广东工业大学下页上页 返回第二章 随机变量及其分布
§ 1 随机变量
§ 2 离散型随机变量及其分布律
§ 3 随机变量的分布函数
§ 4 连续型随机变量及其概率密度
§ 5 随机变量的函数的分布广东工业大学下页上页 返回
§ 1 随机变量
1、对于某些随机试验，其结果本身就是数量。
例如,
:1E 掷一颗骰子，观察出现的点数。
其样本空间为,}6,5,4,3,2,1{1?S
将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。:2E
其样本空间为,}3,2,1,0{2?S
在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。:3E
其样本空间为,}0|{3 ttS
广东工业大学下页上页 返回
2、对于某些随机试验，其结果不是数量。
例如,
:4E
其样本空间为,},{4 THS?
:5E
其样本空间为：
抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。
某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。
},,{5 平负胜?S
为了处理方便，我们定义一个样本空间上的“函数”：
T
HX
出现出现
,0
,1
负平胜
,0
,1
,3
Y
这样定义在样本空间上的函数 X,Y称为随机变量。
广东工业大学下页上页 返回随机变量的定义
1R
B
S
表示随机变量。，，，或，，，常用 ZYX
上的实值函数间是定义在样本空
S
X
如果对于试验的每一个可能结果，也就是一个样本点 e，
都对应着一个实数 X(e)，而 X(e)又是随试验结果的不同而变化的一个变量，则称它为 随机变量 。
e
X
广东工业大学下页上页 返回例 1 掷一个硬币,观察出现的结果,共有两种情况,
),(1 反面朝上?e
),(2 正面朝上?e
若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数,则有
)(1 反面朝上?e
)(2 正面朝上?e
0
1
)(eX
0)( 1 eX
1)( 2 eX
即 X(e)是一个随机变量,
广东工业大学下页上页 返回实例 2 在有两个孩子的家庭中,考虑其性别,共有 4个样本点,
).,(),,(,),(),男男,( 4321 女女男女女男 eeee
若用 X表示该家女孩子的个数时,则有
,0)( 1?eX,1)( 2?eX,1)( 3?eX,2)( 4?eX
可得随机变量 X(e),
.,2
,,,1
,,0
)(
4
32
1
ee
eeee
ee
eX
广东工业大学下页上页 返回几点说明
(1) 随机变量与普通的函数的区别随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数 ).
(2) 随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律,
例 掷一颗骰子，用 X表示出现的点数。则有
6
1}2{XP
6
2}4{XP
6
3}52{ XP
广东工业大学下页上页 返回几点说明
(1) 随机变量与普通的函数的区别随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数 ).
(2) 随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律,
随机变量的引入，使我们能用随机变量来描述各种随机现象，使我们有可能利用数学分析的方法对随机试验的结果进行深入广泛的研究和讨论。
广东工业大学下页上页 返回随机变量的分类根据随机变量的取值情况，把随机变量分为两类：
1、离散型随机变量
2、非离散型随机变量所有可能的取值为有限个或可列个。
在整个数轴上取值，或至少有一部分值取某实数区间的全部值。
非离散型随机变量范围很广，情况比较复杂，其中有一类是很重要的，也是实际中常遇到的随机变量，即连续型随机变量在整个数轴上取值或取某个实数区间的全部值。
广东工业大学下页上页 返回有些随机变量，它所有可能的取值只有 有限个 或 可列无限多个,称这种随机变量为 离散型随机变量 。
例 1 掷两颗骰子出现的点数和 X，其所有可能的取值为 2,3，
4,…,12,共 11个可能值。 （离散型随机变量）
例 2 某射手对活动靶进行射击，到击中为止，所进行的射击次数 Y，其所有可能的取值为 1,2,3,…,因无法断言最多射击几次就能定能命中目标，故合理地应认为其可能取值是可列无限多个。 （离散型随机变量）
一、离散型随机变量的定义
§ 2 离散型随机变量及分布律广东工业大学下页上页 返回对于离散型随机变量，我们所关心的问题是什么呢？
（ 1）随机变量所有可能的取值有哪些？
（ 2）取每个可能值的概率是多少？
二、离散型随机变量的分布律分布列设随机变量 X所有可能的取值为
,,,,21 nxxx
且取每一个可能值的概率为
ii pxXP }{?,2,1?i
称（ *）式为随机变量 X的 概率分布 （或称为 分布律 ）。
（ *）
（ *）式也可表为
n
n
pppP
xxxX
21
21
广东工业大学下页上页 返回二、离散型随机变量的分布律分布列设随机变量 X所有可能的取值为
,,,,21 nxxx
且取每一个可能值的概率为
ii pxXP }{?,2,1?i
称（ *）式为随机变量 X的 概率分布 （或称为 分布律 ）。
（ *）
（ *）式也可表为
n
n
pppP
xxxX
21
21
三、离散型随机变量分布律的性质
,0?ip1,?,3,2,1?i
1
1
i i
p2,11
n
i i
p特别地，当随机变量所有可能的取值为有限个时（如 n个 )，有广东工业大学下页上页 返回例 1 已知离散型随机变量 X的分布列为
3.01021016.0
32101
2 aaaP
X?
试求常数 a。
广东工业大学下页上页 返回例 2 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以 1/2的概率允许或禁止汽车通过，以 X表示汽车首次停下时，
它已能过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），
求 X的分布律 。
广东工业大学下页上页 返回例 3 某篮球运动员投中篮圈的概率是 0.9，求他两次独立投篮投中次数 X的概率分布,
广东工业大学下页上页 返回例 3 某篮球运动员投中篮圈的概率是 0.9，求他两次独立投篮投中次数 X的概率分布,
解,X 所有可能的取值为：
P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01
P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18
P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81
且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1
从而 X的概率分布为：
0,1,2
81.018.001.0
210
P
X
广东工业大学下页上页 返回例 4 社会上定期发行某种体育彩票,每注 2元,中奖率为 p。 某人每次随机购买 1注,如果没有中奖下次再继续随机购买 1注,
直到中奖为至 。 求该人购买次数 X的分布律 。
,2,1?k ppkXP k 1)1()(
具有如上分布律的随机变量 X称为服从 几何分布,
广东工业大学下页上页 返回
1}{?CXP ＝
例 5 若随机变量 X所有可能的取值只有一个 C，求 X的分布律。
解 随机变量 X的分布律为称为 退化分布 。
广东工业大学下页上页 返回例 6 设离散型随机变量 X的分布律为
)0,,2,1(,}{ bkbkXP k?
为则?
(A) (B)
(C) (D)
的任意实数0 1?b
1
1
b 1
1
b
广东工业大学下页上页 返回三、几种重要的离散型随机变量
（一） （ 0—1）分布设随机变量 X所有可能的取值为 0和 1，其分布律为
kk ppkXP 1)1(}{ 1,0?k )10( p
或写为 ppPX?1 10
则称 X服从参数为 p的（ 0—1）分布。
显然，若试验 E只有两个可能的结果 A与 。A 则在 E上总可以定义一个（ 0—1）分布：
发生当发生当
A
AX
1
0 此时,pAPXP )(}1{
pAPXP 1)(}0{
广东工业大学下页上页 返回
2、伯努利试验只有两个可能结果 A与 的试验。A
很多随机试验，其可能的结果不止两个，但由于人们常常只对试验中 某一特定结果 是否发生感兴趣，因而也可将之归结为 伯努利试验 。
1、独立试验序列概型在相同条件下重复进行试验的数学模型。
（二） 伯努利试验、二项分布例 明天的天气可以有多种情况，但若只关心明天是否下雨，
则观察明天的天气（作为一次独立试验），其结果就只有两个：“下雨”或“不下雨”，因而可被看作是一个贝努利试验。
广东工业大学下页上页 返回
2、伯努利试验只有两个可能结果 A与 的试验。A
很多随机试验，其可能的结果不止两个，但由于人们常常只对试验中 某一特定结果 是否发生感兴趣，因而也可将之归结为 伯努利试验 。
1、独立试验序列概型在相同条件下重复进行试验的数学模型。
（二） 伯努利试验、二项分布在实际应用上，经常要考察独立重复进行一伯努利试验的序列，并将这一独立重复的试验序列作为单独的一个复合试验来对待。这样的复合试验称为 n 重伯努利试验 。
广东工业大学下页上页 返回
2、伯努利试验只有两个可能结果 A与 的试验。A
1、独立试验序列概型在相同条件下重复进行试验的数学模型。
（二） 伯努利试验、二项分布
3,n重伯努利试验即 n 次独立重复的伯努利试验称为 n重伯努利试验。
每次试验中某事件 A 或者发生或者不发生，假定每次试验的结果与其它各次试验结果无关 (即每次试验中事件 A发生的概率都是 p )，这样的一系列（比如 n 次）重复试验称为 n 重伯努利试验 。
广东工业大学下页上页 返回例 掷一枚硬币，其结果为 A =“出现正面”或,出现反面”。A
重复掷 10次伯努利试验
10重伯努利试验重复掷 k 次 k 重伯努利试验广东工业大学下页上页 返回若在每次试验中，事件 A发生的概率 。 pAP?)(
我们来求一下在 n重贝努利试验中，事件 A恰好出现 k的概率。
下面，
knk pp
k
nkXP
)1()(
nk,,2,1,0
广东工业大学下页上页 返回
knk pp
k
nkXP
)1()(
nk,,2,1,0
pn,则称随机变量 服从参数为 的二项分布，X
),(~ pnBX
记为特别，当 n =1时的二项分布为分布10? ),1( pB
2、二项分布若随机变量 X的分布律为
ppP
X
1
10
广东工业大学下页上页 返回例 1 按规定，某种型号的电子元件的使用寿命超过 1500小时的为一级品。已知某一大批？产品的一级品率为 0.2，现在从中随机地抽查 20只。问这 20只元件中恰有 k只为一级品的概率是多少广东工业大学下页上页 返回例 2 某人进行射击，设每次射击的命中率为 0.02，独立射击 400
次，试求至少击中两次的概率。
广东工业大学下页上页 返回例 3 已知发射一枚地对空导弹可击中来犯敌机的概率为 0.96,问需在同样条件下发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于 0.999?
广东工业大学下页上页 返回例 3 已知发射一枚地对空导弹可击中来犯敌机的概率为 0.96,问需在同样条件下发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于 0.999?
导弹数是随机变量枚导弹，则击中敌机的设需要发射解 n
，)96.0,(~ nBX
于是 1? n)96.01( 999.0?
001.004.0?n
n 15.2?
即从而 001.0lg
04.0lg
枚导弹。，即需要发射取 33?n
}1{?XP
广东工业大学下页上页 返回例 4 设三次独立试验中,事件 A出现的概率相等,若已知 A至少出现一次的概率等于 19/27,求事件 A在一次试验中出现的概率?
例 5 设随机变量 X 服从参数为（ 2,p）的二项分布，随机变量 Y服
,95}1{XP 求?}1{?YP参数为（ 3,p）的二项分布，若广东工业大学下页上页 返回例 6 一个完全不懂阿拉伯语的人去瞎蒙一个阿拉伯语考试。假设此考试共 5道选择题，每题给出 n个结果可选择，其中只有一个结果是正确的。试问他居然能答对 3题以上从而及格的概率。
广东工业大学下页上页 返回例 6 一个完全不懂阿拉伯语的人去瞎蒙一个阿拉伯语考试。假设此考试共 5道选择题，每题给出 n个结果可选择，其中只有一个结果是正确的。试问他居然能答对 3题以上从而及格的概率。
解 设此人答对的题数为 X，则有 )1,5(~ nBX
从而此人及格的概率为
}3{?XP 23 )1()1(35 nnn )1()1(45 4 nnn 5)1(55 n
时，此值为当 3?n
23
3
2
3
1
3
5?
14
3
2
3
1
4
5?
05
3
2
3
1
5
5?
时，此值为当 4?n
23
4
3
4
1
3
5?
14
4
3
4
1
4
5?
05
4
3
4
1
5
5?
81
17＝ 21.0?
512
53＝ 10.0?
广东工业大学下页上页 返回例 7 设有 80台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修式人的方法，其一是由 4人维护，每人负责 20台；
其二是由 3人共同维护 80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。
广东工业大学下页上页 返回
（三） 泊松分布若随机变量 X的分布律为
!}{ k
ekXP k,3,2,1,0?k
则称随机变量 X服从参数为 的泊松分布。记为?
)(~X )(~?PX
其中,0
或泊松分布图形的特点
1、定义广东工业大学下页上页 返回历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于 1837年由法国数学家 泊松 引入的,
近数十年来,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一,在实际中,许多随机现象服从或近似服从泊松分布,
2、泊松分布的背景及应用二十世纪初 罗瑟福 和 盖克 两位科学家在观察与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时,
他们做了 2608 次观察 (每次时间为 7.5 秒 )发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数 X 服从泊松分布,
广东工业大学下页上页 返回在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的,例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都近似服从泊松分布,
地震 火山爆发 特大洪水电话呼唤次数 交通事故次数商场接待的顾客数广东工业大学下页上页 返回定理 (泊松定理 ),有关并与设随机变量 ))1,0()(,(~ nppnBX?
，则且满足 npnl i m
,2,1,0!lim)(lim kekqpknkXP
k
knk
nn,
广东工业大学下页上页 返回定理 (泊松定理 ),有关并与设随机变量 ))1,0()(,(~ nppnBX?
