二、单个正态总体均值和方差一,参数的假设检验第八章假设检验的假设检验三、两个正态总体参数的假设检验在实际工作中，
这些结论可能正确、可能错误。 若视这些结论为假设，
问题在于我们是否应该接受这些假设呢？
例如,我们对某产品进行了一些工艺改造,或研制了新的产品。 要比较原产品和新产品在某一项指标上的差异，这样我们面临选择是否接受假设“新产品的某一项指标优于老产品”。 我们必须作一些试验，也就是抽样。
根据得到的样本观察值
nxxx,,,21?
前人对某些问题得到了初步的结论。
来作出决定。
假设检验问题就是 根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确,
8.1 参数假设检验的思想一、假设检验的思想方法实际推断原理 （ 小概率原理 ）。
通过大量实践,对于小概率事件（即在一次试验中发生的概率很小的事情）总结出一条原理：
小概率事件在一次试验中几乎不会发生并称此为 实际推断原理,其为判断假设的根据。
例 1 某车间生产铜丝，
X的大小。
铜丝的主要质量指标是折断力由资料可认为 今换了一批原料，
从性能上看,估计折断力的方差不会有变换,但不知折断力的大小有无差别。
解 此问题就是已知方差 假设：
抽出 10个样品，测得其折断力为
584596572570570572568570578572
问折断力的大小变没变。
和原假设备择假设机动 目录 上页 下页 返回 结束
X?是 的无偏估计,如果我们假设 H0 为真，则
0x?与 偏差 0||x?- 应该很小,
0||x?-
的大小？
问题转化为 怎样衡量 0||
/
x
n
- 的大小？
选定一个适当的正数 0k?,如果 0||,
/
x k
n
-
就认为 H0 不真，拒绝原假设 H0 ；反之 0||,
/
x k
n
-
问题,如何衡量则接受原假设 H0 。
机动 目录 上页 下页 返回 结束问题转化为 如何选择 k,用什么标准选择 k？
无论怎样选择 k 都可能犯两类错误：
为真时拒绝 第一类错误 （弃真）
不真时接受 第二类错误 （取伪）
显著性检验,只对犯第一类错误的概率加以控制，
而不考虑犯第二类错误的概率。
其中 α称为显著性水平
0H0H
0H0H
00|P H H拒 绝 为 真
N(0,1)
H0为真则拒绝 H0。
较大，如果 || 0x 。就怀疑 0
05.0,96.1055.2
8
102.5
108
570
2
Z
x例 1中，
故拒绝 H0.
用实际推断原理解释：
当 H0为真时,是一个小概率事件，
05.0,96.1055.2
8
102.5
108
570
2
Z
x
现在这个小概率事件在一次实验中发生了,所以有理由怀疑 H0的正确性，即否定 H0。
叙述成：
—— 双边假设检验
—— 右边检验
—— 左边检验假设检验四步：
1、建立假设； 2、构造统计量；
3、写出拒绝域； 4、计算统计量，进行判断。
0
/
xz
n
- 检验统计量
/2||zz 为拒绝域,/2z 为临界点机动 目录 上页 下页 返回 结束对于给定的显著水平 α，我们来求右边检验问题
0 0 1 0::HH的拒绝域。
2~ (,)XN总体,其中 σ已知,X?是 的无偏估计拒绝域形式为 xk?
00
00{ } { }
//
xkP x k P
nn
0
0{}
//
xkP
nn
机动 目录 上页 下页 返回 结束
~ ( 0,1 )
/
X N
n
-?
z?
0
/
k z
n?
- 0kz
n?
所以拒绝域为 0
/
xx k z z
n?
同理左边假设检验
0 0 1 0::HH
拒绝域为 0
/
xzz
n?
8.2 单个正态总体均值与方差的假设检验设总体
nXXX,,,21?
为 X的样本。
我们对 μ,σ 2作显著性检验一、总体均值 μ 的假设检验
1、已知 σ2，检验
00,H 01,H
统计量：
n
xZ
0 —— U 检验拒绝域,.||
2
0
z
n
xZ
,,00H 01,H
统计量：
n
xZ
0
拒绝域：
zZ?
