广东工业大学下页上页 返回广东工业大学主讲教师：邱红兵概率论与数理统计广东工业大学下页上页 返回数理统计广东工业大学下页上页 返回第六章 样本及抽样分布第七章 参数估计第八章 假设检验第九章 方差分析及回归分析数理统计广东工业大学下页上页 返回绪 言广东工业大学下页上页 返回概率论和数理统计都是研究随机现象规律性的数学学科。
1、概率论研究的基本内容是：
在已知随机变量分布的情况下，讨论随机变量的性质、特点和规律性。例如求出它的数字特征，讨论随机变量的分布函数、分布律和密度函数，介绍常用的各种分布等等。
问 题：
这些都是数理统计要研究的问题。
在实际问题中，一个随机变量所服从的分布往往是不知道的，或者知道随机变量的分布类型，但不知道其分布中所含有的未知参数。怎样才能知道一个随机变量的分布或参数呢？
但它们的侧重点不同。
广东工业大学下页上页 返回利用概率论的理论对所要研究的随机现象进行多次的观察或试验，研究如何合理地获得数据，如何对所获得的数据进行整理、分析，如何对所关心的问题作出估计或是判断的一门数学学科。
3、数理统计的分类：
（ 1）试验的设计与研究：
如何收集、整理数据资料。
（ 2）统计推断：
如何对所得的数据资料进行分析、研究，从而对所研究的对象的性质、特点作出推断。
2、数理统计研究的基本内容是：
广东工业大学下页上页 返回数参估计 (第七章 )
假设检验 (第八章 )
回归分析方差分析统计推断
第九章广东工业大学下页上页 返回第六章 样本及抽样分布
§ 1 随机样本
§ 2 抽样分布广东工业大学下页上页 返回
§ 1 随机样本广东工业大学下页上页 返回
1、总体
2、个体一、总体与个体在数理统计中,把研究对象的全体称为总体或母体,
组成总体的每一个研究对象称为个体,
3、有限总体,包括有限个个体的总体,
无限总体,包括无限个个体的总体,
例 1 研究某批零件的抗拉强度,
总体,这批零件的全体有限总体个体,每一个零件
（试验全部可能的观察值）
（每一个可能的观察值）
（这批零件的抗拉强度全体）
（每一个零件的抗拉强度）
广东工业大学下页上页 返回例 2 普查广州市大学生的身高,
总体,广州市全体大学生（的身高）
个体,每个学生（身高）
有限总体例 3 测定一个育苗室各处的温度,
总体,育苗室各处温度的全体个体,每一处的温度无限总体广东工业大学下页上页 返回二、样本
1、总体的分布从总体中随机抽取一个个体的数量指标 X，
2、样本在总体 X中，抽取 n个个体,nXXX,,,21?
总体 X的一个 样本 或 子样,n称为 样本容量 （样本的个数）。
这 n个个体称为
3、样本值（样本观测值）
从总体 X中随机抽取的样本 是 n个随机变量。 nXXX,,,21?
当它们被抽取出来后就是具体数值，常记为,称为 nxxx,,,21?
样本值 或 样本观测值 。
X的分布函数和数字特征称为 总体的分布函数 和 数字特征 。
X的分布也称则 X为一个随机变量,X的所有可能的取值的全体就是 总体,
为 总体的分布 。
广东工业大学下页上页 返回
4、两种常用抽取方法
（ 1）不重复抽样（不放回抽样）
每次抽取一个不放回去，再抽取第二个，连续抽取 n次。
（ 2）重复抽样（有放回抽样）
每次抽取一个考察后放回去，再抽取第二个，连续抽取 n次。
对于无限总体或总体中个体数目较大的有限总体，一个个体是否放回，对下一次抽取影响甚微，这时不重复抽取与重复抽取没什么区别。
说明：
在实际应用中，当总体数量较大时，可将不重复抽样视为重复抽样。
广东工业大学下页上页 返回
5、样本的两个特征
（ 1）代表性：样本中每个分量与总体有相同的分布。
（ 2）独立性,n个样本相互独立。
具有上述两个特征的样本称为 简单随机样本,简称为 样本 。
简单随机样本,独立同分布广东工业大学下页上页 返回三、样本分布设总体 X的分布函数为 为样本。 nXXXxF,,,),( 21?
则样本的联合分布函数为
)()()()(),,,( 21
1
21 n
n
i
in xFxFxFxFxxxF
1、样本的联合分布函数
2、离散型
)(}{ xpxXP
设总体 X的分布律为则样本 的联合分布律为 nXXX,,,21?
)()()(},,,{ 212211 nnn xpxpxpxXxXxXP
广东工业大学下页上页 返回设总体 X的分布函数为 为样本。 nXXXxF,,,),( 21?
则样本的联合分布函数为
1、样本的联合分布函数
)()()(),,,( 2121 nn xfxfxfxxxf
3、连续型：
则样本 的联合 nXXX,,,21?设总体 X的密度函数为 ),(xf
密度函数为三、样本分布
)()()()(),,,( 21
1
21 n
n
i
in xFxFxFxFxxxF
广东工业大学下页上页 返回例 1 设总体,求样本 的联合分布律。)(~?PX nXXX,,,21?
广东工业大学下页上页 返回例 1 设总体,求样本 的联合分布律。)(~?PX nXXX,,,21?
),(~?PX总体解,其分布律为
e
kkXP
k
!}{?,2,1,0k
于是 的联合分布律为 nXXX,,,21?
},,,{ 2211 nn kXkXkXP}{
1
i
n
i
i kXP
n
i i
k
ek i
1
)!(
n
i i
k
n
ke
n
i
i
1
)!1(1
n
i
i
k
n
k
e
n
i
i
1
!
1
广东工业大学下页上页 返回例 2 设总体,求样本 的联合密度函数。),(~ 2NX nXXX,,,21?
广东工业大学下页上页 返回例 2 设总体,求样本 的联合密度函数。),(~ 2NX nXXX,,,21?
解,由已知,总体 X的密度函数为
,2 1)( 2
2
2
)(
x
exf
于是 的联合分布律为 nXXX,,,21?
n
i
ixf
1
)( 2
2
2
)(
1 2
1
ixn
i
e
n
i
ixn
e 1
2
2 )(2
1
22 )2(
x
ix
),,,( 21 nxxxf?
广东工业大学下页上页 返回例 3 设总体 X的密度函数为
其它,0
10,)1()( xxxf
求样本 的联合密度函数,nXXX,,,21?
广东工业大学下页上页 返回例 3 设总体 X的密度函数为解,样本 的联合密度函数为 nXXX,,,21?
其它,0
10,)1()( xxxf
求样本 的联合密度函数,nXXX,,,21?
n
i
ixf
1
)(
其它，0
,,2,1,10,)()1(
1
nixx i
n
i
i
n
),,,( 21 nxxxf
其它，0
10,)1(
1
i
n
i
i xx
广东工业大学下页上页 返回
§ 2 抽样分布广东工业大学下页上页 返回利用样本推断总体时，往往不能直接利用样本，而需要对它进行一定的加工，这样才能有效地利用其中的信息，否则,样本只是呈现为一堆,杂乱无章,的数据。
如何加工？
针对不同的问题构造样本的函数，利用样本的函数进行统计推断。
统计推断：
利用样本的信息对总体的分布或性质作出判断。
一、基本概念广东工业大学下页上页 返回
1、统计量为 统计量 。
),,,( 21 nXXXg?设 为来自总体 X的一个样本，nXXX,,,21?
为一连续函数，若 g中不含有未知参数,则称 ),,,( 21 nXXXg?
2、一点说明统计量 为随机变量,),,,( 21 nXXXg? nXXX,,,21?当样本为一 常量 或 观察值,),,,( 21 nxxxg?nxxx,,,21?取定观测值 后，
广东工业大学下页上页 返回例 1 设 为来自正态总体 的样本,其中 未知,),( 2N?
2? 已知，问下列哪几个是统计量。
nXXX,,,21?
n
i
iX
13
1)1(
4
1
4
1
2
2 4
1,)(1)2(
i i
ii XXXX 其中?
5
1
2)3(
i
iX
25
1
)()4(
i
iX
},,,m ax {)5( 21 nXXX?
