 假设总体
4 5 7,4 8 2,4 9 3,4 7 1,5 1 0,4 4 6,4 3 5,4 1 8,3 9 4,4 6 9
求
22~ (,),,XN未知,X的样本为
2, 的置信度为 95%的置信区间。
解 1 0,1 9 5 % 5 %,4 5 7,5nx
223 5,2 2,s?
⑴ μ的置信区间为
/2( ( 1 ) )
sx t n
n?
/ 2 0,0 2 5( 1 ) ( 9 ) 2,2 6 2 2t n t
/2( ( 1 ) )
sx t n
n?
3 5,2 2( 4 5 7,5 2,2 6 2 2 )
10
( 4 3 2,3 1,4 8 2,6 9 )?
⑵ σ2的置信区间为
22
22
122
( 1 ) ( 1 )[,]
( 1 ) ( 1 )
n S n S
nn
22
0,9 7 51 2 ( 1 ) ( 9 ) 2,7 0n
22
0,0 2 52 ( 1 ) ( 9 ) 1 9,0 2 3n
所以 σ2的置信区间为 ( 5 8 6,8 7,4 1 3 4,8 4 )
三,两个正态总体均值与方差的区间估计
11,,nXX
设 为总体 2
11~ (,)XN
的一个样本
⒈ 的置信区间12
21,,nYY
为总体 2
22~ (,)YN
的一个样本,X与 Y
相互独立。
⑴ 2212, 均为 已知,且 XY? 12是 的一个无偏估计,因为 X与 Y 相互独立,所以
22
12
12
12
~ (,)X Y N
nn
12
22
12
12
()
~ ( 0,1 )
XY
N
nn
所以 的置信水平为 1-α的置信区间为12
22
12
/2
12
()X Y z
nn?
⑵ 22212 未知
12
12
12
()
~ ( 2 )
11
XY
t n n
S
nn
22
2 1 1 2 2
12
( 1 ) ( 1 )
2
n S n SS
nn?
所以 的置信水平为 1-α的置信区间为12
/ 2 1 2
12
11( ( 2 ) )X Y t n n S
nn
⒉ 的置信区间2212/
12(, 未知)
22
11
1222
22
/ ~ ( 1,1 )
/
S F n n
S
22
11
1 2 / 2 1 2221
222
/{ ( 1,1 ) ( 1,1 ) } 1
/
SP F n n F n n
S
所以 的置信水平为 1-α的置信区间为2212/
22
11
2 / 2 1 2 2 1 / 2 1 2
11,
( 1,1 ) ( 1,1 )
SS
S F n n S F n n
本章知识小结
1.重点：矩估计、最大似然估计、无偏性、有效性、单个正态总体参数的区间估计
2,难点：最大似然估计
总体分布函数的形式为已知,估计其一个或多个未知参数点 估 计第七章第一节二,矩估计法一,点估计问题的一般提法三,最大似然估计法一,点估计问题的一般提法
nXXX?,,21?
是待估参数,是 的一个样本,X
nxxx?,,21 是相应的一个样本值。 点估计就是构造一个适当的统计量 ),,(
21 nXXX?
用它的观察值 作为未知参数的近似值。 ),,(
21 nxxx?
称 为估计量 ),,( 21 nXXX
为估计值 ),,(
21 nxxx?
设总体 X 的分布函数为 );(?XF 形式为已知,
二,矩估计法其基本思想是用样本矩估计总体矩。
它是基于一种简单的,替换,思想建立起来的一种估计方法。
是英国统计学家 K.皮尔逊最早提出的。
kPkA
.PkkA
命题,若总体 X 的 k 阶矩 存在，则证明 因为样本
12,,,nX X X
相互独立且与总体 X
服从相同的分布。则
12,,,k k knX X X
也相互独立，且与 kX 服从相同的分布。
由辛钦定理
1
1 n Pk
ik
i
Xn?