，则且满足 npnl i m
,2,1,0!lim)(lim kekqpknkXP
k
knk
nn,
)( kXP? knk qp
k
n?
knk qp
knk
n?
)!(!
!
由已知,
npnlim 0lim pn因此又因为 k是定值，故
1)1()1(lim kn n knnn?
k
n
k
k p
pnp
n
knnn
k )1(
)1()()1()1(
!
1
)(?
证明广东工业大学下页上页 返回
1)1(l i m kn p
，可求出限再由微积分中的重要极 ex xn
1
)1(l i m
，，，＝,210)1(lim)1(lim )(
1
kepp nppnnn
的极限，可得式两边取再对 n)(
,2,1,0!)(lim kekkXP kn,证毕。
，有关并与设随机变量 ))1,0()(,(~ nppnBX?
，则且满足 npnl i m
定理 (泊松定理 )
,2,1,0!lim)(lim kekqpknkXP
k
knk
nn,
广东工业大学下页上页 返回二项分布 泊松分布n很大,p 很小广东工业大学下页上页 返回例 1 一大批产品的废品率为 p=0.015，任取 100个，求恰有一个废品的概率。
广东工业大学下页上页 返回例 1 一大批产品的废品率为 p=0.015，任取 100个，求恰有一个废品的概率。
解 用 X表示这 100个产品中的废品个数，则有
)0 1 5.0,1 0 0(~ BX
于是 991100 985.0015.0}1{ CXP 3 3 5 9 3.0?
由于 n较大而 p很小，可用泊松分布公式所似代替二项分布公式。
其中 5.10 1 5.01 0 0 np
于是 5.11
!1
5.1}1{ eXP 3 3 4 6 9 5.0?
广东工业大学下页上页 返回
3,5,12
广东工业大学下页上页 返回
§ 3 随机变量的分布函数对于非离散型随机变量 X，由于其可能的取值不能一个一个列出来，因而就不能象离散型随机变量那样可以用分布律来描述它。
另一方面，对于大部分非离散型随机变量 X，讨论其取某一指定实数值的概率本身就没什么意义。（如连续型随机变量取某一指定实数值的概率等于 0）
那么，怎样来研究非离散型随机变量呢?
广东工业大学下页上页 返回例 1 在一批灯泡中随机抽取一只,X表示抽到的灯泡的寿命。
人们关心的是,?}{ aXP
}{ bXaP
}{ bXaP
从上述问题我们看到，人们一般关心的问题是随机变量 X
落在某个区间的概率是多少？
例 2 某人去车站候车,X表示车到达该车站的时刻。
人们关心的是：
例 3 测量某桌子长度,X表示测量误差。
}{ bXaP人们关心的是：
即如下形式的概率广东工业大学下页上页 返回
}{ bXP
因为
}{ bXaP }{}{ aXPbXP
显然，
且概率 }{ xXP? 与 x的取值有关，
为随机变量 X的分布函数。
我们称此函数
}{ xXP? 表示随机变量 X落入区间 的概率：],( x
研究随机变量落在某个区间的概率,我们只需要知道如下形式的概率就行了,?}{ bXaP
x0 x
X
为 x的函数，
广东工业大学下页上页 返回
1、分布函数的定义设 X为一个随机变量,x为任意实数，函数
}{ xXP)( xF
称为随机变量 X的 分布函数 。
2、分布函数的性质
（ 1） 为单调不减函数。即对任意,都有)(xF 21 xx?
)()( 21 xFxF?
（ 2） 1)(0 xF,且有
0)(lim)( xFF x 1)(lim)( xFF x
（ 3）,即 是右连续的。 )()0( xFxF )(xF
广东工业大学下页上页 返回
2、分布函数的性质
（ 1） 为单调不减函数。即对任意,都有)(xF 21 xx?
)()( 21 xFxF?
（ 2） 1)(0 xF,且有
0)(lim)( xFF x 1)(lim)( xFF x
（ 3）,即 是右连续的。 )()0( xFxF )(xF
)()(}{ aFbFbXaP
)0()(}{ aFaFaXP
（ 4）
}{ bXaP )0()( aFbF
}{ bXaP )()0( aFbF
广东工业大学下页上页 返回例 1 如下四个函数哪个为某个随机变量 X的分布函数
,
11
10,2/
0,0
)(
x
xx
x
xF
(A) (B)
(C) (D)
,
2/1
2/0,s i n
0,0
)(
x
xx
x
xF
,
01
02,2/1
2,0
)(
x
x
x
xF
0,
1
)1l n (
0,0
)( x
x
x
x
xF
广东工业大学下页上页 返回例 2 设随机变量 X的分布律为
4/12/14/1
321
P
X?
求 X的分布函数，并求 }.32{},2523{},21{ XPXPXP
广东工业大学下页上页 返回设离散型随机变量的分布律为
ii pxXP }{?,2,1?i
或
n
n
pppP
xxxX
21
21
3、离散型随机变量的分布函数则 X的分布函数为
}{}{)(?
xx ii
xXPxXPxF?
xx ii
p
广东工业大学下页上页 返回例 3 已知离散型随机变量的分布律为 1 0 114
/ ab
分布函数是
1
0
3 4 1
,-
,- 1
()
/,0
,1
cx
dx
Fx
x
ex
试确定其中的 a,b,c,d,e的值。
广东工业大学下页上页 返回例 3 已知离散型随机变量的分布律为 1 0 114
/ ab
分布函数是
1
0
3 4 1
,-
,- 1
()
/,0
,1
cx
dx
Fx
x
ex
试确定其中的 a,b,c,d,e的值。
解：由 F(-∞)=0,F(+∞)=1 得 c=0,e=1
由 P{ξ=1}=F(1)-F(1-0) 得 1- 3/4=b,b =1/4,
由 1/4+a+b=1,从而 a=1/2
由 P{ξ=0}=F(0)-F(0-0) 得 1/2=3/4 - d,
即 a=1/2,b=1/4,c=0,d=1/4,e=1
广东工业大学下页上页 返回
00
01
2
2
12
3
11
23
12
13
x
x
x
Fx x
x
x
3?PX试求：⑴．
3?PX⑵．
1?PX⑶．
1
2
PX⑷．
24PX⑸．
13PX⑹．
例 4 设随机变量 X的分布函数为广东工业大学下页上页 返回
00
01
2
2
12
3
11
23
12
13
x
x
x
Fx x
x
x
3?PX试求：⑴．
3?PX⑵．
1?PX⑶．
1
2
PX⑷．
24PX⑸．
13PX⑹．
例 4 设随机变量 X的分布函数为
1 1 1 5
1 2 2 1 2
33 P X F⑴,1?解：
3 3 0P X F⑵,1112?
1 1 1 0P X F F⑶,2 1 13 2 6
111
22P X F
⑷．
131
44
2 4 4 0 2P X F F⑸,1 1 11 1 2 1 2
1 3 3 0 1 0P X F F⑹．
广东工业大学下页上页 返回例 5 设随机变量 X的分布函数为
xBAxF a rcta n)( x
求常数 A和 B，并求概率 }.11{ XP
广东工业大学下页上页 返回例 5 设随机变量 X的分布函数为
xBAxF a rcta n)( x
解,由分布函数的性质，我们有
2AB
2AB
解方程组 02
1
2
AB
AB
得解 11
2AB，．
)a r c t a n(lim)(lim xBAxF xx 0?
)a r c t a n(lim)(lim xBAxF xx 1?
求常数 A和 B，并求概率 }.11{ XP
于是 xxF a rct a n121)( x
)1()1(}11{ FFXP 21?
广东工业大学下页上页 返回例 5 一个靶子是半径为 R米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离,试求随机变量 X的分布函数,
广东工业大学下页上页 返回例 5 一个靶子是半径为 R米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离,试求随机变量 X的分布函数,
解：
2
2?( ),
xFx
R故 x
R
（ 1）若 x < 0,则 是不可能事件，于是}{ xX?
}{)( xXPxF 0)(P
（ 2） 若,0 Rx 2}{)( xkxXPxF
由 1}{)( RXFRF 有 12Rk
2
1
Rk解得
（ 3） 若,Rx? 1}{)( xXPxF
于是
2
2
0,0,
( ),0,
1,.
x
x
F x x R
R
xR
广东工业大学下页上页 返回例 5 一个靶子是半径为 R米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离,试求随机变量 X的分布函数,
2
2
0,0,
( ),0,
1,.
x
x
F x x R
R
xR
0 R
1 F(x)
x不难发现，如果设
2
0,0
() 2
,0
x x R
fx x
xR
R
及
( ) ( )xF x f x d x则广东工业大学下页上页 返回0 xx
面积
§ 4 连续型 随机变量
1、定义如果对于随机变量 X的分布函数,存在非负函数,)(xF )(xf
使得对任意实数 x，都有
dttfxF x )()(
则称 X为 连续型随机变量,其中 称为 X的 概率密度函数,)(xf
简称为 密度函数,密度 或 概率密度 。
)(xf }{)( xXPxF
记为
)(~ xFX
)(~ xfX
一、密度函数广东工业大学下页上页 返回
2、密度函数的性质
dttfxF x )()(
（ 1） 0)(?xf
（ 2） 1)( dxxf
0 xx
面积 =1
)(xf
注意满足性质 (1)(2)的函数都可以看为某个连续型随机变量的概率密度,
（ 3） 是 上的连续函数。)(xF ),(
广东工业大学下页上页 返回
（ 5）对于任意实数,有ba?
xb
面积
a0
)(xf
)()(' xfxF?
0}{ aXP（ 4）
（ 6） 若 在点 x处连续，则)(xf
}{ bXaP
}{}{ bXaPbXaP
dttfxF x )()(
2、密度函数的性质
}{ bXaP
)()( aFbF ba dxxf )(
基本题型 2、已知分布函数求密度函数,)()(' xfxF?
1、已知密度函数求分布函数：
dttfxF x )()(
广东工业大学下页上页 返回例 2 设随机变量 X的密度函数为 f(x)，且 f(-x)=f(x),F(x)是 X的分布函数，则对任意实数 a，有
(A) (B)
(C) (D)
a dxxfaF 0 )(1)( a dxxfaF 0 )(21)(
)()( aFaF 1)(2)( aFaF
广东工业大学下页上页 返回例 3 设连续型随机变量 X 的密度函数为
21)( x
axf
)( x
(1) 确定 a 的值； (2) 求 X的分布函数 (3) 求概率 }.1{ 2?XP);(xF
广东工业大学下页上页 返回例 3 设连续型随机变量 X 的密度函数为
21)( x
axf
)( x
(1) 确定 a 的值； (2) 求 X的分布函数 (3) 求概率 }.1{ 2?XP);(xF
解,由密度函的性质,有
dxxf )( dxxa 21 |a r c t a n xa?a?
(1),0?a 且有
1?
从而?1?a
广东工业大学下页上页 返回例 3 设连续型随机变量 X 的密度函数为
21)( x
axf
)( x
(1) 确定 a 的值； (2) 求 X的分布函数 (3) 求概率 }.1{ 2?XP);(xF
解,由密度函的性质,有
dxxf )( dxxa 21 |a r c t a n xa?a?
(1),0?a 且有
1?
从而?1?a
)1(
1)(
2xxf (柯西分布 )
广东工业大学下页上页 返回例 3 设连续型随机变量 X 的密度函数为
)( x
(1) 确定 a 的值； (2) 求 X的分布函数 (3) 求概率 }.1{ 2?XP);(xF
解,由密度函的性质,有
dxxf )( dxxa 21 |a r c t a n xa?a?
(1),0?a 且有
1?
从而?1?a
(柯西分布 ))1( 1)( 2xxf
(2) x dttfxF )()( dtxx?
21
11
xt
|)(a rc ta n
1
)2(a rcta n1 x xa rcta n121
广东工业大学下页上页 返回例 3 设连续型随机变量 X 的密度函数为
)( x
(1) 确定 a 的值； (2) 求 X的分布函数 (3) 求概率 }.1{ 2?XP);(xF
解,(3) (法一,利用分布函数 )
(柯西分布 ))1( 1)( 2xxf
(2) x dttfxF )()( dtxx?
21
11
xt
|)(a rc ta n
1
)2(a rcta n1 x xa rcta n121
}1{ 2?XP }1{1 2 XP }11{1 XP
)]1()1([1 FF
)]4121()4121[(1 21?
广东工业大学下页上页 返回例 3 设连续型随机变量 X 的密度函数为
)( x
(1) 确定 a 的值； (2) 求 X的分布函数 (3) 求概率 }.1{ 2?XP);(xF
解,(3) (法一,利用分布函数 )
(柯西分布 ))1( 1)( 2xxf
}1{ 2?XP }1{1 2 XP }11{1 XP
)]1()1([1 FF
)]4121()4121[(1 21?
(法二,利用密度函数 )
}1{ 2?XP }1{1 2 XP }11{1 XP
11 )(1 dxxf21?
广东工业大学下页上页 返回例 4 设连续型随机变量 X 的密度函数为?
其它,0
43,
2
2
30,
)( x
x
xkx
xf
(1) 确定 k 的值； (2) 求 X的分布函数； (3) 求概率 }.2/71{ XP
广东工业大学下页上页 返回例 4 设连续型随机变量 X 的密度函数为?