—— 右边检验
,,00H 01,H
统计量：
n
xZ
0
拒绝域：
zZ
—— 左边检验某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的袋装糖当机器正常时,
某日开工后为检验包装机是否正常,
包装的糖 9袋,称得净重为 (公斤 ):
0.497 0.506 0.518 0.524 0.498
0.511 0.520 0.515 0.512
问机器是否正常?
例 2
重是一个随机变量 X,且其均值为 μ =0.5公斤,标准差 σ =0.015公斤,
随机地抽取它所
5.0:0H 5.0:1H
解,先提出假设
（?=0.05）
n
xZ
0统计量：
拒绝域,.||
2
0
z
n
xZ
代入计算，
96.12.2 2
0
Z
n
x
5 1 1.0)5 1 2.04 9 7.0(91x
,96.1025.0
2
ZZ?
常，认为包装机工作不正于是拒绝 0H
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3
0,4 0H 1,4 0H
解 先提出假设拒绝域为 zz
某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率 X 服从
，正常时均值为 μ =40
生产一批推进器，从中随机取 n = 25只，测得燃烧率得样本均值,问工艺革新后燃烧率正态分布，即 ),(~ 2NX
cm/s,标准差 σ =2cm/s（不变）,现用新的生产方法
（?=0.05）
4 1,2 5 /x c m s?
是否有显著的提高?
计算 0||| | 3,1 2 5
/
xz
n
-
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0,0 5 1,6 4 5zz
查表
zz
所以落在了拒绝域之内，拒绝 H0,接受 H1
认为工艺革新后燃烧率有显著的提高。
2、未知 σ2，检验
00,H 01,H
未知 σ2，可用样本方差 2
1
2 )(
1
1?
n
k
k XXnS
代替 σ2
0100,, HH
统计量：
ns
xT 0 —— T 检验拒绝域,)1(||
2
0 nt
ns
xT
,,00H 01,H
统计量：
ns
xT 0
拒绝域,)1( ntT
—— 右边检验
,,00H 01,H
统计量：
ns
xT 0
拒绝域,)1( ntT
—— 左边检验抽取 6件,得尺寸数据如下,
),,(~ 2NX 2?
32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03
问这批产品是否合格?
某工厂生产的一种螺钉,标准要求长度是 32.5毫米实际生产的产品其长度 X 假定服从正态分布,
未知,现从该厂生产的一批产品中解：
例 4
（? =0.01）
5.32:5.32,10 HH,
ns
xT 0统计量：
拒绝域,)1(||
2
0 nt
ns
xT
0 3 2 2.4)5()5( 0 0 5.0
2
tt?
9 9 7.2||?T
将数据代入计算，
0322.4?
，认为产品合格。所以接受 0H
(设温度 测量值 X服从正态分布,取?=0.05 )
解,提出假设 H0,?=112.6； H1,112.6
ns
xT 0
用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度,
重复测量 7次，测得温度 (℃):
112.0 113.4 111.2 112.0 114.5 112.9 113.6
而用某种精确办法测得温度为 112.6(可看作真值 ),
试问用热敏电阻测温仪间接测温有无系统偏差?
取统计量例 5
拒绝域,)1(||
2
0 nt
ns
xT
由样本算得
4 6 6.0|
7
1 3 5.1
6.1 1 28.1 1 2
||| 0T
接受 H0,即用热敏电阻测温仪间接测温无系统偏差。
22 1 3 5.18.1 1 2 sx
4 4 6 9.2)6(0 2 5.0?t
解,
ns
xT 0,统计量得 拒绝域为 T? t0.05(9)=1.8331
例 6 某厂生产镍合金线，其抗拉强度 X的均值为
10620 (kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取 10根,测得抗拉强度 (kg/mm2)为,10512,10623,
10668,10554,10776,10707,10557,10581,10666,
10670,认为,取?=0.05,问新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合金线抗拉强度要高?
