广东工业大学下页上页 返回第三章 多维随机变量及其分布广东工业大学下页上页 返回
§ 5 随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布三、最大最小值的分布广东工业大学下页上页 返回一、离散型随机变量函数的分布方法：分两步
1、找出 Z所有可能的取值；
2、求出 Z取每一个可能值的概率是多大。
设二维随机变量 的联合分布律为),( YX
ijji pyYxXP },{
求随机变量 的分布律。 ),( YXgZ?
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 相互独立且都服从参数为 p的321,,XXX 10?
32
21
XX
XX分布，已知矩阵 为正定矩阵的概率为 1/8，求
（ 1）参数 p的值； （ 2）随机变量 的分布律。
32
21
XX
XXY?
广东工业大学下页上页 返回例 2 设 X与 Y相互独立,且 )(~),(~ 21 PYPX
求 的分布律。 YXZ
广东工业大学下页上页 返回二、连续型随机变量函数的分布设二维随机变量 的联合密度为,),( YX ),( yxf
求随机变量 的概率密度。 ),( YXgZ?
方法,分布函数法先求分布函数，再求概率密度。
}{)( zZPzF Z }),({ zYXgP
zyxg
d x d yyxf
),(
),(
dz
zdFzf Z
Z
)()(?
随机变量 Z的分布函数为随机变量 Z的密度函数为广东工业大学下页上页 返回
),( YX
其它0
0,02),( )2( yxeyxf yx
.2 YXZ
例 1 设二维随机变量 的联合概率密度函数为令 求 Z的分布函数及密度函数。
广东工业大学下页上页 返回例 2 设二维随机变量 (X,Y)的密度函数为
其它,0
10,10,2),( yxyxyxf
（ 1） 求 ； }2{ YXP? （ 2） 求 的概率密度。 YXZ
（ 2007）
广东工业大学下页上页 返回例 3 设二维随机变量 的概率密度函数为),( YX
其它0
20,101),( xyxyxf
求,(I) 的边缘概率密度),( YX ).(),( yfxf YX
(II) 的概率密度 YXZ 2 ).(zfZ (2005)
1
2
x
y
O
广东工业大学下页上页 返回例 4 设 X与 Y相互独立，且均服从标准正态分布，求 YXZ
的概率密度。
1、若 且 X与 Y相互独立，则 )1,0(~),1,0(~ NYNX
结论：
)2,0(~ NYX?
2、若 且 X与 Y相互独立，则 ),(~),,(~ 222211 NYNX
),(~ 222121 NYX
),,(~
1
2
11
n
i
i
n
i
i
n
i
i NX
3、若 且 相互独立，则 ),,,2,1)(,(~ 2 niNX iiiiX
),(~
1
22
11
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii aaNXa
广东工业大学下页上页 返回例 5 在一简单电路中，两电阻 和 串联连接，设 与 相互独立，它们的概率密度均为
1R 2R 1R 2R
其它,0
100,
50
10
)( x
x
xf
求总电阻 的概率密度。 21 RRR
广东工业大学下页上页 返回
10000
10001000)( 2
x
x
xxf
Y
XZ?
例 6 设 X与 Y相互独立,且服从同一分布,其概率密度为求 的概率密度。
广东工业大学下页上页 返回三、最大最小值的分布设相互独立的随机变量 的分布函数分别为 nXXX,,,21?
)(,),(),( 2211 nn xFxFxF?
记 },,,m ax { 21 nXXXM },,m i n { 21 nXXN
随机变量 M的分布函数为
}{)(m a x zMPzF }},,,{m ax { 21 zXXXP n
},,,{ 21 zXzXzXP n
}{}{}{ 21 zXPzXPzXP n
)()()( 21 zFzFzF n
若 独立同分布，其分布函数为,此时，nXXX,,,21? )(xF
随机变量 M的分布函数为
}{)(m a x zMPzF nzF )]([?
广东工业大学下页上页 返回三、最大最小值的分布设相互独立的随机变量 的分布函数分别为 nXXX,,,21?
)(,),(),( 2211 nn xFxFxF?
记 },,,m ax { 21 nXXXM },,m i n { 21 nXXN
随机变量 N的分布函数为
}{)(m i n zNPzF
}},,,{m i n {1 21 zXXXP n
},,,{1 21 zXzXzXP n
)](1[)](1)][(1[1 21 zFzFzF n
}{1 NP
}{}{}{1 21 zXPzXPzXP n
若 独立同分布，其分布函数为,此时，nXXX,,,21? )(xF
随机变量 N的分布函数为
}{)(m i n zNPzF nF )](1[1
广东工业大学下页上页 返回例 1 某系统 L由两个子系统 A与 B联接组成,联接的方式有三种
(1)A与 B串联 ;(2)A与 B并联 ;(3)A与 B一个工作一个备用,已知子系统 A,B的寿命 X,Y均服从指数分布,其概率密度分别为
0,0
0,)(
x
xaexf ax
X
0,0
0,)(
y
ybeyf bx
Y
其中常数 且,0,0 ba,ba?
设系统 L的寿命为 Z,分别求三种情况下,L的寿命 Z的概率密度,
广东工业大学下页上页 返回例 2 设 X,Y相互独立，同服从 (0,2)上的均匀分布,),,m i n( YXZ?
