广东工业大学下页上页 返回第二章小结
§ 1 随机变量
§ 2 离散型随机变量及其分布律
§ 3 随机变量的分布函数
§ 4 连续型随机变量及其概率密度
§ 5 随机变量的函数的分布广东工业大学下页上页 返回主 要 内 容一、随机变量的定义如果对于试验的每一个可能结果，也就是一个样本点 e，
都对应着一个实数 X(e)，而 X(e)又是随试验结果的不同而变化的一个变量，则称它为 随机变量 。
二、离散型随机变量及其分布律所有可能的取值只有 有限个 或 可列无限多个 。
（一）定义广东工业大学下页上页 返回
（二）离散型随机变量的分布律分布列设随机变量 X所有可能的取值为
,,,,21 nxxx
且取每一个可能值的概率为
ii pxXP }{?,2,1?i
称（ *）式为随机变量 X的 概率分布 （或称为 分布律 ）。
（ *）
（ *）式也可表为
n
n
pppP
xxxX
21
21
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（三）几种重要的离散型随机变量
（ 1） （ 0— 1）分布设随机变量 X所有可能的取值为 0和 1，其分布律为
kk ppkXP 1)1(}{ 1,0?k )10( p
或写为 ppPX?1 10
则称 X服从参数为 p的（ 0— 1）分布。
广东工业大学下页上页 返回
knk pp
k
nkXP
)1()(
nk,,2,1,0
pn,则称随机变量 服从参数为 的二项分布，X
),(~ pnBX
记为特别，当 n =1时的二项分布为分布10? ),1( pB
（ 2）二项分布若随机变量 X的分布律为
ppP
X
1
10
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（ 3） 泊松分布若随机变量 X的分布律为
!}{ k
ekXP k,3,2,1,0?k
则称随机变量 X服从参数为 的泊松分布。记为?
)(~X )(~?PX
其中,0
或定理 (泊松定理 ),有关并与设随机变量 ))1,0()(,(~ nppnBX?
，则且满足 npnl i m
,2,1,0!lim)(lim kekqpknkXP
k
knk
nn,
广东工业大学下页上页 返回
1、分布函数的定义设 X为一个随机变量,x为任意实数，函数
}{ xXP)( xF
称为随机变量 X的 分布函数 。
三、随机变量的分布函数广东工业大学下页上页 返回
2、分布函数的性质
（ 1） 为单调不减函数。即对任意,都有)(xF 21 xx?
)()( 21 xFxF?
（ 2） 1)(0 xF,且有
0)(lim)( xFF x 1)(lim)( xFF x
（ 3）,即 是右连续的。 )()0( xFxF )(xF
)()(}{ aFbFbXaP
)0()(}{ aFaFaXP
（ 4）
}{ bXaP )0()( aFbF
}{ bXaP )()0( aFbF
)0()0(}{ aFbFbXaP
广东工业大学下页上页 返回设离散型随机变量的分布律为
ii pxXP }{?,2,1?i
或
n
n
pppP
xxxX
21
21
3、离散型随机变量的分布函数则 X的分布函数为
}{}{)(?
xx ii
xXPxXPxF?
xx ii
p
广东工业大学下页上页 返回
0 xx
面积
1、定义如果对于随机变量 X的分布函数,存在非负函数,)(xF )(xf
使得对任意实数 x，都有
dttfxF x )()(
则称 X为 连续型随机变量,其中 称为 X的 概率密度函数,)(xf
简称为 密度函数,密度 或 概率密度 。
)(xf }{)( xXPxF
记为
)(~ xFX
)(~ xfX
四、连续型随机变量及其密度函数
（一） 密度函数及其性质广东工业大学下页上页 返回
2、密度函数的性质
dttfxF x )()(
（ 1） 0)(?xf （ 2） 1)( dxxf
（ 3） 是 上的连续函数。)(xF ),(
（ 5）对于任意实数,有ba?
)()(' xfxF?