0100,, HH,
8331.145.0
10
81
106204.10631
0
T
所以接受 H0。
代入计算，
正态总体均值的假设检验的检验均值单个总体一 ),(~,2NX
检验）的检验（已知，关于 Z 2.1
n
XZ
0
检验）的检验（未知，关于 t 2.2
0100,, HH
nS
XT 0
二、关于 σ2假设检验在显著性水平?条件下检验假设
2
021
2
020,, HH
其中 σ0是已知常数，
例 1 已知某种延期药静止燃烧时间 T,),(~ 2NT
今从一批延期药中任取 10副测得静止燃烧时间（单位秒）数据为 3804.1857.13836.14059.13405.1
3 4 2 4.14 0 2 1.13 7 8 9.14 0 5 3.13 7 6 0.1
问：是否可信这批延期药的静止燃烧时间 T的方差为
)05.0(.0 2 5.0 22
解,提出假设
221220 025.0:025.0, HH
提出假设由于 s 2集中了 σ2的信息，自然想用 s 2与 σ2进行比较如果 H0为真，
所以取统计量
2
0
2
2 )1(
sn
一般应该在 1附近摆动，
否则摆动很大。 )|(|
212
0
2
kks 或拒绝的标准就是
H0为真
)1(2?n?
)(2
2
n
2
yf
x
)(2
21
n
2
)1(2
2
1 nk )1(,
2
21
2 nk
即拒绝域为,)1()1( 2
21
22
2
2
nn 或本题 7.2)9()1( 2
975.0
2
21
n 0 2 3.19)9()1( 2 025.02
2
n
根据样本值算得 6 1 7 6.7
0 2 5.0
0 2 3.09
2
2
2
则接受 H0 。
可信这批延期药的静止燃烧时间 T的方差为显然机动 目录 上页 下页 返回 结束
2 2 2 20 0 1 0::HH双边假设检验拒绝域为
2
2
1 / 22
0
( 1 ) ( 1 )ns n
或 2 2
/22
0
( 1 ) ( 1 )ns n
由上例可得统计量机动 目录 上页 下页 返回 结束同理右边假设检验拒绝域左边假设检验拒绝域
2 2 2 20 0 1 0::HH
2 2 2 20 0 1 0::HH
2
2
12
0
( 1 ) ( 1 )ns n
2
2
2
0
( 1 ) ( 1 )ns n
统计量统计量
（? =0.05）
解,提出假设某次统考后随机抽查 26份试卷,测得平均成绩,
试分析该次考试成绩标准差是否为已知该次考试成绩取统计量例 2
查表根据样本值算得故接受 H0 。显然表明考试成绩标准差与 12无显著差异。
(?=0.05),熔化时间
8080 2120,，,HH
拒绝域为
2
0
2
2 9
σ
S统计量：
7.1380 8.12192 所以接受 H0
9 1 9.61)9()9( 05.0222 χχ
例 3 电工器材厂生产一批保险丝,取 10根测得其熔化时间 （ min） 为 42,65,75,78,59,57,68,54,55,71.
问是否可以认为这批保险丝合格？
),(~ 2NX
解以往合格的标准是融化时间的方差不大于 80，
<16.919
某学生参加体育培训班结束时其跳远成绩 X 近似例 4
服从正态分布，鉴定成绩是均值为 576cm，标准差为
8cm，若干天后对该学生独立抽查 10次，得跳远成绩数据为 578,572,580,568,572,570,572,570，
596,584，问该学生跳远成绩水平是否与鉴定成绩有显著差异？（ α=0.05）
解
1
11 0,5 7 6,2n
i
i
n x x
n?
2 2 2
1
1 ( ) 7 4,1 7 7 8
1
n
i
i
s x n x
n?
⑴ 提出假设取统计量查表
( 1 ) 2 2 2 ( 1 ) 2 20 0 1,8,8HH
2
2
2
( 1 )
8
nS
20.975 ( 9 ) 2,7 0 0 20,0 2 5 ( 9 ) 1 9,0 2 3
拒绝域为
2
2
2
9
8
s 9 7 4,1 7 7 8 1 0,4 3
64
其中
22 1 / 2 ( 1 )n或 22 /2 ( 1 )n
22,7 1 9,0 2 3由于即可以认为
,未落在拒绝域之内,故接受 H0 。
228
⑵ 提出假设取统计量查表
( 2 ) ( 2 )01,5 7 6,5 7 6HH
576
8/
XU
n
/ 2 0,0 2 5 1,9 6zz
拒绝域为
576||
8/
xU
n
5 7 6,2 5 7 6 0,0 7 9
8 / 1 0
其中
/2||Uz
0.079?