即,PkkA
基本思想,
Eg.若 X为连续型随机变量，设概率密度为
11(,,,),,,eefx 未知令
11
22
ee
A
A
A
1
1 n k
ki
i
AXn
1( ) (,,)
kk
keE X x f x d x
解出
12? (,,,),1,2,,i i ng X X X i s
例 1 设总体求? 的矩估计量。
解,令 11A
其中
1
1
1 n
i
i
A X X
n?
所以 λ的矩估计量为为 X的一个样本，
.
1?
1
n
i
ix
n
x
估计量估计值例 2 设总体 X 的概率密度为解 dxxxXE )1()( 1
01
2
1)1( 11
0?
dxx
即
2
1
1?
其它,0
10,)1()( xxxf
是未知参数,
其中 1
X1,X2,…,Xn是取自 X 的样本,求参数 α 的矩估计量,
11A令
，则 1
2
X?
从而 α的矩估计量 21?,
1
X
X
12~ (,),,,,nX U a b a b X X X未知，
为 X 的一个样本，求,ab 的矩估计量。
例 3 设总体解 1 ( ) ( ) / 2E X a b
22
22
2
( ) ( )( ) ( ) ( )
1 2 4
b a a bE X D X E X
令 11
22
A
A
1
22
2
2
( ) ( )
12 4
a b A
b a a b
A
2
1 2 1? 3 ( )a A A A
2
1 2 1? 3 ( )b A A A
1
1
1 n
i
i
A X X
n?
2
2
1
1 n
i
i
AX
n?
2
1
3? ()n
i
i
a X X X
n?
2
1
3? ()n
i
i
b X X X
n?
例 4 设
12,,nX X X为 X 的一个样本，求 X 的数
2和方差 的矩估计量。学期望解,令 11
22
A
A
1 ()EX
2 2 2 22 ( ) ( ) ( )E X D X E X
其中则
1
2 2 2
1
1
1
n
i
i
n
i
i
X
n
X
n
解得数学期望 2和方差 的矩估计量分别为
1
1? n
i
i
X
n
22
1
1? ()n
i
i
XX
n
21n Sn
总结：任何分布的均值和方差的矩估计量的表达式都不变例 5 设总体 2
12~ (,),,,nX N X X X
一个样本，求 2, 的矩估计量。
为 X 的解 由 22~ (,) ( ),( )X N E X D X知所以由上例可得
1
1? n
i
i
X
n
221? n S
n?
⑵ 若 X为 离散型 随机变量，设其分布律为
11{ } (,,,),,,i i s sp P X x p x 未知令
11
22
ss
A
A
A
i?求
，其中
1,,nXX
为样本，
1,,nxx 为样本值，
1
1 n k
ki
i
AXn
1
1
( ) (,,)
n
kk
k i i s
i
E X x p x
解出
12? (,,,),1,2,,i i ng X X X i s
三、最大似然估计法这是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法,
它首先是由德国数学家高斯在 1821年提出的,Gauss
Fisher
然而，这个方法常归功于英国统计学家费歇 。
费歇在 1922年重新发现了这一方法，
并首先研究了这种方法的一些性质,
最大似然法的基本思想：
假定一个盒子中有白、黑球共 3个，但不知各有几个，
如果有放回的抽取 3次球，发现第 1,3次是黑球，第 2次是白球，试估计黑球所占的比例？
准备内容：
当总体 X是离散型，,}{
kk pxXP
分布律改写为,).,(}{?xpxXP
以泊松分布为例，
,2,1,0,!}{
xxexXP
x
分布律为 (,)iip p x,其中 θ未知。
12,,,nX X X
为 X 的样本,12,,,nx x x为 X 的样本值，
⑴ X 为离散型记为
—— 样本的似然函数
1? (,,)nXX?
为 θ的 最大似然估计量 ；
1? (,,)nxx? 为 θ的 最大似然估计值 ；
满足条件,
具体算法：
令
n
i
ixp
1
),(?
对数似然方程设 x1,x2,…,xn是取自总体 X~b(1,p) 的一个
1
1
( ) ( 1 )ii
n
xx
i
L p p p?