0}{ aXP（ 4）
（ 6） 若 在点 x处连续，则)(xf
}{ bXaP )()( aFbF ba dxxf )(
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（二）几类重要的连续型随机变量
1,均匀分布设连续型随机变量 X具有概率密度
其它,0
,1)( bxa
abxf
则称 X在区间 上服从 均匀分布 。),( ba 记为 ).,(~ baUX
均匀分布的分布函数
xb
bxa
ab
ax
ax
xF
1
0
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2,指数分布设连续型随机变量 X具有概率密度
其它,0
0,1)( / xexf x?
则称 X服从参数为 的 指数分布 。其中,0
指数分布的分布函数
0,0
0,1 /
x
xexF x?
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3、正态分布
（ 1）定义设连续型随机变量 X具有概率密度
2
2
2
)(
2
1)(
x
exf
则称 X服从参数为 的 正态分布 或 高斯分布 。?,
x
记为 ),(~ 2NX
x0
)(xf
密度函数的图形：
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（ 2）标准正态分布当 时称 X服从 标准正态分布 。1,0
)1,0(~ NX
标准正态分布的密度函数为：
,21)( 2
2x
ex x
标准正态分布的分布函数为：
tex x
t
d21)( 2
2
)(1)( xx
x0
)(xf
aa?
}{}{ aXPaXP由对称性，显然有即有 5.0)0(?特别地，有广东工业大学下页上页 返回引理 若 ),,(~ 2NX 则 ).1,0(~ NXZ
（ 3）一般正态分布与标准正态分布的关系广东工业大学下页上页 返回
（ 4）上 分位数?
设,若 满足条件)1,0(~ NX?z
}{ zXP 10
则称点 为标准正态分布的 上?z? x
y
O
z
z?
1z分位点（或分位数）。
zz1对正态密度函数的对称性，有
}{ zXP 1)( z
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（一）离散型随机变量函数的分布设随机变量 X的分布律为
ii pxXP }{?,2,1?i
n
n
pppP
xxxX
21
21
求随机变量 的分布律。 )( XgY?
或
（ 1） 求出随机变量 Y所有可能的取值；
（ 2） 求出随机变量 Y取每一个值的概率。
方法五、随机变量函数的分布广东工业大学下页上页 返回
（二）连续型随机变量函数的分布
)( XgY?
1、分布函数法先求 Y的分布函数，再求密度函数。
由分布函数的定义,Y的分布函数为
}{)( yYPyF Y
设连续型随机变量 X的密度函数 （或分布函数 ），)(xf )(xF
求随机变量 Y的密度函数 （或分布函数 ）。)(yfY )(yFY
})({ yXgP
yxg
dxxf
)(
)(
于是,Y的密度函数为
)(yfY dy ydF Y )(? dy
dxxfd
yxg
)(
)(
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2、公式法
)( XgY?
函数 处处可导且恒有 （或恒有 ），则)(xg 0)('?xg 0)('?xg
是连续型随机变量，其概率密度为设连续型随机变量 X的密度函数,),( xxf 又设
其它,0
|,)('|)]([)( yyhyhfyf
Y
其中 )),(),(m i n( gg? )),(),(m a x ( gg?
