在概率论中，我们所研究的随机变量，它的分布都是假设已知的或可求出的，在这一前提下去研究它的性质、特点和规律性，例如求出它的数字特征，讨论随机变量函数的分布等。
而数理统计的任务是研究为什么随机变量会服从这样或那样的分布 ;怎样有效地收集、
整理、分析所获得的有限的数据，对所研究的对象作出推断,
数理统计第六章样本及抽样分布二,统计量一,总体与样本三,几个常用的分布四,正态总体统计量的分布一,总体研究对象的某项数量指标值的全体称为 总体。
总体中每个研究对象 (元素 )称为 个体。
研究某批灯泡的质量总体 …
考察国产轿车的质量总体例如,测试矿大全体男生的身高；
第一节 总体与样本总体有限总体,容量有限无限总体,容量无限总体包含的个体的个数称为总体的容量有限总体,一个厂某个月生产灯泡的个数的全体无限总体,一个厂生产灯泡的个数的全体例如,
对总体进行观察时,由于取到每个个体是随机的，所以，相应的指标的出现也带有随机性,从而可以把总体看作一个随机变量,也就是说：
总体可以用一个随机变量及其分布来描述,
总体就可以用随机变量 X
或其分布函数 F(x)表示,
例如，研究某批灯泡的寿命时，
每个灯泡的 寿命 --- 个体所有灯泡的 寿命 --- 总体用 X表示指标 寿命 --- 指标类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用 X和 Y分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量 (X,Y)或其联合分布函数 F(x,y)来表示,
统计中，总体这个概念的要旨是：
总体就是一个随机变量或其概率分布,
当总体分布为指数分布时,称为指数分布总体；当总体分布为正态分布时,称为正态分布总体或简称正态总体等等,两个总体即使其所含个体的性质根本不同,只要有同一的概率分布,则在统计学中就视为是同类总体,
二,样本样本,在总体中抽取若干个有代表性的个体。
12(,,,)nX X X
样本容量,样本中所含个体的数目 n 。
① 代表性,样本的每个分量
iX
与总体 X 有相同的分布函数；
② 独立性：
12,,,nX X X
为相互独立的随机变量，
满足以上条件的样本
12(,,,)nX X X
称为来自总体
X 的容量为 n 的一个 简单随机样本（简称样本） 。
样本的一次具体实现 12(,,,)nx x x称为 样本值 。
从国产轿车中抽 5辆进行耗油量试验样本容量为 5
例如：对国产轿车进行耗油量测试总体：耗油量 X
这五辆轿车的耗油量 (X1,X2,X3,X4,X5)称 为一个样本抽到哪 5辆是随机的在观察之前容量为 5的样本可以看作 5维随机变量,),,,(
521 XXX?
观察以后得到的是 5个具体的数称为样本的一次观察值，简称样本值,),,,( 521 xxx?
定义 1 设
),,,( 21 nXXXg?
nXXX,,,21?
是来自总体 X 的一个样本，
为一实值连续函数,其不包含任何未知参数，则称 ),,,(
21 nXXXg?为一个 统计量 。
),,,( 21 nxxxg? 为 的 观测值 。
注,是随机变量的函数仍为随机变量。
),,,( 21 nxxxg? 便是一个数。
),,,( 21 nXXXg?
),,,( 21 nXXXg?
例如 总体 2~ (,),XN
nXXX,,,21?
是一个样本，
则?
n
k
kn XXXXX
1
2
1
2
212
均为统计量。
第二节 统计量几种常用的统计量
1、样本均值
2、样本方差
n
k
kXnX
1
1
n
k
k XXnS
1
22 )(
1
1
设
nXXX,,,21?
是来自总体 X 的一个样本，
它反映了总体 X 取值的平均值的信息,常用来估计 EX.
n
k
k XnXn
1
22 )(
1
1
22
1
1 ()
1
n
i
i
S S X X
n?
3、样本标准差
4、样本 k 阶原点矩
5、样本 k 阶中心矩
.,,2,11
1
nkXnA
n
i
k
ik
,2,1)(1
1
kXXnB
n
i
k
ik
它反映了总体 k 阶矩的信息。
可见
2
12,1
nX A S B
n
几种常用的统计分布第六章第三节二,t 分布一,分布2?