解
n
i
i
n
i
i xnx
pp 11 )1(
例 1
似然函数为,
1{ } ( 1 ),0,1xxP X x p p x
11
l n ( ) l n ( ) l n ( 1 ) ( )
nn
ii
ii
L p p x p n x
样本值,求参数 p的最大似然估计值。
11
l n ( ) 1 1 ( ) 0
1
nn
ii
ii
d L p x n x
d p p p
11
l n ( ) l n ( ) l n ( 1 ) ( )
nn
ii
ii
L p p x p n x
所以
1
1? n
i
i
p x x
n?
为 p 的最大似然估计值。
设 X1,X2,…,Xn 是取自总体 X 的一个样本,
，求参数 λ的最大似然估计值。~ ( )X
例 2
解例 2 设 X1,X2,…,Xn 是取自总体 X 的一个样本,
，求参数 λ的最大似然估计值。~ ( )X
{ },0,1,
!
ix
ii
i
eP X x x
x
1
()
!
ixn
i i
eL
x
似然函数为,
⑵ X 为连续型思想,随机点
1(,,)nXX
落在点
1(,,)nxx
的邻域内的概率近似地为
1
(,)
n
ii
i
f x d x?
所以似然函数为
1
1
( ) (,,; ) ( ; )
n
ni
i
L L x x f x
() 0dL
d
l n ( ) 0dL
d
利用 或得
11?(,,; ) m a x (,,; )nnL x x L x x使，
例 3 设 X1,X2,…,Xn 是取自总体 X 的一个样本,
X 服从参数 λ的指数分布，求 λ的最大似然估计值。
解
,0,
( ; )
0,,0,
xex
fx
x
0
1
( ) (,)
n
i
i
L f x
1,0,1,2,,
0,0,
n
i
i
X
n
i
i
ex in
x
似然函数当 ( ) 0,L
1
l n ( ) l n
n
i
i
L n x
令 l n ( ) 0dL
d
1
0
n
i
i
n x
所以 1?,
x
设 x1,x2,…,xn 是取自总体 X 的一个样本值,
2~ (,)XN，求参数 的最大似然估计值。2,
解
2
2
()
2 21( ;,),
2
x
f x e x
例 4
2
2
()
2 2
1
1(,)
2
ixn
i
Le
2 2 2
2
1
1l n (,) l n 2 l n ( )
2 2 2
n
i
i
nnLx
令
2
1
2
2 2 4
1
l n 1
[ ] 0
l n 1
( ) 0
22
n
i
i
n
i
i
L
nx
Ln
x
2 2 2
2
1
1l n (,) l n 2 l n ( )
2 2 2
n
i
i
nnLx
所以 2, 的最大似然估计值为
1
2 2 2
1
1
11
()
n
i
i
n
i
i
xx
n
n
xs
nn
例 5 设 X1,X2,…,Xn 是取自总体 X 的一个样本,
，求参数 a,b 的最大似然估计量。~ (,)X U a b
解
1
,,
( ;,)
0,,.
a x b
f x a b ba
o th e rs
1 /( ),,
(,)
0,.
n
ib a a x bL a b
o th e rs
似然函数则要使得 (,)L a b 取最大值注：特殊的似然函数通过求导得不到其最大，
需要从函数本身入手。
所以，最大似然估计量为例 6 设 X1,X2,…,Xn 是取自总体 X 的一个样本,
求参数 θ 的最大似然估计值。
( 1 ),0 1,
( ),1
0,.
xx
fx
o the rs
解
11
( ) ( ; ) ( 1 )
nn
ii
ii
L f x x
似然函数
1
l n ( ) l n ( 1 ) l n
n
i
i
L n x
1
l n ( ) l n 0
1
n
i
i
d L n x
d
所以 θ的最大似然估计值为
1
1.
ln
n
i
i
n
x
例 7 设 X1,X2,…,Xn 是取自总体 X 的一个样本,
求 ⑴ 参数 θ和 μ的矩估计量；
1
,,
( ;,),0
0,.
x
ex
fx
x
⑵ 参数 θ和 μ的最大似然估计量。
解 ⑴ 令 11
22
A
A
2
12
1
1 n
i
i
A X A X
n?
