广东工业大学下页上页 返回第一章 概率论的基本概念
§ 1 随机试验
§ 2 样本空间,随机事件
§ 3 频率与 概率
§ 4 等可能概型（古典概型）
§ 5 条件 概率
§ 6 独立性广东工业大学下页上页 返回
在标准大气压下，水加热到 100° C必沸腾；
同性电荷必然互斥；
函数在间断点处不存在导数。
确定性现象的特征,条件完全决定结果。
人们通常将自然界或社会中出现的现象分成二类：
1,确定性的现象（必然现象） necessity,inevitability。
在一定条件下必然发生的现象称为 确定性现象,
例如：
§ 1 随机试验广东工业大学下页上页 返回人们通常将自然界或社会中出现的现象分成二类：
1,确定性的现象（必然现象） necessity,inevitability。
在一定条件下必然发生的现象称为 确定性现象,
2,非确性的现象（偶然现象） randomly,chance。
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象。
上抛一枚硬币,出现正面向上；
某商店某天某商品的销售量为 50件；
测试某厂某元件的寿命为 1000小时 （ 或尺寸大小 ） 。
非确定性现象的特征,条件不能完全决定结果。
§ 1 随机试验广东工业大学下页上页 返回不确定性现象都没有规律可循吗？
有部分非确定性现象在大量重复试验时,统计结果呈现例如,
现出一定的规律性。
在一瓶水内有许多水分子，每个水分子的运动存在着不定性，无法预言它在指定时刻的动量和方向,但大量水分子的平均活动却呈现出某种稳定性，如在一定的温度下，气体对器壁的压力是稳定的，呈现,无序中的规律,,
广东工业大学下页上页 返回不确定性现象都没有规律可循吗？
有部分非确定性现象在大量重复试验时,统计结果呈现例如,
现出一定的规律性。
一门火炮在一定条件下进行射击,个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差,但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性,如一定的命中率,一定的分布规律等等 。
广东工业大学下页上页 返回不确定性现象都没有规律可循吗？
上抛一硬币 10000次,
在一定条件下，进行大量观测会发现某种规律性。
出现正面向上的次数总是 5000次左右。
有部分非确定性现象在大量重复试验时,统计结果呈现例如,
现出一定的规律性。
广东工业大学下页上页 返回随机现象随机事件的发生具有偶然性,机遇性，在一次试验中，
可能发生，也可能不发生。但在大量重复试验中，随机现象常常表现出这样或那样的统计规律，称为 随机现象的统计规律性 。
在个别试验中其结果呈现出不确定性，但重复试验中其结果又具有一定的规律性的非确定性现象称为 随机现象 。
概率论与数理统计的 研究对象,随机现象的统计规律性广东工业大学下页上页 返回鉴于我们要研究的对象和任务（即随机现象的统计规律性），必需对研究对象进行试验或观察。
E1,抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。
E2,将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。
E3,某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。
E4,某出租车公司电话订车中心，记录一天内接到订车电话的次数。
E5,在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
例：
广东工业大学下页上页 返回这些试验都具有以下的特点：
⑴ 可以在相同的条件下重复地进行；
⑵ 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；
⑶ 进行试验之前不能确定哪一个结果会出现。
在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为 随机试验 (Random experiment)。简称 试验,用 E表示。
随机试验广东工业大学下页上页 返回
§ 2 样本空间,随机事件一、样本空间 (Sampling space)
１、样本空间：
把随机试验 E的所有可能结果组成的集合称为随机试验
E的 样本空间,记为 S（或?）。
２、样本点 (Sampling point):
样本空间的元素，即 E的每个可能的结果称为 样本点 。
常用 表示。e,?
３、有限样本空间,样本点个数有限无限样本空间,样本点个数无限广东工业大学下页上页 返回
E1,抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。
E2,将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。
E3,某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。
E4,某出租车公司电话订车中心，记录一天内接到订车电话的次数。
E5,在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
解,,出现正面”
“出现反面” (“T”)
(“H”)
},{1 THS?
E1:
例 请写出下面试验的样本空间,
有限样本空间广东工业大学下页上页 返回
E1,抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。
E2,将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。
E3,某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。
E4,某出租车公司电话订车中心，记录一天内接到订车电话的次数。
E5,在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
解,E2:,出现 0次”,“出现 1次”,“出现 2次”,“出现 3次”
或,0”,“1”,“2”,“3”
}3,2,1,0{2?S
例 请写出下面试验的样本空间,
有限样本空间广东工业大学下页上页 返回例 请写出下面试验的样本空间,
E1,抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。
E2,将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。
E3,某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。
E4,某出租车公司电话订车中心，记录一天内接到订车电话的次数。
E5,在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
解,E3,},,{3 平负胜?S
E4,},3,2,1,0{4S
E5,}0|{5 ttS
有限样本空间无限样本空间无限样本空间广东工业大学下页上页 返回
E6,上抛一枚硬币三次，观察正反面出现的情况。
E7,对目标进行射击，记录着弹点的位臵。
更多例子,
},|),{(7 DyxyxS
E8：掷两次骰子作为一次试验,观察两次试验结果。
（ H H H），（ T H H），（ H T H），（ T T H）
（ H H T），（ T H T），（ H T T），（ T T T） }{6?S
第一次有 6个可能的结果第二次也有 6个可能的结果将两次试验结果排序,则共有 36种可能的结果,
}6,5,4,3,2,1,|),{(8 yxyxS
广东工业大学下页上页 返回二、随机事件 （ Random event）
在实际问题中，面对一个随机试验，我们一般关心的是某些特定的事件是否发生。
（１）出租车公司可能关心的是：
“电话订车中心一天中接到订车电话数不超过 100”
如：
（２）灯泡采购员可能关心的是：
“灯泡的寿命大于 1000小时”
（３）在掷骰子中，赌徒关心的是掷两题骰子：
“出现的点数和大于 6”
广东工业大学下页上页 返回
１、随机事件（ Random event）,
在随机试验中,可能发生也可能不发生的事情称为 随机事件 。
２、随机事件的表示：
常用大写字母 A,B,C,… 表示。
（样本空间的子集称为 随机事件,简称为 事件 。）
3、事件发生当一次试验结果出现在这个集合时，即当一次试验结果
A 时，就称这次试验中 事件 Ａ 发生 。 否则称 Ａ 未发生。
即一次试验的结果为 时?
A 事件 Ａ 发生?
A 事件 Ａ 未发生?
广东工业大学下页上页 返回例 1 掷一颗骰子，观察出现的点数。
其样本空间 }6,5,4,3,2,1{?S
若掷骰子一次，出现点数３，则事件 Ａ 表示出现的是偶数点，即 }6,4,2{?A
事件 Ｂ 表示出现的是奇数点，即 }5,3,1{?B
由,B?3 故在这一次试验中，事件 Ｂ 发生了；
由,A?3 故在这一次试验中，事件 Ａ 没有发生。
若再掷骰子一次，出现点数６，则在这一次试验中事件 Ａ 发生了，而事件 Ｂ 未发生。
A 事件 Ａ 发生?
A 事件 Ａ 未发生?
广东工业大学下页上页 返回
4、必然事件每一次试验中必然会发生的事件。
S
５、不可能事件每一次试验中必然不会发生的事件。
６、基本事件试验的很一个可能结果都称为基本事件。
即只含有单个样本点的集合。
A 复合事件基本事件
ω
必然事件 S 样本空间由基本事件构成的事件广东工业大学下页上页 返回例：掷一颗骰子，观察出现的点数。
其样本空间 }6,5,4,3,2,1{?S
事件 Ａ 表示出现的是偶数点，即 }6,4,2{?A
事件 Ｂ 表示出现的是奇数点，即 }5,3,1{?B 复合事件复合事件事件 Ｃ 表示出现点数６，即 }6{?C 基本事件事件 D表示出现点数小于 10,必然事件事件 F表示出现点数大于 10,不可能事件广东工业大学下页上页 返回例 2 一个袋中装有大小相同的 3个白球和 2个黑球，现从中任取出一球，试写出样本空间、并用样本空间的子集表示下列事件：
解,设 1,2,3号球是白球,4,5号球是黑球
,摸出的是白球,,摸出的是白球或黑球,
,摸出的是红球,,摸出的是黑球,
,摸出的是 3号球,
,摸出的是白球,
,摸出的是白球或黑球,
4 51 2 3
,摸出的是红球,
}{ 号球取到第 ii
,摸出的是黑球,
,摸出的是 3号球,
样本空间
5,4,3,2,1?i
},,,,{ 54321S
},,{ 321
},,,,{ 54321
},{ 54
}{ 3
S?
A?
B?
C?
广东工业大学下页上页 返回三、事件间的关系与运算 （ Relation and operation of events）
有时候我们感兴趣的是一个较为复杂的事件，而直接研某些复杂事件，有时候比较复杂。此时，我们可以利用复杂事件与简单事件之间的联系，把较为复杂的事件分解为一些较简单的事件来研究。为此，我们先定义事件间的一些关系与运算。
１、事件的包含 (Inclusion relation)
如果事件 A发生时，事件 B一定发生。
,A 则 。）B（即若则称事件 B包含事件 A,记作
.BAAB 或即 Ａ 为 Ｂ
的子集。
B A
S
广东工业大学下页上页 返回
２、事件的相等 (equivalent relation)
若事件 A包含事件 B,而且事件 B包含事件 A,则称事件
A与事件 B相等,记作 A=B.