是是是是否广东工业大学下页上页 返回
3、几个常用的统计量
（ 1）样本均值,?
n
i
iXnX
1
1
（ 2）样本方差,)(
1
1)(
1
1 2
1
2
1
22 XnX
nXXnS
n
i
i
n
i
i
样本均方差（样本标准差）,?
n
i
i XXnS
1
2)(
1
1
记住样本均值观测值为,?
n
i
ixnx
1
1
样本方差观测值为,)(11)(11 2
1
2
1
22 xnx
nxxns
n
i
i
n
i
i
样本均方差观测值,?
n
i
i xxns
1
2)(
1
1
广东工业大学下页上页 返回
3、几个常用的统计量
（ 3）样本 k阶原点矩,?
n
i
k
ik XnA
1
1
（ 4）样本 k阶中心矩,?
n
i
k
ik XXnB
1
)(1
2
2
1 S
n
nB
2
2
1 Bn
nS
n
i
i XXnB
1
2
2 )(
1
其观测值为,?
n
i
k
ik xna
1
1
其观测值为,?
n
i
k
ik xxnb
1
)(1
)(11)(11 2
1
2
1
22 XnX
nXXnS
n
i
i
n
i
i
广东工业大学下页上页 返回定理 1 设 是取自总体 X的一个样本,nXXX,,,21?,EX
则有,2DX
(1) nXDXE 2, (2) 22ES
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1?
n
i
iXnX
1
1
证 (1) XE )1(
1
n
i
iXnE?
n
i
iEXn
1
1?
n
in 1
1
XD )1(
1
n
i
iXnD?
n
i
iDXn
1
2
1?
n
in 1
2
2
1?
n
2
(2)?
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1?
n
i
ii XXXXn
1
22 )2(
1
1
n
i
n
i
n
i
ii XXXXn
1 1
2
1
2 )2(
1
1
二、性质广东工业大学下页上页 返回定理 1 设 是取自总体 X的一个样本,nXXX,,,21?,EX
则有,2DX
(1) nXDXE 2, (2) 22ES
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1?
n
i
iXnX
1
1
证二、性质
(2)?
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1?
n
i
ii XXXXn
1
22 )2(
1
1
n
i
n
i
n
i
ii XXXXn
1 1
2
1
2 )2(
1
1
n
i
n
i
ii XnXXXn
1
2
1
2 )2(
1
1
]2[11
1
222?
n
i
i XnXnXn?
n
i
i XnXn
1
22 ][
1
1
广东工业大学下页上页 返回定理 1 设 是取自总体 X的一个样本,nXXX,,,21?,EX
则有,2DX
(1) nXDXE 2, (2) 22ES
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1?
n
i
iXnX
1
1
证二、性质
(2)?
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1?
n
i
i XnXn
1
22 ][
1
1
于是 }][
1
1{
1
22?
n
i
i XnXnE2ES?
n
i
i XnEXEn
1
22 )]()([
1
1
}])([])([{11
1
22?
n
i
ii XEXDnEXDXn
)]1()([11 2222 nnnn 2
广东工业大学下页上页 返回三、经验分布函数设 是总体 F的一个样本,nXXX,,,21?
中不大于 x 的随机变量的个数，
nXXX,,,21?
用 表示)(xS
定义经验分布函数 为)(xFn
)(1)( xSnxF n x
对于给定的样本值，经验分布函数的观察值很容易得到。
经验分布 的观察值仍以 表示。)(xFn )(xFn
广东工业大学下页上页 返回例 1 设总体 F具有一个样本值 1,2,3，则经验分布函数的观察值为
)(1)( xSnxF n x
3,1
32,
3
2
21,
3
1
1,0
)(
3
x
x
x
x
xF
例 2 设总体 F具有一个样本值 1,1,2，则经验分布函数的观察值为
2,1
21,
3
2
1,0
)(3
x
x
x
xF
广东工业大学下页上页 返回一般地，设 是总体 F的一个容量为 n 的样本值。nxxx,,,21?
将 按从小到大的次序排列，并重新编号，设为 nxxx,,,21?
)()2()1( nxxx
则经验分布 的观察值为)(xFn
)(
)1()(
)1(
,1
,
,0
)(
n
kkn
xx
xxx
n
k
xx
xF
)(1)( xSnxF n x
广东工业大学下页上页 返回格里汶科定理对于任一实数 x，当 时，经验分布函数 以n )(xFn
概率 1一致收敛于总体的分布函数,)(xF 即
1}0|)()(|su plim{ xFxFP nxn
说明的问题：
对于任一实数 x，当 n充分大时，经验分布函数的任一个观察值 与总体分布函数 只有微小的差别。)(xFn )(xF
当 n充分大时，可用 代替 。)(xF)(xFn
广东工业大学下页上页 返回重点,
1、样本,独立同分布
2、常用统计量：
（ 1）样本均值：
n
i
iXnX
1
1
（ 2）样本方差：
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1
定理 1 设 是取自总体 X的一个样本,nXXX,,,21?,EX
则有,2DX
(1) nXDXE 2, (2) 22ES
广东工业大学下页上页 返回作 业
P174
1 2
广东工业大学下页上页 返回
§ 2 抽样分布（ II）
广东工业大学下页上页 返回在研究数理统计的问题时，往往需要知道所讨论的统计量的分布。
下面介绍几个与正态分布有关的统计量的分布。
何谓抽样分布?
统计量的分布称为抽样分布。
从理论上而言,只要知道了总体 X的分布,统计量的分布即可求出,但实际操作起来并不容易,
四、抽样分布广东工业大学下页上页 返回
),,(~ 2NX若四、抽样分布首先复习一下今天要用到的几个公式,
则相互独立与且若,),,(~),,(~ 222211 YXNYNX
),( 22221221 babaN~bYaX?
则 ).1,0(~ NX
广东工业大学下页上页 返回
1、定义
222212 nXXX
nXXX,,,21?设 相互独立且均服从标准正态分布,则随机变量
)(2 n?的分布称为自由度为 n的 分布,记为 。2?
2、密度函数
0,0
0,
)
2
(2
1
)(
2
1
2
2
x
xex
nxf
xn
n
dxexs xs 0 1)(其中
)(~ 2 n?
x
y
O
（一） 分布2?
广东工业大学下页上页 返回
3,分布的性质2?
若,则 )(~ 2 nX?,2,nDXnEX
（ 1）数学期望与方差证 由 分布的定义，有2?
22221 nXXXX
nXXX,,,21?其中 相互独立且均服从标准正态分布。 则
0?iEX 1?iDX 22 )( iii EXDXEX 1?
4iEX dxex
x
24
2
2
1
)(2
1 23 2xedx
]
2[
2
3 2x
ex? dxex
x
22
2
2
13
230 iEX 3?
广东工业大学下页上页 返回
3,分布的性质2?
（ 1）数学期望与方差证 由 分布的定义，有2?
22221 nXXXX
nXXX,,,21?其中 相互独立且均服从标准正态分布。 则
0?iEX 1?iDX 22 )( iii EXDXEX 1?
4iEX 3? 于是 )( 2iXD 224 )( ii EXEX 213 2
EX )(
1
2?
n
i
iXE?
n
i
iEX
1
2n?
DX )(
1
2?
n
i
iXD?
n
i
iDX
1
2n2?
若,则 )(~ 2 nX?,2,nDXnEX
广东工业大学下页上页 返回
)(~ 2 mnYX
若,且 X与 Y独立,则 )(~),(~ 22 mYnX
（ 2）可加性证 由 分布的定义，有2?
22221 nXXXX
于是
22 22 1 mnnn XXXY
其中 相互独立且均服从标准 mnnnn XXXXXX,,,,,,,2121
正态分布。
22 122221 mnnn XXXXXYX
)(~ 2 mn
广东工业大学下页上页 返回例 1 设总体 621,,,),1,0(~ XXXNX?为取自总体 X的样本,
26542321 )()( XXXXXXY
令求常数 C，使 2~?CY
广东工业大学下页上页 返回例 1 设总体 621,,,),1,0(~ XXXNX?为取自总体 X的样本,
26542321 )()( XXXXXXY
令求常数 C，使 2~?CY
解,由已知有 321 XXX )3,0(~ N? 3 321 XXX ),1,0(~ N
同理有 3 654 XXX ).1,0(~ N
且 3 321 XXX 与 3 654 XXX 相互独立,
于是，由 分布的定义有2?
26542321 )
3()3(
XXXXXX ),2(~ 2?,
3
1?C?
广东工业大学下页上页 返回
4321,,,XXXX )4,0(N
243221 )43()2( XXbXXaXa
b 2~?X
例 2 设 为来自正态总体 的简单随机样本，
，则当,
时，,其自由度为 。
记广东工业大学下页上页 返回
4321,,,XXXX )4,0(N
243221 )43()2( XXbXXaXa
b 2~?X
例 2 设 为来自正态总体 的简单随机样本，
，则当,
时，,其自由度为 。
记解,),20,0(~2 21 NXX? ).100,0(~43 43 NXX?
),1,0(~202 21 NXX? ).1,0(~1 0 043 43 NXX?
221 )
20
2( XX? )2(~)
1 0 0
43( 2243?XX,
20
1?a,
100
1?b
由已知有标准化得易知 202 21 XX? 10043 43 XX?与 相互独立,于是，由 分布的定义有2?