)(yh )(xg是 的反函数。
广东工业大学下页上页 返回习题选讲广东工业大学下页上页 返回
1 一袋子中装有 5只球，编号为 1,2,3,4,5。在袋中同时取 3只，
以 X表示取出的 3只球中的最大号码，写出随机变量 X的分布律。
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3 设在 15只同类型的零件中有 2只是次品，在其中取 3次，每次任取 1只，作不放回抽样。以 X表示取出次品的只数。
（ 1）求 X的分布律；（ 2）画出分布律的图形。
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5 一房间有 3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。
（ 1）以 X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求 X的分布律。
（ 2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以 Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求 Y的分布律。
（ 3）求试飞次数 X小于 Y的概率；求试飞次数 Y小于 X的概率。
广东工业大学下页上页 返回
15 在区间 上任意投掷一个质点，以 X表示这个质点的坐标。设这个质点落在 中任意小区间内的概率与这个区间的长度成正比。试求 X的分布函数。
],0[ a
],0[ a
广东工业大学下页上页 返回
16 以 X表示某商店早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计）,X的分布函数为
0,0
0,1)( 4.0
x
xexF x
X
求下述概率：
（ 1） P{至多 3分钟 }；
（ 2） P{至少 4分钟 }；
（ 3） P{3分钟至 4分钟之间 }；
（ 4） P{至多 3分钟或至少 4分钟 }；
（ 5） P{恰好 2.5分钟 }；
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17 设随机变量 X的分布函数为
ex
exx
x
xF X
,1
1,ln
1,0
)(
（ 1）求 };2/52{},30{},2{ XPXPXP
（ 2）求概率密度 ).(xfX
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19 （ 1）由统计物理学知，分子运动速度的绝对值 X服从马克斯韦尔分布，其概率密度为
其它,0
0,)( /2 2 xeAxxf bx
其中,k为 Boltzmann常数,T为绝对温度,m是分)2/( kTmb?
子的质量。试确定常数 A。
广东工业大学下页上页 返回
（ 2）研究了英格兰在 1875年 ~1951年期间，在矿山发生导致 10人或 10以上死亡的事故的频繁程度，得知相继两次事故之间的时间
T（以日记）服从指数分布，其概率密度为
其它,0
0,
2 4 1
1
)(
2 4 1/ te
xf
t
T
求分布函数,并求概率 。)(tFT }1 0 050{ TP
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20 某种型号的器件的寿命 X（以小时记）具有以下的概率密度：
其它,0
1000,1000)( 2 x
xxf
设有一大批此种器件（设器件损坏与否相互独立），任取 5只，
问其中至少有 2只寿命大于 1500小时的概率是多少？
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22 设 K在（ 0,5）上服从均匀分布。求 x的方程
0244 2 KKxx
有实根的概率。
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23 设,（ 1）求)4,3(~ NX },104{},52{ XPXP
};3{},2|{| XPXP （ 2）确定 c使得 };{}{ cXPcXP
（ 3）设 d满足,问 d至多为多少？ 9.0}{ dXP
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27 设随机变量 X的分布律为
30/1115/15/16/15/1
31012
P
X
求 的分布律。2XY?
广东工业大学下页上页 返回
28 设随机变量 X在（ 0,1）上服从均匀分布。
（ 1）求 的概率密度；XeY?
（ 2）求 的概率密度。 XY ln2
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30 （ 1）设随机变量 X的概率密度为,),( xxf
求 的概率密度。3XY?
（ 2）设随机变量 X的概率密度为
其它,0
0,)( xexf x
求 的概率密度。2XY?
广东工业大学下页上页 返回
31 设随机变量 X的概率密度为
其它,0
0,2)( 2?
xxxf
求 的概率密度。XY sin?
广东工业大学下页上页 返回补例 1 设随机变量 X在（ 0,1）上服从均匀分布，现有一常数
a，任取 Ｘ 的四个值，已知至少有一个大于 a的概率为０,９，
问 a是多少？
广东工业大学下页上页 返回补例 2设 X为随机变量，若矩阵
010
20
232
XA
的特征值全是实数的概率为 0.5，则 X可能服从
(A) (B)
(C) (D)
的均匀分布]2,0[
)1,0(N正态分布的指数分布参数为 1
)5.0,2(B二项分布广东工业大学下页上页 返回补例 3 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为,则此人 4次射击恰好 2次命中目标的概率为)10( pp
(A) (B)
(C) (D)
2)1(3 pp? 2)1(6 pp?
22 )1(3 pp? 22 )1(6 pp?
2007
广东工业大学下页上页 返回补例 4 设随机变量 X的绝对值不大于 1；且;4/1}1{XP
,8/1}1{XP
在事件 出现的条件下,X在)11( X )1,1(?