综合⑴与⑵,该生跳远成绩水平与鉴定成绩无显著差异,
因此未落在拒绝域之内,故接受 H0,即可以认为 576
8.3 两个正态总体均值与方差的假设检验
11,,nXX
设 为总体 2
11~ (,)XN
的一个样本
21,,nYY
222~ (,)YN的一个样本,X与 Y
相互独立。
为总体一、两个总体均值差 的假设检验
2212, 均为已知，1、
,,210H,,211H
统计量：
拒绝域,.||
2
zU?
,,210H,,211H
统计量：
拒绝域：
zU?
,,210H,,211H
统计量：
拒绝域：
zU
⒉ 未知,关于 的假设检验双边假设检验
0 1 2 1 1 2::HH
其中 δ为已知常数。
统计量
22
2 1 1 2 2
12
( 1 ) ( 1 )
2
n S n SS
nn?
左边假设检验右边假设检验故拒绝域为 / 2 1 2
12
| | ( 2 )
1 / 1 /
xyt t n n
s n n
12( 2 )t t n n
12( 2 )t t n n
0 1 2 1 1 2::HH
0 1 2 1 1 2::HH
拒绝域为拒绝域为注意,在关于 12 的假设检验中，通常 δ=0，
即检验 12 是否成立。
相互独立,从 X 中取 10个样本，
，问能否
218,0 4,0,0 2 0 4xS
12
例 1 假设总体认为
2212~ (,),~ (,),X N Y N X Y 与从 Y 中取 10个样本,227,9 4,0,0 8 2 5yS
？ （?=0.05）
解 提出假设 0 1 2 1 1 2,0,0HH
22212 未知故拒绝域为 / 2 1 2
12
| | ( 2 )
1 / 1 /
xyt t n n
s n n
计算
22
1299 0,2 2 7
18
sss
8,0 4 7,9 4| | 0,9 8 5
0,2 2 7 1 / 1 0 1 / 1 0
t
/ 2 1 2 0,0 2 5( 2 ) ( 1 8 ) 2,1 0 0 9t n n t0,9 8 5?
未落在拒绝域之内,接受 H0,可以认为 12
二、两个正态总体方差的假设检验均未知的条件下双边假设检验 2 2 2 20 1 2 1 1 2::HH
2 2 2
1 1 1
122 2 2
2 2 2
/ ~ ( 1,1 )
/
SSF F n n
SS
选取统计量
(当 H0 为真 )
故拒绝域为 22
1 2 / 2 1 2/ ( 1,1 )F S S F n n
或 22
1 2 1 / 2 1 2/ ( 1,1 )F S S F n n
左边假设检验右边假设检验
1 1 2( 1,1 )F F n n
12( 1,1 )F F n n
拒绝域为拒绝域为
2 2 2 20 1 2 1 1 2::HH
2 2 2 20 1 2 1 1 2::HH
例 2,设某种产品来自甲、乙两个厂家，为考察产品性能的差异，现从甲乙产品中分别抽取了 8件和 9件产品，
测其性能指标 X，得到两组数据，经对其作相应运算得
008.0,238.0,006.0,190.0 222211 sxsx
假定测定结果服从正态分布 ),2,1)(,(~ 2?iNX
ii
10.0)1(
2
2
2
1
条件下，能否认为在检验水平为加以说明。
的置信区间，并对结果的置信度为求 90%)2( 21
解,(1)检验假设 2 2 2 20 1 2 1 1 2::HH
统计量：
2
2
2
1
S
SF?
221 2 / 2 1 2/ ( 1,1 )F S S F n n
或 22
1 2 1 / 2 1 2/ ( 1,1 )F S S F n n
拒绝域：
由条件知，
,75.0008.0/006.0/,9,8 222121 SSFnn
查表得，,50.3)8,7()1,1(
05.0212/ FnnF?
,
73.3
1
)7,8(
1)8,7()1,1(
05.0
59.0212/1 FFnnF?
显然，
50,.375.073.3 1
,,22210H所以，接受原假设 即认为两总体方差相等。
（ 2）由 （ 1） 的结论知 但其值未知，,2
221
所以 的置信水平为 1-α的置信区间为12
22
2 1 1 2 2
12
( 1 ) ( 1 )
2
n S n SS
nn?