三,F 分布一般情况来说要得到某一统计量的分布是困难的，
而在正态总体的条件下一些统计量的分布能较方便地被确定。 下面我们介绍最常用的三类随机变量：
统计量的分布称为 统计分布总体 ---- 看做一个随机变量 X
样本 ---- （ X1,X2,……,Xn)
统计量 ---- g(X1,X2,……,Xn)
统计量的分布称为 统计分布常用的几种统计量
)(~ 22 n记为
nXXX,,,21?
22
2
2
12 nXXX
2?
1,定义设 相互独立,都服从正态分布 N(0,1),
则称随机变量：
所服从的分布为 自由度为 n 的 分布,
(一 ) 分布
00
0
)2(2
1
);(
2
1
2
2
x
xex
nnxf
xn
n
0,)( 0 1 xdttex xt
)(~ 21221 nnXX则
),(~),(~ 222121 nXnX设 且 X1,X2 相互独立，
(1) 可加性
2,性质则 E(X)=n,D(X)=2n),(~ 2 nX?设(2)
证明 2 2 2
12 nX X X X
~ ( 0,1 )iXN,则
2 4 2 2( ) ( ) ( ) 3 1 2i i iD X E X E X
所以 22( ) ( )
iE n E X n
22( ) ( ) ( ) 1i i iE X D X E X
22( ) ( ) 2iD n D X n
2 分布的分位点称满足条件定义,对于给定的正数的点 为 的上 分位点。)(2 n )(2 n
)(2 n
20.1(25)? 3 4,3 8 2?
52,1.0 n?例：
记为 T～ t (n)。
nY
XT?
所服从的分布为 自由度为 n 的 t 分布,
1,定义,设 X～ N(0,1),)(2 n?Y～
则称变量
,且 X与 Y相互独立，
（二） t 分布
T 的密度函数为：
2
12
)1(
)2(
]2)1[(
);(
n
n
x
nn
n
nxf
（ 1）具有自由度为 n的 t分布的随机变量 T的数学期望和方差为,
E(T)=0; D(T)=n / (n-2),对 n >2
当 n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形,
（ 2） t分布的密度函数关于 x=0对称，且
2.性质
t 分布的密度函数关于 x = 0 对称当 n 充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形。
t 分布的分位点
10, 称满足条件定义：对于给定的正数的点 为 的上 分位点。)(nt?)(nt?
性质,)()(
1 ntnt
同理，标准正态分布的分位点的点 为标准正态分布的上 分位点。?z?z
zz1
例,441页 10,,05.0 n? 8 1 2 5.1)10(
05.0?t
10,,95.0 n?,8 1 2 5.1)10(59.0t
),(~),(~ 2212 nYnX
2
1
nY
nXF?
1.定义,设 X与 Y相互独立，
则称统计量 服从 自由度为
（三） F 分布
n1及 n2 的 F分布，
记作 F ~ F ( n1,n2)。
n1称为第一自由度,n2称为第二自由度若 X~F(n1,n2),X的概率密度为
00
01))((
)()(
)(
),;(
2
22
2
21
21
2
1
1
2
1
2
1
2
1
21
21
x
xxx
nnxf
nn
n
n
n
n
n
n
nn
nn n
(1) 由定义可见，
1
21
nX
nY
F
~ F(n2,n1)
2,性质
(3) F 分布的分位点
),( 21 nnF?
1 1 2
21
1(,)
(,)
F n n
F n n
即它的数学期望并不依赖于第一自由度 n1.
(2)X的数学期望为,
2)( 2
2
n
nXE 若 n
2>2
例 1,.),(~ 2 的分布求设 tntt
例 2,的分布：的样本，求下列统计量来自 )1,0(,,
51 NXX?;)(31)(21)1( 2543221 XXXXXU;)2(
2
4
2
3
21
XX
XXV
.
3
2)3(
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
XX
XXXW
),1(~ nF
)2(~ 2?
)2(~ t
)2,3(~ F
正态总体统计量的分布第六章第四节一,单个正态总体的统计量的分布二,两个正态总体的统计量的分布一,单个正态总体的统计量的分布定理 1 (样本均值的分布 )
设 X1,X2,…,Xn是取自正态总体 ),( 2N
的样本，则有
),(~
2
n
NX )1,0(~ N
n
X
或样本均值?
n
i
iXnX
1
1
,)(,)(
2
nXDXE
),(~ 2
nNX
证明：
n取不同值时样本均值 的分布X
定理 2
⑴
设 X1,X2,…,Xn 是取自正态总体 ),( 2N 的样本，
2XS和 分别为样本均值和样本方差，则
⑵
⑶ 相互独立
n取不同值时 的分布
2
2)1(
Sn?