内的任意一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正试求 (1)X的分布函数； (2)X取负值的概率 p。比。
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§ 1 随机变量
§ 2 离散型随机变量及其分布律
§ 3 随机变量的分布函数
§ 4 连续型随机变量及其概率密度
§ 5 随机变量的函数的分布广东工业大学下页上页 返回主 要 内 容一、随机变量的定义如果对于试验的每一个可能结果，也就是一个样本点 e，
都对应着一个实数 X(e)，而 X(e)又是随试验结果的不同而变化的一个变量，则称它为 随机变量 。
二、离散型随机变量及其分布律所有可能的取值只有 有限个 或 可列无限多个 。
（一）定义广东工业大学下页上页 返回
（二）离散型随机变量的分布律分布列设随机变量 X所有可能的取值为
,,,,21 nxxx
且取每一个可能值的概率为
ii pxXP }{?,2,1?i
称（ *）式为随机变量 X的 概率分布 （或称为 分布律 ）。
（ *）
（ *）式也可表为
n
n
pppP
xxxX
21
21
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（三）几种重要的离散型随机变量
（ 1） （ 0— 1）分布设随机变量 X所有可能的取值为 0和 1，其分布律为
kk ppkXP 1)1(}{ 1,0?k )10( p
或写为 ppPX?1 10
则称 X服从参数为 p的（ 0— 1）分布。
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knk pp
k
nkXP
)1()(
nk,,2,1,0
pn,则称随机变量 服从参数为 的二项分布，X
),(~ pnBX
记为特别，当 n =1时的二项分布为分布10? ),1( pB
（ 2）二项分布若随机变量 X的分布律为
ppP
X
1
10
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（ 3） 泊松分布若随机变量 X的分布律为
!}{ k
ekXP k,3,2,1,0?k
则称随机变量 X服从参数为 的泊松分布。记为?
)(~X )(~?PX
其中,0
或定理 (泊松定理 ),有关并与设随机变量 ))1,0()(,(~ nppnBX?
，则且满足 npnl i m
,2,1,0!lim)(lim kekqpknkXP
k
knk
nn,
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1、分布函数的定义设 X为一个随机变量,x为任意实数，函数
}{ xXP)( xF
称为随机变量 X的 分布函数 。
三、随机变量的分布函数广东工业大学下页上页 返回
2、分布函数的性质
（ 1） 为单调不减函数。即对任意,都有)(xF 21 xx?
)()( 21 xFxF?
（ 2） 1)(0 xF,且有
0)(lim)( xFF x 1)(lim)( xFF x
（ 3）,即 是右连续的。 )()0( xFxF )(xF
)()(}{ aFbFbXaP
)0()(}{ aFaFaXP
（ 4）
}{ bXaP )0()( aFbF
}{ bXaP )()0( aFbF
)0()0(}{ aFbFbXaP
广东工业大学下页上页 返回设离散型随机变量的分布律为
ii pxXP }{?,2,1?i
或
n
n
pppP
xxxX
21
21
3、离散型随机变量的分布函数则 X的分布函数为
}{}{)(?
xx ii
xXPxXPxF?
xx ii
p
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0 xx
面积
1、定义如果对于随机变量 X的分布函数,存在非负函数,)(xF )(xf
使得对任意实数 x，都有
dttfxF x )()(
则称 X为 连续型随机变量,其中 称为 X的 概率密度函数,)(xf
简称为 密度函数,密度 或 概率密度 。
)(xf }{)( xXPxF
记为
)(~ xFX
)(~ xfX
四、连续型随机变量及其密度函数
（一） 密度函数及其性质广东工业大学下页上页 返回
2、密度函数的性质
dttfxF x )()(
（ 1） 0)(?xf （ 2） 1)( dxxf
（ 3） 是 上的连续函数。)(xF ),(
（ 5）对于任意实数,有ba?
)()(' xfxF?