其它,0
43,
2
2
30,
)( x
x
xkx
xf
(1) 确定 k 的值； (2) 求 X的分布函数； (3) 求概率 }.2/71{ XP
解 11( ) ( ) d,f x x?
由
34
03 212d ( ) d,
xk x x x得 1
6,k?解之得广东工业大学下页上页 返回例 4 设连续型随机变量 X 的密度函数为
(1) 确定 k 的值； (2) 求 X的分布函数； (3) 求概率 }.2/71{ XP
解 11( ) ( ) d,f x x?
由
34
03 212d ( ) d,
xk x x x得 1
6,k?解之得
（ 2） 当 时，0?x x dttfxF )()( 0?
当 时,30 x x dttfxF )()( x td t61 2121 x?
其它,0
43,
2
2
30,6/
)( x
x
xx
xf
广东工业大学下页上页 返回例 4 设连续型随机变量 X 的密度函数为
(1) 确定 k 的值； (2) 求 X的分布函数； (3) 求概率 }.2/71{ XP
当 时,43 x x dttfxF )()( x dttdtt 330 )22(6
2
4
123 xx当 时，4?x?
x dttfxF )()( 1?
从而 X的分布函数为
（ 2） 当 时，0?x x dttfxF )()( 0?
当 时,30 x x dttfxF )()( x td t61 2121 x?
其它,0
43,
2
2
30,6/
)( x
x
xx
xf
广东工业大学下页上页 返回例 4 设连续型随机变量 X 的密度函数为
(1) 确定 k 的值； (2) 求 X的分布函数； (3) 求概率 }.2/71{ XP
从而 X的分布函数为
其它,0
43,
2
2
30,6/
)( x
x
xx
xf
当 时,43 x x dttfxF )()(
当 时，4?x x dttfxF )()( 1?
（ 2） 当 时，0?x x dttfxF )()( 0?
当 时,30 x x dttfxF )()( x td t61 2121 x?
x dttdtt 330 )22(6
2
4
123 xx
广东工业大学下页上页 返回例 4 设连续型随机变量 X 的密度函数为
(1) 确定 k 的值； (2) 求 X的分布函数； (3) 求概率 }.2/71{ XP
从而 X的分布函数为
4,1
43,
4
1
23
30,
12
1
0,0
)(
2
2
x
xxx
xx
x
xF
（ 3） }2/71{ XP )1()27( FF 4841?
其它,0
43,
2
2
30,6/
)( x
x
xx
xf
广东工业大学下页上页 返回例 5 设随机变量 X的密度函数为
1||0
1||
1)( 2
x
x
x
A
xf
则概率 }21|{| XP
广东工业大学下页上页 返回例 6 一种电子管的使用寿命为 X小时，其概率密度为
,
1 0 00
1 0 01 0 0)( 2
x
x
xxf
某仪器内装有三个这样的电子管，试求使用 150小时内只有一个电子管需要更换的概率。
广东工业大学下页上页 返回例 7 已知随机变量 X的概率密度函数为
xexf x,21)( ||
求 X的分布函数。
广东工业大学下页上页 返回二、几类重要的连续型随机变量
（一） 均匀分布
1、定义设连续型随机变量 X具有概率密度
其它,0
,1)( bxa
abxf
则称 X在区间 上服从 均匀分布 。),( ba 记为 ).,(~ baUX
a b xO
ab?
1
广东工业大学下页上页 返回
其它,0
,1)( bxa
abxf
若,blcca 则有
}{ lcXcP lcc dxxf )( lcc dxab 1 ab l
2、均匀分布的概率背景如果随机变量 X服从区间 上的均匀分布，则随机变量
X在区间 上任意一个子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的位置无关。
),( ba
),( ba
即,X在区间 上等可能取值。),( ba
3、均匀分布的分布函数
xb
bxa
ab
ax
ax
xF
1
0
a b x
F (x)
0
1
广东工业大学下页上页 返回例 1 设公共汽车站从上午 7时起每隔 15分钟来一班车，如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到 7:30之间的均匀随机变量。试求该乘客候车时间不超过 5分钟的概率。
广东工业大学下页上页 返回例 1 设公共汽车站从上午 7时起每隔 15分钟来一班车，如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到 7:30之间的均匀随机变量。试求该乘客候车时间不超过 5分钟的概率。
解 设该乘客于 7时 X分到达此站
其它0
300
30
1 x
xf则 X的密度函数为令,A={候车时间不超过 5分钟 }
30251510 XPXPAP则
30
25
15
10 30
1
30
1 dxdx
3
1?
广东工业大学下页上页 返回例 2 若随机变量 X在 上服从均匀分布，求方程
0244 2 XXxx
有实根的概率。
)6,3(?
广东工业大学下页上页 返回例 2 若随机变量 X在 上服从均匀分布，求方程
0244 2 XXxx
有实根的概率。
)6,3(?
其它,0
63,
9
1 x
xf
解 随机变量 X的密度函数为
有实根方程设,0244 2 XxXxA
于是 )(AP }0)2(44)4{( 2 XXP
021 XXP
21 XXP 或32?
广东工业大学下页上页 返回例 3 设 X服从区间 上的均匀分布,且,4/1}02{ XP
.2/1}31{ XP 求 a,b的值。
),( ba
广东工业大学下页上页 返回
（二） 指数分布
1、定义设连续型随机变量 X具有概率密度
其它,0
0,1)( / xexf x?
则称 X服从参数为 的 指数分布 。其中,0
2、指数分布的分布函数
0,0
0,1 /
x
xexF x?
广东工业大学下页上页 返回某些元件或设备的寿命服从指数分布。例如无线电元件的寿命，电力设备的寿命，动物的寿命等都服从指数分布。
指数分布的重要性质,“无记忆性,
对任意的正数 s,t,则有
3、指数分布的 应用与背景 （指数分布也称 寿命分布 ）
}|{ sXtsXP }{ }{ sXP sXtsXP 且
}{
}{
sXP
tsXP
)(1
)(1
sF
tsF
/
/)(
s
ts
e
e
/te )(1 tF
}{ tXP
广东工业大学下页上页 返回某些元件或设备的寿命服从指数分布。例如无线电元件的寿命，电力设备的寿命，动物的寿命等都服从指数分布。
指数分布的重要性质,“无记忆性,
对任意的正数 s,t,则有
3、指数分布的 应用与背景 （指数分布也称 寿命分布 ）
}|{ sXtsXP }{ }{ sXP sXtsXP 且
}{
}{
sXP
tsXP
)(1
)(1
sF
tsF
/
/)(
s
ts
e
e
/te )(1 tF
}{ tXP
}{}|{ tXPsXtsXP
如果将 X看作某类动物的寿命，则上式可解释为某动物已活到 s岁｛ X>s｝，则它再活 t年以上的概率与已经活过的岁数无关。所又称指数分布为,永远年青,的分布。
广东工业大学下页上页 返回例 1 设顾客到某服务窗口办事，需要排队等候，若等待的服务时间 X(单位,分钟 )服从指数分布,其概率密度为
101 0
10
00
,,
()
,.
tet
fx
t
某人到此窗口办事，在等待 15分钟仍未能得到接待时，他就要愤然离去，若此人在一月内共去该处 10次，试求
(1)有 2次愤然离去的概率； (2)最多有 2次愤然离去的概率；
广东工业大学下页上页 返回例 1 设顾客到某服务窗口办事，需要排队等候，若等待的服务时间 X(单位,分钟 )服从指数分布,其概率密度为
101 0
10
00
,,
()
,.
tet
fx
t
某人到此窗口办事，在等待 15分钟仍未能得到接待时，他就要愤然离去，若此人在一月内共去该处 10次，试求
(1)有 2次愤然离去的概率； (2)最多有 2次愤然离去的概率；
解 先求任一次等待时，愤然离去的概率则在 10次排队中，愤然离去的次数 Y~B(10,0.2231)
}15{ XPp dte t 10/15 101 1510/ |te 2 2 3 1.02/3e
（ 1） }2{?YP 82210 )1( ppC
≈0.6735（ 2） }2{?YP kk
k
k ppC?
10
2
0
10 )1(
≈0.2973
广东工业大学下页上页 返回
（三） 正态分布
1、定义设连续型随机变量 X具有概率密度
2
2
2
)(
2
1)(
x
exf
则称 X服从参数为 的 正态分布 或 高斯分布 。?,
x
记为 ),(~ 2NX
x0
)(xf
密度函数的图形：
广东工业大学下页上页 返回正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差 ; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸,直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布,
2、正态分布的应用与背景广东工业大学下页上页 返回
2
2
2
)(
2
1)(
x
exf
3、正态分布密度函数的性质
1( ) ; x μ?曲线关于 对称
12
2( ),( ) ; πx μ f x σ?当 时 取得最大值
3( ) ; x μσ曲线在 处有拐点
4( ),,,
.
σσ越小图形越高越瘦 越大图形越矮越胖
x0
)(xf )
2
1,(
x0
)(xf
1
5.0
5.0}{)5(XP
广东工业大学下页上页 返回
4、正态分布分布函数
teσxF x σ
μt
d21)( 2
2
2
)(
广东工业大学下页上页 返回
5、标准正态分布当 时称 X服从 标准正态分布 。1,0
)1,0(~ NX
标准正态分布的密度函数为：
,21)( 2
2x
ex x
标准正态分布的分布函数为：
tex x
t
d21)( 2
2
)(1)( xx
x0
)(xf
aa?
}{}{ aXPaXP由对称性，显然有即有 5.0)0(?特别地，有广东工业大学下页上页 返回计算
(1) 时,查标准正态分布分布函数表,0?x tex
x t d
2
1)( 22?
，转化为 (1)的计算方法。(2) 若,应用0?x )(1)( xx
例 1 设,求 )1,0(~ NX },36.1{},225.1{},64.2{ XPXPXP
}.98.1|{|},72.2{ XPXP
广东工业大学下页上页 返回例 2 设 ),1,0(~ NX 求 a,b。,0 4 9 5.0}{,9 5 1 5.0}{ bXPaXP
广东工业大学下页上页 返回例 2 设 ),1,0(~ NX 求 a,b。,0 4 9 5.0}{,9 5 1 5.0}{ bXPaXP
解,Φ(a)=0.9515>1/2,
所以,a>0,
反查表得,
Φ(1.66)=0.9515,
故 a=1.66
而 Φ(b)=0.0495<1/2,
所以,b<0,
Φ(-b)=1- Φ(b)=1-0.0495
=0.9505,
-b>0,反查表得,
Φ(1.65)=0.9505,
即,-b=1.65,
故,b=-1.65
广东工业大学下页上页 返回引理 若 ),,(~ 2NX 则 ).1,0(~ NXZ
广东工业大学下页上页 返回
},1|{|},22{,15{ XPXPXP例 3 设,求 )4,1(~?NX
}.5.1|{|?XP
广东工业大学下页上页 返回例 4 将一温度调节器放置在贮存某种液体的容器内。调节器整定在,液体的温度 X是一个随机变量,且 。
（ 1）若,求 X小于 98的概率。（ 2）若要求保持液体的温度至少为 80的概率不低于 0.99，问 d至少为多少？
)25.0,(~ dNX
90?d
Cd?
广东工业大学下页上页 返回例 5 设随机变量 X服从正态分布,3.0}42{),,2( 2 XPN 且?
}0{ XP则广东工业大学下页上页 返回
6、上 分位数?
设,若 满足条件)1,0(~ NX?z
}{ zXP 10
则称点 为标准正态分布的 上?z? x
y
O
z
z?
1z分位点（或分位数）。
zz1对正态密度函数的对称性，有
}{ zXP 1}{ zXP 1)( z
常用上 分位数：?
z
0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.1
3.090 2.575 2.327 1.96 1.645 1.282
广东工业大学下页上页 返回例 6(04) 设随机变量 X服从正态分布 N(0,1)，对给定的,)10(
数 满足?u,}{uXP 若,则 x等于 }|{| xXP
(A) (B) (C) (D)
2
u
21
u
2
1u1u
广东工业大学下页上页 返回
16,17,22
27,28
广东工业大学下页上页 返回
§ 5 随机变量的函数的分布一、离散型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布广东工业大学下页上页 返回一、离散型随机变量函数的分布设随机变量 X的分布律为
ii pxXP }{?,2,1?i
n
n
pppP
xxxX
21
21
求随机变量 的分布律。 )( XgY?
或
（ 1） 求出随机变量 Y所有可能的取值；
（ 2） 求出随机变量 Y取每一个值的概率。
方法广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X的分布律为
4.01.03.02.0
2101
P
X?
试求 的分布。 2)1(,23 XZXY
广东工业大学下页上页 返回例 2 设随机变量 X的分布函数为
1,1
11,6.0
12,3.0
2,0
)(
x
x
x
x
xF
已知,求 的分布函数。 12co s12s i n XXY ||Y
广东工业大学下页上页 返回二、连续型随机变量函数的分布
)( XgY?