定理 3 设总体 X 服从正态分布 2 12(,),,,,nN X X X
是 X 的样本,2XS和 分别为样本均值和样本方差，则有
~ ( 1 )
/
X tn
Sn
证明,因为
1
1 n
i
i
XXn
是样本 12,,,nX X X的线性组合，故 2~ (,/ )X N n，标准化后可得 ~ ( 0,1 )
/
X N
n
结论：
____,)(?XE则 _____,)(?XD
____,)( 2?SE,_____)( 2?SD
2XS和又因为 相互独立，所以
2
2
( 1 )
/
X n S
n
和?
也相互独立，则由 t 分布的定义得
22
/
~ ( 1 )
/ ( 1 ) /
1
X
X n
tn
Sn nS
n
二、两个正态总体的统计量的分布正态总体 221 1 2 2(,),(,)NN的样本，并且这两个样本相互独立，记
1
11
1 n
i
i
XX
n?
2
12
1 n
i
i
YY
n?
1
1
11
1 ()
1
n
k
k
S X Xn
222
2
12
1 ()
1
n
k
k
S Y Yn
则有 ⑴ 2211
1222
22
/ ~ ( 1,1 )
/
S F n n
S
定理 4 设 X1,X2,…,与 Y1,Y2,…,分别是来自
1nX 2nY
12
12
()
~ ( 0,1 )
11
XY
N
nn
⑵ 当 22212
22
21 1 2 2
1222
12
( 1 ) ( 1 ) ~ ( 2 )n S n S nn
时
12
12
12
()
~ ( 2 )
11
XY
t n n
S
nn
其中证明 (1) 由定理 2
)1(~)1( 122
1
2
11 nSn?
)1(~)1( 222
2
2
22 nSn?
由假设 相互独立，和
2221 SS
故
22
11
1222
22
/ ~ ( 1,1 )
/
S F n n
S
)1,1(~
)1(
)1(
)1(
)1(
212
22
2
22
2
11
2
11
nnF
n
Sn
n
Sn
即
(2) 易知
1,0~
11
)()(
21
21 N
nn
YX
U
由假设 相互独立，和
2221 SS
故
),(~
2
2
2
1
2
1
21 nnNYX
即由已知
)1(~)1( 122
1
2
11 nSn?
)1(~)1( 222
2
2
22 nSn?
)2(~)1()1( 2122
2
2
22
2
1
2
11 nnSnSnV?
由附录 2知 U与 V相互独立，故
)2/( 21 nnV
U
12
12
12
()
~ ( 2 )
11
XY
t n n
S
nn
=
总体样本统计量描述作出推断随机抽样数理统计的基本概念例 1 设总体 X 服从正态分布 ( 8 0,4 0 0 )N,其样本为
1 2 1 0 0,,,,{ | 8 0 | 3 },X X X P X求解 由已知得 ~ ( 8 0,4 )XN,得 80 ~ ( 0,1 )
2
X N?
3 8 0 3{ | 8 0 | 3 } 1 { }
2 2 2
XP X P所以
32 2 ( )
2
2 2 0,9 3 3 2 0,1 3 3 6
例 2 设总体 X 服从正态分布 2(,)N,其样本为
1 2 1 7,,,,{ } 0,9 5,X X X k P X k S求 使得?
解 由已知得 ~ ( 0,1 )
/ 1 7
X N
2
2
2
( 1 7 1 ) ~ ( 1 6 )S
,~ ( 1 6 )
/ 1 7
X t
S
{ } { 1 7 } 0,9 5
/ 1 7
XP X k S P k
S
0,9 51 7 ( 1 6 )kt? 1 0,9 5 ( 1 6 ) 1,7 4 5 9t
查表例 3 设总体 X 服从正态分布 2(,)N,其样本为
1
1 2 1,,,,,.1
nn
nn
n
X X nX X X X Y
Sn
求 的分布解 由已知得
22
11
11,( )
1n i n i niiX X S X Xnn其中
22
1
1~ (,),~ (,),
nnX N X N n
所以 2
1
1~ ( 0,)
nn
nX X N
n?