)11)2((
21
212/21 nnSnntXX w
代入数据计算，得到数字型的区间，分析。
确定原假设和备择假设的原则,
等号必须放在原假设里
这些结论可能正确、可能错误。 若视这些结论为假设，
问题在于我们是否应该接受这些假设呢？
例如,我们对某产品进行了一些工艺改造,或研制了新的产品。 要比较原产品和新产品在某一项指标上的差异，这样我们面临选择是否接受假设“新产品的某一项指标优于老产品”。 我们必须作一些试验，也就是抽样。
根据得到的样本观察值
nxxx,,,21?
前人对某些问题得到了初步的结论。
来作出决定。
假设检验问题就是 根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确,
8.1 参数假设检验的思想一、假设检验的思想方法实际推断原理 （ 小概率原理 ）。
通过大量实践,对于小概率事件（即在一次试验中发生的概率很小的事情）总结出一条原理：
小概率事件在一次试验中几乎不会发生并称此为 实际推断原理,其为判断假设的根据。
例 1 某车间生产铜丝，
X的大小。
铜丝的主要质量指标是折断力由资料可认为 今换了一批原料，
从性能上看,估计折断力的方差不会有变换,但不知折断力的大小有无差别。
解 此问题就是已知方差 假设：
抽出 10个样品，测得其折断力为
584596572570570572568570578572
问折断力的大小变没变。
和原假设备择假设机动 目录 上页 下页 返回 结束
X?是 的无偏估计,如果我们假设 H0 为真，则
0x?与 偏差 0||x?- 应该很小,
0||x?-
的大小？
问题转化为 怎样衡量 0||
/
x
n
- 的大小？
选定一个适当的正数 0k?,如果 0||,
/
x k
n
-
就认为 H0 不真，拒绝原假设 H0 ；反之 0||,
/
x k
n
-
问题,如何衡量则接受原假设 H0 。
机动 目录 上页 下页 返回 结束问题转化为 如何选择 k,用什么标准选择 k？
无论怎样选择 k 都可能犯两类错误：
为真时拒绝 第一类错误 （弃真）
不真时接受 第二类错误 （取伪）
显著性检验,只对犯第一类错误的概率加以控制，
而不考虑犯第二类错误的概率。
其中 α称为显著性水平
0H0H
0H0H
00|P H H拒 绝 为 真
N(0,1)
H0为真则拒绝 H0。
较大，如果 || 0x 。就怀疑 0
05.0,96.1055.2
8
102.5
108
570
2
Z
x例 1中，
故拒绝 H0.
用实际推断原理解释：
当 H0为真时,是一个小概率事件，
05.0,96.1055.2
8
102.5
108
570
2
Z
x
现在这个小概率事件在一次实验中发生了,所以有理由怀疑 H0的正确性，即否定 H0。
叙述成：
—— 双边假设检验
—— 右边检验
—— 左边检验假设检验四步：
1、建立假设； 2、构造统计量；
3、写出拒绝域； 4、计算统计量，进行判断。
0
/
xz
n
- 检验统计量
/2||zz 为拒绝域,/2z 为临界点机动 目录 上页 下页 返回 结束对于给定的显著水平 α，我们来求右边检验问题
0 0 1 0::HH的拒绝域。
2~ (,)XN总体,其中 σ已知,X?是 的无偏估计拒绝域形式为 xk?
00
00{ } { }
//
xkP x k P
nn
0
0{}
//
xkP
nn
机动 目录 上页 下页 返回 结束
~ ( 0,1 )
/
X N
n
-?
z?
0
/
k z
n?
- 0kz
n?
所以拒绝域为 0
/
xx k z z
n?
同理左边假设检验
0 0 1 0::HH
拒绝域为 0
/
xzz
n?
8.2 单个正态总体均值与方差的假设检验设总体
nXXX,,,21?
为 X的样本。
我们对 μ,σ 2作显著性检验一、总体均值 μ 的假设检验
1、已知 σ2，检验
00,H 01,H
统计量：
n
xZ
0 —— U 检验拒绝域,.||
2
0
z
n
xZ
,,00H 01,H
统计量：
n
xZ
0
拒绝域：
zZ?
—— 右边检验
,,00H 01,H
统计量：
n
xZ
0
拒绝域：
zZ
—— 左边检验某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的袋装糖当机器正常时,
某日开工后为检验包装机是否正常,
包装的糖 9袋,称得净重为 (公斤 ):
0.497 0.506 0.518 0.524 0.498
0.511 0.520 0.515 0.512
问机器是否正常?