1、分布函数法先求 Y的分布函数，再求密度函数。
由分布函数的定义,Y的分布函数为
}{)( yYPyF Y
设连续型随机变量 X的密度函数 （或分布函数 ），)(xf )(xF
求随机变量 Y的密度函数 （或分布函数 ）。)(yfY )(yFY
})({ yXgP
yxg
dxxf
)(
)(
于是,Y的密度函数为
)(yfY dy ydF Y )(? dy
dxxfd
yxg
)(
)(
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X在 内服从均匀分布，求随机变量)2,2(
XY sin? 的分布密度函数。
广东工业大学下页上页 返回例 2(06) 设随机变量 X的概率密度为
其它0
204/1
012/1
)( x
x
xf X
,2XY?令 (I) 求 Y的概率密度函数 ).( yfY
广东工业大学下页上页 返回例 3 已知随机变量 X的概率密度为
其它，
xxaxf
0
1|||,|)(
。XYa 的概率密度及求常数 12
广东工业大学下页上页 返回例 4 设随机变量 X的概率密度函数为,),( xxf X
求 的概率密度。2XY?
广东工业大学下页上页 返回例 5 设连续型随机变量 X有严格单调增加的分布函数 F(x),试求 Y=F(X)的分布函数和密度函数。
广东工业大学下页上页 返回
2、公式法
)( XgY?
函数 处处可导且恒有 （或恒有 ），则)(xg 0)('?xg 0)('?xg
是连续型随机变量，其概率密度为设连续型随机变量 X的密度函数,),( xxf 又设
其它,0
|,)('|)]([)( yyhyhfyf
Y
其中 )),(),(m i n( gg? )),(),(m a x ( gg?
)(yh )(xg是 的反函数。
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X的密度函数为
其它,0
40,8/)( xxxf
X
求随机变量 的概率密度。 82 XY
广东工业大学下页上页 返回例 2 设随机变量 X服从正态分布 ),,( 2N
求随机变量 的概率密度。XeY?
广东工业大学下页上页 返回例 3 设随机变量,试证明 X的线性函数),(~ 2NX baXY
也服从正态分布。其中 。0?a
广东工业大学下页上页 返回广东工业大学下页上页 返回第二章小结
§ 1 随机变量
§ 2 离散型随机变量及其分布律
§ 3 随机变量的分布函数
§ 4 连续型随机变量及其概率密度
§ 5 随机变量的函数的分布广东工业大学下页上页 返回主 要 内 容一、随机变量的定义如果对于试验的每一个可能结果，也就是一个样本点 e，
都对应着一个实数 X(e)，而 X(e)又是随试验结果的不同而变化的一个变量，则称它为 随机变量 。
二、离散型随机变量及其分布律所有可能的取值只有 有限个 或 可列无限多个 。
（一）定义广东工业大学下页上页 返回
（二）离散型随机变量的分布律分布列设随机变量 X所有可能的取值为
,,,,21 nxxx
且取每一个可能值的概率为
ii pxXP }{?,2,1?i
称（ *）式为随机变量 X的 概率分布 （或称为 分布律 ）。
（ *）
（ *）式也可表为
n
n
pppP
xxxX
21
21
广东工业大学下页上页 返回
（三）几种重要的离散型随机变量
（ 1） （ 0—1）分布设随机变量 X所有可能的取值为 0和 1，其分布律为
kk ppkXP 1)1(}{ 1,0?k )10( p
或写为 ppPX?1 10
则称 X服从参数为 p的（ 0—1）分布。
广东工业大学下页上页 返回
knk pp
k
nkXP
)1()(
nk,,2,1,0
pn,则称随机变量 服从参数为 的二项分布，X
),(~ pnBX
记为特别，当 n =1时的二项分布为分布10? ),1( pB
（ 2）二项分布若随机变量 X的分布律为
ppP
X
1
10
广东工业大学下页上页 返回
（ 3） 泊松分布若随机变量 X的分布律为
!}{ k
ekXP k,3,2,1,0?k
则称随机变量 X服从参数为 的泊松分布。记为?
)(~X )(~?PX
其中,0
或定理 (泊松定理 ),有关并与设随机变量 ))1,0()(,(~ nppnBX?
，则且满足 npnl i m
,2,1,0!lim)(lim kekqpknkXP
k
knk
nn,
广东工业大学下页上页 返回
1、分布函数的定义设 X为一个随机变量,x为任意实数，函数
}{ xXP)( xF
称为随机变量 X的 分布函数 。
三、随机变量的分布函数广东工业大学下页上页 返回
2、分布函数的性质
（ 1） 为单调不减函数。即对任意,都有)(xF 21 xx?
)()( 21 xFxF?
（ 2） 1)(0 xF,且有
0)(lim)( xFF x 1)(lim)( xFF x
（ 3）,即 是右连续的。 )()0( xFxF )(xF
)()(}{ aFbFbXaP
)0()(}{ aFaFaXP
（ 4）
}{ bXaP )0()( aFbF
}{ bXaP )()0( aFbF
)0()0(}{ aFbFbXaP
广东工业大学下页上页 返回设离散型随机变量的分布律为
ii pxXP }{?,2,1?i
或
n
n
pppP
xxxX
21
21
3、离散型随机变量的分布函数则 X的分布函数为
}{}{)(?
xx ii
xXPxXPxF?
xx ii
p
广东工业大学下页上页 返回
0 xx
面积
1、定义如果对于随机变量 X的分布函数,存在非负函数,)(xF )(xf
使得对任意实数 x，都有
dttfxF x )()(
则称 X为 连续型随机变量,其中 称为 X的 概率密度函数,)(xf
简称为 密度函数,密度 或 概率密度 。
)(xf }{)( xXPxF
记为
)(~ xFX
)(~ xfX
四、连续型随机变量及其密度函数
（一） 密度函数及其性质广东工业大学下页上页 返回
2、密度函数的性质
dttfxF x )()(
（ 1） 0)(?xf （ 2） 1)( dxxf
（ 3） 是 上的连续函数。)(xF ),(
（ 5）对于任意实数,有ba?
)()(' xfxF?
0}{ aXP（ 4）
（ 6） 若 在点 x处连续，则)(xf
}{ bXaP )()( aFbF ba dxxf )(
广东工业大学下页上页 返回
（二）几类重要的连续型随机变量
1,均匀分布设连续型随机变量 X具有概率密度
其它,0
,1)( bxa
abxf
则称 X在区间 上服从 均匀分布 。),( ba 记为 ).,(~ baUX
均匀分布的分布函数
xb
bxa
ab
ax
ax
xF
1
0
广东工业大学下页上页 返回
2,指数分布设连续型随机变量 X具有概率密度
其它,0
0,1)( / xexf x?
则称 X服从参数为 的 指数分布 。其中,0
指数分布的分布函数
0,0
0,1 /
x
xexF x?
广东工业大学下页上页 返回
3、正态分布
（ 1）定义设连续型随机变量 X具有概率密度
2
2
2
)(
2
1)(
x
exf
则称 X服从参数为 的 正态分布 或 高斯分布 。?,
x
记为 ),(~ 2NX
x0
)(xf
密度函数的图形：
广东工业大学下页上页 返回
（ 2）标准正态分布当 时称 X服从 标准正态分布 。1,0
)1,0(~ NX
标准正态分布的密度函数为：
,21)( 2
2x
ex x
标准正态分布的分布函数为：
tex x
t
d21)( 2
2
)(1)( xx
x0
)(xf
aa?
}{}{ aXPaXP由对称性，显然有即有 5.0)0(?特别地，有广东工业大学下页上页 返回引理 若 ),,(~ 2NX 则 ).1,0(~ NXZ
（ 3）一般正态分布与标准正态分布的关系广东工业大学下页上页 返回
（ 4）上 分位数?
设,若 满足条件)1,0(~ NX?z
}{ zXP 10
则称点 为标准正态分布的 上?z? x
y
O
z
z?
1z分位点（或分位数）。
zz1对正态密度函数的对称性，有
}{ zXP 1)( z
广东工业大学下页上页 返回
（一）离散型随机变量函数的分布设随机变量 X的分布律为
ii pxXP }{?,2,1?i
n
n
pppP
xxxX
21
21
求随机变量 的分布律。 )( XgY?
或
（ 1） 求出随机变量 Y所有可能的取值；
（ 2） 求出随机变量 Y取每一个值的概率。
方法五、随机变量函数的分布广东工业大学下页上页 返回二、连续型随机变量函数的分布
)( XgY?
设连续型随机变量 X的密度函数 （或分布函数 ），)(xf )(xF
求随机变量 Y的密度函数 （或分布函数 ）。)(yfY )(yFY
1、公式法
)( XgY?
函数 处处可导且恒有 （或恒有 ），则)(xg 0)('?xg 0)('?xg
是连续型随机变量，其概率密度为设连续型随机变量 X的密度函数,),( xxf 又设
其它,0
|,)('|)]([)( yyhyhfyf
Y
其中 )),(),(m i n( gg? )),(),(m a x ( gg?
)(yh )(xg是 的反函数。
广东工业大学下页上页 返回二、连续型随机变量函数的分布
)( XgY?
设连续型随机变量 X的密度函数 （或分布函数 ），)(xf )(xF
求随机变量 Y的密度函数 （或分布函数 ）。)(yfY )(yFY
2、分布函数法先求 Y的分布函数，再求密度函数。
由分布函数的定义,Y的分布函数为
}{)( yYPyF Y })({ yXgP
yxg
dxxf
)(
)(
于是,Y的密度函数为
)(yfY dy ydF Y )(? dy
dxxfd
yxg
)(
)(
广东工业大学下页上页 返回习题选讲广东工业大学下页上页 返回
5 一房间有 3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。
（ 1）以 X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求 X的分布律。
（ 2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以 Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求 Y的分布律。
（ 3）求试飞次数 X小于 Y的概率；求试飞次数 Y小于 X的概率。
广东工业大学下页上页 返回
15 在区间 上任意投掷一个质点，以 X表示这个质点的坐标。设这个质点落在 中任意小区间内的概率与这个区间的长度成正比。试求 X的分布函数。
],0[ a
],0[ a
广东工业大学下页上页 返回
19 （ 1）由统计物理学知，分子运动速度的绝对值 X服从马克斯韦尔分布，其概率密度为
其它,0
0,)( /2 2 xeAxxf bx
其中,k为 Boltzmann常数,T为绝对温度,m是分)2/( kTmb?
子的质量。试确定常数 A。
广东工业大学下页上页 返回
23 设,（ 1）求)4,3(~ NX },104{},52{ XPXP
};3{},2|{| XPXP （ 2）确定 c使得 };{}{ cXPcXP
（ 3）设 d满足,问 d至多为多少？ 9.0}{ dXP
广东工业大学下页上页 返回
28 设随机变量 X在（ 0,1）上服从均匀分布。
（ 1）求 的概率密度；XeY?
（ 2）求 的概率密度。 XY ln2
广东工业大学下页上页 返回
30 （ 1）设随机变量 X的概率密度为,),( xxf
求 的概率密度。3XY?
（ 2）设随机变量 X的概率密度为
其它,0
0,)( xexf x
求 的概率密度。2XY?
广东工业大学下页上页 返回
31 设随机变量 X的概率密度为
其它,0
0,2)( 2?
xxxf
求 的概率密度。XY sin?
广东工业大学下页上页 返回补例 1 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，若第一名队员投中的概率为 0.4，第二名队员投中的概率为 0.6，求每名队员投篮次数的分布律。
广东工业大学下页上页 返回补例 2 设随机变量 的取值为 的取值为,1,1,1,2,3 且
,4.0}1{P 则,0,0,0)( xe xxF x为某一连续型随机变量 X的分布函数的概率为广东工业大学下页上页 返回补例 3若要 可以成为随机变量 X的密度函数,则 X的可 能取值区间为
(A) (B)
(C) (D) ]0,2[ ]23,0[?
],0[? ]47,23[
xxf co s)(?
广东工业大学下页上页 返回
20 某种型号的器件的寿命 X（以小时记）具有以下的概率密度：
其它,0
1000,1000)( 2 x
xxf
设有一大批此种器件（设器件损坏与否相互独立），任取 5只，
问其中至少有 2只寿命大于 1500小时的概率是多少？
广东工业大学下页上页 返回补例 4 设一本书各页的印刷错误个数 X服从泊松分布。已知有一个和两个印刷错误的页数相同，则随机抽查 4页中无印刷错误的概率为多少？
广东工业大学下页上页 返回补例 5 设随机变量 X在（ 0,1）上服从均匀分布，现有一常数
a，任取 Ｘ 的四个值，已知至少有一个大于 a的概率为０,９，
问 a是多少？
广东工业大学下页上页 返回补例 6 设 X为随机变量，若矩阵
010
20
232
XA
的特征值全是实数的概率为 0.5，则 X可能服从
(A) (B)
(C) (D)
的均匀分布]2,0[
)1,0(N正态分布的指数分布参数为 1
)5.0,2(B二项分布广东工业大学下页上页 返回补例 7 设随机变量 X的概率密度为
其它0
20
4
1
01
2
1
)( x
x
xf
X
,2XY?令 (I) 求 Y的概率密度函数 ).( yfY
广东工业大学下页上页 返回补例 8 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为,则此人 4次射击恰好第 2次命中目标的概率为)10( pp
(A) (B)
(C) (D)
2)1(3 pp? 2)1(6 pp?
22 )1(3 pp? 22 )1(6 pp?