例１掷一颗骰子，观察出现的点数。
其样本空间 }6,5,4,3,2,1{?S
事件 Ａ 表示出现的是偶数点，即 }6,4,2{?A
事件 Ｂ 表示出现的是奇数点，即 }5,3,1{?B
事件 Ｃ 表示出现点数６，即 }6{?C
显然事件 Ｃ 发生，则事件 Ａ 一定发生,.AC?即广东工业大学下页上页 返回因,直径不合格,必然导致,产品不合格,
所以,产品合格,包含,直径合格,,
即有例２ 假如一个圆形零件合格定义为直径和高度都合格
A＝,直径合格,,Ｂ＝,高度合格,,
C＝,直径及高度合格,,D＝,产品合格,。
AD?
同理有 BD?
DC?
广东工业大学下页上页 返回
３、事件的积 (Product of events)
“二事件 Ａ,Ｂ 同时发生”也是一个事件，称为事件 Ａ
与事件 Ｂ 的积事件（交事件）。记为,BA?
BA? ｛ Ａ 发生且 Ｂ 发生｝ },|{ BA 且
A B
BA?
例２ 假如一个圆形零件合格定义为直径和高度都合格
A＝,直径合格,,Ｂ＝,高度合格,,
C＝,直径及高度合格,,D＝,产品合格,。
显然有 DBA
简记为 AB
广东工业大学下页上页 返回
４、互不相容（互斥）事件 (Incompatible events)
如果 A,B不能在同一次试验同时发生,则称 A,B为互不相容事件 (或称 A,B互斥 ） 。
则 AB为不可能事件,.AB即若事件 Ａ 与 Ｂ 互斥，
ABBA 互斥与两两互斥,若一些事件中任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的。
A B
互不相容事件的关系广东工业大学下页上页 返回
５、事件的并（和） (Union of events)
“二事件 Ａ,Ｂ 至少发生一个”也是一个事件，称为事件 Ａ 与事件 Ｂ 的并事件（和事件）。记为,BA?
BA? ｛ Ａ 发生或 Ｂ 发生｝ },|{ BA 或
BA?
例２ 假如一个圆形零件合格定义为直径和高度都合格
A＝,直径 不 合格,,Ｂ＝,高度 不 合格,,
C＝,直径及高度合格,,D＝,产品 不 合格,。
显然有 DBA
常将
BA? 简记为,BA?A B
广东工业大学下页上页 返回事件的交与并的推广
n
i
in AAAA
1
21
},,,{ 21 同时发生nAAA
n
i
iA
1
1
321
i
iAAAA },,,{ 321 同时发生?AAA
1i
iA
n
i
in AAAA
1
21
},,,{ 21 至少有一个发生nAAA
1
321
i
iAAAA },,,{ 321 至少有一个发生?AAA?
广东工业大学下页上页 返回
６、事件的差 (Difference of events)
,事件 A发生,但事件 B不发生,为一事件,称为 A与 B的差,
.BA?记为
}{ 不发生发生且 BABA }|{ BA 且
A B
S
BA?
例 3 从装有编号为 1到 10的球的袋中任取一球 。 记
A＝,取到球的编号为偶数,＝,2,4,6,8,10”,
B＝,取到的编号小于 8” ＝,1,2,3,4,5,6,7”,
则 Ａ － Ｂ =
={8,10}
“取到球的编号为偶数但不小于 8”
广东工业大学下页上页 返回
７,对立事件 (Opposite events)
“事件 Ａ 不发生”是一个事件，称为 Ａ 的 对立事件 （或逆事件 ）,.A记为
}{ 不发生AA? }|{ AS 且AS
A A
Ｂ 为 Ａ 的对立事件，当且仅当
AB)1(
SBA)2(
广东工业大学下页上页 返回对立事件与互斥事件的区别
S S
A B A B A?
A,B 对立A,B 互斥
, ABSBA 且?,AB
互 斥 对 立广东工业大学下页上页 返回
8、事件间的运算法则
（ 1）交换律,ABBA
ABBA
（ 2）结合律,)()( CBACBA
)()( CBACBA
（ 3）分配律,)()()( CABACBA
)()()( CABACBA
BABA（ 4）摩根律（对偶律）：
BABA
广东工业大学下页上页 返回例 4 设 A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件用 A,B,C表示出来,
(1) 事件,A,B 都发生,但 C不发生,;
(3) 事件,A,B,C中恰有两个发生,;
(2) 事件,A,B,C都发生,;
(4) 事件,A,B,C中至少有两个发生 ;
(5) 事件,C发生，但 A,B均不发生,
CAB
ABC
CABCBABCA
CABCAB A B CCABCBABCA或
CBA
广东工业大学下页上页 返回例 4 设 A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件用 A,B,C表示出来,
(7) 三事件至少有一件发生
CBA
(6) 事件,A,B,C中有不多于一个事件发生,
CBACBACBACBA或 CCBBA
CBA
CBACBACBA CABCBABCA ABC?
法一,法二,
法三,
法四,
A
C
B法三,分为互不相容的七事件的和
C
BA
法四,分为三互不相容事件的和
CBABAA
广东工业大学下页上页 返回
ABAAB )(?
ABAAB )(?
ABBA )(?
AAS
S?
分配律例 5 运用事件的运算关系证明等式
SABAAB )(
证明,由 有 BABA
广东工业大学下页上页 返回例 6 设 A,B为两个随机事件,且,则BAABBAAB
广东工业大学下页上页 返回
P32 2
广东工业大学下页上页 返回随机事件在一次试验中有可能发生也可能不发生，但多次重复时，会发现有的事件发生多些，有的少些，这数量上的区别反映了随机事件的内在的一种规律。
§ 3 频率与概率我们常常希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性究竟有多大？
怎样来刻划事件发生的可能性大小呢？
我们希望找一个 合适的数 来表征事件在一次试验中发生的可能性大小。
为此，我们先引入频率（描述事件发生的频繁程度），
进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数,概率。
广东工业大学下页上页 返回一,频率的定义 (Frequency)
１、定义设 E为任一随机试验,A为其中任一事件，在相同条件下，把 E独立的重复做 n次,表示事件 A在这 n次试验中出现的次数 (称为 频数 )。比值 称为事件 A在这 n次试验中出现的 频率 (Frequency).
nnA/
An
记为 nnAf An?)().(Afn 即
２、频率的性质
（１）非负性,1)(0 Af n
（２）规范性,1)(?Sf n
)()()()( 2121 knnkn AfAfAfAAAf
（３）有限可加性,若事件 两两互不相容，则 kAAA,,,21?
广东工业大学下页上页 返回一,频率的定义 (Frequency)
１、定义设 E为任一随机试验,A为其中任一事件，在相同条件下，把 E独立的重复做 n次,表示事件 A在这 n次试验中出现的次数 (称为 频数 )。比值 称为事件 A在这 n次试验中出现的 频率 (Frequency).
nnA/
An
记为 nnAf An?)().(Afn 即
３、频率的稳定性实践证明：
当试验次数 n增大时,随机事件的频率 逐渐趋向稳定 。)(Afn
广东工业大学下页上页 返回实例 将一枚硬币抛掷 5 次,50 次,500 次,各做 7 遍,观察正面出现的次数及频率,
数 据 波 动 较 大试验序号
5?n
An f
1
2
3
4
5
6
7
2
31
5
1
2
4
An f
50?n
22
25
21
25
24
18
27
An
500?n
251
249
256
247
251
262
258
0.4
0.6
0.2
1.0
0.2
0.4
0.8
0.44
0.50
0.42
0.48
0.36
0.54
f
0.502
0.498
0.512
0.494
0.524
0.516
0.50
0.502
表明：随着 n的增加,事件的频率将呈现出稳定性,稳定于 0.5。
波动最小
0.5n=50
n=500
f5(A)
f50(A)
f500(A)
n=5
广东工业大学下页上页 返回历史上的掷硬币试验试验者 抛掷次数 n 正面出现次数 m 正面出现频率 m/n
德,摩尔根 2048 1061 0.518
蒲丰 4040 2048 0.5069
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
维尼 30000 14994 0.4998
的增大n,
2
1
稳定于
)(Afn
广东工业大学下页上页 返回设有随机试验 E，若当试验的次数充分大时，事件 A发生的频率稳定在某数 p附近摆动，则称数 p为事件 A发生的概率
(Probability),记为：
(1) 频率的稳定性是概率的经验基础，但并不是说概率决定于经验,一个事件发生的概率完全决定于事件本身的结构,指试验条件,是先于试验而客观存在的,
(2) 概率的统计定义只是描述性的。
4、概率的统计定义
5、概率的统计定义的几点说明
(3) 通常只能在充分大时，事件出现的频率才作为事件概率的近似值。
pAP?)(
广东工业大学下页上页 返回二,概率的公理化定义设 E是随机试验,S为它的样本空间。对于 E的每一事件 A赋于一个实数，记为 P(A)，称为事件 A的概率，如果集合函数 P(A)满足下列条件：
（ 1） 非负性,对任一事件 A,有
（ 2） 规范性,对必然事件 S,有
0)(?AP
1)(?SP
（ 3） 可列可加性,,,,,,21 两两不相容若事件 kAAA
即对,,2,1,,, jiAAji ji?则有
)()()()( 2121 kk APAPAPAAAP
1、定义广东工业大学下页上页 返回
2、概率的性质
（ 1） 0)(P
（ 2） 有限可加性 若 两两不相容，则有 nAAA,,,21?
)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP
（ 3） ),()()(,APBPABPBA 则有若 ).()( APBP?且有
B
S
AB?A
证明,由 知,BA? )( ABAB
又 )( ABA?
于是,由有限可加性,有
)]([)( ABAPBP )()( ABPAP
即有 )()()( APBPABP
由非负性 0)()()( APBPABP 即有 )()( APBP?
广东工业大学下页上页 返回
2、概率的性质
（ 1） 0)(P
（ 2） 有限可加性 若 两两不相容，则有 nAAA,,,21?
)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP
（ 3） ),()()(,APBPABPBA 则有若 ).()( APBP?且有
（ 4） 减法公式 对任意两事件 A,B，有
)()()( ABPBPABP
B
S
ABA AB?