例 2
重是一个随机变量 X,且其均值为 μ =0.5公斤,标准差 σ =0.015公斤,
随机地抽取它所
5.0:0H 5.0:1H
解,先提出假设
（?=0.05）
n
xZ
0统计量：
拒绝域,.||
2
0
z
n
xZ
代入计算，
96.12.2 2
0
Z
n
x
5 1 1.0)5 1 2.04 9 7.0(91x
,96.1025.0
2
ZZ?
常，认为包装机工作不正于是拒绝 0H
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3
0,4 0H 1,4 0H
解 先提出假设拒绝域为 zz
某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率 X 服从
，正常时均值为 μ =40
生产一批推进器，从中随机取 n = 25只，测得燃烧率得样本均值,问工艺革新后燃烧率正态分布，即 ),(~ 2NX
cm/s,标准差 σ =2cm/s（不变）,现用新的生产方法
（?=0.05）
4 1,2 5 /x c m s?
是否有显著的提高?
计算 0||| | 3,1 2 5
/
xz
n
-
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0,0 5 1,6 4 5zz
查表
zz
所以落在了拒绝域之内，拒绝 H0,接受 H1
认为工艺革新后燃烧率有显著的提高。
2、未知 σ2，检验
00,H 01,H
未知 σ2，可用样本方差 2
1
2 )(
1
1?
n
k
k XXnS
代替 σ2
0100,, HH
统计量：
ns
xT 0 —— T 检验拒绝域,)1(||
2
0 nt
ns
xT
,,00H 01,H
统计量：
ns
xT 0
拒绝域,)1( ntT
—— 右边检验
,,00H 01,H
统计量：
ns
xT 0
拒绝域,)1( ntT
—— 左边检验抽取 6件,得尺寸数据如下,
),,(~ 2NX 2?
32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03
问这批产品是否合格?
某工厂生产的一种螺钉,标准要求长度是 32.5毫米实际生产的产品其长度 X 假定服从正态分布,
未知,现从该厂生产的一批产品中解：
例 4
（? =0.01）
5.32:5.32,10 HH,
ns
xT 0统计量：
拒绝域,)1(||
2
0 nt
ns
xT
0 3 2 2.4)5()5( 0 0 5.0
2
tt?
9 9 7.2||?T
将数据代入计算，
0322.4?
，认为产品合格。所以接受 0H
(设温度 测量值 X服从正态分布,取?=0.05 )
解,提出假设 H0,?=112.6； H1,112.6
ns
xT 0
用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度,
重复测量 7次，测得温度 (℃):
112.0 113.4 111.2 112.0 114.5 112.9 113.6
而用某种精确办法测得温度为 112.6(可看作真值 ),
试问用热敏电阻测温仪间接测温有无系统偏差?
取统计量例 5
拒绝域,)1(||
2
0 nt
ns
xT
由样本算得
4 6 6.0|
7
1 3 5.1
6.1 1 28.1 1 2
||| 0T
接受 H0,即用热敏电阻测温仪间接测温无系统偏差。
22 1 3 5.18.1 1 2 sx
4 4 6 9.2)6(0 2 5.0?t
解,
ns
xT 0,统计量得 拒绝域为 T? t0.05(9)=1.8331
例 6 某厂生产镍合金线，其抗拉强度 X的均值为
10620 (kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取 10根,测得抗拉强度 (kg/mm2)为,10512,10623,
10668,10554,10776,10707,10557,10581,10666,
10670,认为,取?=0.05,问新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合金线抗拉强度要高?