其中,
1 ( ) ( ;,)E X x f x d x
xx
e d x
22
2 ( ) ( ;,)E X x f x d x
2
2222
xx
e d x
所以
1
2 2 2
1
1
1
22
n
i
i
n
i
i
X
n
X
n
解得参数 θ和 μ的矩估计量为
11,nnS X S
nn
⑵ 设 x1,x2,…,xn是 X1,X2,…,Xn的样本值，则似然函数为
1
1 ()
1
(,) ( ;,)
n
i
i
n x
n
i
i
L f x e
其中,1,2,,ix i n
当,1,2,,ix i n 时令
2
1
l n 1
( ) 0
ln
0
n
i
i
Ln
x
Ln
ln 0Ln
，表明 L是 μ的严格递增函数，
,1,2,,ix i n,故 1m in {,,}nxx
1
1 ()
1
(,) ( ;,)
n
i
i
n x
n
i
i
L f x e
1m in {,,}nxx所以当 时 L 取到最大值从而参数 θ和 μ的最大似然估计值分别为
1? m in {,,}nxx
1
1
1( ) m in {,,}n
in
i
x x x x
n
则参数 θ和 μ的最大似然估计量分别为
1? m in {,,}nXX
1? m in {,,}nX X X
估计量的评选标准第七章第二节二,有效性一,无偏性三,一致性一,无偏性定义结论,无论 X 服从什么分布,只要它的数学期望存在，
X 总是 1 ()EX 的无偏估计量。
2S 是 2? 的无偏估计例 1 设总体 X 的 2,
则都存在，且的估计量
2, 都未知,
2? 22
1
1? ()n
i
i
XX
n
是无偏的吗?
证明 2 2 2
2
1
1? ()n
i
i
X X A X
n
2 2 222( ) ( )E A E X
2 2 2 2( ) ( ) ( ) /E X D X E X n
2 2 2
2
1?( ) ( ) ( ) nE E A E X
n
2
所以 2 是有偏的。
例 2 设 X1,X2,…,Xn 是取自总体 X 的一个样本,
2~ (,)XN
⑴ 求 k 使 为 122
1
1
()
n
ii
i
k X X?
2? 的无偏估计,
⑵ 求 l 使 为
1
||
n
i
i
l X X?
的无偏估计,
解 ⑴ 12 2 2
11
1
( ) ( 2 )
n
i i i i
i
E k E X X X X?
1
2 2 2 2 2
1
( 2 )
n
i
k
1
2
1
2
n
i
k?
22 ( 1 )nk
故当 1 / 2 ( 1 )kn时结论成立,
⑵ 由于 2
1
1~ ( 0,)nX X N
n
1( | |)E X X?
2
22 ( 1 ) /1
||
2 ( 1 ) /
z
nnz e d z
nn
2( 1 )n
n
1
2 2 2 2 2
1
( 2 )
n
i
k
2 ( 1 )nnl?
故当
2 ( 1 )
l
nn
时结论成立,?( ),E
1( | |)E X X?
2( 1 )n
n
的样本，证明，都是总体 )(~X,,1nXX?
为任意常数）（统计量 22 )1(,,X SXS
的无偏估计。都是参数?
)()( XEXE )()( 2 XDSE
))1(( 2SXE )()1()( 2SEXE
)1(
一个未知数可以有不同的无偏估计量。
的无偏估计。所以都是参数?
解例 3
二、有效性定义：
都是参数 的无偏估计量，如果注,比较有效性，必须是在无偏估计量的前提。
例 4 设 X1,X2,…,Xn 是取自总体 X 的一个样本,
2~ (,),XN
⑴ 验证 都是1 2 3,, ()EX 的无偏估计,
⑵ 问那个估计量最有效?
2 1 2 3
1 1 1?,
2 4 4X X X3 1 2 3
1 1 1?
3 3 3X X X
,
632
3211 XXX
解 ⑴?)?( 1?E )
632(
321 XXXE
613121
都是总体均值 的无偏估计量 ;?321?,?,故
)?( 3?E
)?( 2?E
4
1
4
1
2
1 )
442(
321 XXXE
)333( 321 XXXE 313131
)632()?( 3211 XXXDD
2222
18
7
36
1
9
1
4
1
⑵
)442()?( 3212 XXXDD
)333()?( 3213 XXXDD
2222
8
3
16
1
16
1
4
1
2222
3
1
9
1
9
1
9
1
因为 ),?()?()?(
123 DDD
所以 更有效
3
nXXX,,,21?