标准化得 1 ~ ( 0,1 )
1
nnX X n N
n
又因为 2 2
2
( 1 ) ~ ( 1 )nnS n
故
1
2
2
1
~ ( 1 )
( 1 )
/ ( 1 )
nn
n
X X n
n
Y t n
nS
n
1 ~ ( 1 )
1
nn
n
X X nY t n
Sn
例 4 设总体 X,Y 相互独立 22~ (0,3 ),~ (0,3 ),X N Y N
其样本为
1 2 9 1 2 9,,,,,,,X X X Y Y Y和试求统计量
1 2 9
2 2 2
1 2 9
()X X X
Y Y Y
服从什么分布？
解 由已知得 1 2 9 ~ ( 0,8 1 )X X X N
1 2 9 ~ ( 0,1 )
9
X X XUN
2 2 2
21 2 9 ~ ( 9 )
9
Y Y YV
所以 1 2 9
2 2 2
1 2 9
() ~ ( 9 )
/9
U X X X t
V Y Y Y
例 5 设总体 X,Y 相互独立 ~ ( 2 0,3 ),~ ( 2 0,3 ),X N Y N
其样本为
1 2 1 0 1 2 1 5,,,,,,,X X X Y Y Y和试求以下概率
{ | | 0,3 },P X Y
解 由已知得 10
1
13~ ( 2 0,)
1 0 1 0iiX X N
15
1
13~ ( 2 0,)
1 5 1 5iiY Y N
则 ~ (0,1 / 2 )X Y N?
所以 ~ ( 0,1 )
1 / 2
XY N?
{ | | 0,3 } 2 2 ( 0,3 2 ) 0,6 7 7 4P X Y
例 6 设总体 X 服从正态分布 2(0,2 )N,其样本为解 由已知得 ~ ( 0,4 )iXN
所以 2 2 2 21 2 1 0 ~ ( 1 0 )
4
X X XU
22
21 1 1 5 ~ ( 5 )
5
XXV
故 221 1 0
22
1 1 1 5
/ 1 0 ~ ( 1 0,5 ),
/ 5 2
U X XYF
V X X
（ ）
22
1 1 0
1 2 1 5 22
1 0 1 5
,,,,.
2
XXX X X Y
XX
求 的 分 布（ ）
总体样本统计量作出推断随机抽样这一讲，我们介绍了数理统计的基本概念,
总结：
而数理统计的任务是研究为什么随机变量会服从这样或那样的分布 ;怎样有效地收集、
整理、分析所获得的有限的数据，对所研究的对象作出推断,
数理统计第六章样本及抽样分布二,统计量一,总体与样本三,几个常用的分布四,正态总体统计量的分布一,总体研究对象的某项数量指标值的全体称为 总体。
总体中每个研究对象 (元素 )称为 个体。
研究某批灯泡的质量总体 …
考察国产轿车的质量总体例如,测试矿大全体男生的身高；
第一节 总体与样本总体有限总体,容量有限无限总体,容量无限总体包含的个体的个数称为总体的容量有限总体,一个厂某个月生产灯泡的个数的全体无限总体,一个厂生产灯泡的个数的全体例如,
对总体进行观察时,由于取到每个个体是随机的，所以，相应的指标的出现也带有随机性,从而可以把总体看作一个随机变量,也就是说：
总体可以用一个随机变量及其分布来描述,
总体就可以用随机变量 X
或其分布函数 F(x)表示,
例如，研究某批灯泡的寿命时，
每个灯泡的 寿命 --- 个体所有灯泡的 寿命 --- 总体用 X表示指标 寿命 --- 指标类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用 X和 Y分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量 (X,Y)或其联合分布函数 F(x,y)来表示,
统计中，总体这个概念的要旨是：
总体就是一个随机变量或其概率分布,
当总体分布为指数分布时,称为指数分布总体；当总体分布为正态分布时,称为正态分布总体或简称正态总体等等,两个总体即使其所含个体的性质根本不同,只要有同一的概率分布,则在统计学中就视为是同类总体,
二,样本样本,在总体中抽取若干个有代表性的个体。
12(,,,)nX X X
样本容量,样本中所含个体的数目 n 。
① 代表性,样本的每个分量
iX
与总体 X 有相同的分布函数；
② 独立性：
12,,,nX X X
为相互独立的随机变量，
满足以上条件的样本
12(,,,)nX X X
称为来自总体
X 的容量为 n 的一个 简单随机样本（简称样本） 。
样本的一次具体实现 12(,,,)nx x x称为 样本值 。
从国产轿车中抽 5辆进行耗油量试验样本容量为 5
例如：对国产轿车进行耗油量测试总体：耗油量 X
这五辆轿车的耗油量 (X1,X2,X3,X4,X5)称 为一个样本抽到哪 5辆是随机的在观察之前容量为 5的样本可以看作 5维随机变量,),,,(
521 XXX?
观察以后得到的是 5个具体的数称为样本的一次观察值，简称样本值,),,,( 521 xxx?