0}{ aXP（ 4）
（ 6） 若 在点 x处连续，则)(xf
}{ bXaP )()( aFbF ba dxxf )(
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（二）几类重要的连续型随机变量
1,均匀分布设连续型随机变量 X具有概率密度
其它,0
,1)( bxa
abxf
则称 X在区间 上服从 均匀分布 。),( ba 记为 ).,(~ baUX
均匀分布的分布函数
xb
bxa
ab
ax
ax
xF
1
0
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2,指数分布设连续型随机变量 X具有概率密度
其它,0
0,1)( / xexf x?
则称 X服从参数为 的 指数分布 。其中,0
指数分布的分布函数
0,0
0,1 /
x
xexF x?
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3、正态分布
（ 1）定义设连续型随机变量 X具有概率密度
2
2
2
)(
2
1)(
x
exf
则称 X服从参数为 的 正态分布 或 高斯分布 。?,
x
记为 ),(~ 2NX
x0
)(xf
密度函数的图形：
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（ 2）标准正态分布当 时称 X服从 标准正态分布 。1,0
)1,0(~ NX
标准正态分布的密度函数为：
,21)( 2
2x
ex x
标准正态分布的分布函数为：
tex x
t
d21)( 2
2
)(1)( xx
x0
)(xf
aa?
}{}{ aXPaXP由对称性，显然有即有 5.0)0(?特别地，有广东工业大学下页上页 返回引理 若 ),,(~ 2NX 则 ).1,0(~ NXZ
（ 3）一般正态分布与标准正态分布的关系广东工业大学下页上页 返回
（ 4）上 分位数?
设,若 满足条件)1,0(~ NX?z
}{ zXP 10
则称点 为标准正态分布的 上?z? x
y
O
z
z?
1z分位点（或分位数）。
zz1对正态密度函数的对称性，有
}{ zXP 1)( z
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（一）离散型随机变量函数的分布设随机变量 X的分布律为
ii pxXP }{?,2,1?i
n
n
pppP
xxxX
21
21
求随机变量 的分布律。 )( XgY?
或
（ 1） 求出随机变量 Y所有可能的取值；
（ 2） 求出随机变量 Y取每一个值的概率。
方法五、随机变量函数的分布广东工业大学下页上页 返回
（二）连续型随机变量函数的分布
)( XgY?
1、分布函数法先求 Y的分布函数，再求密度函数。
由分布函数的定义,Y的分布函数为
}{)( yYPyF Y
设连续型随机变量 X的密度函数 （或分布函数 ），)(xf )(xF
求随机变量 Y的密度函数 （或分布函数 ）。)(yfY )(yFY
})({ yXgP
yxg
dxxf
)(
)(
于是,Y的密度函数为
)(yfY dy ydF Y )(? dy
dxxfd
yxg
)(
)(
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2、公式法
)( XgY?
函数 处处可导且恒有 （或恒有 ），则)(xg 0)('?xg 0)('?xg
是连续型随机变量，其概率密度为设连续型随机变量 X的密度函数,),( xxf 又设
其它,0
|,)('|)]([)( yyhyhfyf
Y
其中 )),(),(m i n( gg? )),(),(m a x ( gg?