广东工业大学下页上页 返回老肖,56课时 (信息安全 302)的下次课从这里开始讲,
广东工业大学下页上页 返回
1、定义设 且 X,Y相互独立，则随机变量 )(~),1,0(~ 2 nYNX?
nY
XT?
所服从的分布称为自由度为 n的 t 分布 (或称学生氏分布 ),记为
)(~ ntT
2、密度函数
2
12
)1(
)
2
(
)
2
1
(
)(
n
n
x
n
n
n
xf
)(~ nt
x
y
O
（二） t 分布
x
广东工业大学下页上页 返回
3,t 分布的性质
（ 1） )(21);(l i m 2
2
xenxf
x
n
（ 3） 0)(?TE 2)( n nTD )2(?n
（ 2） 为偶函数。)(xf
x
y
O
2
12
)1(
)
2
(
)
2
1
(
)(
n
n
x
n
n
n
xf
x
广东工业大学下页上页 返回
521,,,XXX?
c?n,
d?n,
例 1 设 相互独立，且都服从标准正态分布，
)( 2221 XXc? )(2 n?服从,则（ 1）若
2
5
2
4
2
3
21
XXX
XXd
)(nt服从 分布，则（ 2）若
。
。
广东工业大学下页上页 返回
521,,,XXX?
c?n,
d?n,
例 1 设 相互独立，且都服从标准正态分布，
)( 2221 XXc? )(2 n?服从,则（ 1）若
2
5
2
4
2
3
21
XXX
XXd
)(nt服从 分布，则（ 2）若
。
。
解,（ 1） 由卡方分布的定义，易得,2,1 nc
（ 2） 由已知有 ),2,0(~21 NXX? 标准化得 )1,0(~2 21 NXX?
由卡方分布的定义有 ),3(~ 2252423?XXX
且 2 21 XX? 与 252423 XXX 相互独立。 于是,由 T分布的定义得
)3(~3/)( 2/)( 2
5
2
4
2
3
21 t
XXX
XX
得,
2
3?d,3?n
广东工业大学下页上页 返回
1、定义
mY
nXF
/
/?
),(~ mnFF所服从的分布称为 F分布。记为设,且 X与 Y相互独立，则随机变量),(~ 2 nX? )(~ 2 mY?
0,0
0,)1()(
)
2
()
2
(
)
2
(
)(
2
2
1
1
22
2
1
21
21
2111
x
xx
n
n
x
n
n
nn
nn
xf
nnnn
2、密度函数第一自由度第二自由度
),(~ mnF
x
y
O
（三 ） F 分布广东工业大学下页上页 返回
（三 ） F 分布
3,F 分布的性质
),(~1 nmFX（ 1）若,则 ),(~ mnFX
),1(~2 nFT（ 2）若,则)(~ ntT
设 且 X,Y相互独立，则 )(~),1,0(~ 2 nYNX?
nY
XT? )(~ nt
1、定义
mY
nXF
/
/?
),(~ mnFF所服从的分布称为 F分布。记为设,且 X与 Y相互独立，则随机变量),(~ 2 nX? )(~ 2 mY?
第一自由度第二自由度
),(~ mnF
广东工业大学下页上页 返回
),,0(~ 2?NX 1021,,,XXX?
2
10
2
9
2
8
2
7
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
XXXXXX
XXXXaF
),4( bF?a?b,
例 1 设随机变量 是取自总体 X的简单服从分布,则随机样本，已知统计量
。
广东工业大学下页上页 返回
),,0(~ 2?NX 1021,,,XXX?
2
10
2
9
2
8
2
7
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
XXXXXX
XXXXaF
),4( bF?a?b,
例 1 设随机变量 是取自总体 X的简单服从分布,则随机样本，已知统计量
。
解,由已知 ),,0(~ 2?NX 有 ).1,0(~ NX? 从而 1021,,,XXX?
均服从 分布，且相互独立。)1,0(N 由卡方分布的定义有
)4(~)()()( 2242221 XXXU
)6(~)()()( 22102625 XXXV
且 U与 V相互独立，
于是，由 F分布的定义得 )6,4(~6/ 4/ FVU
广东工业大学下页上页 返回
),,0(~ 2?NX 1021,,,XXX?
2
10
2
9
2
8
2
7
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
XXXXXX
XXXXaF
),4( bF?a?b,
例 1 设随机变量 是取自总体 X的简单服从分布,则随机样本，已知统计量
。
)4(~)()()( 2242221 XXXU
)6(~)()()( 22102625 XXXV
且 U与 V相互独立，
于是，由 F分布的定义得 )6,4(~6/ 4/ FVU
即 )6,4(~6/)( 4/)( 2
10
2
9
2
8
2
7
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1 F
XXXXXX
XXXX
广东工业大学下页上页 返回
),,0(~ 2?NX 1021,,,XXX?
2
10
2
9
2
8
2
7
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
XXXXXX
XXXXaF
),4( bF?a?b,
例 1 设随机变量 是取自总体 X的简单服从分布,则随机样本，已知统计量
。
即 )6,4(~6/)( 4/)( 2
10
2
9
2
8
2
7
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1 F
XXXXXX
XXXX
比较即得,23?a,6?b
广东工业大学下页上页 返回设随机变量 X的分布为已知。
在概率论中，常常需要计算对于给定 x的概率
}{ xXP?
在数理统计中，常常需要对给定的 )10( pp,求出使
pxXP }{
的 x。
p?
定义给定,若数 使得)10(x
}{ xXP
则称 为此概率分布的 上侧分位点 。x?
（或上 分位数、临界值）
（四） 上侧分位点广东工业大学下页上页 返回对给定的,使 )10(
}{ zzP
设 ),1,0(~ Nz
z dxx )(或成立的 称为标准正态分布的上侧分位点（或 上分位数）。?z
x
y
O
z
1,标准正态分布的上侧分位点如右图,
}{)( zzPz
z dxx )(1 }{
zzP?
z 1zz
1z
（ 1）
（ 2）
（ 3）
广东工业大学下页上页 返回例 1 求（ 1）,（ 2） 。025.0z 975.0z
解 （ 1） 025.0z 025.0 }{)( zzPz1
1zz
x
y
O
z
z?
1z
}{)( 025.0025.0 zzPz
0 2 5.01 975.0?
查表 96.1025.0?z
（ 2） 975.0z 975.0
0 2 5.09 7 5.0 zz
96.1
广东工业大学下页上页 返回对给定的,使 )10(
)}({ 22 nP
设 ),(~ 22 n
)(2 )(n dxxf或
x
y
O )(2 n
2,分布的上侧分位点2?
成立的 称为 分布的上侧分位点（或 上分位数）。)(2 n )(2 n?
广东工业大学下页上页 返回例 1 求（ 1）,（ 2） 。)10(2 01.0? )20(2 95.0?
x
y
O )(2 n
解 查表
209.23)10(2 01.0
851.10)20(2 95.0
广东工业大学下页上页 返回例 2 求 。 )60(2 05.0?
解注,当自由度大于 45时，可用下面近似公式
22 )12(
2
1)( nzn
2
05.0
2
05.0 )1602(2
1)60( z?
2)119645.1(
2
1
798.78?
广东工业大学下页上页 返回对给定的,使 )10(
)}({ ntTP
设 ),(~ ntT
)( )(nt dxxf或
x
y
O )(nt
3,t 分布的上侧分位点成立的 称为 分布的上侧分位点（或 上分位数）。)(nt? )(nt
)()( 1 ntnt
)(nt
)(1 nt
对称性：
广东工业大学下页上页 返回例 1 求（ 1）,（ 2）,（ 3） 。)10(05.0t )10(1.0t )20(95.0t
)10(05.0t
)10(1.0t
)20(95.0t
x
y
O )(nt
)(nt
)(1 nt
解 （ 1）
（ 2）
（ 3）
8125.1?
3722.1?
)()( 1 ntnt
)20(05.0t
7 2 4 7.1
广东工业大学下页上页 返回注,
当自由度大于 45时，可用标准正态分布来近似
znt?)(
)(21);(l i m 2
2
xenxf
x
n
由 t 分布的性质：
例 2 求 。)50(01.0t
解 )50(
01.0t 01.0z?
99.0)( 01.0?z?
326.2?
广东工业大学下页上页 返回对给定的,使 )10(
)},({ 21 nnFFP
设 ),,(~ 21 nnFF
),(
21
)(nnF dxxf或
4,F分布的上侧分位点成立的 称为 分布的上侧分位点。),( 21 nnF? ),( 21 nnF
（或 上分位数）?
x
y
O ),( 21 nnF?