定义 1 设
),,,( 21 nXXXg?
nXXX,,,21?
是来自总体 X 的一个样本，
为一实值连续函数,其不包含任何未知参数，则称 ),,,(
21 nXXXg?为一个 统计量 。
),,,( 21 nxxxg? 为 的 观测值 。
注,是随机变量的函数仍为随机变量。
),,,( 21 nxxxg? 便是一个数。
),,,( 21 nXXXg?
),,,( 21 nXXXg?
例如 总体 2~ (,),XN
nXXX,,,21?
是一个样本，
则?
n
k
kn XXXXX
1
2
1
2
212
均为统计量。
第二节 统计量几种常用的统计量
1、样本均值
2、样本方差
n
k
kXnX
1
1
n
k
k XXnS
1
22 )(
1
1
设
nXXX,,,21?
是来自总体 X 的一个样本，
它反映了总体 X 取值的平均值的信息,常用来估计 EX.
n
k
k XnXn
1
22 )(
1
1
22
1
1 ()
1
n
i
i
S S X X
n?
3、样本标准差
4、样本 k 阶原点矩
5、样本 k 阶中心矩
.,,2,11
1
nkXnA
n
i
k
ik
,2,1)(1
1
kXXnB
n
i
k
ik
它反映了总体 k 阶矩的信息。
可见
2
12,1
nX A S B
n
几种常用的统计分布第六章第三节二,t 分布一,分布2?
三,F 分布一般情况来说要得到某一统计量的分布是困难的，
而在正态总体的条件下一些统计量的分布能较方便地被确定。 下面我们介绍最常用的三类随机变量：
统计量的分布称为 统计分布总体 ---- 看做一个随机变量 X
样本 ---- （ X1,X2,……,Xn)
统计量 ---- g(X1,X2,……,Xn)
统计量的分布称为 统计分布常用的几种统计量
)(~ 22 n记为
nXXX,,,21?
22
2
2
12 nXXX
2?
1,定义设 相互独立,都服从正态分布 N(0,1),
则称随机变量：
所服从的分布为 自由度为 n 的 分布,
(一 ) 分布
00
0
)2(2
1
);(
2
1
2
2
x
xex
nnxf
xn
n
0,)( 0 1 xdttex xt
)(~ 21221 nnXX则
),(~),(~ 222121 nXnX设 且 X1,X2 相互独立，
(1) 可加性
2,性质则 E(X)=n,D(X)=2n),(~ 2 nX?设(2)
证明 2 2 2
12 nX X X X
~ ( 0,1 )iXN,则
2 4 2 2( ) ( ) ( ) 3 1 2i i iD X E X E X
所以 22( ) ( )
iE n E X n
22( ) ( ) ( ) 1i i iE X D X E X
22( ) ( ) 2iD n D X n
2 分布的分位点称满足条件定义,对于给定的正数的点 为 的上 分位点。)(2 n )(2 n
)(2 n
20.1(25)? 3 4,3 8 2?
52,1.0 n?例：
记为 T～ t (n)。
nY
XT?
所服从的分布为 自由度为 n 的 t 分布,
1,定义,设 X～ N(0,1),)(2 n?Y～
则称变量
,且 X与 Y相互独立，
（二） t 分布
T 的密度函数为：
2
12
)1(
)2(
]2)1[(
);(
n
n
x
nn
n
nxf
（ 1）具有自由度为 n的 t分布的随机变量 T的数学期望和方差为,
E(T)=0; D(T)=n / (n-2),对 n >2
当 n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形,
（ 2） t分布的密度函数关于 x=0对称，且
2.性质
t 分布的密度函数关于 x = 0 对称当 n 充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形。
t 分布的分位点
10, 称满足条件定义：对于给定的正数的点 为 的上 分位点。)(nt?)(nt?