是总体 的样本 ),(~ 2NX
,)(1
1
22
1?
n
i
iXnS
n
i
i XXnS
1
22
2 )(1
1
证明 都是 的无偏估计量，且 有效。2
221,SS
2? 2
1S 22S比证 (1) 由于总体 因此 ),,(~ 2NX
)( 21SE
即 是 的无偏估计量。2
1S 2?
])[(1
1
2?
n
i
iXEn?
2
1
21
n
in
例 5 设
)( 22SE得 )1(
1
2
22
2
SnE
n?
1
2
n
)1( n
2
~1 222 Sn )1(2?n?又由即 是 的无偏估计量。22S 2?
(2) 由 得 ),,(~ 2NX
i ~)(
2
iX
),(~)( 2
1
2 nX
n
i
i?
),(~)(1 2
1
2
2 nX
n
i
i
即
)( 21SD
),1(2?
])(1[
1
2
22
4
n
i
iXDn
n
n
n
4
2
4 2
2
~1 222 Sn
)( 22SD
得又由
),()( 2221 SDSD? 21S 22S 有效。比即因为
)1(2?n?
)1(
)1(
2
222
4
SnD
n?
1
2)1(2
)1(
4
2
2
n
n
n
)( 21SD
n
42?
三、相合性（一致性）
定义：
区 间 估 计第七章第三节二,正态总体均值与方差的区间估计一,置信区间三,两个正态总体均值与方差的区间估计例如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数 N 的最大似然估计值为 1000条,
湖中鱼数的真值
[ ]
也就是说，希望确定一个区间，使我们能以 比较高的可靠程度 相信它包含真参数值,
一,置信区间
{ } 1,( 0 1 )P
定义 1 设总体 X
,?含一待估参数,,,1 nXX? 为一样本，
11(,,),(,,),nnX X X X
满足则称 ],[ 为? 的置信度为 的置信区间，1
的分布函数为 ( ; )Fx?,其中
给定若由样本确定的两个统计量下限 上限置信水平通常,采用 95%的置信度,有时也取 99% 或 90%.
，%5 即置信度为 %.951 这时重复抽样 100次,则在得到的 100个数值区间中包含? 真值的有 95个左右,不包含? 真值的有 5个左右。
含义,若具体的计算方法
⑴ 由样本 12,,,nX X X寻找一个样本函数
12(,,,; )ng X X X?，不含其他任何未知参数，
分布已知，且只含有一个未知参数 θ。
⑶ 由 12(,,,; )na g X X X b解出等价的不等式 11(,,) (,,)nnX X X X
11[ (,,),(,,) ]nnX X X X是 θ的置信度为
1 的置信区间。
⑵ 对于给定的置信水平1,找 a,b 使得二,正态总体均值与方差的区间估计
nXX,,1?
设 为总体 ),(~ 2NX 的一个样本置信度1 下，来确定? 的置信区间 ],[
⑴ 已知方差,估计均值 μ2? )1,0(~
/
N
n
X
对于给定的 ( 0 1 )
/ 2 / 2{ } 1/
XP z z
n
，有可得 / 2 / 2{ } 1P X z X znn
所以 μ的置信水平为 1-α的置信区间为
/ 2 / 2[,]X z X znn
简记为 /2[]Xzn?
注,μ的置信水平 1－ α的置信区间不唯一。
,可以取标准正态分布 上 α 分位点
-Z0.04和 Z0.01,则也有则 μ的置信度为 0.95的置信区间为
01.0
01.0z
04.0
04.0z?
0,0 1 0,0 4{ } 0,95P X z X znn
0,0 1 0,0 4[,]X z X znn
但对称时的区间长度 /2
2Lz
n?