证明,易知,)()( ABABB又 )()( ABAB?
于是，由有限可加性有
)]()[()( ABABPBP )()( ABPABP
即有 )()()( ABPBPABP
广东工业大学下页上页 返回
2、概率的性质
（ 1） 0)(P
（ 2） 有限可加性 若 两两不相容，则有 nAAA,,,21?
)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP
（ 3） ),()()(,APBPABPBA 则有若 ).()( APBP?且有
（ 4） 减法公式 对任意两事件 A,B，有
)()()( ABPBPABP
（ 5）对任意事件 A，有 1)(0 AP
证明,由 有 SA
即
)()()( SPAPP
1)(0 AP
广东工业大学下页上页 返回
2、概率的性质
（ 1） 0)(P
（ 2） 有限可加性 若 两两不相容，则有 nAAA,,,21?
)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP
（ 3） ),()()(,APBPABPBA 则有若 ).()( APBP?且有
（ 4） 减法公式 对任意两事件 A,B，有
)()()( ABPBPABP
（ 5）对任意事件 A，有 1)(0 AP
证明,由 有 SAAAA,?
即
)(1 SP?
)(1)( APAP（ 6）对任意事件 A,有
)( AAP )()( APAP
)(1)( APAP
广东工业大学下页上页 返回
).()()()( ABPBPAPBAP
（ 7）加法公式 对任意两事件 A,B有
BA
S B AB?
如图所示
BA? )( ABBA
有
)]([)( ABBAPBAP )()( ABBPAP
)()()( ABPBPAP
注意到 与 不相容以及,A ABB? BAB?
即 )()()()( ABPBPAPBAP 证毕。
证明广东工业大学下页上页 返回
（ 8）加法公式的推广（三个的情形）
对三个事件,有,CBA,,
)()()()()( ABPCPBPAPCBAP
)()()( ABCPBCPACP
A
BC
ABAC
S
BC
ABC
如图对事件概率的量度好比对事件所对应的集合的面积计算！
广东工业大学下页上页 返回
)( 21 nAAAP
nji
ji
n
i
i AAPAP
11
)()(
).()1()( 211
1 n
n
nkji kji
AAAPAAAP
对 n 个事件 有,,,,21 nAAA?
（ 9）加法公式的推广（任意 n个的情形）
广东工业大学下页上页 返回例 1 已知,6.0)(,3.0)(,4.0)( BAPBPAP?试求 ).( BAP
ABABABA
解,由事件的运算关系,知由,AAB? 有 )()()()( ABPAPABAPBAP
利用
)()()()( BAPBPAPABP
6.03.04.0 1.0?
于是 )()()( ABPAPBAP
1.04.0 3.0?
)()()()( ABPBPAPBAP
有广东工业大学下页上页 返回例 2（ 92） 已知,41)()()( CPBPAP,0)(?ABP
,161)()( BCPACP 求事件 全不发生的概率？CBA,,
解,所求概率
)( CBAP )(1 CBAP )(1 CBAP
又
)( CBAP )()()()( ABPCPBPAP
)()()( ABCPBCPACP
4
1
4
1
4
1
16
1
16
10 0?
8
5?
从而所求概率,83)(?CBAP
广东工业大学下页上页 返回例 3（ 94） 已知 是两个事件满足条件,且BA,)()( BAPABP?
,)( pAP? 则 。)(BP
解,)()( BAPBAP
)()()(1 ABPBPAP
由
)()( BAPABP?
有
1)()( BPAP
于是
)(1)( APBP
)(1 BAP
p?1
广东工业大学下页上页 返回例 4 设 A,B为两个随机事件,则一定有
(A) (B)
(C) (D)
1)( BAP 0)( BAP
1)(0 BAP )(1)( ABPBAP
广东工业大学下页上页 返回广东工业大学下页上页 返回
§ 4 等可能概型（古典概型）
E1,抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。
E2,掷一颗骰子，观察出现的点数。
例共同特点,（ 1）每次试验只有有限个结果；
（ 2）每个结果出现的可能性相同。
定义,如果一个随机试验 E具有以下特征
1、试验的样本空间中仅含有有限个样本点；
2、每个样本点出现的可能性相同。
则称 具有上述特性的概型为 古典概型（等可能概型） 。
讨论相应的概率问题称为 古典概型 问题。
)()()( 21 nPPP
},,,,{ 21 nS
广东工业大学下页上页 返回古典概型中事件概率的计算：
},,,,{ 21 nS设样本空间 )()()( 21 nPPP
于是 )()(1 21 nPSP
)()()( 21 nPPP
)( inP
从而对于每一个基本事件，有 nP i 1)(
设事件 A包含有 k个基本事件,},,,{
21 kiiiA
有 )()(
21 kiiiPAP
)()()( 21 kiii PPP
n
k?
中的样本点数中所含的样本点数
S
A?
（利用有限可加性）
广东工业大学下页上页 返回古典概型中事件概率的计算：
中的样本点数中所含的样本点数
S
A
n
kAP)(
几点说明：
1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件,
2、“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点的出现是等可能的,
试验的基本事件总数的有利场合数A?
广东工业大学下页上页 返回例 将一枚硬币上抛三次，设事件 A=“恰有一次出现正面”，
B=“至少有一次出现正面”,求 A,B的概率。
{(HHH),(HHT),(HTH),(HTT),(THH),(THT),(TTH),(TTT)}
解,样本空间为
S
3
8?() PA
于是 7
8?() PB
注：上例中,将一枚硬币上抛三次,观察正面向上的次数,
S＝ { 0,1,2,3},记 Ai＝,正面出现 i 次,
则 P(A0)＝ 1/8,P(A1)＝ 3/8,P(A2)＝ 3/8,P(A3)＝ 1/8
所以以 Ai作为基本事件,则非等可能概型 。
广东工业大学下页上页 返回例 1 一部四卷文集，按任意次序排列在一级书架上，问各册自右至左或自左至右恰成 1,2,3,4顺序的概率是多少？
解,样本点为四卷书书号的任一可能的排列，
总数 n=4× 3× 2× 1
A的有利场合数（ A包含的样本点数）为 2
1 2 3 4,4 3 2 1
12
1
!4
2)(AP
概率论与数理统计广东工业大学下页上页 返回例 2 一口袋装有 6只球,其中 4只白球,2只红球,从袋中取球两次,每次随机地取一只,考虑两种取球方式：
(a) 放回抽样,第一次取一只,观其颜色后放回,搅匀后再取一只,
(b) 不放回抽样,第一次取一球不放回,第二次从剩余的球中再取一球,
试分别就上面两种情况求,
（ 1）取到的两只球都是白球的概率；
（ 2）取到的两只球颜色相同的概率；
（ 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
解,
(a) 放回抽样,从袋中任取两球,总的取法为 3666
设 A={取到的两只球都是白球 } B={取到的两只球都是红球 }
C={取到的两球中至少有一只白球 } D={取到的两只球颜色相同 }
则显然有,BAD
取到的两只球都是白球的取法为 1644
于是 943616)(AP
取到的两只球都是红球的取法为 422
9
1
36
4)(BP
BC?
广东工业大学下页上页 返回例 2 一口袋装有 6只球,其中 4只白球,2只红球,从袋中取球两次,每次随机地取一只,考虑两种取球方式：
(a) 放回抽样,第一次取一只,观其颜色后放回,搅匀后再取一只,
(b) 不放回抽样,第一次取一球不放回,第二次从剩余的球中再取一球,
试分别就上面两种情况求,
（ 1）取到的两只球都是白球的概率；
（ 2）取到的两只球颜色相同的概率；
（ 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
解,
(a) 放回抽样,
设 A={取到的两只球都是白球 } B={取到的两只球都是红球 }
C={取到的两球中至少有一只白球 } D={取到的两只球颜色相同 }
则显然有,BAD BC?
9
4
36
16)(AP
9
1
36
4)(BP
又因,AB 从而有 )()( BAPDP )()( BPAP 95?
)(1)()( BPBPCP 98?
广东工业大学下页上页 返回例 2 一口袋装有 6只球,其中 4只白球,2只红球,从袋中取球两次,每次随机地取一只,考虑两种取球方式：
(a) 放回抽样,第一次取一只,观其颜色后放回,搅匀后再取一只,
(b) 不放回抽样,第一次取一球不放回,第二次从剩余的球中再取一球,
试分别就上面两种情况求,
（ 1）取到的两只球都是白球的概率；
（ 2）取到的两只球颜色相同的概率；
（ 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
解,
(b) 不放回抽样,从袋中任取两球,总的取法为 3056
设 A={取到的两只球都是白球 } B={取到的两只球都是红球 }
C={取到的两球中至少有一只白球 } D={取到的两只球颜色相同 }
则显然有,BAD
取到的两只球都是白球的取法为 1234
于是 523012)(AP
取到的两只球都是红球的取法为 212
15
1
30
2)(BP
BC?
广东工业大学下页上页 返回例 2 一口袋装有 6只球,其中 4只白球,2只红球,从袋中取球两次,每次随机地取一只,考虑两种取球方式：
(a) 放回抽样,第一次取一只,观其颜色后放回,搅匀后再取一只,
(b) 不放回抽样,第一次取一球不放回,第二次从剩余的球中再取一球,
试分别就上面两种情况求,
（ 1）取到的两只球都是白球的概率；
（ 2）取到的两只球颜色相同的概率；
（ 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
解,
(b) 不放回抽样,
设 A={取到的两只球都是白球 } B={取到的两只球都是红球 }
C={取到的两球中至少有一只白球 } D={取到的两只球颜色相同 }
则显然有,BAD
5
2
30
12)(AP
15
1
30
2)(BP
又因,AB 从而有 )()( BAPDP )()( BPAP 157?