性质,)()(
1 ntnt
同理，标准正态分布的分位点的点 为标准正态分布的上 分位点。?z?z
zz1
例,441页 10,,05.0 n? 8 1 2 5.1)10(
05.0?t
10,,95.0 n?,8 1 2 5.1)10(59.0t
),(~),(~ 2212 nYnX
2
1
nY
nXF?
1.定义,设 X与 Y相互独立，
则称统计量 服从 自由度为
（三） F 分布
n1及 n2 的 F分布，
记作 F ~ F ( n1,n2)。
n1称为第一自由度,n2称为第二自由度若 X~F(n1,n2),X的概率密度为
00
01))((
)()(
)(
),;(
2
22
2
21
21
2
1
1
2
1
2
1
2
1
21
21
x
xxx
nnxf
nn
n
n
n
n
n
n
nn
nn n
(1) 由定义可见，
1
21
nX
nY
F
~ F(n2,n1)
2,性质
(3) F 分布的分位点
),( 21 nnF?
1 1 2
21
1(,)
(,)
F n n
F n n
即它的数学期望并不依赖于第一自由度 n1.
(2)X的数学期望为,
2)( 2
2
n
nXE 若 n
2>2
例 1,.),(~ 2 的分布求设 tntt
例 2,的分布：的样本，求下列统计量来自 )1,0(,,
51 NXX?;)(31)(21)1( 2543221 XXXXXU;)2(
2
4
2
3
21
XX
XXV
.
3
2)3(
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
XX
XXXW
),1(~ nF
)2(~ 2?
)2(~ t
)2,3(~ F
正态总体统计量的分布第六章第四节一,单个正态总体的统计量的分布二,两个正态总体的统计量的分布一,单个正态总体的统计量的分布定理 1 (样本均值的分布 )
设 X1,X2,…,Xn是取自正态总体 ),( 2N
的样本，则有
),(~
2
n
NX )1,0(~ N
n
X
或样本均值?
n
i
iXnX
1
1
,)(,)(
2
nXDXE
),(~ 2
nNX
证明：
n取不同值时样本均值 的分布X
定理 2
⑴
设 X1,X2,…,Xn 是取自正态总体 ),( 2N 的样本，
2XS和 分别为样本均值和样本方差，则
⑵
⑶ 相互独立
n取不同值时 的分布
2
2)1(
Sn?
定理 3 设总体 X 服从正态分布 2 12(,),,,,nN X X X
是 X 的样本,2XS和 分别为样本均值和样本方差，则有
~ ( 1 )
/
X tn
Sn
证明,因为
1
1 n
i
i
XXn
是样本 12,,,nX X X的线性组合，故 2~ (,/ )X N n，标准化后可得 ~ ( 0,1 )
/
X N
n
结论：
____,)(?XE则 _____,)(?XD
____,)( 2?SE,_____)( 2?SD
2XS和又因为 相互独立，所以
2
2
( 1 )
/
X n S
n
和?
也相互独立，则由 t 分布的定义得
22
/
~ ( 1 )
/ ( 1 ) /
1
X
X n
tn
Sn nS
n
二、两个正态总体的统计量的分布正态总体 221 1 2 2(,),(,)NN的样本，并且这两个样本相互独立，记
1
11
1 n
i
i
XX
n?
2
12
1 n
i
i
YY
n?
1
1
11
1 ()
1
n
k
k
S X Xn
222
2
12
1 ()
1
n
k
k
S Y Yn
则有 ⑴ 2211
1222
22
/ ~ ( 1,1 )
/
S F n n
S
定理 4 设 X1,X2,…,与 Y1,Y2,…,分别是来自
1nX 2nY
12
12
()
~ ( 0,1 )
11
XY
N
nn
⑵ 当 22212
22
21 1 2 2
1222
12
( 1 ) ( 1 ) ~ ( 2 )n S n S nn
时
12
12
12
()
~ ( 2 )
11
XY
t n n
S
nn
其中证明 (1) 由定理 2
)1(~)1( 122
1
2
11 nSn?
)1(~)1( 222
2
2
22 nSn?
由假设 相互独立，和
2221 SS
故
22
11
1222
22
/ ~ ( 1,1 )
/
S F n n
S
)1,1(~
)1(
)1(
)1(
)1(
212
22
2
22
2
11
2
11
nnF
n
Sn
n
Sn
即
(2) 易知
1,0~
11
)()(
21
21 N
nn
YX
U
由假设 相互独立，和
2221 SS
故
),(~
2
2
2
1
2
1
21 nnNYX
即由已知
)1(~)1( 122
1
2
11 nSn?