最短。
1 1 5)1 1 01 2 01 1 5(91x
已知幼儿身高服从正态分布，现从 5~6岁的幼儿中随机地抽查了 9人，其高度分别为,115,120
131,115,109,115,115,105,110 cm; 假设标准差
，70 置信度为 95%; 试求总体均值 μ的置信区间解 已知,05.0,9,70 n 由样本值算得：
查正态分布表得,由此得置信区间
57.119,43.110?
例 1
0,0 2 5 1,9 6z?
0
0,02 5[]Xz n
例 2 从一批零件中随机抽取 16个,测得长度（单位,厘米 ) 为 2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,
2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11设零件长度,)01.0,(~ 2?NX 求总体均值 μ的置信水平为 0.90 的置信区间。
解,01.0,10.0,645.12z查表得
，1 2 5.2
16
1 16
1
i
ixx
所以 μ的置信水平为 0.90的置信区间为
)1 2 9.2,1 2 1.2(即,
2
0,01[ ] [ 2,12 5 1,64 5 ]
16
xz
n?
设总体,)25.1,(~ 2?NX 问需要抽取容量为多
大的样本,才能使 的置信水平为 0.95 的置信区间的长度不大于 0.49?
解 设需要抽取容量为 n的样本,其样本均值为,X
,05.095.01,96.12z查表得 于是 μ的置信水平为 0.95的置信区间为?
0 2 5.0
25.1 z
n
X
该区间长度例 3
1,25 4,92 1,96L
nn
0.49?
解得 100n? 取 100n?
⑵ 方差 未知，估计均值 μ2?
nS
X t
/
)1(~?nt
/ 2 / 2{ } 1/
XP t t
Sn
所以 μ的置信水平为 1-α的置信区间为
/ 2 / 2[,]
SSX t X t
nn
简记为 /2[ ( 1 ) ]
SX t n
n?
。),(~ 2NX
用仪器测量温度,重复测量 7次,测得温度分别为,115,120,131,115,109,115,115 ; 设温度在置信度为 95%时,试求温度均值所在范围。
例 4
0,0 2 5 ( 6 ) 2,4 4 7t?
查表得
.29.1,8.1 1 2 2 Sx
已知,05.0,7n 由样本值算得：解得区间,85.1 1 3,75.1 1 1? 1,29[ 11 2,8 2,44 7 ]
7
例 5对 某种型号飞机的飞行速度进行 15次试验,测得最大飞行速度 (单位,米 /秒 )为
420.3,425.8,423.1,418.7,438.3,434.0,412.3,431.5
最大飞行速度服从正态分布,求飞机最大飞行速度
422.2,417.2,425.6
413.5,441.3,423.0,428.2,根据长期经验,可以认为的期望值的置信水平为 0.95 的置信区间。
解 以 X 表示该飞机的最大飞行速度,则
),(~ 2NX 0.42 5
15
1 15
1
i
ixx
，05.72)(
115
1 15
1
22
i
i xxs
查表得 1 4 5.2)14()1( 025.02 tnt?
由于总体方差 未知,因此? 的置信水平为 0.952?
的置信区间为,
145.2
15
49.80.425)1(
2 ntn
sx
05.095.01由
( 4 2 0,3,4 2 9,7)?
⑶ 方差 的置信区间2? （均值 μ未知）
设
nXX,,1? ),(~ 2NX
为总体 的一个样本
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1 2?是 的无偏估计并且样本函数,)1(~)1( 2
2
2
nSn?
由于 2? 分布不对称性，
，
1})1({ 22
2
1
SnP
由 2? 分布表的构造
，
1})1({ 22
2
1
SnP
22
2
22
122
( 1 ) ( 1 ){ } 1
( 1 ) ( 1 )
n S n SP
nn
置信区间
2
22
/221
2
( 1 ){ ( 1 ) ( 1 ) } 1nSP n n
,
即
22
22
122
( 1 ) ( 1 )
,
( 1 ) ( 1 )
n S n S
nn
2
1 2 ( 1)n 2 /2( 1)n
/2?/2?