)(1)()( BPBPCP 1514?
BC?
广东工业大学下页上页 返回
n
10=
3
4有 种 取 法 ;
1
例 3 有 10个外观相同的电阻，其电阻分别是 1欧,2欧,…10
欧,现从中任意取出 3个，希望一个电阻值小于 5欧，一个等于 5
欧,一个大于 5欧，问一次抽取就能达到要求的概率,
解：样本点为从 10个不同电阻中任取三个的组合样本空间总数为计算有利场合数：
有利场合数为构成一个有利场合可分三个步骤：
第一步，从小于 5欧的电阻值中任取出一个，
5有 种 取 法 ;
1
有 1种 取 法 ;
4 1 5
1 1 1
1
()
6
PA
4 1 5
1 1 1
10
3
事件 A
第二步，从等于 5欧的电阻值中任取出一个 ;
第三步，从大于 5欧的电阻值中任取出一个 ;
广东工业大学下页上页 返回
1
6
r 2
3
45
1 2 3 … n-1 n
例 4 将 r个球臵于 n个箱中（每个球以 1/n的概率被臵入某一特定箱中）,若 n≥ r,试求任一箱内的球数均不超过 1的概率。
解：先计算样本空间总数第一个球臵于一箱中，
共有 n种放法 ;
相继将每一个球臵于一箱中都有 n种放法；
1 1 1 1 1 11 1
这样放完 r个球构成一个可能的结果（样本点），
再计算有利场合数：
第一个球臵于一箱中，共有 n种放法 ;
第二个球由于不能放到第一个球所在箱，所以只有 n-1种放法
… 第 r个球不能放到前 r-1个球所在箱，所以只有 n-r+1种放法有利场合数由乘法原理,r个球的不同的放法有 rnnnn
rnArnnn )1()1(?
r
r
n
n
AAP?)(
)!(
!
rnn
n
r于是广东工业大学下页上页 返回许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：
有 n个人，设每个人的生日是任一天的概率为 1/365,
求这 n (n ≤365) 个人没有两个人的生日相同（ n人生日互不相同）的概率,
人任一天可计算当 n=40时,P＝ 0.109
我敢打睹，我们班至少有两人生日在同一天！
)!(
!)(
rnn
n
n
AAP
rr
r
n
根据上公式得 )!365(365 !365 nP n
广东工业大学下页上页 返回许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：
有 n个旅客，乘火车途经 N个车 站，设每个人在每站下车的概率为 1/ N(N ≥ n),求指定的 n个站各有一人下车的概率,
旅客车站某城市每周发生 7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同,
求每天恰好发生一次车祸的概率,
车祸天
)!(
!)(
nNN
N
N
AAP
nn
n
N
)!77(7
!7
7)( 77
7
7
AAP
77
!7?
广东工业大学下页上页 返回
1 2 3 … k…,.,a+b
例 5 袋中有大小相同的 a 个黄球,b 个白球．现将球从袋中一一随机摸出来，试求第 k 次摸出的球是黄球的概率．
1
1 3
a
2
3
4
b2
解法一,认为球是不相同的（可辩的），
黄球编号为 1~ a,白球编号为 1~ b
设样本点为：依次取出的 a+b个球的排列样本点总数为,(a+b)!
事件 A
构成 A的有利场合分两步：
从 a个黄球中任取出一个放到第 k个位臵,有 a种方式
11 3a 234 b2 …
第 k个位臵其余 a＋ b-1个位臵是 (a+b-1)个球的任意排列,有 (a+b-1)!种方式
a4 b2
A的有利场合数为,a(a+b-1)!
1( ) !
( ) !
a a b aP
a b a b
故广东工业大学下页上页 返回例 5 袋中有大小相同的 a 个黄球,b 个白球．现将球从袋中一一随机摸出来，试求第 k 次摸出的球是黄球的概率．
事件 A
1 2 3 … k…,.,a+b
ab
a
1
1 3
a
2
3
4
b2
解法二,认为黄球及白球分别是没有区别的（不可辩的）
总数：
构成 A的有利场合分两步：
从 a个黄球中任取出一个放到第 k个位臵,有 1种方式
11 3a 234 b2 …
第 k个位臵其余 a＋ b-1个位臵是（ a-1）个黄球和 b个白球的两类排列，
把依次取出的 a+b个球成一列样本点为：两类元素 (a个黄球和 b个白球 ) 的排列
1
1
ab
a a
P
ab ab
a
有 种方式11aba
广东工业大学下页上页 返回例 6 设 100件产品中有 5件次品,现从中任意抽出 3件，求恰有 2件是次品被抽出的概率,
解法一：设样本点为从 100件产品抽出 3件的组合
()
M N M
k n k
PA
N
n
正品 95
M件次品
100件产品
A
100
3
总数：
构成 A的有利场合分两步：
从 5件次品中抽出 2件，
从 95件正品中抽出 3件
2
5
种 方 式
95
1
种 方 式
5 95
21
()
100
3
PA
N件产品次品 5件次品 M件正品 N-M
广东工业大学下页上页 返回例 6 设 100件产品中有 5件次品,现从中任意抽出 3件，求恰有 2件是次品被抽出的概率,
这是一种无放回抽样情形，
有放回抽样时 P(A)=？
解法二：设样本点为从 100件产品抽出 3件的排列
M件次品
A
总数：
构成 A的有利场合分两步：
先确定正品次品的位臵 (即两类元素 (一个正品和两个次品 )的排列问题 )，
正品从 95件中取出一件有
3
2
种 方 式
95种 方 式
3
9 5 5 4
2()
1 0 0 9 9 9 8
PA
1 2 3
第一件次品从 5件中取出一件 5种 方 式第二件次品从 4件中取出一件 4种 方 式能用组合作为样本点吗？
正品 95
100件产品次品 5件
98991 0 0
广东工业大学下页上页 返回例 7 在 1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被 6整除,又不能被 8整除的概率是多少?
广东工业大学下页上页 返回例 8 把 C,C,E,E,I,N,S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，求排列结果恰好拼成一个英文单词的概率,C IS N C EE
拼成英文单词 SCIENCE 的情况数 (有利场合数）为故该结果出现的概率为：
这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：
如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在 1260
次试验中大约出现 1次,
2 2 4
解：七个字母的排列总数为 7！
41 = 0 0 0 0 7 9
7 1 2 6 0,!p
广东工业大学下页上页 返回这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术,
具体地说，可以 99.921%的把握怀疑这是魔术,（错误的概率是 0.00079）
小概率事件通常可以构成一个假设检验的依据，通常假定某,假设 H”为真，在该前提下建立一小概率事件，如果在一次试验中该小概率事件发生，则判断该
,假设 H”不真。这是概率统计中假设检验的基本原理。
实际推断原理,小概率事件在一次试验中实际上几乎是不会发生的。
上推断过程是：
假设 H：设取到每一张牌的可能性相等假设 H不真，即认为抽到每一张牌的可能性不相等小概率事件发生
C IS N C EE
一次试验排列结果恰好拼成一个英文单词，我认为这是魔术！
广东工业大学下页上页 返回例 9 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知所有这 12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的?
分析,假设接待站的接待时间没有规定,即各来访者在一周中任一天去接待站是等可能的,
那么,12次来访者都是在周二和周四的概率为
12
12
7
2 0 0 0 0 0 0 3.0?
由实际推断原理,有理由怀疑假设的正确性,从而推断接待站不是每天都接待来访者,即认为其时间是有规定的,
广东工业大学下页上页 返回几何概型 (Geometric probability)
把古典概型推广到无限个样本点又具有,等可能,场合,
人们引入了几何概型,由此形成了确定概率的另一方法 ——
几何方法,
如果一个试验具有以下两个特点：
1、样本空间 Ω是一个大小可以计量的几何区域（如线段、
那么，事件 A的概率由下式计算：
研究相应的概率问题为 几何概型问题
2、向区域内任意投一点，落在区域内任意点处都是“等可平面、立体）；
能的”。
()
APA?
的的测度测度广东工业大学下页上页 返回那么 0 2 4 0 2 4,.xy
当两船相会时所求的事件发生
0 < 6yx,
甲、乙两船 将在同一天的 0点到 24点之间随机地到达码头，设该码头只有一个泊位,若甲先到，需停靠 6小时后才离开码头，若乙先到，则要停靠 8小时后才离开码头。问这两船中有船需等候泊位空出的概率？
例 10 会面问题解,
2 2 2
2
124 ( 18 16 )
2()
24PA
设甲船、乙船到达码头的时间分别是 x 和 y.
两船到码头时刻，相当于向方形区域内投点
24
24
x
y
0
即乙比甲晚到 6小时或甲比乙晚到 8小时 0 < 8xy,
即 A发生 (,) { 0 < 6 0 < 8 }x y y x x y6
8
4965.0?
广东工业大学下页上页 返回例 11 在长为 l 的线段 AD中任取两点 B,C,将 AD分成三折线，
试求此三折线能构成三角形的概率？
解,设线段被分成的三段长分别为 x,y 和 l – x - y,则样本空间
0,0 yx lyx 所构成的图形，为由 及 其面积
o x
y
2
2
1 lS
A OB
A
B
x,y 和 l – x - y 可以构成三角形，由两
,20 lx,20 ly 20 lyxl
边之和大于第三边，即有即,20 lx,
20
ly lyxl
2
)2,0( lC
)0,2(lD
E
构成三角形 DCE,其面积为,)2(21 2lS D CE 于是，由几何概型
22
2
1)
2(2
1)( llAP?的概率计算公式有
4?
广东工业大学下页上页 返回例 12 随机地向半圆 （ a为正常数）内掷一点，
点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与 x轴的夹角小于 的概率？
220 xaxy
4?