广东工业大学下页上页 返回
),(
1),(
12
211 nnFnnF
证明
1)},({ 211 nnFFP
}),( 1{
12 nnF
FP
)},(1{ 12 nnFFP
)},(1{1 12 nnFFP
1
设 ),,(~ 21 nnFF
定理则由 F分布的分位数定义，有故 ),( 1),(
12
211 nnFnnF
)},(~1 12 nnFF
广东工业大学下页上页 返回例 1 求（ 1）,（ 2） 。)4,5(01.0F )7,3(95.0F
（ 2）
)4,5(01.0F
)7,3(95.0F
（ 1）解 52.15?
)3,7(
1
05.0F
89.8
1?
1125.0?
),(
1),(
12
211 nnFnnF
广东工业大学下页上页 返回作 业
P175
4 5
广东工业大学下页上页 返回老肖,72课时 (信息计算 306)的下次课从这里开始讲,
广东工业大学下页上页 返回
（五 ）正态总体样本均值与样本方差的分布定理 1 设总体,是 X的一个样本，则),(~ 2NX nXXX,,,21?
)1,0(~/ NnX
其中 为样本均值。X
证明XE
nXD
2 ),(~ 2
nNX
)1,0(~/ NnX
有从而则相互独立与且若,),,(~),,(~ 222211 YXNYNX
),( 22221221 babaN~bYaX?
),(~ 2nNX或广东工业大学下页上页 返回定理 2 设总体,是 X的一个样本，则),(~ 2NX nXXX,,,21?
)(~)(1 22
1
2 nX
n
i
i
证明
)1(~1)(1 2222
1
2?
nSnXX
n
i
i
与 相互独立。X 2S
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 1） 由已知有 )1,0(~ NX i
从而有 )(~)( 22
1
nX
n
i
i?
即 )(~)(1 22
1
2 nX
n
i
i
广东工业大学下页上页 返回定理 3 设总体,是 X的一个样本，则),(~ 2NX nXXX,,,21?
证明 由定理 1，有由定理 2，有
)1(~/ ntnSX?
)1,0(~/ NnXU
),1(~1 222 nSnV 且 与 相互独立，X 2S
从而 U与 V相互独立。 由 t 分布的定义，有
)1(~)1/( ntnV U
即 )1(~/ ntnSX?
广东工业大学下页上页 返回设,且 X与 Y相互独立,),(~),,(~ 222211 NYNX
1,,,21 nXXX?
为取自总体 X的样本，
2,,,21 nYYY?
为取自总体 Y的样本，记
1
1
n
i
iXX
2
1
n
i
iYY
1
1
2
1
2
1 )(1
1 n
i
i XXnS
2
1
2
2
2
2 )(1
1 n
i
i YYnS
1 2
1 1
22
21
2 ])()([
2
1 n
i
n
i
iiw YYXXnnS
2
)1()1(
21
2
22
2
11
nn
SnSn
广东工业大学下页上页 返回定理 4 在上述两个正态总体的条件下，有
（ 1） )1,0(~// )()(
2
2
21
2
1
21 N
nn
YXu
（ 2）
),(~
)(
1
)(
1
21
1
2
22
22
1
2
12
11
2
1
nnF
Y
n
X
n
n
i
i
n
i
i
)1,1(~
/
/
)(
)1(
1
)(
)1(
1
212
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
22
1
2
2
11
2
1
nnF
S
S
YY
n
XX
n
n
i
i
n
i
i
（ 3）
广东工业大学下页上页 返回
)1,0(~// )()(
2
2
21
2
1
21 N
nn
YXu
证明 已知 ),(~),,(~ 222211 NYNX
有 ),(~),,(~
2
2
2
2
1
2
1
1 nNYnNX
从而有 ),(~
2
2
2
1
2
1
21 nnNYX
于是定理 4 在上述两个正态总体的条件下，有
（ 1） )1,0(~// )()(
2
2
21
2
1
21 N
nn
YXu
广东工业大学下页上页 返回定理 4 在上述两个正态总体的条件下，有
（ 2）
),(~
)(
1
)(
1
21
1
2
22
22
1
2
12
11
2
1
nnF
Y
n
X
n
n
i
i
n
i
i
证明 已知总体 ),(~),,(~ 222211 NYNX
有 )1,0(~
1
1 NX i
)1,0(~
2
2 NY i
有 )(~)( 122
1 1
11 nX
n
i
i?
)(~)(
2
22
1 2
22 nY
n
i
i?
又两总体 X与 Y相互独立,由 F分布的定义即得结论（ 2）。
广东工业大学下页上页 返回定理 4 在上述两个正态总体的条件下，有
)1,1(~
/
/
)(
)1(
1
)(
)1(
1
212
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
22
1
2
2
11
2
1
nnF
S
S
YY
n
XX
n
n
i
i
n
i
i
（ 3）
证明 已知总体 ),(~),,(~ 222211 NYNX
有 )1(~)1()(1 122
1
2
11
1
2
2
1
1
nSnXX
n
i
i
又两总体 X与 Y相互独立,由 F分布的定义即得结论（ 3）。
)1(~)1()(1 222
2
2
22
1
2
2
2
2
nSnYY
n
i
i
广东工业大学下页上页 返回
（ 1） )2(~/1/1 )()( 21
21
21
nnt
nnS
YX
w
)1,1(~
)(
)1(
1
)(
)1(
1
212
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
nnF
S
S
YY
n
XX
n
n
i
i
n
i
i
（ 2）
定理 5 在定理 4的条件下，若,则有 22221
（定理 4中,的特殊情形） 22221
广东工业大学下页上页 返回定理 5 在定理 4的条件下，若,则有
（ 1）
22221
)2(~/1/1 )()( 21
21
21
nnt
nnS
YX
w
证明 )1,0(~
//
)()(
2
2
21
2
1
21 N
nn
YXu
)2(~])()([1 212
1 1
22
2
1 2
nnYYXXW
n
i
n
i
ii
)1(~)(1 12
1
2
2
1
nXX
n
i
i )1(~)(
1
2
2
1
2
2
2
nYY
n
i
i
由 t 分布的定义有整理即得结论（ 1）。
)2(~)2/( 21
21
nntnnW u
广东工业大学下页上页 返回关于一般非正态总体的情况定理 6 设 是取自总体 X的一个样本，nXXX,,,21?
,02DX 当 n 较大时，近似地有
,EX
（ 1） ),,(~
2
nNX
)1,0(~
/ Nn
X
（ 2） )1,0(~/
2
NnBX
广东工业大学下页上页 返回
),,(~ 2NX nXXX,,,21? X
2S
1?nX
1
1
n
n
S
XXT n 1?n
例 1 设 是取自总体 X的样本，
为样本均值,为样本方差,是对 X的又一观测值，
服从 t分布，自由度为试证明统计量广东工业大学下页上页 返回
nXXX,,,21? )1,0(N
X 2S
)1,0(~ NXn )(~ 22 nnS?
)1(~)1( ntS Xn
)1,1(~)1(
2
2
2
1
nF
X
Xn
n
i
i
例 2（ 05） 设 为取自 的样本，样本均值为
，样本方差为
（ A） （ B）
（ C） （ D）
，则广东工业大学下页上页 返回
921,,,XXX? X
)(61 611 XXY )(31 9872 XXXY
S
YYZ )(2 21
例 3 设 是来自正态总体 的简单随机样本，
证明统计量 Z服从自由度为 2的 t分布。
2
2
9
7
2 )(
2
1 YXS
i
i
广东工业大学下页上页 返回
)(~ ntX 21XY?例 4（ 03） 设随机变量,则 服从的分布为
)(2 n? )1(2?n?
)1,(nF ),1( nF
（ B）
（ C） （ D）
（ A）
广东工业大学下页上页 返回
nXXX,,,21? ),(~ 2NX X
n
i
i XXnS
1
22
1 )(1
1?
n
i
i XXnS
1
22
2 )(
1
n
i
iXnS
1
22
3 )(1
1
n
i
iXnS
1
22
4 )(
1?
)1(?nt
1/1?
nS
Xt?
1/2?
nS
Xt?
nS
Xt
/3
nS
Xt
/4
例 6 设 取自总体 的样本,为样本则服从 的随机变量为
（ B）
（ C） （ D）
（ A）
均值，设广东工业大学下页上页 返回
),,(~ 2NX nXXX,,,21?
,1
1
n
i
iXnX?