}10{ ZP则广东工业大学下页上页 返回例 5 设随机变量 X和 Y都服从正态分布,且 ),0( 2?N
}1,1{ YXP
,4/1}1,1{ YXP
则广东工业大学下页上页 返回例 2 设随机变量 X与 Y相互独立,X的概率分布为
,31}{ iXP )1,0,1(?i
Y的密度分布为,,0 10,1)( 其它 xyf Y 记,YXZ
（ 1）求 };0|21{ XZP （ 2）求 Z 的概率密度。
广东工业大学下页上页 返回
1}{ mpqmXP pqm 1,,2,1?
求又 ),1,0(~ NY
例 4 设随机变量 X与 Y相互独立,且 X服从参数为 p的几何分布,即
(1) U=X+Y的分布函数；
(2) V=XY的分布函数。
广东工业大学下页上页 返回广东工业大学下页上页 返回第三章小结广东工业大学下页上页 返回主要内容广东工业大学下页上页 返回一、二维随机变量的定义设 E是一个随机试验，其样本空间为,设}{eS?
)(eXX? )(eYY?
是定义在 S上的两个随机变量，则由它们构成的一个向量 ),( YX
称为 二维随机向量 或 二维随机变量 。
广东工业大学下页上页 返回二、二维随机变量的分布函数
1、联合分布函数的定义
),(),( yYxXPyxF
称为二维随机变量 的分布函数 (或称联合分布函数 ).),( YX
设 是二维随机变量,对于任意实数 x,y,二元函数),( YX
性质 1 对任意的 有,,yx ;1),(0 yxF 且有
1),(F
0),(),(),( FyFxF
性质 2 ),( yxF 是变量 x 和 y 的单调非降函数 ;
2、联合分布函数 的性质 ),(),( yYxXPyxF
广东工业大学下页上页 返回
),(),0( yxFyxF ),()0,( yxFyxF
性质 4 ),( yxF 对任意的 x ( 或 y )都是右连续的,
即对任意的,,yx 均有性质 3 2121,yyxx对任意的 总有
),( 2121 yYyxXxP
且 0),(),(),(),( 11122122 yxFyxFyxFyxF
),(),(),(),( 11122122 yxFyxFyxFyxF
广东工业大学下页上页 返回
1、二维离散型随机变量的定义如果二维随机变量 的所有可能取的值是 有限对 或),( YX
若 及 的全部不同的可能取值分别为X Y
,,,,,21 nxxxX
,,,,,21 myyyY
则 的全部可能取值为,),( YX
),( ji yx,,,2,1 ni,,,2,1 mj?
2、二维离散型随机变量的联合概率分布三、二维离散型随机变量及其分布可列无限对,则称 是 离散型随机变量,),( YX
广东工业大学下页上页 返回
YX
i
i
n
p
p
p
p
y
1
1
21
11
1
i
im
nm
m
m
m
p
p
p
p
y
2
1
i
i
n
p
p
p
p
y
1
1
21
11
1
1
2
1
j
nj
j
j
j
j
i
p
p
p
p
i
n
p
x
x
x
2
1
称概率函数
ijji pyYxXP ),(
为二维离散型随机变量 的 (联合 )概率分布 (律 ).),( YX;,,,2,1 ni,,,2,1 mj?
或列表为 (概率分布也称为 联合分布列 )
广东工业大学下页上页 返回称概率函数
ijji pyYxXP ),(
为二维离散型随机变量 的 (联合 )概率分布 (律 ).),( YX;,,,2,1 ni,,,2,1 mj?
或列表为 (概率分布也称为 联合分布列 )
(1)
(2)
0?ijp
1
i j ij
p
3、概率分布的性质广东工业大学下页上页 返回
4、二维离散型随机变量的分布函数
ijji pyYxXP ),(
设二维离散型随机变量 的联合 概率分布 为),( YX;,,,2,1 ni,,,2,1 mj?
则有
xx yy iji j
pyxF ),(
进行的。
这个求和式是对满足 及 的一切下标 i 和 jxxi? yy j?
广东工业大学下页上页 返回
1、联合概率密度的定义对于二维随机变量 的联合分布函数,),( YX ),( yxF
如果存在一个二元非负值函数 ),,)(,( yxyxf
使得对任意,,yx 有
x y d y d xyxfyxF ),(),(
则称 为 二维连续型随机变量,),( YX ),( yxf 称为二维连续型随机变量的 联合概率密度函数,
（简称 联合密度函数 或 联合密度 ）
四、二维连续型随机变量及其分布广东工业大学下页上页 返回
2、联合密度函数的性质
（ 1） ;0),(?yxf （ 2） 1),( d x d yyxf
具有性质 (1),(2)的二元函数 f (x,y),必是某个注,
二维连续型随机变量的密度函数。
（ 3）
R
d x d yyxfRYXP ),(}),{(
设 R为 xoy 平面内任一区域,则有
（ 4） ),( yxf在 的连续点处，有 ),(
),(2 yxf
yx
yxF?
广东工业大学下页上页 返回五、边缘分布
1、边缘分布函数若二随机变量 的联合分布函数为,),( yxF),( YX
则随机变量（ X,Y）关于 X的边缘分布函数为
}{)( xXPxF X ),( xF
同理有
),()( yFyF Y
广东工业大学下页上页 返回
2、边缘分布律
ijji pyYxXP },{ ;,,,2,1 ni,,,2,1 mj?
设二维离散型随机变量 的联合分布律为),( YX
则随机变量 X的边缘分布律为
}{ ixXP?