广东工业大学下页上页 返回
§ 1 随机试验
§ 2 样本空间,随机事件
§ 3 频率与 概率
§ 4 等可能概型（古典概型）
§ 5 条件 概率
§ 6 独立性广东工业大学下页上页 返回
在标准大气压下，水加热到 100° C必沸腾；
同性电荷必然互斥；
函数在间断点处不存在导数。
确定性现象的特征,条件完全决定结果。
人们通常将自然界或社会中出现的现象分成二类：
1,确定性的现象（必然现象） necessity,inevitability。
在一定条件下必然发生的现象称为 确定性现象,
例如：
§ 1 随机试验广东工业大学下页上页 返回人们通常将自然界或社会中出现的现象分成二类：
1,确定性的现象（必然现象） necessity,inevitability。
在一定条件下必然发生的现象称为 确定性现象,
2,非确性的现象（偶然现象） randomly,chance。
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象。
上抛一枚硬币,出现正面向上；
某商店某天某商品的销售量为 50件；
测试某厂某元件的寿命为 1000小时 （ 或尺寸大小 ） 。
非确定性现象的特征,条件不能完全决定结果。
§ 1 随机试验广东工业大学下页上页 返回不确定性现象都没有规律可循吗？
有部分非确定性现象在大量重复试验时,统计结果呈现例如,
现出一定的规律性。
在一瓶水内有许多水分子，每个水分子的运动存在着不定性，无法预言它在指定时刻的动量和方向,但大量水分子的平均活动却呈现出某种稳定性，如在一定的温度下，气体对器壁的压力是稳定的，呈现,无序中的规律,,
广东工业大学下页上页 返回不确定性现象都没有规律可循吗？
有部分非确定性现象在大量重复试验时,统计结果呈现例如,
现出一定的规律性。
一门火炮在一定条件下进行射击,个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差,但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性,如一定的命中率,一定的分布规律等等 。
广东工业大学下页上页 返回不确定性现象都没有规律可循吗？
上抛一硬币 10000次,
在一定条件下，进行大量观测会发现某种规律性。
出现正面向上的次数总是 5000次左右。
有部分非确定性现象在大量重复试验时,统计结果呈现例如,
现出一定的规律性。
广东工业大学下页上页 返回随机现象随机事件的发生具有偶然性,机遇性，在一次试验中，
可能发生，也可能不发生。但在大量重复试验中，随机现象常常表现出这样或那样的统计规律，称为 随机现象的统计规律性 。
在个别试验中其结果呈现出不确定性，但重复试验中其结果又具有一定的规律性的非确定性现象称为 随机现象 。
概率论与数理统计的 研究对象,随机现象的统计规律性广东工业大学下页上页 返回鉴于我们要研究的对象和任务（即随机现象的统计规律性），必需对研究对象进行试验或观察。
E1,抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。
E2,将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。
E3,某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。
E4,某出租车公司电话订车中心，记录一天内接到订车电话的次数。
E5,在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
例：
广东工业大学下页上页 返回这些试验都具有以下的特点：
⑴ 可以在相同的条件下重复地进行；
⑵ 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；
⑶ 进行试验之前不能确定哪一个结果会出现。
在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为 随机试验 (Random experiment)。简称 试验,用 E表示。
随机试验广东工业大学下页上页 返回
§ 2 样本空间,随机事件一、样本空间 (Sampling space)
１、样本空间：
把随机试验 E的所有可能结果组成的集合称为随机试验
E的 样本空间,记为 S（或?）。
２、样本点 (Sampling point):
样本空间的元素，即 E的每个可能的结果称为 样本点 。
常用 表示。e,?
３、有限样本空间,样本点个数有限无限样本空间,样本点个数无限广东工业大学下页上页 返回
E1,抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。
E2,将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。
E3,某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。
E4,某出租车公司电话订车中心，记录一天内接到订车电话的次数。
E5,在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
解,,出现正面”
“出现反面” (“T”)
(“H”)
},{1 THS?
E1:
例 请写出下面试验的样本空间,
有限样本空间广东工业大学下页上页 返回
E1,抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。
E2,将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。
E3,某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。
E4,某出租车公司电话订车中心，记录一天内接到订车电话的次数。
E5,在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
解,E2:,出现 0次”,“出现 1次”,“出现 2次”,“出现 3次”
或,0”,“1”,“2”,“3”
}3,2,1,0{2?S
例 请写出下面试验的样本空间,
有限样本空间广东工业大学下页上页 返回例 请写出下面试验的样本空间,
E1,抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。
E2,将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。
E3,某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。
E4,某出租车公司电话订车中心，记录一天内接到订车电话的次数。
E5,在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
解,E3,},,{3 平负胜?S
E4,},3,2,1,0{4S
E5,}0|{5 ttS
有限样本空间无限样本空间无限样本空间广东工业大学下页上页 返回
E6,上抛一枚硬币三次，观察正反面出现的情况。
E7,对目标进行射击，记录着弹点的位臵。
更多例子,
},|),{(7 DyxyxS
E8：掷两次骰子作为一次试验,观察两次试验结果。
（ H H H），（ T H H），（ H T H），（ T T H）
（ H H T），（ T H T），（ H T T），（ T T T） }{6?S
第一次有 6个可能的结果第二次也有 6个可能的结果将两次试验结果排序,则共有 36种可能的结果,
}6,5,4,3,2,1,|),{(8 yxyxS
广东工业大学下页上页 返回二、随机事件 （ Random event）
在实际问题中，面对一个随机试验，我们一般关心的是某些特定的事件是否发生。
（１）出租车公司可能关心的是：
“电话订车中心一天中接到订车电话数不超过 100”
如：
（２）灯泡采购员可能关心的是：
“灯泡的寿命大于 1000小时”
（３）在掷骰子中，赌徒关心的是掷两题骰子：
“出现的点数和大于 6”
广东工业大学下页上页 返回
１、随机事件（ Random event）,
在随机试验中,可能发生也可能不发生的事情称为 随机事件 。
２、随机事件的表示：
常用大写字母 A,B,C,… 表示。
（样本空间的子集称为 随机事件,简称为 事件 。）
3、事件发生当一次试验结果出现在这个集合时，即当一次试验结果
A 时，就称这次试验中 事件 Ａ 发生 。 否则称 Ａ 未发生。
即一次试验的结果为 时?
A 事件 Ａ 发生?
A 事件 Ａ 未发生?
广东工业大学下页上页 返回例 1 掷一颗骰子，观察出现的点数。
其样本空间 }6,5,4,3,2,1{?S
若掷骰子一次，出现点数３，则事件 Ａ 表示出现的是偶数点，即 }6,4,2{?A
事件 Ｂ 表示出现的是奇数点，即 }5,3,1{?B
由,B?3 故在这一次试验中，事件 Ｂ 发生了；
由,A?3 故在这一次试验中，事件 Ａ 没有发生。
若再掷骰子一次，出现点数６，则在这一次试验中事件 Ａ 发生了，而事件 Ｂ 未发生。
A 事件 Ａ 发生?
A 事件 Ａ 未发生?
广东工业大学下页上页 返回
4、必然事件每一次试验中必然会发生的事件。
S
５、不可能事件每一次试验中必然不会发生的事件。
６、基本事件试验的很一个可能结果都称为基本事件。
即只含有单个样本点的集合。
A 复合事件基本事件
ω
必然事件 S 样本空间由基本事件构成的事件广东工业大学下页上页 返回例：掷一颗骰子，观察出现的点数。
其样本空间 }6,5,4,3,2,1{?S
事件 Ａ 表示出现的是偶数点，即 }6,4,2{?A
事件 Ｂ 表示出现的是奇数点，即 }5,3,1{?B 复合事件复合事件事件 Ｃ 表示出现点数６，即 }6{?C 基本事件事件 D表示出现点数小于 10,必然事件事件 F表示出现点数大于 10,不可能事件广东工业大学下页上页 返回例 2 一个袋中装有大小相同的 3个白球和 2个黑球，现从中任取出一球，试写出样本空间、并用样本空间的子集表示下列事件：
解,设 1,2,3号球是白球,4,5号球是黑球
,摸出的是白球,,摸出的是白球或黑球,
,摸出的是红球,,摸出的是黑球,
,摸出的是 3号球,
,摸出的是白球,
,摸出的是白球或黑球,
4 51 2 3
,摸出的是红球,
}{ 号球取到第 ii
,摸出的是黑球,
,摸出的是 3号球,
样本空间
5,4,3,2,1?i
},,,,{ 54321S
},,{ 321
},,,,{ 54321
},{ 54
}{ 3
S?
A?
B?
C?
广东工业大学下页上页 返回三、事件间的关系与运算 （ Relation and operation of events）
有时候我们感兴趣的是一个较为复杂的事件，而直接研某些复杂事件，有时候比较复杂。此时，我们可以利用复杂事件与简单事件之间的联系，把较为复杂的事件分解为一些较简单的事件来研究。为此，我们先定义事件间的一些关系与运算。
１、事件的包含 (Inclusion relation)
如果事件 A发生时，事件 B一定发生。
,A 则 。）B（即若则称事件 B包含事件 A,记作
.BAAB 或即 Ａ 为 Ｂ
的子集。
B A
S
广东工业大学下页上页 返回
２、事件的相等 (equivalent relation)
若事件 A包含事件 B,而且事件 B包含事件 A,则称事件
A与事件 B相等,记作 A=B.