标准差 σ的一个置信水平为 1 的置信区间
22
22
122
( 1 ) ( 1 )
,
( 1 ) ( 1 )
n S n S
nn
注意,在密度函数不对称时，如 2 F? 分布和 分布，
习惯上仍取和对称类似的分位点，但其置信区间的长度并不最短。
例 6 某自动车床加工零件，抽查 16个测得长
1 2,1 5 1 2,1 2 1 2,0 1 1 2,0 8 1 2,0 9
加工零件长度的方差。
解 先求
2 2 2
1
1 []
1
n
i
i
s x n x
n?
度（毫米）
1 2,1 6 1 2,0 3 1 2,0 1 1 2,1 5 1 2,0 6 1 2,1 3 1 2,0 7
1 2,1 1 1 2,0 8 1 2,0 1 1 2,0 6，怎样估计该车床
( 0,0 5 )
11 2 [ 0,1 5 0,1 2 0,6 ] 1 2,0 7 5
16
x
0 0 2 4.0]5.7161215[151 0 0 0 01 222
查表 262.6)15(2
975.0 488.27)15(
2 025.0
[0,0 0 1 3 3,0,0 0 5 8 8 ]?
22
22
/ 2 1 / 2
( 1 ) ( 1 )[,]
( 1 ) ( 1 )
n S n S
nn
]2 6 2.6
0 0 2 4.015,
4 8 8.27
0 0 2 4.015[
所求 σ2的置信度为 0.95的置信区间例 7 假设总体
4 5 7,4 8 2,4 9 3,4 7 1,5 1 0,4 4 6,4 3 5,4 1 8,3 9 4,4 6 9
求
22~ (,),,XN未知,X的样本为
2, 的置信度为 95%的置信区间。
解 1 0,1 9 5 % 5 %,4 5 7,5nx
223 5,2 2,s?
⑴ μ的置信区间为
/2( ( 1 ) )
sx t n
n?
/ 2 0,0 2 5( 1 ) ( 9 ) 2,2 6 2 2t n t
/2( ( 1 ) )
sx t n
n?
3 5,2 2( 4 5 7,5 2,2 6 2 2 )
10
( 4 3 2,3 1,4 8 2,6 9 )?
⑵ σ2的置信区间为
22
22
122
( 1 ) ( 1 )[,]
( 1 ) ( 1 )
n S n S
nn
22
0,9 7 51 2 ( 1 ) ( 9 ) 2,7 0n
22
0,0 2 52 ( 1 ) ( 9 ) 1 9,0 2 3n
所以 σ2的置信区间为 ( 5 8 6,8 7,4 1 3 4,8 4 )
三,两个正态总体均值与方差的区间估计
11,,nXX
设 为总体 2
11~ (,)XN
的一个样本
⒈ 的置信区间12
21,,nYY
为总体 2
22~ (,)YN
的一个样本,X与 Y
相互独立。
⑴ 2212, 均为 已知,且 XY? 12是 的一个无偏估计,因为 X与 Y 相互独立,所以
22
12
12
12
~ (,)X Y N
nn
12
22
12
12
()
~ ( 0,1 )
XY
N
nn
所以 的置信水平为 1-α的置信区间为12
22
12
/2
12
()X Y z
nn?
⑵ 22212 未知
12
12
12
()
~ ( 2 )
11
XY
t n n
S
nn
22
2 1 1 2 2
12
( 1 ) ( 1 )
2
n S n SS
nn?
所以 的置信水平为 1-α的置信区间为12
/ 2 1 2
12
11( ( 2 ) )X Y t n n S
nn
⒉ 的置信区间2212/
12(, 未知)
22
11
1222
22
/ ~ ( 1,1 )
/
S F n n
S
22
11
1 2 / 2 1 2221
222
/{ ( 1,1 ) ( 1,1 ) } 1
/
SP F n n F n n
S
所以 的置信水平为 1-α的置信区间为2212/
22
11
2 / 2 1 2 2 1 / 2 1 2
11,
( 1,1 ) ( 1,1 )
SS
S F n n S F n n
本章知识小结
1.重点：矩估计、最大似然估计、无偏性、有效性、单个正态总体参数的区间估计
2,难点：最大似然估计