,,,2,1 ni?
ip
同理随机变量 Y的边缘分布律为
i
ijj pyYP }{,,,2,1 mj?jp
},{
1
j
j
i yYxXP
1j
ijp
广东工业大学下页上页 返回
3、边缘概率密度设二维连续型随机变量 的联合分布函数为,),( YX ),( yxF
联合概率密度函数为 。),( yxf
于是，随机变量 X的分布函数为
)(xFX ),( xF x dxdyyxf ]),([
得 X的密度函数为
dyyxfxf X ),()(
同理可得随机变量 Y的分布函数为
)(yFY ),( yF y dydxyxf ]),([
密度函数为
dxyxfyf Y ),()(
广东工业大学下页上页 返回
1、二维离散型随机变量的条件分布
ijji pyYxXP ),(?,3,2,1,?ji
设二维离散型随机变量 的联合分布律为),( YX
六、条件分布
)|( ji yYxXP )(
),(
j
ji
yYP
yYxXP
j
ij
p
p
,2,1?i
)|( ij xXyYP )( ),(
i
ji
xXP
yYxXP
i
ij
p
p?,2,1?j
广东工业大学下页上页 返回
2、二维连续型随机变量的条件分布在条件 下,yY? 连续型随机变量 X的条件密度函数为,
)(
),()|(
| yf
yxfyxf
Y
YX?
条件分布函数为 du
yf
yufyxF x
Y
)( ),()|(
在条件 下,xX? 连续型随机变量 Y的条件密度函数为,
)(
),()|(
| xf
yxfxyf
X
XY?
条件分布函数为 dv
xf
vxfxyF y
X
)( ),()|(
广东工业大学下页上页 返回
1、随机变量相互独立的定义设 是两个随机变量,若对任意实数 都有YX,,,yx
}{}{},{ yYPxXPyYxXP
则称随机变量 X与 Y是 (相互 )独立的,
七、随机变量的独立性广东工业大学下页上页 返回
2、二维随机变量相互独立的充要条件
X与 Y相互独立
)()(),( yFxFyxF YX?
}{}{},{ yYPxXPyYxXP
3、离散型随机变量相互独立的充要条件
jiij ppp
}{}{},{ jiji yYPxXPyYxXP
广东工业大学下页上页 返回
2、二维随机变量相互独立的充要条件
X与 Y相互独立
)()(),( yFxFyxF YX?
}{}{},{ yYPxXPyYxXP
4、连续型随机变量相互独立的充要条件
)()(),( yfxfyxf YX?
广东工业大学下页上页 返回八、随机变量函数的分布
1、离散型随机变量函数的分布方法：分两步
1、找出 Z所有可能的取值；
2、求出 Z取每一个可能值的概率是多大。
设二维随机变量 的联合分布律为),( YX
ijji pyYxXP },{
求随机变量 的分布律。 ),( YXgZ?
广东工业大学下页上页 返回
2、连续型随机变量函数的分布设二维随机变量 的联合密度为,),( YX ),( yxf
求随机变量 的概率密度。 ),( YXgZ?
方法,分布函数法先求分布函数，再求概率密度。
}{)( zZPzF Z }),({ zYXgP
zyxg
d x d yyxf
),(
),(
dz
zdFzf Z
Z
)()(?
随机变量 Z的分布函数为随机变量 Z的密度函数为广东工业大学下页上页 返回
3、最大最小值的分布设相互独立的随机变量 的分布函数分别为 nXXX,,,21?
)(,),(),( 2211 nn xFxFxF?
记 },,,m ax { 21 nXXXM },,m i n { 21 nXXN
随机变量 M,N的分布函数为
}{)(m a x zMPzF )()()( 21 zFzFzF n
若 独立同分布，其分布函数为,此时，nXXX,,,21? )(xF
随机变量 M,N的分布函数为
}{)(m a x zMPzF nzF )]([?
}{)(m i n zNPzF )](1[)](1)][(1[1 21 zFzFzF n
}{)(m i n zNPzF nF )](1[1
广东工业大学下页上页 返回
4、二维正态分布若二维随机变量 的联合密度函数为),( YX
]})())((2)([)1(2 1ex p { 2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2?
yyxx
2
21 12
1),(
yxf
),,,,(~),( 222121NYX
则称 服从参数为 的正态分布,),( YX,,,,2121
记为其中 为常数，且 。 1||,0,0 21,,,,2121
结论,),,,,,(~),( 222121NYX
则 ),,(~ 211NX ).,(~ 222NY
若广东工业大学下页上页 返回九、关于正态分布的一些重要结论则 ),,(~ 211NX ).,(~ 222NY
),,,,,(~),( 222121NYX若1、
2、二元正态分布的条件分布仍是正态分布。
则 X与 Y相互独立当且仅当 。0
),,,,,(~),( 222121NYX若3、
广东工业大学下页上页 返回习题选讲广东工业大学下页上页 返回
2,盒子里装有 3只黑球,2只红球,2只白球，在其中任取 4只球。
以 X表示取到黑球的只数,Y表示取到红球的只数。求 X和 Y的联合分布律。
广东工业大学下页上页 返回
3,设随机变量（ X,Y）的概率密度为
其它,0
42,20),6(),( yxyxkyxf
（ 1） 确定常数 k； （ 2） 求 ； }3,1{ YXP
（ 3） 求 ； }5.1{?XP （ 4） 求 ； }4{ YXP
广东工业大学下页上页 返回
4,将一枚硬币掷 3次，以 X表示前 2次中出现 H的次数，以 Y表示 3次中出现 H的次数。求 X,Y的联合分布律及边缘分布律。
广东工业大学下页上页 返回
6,设随机变量（ X,Y）的概率密度为
其它,0
0,),( yxeyxf y
求边缘概率密度。
广东工业大学下页上页 返回
7,设随机变量（ X,Y）的概率密度为
其它,0
1,),( 22 yxycxyxf
（ 2） 边缘概率密度。（ 1） 试确定常数 c;
广东工业大学下页上页 返回
9,以 X记某医院一天出生的婴儿的个数,Y记其中男婴的个数，
设 X和 Y的联合分布律为
)!(!