例１掷一颗骰子，观察出现的点数。
其样本空间 }6,5,4,3,2,1{?S
事件 Ａ 表示出现的是偶数点，即 }6,4,2{?A
事件 Ｂ 表示出现的是奇数点，即 }5,3,1{?B
事件 Ｃ 表示出现点数６，即 }6{?C
显然事件 Ｃ 发生，则事件 Ａ 一定发生,.AC?即广东工业大学下页上页 返回因,直径不合格,必然导致,产品不合格,
所以,产品合格,包含,直径合格,,
即有例２ 假如一个圆形零件合格定义为直径和高度都合格
A＝,直径合格,,Ｂ＝,高度合格,,
C＝,直径及高度合格,,D＝,产品合格,。
AD?
同理有 BD?
DC?
广东工业大学下页上页 返回
３、事件的积 (Product of events)
“二事件 Ａ,Ｂ 同时发生”也是一个事件，称为事件 Ａ
与事件 Ｂ 的积事件（交事件）。记为,BA?
BA? ｛ Ａ 发生且 Ｂ 发生｝ },|{ BA 且
A B
BA?
例２ 假如一个圆形零件合格定义为直径和高度都合格
A＝,直径合格,,Ｂ＝,高度合格,,
C＝,直径及高度合格,,D＝,产品合格,。
显然有 DBA
简记为 AB
广东工业大学下页上页 返回
４、互不相容（互斥）事件 (Incompatible events)
如果 A,B不能在同一次试验同时发生,则称 A,B为互不相容事件 (或称 A,B互斥 ） 。
则 AB为不可能事件,.AB即若事件 Ａ 与 Ｂ 互斥，
ABBA 互斥与两两互斥,若一些事件中任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的。
A B
互不相容事件的关系广东工业大学下页上页 返回
５、事件的并（和） (Union of events)
“二事件 Ａ,Ｂ 至少发生一个”也是一个事件，称为事件 Ａ 与事件 Ｂ 的并事件（和事件）。记为,BA?
BA? ｛ Ａ 发生或 Ｂ 发生｝ },|{ BA 或
BA?
例２ 假如一个圆形零件合格定义为直径和高度都合格
A＝,直径 不 合格,,Ｂ＝,高度 不 合格,,
C＝,直径及高度合格,,D＝,产品 不 合格,。
显然有 DBA
常将
BA? 简记为,BA?A B
广东工业大学下页上页 返回事件的交与并的推广
n
i
in AAAA
1
21
},,,{ 21 同时发生nAAA
n
i
iA
1
1
321
i
iAAAA },,,{ 321 同时发生?AAA
1i
iA
n
i
in AAAA
1
21
},,,{ 21 至少有一个发生nAAA
1
321
i
iAAAA },,,{ 321 至少有一个发生?AAA?
广东工业大学下页上页 返回
６、事件的差 (Difference of events)
,事件 A发生,但事件 B不发生,为一事件,称为 A与 B的差,
.BA?记为
}{ 不发生发生且 BABA }|{ BA 且
A B
S
BA?
例 3 从装有编号为 1到 10的球的袋中任取一球 。 记
A＝,取到球的编号为偶数,＝,2,4,6,8,10”,
B＝,取到的编号小于 8” ＝,1,2,3,4,5,6,7”,
则 Ａ － Ｂ =
={8,10}
“取到球的编号为偶数但不小于 8”
广东工业大学下页上页 返回
７,对立事件 (Opposite events)
“事件 Ａ 不发生”是一个事件，称为 Ａ 的 对立事件 （或逆事件 ）,.A记为
}{ 不发生AA? }|{ AS 且AS
A A
Ｂ 为 Ａ 的对立事件，当且仅当
AB)1(
SBA)2(
广东工业大学下页上页 返回对立事件与互斥事件的区别
S S
A B A B A?
A,B 对立A,B 互斥
, ABSBA 且?,AB
互 斥 对 立广东工业大学下页上页 返回
8、事件间的运算法则
（ 1）交换律,ABBA
ABBA
（ 2）结合律,)()( CBACBA
)()( CBACBA
（ 3）分配律,)()()( CABACBA
)()()( CABACBA
BABA（ 4）摩根律（对偶律）：
BABA
广东工业大学下页上页 返回例 4 设 A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件用 A,B,C表示出来,
(1) 事件,A,B 都发生,但 C不发生,;
(3) 事件,A,B,C中恰有两个发生,;
(2) 事件,A,B,C都发生,;
(4) 事件,A,B,C中至少有两个发生 ;
(5) 事件,C发生，但 A,B均不发生,
CAB
ABC
CABCBABCA
CABCAB A B CCABCBABCA或
CBA
广东工业大学下页上页 返回例 4 设 A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件用 A,B,C表示出来,
(7) 三事件至少有一件发生
CBA
(6) 事件,A,B,C中有不多于一个事件发生,
CBACBACBACBA或 CCBBA
CBA
CBACBACBA CABCBABCA ABC?
法一,法二,
法三,
法四,
A
C
B法三,分为互不相容的七事件的和
C
BA
法四,分为三互不相容事件的和
CBABAA
广东工业大学下页上页 返回
ABAAB )(?
ABAAB )(?
ABBA )(?
AAS
S?
分配律例 5 运用事件的运算关系证明等式
SABAAB )(
证明,由 有 BABA
广东工业大学下页上页 返回例 6 设 A,B为两个随机事件,且,则BAABBAAB
广东工业大学下页上页 返回
P32 2
广东工业大学下页上页 返回随机事件在一次试验中有可能发生也可能不发生，但多次重复时，会发现有的事件发生多些，有的少些，这数量上的区别反映了随机事件的内在的一种规律。
§ 3 频率与概率我们常常希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性究竟有多大？
怎样来刻划事件发生的可能性大小呢？
我们希望找一个 合适的数 来表征事件在一次试验中发生的可能性大小。
为此，我们先引入频率（描述事件发生的频繁程度），
进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数,概率。
广东工业大学下页上页 返回一,频率的定义 (Frequency)
１、定义设 E为任一随机试验,A为其中任一事件，在相同条件下，把 E独立的重复做 n次,表示事件 A在这 n次试验中出现的次数 (称为 频数 )。比值 称为事件 A在这 n次试验中出现的 频率 (Frequency).
nnA/
An
记为 nnAf An?)().(Afn 即
２、频率的性质
（１）非负性,1)(0 Af n
（２）规范性,1)(?Sf n
)()()()( 2121 knnkn AfAfAfAAAf
（３）有限可加性,若事件 两两互不相容，则 kAAA,,,21?
广东工业大学下页上页 返回一,频率的定义 (Frequency)
１、定义设 E为任一随机试验,A为其中任一事件，在相同条件下，把 E独立的重复做 n次,表示事件 A在这 n次试验中出现的次数 (称为 频数 )。比值 称为事件 A在这 n次试验中出现的 频率 (Frequency).
nnA/
An
记为 nnAf An?)().(Afn 即
３、频率的稳定性实践证明：
当试验次数 n增大时,随机事件的频率 逐渐趋向稳定 。)(Afn
广东工业大学下页上页 返回实例 将一枚硬币抛掷 5 次,50 次,500 次,各做 7 遍,观察正面出现的次数及频率,
数 据 波 动 较 大试验序号
5?n
An f
1
2
3
4
5
6
7
2
31
5
1
2
4
An f
50?n
22
25
21
25
24
18
27
An
500?n
251
249
256
247
251
262
258
0.4
0.6
0.2
1.0
0.2
0.4
0.8
0.44
0.50
0.42
0.48
0.36
0.54
f
0.502
0.498
0.512
0.494
0.524
0.516
0.50
0.502
表明：随着 n的增加,事件的频率将呈现出稳定性,稳定于 0.5。
波动最小
0.5n=50
n=500
f5(A)
f50(A)
f500(A)
n=5
广东工业大学下页上页 返回历史上的掷硬币试验试验者 抛掷次数 n 正面出现次数 m 正面出现频率 m/n
德,摩尔根 2048 1061 0.518
蒲丰 4040 2048 0.5069
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
维尼 30000 14994 0.4998
的增大n,
2
1
稳定于
)(Afn
广东工业大学下页上页 返回设有随机试验 E，若当试验的次数充分大时，事件 A发生的频率稳定在某数 p附近摆动，则称数 p为事件 A发生的概率
(Probability),记为：
(1) 频率的稳定性是概率的经验基础，但并不是说概率决定于经验,一个事件发生的概率完全决定于事件本身的结构,指试验条件,是先于试验而客观存在的,
(2) 概率的统计定义只是描述性的。
4、概率的统计定义
5、概率的统计定义的几点说明
(3) 通常只能在充分大时，事件出现的频率才作为事件概率的近似值。
pAP?)(
广东工业大学下页上页 返回二,概率的公理化定义设 E是随机试验,S为它的样本空间。对于 E的每一事件 A赋于一个实数，记为 P(A)，称为事件 A的概率，如果集合函数 P(A)满足下列条件：
（ 1） 非负性,对任一事件 A,有
（ 2） 规范性,对必然事件 S,有
0)(?AP
1)(?SP
（ 3） 可列可加性,,,,,,21 两两不相容若事件 kAAA
即对,,2,1,,, jiAAji ji?则有
)()()()( 2121 kk APAPAPAAAP
1、定义广东工业大学下页上页 返回
2、概率的性质
（ 1） 0)(P
（ 2） 有限可加性 若 两两不相容，则有 nAAA,,,21?
)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP
（ 3） ),()()(,APBPABPBA 则有若 ).()( APBP?且有
B
S
AB?A
证明,由 知,BA? )( ABAB
又 )( ABA?
于是,由有限可加性,有
)]([)( ABAPBP )()( ABPAP
即有 )()()( APBPABP
由非负性 0)()()( APBPABP 即有 )()( APBP?
广东工业大学下页上页 返回
2、概率的性质
（ 1） 0)(P
（ 2） 有限可加性 若 两两不相容，则有 nAAA,,,21?
)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP
（ 3） ),()()(,APBPABPBA 则有若 ).()( APBP?且有
（ 4） 减法公式 对任意两事件 A,B，有
)()()( ABPBPABP
B
S
ABA AB?