2007
广东工业大学下页上页 返回广东工业大学下页上页 返回
§ 1 随机变量
§ 2 离散型随机变量及其分布律
§ 3 随机变量的分布函数
§ 4 连续型随机变量及其概率密度
§ 5 随机变量的函数的分布广东工业大学下页上页 返回
§ 1 随机变量
1、对于某些随机试验，其结果本身就是数量。
例如,
:1E 掷一颗骰子，观察出现的点数。
其样本空间为,}6,5,4,3,2,1{1?S
将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。:2E
其样本空间为,}3,2,1,0{2?S
在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。:3E
其样本空间为,}0|{3 ttS
广东工业大学下页上页 返回
2、对于某些随机试验，其结果不是数量。
例如,
:4E
其样本空间为,},{4 THS?
:5E
其样本空间为：
抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。
某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。
},,{5 平负胜?S
为了处理方便，我们定义一个样本空间上的“函数”：
T
HX
出现出现
,0
,1
负平胜
,0
,1
,3
Y
这样定义在样本空间上的函数 X,Y称为随机变量。
广东工业大学下页上页 返回随机变量的定义
1R
B
S
表示随机变量。，，，或，，，常用 ZYX
上的实值函数间是定义在样本空
S
X
如果对于试验的每一个可能结果，也就是一个样本点 e，
都对应着一个实数 X(e)，而 X(e)又是随试验结果的不同而变化的一个变量，则称它为 随机变量 。
e
X
广东工业大学下页上页 返回例 1 掷一个硬币,观察出现的结果,共有两种情况,
),(1 反面朝上?e
),(2 正面朝上?e
若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数,则有
)(1 反面朝上?e
)(2 正面朝上?e
0
1
)(eX
0)( 1 eX
1)( 2 eX
即 X(e)是一个随机变量,
广东工业大学下页上页 返回实例 2 在有两个孩子的家庭中,考虑其性别,共有 4个样本点,
).,(),,(,),(),男男,( 4321 女女男女女男 eeee
若用 X表示该家女孩子的个数时,则有
,0)( 1?eX,1)( 2?eX,1)( 3?eX,2)( 4?eX
可得随机变量 X(e),
.,2
,,,1
,,0
)(
4
32
1
ee
eeee
ee
eX
广东工业大学下页上页 返回几点说明
(1) 随机变量与普通的函数的区别随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数 ).
(2) 随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律,
例 掷一颗骰子，用 X表示出现的点数。则有
6
1}2{XP
6
2}4{XP
6
3}52{ XP
广东工业大学下页上页 返回几点说明
(1) 随机变量与普通的函数的区别随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数 ).
(2) 随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律,
随机变量的引入，使我们能用随机变量来描述各种随机现象，使我们有可能利用数学分析的方法对随机试验的结果进行深入广泛的研究和讨论。
广东工业大学下页上页 返回随机变量的分类根据随机变量的取值情况，把随机变量分为两类：
1、离散型随机变量
2、非离散型随机变量所有可能的取值为有限个或可列个。
在整个数轴上取值，或至少有一部分值取某实数区间的全部值。
非离散型随机变量范围很广，情况比较复杂，其中有一类是很重要的，也是实际中常遇到的随机变量，即连续型随机变量在整个数轴上取值或取某个实数区间的全部值。
广东工业大学下页上页 返回有些随机变量，它所有可能的取值只有 有限个 或 可列无限多个,称这种随机变量为 离散型随机变量 。
例 1 掷两颗骰子出现的点数和 X，其所有可能的取值为 2,3，
4,…,12,共 11个可能值。 （离散型随机变量）
例 2 某射手对活动靶进行射击，到击中为止，所进行的射击次数 Y，其所有可能的取值为 1,2,3,…,因无法断言最多射击几次就能定能命中目标，故合理地应认为其可能取值是可列无限多个。 （离散型随机变量）
一、离散型随机变量的定义
§ 2 离散型随机变量及分布律广东工业大学下页上页 返回对于离散型随机变量，我们所关心的问题是什么呢？
（ 1）随机变量所有可能的取值有哪些？
（ 2）取每个可能值的概率是多少？
二、离散型随机变量的分布律分布列设随机变量 X所有可能的取值为
,,,,21 nxxx
且取每一个可能值的概率为
ii pxXP }{?,2,1?i
称（ *）式为随机变量 X的 概率分布 （或称为 分布律 ）。
（ *）
（ *）式也可表为
n
n
pppP
xxxX
21
21
广东工业大学下页上页 返回二、离散型随机变量的分布律分布列设随机变量 X所有可能的取值为
,,,,21 nxxx
且取每一个可能值的概率为
ii pxXP }{?,2,1?i
称（ *）式为随机变量 X的 概率分布 （或称为 分布律 ）。
（ *）
（ *）式也可表为
n
n
pppP
xxxX
21
21
三、离散型随机变量分布律的性质
,0?ip1,?,3,2,1?i
1
1
i i
p2,11
n
i i
p特别地，当随机变量所有可能的取值为有限个时（如 n个 )，有广东工业大学下页上页 返回例 1 已知离散型随机变量 X的分布列为
3.01021016.0
32101
2 aaaP
X?
试求常数 a。
广东工业大学下页上页 返回例 2 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以 1/2的概率允许或禁止汽车通过，以 X表示汽车首次停下时，
它已能过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），
求 X的分布律 。
广东工业大学下页上页 返回例 3 某篮球运动员投中篮圈的概率是 0.9，求他两次独立投篮投中次数 X的概率分布,
广东工业大学下页上页 返回例 3 某篮球运动员投中篮圈的概率是 0.9，求他两次独立投篮投中次数 X的概率分布,
解,X 所有可能的取值为：
P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01
P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18
P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81
且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1
从而 X的概率分布为：
0,1,2
81.018.001.0
210
P
X
广东工业大学下页上页 返回例 4 社会上定期发行某种体育彩票,每注 2元,中奖率为 p。 某人每次随机购买 1注,如果没有中奖下次再继续随机购买 1注,
直到中奖为至 。 求该人购买次数 X的分布律 。
,2,1?k ppkXP k 1)1()(
具有如上分布律的随机变量 X称为服从 几何分布,
广东工业大学下页上页 返回
1}{?CXP ＝
例 5 若随机变量 X所有可能的取值只有一个 C，求 X的分布律。
解 随机变量 X的分布律为称为 退化分布 。
广东工业大学下页上页 返回例 6 设离散型随机变量 X的分布律为
)0,,2,1(,}{ bkbkXP k?
为则?
(A) (B)
(C) (D)
的任意实数0 1?b
1
1
b 1
1
b
广东工业大学下页上页 返回三、几种重要的离散型随机变量
（一） （ 0—1）分布设随机变量 X所有可能的取值为 0和 1，其分布律为
kk ppkXP 1)1(}{ 1,0?k )10( p
或写为 ppPX?1 10
则称 X服从参数为 p的（ 0—1）分布。
显然，若试验 E只有两个可能的结果 A与 。A 则在 E上总可以定义一个（ 0—1）分布：
发生当发生当
A
AX
1
0 此时,pAPXP )(}1{
pAPXP 1)(}0{
广东工业大学下页上页 返回
2、伯努利试验只有两个可能结果 A与 的试验。A
很多随机试验，其可能的结果不止两个，但由于人们常常只对试验中 某一特定结果 是否发生感兴趣，因而也可将之归结为 伯努利试验 。
1、独立试验序列概型在相同条件下重复进行试验的数学模型。
（二） 伯努利试验、二项分布例 明天的天气可以有多种情况，但若只关心明天是否下雨，
则观察明天的天气（作为一次独立试验），其结果就只有两个：“下雨”或“不下雨”，因而可被看作是一个贝努利试验。
广东工业大学下页上页 返回
2、伯努利试验只有两个可能结果 A与 的试验。A
很多随机试验，其可能的结果不止两个，但由于人们常常只对试验中 某一特定结果 是否发生感兴趣，因而也可将之归结为 伯努利试验 。
1、独立试验序列概型在相同条件下重复进行试验的数学模型。
（二） 伯努利试验、二项分布在实际应用上，经常要考察独立重复进行一伯努利试验的序列，并将这一独立重复的试验序列作为单独的一个复合试验来对待。这样的复合试验称为 n 重伯努利试验 。
广东工业大学下页上页 返回
2、伯努利试验只有两个可能结果 A与 的试验。A
1、独立试验序列概型在相同条件下重复进行试验的数学模型。
（二） 伯努利试验、二项分布
3,n重伯努利试验即 n 次独立重复的伯努利试验称为 n重伯努利试验。
每次试验中某事件 A 或者发生或者不发生，假定每次试验的结果与其它各次试验结果无关 (即每次试验中事件 A发生的概率都是 p )，这样的一系列（比如 n 次）重复试验称为 n 重伯努利试验 。
广东工业大学下页上页 返回例 掷一枚硬币，其结果为 A =“出现正面”或,出现反面”。A
重复掷 10次伯努利试验
10重伯努利试验重复掷 k 次 k 重伯努利试验广东工业大学下页上页 返回若在每次试验中，事件 A发生的概率 。 pAP?)(
我们来求一下在 n重贝努利试验中，事件 A恰好出现 k的概率。
下面，
knk pp
k
nkXP
)1()(
nk,,2,1,0
广东工业大学下页上页 返回
knk pp
k
nkXP
)1()(
nk,,2,1,0
pn,则称随机变量 服从参数为 的二项分布，X
),(~ pnBX
记为特别，当 n =1时的二项分布为分布10? ),1( pB
2、二项分布若随机变量 X的分布律为
ppP
X
1
10
广东工业大学下页上页 返回例 1 按规定，某种型号的电子元件的使用寿命超过 1500小时的为一级品。已知某一大批？产品的一级品率为 0.2，现在从中随机地抽查 20只。问这 20只元件中恰有 k只为一级品的概率是多少广东工业大学下页上页 返回例 2 某人进行射击，设每次射击的命中率为 0.02，独立射击 400
次，试求至少击中两次的概率。
广东工业大学下页上页 返回例 3 已知发射一枚地对空导弹可击中来犯敌机的概率为 0.96,问需在同样条件下发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于 0.999?
广东工业大学下页上页 返回例 3 已知发射一枚地对空导弹可击中来犯敌机的概率为 0.96,问需在同样条件下发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于 0.999?
导弹数是随机变量枚导弹，则击中敌机的设需要发射解 n
，)96.0,(~ nBX
于是 1? n)96.01( 999.0?
001.004.0?n
n 15.2?
即从而 001.0lg
04.0lg
枚导弹。，即需要发射取 33?n
}1{?XP
广东工业大学下页上页 返回例 4 设三次独立试验中,事件 A出现的概率相等,若已知 A至少出现一次的概率等于 19/27,求事件 A在一次试验中出现的概率?
例 5 设随机变量 X 服从参数为（ 2,p）的二项分布，随机变量 Y服
,95}1{XP 求?}1{?YP参数为（ 3,p）的二项分布，若广东工业大学下页上页 返回例 6 一个完全不懂阿拉伯语的人去瞎蒙一个阿拉伯语考试。假设此考试共 5道选择题，每题给出 n个结果可选择，其中只有一个结果是正确的。试问他居然能答对 3题以上从而及格的概率。
广东工业大学下页上页 返回例 6 一个完全不懂阿拉伯语的人去瞎蒙一个阿拉伯语考试。假设此考试共 5道选择题，每题给出 n个结果可选择，其中只有一个结果是正确的。试问他居然能答对 3题以上从而及格的概率。
解 设此人答对的题数为 X，则有 )1,5(~ nBX
从而此人及格的概率为
}3{?XP 23 )1()1(35 nnn )1()1(45 4 nnn 5)1(55 n
时，此值为当 3?n
23
3
2
3
1
3
5?
14
3
2
3
1
4
5?
05
3
2
3
1
5
5?
时，此值为当 4?n
23
4
3
4
1
3
5?
14
4
3
4
1
4
5?
05
4
3
4
1
5
5?
81
17＝ 21.0?
512
53＝ 10.0?
广东工业大学下页上页 返回例 7 设有 80台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修式人的方法，其一是由 4人维护，每人负责 20台；
其二是由 3人共同维护 80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。
广东工业大学下页上页 返回
（三） 泊松分布若随机变量 X的分布律为
!}{ k
ekXP k,3,2,1,0?k
则称随机变量 X服从参数为 的泊松分布。记为?
)(~X )(~?PX
其中,0
或泊松分布图形的特点
1、定义广东工业大学下页上页 返回历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于 1837年由法国数学家 泊松 引入的,
近数十年来,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一,在实际中,许多随机现象服从或近似服从泊松分布,
2、泊松分布的背景及应用二十世纪初 罗瑟福 和 盖克 两位科学家在观察与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时,
他们做了 2608 次观察 (每次时间为 7.5 秒 )发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数 X 服从泊松分布,
广东工业大学下页上页 返回在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的,例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都近似服从泊松分布,
地震 火山爆发 特大洪水电话呼唤次数 交通事故次数商场接待的顾客数广东工业大学下页上页 返回定理 (泊松定理 ),有关并与设随机变量 ))1,0()(,(~ nppnBX?
，则且满足 npnl i m
,2,1,0!lim)(lim kekqpknkXP
k
knk
nn,
广东工业大学下页上页 返回定理 (泊松定理 ),有关并与设随机变量 ))1,0()(,(~ nppnBX?