0100,, HH,
8331.145.0
10
81
106204.10631
0
T
所以接受 H0。
代入计算，
正态总体均值的假设检验的检验均值单个总体一 ),(~,2NX
检验）的检验（已知，关于 Z 2.1
n
XZ
0
检验）的检验（未知，关于 t 2.2
0100,, HH
nS
XT 0
二、关于 σ2假设检验在显著性水平?条件下检验假设
2
021
2
020,, HH
其中 σ0是已知常数，
例 1 已知某种延期药静止燃烧时间 T,),(~ 2NT
今从一批延期药中任取 10副测得静止燃烧时间（单位秒）数据为 3804.1857.13836.14059.13405.1
3 4 2 4.14 0 2 1.13 7 8 9.14 0 5 3.13 7 6 0.1
问：是否可信这批延期药的静止燃烧时间 T的方差为
)05.0(.0 2 5.0 22
解,提出假设
221220 025.0:025.0, HH
提出假设由于 s 2集中了 σ2的信息，自然想用 s 2与 σ2进行比较如果 H0为真，
所以取统计量
2
0
2
2 )1(
sn
一般应该在 1附近摆动，
否则摆动很大。 )|(|
212
0
2
kks 或拒绝的标准就是
H0为真
)1(2?n?
)(2
2
n
2
yf
x
)(2
21
n
2
)1(2
2
1 nk )1(,
2
21
2 nk
即拒绝域为,)1()1( 2
21
22
2
2
nn 或本题 7.2)9()1( 2
975.0
2
21
n 0 2 3.19)9()1( 2 025.02
2
n
根据样本值算得 6 1 7 6.7
0 2 5.0
0 2 3.09
2
2
2
则接受 H0 。
可信这批延期药的静止燃烧时间 T的方差为显然机动 目录 上页 下页 返回 结束
2 2 2 20 0 1 0::HH双边假设检验拒绝域为
2
2
1 / 22
0
( 1 ) ( 1 )ns n
或 2 2
/22
0
( 1 ) ( 1 )ns n
由上例可得统计量机动 目录 上页 下页 返回 结束同理右边假设检验拒绝域左边假设检验拒绝域
2 2 2 20 0 1 0::HH
2 2 2 20 0 1 0::HH
2
2
12
0
( 1 ) ( 1 )ns n
2
2
2
0
( 1 ) ( 1 )ns n
统计量统计量
（? =0.05）
解,提出假设某次统考后随机抽查 26份试卷,测得平均成绩,
试分析该次考试成绩标准差是否为已知该次考试成绩取统计量例 2
查表根据样本值算得故接受 H0 。显然表明考试成绩标准差与 12无显著差异。
(?=0.05),熔化时间
8080 2120,，,HH
拒绝域为
2
0
2
2 9
σ
S统计量：
7.1380 8.12192 所以接受 H0
9 1 9.61)9()9( 05.0222 χχ
例 3 电工器材厂生产一批保险丝,取 10根测得其熔化时间 （ min） 为 42,65,75,78,59,57,68,54,55,71.
问是否可以认为这批保险丝合格？
),(~ 2NX
解以往合格的标准是融化时间的方差不大于 80，
<16.919
某学生参加体育培训班结束时其跳远成绩 X 近似例 4
服从正态分布，鉴定成绩是均值为 576cm，标准差为
8cm，若干天后对该学生独立抽查 10次，得跳远成绩数据为 578,572,580,568,572,570,572,570，
596,584，问该学生跳远成绩水平是否与鉴定成绩有显著差异？（ α=0.05）
解
1
11 0,5 7 6,2n
i
i
n x x
n?
2 2 2
1
1 ( ) 7 4,1 7 7 8
1
n
i
i
s x n x
n?
⑴ 提出假设取统计量查表
( 1 ) 2 2 2 ( 1 ) 2 20 0 1,8,8HH
2
2
2
( 1 )
8
nS
20.975 ( 9 ) 2,7 0 0 20,0 2 5 ( 9 ) 1 9,0 2 3
拒绝域为
2
2
2
9
8
s 9 7 4,1 7 7 8 1 0,4 3
64
其中
22 1 / 2 ( 1 )n或 22 /2 ( 1 )n
22,7 1 9,0 2 3由于即可以认为
,未落在拒绝域之内,故接受 H0 。
228
⑵ 提出假设取统计量查表
( 2 ) ( 2 )01,5 7 6,5 7 6HH
576
8/
XU
n
/ 2 0,0 2 5 1,9 6zz
拒绝域为
576||
8/
xU
n
5 7 6,2 5 7 6 0,0 7 9
8 / 1 0
其中
/2||Uz
0.079?