)86.6()14.7(},{ 14
mnm
emYnXP mnm
（ 1） 求边缘分布律；
,2,1,0;,,2,1,0 nnm
（ 2） 求条件分布律；
（ 3） 特别，写出当 时,Y的条件分布律。20?X
解 随机变量 X的分布律为
m mnpnXP }{?
n
m
mnm
mnm
e
0
14
)!(!
)86.6()14.7(
n
m
mnm
mnme 0
14
)!(!
)86.6()14.7(
ne )86.614.7(14 ne 1412
(利用二项式定理 )
,2,1,0?n
广东工业大学下页上页 返回
9,以 X记某医院一天出生的婴儿的个数,Y记其中男婴的个数，
设 X和 Y的联合分布律为
)!(!
)86.6()14.7(},{ 14
mnm
emYnXP mnm
（ 1） 求边缘分布律；
,2,1,0;,,2,1,0 nnm
（ 2） 求条件分布律；
（ 3） 特别，写出当 时,Y的条件分布律。20?X
解 随机变量 Y的分布律为
n mnpnXP }{?
mn
mnm
mnm
e
)!(!
)86.6()14.7(14
mn
mnm
mnm
e
)!(
)86.6(
!
)14.7(14
nm,,2,1,0! )14.7( 86.614 m ee m ! )14.7(14.7 me m
(利用 )?
0 !k
k
x
k
xe
广东工业大学下页上页 返回
12,设随机变量（ X,Y）的概率密度为
其它,0
10,||,1),( xxyyxf
求条件概率密度 。 )|(),|( || yxfxyf YXXY
广东工业大学下页上页 返回
14,设 X和 Y是两个相互独立的随机变量,X在 (0,1)上服从均匀分布，
Y的概率密度为
0,0
0,
2
1
)(
2/
y
yeyf y
Y
（ 1） 求 X和 Y的联合概率密度；
（ 2） 试求二次方程为 有实根的概率。 022 YXaa
广东工业大学下页上页 返回
15.进行打靶，设弹着点 A(X,Y)的坐标 X和 Y相互独立，且都服从分布，规定点 A落在区域 得 2分；
点 A落在 得 1分；
点 A落在 得 0分。
以 Z记打靶的得分。写出 X,Y的联合概率密度，并求 Z的分布律。
)1,0(N
}1|),{( 221 yxyxD
}41|),{( 222 yxyxD
}4|),{( 223 yxyxD
广东工业大学下页上页 返回
19,设随机变量（ X,Y）的概率密度为
其它,0
0,0,)(21),( )( yxeyxyxf yx
（ 1） 问 X与 Y是否相互独立；
（ 2） 求 的概率密度。 YXZ
广东工业大学下页上页 返回
21,设随机变量（ X,Y）的概率密度为
其它,0
0,1,0,),( )( yxbeyxf yx
（ 1） 试确定常 b；
（ 2） 求边缘概率密度 ； )(),( yfxf YX
（ 3） 求函数 的分布函数。 ),m a x ( YXU?
广东工业大学下页上页 返回
24,设随机变量 X,Y相互独立，且服从同一分布。试证明
22 }]{[}]{[}),m i n ({ bXPaXPbYXaP
广东工业大学下页上页 返回补例 1 设随机变量 X的取值为 的取值为Y,1,1?,1,2,3 且
,4.0}1{XP 则,0,0,0)( xeX xxF xY为某一连续型随机变量的分布函数的概率为广东工业大学下页上页 返回例 2 设二维随机变量 (X,Y)服从二维正态分布 )0;4,1;1,0(?N
则下列结论中不正确的是
(A) (B)
(C) (D) 21}1{ YXP
X与 Y相互独立 服从正态分布bYaX?
2
1}1{ YXP
广东工业大学下页上页 返回
),( YX
)0;1,1;0,0(~),( NYX
}0{ YXP
例 3 设二维随机变量 服从二维正态分布：
则广东工业大学下页上页 返回例 4 设随机变量 X与 Y相互独立,且均服从标准正态分布,则概率
}0{ XYP
广东工业大学下页上页 返回例 5 设随机变量 X和 Y都服从正态分布,且 ),0( 2?N
}1,1{ YXP
,4/1}1,1{ YXP
则广东工业大学下页上页 返回
1}{ mpqmXP pqm 1,,2,1?
求又 ),1,0(~ NY
例 6 设随机变量 X与 Y相互独立,且 X服从参数为 p的几何分布,即
(1) U=X+Y的分布函数；
(2) V=XY的分布函数。
广东工业大学下页上页 返回
22 YXZ
例 7 设 且 X与 Y相互独立，求的概率密度。
),,0(~),,0(~ 22 NYNX
广东工业大学下页上页 返回
54321,,,,XXXXX
其它0
01)( 8
2
zezF
z
4},,,,m ax { 54321?XXXXX
例 8 对某种电子装置的输出测量了 5次，得到的观察值设它们是相互独立的变量，且都有服从同一分布试求 的概率。
广东工业大学下页上页 返回
§ 5 随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布三、最大最小值的分布广东工业大学下页上页 返回一、离散型随机变量函数的分布方法：分两步
1、找出 Z所有可能的取值；
2、求出 Z取每一个可能值的概率是多大。
设二维随机变量 的联合分布律为),( YX
ijji pyYxXP },{
求随机变量 的分布律。 ),( YXgZ?