，则且满足 npnl i m
,2,1,0!lim)(lim kekqpknkXP
k
knk
nn,
)( kXP? knk qp
k
n?
knk qp
knk
n?
)!(!
!
由已知,
npnlim 0lim pn因此又因为 k是定值，故
1)1()1(lim kn n knnn?
k
n
k
k p
pnp
n
knnn
k )1(
)1()()1()1(
!
1
)(?
证明广东工业大学下页上页 返回
1)1(l i m kn p
，可求出限再由微积分中的重要极 ex xn
1
)1(l i m
，，，＝,210)1(lim)1(lim )(
1
kepp nppnnn
的极限，可得式两边取再对 n)(
,2,1,0!)(lim kekkXP kn,证毕。
，有关并与设随机变量 ))1,0()(,(~ nppnBX?
，则且满足 npnl i m
定理 (泊松定理 )
,2,1,0!lim)(lim kekqpknkXP
k
knk
nn,
广东工业大学下页上页 返回二项分布 泊松分布n很大,p 很小广东工业大学下页上页 返回例 1 一大批产品的废品率为 p=0.015，任取 100个，求恰有一个废品的概率。
广东工业大学下页上页 返回例 1 一大批产品的废品率为 p=0.015，任取 100个，求恰有一个废品的概率。
解 用 X表示这 100个产品中的废品个数，则有
)0 1 5.0,1 0 0(~ BX
于是 991100 985.0015.0}1{ CXP 3 3 5 9 3.0?
由于 n较大而 p很小，可用泊松分布公式所似代替二项分布公式。
其中 5.10 1 5.01 0 0 np
于是 5.11
!1
5.1}1{ eXP 3 3 4 6 9 5.0?
广东工业大学下页上页 返回
3,5,12
广东工业大学下页上页 返回
§ 3 随机变量的分布函数对于非离散型随机变量 X，由于其可能的取值不能一个一个列出来，因而就不能象离散型随机变量那样可以用分布律来描述它。
另一方面，对于大部分非离散型随机变量 X，讨论其取某一指定实数值的概率本身就没什么意义。（如连续型随机变量取某一指定实数值的概率等于 0）
那么，怎样来研究非离散型随机变量呢?
广东工业大学下页上页 返回例 1 在一批灯泡中随机抽取一只,X表示抽到的灯泡的寿命。
人们关心的是,?}{ aXP
}{ bXaP
}{ bXaP
从上述问题我们看到，人们一般关心的问题是随机变量 X
落在某个区间的概率是多少？
例 2 某人去车站候车,X表示车到达该车站的时刻。
人们关心的是：
例 3 测量某桌子长度,X表示测量误差。
}{ bXaP人们关心的是：
即如下形式的概率广东工业大学下页上页 返回
}{ bXP
因为
}{ bXaP }{}{ aXPbXP
显然，
且概率 }{ xXP? 与 x的取值有关，
为随机变量 X的分布函数。
我们称此函数
}{ xXP? 表示随机变量 X落入区间 的概率：],( x
研究随机变量落在某个区间的概率,我们只需要知道如下形式的概率就行了,?}{ bXaP
x0 x
X
为 x的函数，
广东工业大学下页上页 返回
1、分布函数的定义设 X为一个随机变量,x为任意实数，函数
}{ xXP)( xF
称为随机变量 X的 分布函数 。
2、分布函数的性质
（ 1） 为单调不减函数。即对任意,都有)(xF 21 xx?
)()( 21 xFxF?
（ 2） 1)(0 xF,且有
0)(lim)( xFF x 1)(lim)( xFF x
（ 3）,即 是右连续的。 )()0( xFxF )(xF
广东工业大学下页上页 返回
2、分布函数的性质
（ 1） 为单调不减函数。即对任意,都有)(xF 21 xx?
)()( 21 xFxF?
（ 2） 1)(0 xF,且有
0)(lim)( xFF x 1)(lim)( xFF x
（ 3）,即 是右连续的。 )()0( xFxF )(xF
)()(}{ aFbFbXaP
)0()(}{ aFaFaXP
（ 4）
}{ bXaP )0()( aFbF
}{ bXaP )()0( aFbF
广东工业大学下页上页 返回例 1 如下四个函数哪个为某个随机变量 X的分布函数
,
11
10,2/
0,0
)(
x
xx
x
xF
(A) (B)
(C) (D)
,
2/1
2/0,s i n
0,0
)(
x
xx
x
xF
,
01
02,2/1
2,0
)(
x
x
x
xF
0,
1
)1l n (
0,0
)( x
x
x
x
xF
广东工业大学下页上页 返回例 2 设随机变量 X的分布律为
4/12/14/1
321
P
X?
求 X的分布函数，并求 }.32{},2523{},21{ XPXPXP
广东工业大学下页上页 返回设离散型随机变量的分布律为
ii pxXP }{?,2,1?i
或
n
n
pppP
xxxX
21
21
3、离散型随机变量的分布函数则 X的分布函数为
}{}{)(?
xx ii
xXPxXPxF?
xx ii
p
广东工业大学下页上页 返回例 3 已知离散型随机变量的分布律为 1 0 114
/ ab
分布函数是
1
0
3 4 1
,-
,- 1
()
/,0
,1
cx
dx
Fx
x
ex
试确定其中的 a,b,c,d,e的值。
广东工业大学下页上页 返回例 3 已知离散型随机变量的分布律为 1 0 114
/ ab
分布函数是
1
0
3 4 1
,-
,- 1
()
/,0
,1
cx
dx
Fx
x
ex
试确定其中的 a,b,c,d,e的值。
解：由 F(-∞)=0,F(+∞)=1 得 c=0,e=1
由 P{ξ=1}=F(1)-F(1-0) 得 1- 3/4=b,b =1/4,
由 1/4+a+b=1,从而 a=1/2
由 P{ξ=0}=F(0)-F(0-0) 得 1/2=3/4 - d,
即 a=1/2,b=1/4,c=0,d=1/4,e=1
广东工业大学下页上页 返回
00
01
2
2
12
3
11
23
12
13
x
x
x
Fx x
x
x
3?PX试求：⑴．
3?PX⑵．
1?PX⑶．
1
2
PX⑷．
24PX⑸．
13PX⑹．
例 4 设随机变量 X的分布函数为广东工业大学下页上页 返回
00
01
2
2
12
3
11
23
12
13
x
x
x
Fx x
x
x
3?PX试求：⑴．
3?PX⑵．
1?PX⑶．
1
2
PX⑷．
24PX⑸．
13PX⑹．
例 4 设随机变量 X的分布函数为
1 1 1 5
1 2 2 1 2
33 P X F⑴,1?解：
3 3 0P X F⑵,1112?
1 1 1 0P X F F⑶,2 1 13 2 6
111
22P X F
⑷．
131
44
2 4 4 0 2P X F F⑸,1 1 11 1 2 1 2
1 3 3 0 1 0P X F F⑹．
广东工业大学下页上页 返回例 5 设随机变量 X的分布函数为
xBAxF a rcta n)( x
求常数 A和 B，并求概率 }.11{ XP
广东工业大学下页上页 返回例 5 设随机变量 X的分布函数为
xBAxF a rcta n)( x
解,由分布函数的性质，我们有
2AB
2AB
解方程组 02
1
2
AB
AB
得解 11
2AB，．
)a r c t a n(lim)(lim xBAxF xx 0?
)a r c t a n(lim)(lim xBAxF xx 1?
求常数 A和 B，并求概率 }.11{ XP
于是 xxF a rct a n121)( x
)1()1(}11{ FFXP 21?
广东工业大学下页上页 返回例 5 一个靶子是半径为 R米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离,试求随机变量 X的分布函数,
广东工业大学下页上页 返回例 5 一个靶子是半径为 R米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离,试求随机变量 X的分布函数,
解：
2
2?( ),
xFx
R故 x
R
（ 1）若 x < 0,则 是不可能事件，于是}{ xX?
}{)( xXPxF 0)(P
（ 2） 若,0 Rx 2}{)( xkxXPxF
由 1}{)( RXFRF 有 12Rk
2
1
Rk解得
（ 3） 若,Rx? 1}{)( xXPxF
于是
2
2
0,0,
( ),0,
1,.
x
x
F x x R
R
xR
广东工业大学下页上页 返回例 5 一个靶子是半径为 R米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离,试求随机变量 X的分布函数,
2
2
0,0,
( ),0,
1,.
x
x
F x x R
R
xR
0 R
1 F(x)
x不难发现，如果设
2
0,0
() 2
,0
x x R
fx x
xR
R
及
( ) ( )xF x f x d x则广东工业大学下页上页 返回0 xx
面积
§ 4 连续型 随机变量
1、定义如果对于随机变量 X的分布函数,存在非负函数,)(xF )(xf
使得对任意实数 x，都有
dttfxF x )()(
则称 X为 连续型随机变量,其中 称为 X的 概率密度函数,)(xf
简称为 密度函数,密度 或 概率密度 。
)(xf }{)( xXPxF
记为
)(~ xFX
)(~ xfX
一、密度函数广东工业大学下页上页 返回
2、密度函数的性质
dttfxF x )()(
（ 1） 0)(?xf
（ 2） 1)( dxxf
0 xx
面积 =1
)(xf
注意满足性质 (1)(2)的函数都可以看为某个连续型随机变量的概率密度,
（ 3） 是 上的连续函数。)(xF ),(
广东工业大学下页上页 返回
（ 5）对于任意实数,有ba?
xb
面积
a0
)(xf
)()(' xfxF?
0}{ aXP（ 4）
（ 6） 若 在点 x处连续，则)(xf
}{ bXaP
}{}{ bXaPbXaP
dttfxF x )()(
2、密度函数的性质
}{ bXaP
)()( aFbF ba dxxf )(
基本题型 2、已知分布函数求密度函数,)()(' xfxF?
1、已知密度函数求分布函数：
dttfxF x )()(
广东工业大学下页上页 返回例 2 设随机变量 X的密度函数为 f(x)，且 f(-x)=f(x),F(x)是 X的分布函数，则对任意实数 a，有
(A) (B)
(C) (D)
a dxxfaF 0 )(1)( a dxxfaF 0 )(21)(
)()( aFaF 1)(2)( aFaF
广东工业大学下页上页 返回例 3 设连续型随机变量 X 的密度函数为
21)( x
axf
)( x
(1) 确定 a 的值； (2) 求 X的分布函数 (3) 求概率 }.1{ 2?XP);(xF
广东工业大学下页上页 返回例 3 设连续型随机变量 X 的密度函数为
21)( x
axf
)( x
(1) 确定 a 的值； (2) 求 X的分布函数 (3) 求概率 }.1{ 2?XP);(xF
解,由密度函的性质,有
dxxf )( dxxa 21 |a r c t a n xa?a?
(1),0?a 且有
1?
从而?1?a
广东工业大学下页上页 返回例 3 设连续型随机变量 X 的密度函数为
21)( x
axf
)( x
(1) 确定 a 的值； (2) 求 X的分布函数 (3) 求概率 }.1{ 2?XP);(xF
解,由密度函的性质,有
dxxf )( dxxa 21 |a r c t a n xa?a?
(1),0?a 且有
1?
从而?1?a
)1(
1)(
2xxf (柯西分布 )
广东工业大学下页上页 返回例 3 设连续型随机变量 X 的密度函数为
)( x
(1) 确定 a 的值； (2) 求 X的分布函数 (3) 求概率 }.1{ 2?XP);(xF
解,由密度函的性质,有
dxxf )( dxxa 21 |a r c t a n xa?a?
(1),0?a 且有
1?
从而?1?a
(柯西分布 ))1( 1)( 2xxf
(2) x dttfxF )()( dtxx?
21
11
xt
|)(a rc ta n
1
)2(a rcta n1 x xa rcta n121
广东工业大学下页上页 返回例 3 设连续型随机变量 X 的密度函数为
)( x
(1) 确定 a 的值； (2) 求 X的分布函数 (3) 求概率 }.1{ 2?XP);(xF
解,(3) (法一,利用分布函数 )
(柯西分布 ))1( 1)( 2xxf
(2) x dttfxF )()( dtxx?
21
11
xt
|)(a rc ta n
1
)2(a rcta n1 x xa rcta n121
}1{ 2?XP }1{1 2 XP }11{1 XP
)]1()1([1 FF
)]4121()4121[(1 21?
广东工业大学下页上页 返回例 3 设连续型随机变量 X 的密度函数为
)( x
(1) 确定 a 的值； (2) 求 X的分布函数 (3) 求概率 }.1{ 2?XP);(xF
解,(3) (法一,利用分布函数 )
(柯西分布 ))1( 1)( 2xxf
}1{ 2?XP }1{1 2 XP }11{1 XP
)]1()1([1 FF
)]4121()4121[(1 21?
(法二,利用密度函数 )
}1{ 2?XP }1{1 2 XP }11{1 XP
11 )(1 dxxf21?
广东工业大学下页上页 返回例 4 设连续型随机变量 X 的密度函数为?
其它,0
43,
2
2
30,
)( x
x
xkx
xf
(1) 确定 k 的值； (2) 求 X的分布函数； (3) 求概率 }.2/71{ XP
广东工业大学下页上页 返回例 4 设连续型随机变量 X 的密度函数为?