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1?)(
2SD
例 7 设总体 是取自总体 X的样本，记
，则广东工业大学下页上页 返回例 8 设 与 分别来服从标准正态分布总体 X和 Y的一组相互独立的简单随机样本,和 分别不其样本均值，设随机变量
4321,,,XXXX 54321,,,,YYYYY
X Y
2
5
1
2
4
1
)()( YYXXZ
i
i
i
i
则 Z的数学期望 EZ=
广东工业大学下页上页 返回
)0)(,(~ 2NX
nXXX,,,21? X 2S
2222 )( SXE
2222 )( SXE
22 )( SXE
22 )( SXE
例 10 设,从总体 X中抽取样本
，样本均值为,样本方差为
（ A）
（ B）
（ C）
（ D）
，则广东工业大学下页上页 返回
1、概率论研究的基本内容是：
在已知随机变量分布的情况下，讨论随机变量的性质、特点和规律性。例如求出它的数字特征，讨论随机变量的分布函数、分布律和密度函数，介绍常用的各种分布等等。
问 题：
这些都是数理统计要研究的问题。
在实际问题中，一个随机变量所服从的分布往往是不知道的，或者知道随机变量的分布类型，但不知道其分布中所含有的未知参数。怎样才能知道一个随机变量的分布或参数呢？
但它们的侧重点不同。
广东工业大学下页上页 返回利用概率论的理论对所要研究的随机现象进行多次的观察或试验，研究如何合理地获得数据，如何对所获得的数据进行整理、分析，如何对所关心的问题作出估计或是判断的一门数学学科。
3、数理统计的分类：
（ 1）试验的设计与研究：
如何收集、整理数据资料。
（ 2）统计推断：
如何对所得的数据资料进行分析、研究，从而对所研究的对象的性质、特点作出推断。
2、数理统计研究的基本内容是：
广东工业大学下页上页 返回数参估计 (第七章 )
假设检验 (第八章 )
回归分析方差分析统计推断
第九章广东工业大学下页上页 返回第六章 样本及抽样分布
§ 1 随机样本
§ 2 抽样分布广东工业大学下页上页 返回
§ 1 随机样本广东工业大学下页上页 返回
1、总体
2、个体一、总体与个体在数理统计中,把研究对象的全体称为总体或母体,
组成总体的每一个研究对象称为个体,
3、有限总体,包括有限个个体的总体,
无限总体,包括无限个个体的总体,
例 1 研究某批零件的抗拉强度,
总体,这批零件的全体有限总体个体,每一个零件
（试验全部可能的观察值）
（每一个可能的观察值）
（这批零件的抗拉强度全体）
（每一个零件的抗拉强度）
广东工业大学下页上页 返回例 2 普查广州市大学生的身高,
总体,广州市全体大学生（的身高）
个体,每个学生（身高）
有限总体例 3 测定一个育苗室各处的温度,
总体,育苗室各处温度的全体个体,每一处的温度无限总体广东工业大学下页上页 返回二、样本
1、总体的分布从总体中随机抽取一个个体的数量指标 X，
2、样本在总体 X中，抽取 n个个体,nXXX,,,21?
总体 X的一个 样本 或 子样,n称为 样本容量 （样本的个数）。
这 n个个体称为
3、样本值（样本观测值）
从总体 X中随机抽取的样本 是 n个随机变量。 nXXX,,,21?
当它们被抽取出来后就是具体数值，常记为,称为 nxxx,,,21?
样本值 或 样本观测值 。
X的分布函数和数字特征称为 总体的分布函数 和 数字特征 。
X的分布也称则 X为一个随机变量,X的所有可能的取值的全体就是 总体,
为 总体的分布 。
广东工业大学下页上页 返回
4、两种常用抽取方法
（ 1）不重复抽样（不放回抽样）
每次抽取一个不放回去，再抽取第二个，连续抽取 n次。
（ 2）重复抽样（有放回抽样）
每次抽取一个考察后放回去，再抽取第二个，连续抽取 n次。
对于无限总体或总体中个体数目较大的有限总体，一个个体是否放回，对下一次抽取影响甚微，这时不重复抽取与重复抽取没什么区别。
说明：
在实际应用中，当总体数量较大时，可将不重复抽样视为重复抽样。
广东工业大学下页上页 返回
5、样本的两个特征
（ 1）代表性：样本中每个分量与总体有相同的分布。
（ 2）独立性,n个样本相互独立。
具有上述两个特征的样本称为 简单随机样本,简称为 样本 。
简单随机样本,独立同分布广东工业大学下页上页 返回三、样本分布设总体 X的分布函数为 为样本。 nXXXxF,,,),( 21?
则样本的联合分布函数为
)()()()(),,,( 21
1
21 n
n
i
in xFxFxFxFxxxF
1、样本的联合分布函数
2、离散型
)(}{ xpxXP
设总体 X的分布律为则样本 的联合分布律为 nXXX,,,21?
)()()(},,,{ 212211 nnn xpxpxpxXxXxXP
广东工业大学下页上页 返回设总体 X的分布函数为 为样本。 nXXXxF,,,),( 21?
则样本的联合分布函数为
1、样本的联合分布函数
)()()(),,,( 2121 nn xfxfxfxxxf
3、连续型：
则样本 的联合 nXXX,,,21?设总体 X的密度函数为 ),(xf
密度函数为三、样本分布
)()()()(),,,( 21
1
21 n
n
i
in xFxFxFxFxxxF
广东工业大学下页上页 返回例 1 设总体,求样本 的联合分布律。)(~?PX nXXX,,,21?
广东工业大学下页上页 返回例 1 设总体,求样本 的联合分布律。)(~?PX nXXX,,,21?
),(~?PX总体解,其分布律为
e
kkXP
k
!}{?,2,1,0k
于是 的联合分布律为 nXXX,,,21?
},,,{ 2211 nn kXkXkXP}{
1
i
n
i
i kXP
n
i i
k
ek i
1
)!(
n
i i
k
n
ke
n
i
i
1
)!1(1
n
i
i
k
n
k
e
n
i
i
1
!
1
广东工业大学下页上页 返回例 2 设总体,求样本 的联合密度函数。),(~ 2NX nXXX,,,21?
广东工业大学下页上页 返回例 2 设总体,求样本 的联合密度函数。),(~ 2NX nXXX,,,21?
解,由已知,总体 X的密度函数为
,2 1)( 2
2
2
)(
x
exf
于是 的联合分布律为 nXXX,,,21?
n
i
ixf
1
)( 2
2
2
)(
1 2
1
ixn
i
e
n
i
ixn
e 1
2
2 )(2
1
22 )2(
x
ix
),,,( 21 nxxxf?
广东工业大学下页上页 返回例 3 设总体 X的密度函数为
其它,0
10,)1()( xxxf
求样本 的联合密度函数,nXXX,,,21?
广东工业大学下页上页 返回例 3 设总体 X的密度函数为解,样本 的联合密度函数为 nXXX,,,21?
其它,0
10,)1()( xxxf
求样本 的联合密度函数,nXXX,,,21?
n
i
ixf
1
)(
其它，0
,,2,1,10,)()1(
1
nixx i
n
i
i
n
),,,( 21 nxxxf
其它，0
10,)1(
1
i
n
i
i xx
广东工业大学下页上页 返回
§ 2 抽样分布广东工业大学下页上页 返回利用样本推断总体时，往往不能直接利用样本，而需要对它进行一定的加工，这样才能有效地利用其中的信息，否则,样本只是呈现为一堆,杂乱无章,的数据。
如何加工？
针对不同的问题构造样本的函数，利用样本的函数进行统计推断。
统计推断：
利用样本的信息对总体的分布或性质作出判断。
一、基本概念广东工业大学下页上页 返回
1、统计量为 统计量 。
),,,( 21 nXXXg?设 为来自总体 X的一个样本，nXXX,,,21?
为一连续函数，若 g中不含有未知参数,则称 ),,,( 21 nXXXg?
2、一点说明统计量 为随机变量,),,,( 21 nXXXg? nXXX,,,21?当样本为一 常量 或 观察值,),,,( 21 nxxxg?nxxx,,,21?取定观测值 后，
广东工业大学下页上页 返回例 1 设 为来自正态总体 的样本,其中 未知,),( 2N?
2? 已知，问下列哪几个是统计量。
nXXX,,,21?
n
i
iX
13
1)1(
4
1
4
1
2
2 4
1,)(1)2(
i i
ii XXXX 其中?
5
1
2)3(
i
iX
25
1
)()4(
i
iX
},,,m ax {)5( 21 nXXX?