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 相互独立且都服从参数为 p的321,,XXX 10?
32
21
XX
XX分布，已知矩阵 为正定矩阵的概率为 1/8，求
（ 1）参数 p的值； （ 2）随机变量 的分布律。
32
21
XX
XXY?
广东工业大学下页上页 返回例 2 设 X与 Y相互独立,且 )(~),(~ 21 PYPX
求 的分布律。 YXZ
广东工业大学下页上页 返回二、连续型随机变量函数的分布设二维随机变量 的联合密度为,),( YX ),( yxf
求随机变量 的概率密度。 ),( YXgZ?
方法,分布函数法先求分布函数，再求概率密度。
}{)( zZPzF Z }),({ zYXgP
zyxg
d x d yyxf
),(
),(
dz
zdFzf Z
Z
)()(?
随机变量 Z的分布函数为随机变量 Z的密度函数为广东工业大学下页上页 返回
),( YX
其它0
0,02),( )2( yxeyxf yx
.2 YXZ
例 1 设二维随机变量 的联合概率密度函数为令 求 Z的分布函数及密度函数。
广东工业大学下页上页 返回例 2 设二维随机变量 (X,Y)的密度函数为
其它,0
10,10,2),( yxyxyxf
（ 1） 求 ； }2{ YXP? （ 2） 求 的概率密度。 YXZ
（ 2007）
广东工业大学下页上页 返回例 3 设二维随机变量 的概率密度函数为),( YX
其它0
20,101),( xyxyxf
求,(I) 的边缘概率密度),( YX ).(),( yfxf YX
(II) 的概率密度 YXZ 2 ).(zfZ (2005)
1
2
x
y
O
广东工业大学下页上页 返回例 4 设 X与 Y相互独立，且均服从标准正态分布，求 YXZ
的概率密度。
1、若 且 X与 Y相互独立，则 )1,0(~),1,0(~ NYNX
结论：
)2,0(~ NYX?
2、若 且 X与 Y相互独立，则 ),(~),,(~ 222211 NYNX
),(~ 222121 NYX
),,(~
1
2
11
n
i
i
n
i
i
n
i
i NX
3、若 且 相互独立，则 ),,,2,1)(,(~ 2 niNX iiiiX
),(~
1
22
11
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii aaNXa
广东工业大学下页上页 返回例 5 在一简单电路中，两电阻 和 串联连接，设 与 相互独立，它们的概率密度均为
1R 2R 1R 2R
其它,0
100,
50
10
)( x
x
xf
求总电阻 的概率密度。 21 RRR
广东工业大学下页上页 返回
10000
10001000)( 2
x
x
xxf
Y
XZ?
例 6 设 X与 Y相互独立,且服从同一分布,其概率密度为求 的概率密度。
广东工业大学下页上页 返回三、最大最小值的分布设相互独立的随机变量 的分布函数分别为 nXXX,,,21?
)(,),(),( 2211 nn xFxFxF?
记 },,,m ax { 21 nXXXM },,m i n { 21 nXXN
随机变量 M的分布函数为
}{)(m a x zMPzF }},,,{m ax { 21 zXXXP n
},,,{ 21 zXzXzXP n
}{}{}{ 21 zXPzXPzXP n
)()()( 21 zFzFzF n
若 独立同分布，其分布函数为,此时，nXXX,,,21? )(xF
随机变量 M的分布函数为
}{)(m a x zMPzF nzF )]([?
广东工业大学下页上页 返回三、最大最小值的分布设相互独立的随机变量 的分布函数分别为 nXXX,,,21?
)(,),(),( 2211 nn xFxFxF?
记 },,,m ax { 21 nXXXM },,m i n { 21 nXXN
随机变量 N的分布函数为
}{)(m i n zNPzF
}},,,{m i n {1 21 zXXXP n
},,,{1 21 zXzXzXP n
)](1[)](1)][(1[1 21 zFzFzF n
}{1 NP
}{}{}{1 21 zXPzXPzXP n
若 独立同分布，其分布函数为,此时，nXXX,,,21? )(xF
随机变量 N的分布函数为
}{)(m i n zNPzF nF )](1[1
广东工业大学下页上页 返回例 1 某系统 L由两个子系统 A与 B联接组成,联接的方式有三种
(1)A与 B串联 ;(2)A与 B并联 ;(3)A与 B一个工作一个备用,已知子系统 A,B的寿命 X,Y均服从指数分布,其概率密度分别为
0,0
0,)(
x
xaexf ax
X
0,0
0,)(
y
ybeyf bx
Y
其中常数 且,0,0 ba,ba?
设系统 L的寿命为 Z,分别求三种情况下,L的寿命 Z的概率密度,
广东工业大学下页上页 返回例 2 设 X,Y相互独立，同服从 (0,2)上的均匀分布,),,m i n( YXZ?