)1(~)1( 222
2
2
22 nSn?
)2(~)1()1( 2122
2
2
22
2
1
2
11 nnSnSnV?
由附录 2知 U与 V相互独立，故
)2/( 21 nnV
U
12
12
12
()
~ ( 2 )
11
XY
t n n
S
nn
=
总体样本统计量描述作出推断随机抽样数理统计的基本概念例 1 设总体 X 服从正态分布 ( 8 0,4 0 0 )N,其样本为
1 2 1 0 0,,,,{ | 8 0 | 3 },X X X P X求解 由已知得 ~ ( 8 0,4 )XN,得 80 ~ ( 0,1 )
2
X N?
3 8 0 3{ | 8 0 | 3 } 1 { }
2 2 2
XP X P所以
32 2 ( )
2
2 2 0,9 3 3 2 0,1 3 3 6
例 2 设总体 X 服从正态分布 2(,)N,其样本为
1 2 1 7,,,,{ } 0,9 5,X X X k P X k S求 使得?
解 由已知得 ~ ( 0,1 )
/ 1 7
X N
2
2
2
( 1 7 1 ) ~ ( 1 6 )S
,~ ( 1 6 )
/ 1 7
X t
S
{ } { 1 7 } 0,9 5
/ 1 7
XP X k S P k
S
0,9 51 7 ( 1 6 )kt? 1 0,9 5 ( 1 6 ) 1,7 4 5 9t
查表例 3 设总体 X 服从正态分布 2(,)N,其样本为
1
1 2 1,,,,,.1
nn
nn
n
X X nX X X X Y
Sn
求 的分布解 由已知得
22
11
11,( )
1n i n i niiX X S X Xnn其中
22
1
1~ (,),~ (,),
nnX N X N n
所以 2
1
1~ ( 0,)
nn
nX X N
n?
标准化得 1 ~ ( 0,1 )
1
nnX X n N
n
又因为 2 2
2
( 1 ) ~ ( 1 )nnS n
故
1
2
2
1
~ ( 1 )
( 1 )
/ ( 1 )
nn
n
X X n
n
Y t n
nS
n
1 ~ ( 1 )
1
nn
n
X X nY t n
Sn
例 4 设总体 X,Y 相互独立 22~ (0,3 ),~ (0,3 ),X N Y N
其样本为
1 2 9 1 2 9,,,,,,,X X X Y Y Y和试求统计量
1 2 9
2 2 2
1 2 9
()X X X
Y Y Y
服从什么分布？
解 由已知得 1 2 9 ~ ( 0,8 1 )X X X N
1 2 9 ~ ( 0,1 )
9
X X XUN
2 2 2
21 2 9 ~ ( 9 )
9
Y Y YV
所以 1 2 9
2 2 2
1 2 9
() ~ ( 9 )
/9
U X X X t
V Y Y Y
例 5 设总体 X,Y 相互独立 ~ ( 2 0,3 ),~ ( 2 0,3 ),X N Y N
其样本为
1 2 1 0 1 2 1 5,,,,,,,X X X Y Y Y和试求以下概率
{ | | 0,3 },P X Y
解 由已知得 10
1
13~ ( 2 0,)
1 0 1 0iiX X N
15
1
13~ ( 2 0,)
1 5 1 5iiY Y N
则 ~ (0,1 / 2 )X Y N?
所以 ~ ( 0,1 )
1 / 2
XY N?
{ | | 0,3 } 2 2 ( 0,3 2 ) 0,6 7 7 4P X Y
例 6 设总体 X 服从正态分布 2(0,2 )N,其样本为解 由已知得 ~ ( 0,4 )iXN
所以 2 2 2 21 2 1 0 ~ ( 1 0 )
4
X X XU
22
21 1 1 5 ~ ( 5 )
5
XXV
故 221 1 0
22
1 1 1 5
/ 1 0 ~ ( 1 0,5 ),
/ 5 2
U X XYF
V X X
（ ）
22
1 1 0
1 2 1 5 22
1 0 1 5
,,,,.
2
XXX X X Y
XX
求 的 分 布（ ）
总体样本统计量作出推断随机抽样这一讲，我们介绍了数理统计的基本概念,
总结：