综合⑴与⑵,该生跳远成绩水平与鉴定成绩无显著差异,
因此未落在拒绝域之内,故接受 H0,即可以认为 576
8.3 两个正态总体均值与方差的假设检验
11,,nXX
设 为总体 2
11~ (,)XN
的一个样本
21,,nYY
222~ (,)YN的一个样本,X与 Y
相互独立。
为总体一、两个总体均值差 的假设检验
2212, 均为已知，1、
,,210H,,211H
统计量：
拒绝域,.||
2
zU?
,,210H,,211H
统计量：
拒绝域：
zU?
,,210H,,211H
统计量：
拒绝域：
zU
⒉ 未知,关于 的假设检验双边假设检验
0 1 2 1 1 2::HH
其中 δ为已知常数。
统计量
22
2 1 1 2 2
12
( 1 ) ( 1 )
2
n S n SS
nn?
左边假设检验右边假设检验故拒绝域为 / 2 1 2
12
| | ( 2 )
1 / 1 /
xyt t n n
s n n
12( 2 )t t n n
12( 2 )t t n n
0 1 2 1 1 2::HH
0 1 2 1 1 2::HH
拒绝域为拒绝域为注意,在关于 12 的假设检验中，通常 δ=0，
即检验 12 是否成立。
相互独立,从 X 中取 10个样本，
，问能否
218,0 4,0,0 2 0 4xS
12
例 1 假设总体认为
2212~ (,),~ (,),X N Y N X Y 与从 Y 中取 10个样本,227,9 4,0,0 8 2 5yS
？ （?=0.05）
解 提出假设 0 1 2 1 1 2,0,0HH
22212 未知故拒绝域为 / 2 1 2
12
| | ( 2 )
1 / 1 /
xyt t n n
s n n
计算
22
1299 0,2 2 7
18
sss
8,0 4 7,9 4| | 0,9 8 5
0,2 2 7 1 / 1 0 1 / 1 0
t
/ 2 1 2 0,0 2 5( 2 ) ( 1 8 ) 2,1 0 0 9t n n t0,9 8 5?
未落在拒绝域之内,接受 H0,可以认为 12
二、两个正态总体方差的假设检验均未知的条件下双边假设检验 2 2 2 20 1 2 1 1 2::HH
2 2 2
1 1 1
122 2 2
2 2 2
/ ~ ( 1,1 )
/
SSF F n n
SS
选取统计量
(当 H0 为真 )
故拒绝域为 22
1 2 / 2 1 2/ ( 1,1 )F S S F n n
或 22
1 2 1 / 2 1 2/ ( 1,1 )F S S F n n
左边假设检验右边假设检验
1 1 2( 1,1 )F F n n
12( 1,1 )F F n n
拒绝域为拒绝域为
2 2 2 20 1 2 1 1 2::HH
2 2 2 20 1 2 1 1 2::HH
例 2,设某种产品来自甲、乙两个厂家，为考察产品性能的差异，现从甲乙产品中分别抽取了 8件和 9件产品，
测其性能指标 X，得到两组数据，经对其作相应运算得
008.0,238.0,006.0,190.0 222211 sxsx
假定测定结果服从正态分布 ),2,1)(,(~ 2?iNX
ii
10.0)1(
2
2
2
1
条件下，能否认为在检验水平为加以说明。
的置信区间，并对结果的置信度为求 90%)2( 21
解,(1)检验假设 2 2 2 20 1 2 1 1 2::HH
统计量：
2
2
2
1
S
SF?
221 2 / 2 1 2/ ( 1,1 )F S S F n n
或 22
1 2 1 / 2 1 2/ ( 1,1 )F S S F n n
拒绝域：
由条件知，
,75.0008.0/006.0/,9,8 222121 SSFnn
查表得，,50.3)8,7()1,1(
05.0212/ FnnF?
,
73.3
1
)7,8(
1)8,7()1,1(
05.0
59.0212/1 FFnnF?
显然，
50,.375.073.3 1
,,22210H所以，接受原假设 即认为两总体方差相等。
（ 2）由 （ 1） 的结论知 但其值未知，,2
221
所以 的置信水平为 1-α的置信区间为12
22
2 1 1 2 2
12
( 1 ) ( 1 )
2
n S n SS
nn?
)11)2((
21
212/21 nnSnntXX w
代入数据计算，得到数字型的区间，分析。
确定原假设和备择假设的原则,
等号必须放在原假设里