}10{ ZP则广东工业大学下页上页 返回例 5 设随机变量 X和 Y都服从正态分布,且 ),0( 2?N
}1,1{ YXP
,4/1}1,1{ YXP
则广东工业大学下页上页 返回例 2 设随机变量 X与 Y相互独立,X的概率分布为
,31}{ iXP )1,0,1(?i
Y的密度分布为,,0 10,1)( 其它 xyf Y 记,YXZ
（ 1）求 };0|21{ XZP （ 2）求 Z 的概率密度。
广东工业大学下页上页 返回
1}{ mpqmXP pqm 1,,2,1?
求又 ),1,0(~ NY
例 4 设随机变量 X与 Y相互独立,且 X服从参数为 p的几何分布,即
(1) U=X+Y的分布函数；
(2) V=XY的分布函数。
广东工业大学下页上页 返回广东工业大学下页上页 返回第三章小结广东工业大学下页上页 返回主要内容广东工业大学下页上页 返回一、二维随机变量的定义设 E是一个随机试验，其样本空间为,设}{eS?
)(eXX? )(eYY?
是定义在 S上的两个随机变量，则由它们构成的一个向量 ),( YX
称为 二维随机向量 或 二维随机变量 。
广东工业大学下页上页 返回二、二维随机变量的分布函数
1、联合分布函数的定义
),(),( yYxXPyxF
称为二维随机变量 的分布函数 (或称联合分布函数 ).),( YX
设 是二维随机变量,对于任意实数 x,y,二元函数),( YX
性质 1 对任意的 有,,yx ;1),(0 yxF 且有
1),(F
0),(),(),( FyFxF
性质 2 ),( yxF 是变量 x 和 y 的单调非降函数 ;
2、联合分布函数 的性质 ),(),( yYxXPyxF
广东工业大学下页上页 返回
),(),0( yxFyxF ),()0,( yxFyxF
性质 4 ),( yxF 对任意的 x ( 或 y )都是右连续的,
即对任意的,,yx 均有性质 3 2121,yyxx对任意的 总有
),( 2121 yYyxXxP
且 0),(),(),(),( 11122122 yxFyxFyxFyxF
),(),(),(),( 11122122 yxFyxFyxFyxF
广东工业大学下页上页 返回
1、二维离散型随机变量的定义如果二维随机变量 的所有可能取的值是 有限对 或),( YX
若 及 的全部不同的可能取值分别为X Y
,,,,,21 nxxxX
,,,,,21 myyyY
则 的全部可能取值为,),( YX
),( ji yx,,,2,1 ni,,,2,1 mj?
2、二维离散型随机变量的联合概率分布三、二维离散型随机变量及其分布可列无限对,则称 是 离散型随机变量,),( YX
广东工业大学下页上页 返回
YX
i
i
n
p
p
p
p
y
1
1
21
11
1
i
im
nm
m
m
m
p
p
p
p
y
2
1
i
i
n
p
p
p
p
y
1
1
21
11
1
1
2
1
j
nj
j
j
j
j
i
p
p
p
p
i
n
p
x
x
x
2
1
称概率函数
ijji pyYxXP ),(
为二维离散型随机变量 的 (联合 )概率分布 (律 ).),( YX;,,,2,1 ni,,,2,1 mj?
或列表为 (概率分布也称为 联合分布列 )
广东工业大学下页上页 返回称概率函数
ijji pyYxXP ),(
为二维离散型随机变量 的 (联合 )概率分布 (律 ).),( YX;,,,2,1 ni,,,2,1 mj?
或列表为 (概率分布也称为 联合分布列 )
(1)
(2)
0?ijp
1
i j ij
p
3、概率分布的性质广东工业大学下页上页 返回
4、二维离散型随机变量的分布函数
ijji pyYxXP ),(
设二维离散型随机变量 的联合 概率分布 为),( YX;,,,2,1 ni,,,2,1 mj?
则有
xx yy iji j
pyxF ),(
进行的。
这个求和式是对满足 及 的一切下标 i 和 jxxi? yy j?
广东工业大学下页上页 返回
1、联合概率密度的定义对于二维随机变量 的联合分布函数,),( YX ),( yxF
如果存在一个二元非负值函数 ),,)(,( yxyxf
使得对任意,,yx 有
x y d y d xyxfyxF ),(),(
则称 为 二维连续型随机变量,),( YX ),( yxf 称为二维连续型随机变量的 联合概率密度函数,
（简称 联合密度函数 或 联合密度 ）
四、二维连续型随机变量及其分布广东工业大学下页上页 返回
2、联合密度函数的性质
（ 1） ;0),(?yxf （ 2） 1),( d x d yyxf
具有性质 (1),(2)的二元函数 f (x,y),必是某个注,
二维连续型随机变量的密度函数。
（ 3）
R
d x d yyxfRYXP ),(}),{(
设 R为 xoy 平面内任一区域,则有
（ 4） ),( yxf在 的连续点处，有 ),(
),(2 yxf
yx
yxF?
广东工业大学下页上页 返回五、边缘分布
1、边缘分布函数若二随机变量 的联合分布函数为,),( yxF),( YX
则随机变量（ X,Y）关于 X的边缘分布函数为
}{)( xXPxF X ),( xF
同理有
),()( yFyF Y
广东工业大学下页上页 返回
2、边缘分布律
ijji pyYxXP },{ ;,,,2,1 ni,,,2,1 mj?
设二维离散型随机变量 的联合分布律为),( YX
则随机变量 X的边缘分布律为
}{ ixXP?