是是是是否广东工业大学下页上页 返回
3、几个常用的统计量
（ 1）样本均值,?
n
i
iXnX
1
1
（ 2）样本方差,)(
1
1)(
1
1 2
1
2
1
22 XnX
nXXnS
n
i
i
n
i
i
样本均方差（样本标准差）,?
n
i
i XXnS
1
2)(
1
1
记住样本均值观测值为,?
n
i
ixnx
1
1
样本方差观测值为,)(11)(11 2
1
2
1
22 xnx
nxxns
n
i
i
n
i
i
样本均方差观测值,?
n
i
i xxns
1
2)(
1
1
广东工业大学下页上页 返回
3、几个常用的统计量
（ 3）样本 k阶原点矩,?
n
i
k
ik XnA
1
1
（ 4）样本 k阶中心矩,?
n
i
k
ik XXnB
1
)(1
2
2
1 S
n
nB
2
2
1 Bn
nS
n
i
i XXnB
1
2
2 )(
1
其观测值为,?
n
i
k
ik xna
1
1
其观测值为,?
n
i
k
ik xxnb
1
)(1
)(11)(11 2
1
2
1
22 XnX
nXXnS
n
i
i
n
i
i
广东工业大学下页上页 返回定理 1 设 是取自总体 X的一个样本,nXXX,,,21?,EX
则有,2DX
(1) nXDXE 2, (2) 22ES
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1?
n
i
iXnX
1
1
证 (1) XE )1(
1
n
i
iXnE?
n
i
iEXn
1
1?
n
in 1
1
XD )1(
1
n
i
iXnD?
n
i
iDXn
1
2
1?
n
in 1
2
2
1?
n
2
(2)?
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1?
n
i
ii XXXXn
1
22 )2(
1
1
n
i
n
i
n
i
ii XXXXn
1 1
2
1
2 )2(
1
1
二、性质广东工业大学下页上页 返回定理 1 设 是取自总体 X的一个样本,nXXX,,,21?,EX
则有,2DX
(1) nXDXE 2, (2) 22ES
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1?
n
i
iXnX
1
1
证二、性质
(2)?
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1?
n
i
ii XXXXn
1
22 )2(
1
1
n
i
n
i
n
i
ii XXXXn
1 1
2
1
2 )2(
1
1
n
i
n
i
ii XnXXXn
1
2
1
2 )2(
1
1
]2[11
1
222?
n
i
i XnXnXn?
n
i
i XnXn
1
22 ][
1
1
广东工业大学下页上页 返回定理 1 设 是取自总体 X的一个样本,nXXX,,,21?,EX
则有,2DX
(1) nXDXE 2, (2) 22ES
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1?
n
i
iXnX
1
1
证二、性质
(2)?
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1?
n
i
i XnXn
1
22 ][
1
1
于是 }][
1
1{
1
22?
n
i
i XnXnE2ES?
n
i
i XnEXEn
1
22 )]()([
1
1
}])([])([{11
1
22?
n
i
ii XEXDnEXDXn
)]1()([11 2222 nnnn 2
广东工业大学下页上页 返回三、经验分布函数设 是总体 F的一个样本,nXXX,,,21?
中不大于 x 的随机变量的个数，
nXXX,,,21?
用 表示)(xS
定义经验分布函数 为)(xFn
)(1)( xSnxF n x
对于给定的样本值，经验分布函数的观察值很容易得到。
经验分布 的观察值仍以 表示。)(xFn )(xFn
广东工业大学下页上页 返回例 1 设总体 F具有一个样本值 1,2,3，则经验分布函数的观察值为
)(1)( xSnxF n x
3,1
32,
3
2
21,
3
1
1,0
)(
3
x
x
x
x
xF
例 2 设总体 F具有一个样本值 1,1,2，则经验分布函数的观察值为
2,1
21,
3
2
1,0
)(3
x
x
x
xF
广东工业大学下页上页 返回一般地，设 是总体 F的一个容量为 n 的样本值。nxxx,,,21?
将 按从小到大的次序排列，并重新编号，设为 nxxx,,,21?
)()2()1( nxxx
则经验分布 的观察值为)(xFn
)(
)1()(
)1(
,1
,
,0
)(
n
kkn
xx
xxx
n
k
xx
xF
)(1)( xSnxF n x
广东工业大学下页上页 返回格里汶科定理对于任一实数 x，当 时，经验分布函数 以n )(xFn
概率 1一致收敛于总体的分布函数,)(xF 即
1}0|)()(|su plim{ xFxFP nxn
说明的问题：
对于任一实数 x，当 n充分大时，经验分布函数的任一个观察值 与总体分布函数 只有微小的差别。)(xFn )(xF
当 n充分大时，可用 代替 。)(xF)(xFn
广东工业大学下页上页 返回重点,
1、样本,独立同分布
2、常用统计量：
（ 1）样本均值：
n
i
iXnX
1
1
（ 2）样本方差：
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1
定理 1 设 是取自总体 X的一个样本,nXXX,,,21?,EX
则有,2DX
(1) nXDXE 2, (2) 22ES
广东工业大学下页上页 返回作 业
P174
1 2
广东工业大学下页上页 返回
§ 2 抽样分布（ II）
广东工业大学下页上页 返回在研究数理统计的问题时，往往需要知道所讨论的统计量的分布。
下面介绍几个与正态分布有关的统计量的分布。
何谓抽样分布?
统计量的分布称为抽样分布。
从理论上而言,只要知道了总体 X的分布,统计量的分布即可求出,但实际操作起来并不容易,
四、抽样分布广东工业大学下页上页 返回
),,(~ 2NX若四、抽样分布首先复习一下今天要用到的几个公式,
则相互独立与且若,),,(~),,(~ 222211 YXNYNX
),( 22221221 babaN~bYaX?
则 ).1,0(~ NX
广东工业大学下页上页 返回
1、定义
222212 nXXX
nXXX,,,21?设 相互独立且均服从标准正态分布,则随机变量
)(2 n?的分布称为自由度为 n的 分布,记为 。2?
2、密度函数
0,0
0,
)
2
(2
1
)(
2
1
2
2
x
xex
nxf
xn
n
dxexs xs 0 1)(其中
)(~ 2 n?
x
y
O
（一） 分布2?
广东工业大学下页上页 返回
3,分布的性质2?
若,则 )(~ 2 nX?,2,nDXnEX
（ 1）数学期望与方差证 由 分布的定义，有2?
22221 nXXXX
nXXX,,,21?其中 相互独立且均服从标准正态分布。 则
0?iEX 1?iDX 22 )( iii EXDXEX 1?
4iEX dxex
x
24
2
2
1
)(2
1 23 2xedx
]
2[
2
3 2x
ex? dxex
x
22
2
2
13
230 iEX 3?
广东工业大学下页上页 返回
3,分布的性质2?
（ 1）数学期望与方差证 由 分布的定义，有2?
22221 nXXXX
nXXX,,,21?其中 相互独立且均服从标准正态分布。 则
0?iEX 1?iDX 22 )( iii EXDXEX 1?
4iEX 3? 于是 )( 2iXD 224 )( ii EXEX 213 2
EX )(
1
2?
n
i
iXE?
n
i
iEX
1
2n?
DX )(
1
2?
n
i
iXD?
n
i
iDX
1
2n2?
若,则 )(~ 2 nX?,2,nDXnEX
广东工业大学下页上页 返回
)(~ 2 mnYX
若,且 X与 Y独立,则 )(~),(~ 22 mYnX
（ 2）可加性证 由 分布的定义，有2?
22221 nXXXX
于是
22 22 1 mnnn XXXY
其中 相互独立且均服从标准 mnnnn XXXXXX,,,,,,,2121
正态分布。
22 122221 mnnn XXXXXYX
)(~ 2 mn
广东工业大学下页上页 返回例 1 设总体 621,,,),1,0(~ XXXNX?为取自总体 X的样本,
26542321 )()( XXXXXXY
令求常数 C，使 2~?CY
广东工业大学下页上页 返回例 1 设总体 621,,,),1,0(~ XXXNX?为取自总体 X的样本,
26542321 )()( XXXXXXY
令求常数 C，使 2~?CY
解,由已知有 321 XXX )3,0(~ N? 3 321 XXX ),1,0(~ N
同理有 3 654 XXX ).1,0(~ N
且 3 321 XXX 与 3 654 XXX 相互独立,
于是，由 分布的定义有2?
26542321 )
3()3(
XXXXXX ),2(~ 2?,
3
1?C?
广东工业大学下页上页 返回
4321,,,XXXX )4,0(N
243221 )43()2( XXbXXaXa
b 2~?X
例 2 设 为来自正态总体 的简单随机样本，
，则当,
时，,其自由度为 。
记广东工业大学下页上页 返回
4321,,,XXXX )4,0(N
243221 )43()2( XXbXXaXa
b 2~?X
例 2 设 为来自正态总体 的简单随机样本，
，则当,
时，,其自由度为 。
记解,),20,0(~2 21 NXX? ).100,0(~43 43 NXX?
),1,0(~202 21 NXX? ).1,0(~1 0 043 43 NXX?
221 )
20
2( XX? )2(~)
1 0 0
43( 2243?XX,
20
1?a,
100
1?b
由已知有标准化得易知 202 21 XX? 10043 43 XX?与 相互独立,于是，由 分布的定义有2?
广东工业大学下页上页 返回老肖,56课时 (信息安全 302)的下次课从这里开始讲,
广东工业大学下页上页 返回
1、定义设 且 X,Y相互独立，则随机变量 )(~),1,0(~ 2 nYNX?
nY
XT?