其它,0
43,
2
2
30,
)( x
x
xkx
xf
(1) 确定 k 的值； (2) 求 X的分布函数； (3) 求概率 }.2/71{ XP
解 11( ) ( ) d,f x x?
由
34
03 212d ( ) d,
xk x x x得 1
6,k?解之得广东工业大学下页上页 返回例 4 设连续型随机变量 X 的密度函数为
(1) 确定 k 的值； (2) 求 X的分布函数； (3) 求概率 }.2/71{ XP
解 11( ) ( ) d,f x x?
由
34
03 212d ( ) d,
xk x x x得 1
6,k?解之得
（ 2） 当 时，0?x x dttfxF )()( 0?
当 时,30 x x dttfxF )()( x td t61 2121 x?
其它,0
43,
2
2
30,6/
)( x
x
xx
xf
广东工业大学下页上页 返回例 4 设连续型随机变量 X 的密度函数为
(1) 确定 k 的值； (2) 求 X的分布函数； (3) 求概率 }.2/71{ XP
当 时,43 x x dttfxF )()( x dttdtt 330 )22(6
2
4
123 xx当 时，4?x?
x dttfxF )()( 1?
从而 X的分布函数为
（ 2） 当 时，0?x x dttfxF )()( 0?
当 时,30 x x dttfxF )()( x td t61 2121 x?
其它,0
43,
2
2
30,6/
)( x
x
xx
xf
广东工业大学下页上页 返回例 4 设连续型随机变量 X 的密度函数为
(1) 确定 k 的值； (2) 求 X的分布函数； (3) 求概率 }.2/71{ XP
从而 X的分布函数为
其它,0
43,
2
2
30,6/
)( x
x
xx
xf
当 时,43 x x dttfxF )()(
当 时，4?x x dttfxF )()( 1?
（ 2） 当 时，0?x x dttfxF )()( 0?
当 时,30 x x dttfxF )()( x td t61 2121 x?
x dttdtt 330 )22(6
2
4
123 xx
广东工业大学下页上页 返回例 4 设连续型随机变量 X 的密度函数为
(1) 确定 k 的值； (2) 求 X的分布函数； (3) 求概率 }.2/71{ XP
从而 X的分布函数为
4,1
43,
4
1
23
30,
12
1
0,0
)(
2
2
x
xxx
xx
x
xF
（ 3） }2/71{ XP )1()27( FF 4841?
其它,0
43,
2
2
30,6/
)( x
x
xx
xf
广东工业大学下页上页 返回例 5 设随机变量 X的密度函数为
1||0
1||
1)( 2
x
x
x
A
xf
则概率 }21|{| XP
广东工业大学下页上页 返回例 6 一种电子管的使用寿命为 X小时，其概率密度为
,
1 0 00
1 0 01 0 0)( 2
x
x
xxf
某仪器内装有三个这样的电子管，试求使用 150小时内只有一个电子管需要更换的概率。
广东工业大学下页上页 返回例 7 已知随机变量 X的概率密度函数为
xexf x,21)( ||
求 X的分布函数。
广东工业大学下页上页 返回二、几类重要的连续型随机变量
（一） 均匀分布
1、定义设连续型随机变量 X具有概率密度
其它,0
,1)( bxa
abxf
则称 X在区间 上服从 均匀分布 。),( ba 记为 ).,(~ baUX
a b xO
ab?
1
广东工业大学下页上页 返回
其它,0
,1)( bxa
abxf
若,blcca 则有
}{ lcXcP lcc dxxf )( lcc dxab 1 ab l
2、均匀分布的概率背景如果随机变量 X服从区间 上的均匀分布，则随机变量
X在区间 上任意一个子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的位置无关。
),( ba
),( ba
即,X在区间 上等可能取值。),( ba
3、均匀分布的分布函数
xb
bxa
ab
ax
ax
xF
1
0
a b x
F (x)
0
1
广东工业大学下页上页 返回例 1 设公共汽车站从上午 7时起每隔 15分钟来一班车，如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到 7:30之间的均匀随机变量。试求该乘客候车时间不超过 5分钟的概率。
广东工业大学下页上页 返回例 1 设公共汽车站从上午 7时起每隔 15分钟来一班车，如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到 7:30之间的均匀随机变量。试求该乘客候车时间不超过 5分钟的概率。
解 设该乘客于 7时 X分到达此站
其它0
300
30
1 x
xf则 X的密度函数为令,A={候车时间不超过 5分钟 }
30251510 XPXPAP则
30
25
15
10 30
1
30
1 dxdx
3
1?
广东工业大学下页上页 返回例 2 若随机变量 X在 上服从均匀分布，求方程
0244 2 XXxx
有实根的概率。
)6,3(?
广东工业大学下页上页 返回例 2 若随机变量 X在 上服从均匀分布，求方程
0244 2 XXxx
有实根的概率。
)6,3(?
其它,0
63,
9
1 x
xf
解 随机变量 X的密度函数为
有实根方程设,0244 2 XxXxA
于是 )(AP }0)2(44)4{( 2 XXP
021 XXP
21 XXP 或32?
广东工业大学下页上页 返回例 3 设 X服从区间 上的均匀分布,且,4/1}02{ XP
.2/1}31{ XP 求 a,b的值。
),( ba
广东工业大学下页上页 返回
（二） 指数分布
1、定义设连续型随机变量 X具有概率密度
其它,0
0,1)( / xexf x?
则称 X服从参数为 的 指数分布 。其中,0
2、指数分布的分布函数
0,0
0,1 /
x
xexF x?
广东工业大学下页上页 返回某些元件或设备的寿命服从指数分布。例如无线电元件的寿命，电力设备的寿命，动物的寿命等都服从指数分布。
指数分布的重要性质,“无记忆性,
对任意的正数 s,t,则有
3、指数分布的 应用与背景 （指数分布也称 寿命分布 ）
}|{ sXtsXP }{ }{ sXP sXtsXP 且
}{
}{
sXP
tsXP
)(1
)(1
sF
tsF
/
/)(
s
ts
e
e
/te )(1 tF
}{ tXP
广东工业大学下页上页 返回某些元件或设备的寿命服从指数分布。例如无线电元件的寿命，电力设备的寿命，动物的寿命等都服从指数分布。
指数分布的重要性质,“无记忆性,
对任意的正数 s,t,则有
3、指数分布的 应用与背景 （指数分布也称 寿命分布 ）
}|{ sXtsXP }{ }{ sXP sXtsXP 且
}{
}{
sXP
tsXP
)(1
)(1
sF
tsF
/
/)(
s
ts
e
e
/te )(1 tF
}{ tXP
}{}|{ tXPsXtsXP
如果将 X看作某类动物的寿命，则上式可解释为某动物已活到 s岁｛ X>s｝，则它再活 t年以上的概率与已经活过的岁数无关。所又称指数分布为,永远年青,的分布。
广东工业大学下页上页 返回例 1 设顾客到某服务窗口办事，需要排队等候，若等待的服务时间 X(单位,分钟 )服从指数分布,其概率密度为
101 0
10
00
,,
()
,.
tet
fx
t
某人到此窗口办事，在等待 15分钟仍未能得到接待时，他就要愤然离去，若此人在一月内共去该处 10次，试求
(1)有 2次愤然离去的概率； (2)最多有 2次愤然离去的概率；
广东工业大学下页上页 返回例 1 设顾客到某服务窗口办事，需要排队等候，若等待的服务时间 X(单位,分钟 )服从指数分布,其概率密度为
101 0
10
00
,,
()
,.
tet
fx
t
某人到此窗口办事，在等待 15分钟仍未能得到接待时，他就要愤然离去，若此人在一月内共去该处 10次，试求
(1)有 2次愤然离去的概率； (2)最多有 2次愤然离去的概率；
解 先求任一次等待时，愤然离去的概率则在 10次排队中，愤然离去的次数 Y~B(10,0.2231)
}15{ XPp dte t 10/15 101 1510/ |te 2 2 3 1.02/3e
（ 1） }2{?YP 82210 )1( ppC
≈0.6735（ 2） }2{?YP kk
k
k ppC?
10
2
0
10 )1(
≈0.2973
广东工业大学下页上页 返回
（三） 正态分布
1、定义设连续型随机变量 X具有概率密度
2
2
2
)(
2
1)(
x
exf
则称 X服从参数为 的 正态分布 或 高斯分布 。?,
x
记为 ),(~ 2NX
x0
)(xf
密度函数的图形：
广东工业大学下页上页 返回正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差 ; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸,直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布,
2、正态分布的应用与背景广东工业大学下页上页 返回
2
2
2
)(
2
1)(
x
exf
3、正态分布密度函数的性质
1( ) ; x μ?曲线关于 对称
12
2( ),( ) ; πx μ f x σ?当 时 取得最大值
3( ) ; x μσ曲线在 处有拐点
4( ),,,
.
σσ越小图形越高越瘦 越大图形越矮越胖
x0
)(xf )
2
1,(
x0
)(xf
1
5.0
5.0}{)5(XP
广东工业大学下页上页 返回
4、正态分布分布函数
teσxF x σ
μt
d21)( 2
2
2
)(
广东工业大学下页上页 返回
5、标准正态分布当 时称 X服从 标准正态分布 。1,0
)1,0(~ NX
标准正态分布的密度函数为：
,21)( 2
2x
ex x
标准正态分布的分布函数为：
tex x
t
d21)( 2
2
)(1)( xx
x0
)(xf
aa?
}{}{ aXPaXP由对称性，显然有即有 5.0)0(?特别地，有广东工业大学下页上页 返回计算
(1) 时,查标准正态分布分布函数表,0?x tex
x t d
2
1)( 22?
，转化为 (1)的计算方法。(2) 若,应用0?x )(1)( xx
例 1 设,求 )1,0(~ NX },36.1{},225.1{},64.2{ XPXPXP
}.98.1|{|},72.2{ XPXP
广东工业大学下页上页 返回例 2 设 ),1,0(~ NX 求 a,b。,0 4 9 5.0}{,9 5 1 5.0}{ bXPaXP
广东工业大学下页上页 返回例 2 设 ),1,0(~ NX 求 a,b。,0 4 9 5.0}{,9 5 1 5.0}{ bXPaXP
解,Φ(a)=0.9515>1/2,
所以,a>0,
反查表得,
Φ(1.66)=0.9515,
故 a=1.66
而 Φ(b)=0.0495<1/2,
所以,b<0,
Φ(-b)=1- Φ(b)=1-0.0495
=0.9505,
-b>0,反查表得,
Φ(1.65)=0.9505,
即,-b=1.65,
故,b=-1.65
广东工业大学下页上页 返回引理 若 ),,(~ 2NX 则 ).1,0(~ NXZ
广东工业大学下页上页 返回
},1|{|},22{,15{ XPXPXP例 3 设,求 )4,1(~?NX
}.5.1|{|?XP
广东工业大学下页上页 返回例 4 将一温度调节器放置在贮存某种液体的容器内。调节器整定在,液体的温度 X是一个随机变量,且 。
（ 1）若,求 X小于 98的概率。（ 2）若要求保持液体的温度至少为 80的概率不低于 0.99，问 d至少为多少？
)25.0,(~ dNX
90?d
Cd?
广东工业大学下页上页 返回例 5 设随机变量 X服从正态分布,3.0}42{),,2( 2 XPN 且?
}0{ XP则广东工业大学下页上页 返回
6、上 分位数?
设,若 满足条件)1,0(~ NX?z
}{ zXP 10
则称点 为标准正态分布的 上?z? x
y
O
z
z?
1z分位点（或分位数）。
zz1对正态密度函数的对称性，有
}{ zXP 1}{ zXP 1)( z
常用上 分位数：?
z
0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.1
3.090 2.575 2.327 1.96 1.645 1.282
广东工业大学下页上页 返回例 6(04) 设随机变量 X服从正态分布 N(0,1)，对给定的,)10(
数 满足?u,}{uXP 若,则 x等于 }|{| xXP
(A) (B) (C) (D)
2
u
21
u
2
1u1u
广东工业大学下页上页 返回
16,17,22
27,28
广东工业大学下页上页 返回
§ 5 随机变量的函数的分布一、离散型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布广东工业大学下页上页 返回一、离散型随机变量函数的分布设随机变量 X的分布律为
ii pxXP }{?,2,1?i
n
n
pppP
xxxX
21
21
求随机变量 的分布律。 )( XgY?
或
（ 1） 求出随机变量 Y所有可能的取值；
（ 2） 求出随机变量 Y取每一个值的概率。
方法广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X的分布律为
4.01.03.02.0
2101
P
X?
试求 的分布。 2)1(,23 XZXY
广东工业大学下页上页 返回例 2 设随机变量 X的分布函数为
1,1
11,6.0
12,3.0
2,0
)(
x
x
x
x
xF
已知,求 的分布函数。 12co s12s i n XXY ||Y
广东工业大学下页上页 返回二、连续型随机变量函数的分布
)( XgY?