,,,2,1 ni?
ip
同理随机变量 Y的边缘分布律为
i
ijj pyYP }{,,,2,1 mj?jp
},{
1
j
j
i yYxXP
1j
ijp
广东工业大学下页上页 返回
3、边缘概率密度设二维连续型随机变量 的联合分布函数为,),( YX ),( yxF
联合概率密度函数为 。),( yxf
于是，随机变量 X的分布函数为
)(xFX ),( xF x dxdyyxf ]),([
得 X的密度函数为
dyyxfxf X ),()(
同理可得随机变量 Y的分布函数为
)(yFY ),( yF y dydxyxf ]),([
密度函数为
dxyxfyf Y ),()(
广东工业大学下页上页 返回
1、二维离散型随机变量的条件分布
ijji pyYxXP ),(?,3,2,1,?ji
设二维离散型随机变量 的联合分布律为),( YX
六、条件分布
)|( ji yYxXP )(
),(
j
ji
yYP
yYxXP
j
ij
p
p
,2,1?i
)|( ij xXyYP )( ),(
i
ji
xXP
yYxXP
i
ij
p
p?,2,1?j
广东工业大学下页上页 返回
2、二维连续型随机变量的条件分布在条件 下,yY? 连续型随机变量 X的条件密度函数为,
)(
),()|(
| yf
yxfyxf
Y
YX?
条件分布函数为 du
yf
yufyxF x
Y
)( ),()|(
在条件 下,xX? 连续型随机变量 Y的条件密度函数为,
)(
),()|(
| xf
yxfxyf
X
XY?
条件分布函数为 dv
xf
vxfxyF y
X
)( ),()|(
广东工业大学下页上页 返回
1、随机变量相互独立的定义设 是两个随机变量,若对任意实数 都有YX,,,yx
}{}{},{ yYPxXPyYxXP
则称随机变量 X与 Y是 (相互 )独立的,
七、随机变量的独立性广东工业大学下页上页 返回
2、二维随机变量相互独立的充要条件
X与 Y相互独立
)()(),( yFxFyxF YX?
}{}{},{ yYPxXPyYxXP
3、离散型随机变量相互独立的充要条件
jiij ppp
}{}{},{ jiji yYPxXPyYxXP
广东工业大学下页上页 返回
2、二维随机变量相互独立的充要条件
X与 Y相互独立
)()(),( yFxFyxF YX?
}{}{},{ yYPxXPyYxXP
4、连续型随机变量相互独立的充要条件
)()(),( yfxfyxf YX?
广东工业大学下页上页 返回八、随机变量函数的分布
1、离散型随机变量函数的分布方法：分两步
1、找出 Z所有可能的取值；
2、求出 Z取每一个可能值的概率是多大。
设二维随机变量 的联合分布律为),( YX
ijji pyYxXP },{
求随机变量 的分布律。 ),( YXgZ?
广东工业大学下页上页 返回
2、连续型随机变量函数的分布设二维随机变量 的联合密度为,),( YX ),( yxf
求随机变量 的概率密度。 ),( YXgZ?
方法,分布函数法先求分布函数，再求概率密度。
}{)( zZPzF Z }),({ zYXgP
zyxg
d x d yyxf
),(
),(
dz
zdFzf Z
Z
)()(?
随机变量 Z的分布函数为随机变量 Z的密度函数为广东工业大学下页上页 返回
3、最大最小值的分布设相互独立的随机变量 的分布函数分别为 nXXX,,,21?
)(,),(),( 2211 nn xFxFxF?
记 },,,m ax { 21 nXXXM },,m i n { 21 nXXN
随机变量 M,N的分布函数为
}{)(m a x zMPzF )()()( 21 zFzFzF n
若 独立同分布，其分布函数为,此时，nXXX,,,21? )(xF
随机变量 M,N的分布函数为
}{)(m a x zMPzF nzF )]([?
}{)(m i n zNPzF )](1[)](1)][(1[1 21 zFzFzF n
}{)(m i n zNPzF nF )](1[1
广东工业大学下页上页 返回
4、二维正态分布若二维随机变量 的联合密度函数为),( YX
]})())((2)([)1(2 1ex p { 2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2?
yyxx
2
21 12
1),(
yxf
),,,,(~),( 222121NYX
则称 服从参数为 的正态分布,),( YX,,,,2121
记为其中 为常数，且 。 1||,0,0 21,,,,2121
结论,),,,,,(~),( 222121NYX
则 ),,(~ 211NX ).,(~ 222NY
若广东工业大学下页上页 返回九、关于正态分布的一些重要结论则 ),,(~ 211NX ).,(~ 222NY
),,,,,(~),( 222121NYX若1、
2、二元正态分布的条件分布仍是正态分布。
则 X与 Y相互独立当且仅当 。0
),,,,,(~),( 222121NYX若3、
广东工业大学下页上页 返回习题选讲广东工业大学下页上页 返回
2,盒子里装有 3只黑球,2只红球,2只白球，在其中任取 4只球。
以 X表示取到黑球的只数,Y表示取到红球的只数。求 X和 Y的联合分布律。
广东工业大学下页上页 返回
3,设随机变量（ X,Y）的概率密度为
其它,0
42,20),6(),( yxyxkyxf
（ 1） 确定常数 k； （ 2） 求 ； }3,1{ YXP
（ 3） 求 ； }5.1{?XP （ 4） 求 ； }4{ YXP
广东工业大学下页上页 返回
4,将一枚硬币掷 3次，以 X表示前 2次中出现 H的次数，以 Y表示 3次中出现 H的次数。求 X,Y的联合分布律及边缘分布律。
广东工业大学下页上页 返回
6,设随机变量（ X,Y）的概率密度为
其它,0
0,),( yxeyxf y
求边缘概率密度。
广东工业大学下页上页 返回
7,设随机变量（ X,Y）的概率密度为
其它,0
1,),( 22 yxycxyxf
（ 2） 边缘概率密度。（ 1） 试确定常数 c;
广东工业大学下页上页 返回
9,以 X记某医院一天出生的婴儿的个数,Y记其中男婴的个数，
设 X和 Y的联合分布律为
)!(!