所服从的分布称为自由度为 n的 t 分布 (或称学生氏分布 ),记为
)(~ ntT
2、密度函数
2
12
)1(
)
2
(
)
2
1
(
)(
n
n
x
n
n
n
xf
)(~ nt
x
y
O
（二） t 分布
x
广东工业大学下页上页 返回
3,t 分布的性质
（ 1） )(21);(l i m 2
2
xenxf
x
n
（ 3） 0)(?TE 2)( n nTD )2(?n
（ 2） 为偶函数。)(xf
x
y
O
2
12
)1(
)
2
(
)
2
1
(
)(
n
n
x
n
n
n
xf
x
广东工业大学下页上页 返回
521,,,XXX?
c?n,
d?n,
例 1 设 相互独立，且都服从标准正态分布，
)( 2221 XXc? )(2 n?服从,则（ 1）若
2
5
2
4
2
3
21
XXX
XXd
)(nt服从 分布，则（ 2）若
。
。
广东工业大学下页上页 返回
521,,,XXX?
c?n,
d?n,
例 1 设 相互独立，且都服从标准正态分布，
)( 2221 XXc? )(2 n?服从,则（ 1）若
2
5
2
4
2
3
21
XXX
XXd
)(nt服从 分布，则（ 2）若
。
。
解,（ 1） 由卡方分布的定义，易得,2,1 nc
（ 2） 由已知有 ),2,0(~21 NXX? 标准化得 )1,0(~2 21 NXX?
由卡方分布的定义有 ),3(~ 2252423?XXX
且 2 21 XX? 与 252423 XXX 相互独立。 于是,由 T分布的定义得
)3(~3/)( 2/)( 2
5
2
4
2
3
21 t
XXX
XX
得,
2
3?d,3?n
广东工业大学下页上页 返回
1、定义
mY
nXF
/
/?
),(~ mnFF所服从的分布称为 F分布。记为设,且 X与 Y相互独立，则随机变量),(~ 2 nX? )(~ 2 mY?
0,0
0,)1()(
)
2
()
2
(
)
2
(
)(
2
2
1
1
22
2
1
21
21
2111
x
xx
n
n
x
n
n
nn
nn
xf
nnnn
2、密度函数第一自由度第二自由度
),(~ mnF
x
y
O
（三 ） F 分布广东工业大学下页上页 返回
（三 ） F 分布
3,F 分布的性质
),(~1 nmFX（ 1）若,则 ),(~ mnFX
),1(~2 nFT（ 2）若,则)(~ ntT
设 且 X,Y相互独立，则 )(~),1,0(~ 2 nYNX?
nY
XT? )(~ nt
1、定义
mY
nXF
/
/?
),(~ mnFF所服从的分布称为 F分布。记为设,且 X与 Y相互独立，则随机变量),(~ 2 nX? )(~ 2 mY?
第一自由度第二自由度
),(~ mnF
广东工业大学下页上页 返回
),,0(~ 2?NX 1021,,,XXX?
2
10
2
9
2
8
2
7
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
XXXXXX
XXXXaF
),4( bF?a?b,
例 1 设随机变量 是取自总体 X的简单服从分布,则随机样本，已知统计量
。
广东工业大学下页上页 返回
),,0(~ 2?NX 1021,,,XXX?
2
10
2
9
2
8
2
7
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
XXXXXX
XXXXaF
),4( bF?a?b,
例 1 设随机变量 是取自总体 X的简单服从分布,则随机样本，已知统计量
。
解,由已知 ),,0(~ 2?NX 有 ).1,0(~ NX? 从而 1021,,,XXX?
均服从 分布，且相互独立。)1,0(N 由卡方分布的定义有
)4(~)()()( 2242221 XXXU
)6(~)()()( 22102625 XXXV
且 U与 V相互独立，
于是，由 F分布的定义得 )6,4(~6/ 4/ FVU
广东工业大学下页上页 返回
),,0(~ 2?NX 1021,,,XXX?
2
10
2
9
2
8
2
7
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
XXXXXX
XXXXaF
),4( bF?a?b,
例 1 设随机变量 是取自总体 X的简单服从分布,则随机样本，已知统计量
。
)4(~)()()( 2242221 XXXU
)6(~)()()( 22102625 XXXV
且 U与 V相互独立，
于是，由 F分布的定义得 )6,4(~6/ 4/ FVU
即 )6,4(~6/)( 4/)( 2
10
2
9
2
8
2
7
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1 F
XXXXXX
XXXX
广东工业大学下页上页 返回
),,0(~ 2?NX 1021,,,XXX?
2
10
2
9
2
8
2
7
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
XXXXXX
XXXXaF
),4( bF?a?b,
例 1 设随机变量 是取自总体 X的简单服从分布,则随机样本，已知统计量
。
即 )6,4(~6/)( 4/)( 2
10
2
9
2
8
2
7
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1 F
XXXXXX
XXXX
比较即得,23?a,6?b
广东工业大学下页上页 返回设随机变量 X的分布为已知。
在概率论中，常常需要计算对于给定 x的概率
}{ xXP?
在数理统计中，常常需要对给定的 )10( pp,求出使
pxXP }{
的 x。
p?
定义给定,若数 使得)10(x
}{ xXP
则称 为此概率分布的 上侧分位点 。x?
（或上 分位数、临界值）
（四） 上侧分位点广东工业大学下页上页 返回对给定的,使 )10(
}{ zzP
设 ),1,0(~ Nz
z dxx )(或成立的 称为标准正态分布的上侧分位点（或 上分位数）。?z
x
y
O
z
1,标准正态分布的上侧分位点如右图,
}{)( zzPz
z dxx )(1 }{
zzP?
z 1zz
1z
（ 1）
（ 2）
（ 3）
广东工业大学下页上页 返回例 1 求（ 1）,（ 2） 。025.0z 975.0z
解 （ 1） 025.0z 025.0 }{)( zzPz1
1zz
x
y
O
z
z?
1z
}{)( 025.0025.0 zzPz
0 2 5.01 975.0?
查表 96.1025.0?z
（ 2） 975.0z 975.0
0 2 5.09 7 5.0 zz
96.1
广东工业大学下页上页 返回对给定的,使 )10(
)}({ 22 nP
设 ),(~ 22 n
)(2 )(n dxxf或
x
y
O )(2 n
2,分布的上侧分位点2?
成立的 称为 分布的上侧分位点（或 上分位数）。)(2 n )(2 n?
广东工业大学下页上页 返回例 1 求（ 1）,（ 2） 。)10(2 01.0? )20(2 95.0?
x
y
O )(2 n
解 查表
209.23)10(2 01.0
851.10)20(2 95.0
广东工业大学下页上页 返回例 2 求 。 )60(2 05.0?
解注,当自由度大于 45时，可用下面近似公式
22 )12(
2
1)( nzn
2
05.0
2
05.0 )1602(2
1)60( z?
2)119645.1(
2
1
798.78?
广东工业大学下页上页 返回对给定的,使 )10(
)}({ ntTP
设 ),(~ ntT
)( )(nt dxxf或
x
y
O )(nt
3,t 分布的上侧分位点成立的 称为 分布的上侧分位点（或 上分位数）。)(nt? )(nt
)()( 1 ntnt
)(nt
)(1 nt
对称性：
广东工业大学下页上页 返回例 1 求（ 1）,（ 2）,（ 3） 。)10(05.0t )10(1.0t )20(95.0t
)10(05.0t
)10(1.0t
)20(95.0t
x
y
O )(nt
)(nt
)(1 nt
解 （ 1）
（ 2）
（ 3）
8125.1?
3722.1?
)()( 1 ntnt
)20(05.0t
7 2 4 7.1
广东工业大学下页上页 返回注,
当自由度大于 45时，可用标准正态分布来近似
znt?)(
)(21);(l i m 2
2
xenxf
x
n
由 t 分布的性质：
例 2 求 。)50(01.0t
解 )50(
01.0t 01.0z?
99.0)( 01.0?z?
326.2?
广东工业大学下页上页 返回对给定的,使 )10(
)},({ 21 nnFFP
设 ),,(~ 21 nnFF
),(
21
)(nnF dxxf或
4,F分布的上侧分位点成立的 称为 分布的上侧分位点。),( 21 nnF? ),( 21 nnF
（或 上分位数）?
x
y
O ),( 21 nnF?
广东工业大学下页上页 返回
),(
1),(
12
211 nnFnnF
证明
1)},({ 211 nnFFP
}),( 1{
12 nnF
FP
)},(1{ 12 nnFFP
)},(1{1 12 nnFFP
1
设 ),,(~ 21 nnFF
定理则由 F分布的分位数定义，有故 ),( 1),(
12
211 nnFnnF
)},(~1 12 nnFF
广东工业大学下页上页 返回例 1 求（ 1）,（ 2） 。)4,5(01.0F )7,3(95.0F
（ 2）
)4,5(01.0F
)7,3(95.0F
（ 1）解 52.15?