)(yh )(xg是 的反函数。
广东工业大学下页上页 返回习题选讲广东工业大学下页上页 返回
1 一袋子中装有 5只球，编号为 1,2,3,4,5。在袋中同时取 3只，
以 X表示取出的 3只球中的最大号码，写出随机变量 X的分布律。
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3 设在 15只同类型的零件中有 2只是次品，在其中取 3次，每次任取 1只，作不放回抽样。以 X表示取出次品的只数。
（ 1）求 X的分布律；（ 2）画出分布律的图形。
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5 一房间有 3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。
（ 1）以 X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求 X的分布律。
（ 2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以 Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求 Y的分布律。
（ 3）求试飞次数 X小于 Y的概率；求试飞次数 Y小于 X的概率。
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15 在区间 上任意投掷一个质点，以 X表示这个质点的坐标。设这个质点落在 中任意小区间内的概率与这个区间的长度成正比。试求 X的分布函数。
],0[ a
],0[ a
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16 以 X表示某商店早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计）,X的分布函数为
0,0
0,1)( 4.0
x
xexF x
X
求下述概率：
（ 1） P{至多 3分钟 }；
（ 2） P{至少 4分钟 }；
（ 3） P{3分钟至 4分钟之间 }；
（ 4） P{至多 3分钟或至少 4分钟 }；
（ 5） P{恰好 2.5分钟 }；
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17 设随机变量 X的分布函数为
ex
exx
x
xF X
,1
1,ln
1,0
)(
（ 1）求 };2/52{},30{},2{ XPXPXP
（ 2）求概率密度 ).(xfX
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19 （ 1）由统计物理学知，分子运动速度的绝对值 X服从马克斯韦尔分布，其概率密度为
其它,0
0,)( /2 2 xeAxxf bx
其中,k为 Boltzmann常数,T为绝对温度,m是分)2/( kTmb?
子的质量。试确定常数 A。
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（ 2）研究了英格兰在 1875年 ~1951年期间，在矿山发生导致 10人或 10以上死亡的事故的频繁程度，得知相继两次事故之间的时间
T（以日记）服从指数分布，其概率密度为
其它,0
0,
2 4 1
1
)(
2 4 1/ te
xf
t
T
求分布函数,并求概率 。)(tFT }1 0 050{ TP
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20 某种型号的器件的寿命 X（以小时记）具有以下的概率密度：
其它,0
1000,1000)( 2 x
xxf
设有一大批此种器件（设器件损坏与否相互独立），任取 5只，
问其中至少有 2只寿命大于 1500小时的概率是多少？
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22 设 K在（ 0,5）上服从均匀分布。求 x的方程
0244 2 KKxx
有实根的概率。
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23 设,（ 1）求)4,3(~ NX },104{},52{ XPXP
};3{},2|{| XPXP （ 2）确定 c使得 };{}{ cXPcXP
（ 3）设 d满足,问 d至多为多少？ 9.0}{ dXP
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27 设随机变量 X的分布律为
30/1115/15/16/15/1
31012
P
X
求 的分布律。2XY?
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28 设随机变量 X在（ 0,1）上服从均匀分布。
（ 1）求 的概率密度；XeY?
（ 2）求 的概率密度。 XY ln2
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30 （ 1）设随机变量 X的概率密度为,),( xxf
求 的概率密度。3XY?
（ 2）设随机变量 X的概率密度为
其它,0
0,)( xexf x
求 的概率密度。2XY?
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31 设随机变量 X的概率密度为
其它,0
0,2)( 2?
xxxf
求 的概率密度。XY sin?
广东工业大学下页上页 返回补例 1 设随机变量 X在（ 0,1）上服从均匀分布，现有一常数
a，任取 Ｘ 的四个值，已知至少有一个大于 a的概率为０,９，
问 a是多少？
广东工业大学下页上页 返回补例 2设 X为随机变量，若矩阵
010
20
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XA
的特征值全是实数的概率为 0.5，则 X可能服从
(A) (B)
(C) (D)
的均匀分布]2,0[
)1,0(N正态分布的指数分布参数为 1
)5.0,2(B二项分布广东工业大学下页上页 返回补例 3 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为,则此人 4次射击恰好 2次命中目标的概率为)10( pp
(A) (B)
(C) (D)
2)1(3 pp? 2)1(6 pp?
22 )1(3 pp? 22 )1(6 pp?
2007
广东工业大学下页上页 返回补例 4 设随机变量 X的绝对值不大于 1；且;4/1}1{XP
,8/1}1{XP
在事件 出现的条件下,X在)11( X )1,1(?
内的任意一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正试求 (1)X的分布函数； (2)X取负值的概率 p。比。
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