证明,易知,)()( ABABB又 )()( ABAB?
于是，由有限可加性有
)]()[()( ABABPBP )()( ABPABP
即有 )()()( ABPBPABP
广东工业大学下页上页 返回
2、概率的性质
（ 1） 0)(P
（ 2） 有限可加性 若 两两不相容，则有 nAAA,,,21?
)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP
（ 3） ),()()(,APBPABPBA 则有若 ).()( APBP?且有
（ 4） 减法公式 对任意两事件 A,B，有
)()()( ABPBPABP
（ 5）对任意事件 A，有 1)(0 AP
证明,由 有 SA
即
)()()( SPAPP
1)(0 AP
广东工业大学下页上页 返回
2、概率的性质
（ 1） 0)(P
（ 2） 有限可加性 若 两两不相容，则有 nAAA,,,21?
)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP
（ 3） ),()()(,APBPABPBA 则有若 ).()( APBP?且有
（ 4） 减法公式 对任意两事件 A,B，有
)()()( ABPBPABP
（ 5）对任意事件 A，有 1)(0 AP
证明,由 有 SAAAA,?
即
)(1 SP?
)(1)( APAP（ 6）对任意事件 A,有
)( AAP )()( APAP
)(1)( APAP
广东工业大学下页上页 返回
).()()()( ABPBPAPBAP
（ 7）加法公式 对任意两事件 A,B有
BA
S B AB?
如图所示
BA? )( ABBA
有
)]([)( ABBAPBAP )()( ABBPAP
)()()( ABPBPAP
注意到 与 不相容以及,A ABB? BAB?
即 )()()()( ABPBPAPBAP 证毕。
证明广东工业大学下页上页 返回
（ 8）加法公式的推广（三个的情形）
对三个事件,有,CBA,,
)()()()()( ABPCPBPAPCBAP
)()()( ABCPBCPACP
A
BC
ABAC
S
BC
ABC
如图对事件概率的量度好比对事件所对应的集合的面积计算！
广东工业大学下页上页 返回
)( 21 nAAAP
nji
ji
n
i
i AAPAP
11
)()(
).()1()( 211
1 n
n
nkji kji
AAAPAAAP
对 n 个事件 有,,,,21 nAAA?
（ 9）加法公式的推广（任意 n个的情形）
广东工业大学下页上页 返回例 1 已知,6.0)(,3.0)(,4.0)( BAPBPAP?试求 ).( BAP
ABABABA
解,由事件的运算关系,知由,AAB? 有 )()()()( ABPAPABAPBAP
利用
)()()()( BAPBPAPABP
6.03.04.0 1.0?
于是 )()()( ABPAPBAP
1.04.0 3.0?
)()()()( ABPBPAPBAP
有广东工业大学下页上页 返回例 2（ 92） 已知,41)()()( CPBPAP,0)(?ABP
,161)()( BCPACP 求事件 全不发生的概率？CBA,,
解,所求概率
)( CBAP )(1 CBAP )(1 CBAP
又
)( CBAP )()()()( ABPCPBPAP
)()()( ABCPBCPACP
4
1
4
1
4
1
16
1
16
10 0?
8
5?
从而所求概率,83)(?CBAP
广东工业大学下页上页 返回例 3（ 94） 已知 是两个事件满足条件,且BA,)()( BAPABP?
,)( pAP? 则 。)(BP
解,)()( BAPBAP
)()()(1 ABPBPAP
由
)()( BAPABP?
有
1)()( BPAP
于是
)(1)( APBP
)(1 BAP
p?1
广东工业大学下页上页 返回例 4 设 A,B为两个随机事件,则一定有
(A) (B)
(C) (D)
1)( BAP 0)( BAP
1)(0 BAP )(1)( ABPBAP
广东工业大学下页上页 返回广东工业大学下页上页 返回
§ 4 等可能概型（古典概型）
E1,抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。
E2,掷一颗骰子，观察出现的点数。
例共同特点,（ 1）每次试验只有有限个结果；
（ 2）每个结果出现的可能性相同。
定义,如果一个随机试验 E具有以下特征
1、试验的样本空间中仅含有有限个样本点；
2、每个样本点出现的可能性相同。
则称 具有上述特性的概型为 古典概型（等可能概型） 。
讨论相应的概率问题称为 古典概型 问题。
)()()( 21 nPPP
},,,,{ 21 nS
广东工业大学下页上页 返回古典概型中事件概率的计算：
},,,,{ 21 nS设样本空间 )()()( 21 nPPP
于是 )()(1 21 nPSP
)()()( 21 nPPP
)( inP
从而对于每一个基本事件，有 nP i 1)(
设事件 A包含有 k个基本事件,},,,{
21 kiiiA
有 )()(
21 kiiiPAP
)()()( 21 kiii PPP
n
k?
中的样本点数中所含的样本点数
S
A?
（利用有限可加性）
广东工业大学下页上页 返回古典概型中事件概率的计算：
中的样本点数中所含的样本点数
S
A
n
kAP)(
几点说明：
1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件,
2、“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点的出现是等可能的,
试验的基本事件总数的有利场合数A?
广东工业大学下页上页 返回例 将一枚硬币上抛三次，设事件 A=“恰有一次出现正面”，
B=“至少有一次出现正面”,求 A,B的概率。
{(HHH),(HHT),(HTH),(HTT),(THH),(THT),(TTH),(TTT)}
解,样本空间为
S
3
8?() PA
于是 7
8?() PB
注：上例中,将一枚硬币上抛三次,观察正面向上的次数,
S＝ { 0,1,2,3},记 Ai＝,正面出现 i 次,
则 P(A0)＝ 1/8,P(A1)＝ 3/8,P(A2)＝ 3/8,P(A3)＝ 1/8
所以以 Ai作为基本事件,则非等可能概型 。
广东工业大学下页上页 返回例 1 一部四卷文集，按任意次序排列在一级书架上，问各册自右至左或自左至右恰成 1,2,3,4顺序的概率是多少？
解,样本点为四卷书书号的任一可能的排列，
总数 n=4× 3× 2× 1
A的有利场合数（ A包含的样本点数）为 2
1 2 3 4,4 3 2 1
12
1
!4
2)(AP
概率论与数理统计广东工业大学下页上页 返回例 2 一口袋装有 6只球,其中 4只白球,2只红球,从袋中取球两次,每次随机地取一只,考虑两种取球方式：
(a) 放回抽样,第一次取一只,观其颜色后放回,搅匀后再取一只,
(b) 不放回抽样,第一次取一球不放回,第二次从剩余的球中再取一球,
试分别就上面两种情况求,
（ 1）取到的两只球都是白球的概率；
（ 2）取到的两只球颜色相同的概率；
（ 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
解,
(a) 放回抽样,从袋中任取两球,总的取法为 3666
设 A={取到的两只球都是白球 } B={取到的两只球都是红球 }
C={取到的两球中至少有一只白球 } D={取到的两只球颜色相同 }
则显然有,BAD
取到的两只球都是白球的取法为 1644
于是 943616)(AP
取到的两只球都是红球的取法为 422
9
1
36
4)(BP
BC?
广东工业大学下页上页 返回例 2 一口袋装有 6只球,其中 4只白球,2只红球,从袋中取球两次,每次随机地取一只,考虑两种取球方式：
(a) 放回抽样,第一次取一只,观其颜色后放回,搅匀后再取一只,
(b) 不放回抽样,第一次取一球不放回,第二次从剩余的球中再取一球,
试分别就上面两种情况求,
（ 1）取到的两只球都是白球的概率；
（ 2）取到的两只球颜色相同的概率；
（ 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
解,
(a) 放回抽样,
设 A={取到的两只球都是白球 } B={取到的两只球都是红球 }
C={取到的两球中至少有一只白球 } D={取到的两只球颜色相同 }
则显然有,BAD BC?
9
4
36
16)(AP
9
1
36
4)(BP
又因,AB 从而有 )()( BAPDP )()( BPAP 95?
)(1)()( BPBPCP 98?
广东工业大学下页上页 返回例 2 一口袋装有 6只球,其中 4只白球,2只红球,从袋中取球两次,每次随机地取一只,考虑两种取球方式：
(a) 放回抽样,第一次取一只,观其颜色后放回,搅匀后再取一只,
(b) 不放回抽样,第一次取一球不放回,第二次从剩余的球中再取一球,
试分别就上面两种情况求,
（ 1）取到的两只球都是白球的概率；
（ 2）取到的两只球颜色相同的概率；
（ 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
解,
(b) 不放回抽样,从袋中任取两球,总的取法为 3056
设 A={取到的两只球都是白球 } B={取到的两只球都是红球 }
C={取到的两球中至少有一只白球 } D={取到的两只球颜色相同 }
则显然有,BAD
取到的两只球都是白球的取法为 1234
于是 523012)(AP
取到的两只球都是红球的取法为 212
15
1
30
2)(BP
BC?
广东工业大学下页上页 返回例 2 一口袋装有 6只球,其中 4只白球,2只红球,从袋中取球两次,每次随机地取一只,考虑两种取球方式：
(a) 放回抽样,第一次取一只,观其颜色后放回,搅匀后再取一只,
(b) 不放回抽样,第一次取一球不放回,第二次从剩余的球中再取一球,
试分别就上面两种情况求,
（ 1）取到的两只球都是白球的概率；
（ 2）取到的两只球颜色相同的概率；
（ 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
解,
(b) 不放回抽样,
设 A={取到的两只球都是白球 } B={取到的两只球都是红球 }
C={取到的两球中至少有一只白球 } D={取到的两只球颜色相同 }
则显然有,BAD
5
2
30
12)(AP
15
1
30
2)(BP
又因,AB 从而有 )()( BAPDP )()( BPAP 157?