)86.6()14.7(},{ 14
mnm
emYnXP mnm
（ 1） 求边缘分布律；
,2,1,0;,,2,1,0 nnm
（ 2） 求条件分布律；
（ 3） 特别，写出当 时,Y的条件分布律。20?X
解 随机变量 X的分布律为
m mnpnXP }{?
n
m
mnm
mnm
e
0
14
)!(!
)86.6()14.7(
n
m
mnm
mnme 0
14
)!(!
)86.6()14.7(
ne )86.614.7(14 ne 1412
(利用二项式定理 )
,2,1,0?n
广东工业大学下页上页 返回
9,以 X记某医院一天出生的婴儿的个数,Y记其中男婴的个数，
设 X和 Y的联合分布律为
)!(!
)86.6()14.7(},{ 14
mnm
emYnXP mnm
（ 1） 求边缘分布律；
,2,1,0;,,2,1,0 nnm
（ 2） 求条件分布律；
（ 3） 特别，写出当 时,Y的条件分布律。20?X
解 随机变量 Y的分布律为
n mnpnXP }{?
mn
mnm
mnm
e
)!(!
)86.6()14.7(14
mn
mnm
mnm
e
)!(
)86.6(
!
)14.7(14
nm,,2,1,0! )14.7( 86.614 m ee m ! )14.7(14.7 me m
(利用 )?
0 !k
k
x
k
xe
广东工业大学下页上页 返回
12,设随机变量（ X,Y）的概率密度为
其它,0
10,||,1),( xxyyxf
求条件概率密度 。 )|(),|( || yxfxyf YXXY
广东工业大学下页上页 返回
14,设 X和 Y是两个相互独立的随机变量,X在 (0,1)上服从均匀分布，
Y的概率密度为
0,0
0,
2
1
)(
2/
y
yeyf y
Y
（ 1） 求 X和 Y的联合概率密度；
（ 2） 试求二次方程为 有实根的概率。 022 YXaa
广东工业大学下页上页 返回
15.进行打靶，设弹着点 A(X,Y)的坐标 X和 Y相互独立，且都服从分布，规定点 A落在区域 得 2分；
点 A落在 得 1分；
点 A落在 得 0分。
以 Z记打靶的得分。写出 X,Y的联合概率密度，并求 Z的分布律。
)1,0(N
}1|),{( 221 yxyxD
}41|),{( 222 yxyxD
}4|),{( 223 yxyxD
广东工业大学下页上页 返回
19,设随机变量（ X,Y）的概率密度为
其它,0
0,0,)(21),( )( yxeyxyxf yx
（ 1） 问 X与 Y是否相互独立；
（ 2） 求 的概率密度。 YXZ
广东工业大学下页上页 返回
21,设随机变量（ X,Y）的概率密度为
其它,0
0,1,0,),( )( yxbeyxf yx
（ 1） 试确定常 b；
（ 2） 求边缘概率密度 ； )(),( yfxf YX
（ 3） 求函数 的分布函数。 ),m a x ( YXU?
广东工业大学下页上页 返回
24,设随机变量 X,Y相互独立，且服从同一分布。试证明
22 }]{[}]{[}),m i n ({ bXPaXPbYXaP
广东工业大学下页上页 返回补例 1 设随机变量 X的取值为 的取值为Y,1,1?,1,2,3 且
,4.0}1{XP 则,0,0,0)( xeX xxF xY为某一连续型随机变量的分布函数的概率为广东工业大学下页上页 返回例 2 设二维随机变量 (X,Y)服从二维正态分布 )0;4,1;1,0(?N
则下列结论中不正确的是
(A) (B)
(C) (D) 21}1{ YXP
X与 Y相互独立 服从正态分布bYaX?
2
1}1{ YXP
广东工业大学下页上页 返回
),( YX
)0;1,1;0,0(~),( NYX
}0{ YXP
例 3 设二维随机变量 服从二维正态分布：
则广东工业大学下页上页 返回例 4 设随机变量 X与 Y相互独立,且均服从标准正态分布,则概率
}0{ XYP
广东工业大学下页上页 返回例 5 设随机变量 X和 Y都服从正态分布,且 ),0( 2?N
}1,1{ YXP
,4/1}1,1{ YXP
则广东工业大学下页上页 返回
1}{ mpqmXP pqm 1,,2,1?
求又 ),1,0(~ NY
例 6 设随机变量 X与 Y相互独立,且 X服从参数为 p的几何分布,即
(1) U=X+Y的分布函数；
(2) V=XY的分布函数。
广东工业大学下页上页 返回
22 YXZ
例 7 设 且 X与 Y相互独立，求的概率密度。
),,0(~),,0(~ 22 NYNX
广东工业大学下页上页 返回
54321,,,,XXXXX
其它0
01)( 8
2
zezF
z
4},,,,m ax { 54321?XXXXX
例 8 对某种电子装置的输出测量了 5次，得到的观察值设它们是相互独立的变量，且都有服从同一分布试求 的概率。
广东工业大学下页上页 返回