)3,7(
1
05.0F
89.8
1?
1125.0?
),(
1),(
12
211 nnFnnF
广东工业大学下页上页 返回作 业
P175
4 5
广东工业大学下页上页 返回老肖,72课时 (信息计算 306)的下次课从这里开始讲,
广东工业大学下页上页 返回
（五 ）正态总体样本均值与样本方差的分布定理 1 设总体,是 X的一个样本，则),(~ 2NX nXXX,,,21?
)1,0(~/ NnX
其中 为样本均值。X
证明XE
nXD
2 ),(~ 2
nNX
)1,0(~/ NnX
有从而则相互独立与且若,),,(~),,(~ 222211 YXNYNX
),( 22221221 babaN~bYaX?
),(~ 2nNX或广东工业大学下页上页 返回定理 2 设总体,是 X的一个样本，则),(~ 2NX nXXX,,,21?
)(~)(1 22
1
2 nX
n
i
i
证明
)1(~1)(1 2222
1
2?
nSnXX
n
i
i
与 相互独立。X 2S
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 1） 由已知有 )1,0(~ NX i
从而有 )(~)( 22
1
nX
n
i
i?
即 )(~)(1 22
1
2 nX
n
i
i
广东工业大学下页上页 返回定理 3 设总体,是 X的一个样本，则),(~ 2NX nXXX,,,21?
证明 由定理 1，有由定理 2，有
)1(~/ ntnSX?
)1,0(~/ NnXU
),1(~1 222 nSnV 且 与 相互独立，X 2S
从而 U与 V相互独立。 由 t 分布的定义，有
)1(~)1/( ntnV U
即 )1(~/ ntnSX?
广东工业大学下页上页 返回设,且 X与 Y相互独立,),(~),,(~ 222211 NYNX
1,,,21 nXXX?
为取自总体 X的样本，
2,,,21 nYYY?
为取自总体 Y的样本，记
1
1
n
i
iXX
2
1
n
i
iYY
1
1
2
1
2
1 )(1
1 n
i
i XXnS
2
1
2
2
2
2 )(1
1 n
i
i YYnS
1 2
1 1
22
21
2 ])()([
2
1 n
i
n
i
iiw YYXXnnS
2
)1()1(
21
2
22
2
11
nn
SnSn
广东工业大学下页上页 返回定理 4 在上述两个正态总体的条件下，有
（ 1） )1,0(~// )()(
2
2
21
2
1
21 N
nn
YXu
（ 2）
),(~
)(
1
)(
1
21
1
2
22
22
1
2
12
11
2
1
nnF
Y
n
X
n
n
i
i
n
i
i
)1,1(~
/
/
)(
)1(
1
)(
)1(
1
212
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
22
1
2
2
11
2
1
nnF
S
S
YY
n
XX
n
n
i
i
n
i
i
（ 3）
广东工业大学下页上页 返回
)1,0(~// )()(
2
2
21
2
1
21 N
nn
YXu
证明 已知 ),(~),,(~ 222211 NYNX
有 ),(~),,(~
2
2
2
2
1
2
1
1 nNYnNX
从而有 ),(~
2
2
2
1
2
1
21 nnNYX
于是定理 4 在上述两个正态总体的条件下，有
（ 1） )1,0(~// )()(
2
2
21
2
1
21 N
nn
YXu
广东工业大学下页上页 返回定理 4 在上述两个正态总体的条件下，有
（ 2）
),(~
)(
1
)(
1
21
1
2
22
22
1
2
12
11
2
1
nnF
Y
n
X
n
n
i
i
n
i
i
证明 已知总体 ),(~),,(~ 222211 NYNX
有 )1,0(~
1
1 NX i
)1,0(~
2
2 NY i
有 )(~)( 122
1 1
11 nX
n
i
i?
)(~)(
2
22
1 2
22 nY
n
i
i?
又两总体 X与 Y相互独立,由 F分布的定义即得结论（ 2）。
广东工业大学下页上页 返回定理 4 在上述两个正态总体的条件下，有
)1,1(~
/
/
)(
)1(
1
)(
)1(
1
212
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
22
1
2
2
11
2
1
nnF
S
S
YY
n
XX
n
n
i
i
n
i
i
（ 3）
证明 已知总体 ),(~),,(~ 222211 NYNX
有 )1(~)1()(1 122
1
2
11
1
2
2
1
1
nSnXX
n
i
i
又两总体 X与 Y相互独立,由 F分布的定义即得结论（ 3）。
)1(~)1()(1 222
2
2
22
1
2
2
2
2
nSnYY
n
i
i
广东工业大学下页上页 返回
（ 1） )2(~/1/1 )()( 21
21
21
nnt
nnS
YX
w
)1,1(~
)(
)1(
1
)(
)1(
1
212
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
nnF
S
S
YY
n
XX
n
n
i
i
n
i
i
（ 2）
定理 5 在定理 4的条件下，若,则有 22221
（定理 4中,的特殊情形） 22221
广东工业大学下页上页 返回定理 5 在定理 4的条件下，若,则有
（ 1）
22221
)2(~/1/1 )()( 21
21
21
nnt
nnS
YX
w
证明 )1,0(~
//
)()(
2
2
21
2
1
21 N
nn
YXu
)2(~])()([1 212
1 1
22
2
1 2
nnYYXXW
n
i
n
i
ii
)1(~)(1 12
1
2
2
1
nXX
n
i
i )1(~)(
1
2
2
1
2
2
2
nYY
n
i
i
由 t 分布的定义有整理即得结论（ 1）。
)2(~)2/( 21
21
nntnnW u
广东工业大学下页上页 返回关于一般非正态总体的情况定理 6 设 是取自总体 X的一个样本，nXXX,,,21?
,02DX 当 n 较大时，近似地有
,EX
（ 1） ),,(~
2
nNX
)1,0(~
/ Nn
X
（ 2） )1,0(~/
2
NnBX
广东工业大学下页上页 返回
),,(~ 2NX nXXX,,,21? X
2S
1?nX
1
1
n
n
S
XXT n 1?n
例 1 设 是取自总体 X的样本，
为样本均值,为样本方差,是对 X的又一观测值，
服从 t分布，自由度为试证明统计量广东工业大学下页上页 返回
nXXX,,,21? )1,0(N
X 2S
)1,0(~ NXn )(~ 22 nnS?
)1(~)1( ntS Xn
)1,1(~)1(
2
2
2
1
nF
X
Xn
n
i
i
例 2（ 05） 设 为取自 的样本，样本均值为
，样本方差为
（ A） （ B）
（ C） （ D）
，则广东工业大学下页上页 返回
921,,,XXX? X
)(61 611 XXY )(31 9872 XXXY
S
YYZ )(2 21
例 3 设 是来自正态总体 的简单随机样本，
证明统计量 Z服从自由度为 2的 t分布。
2
2
9
7
2 )(
2
1 YXS
i
i
广东工业大学下页上页 返回
)(~ ntX 21XY?例 4（ 03） 设随机变量,则 服从的分布为
)(2 n? )1(2?n?
)1,(nF ),1( nF
（ B）
（ C） （ D）
（ A）
广东工业大学下页上页 返回
nXXX,,,21? ),(~ 2NX X
n
i
i XXnS
1
22
1 )(1
1?
n
i
i XXnS
1
22
2 )(
1
n
i
iXnS
1
22
3 )(1
1
n
i
iXnS
1
22
4 )(
1?
)1(?nt
1/1?
nS
Xt?
1/2?
nS
Xt?
nS
Xt
/3
nS
Xt
/4
例 6 设 取自总体 的样本,为样本则服从 的随机变量为
（ B）
（ C） （ D）
（ A）
均值，设广东工业大学下页上页 返回
),,(~ 2NX nXXX,,,21?
,1
1
n
i
iXnX?
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1?)(
2SD
例 7 设总体 是取自总体 X的样本，记
，则广东工业大学下页上页 返回例 8 设 与 分别来服从标准正态分布总体 X和 Y的一组相互独立的简单随机样本,和 分别不其样本均值，设随机变量
4321,,,XXXX 54321,,,,YYYYY
X Y
2
5
1
2
4
1
)()( YYXXZ
i
i
i
i
则 Z的数学期望 EZ=
广东工业大学下页上页 返回
)0)(,(~ 2NX
nXXX,,,21? X 2S
2222 )( SXE
2222 )( SXE
22 )( SXE
22 )( SXE
例 10 设,从总体 X中抽取样本
，样本均值为,样本方差为
（ A）
（ B）
（ C）
（ D）
，则广东工业大学下页上页 返回