1、分布函数法先求 Y的分布函数，再求密度函数。
由分布函数的定义,Y的分布函数为
}{)( yYPyF Y
设连续型随机变量 X的密度函数 （或分布函数 ），)(xf )(xF
求随机变量 Y的密度函数 （或分布函数 ）。)(yfY )(yFY
})({ yXgP
yxg
dxxf
)(
)(
于是,Y的密度函数为
)(yfY dy ydF Y )(? dy
dxxfd
yxg
)(
)(
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X在 内服从均匀分布，求随机变量)2,2(
XY sin? 的分布密度函数。
广东工业大学下页上页 返回例 2(06) 设随机变量 X的概率密度为
其它0
204/1
012/1
)( x
x
xf X
,2XY?令 (I) 求 Y的概率密度函数 ).( yfY
广东工业大学下页上页 返回例 3 已知随机变量 X的概率密度为
其它，
xxaxf
0
1|||,|)(
。XYa 的概率密度及求常数 12
广东工业大学下页上页 返回例 4 设随机变量 X的概率密度函数为,),( xxf X
求 的概率密度。2XY?
广东工业大学下页上页 返回例 5 设连续型随机变量 X有严格单调增加的分布函数 F(x),试求 Y=F(X)的分布函数和密度函数。
广东工业大学下页上页 返回
2、公式法
)( XgY?
函数 处处可导且恒有 （或恒有 ），则)(xg 0)('?xg 0)('?xg
是连续型随机变量，其概率密度为设连续型随机变量 X的密度函数,),( xxf 又设
其它,0
|,)('|)]([)( yyhyhfyf
Y
其中 )),(),(m i n( gg? )),(),(m a x ( gg?
)(yh )(xg是 的反函数。
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X的密度函数为
其它,0
40,8/)( xxxf
X
求随机变量 的概率密度。 82 XY
广东工业大学下页上页 返回例 2 设随机变量 X服从正态分布 ),,( 2N
求随机变量 的概率密度。XeY?
广东工业大学下页上页 返回例 3 设随机变量,试证明 X的线性函数),(~ 2NX baXY
也服从正态分布。其中 。0?a
广东工业大学下页上页 返回广东工业大学下页上页 返回第二章小结
§ 1 随机变量
§ 2 离散型随机变量及其分布律
§ 3 随机变量的分布函数
§ 4 连续型随机变量及其概率密度
§ 5 随机变量的函数的分布广东工业大学下页上页 返回主 要 内 容一、随机变量的定义如果对于试验的每一个可能结果，也就是一个样本点 e，
都对应着一个实数 X(e)，而 X(e)又是随试验结果的不同而变化的一个变量，则称它为 随机变量 。
二、离散型随机变量及其分布律所有可能的取值只有 有限个 或 可列无限多个 。
（一）定义广东工业大学下页上页 返回
（二）离散型随机变量的分布律分布列设随机变量 X所有可能的取值为
,,,,21 nxxx
且取每一个可能值的概率为
ii pxXP }{?,2,1?i
称（ *）式为随机变量 X的 概率分布 （或称为 分布律 ）。
（ *）
（ *）式也可表为
n
n
pppP
xxxX
21
21
广东工业大学下页上页 返回
（三）几种重要的离散型随机变量
（ 1） （ 0—1）分布设随机变量 X所有可能的取值为 0和 1，其分布律为
kk ppkXP 1)1(}{ 1,0?k )10( p
或写为 ppPX?1 10
则称 X服从参数为 p的（ 0—1）分布。
广东工业大学下页上页 返回
knk pp
k
nkXP
)1()(
nk,,2,1,0
pn,则称随机变量 服从参数为 的二项分布，X
),(~ pnBX
记为特别，当 n =1时的二项分布为分布10? ),1( pB
（ 2）二项分布若随机变量 X的分布律为
ppP
X
1
10
广东工业大学下页上页 返回
（ 3） 泊松分布若随机变量 X的分布律为
!}{ k
ekXP k,3,2,1,0?k
则称随机变量 X服从参数为 的泊松分布。记为?
)(~X )(~?PX
其中,0
或定理 (泊松定理 ),有关并与设随机变量 ))1,0()(,(~ nppnBX?
，则且满足 npnl i m
,2,1,0!lim)(lim kekqpknkXP
k
knk
nn,
广东工业大学下页上页 返回
1、分布函数的定义设 X为一个随机变量,x为任意实数，函数
}{ xXP)( xF
称为随机变量 X的 分布函数 。
三、随机变量的分布函数广东工业大学下页上页 返回
2、分布函数的性质
（ 1） 为单调不减函数。即对任意,都有)(xF 21 xx?
)()( 21 xFxF?
（ 2） 1)(0 xF,且有
0)(lim)( xFF x 1)(lim)( xFF x
（ 3）,即 是右连续的。 )()0( xFxF )(xF
)()(}{ aFbFbXaP
)0()(}{ aFaFaXP
（ 4）
}{ bXaP )0()( aFbF
}{ bXaP )()0( aFbF
)0()0(}{ aFbFbXaP
广东工业大学下页上页 返回设离散型随机变量的分布律为
ii pxXP }{?,2,1?i
或
n
n
pppP
xxxX
21
21
3、离散型随机变量的分布函数则 X的分布函数为
}{}{)(?
xx ii
xXPxXPxF?
xx ii
p
广东工业大学下页上页 返回
0 xx
面积
1、定义如果对于随机变量 X的分布函数,存在非负函数,)(xF )(xf
使得对任意实数 x，都有
dttfxF x )()(
则称 X为 连续型随机变量,其中 称为 X的 概率密度函数,)(xf
简称为 密度函数,密度 或 概率密度 。
)(xf }{)( xXPxF
记为
)(~ xFX
)(~ xfX
四、连续型随机变量及其密度函数
（一） 密度函数及其性质广东工业大学下页上页 返回
2、密度函数的性质
dttfxF x )()(
（ 1） 0)(?xf （ 2） 1)( dxxf
（ 3） 是 上的连续函数。)(xF ),(
（ 5）对于任意实数,有ba?
)()(' xfxF?
0}{ aXP（ 4）
（ 6） 若 在点 x处连续，则)(xf
}{ bXaP )()( aFbF ba dxxf )(
广东工业大学下页上页 返回
（二）几类重要的连续型随机变量
1,均匀分布设连续型随机变量 X具有概率密度
其它,0
,1)( bxa
abxf
则称 X在区间 上服从 均匀分布 。),( ba 记为 ).,(~ baUX
均匀分布的分布函数
xb
bxa
ab
ax
ax
xF
1
0
广东工业大学下页上页 返回
2,指数分布设连续型随机变量 X具有概率密度
其它,0
0,1)( / xexf x?
则称 X服从参数为 的 指数分布 。其中,0
指数分布的分布函数
0,0
0,1 /
x
xexF x?
广东工业大学下页上页 返回
3、正态分布
（ 1）定义设连续型随机变量 X具有概率密度
2
2
2
)(
2
1)(
x
exf
则称 X服从参数为 的 正态分布 或 高斯分布 。?,
x
记为 ),(~ 2NX
x0
)(xf
密度函数的图形：
广东工业大学下页上页 返回
（ 2）标准正态分布当 时称 X服从 标准正态分布 。1,0
)1,0(~ NX
标准正态分布的密度函数为：
,21)( 2
2x
ex x
标准正态分布的分布函数为：
tex x
t
d21)( 2
2
)(1)( xx
x0
)(xf
aa?
}{}{ aXPaXP由对称性，显然有即有 5.0)0(?特别地，有广东工业大学下页上页 返回引理 若 ),,(~ 2NX 则 ).1,0(~ NXZ
（ 3）一般正态分布与标准正态分布的关系广东工业大学下页上页 返回
（ 4）上 分位数?
设,若 满足条件)1,0(~ NX?z
}{ zXP 10
则称点 为标准正态分布的 上?z? x
y
O
z
z?
1z分位点（或分位数）。
zz1对正态密度函数的对称性，有
}{ zXP 1)( z
广东工业大学下页上页 返回
（一）离散型随机变量函数的分布设随机变量 X的分布律为
ii pxXP }{?,2,1?i
n
n
pppP
xxxX
21
21
求随机变量 的分布律。 )( XgY?
或
（ 1） 求出随机变量 Y所有可能的取值；
（ 2） 求出随机变量 Y取每一个值的概率。
方法五、随机变量函数的分布广东工业大学下页上页 返回二、连续型随机变量函数的分布
)( XgY?
设连续型随机变量 X的密度函数 （或分布函数 ），)(xf )(xF
求随机变量 Y的密度函数 （或分布函数 ）。)(yfY )(yFY
1、公式法
)( XgY?
函数 处处可导且恒有 （或恒有 ），则)(xg 0)('?xg 0)('?xg
是连续型随机变量，其概率密度为设连续型随机变量 X的密度函数,),( xxf 又设
其它,0
|,)('|)]([)( yyhyhfyf
Y
其中 )),(),(m i n( gg? )),(),(m a x ( gg?
)(yh )(xg是 的反函数。
广东工业大学下页上页 返回二、连续型随机变量函数的分布
)( XgY?
设连续型随机变量 X的密度函数 （或分布函数 ），)(xf )(xF
求随机变量 Y的密度函数 （或分布函数 ）。)(yfY )(yFY
2、分布函数法先求 Y的分布函数，再求密度函数。
由分布函数的定义,Y的分布函数为
}{)( yYPyF Y })({ yXgP
yxg
dxxf
)(
)(
于是,Y的密度函数为
)(yfY dy ydF Y )(? dy
dxxfd
yxg
)(
)(
广东工业大学下页上页 返回习题选讲广东工业大学下页上页 返回
5 一房间有 3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。
（ 1）以 X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求 X的分布律。
（ 2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以 Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求 Y的分布律。
（ 3）求试飞次数 X小于 Y的概率；求试飞次数 Y小于 X的概率。
广东工业大学下页上页 返回
15 在区间 上任意投掷一个质点，以 X表示这个质点的坐标。设这个质点落在 中任意小区间内的概率与这个区间的长度成正比。试求 X的分布函数。
],0[ a
],0[ a
广东工业大学下页上页 返回
19 （ 1）由统计物理学知，分子运动速度的绝对值 X服从马克斯韦尔分布，其概率密度为
其它,0
0,)( /2 2 xeAxxf bx
其中,k为 Boltzmann常数,T为绝对温度,m是分)2/( kTmb?
子的质量。试确定常数 A。
广东工业大学下页上页 返回
23 设,（ 1）求)4,3(~ NX },104{},52{ XPXP
};3{},2|{| XPXP （ 2）确定 c使得 };{}{ cXPcXP
（ 3）设 d满足,问 d至多为多少？ 9.0}{ dXP
广东工业大学下页上页 返回
28 设随机变量 X在（ 0,1）上服从均匀分布。
（ 1）求 的概率密度；XeY?
（ 2）求 的概率密度。 XY ln2
广东工业大学下页上页 返回
30 （ 1）设随机变量 X的概率密度为,),( xxf
求 的概率密度。3XY?
（ 2）设随机变量 X的概率密度为
其它,0
0,)( xexf x
求 的概率密度。2XY?
广东工业大学下页上页 返回
31 设随机变量 X的概率密度为
其它,0
0,2)( 2?
xxxf
求 的概率密度。XY sin?
广东工业大学下页上页 返回补例 1 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，若第一名队员投中的概率为 0.4，第二名队员投中的概率为 0.6，求每名队员投篮次数的分布律。
广东工业大学下页上页 返回补例 2 设随机变量 的取值为 的取值为,1,1,1,2,3 且
,4.0}1{P 则,0,0,0)( xe xxF x为某一连续型随机变量 X的分布函数的概率为广东工业大学下页上页 返回补例 3若要 可以成为随机变量 X的密度函数,则 X的可 能取值区间为
(A) (B)
(C) (D) ]0,2[ ]23,0[?
],0[? ]47,23[
xxf co s)(?
广东工业大学下页上页 返回
20 某种型号的器件的寿命 X（以小时记）具有以下的概率密度：
其它,0
1000,1000)( 2 x
xxf
设有一大批此种器件（设器件损坏与否相互独立），任取 5只，
问其中至少有 2只寿命大于 1500小时的概率是多少？
广东工业大学下页上页 返回补例 4 设一本书各页的印刷错误个数 X服从泊松分布。已知有一个和两个印刷错误的页数相同，则随机抽查 4页中无印刷错误的概率为多少？
广东工业大学下页上页 返回补例 5 设随机变量 X在（ 0,1）上服从均匀分布，现有一常数
a，任取 Ｘ 的四个值，已知至少有一个大于 a的概率为０,９，
问 a是多少？
广东工业大学下页上页 返回补例 6 设 X为随机变量，若矩阵
010
20
232
XA
的特征值全是实数的概率为 0.5，则 X可能服从
(A) (B)
(C) (D)
的均匀分布]2,0[
)1,0(N正态分布的指数分布参数为 1
)5.0,2(B二项分布广东工业大学下页上页 返回补例 7 设随机变量 X的概率密度为
其它0
20
4
1
01
2
1
)( x
x
xf
X
,2XY?令 (I) 求 Y的概率密度函数 ).( yfY
广东工业大学下页上页 返回补例 8 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为,则此人 4次射击恰好第 2次命中目标的概率为)10( pp
(A) (B)
(C) (D)
2)1(3 pp? 2)1(6 pp?
22 )1(3 pp? 22 )1(6 pp?
2007
广东工业大学下页上页 返回广东工业大学下页上页 返回