)(1)()( BPBPCP 1514?
BC?
广东工业大学下页上页 返回
n
10=
3
4有 种 取 法 ;
1
例 3 有 10个外观相同的电阻，其电阻分别是 1欧,2欧,…10
欧,现从中任意取出 3个，希望一个电阻值小于 5欧，一个等于 5
欧,一个大于 5欧，问一次抽取就能达到要求的概率,
解：样本点为从 10个不同电阻中任取三个的组合样本空间总数为计算有利场合数：
有利场合数为构成一个有利场合可分三个步骤：
第一步，从小于 5欧的电阻值中任取出一个，
5有 种 取 法 ;
1
有 1种 取 法 ;
4 1 5
1 1 1
1
()
6
PA
4 1 5
1 1 1
10
3
事件 A
第二步，从等于 5欧的电阻值中任取出一个 ;
第三步，从大于 5欧的电阻值中任取出一个 ;
广东工业大学下页上页 返回
1
6
r 2
3
45
1 2 3 … n-1 n
例 4 将 r个球臵于 n个箱中（每个球以 1/n的概率被臵入某一特定箱中）,若 n≥ r,试求任一箱内的球数均不超过 1的概率。
解：先计算样本空间总数第一个球臵于一箱中，
共有 n种放法 ;
相继将每一个球臵于一箱中都有 n种放法；
1 1 1 1 1 11 1
这样放完 r个球构成一个可能的结果（样本点），
再计算有利场合数：
第一个球臵于一箱中，共有 n种放法 ;
第二个球由于不能放到第一个球所在箱，所以只有 n-1种放法
… 第 r个球不能放到前 r-1个球所在箱，所以只有 n-r+1种放法有利场合数由乘法原理,r个球的不同的放法有 rnnnn
rnArnnn )1()1(?
r
r
n
n
AAP?)(
)!(
!
rnn
n
r于是广东工业大学下页上页 返回许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：
有 n个人，设每个人的生日是任一天的概率为 1/365,
求这 n (n ≤365) 个人没有两个人的生日相同（ n人生日互不相同）的概率,
人任一天可计算当 n=40时,P＝ 0.109
我敢打睹，我们班至少有两人生日在同一天！
)!(
!)(
rnn
n
n
AAP
rr
r
n
根据上公式得 )!365(365 !365 nP n
广东工业大学下页上页 返回许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：
有 n个旅客，乘火车途经 N个车 站，设每个人在每站下车的概率为 1/ N(N ≥ n),求指定的 n个站各有一人下车的概率,
旅客车站某城市每周发生 7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同,
求每天恰好发生一次车祸的概率,
车祸天
)!(
!)(
nNN
N
N
AAP
nn
n
N
)!77(7
!7
7)( 77
7
7
AAP
77
!7?
广东工业大学下页上页 返回
1 2 3 … k…,.,a+b
例 5 袋中有大小相同的 a 个黄球,b 个白球．现将球从袋中一一随机摸出来，试求第 k 次摸出的球是黄球的概率．
1
1 3
a
2
3
4
b2
解法一,认为球是不相同的（可辩的），
黄球编号为 1~ a,白球编号为 1~ b
设样本点为：依次取出的 a+b个球的排列样本点总数为,(a+b)!
事件 A
构成 A的有利场合分两步：
从 a个黄球中任取出一个放到第 k个位臵,有 a种方式
11 3a 234 b2 …
第 k个位臵其余 a＋ b-1个位臵是 (a+b-1)个球的任意排列,有 (a+b-1)!种方式
a4 b2
A的有利场合数为,a(a+b-1)!
1( ) !
( ) !
a a b aP
a b a b
故广东工业大学下页上页 返回例 5 袋中有大小相同的 a 个黄球,b 个白球．现将球从袋中一一随机摸出来，试求第 k 次摸出的球是黄球的概率．
事件 A
1 2 3 … k…,.,a+b
ab
a
1
1 3
a
2
3
4
b2
解法二,认为黄球及白球分别是没有区别的（不可辩的）
总数：
构成 A的有利场合分两步：
从 a个黄球中任取出一个放到第 k个位臵,有 1种方式
11 3a 234 b2 …
第 k个位臵其余 a＋ b-1个位臵是（ a-1）个黄球和 b个白球的两类排列，
把依次取出的 a+b个球成一列样本点为：两类元素 (a个黄球和 b个白球 ) 的排列
1
1
ab
a a
P
ab ab
a
有 种方式11aba
广东工业大学下页上页 返回例 6 设 100件产品中有 5件次品,现从中任意抽出 3件，求恰有 2件是次品被抽出的概率,
解法一：设样本点为从 100件产品抽出 3件的组合
()
M N M
k n k
PA
N
n
正品 95
M件次品
100件产品
A
100
3
总数：
构成 A的有利场合分两步：
从 5件次品中抽出 2件，
从 95件正品中抽出 3件
2
5
种 方 式
95
1
种 方 式
5 95
21
()
100
3
PA
N件产品次品 5件次品 M件正品 N-M
广东工业大学下页上页 返回例 6 设 100件产品中有 5件次品,现从中任意抽出 3件，求恰有 2件是次品被抽出的概率,
这是一种无放回抽样情形，
有放回抽样时 P(A)=？
解法二：设样本点为从 100件产品抽出 3件的排列
M件次品
A
总数：
构成 A的有利场合分两步：
先确定正品次品的位臵 (即两类元素 (一个正品和两个次品 )的排列问题 )，
正品从 95件中取出一件有
3
2
种 方 式
95种 方 式
3
9 5 5 4
2()
1 0 0 9 9 9 8
PA
1 2 3
第一件次品从 5件中取出一件 5种 方 式第二件次品从 4件中取出一件 4种 方 式能用组合作为样本点吗？
正品 95
100件产品次品 5件
98991 0 0
广东工业大学下页上页 返回例 7 在 1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被 6整除,又不能被 8整除的概率是多少?
广东工业大学下页上页 返回例 8 把 C,C,E,E,I,N,S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，求排列结果恰好拼成一个英文单词的概率,C IS N C EE
拼成英文单词 SCIENCE 的情况数 (有利场合数）为故该结果出现的概率为：
这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：
如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在 1260
次试验中大约出现 1次,
2 2 4
解：七个字母的排列总数为 7！
41 = 0 0 0 0 7 9
7 1 2 6 0,!p
广东工业大学下页上页 返回这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术,
具体地说，可以 99.921%的把握怀疑这是魔术,（错误的概率是 0.00079）
小概率事件通常可以构成一个假设检验的依据，通常假定某,假设 H”为真，在该前提下建立一小概率事件，如果在一次试验中该小概率事件发生，则判断该
,假设 H”不真。这是概率统计中假设检验的基本原理。
实际推断原理,小概率事件在一次试验中实际上几乎是不会发生的。
上推断过程是：
假设 H：设取到每一张牌的可能性相等假设 H不真，即认为抽到每一张牌的可能性不相等小概率事件发生
C IS N C EE
一次试验排列结果恰好拼成一个英文单词，我认为这是魔术！
广东工业大学下页上页 返回例 9 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知所有这 12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的?
分析,假设接待站的接待时间没有规定,即各来访者在一周中任一天去接待站是等可能的,
那么,12次来访者都是在周二和周四的概率为
12
12
7
2 0 0 0 0 0 0 3.0?
由实际推断原理,有理由怀疑假设的正确性,从而推断接待站不是每天都接待来访者,即认为其时间是有规定的,
广东工业大学下页上页 返回几何概型 (Geometric probability)
把古典概型推广到无限个样本点又具有,等可能,场合,
人们引入了几何概型,由此形成了确定概率的另一方法 ——
几何方法,
如果一个试验具有以下两个特点：
1、样本空间 Ω是一个大小可以计量的几何区域（如线段、
那么，事件 A的概率由下式计算：
研究相应的概率问题为 几何概型问题
2、向区域内任意投一点，落在区域内任意点处都是“等可平面、立体）；
能的”。
()
APA?
的的测度测度广东工业大学下页上页 返回那么 0 2 4 0 2 4,.xy
当两船相会时所求的事件发生
0 < 6yx,
甲、乙两船 将在同一天的 0点到 24点之间随机地到达码头，设该码头只有一个泊位,若甲先到，需停靠 6小时后才离开码头，若乙先到，则要停靠 8小时后才离开码头。问这两船中有船需等候泊位空出的概率？
例 10 会面问题解,
2 2 2
2
124 ( 18 16 )
2()
24PA
设甲船、乙船到达码头的时间分别是 x 和 y.
两船到码头时刻，相当于向方形区域内投点
24
24
x
y
0
即乙比甲晚到 6小时或甲比乙晚到 8小时 0 < 8xy,
即 A发生 (,) { 0 < 6 0 < 8 }x y y x x y6
8
4965.0?
广东工业大学下页上页 返回例 11 在长为 l 的线段 AD中任取两点 B,C,将 AD分成三折线，
试求此三折线能构成三角形的概率？
解,设线段被分成的三段长分别为 x,y 和 l – x - y,则样本空间
0,0 yx lyx 所构成的图形，为由 及 其面积
o x
y
2
2
1 lS
A OB
A
B
x,y 和 l – x - y 可以构成三角形，由两
,20 lx,20 ly 20 lyxl
边之和大于第三边，即有即,20 lx,
20
ly lyxl
2
)2,0( lC
)0,2(lD
E
构成三角形 DCE,其面积为,)2(21 2lS D CE 于是，由几何概型
22
2
1)
2(2
1)( llAP?的概率计算公式有
4?
广东工业大学下页上页 返回例 12 随机地向半圆 （ a为正常数）内掷一点，
点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与 x轴的夹角小于 的概率？
220 xaxy
4?
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