广东工业大学下页上页 返回第五章 大数定律与中心极限定理
§ 1 大数定理
§ 2 中心极限定理广东工业大学下页上页 返回
§ 1 大数定律广东工业大学下页上页 返回一、问题的提出
1、频率的稳定性
2、算术平均值的稳定性二、依概率收敛设 是一个随机变量序列,a 是一个常数。?,,,,21 nYYY
若对任意,有0
1}|{|l i maYP nn 0}|{|limaYP nn或则称随机变量序列 依概率收敛于 a。记为,,,,21 nYYY
aY Pn
1、定义广东工业大学下页上页 返回
2、依概率收敛的性质设,且 在点 连续，则,aX Pn bY Pn ),( yxg ),( yx
),(),( bagYXg Pnn
3、大数定律的概念设 是一个随机变量序列，记,,,,21 nXXX
n
XXXY n
n
21?
n
i
iXn
1
1
若存在常数序列,使得对任意,都有,,,,21 naaa 0
1}|{|limnnn aYP
则称随机变量序列 服从 大数定律 (大数法则 )。?,,,,21 nXXX
广东工业大学下页上页 返回三、切比雪夫不等式设随机变量 X具有数学期望,方差 。?EX 2DX
则对任意正数,有?
2
2}|{|
XP
2
21}|{|
XP或广东工业大学下页上页 返回例 1 假设一批种子的良种率为 1/6，从中任意选出 600粒，试计算这 600粒种子中良种所占比例与 1/6之差的绝对值不超过 0.02的概率。
广东工业大学下页上页 返回例 1 假设一批种子的良种率为 1/6，从中任意选出 600粒，试计算这 600粒种子中良种所占比例与 1/6之差的绝对值不超过 0.02的概率。
解,设 X表示 600粒种子中的良种数,)6/1,6 0 0(~ BX则有于是 1 0 0616 0 0EX 32506561600)(XD
}02.0|61600{|XP }12|100{| XP 212 )(1 XD 4213.0?
由契比雪夫不等式，有广东工业大学下页上页 返回例 2(01) 设 X的方差为 2,则根据切比雪夫不等式有估计
}2|{| EXXP
广东工业大学下页上页 返回
1}|11{|l i m
11
n
i
i
n
i
in EXnXnP
0}|11{|l i m
11
n
i
i
n
i
in EXnXnP
1、切比雪夫大数定律
,cDX i?,,2,1i,0并且它们有公共上界，即 则对任意
,,,,21 nXXX iDX相互独立，方差设随机变量 都存在，
都有或意义,在定理的条件下,n个随机变量的算术平均，
当 n无限增加时将几乎变成一个常数。
四、大数定律广东工业大学下页上页 返回
2、切比雪夫大数定律的特殊情况设随机变量 相互独立，且具有相同的,,,,21 nXXX
数学期望和方差：
,)(kXE 2)(kXD ),2,1(k
记,1
1
n
i
iXnX,0则对任意 有
}|{|l i m XPn 1}|1{|lim 1
n
i
in XnP
}|{|l i m XPn 0}|1{|l i m 1
n
i
in XnP或广东工业大学下页上页 返回
1}|1{|lim
1
pXnP
n
i
in 0}|
1{|lim
1
pXnP
n
i
in
1}|{|limpnXPn 0}|{|l i mpnXPn
3、伯努利大数定律
（ 2）设 X为 n重贝努利试验中事件 A发生的次数，且每次试验或
,,,,21 nXXX
10?,0
相互独立且都服从参数为 p的分布，则对任意
（ 1）设随机变量都有或
,0 都有,)( pAP?中 A发生的概率为 则对任意广东工业大学下页上页 返回
1}|1{|lim
1
n
i
in XnP
0}|1{|lim
1
n
i
in XnP或
4、辛钦大数定律相互独立同分布，期望存在。?,,,,21 nXXX
,0
设随机变量记 为它们共同的期望，则对任意? 都有广东工业大学下页上页 返回例 1 设 独立同分布,且 则,,,,21 nXXX,0)(?iXE
}{lim
1
nXP
n
i
in
广东工业大学下页上页 返回
§ 2 中心极限定理广东工业大学下页上页 返回一、问题的提出例如,考虑大炮的射程,
受风速、风向影响产生的误差；
在很多实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响。
如 大炮炮身结构导致的误差；
发炮士兵技术引起的误差等等。
对我们来说重要的是这些随机因素的总影响。
大炮的射程受很多随机因素的影响,
瞄准时的误差；
广东工业大学下页上页 返回下面我们来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题。
由于无穷个随机变量之和可能趋于 ∞,故我们不研究 n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量的分布函数的极限。
设随机变量序列 相互独立,,,,,21 nXXX
记 nn XXXY21
当 n无限增大时,的极限分布是什么呢？nY
)(
)(
1
11
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
XD
XEX
Z
n
i
iX
1
)(
)(
n
nn
YD
YEY
广东工业大学下页上页 返回
1、李雅普诺夫中心极限定理则有设随机变量 相互独立，具有数学期望和方差：?,,21 XX
iiXE)( 0)( 2 iiXD,2,1?i
记,
1
22?
n
i
inB?若存在正数,使得当 时，有n
n
i
ii
n
XEB
1
2
2 0}|{|
1?
~
n
n
i
i
n
i
i
B
X
11
近似地
)1,0(N
}{l i m 11 x
B
X
P
n
n
i
i
n
i
i
n
)( x dte tx 2/221
即,n 充分大时，有二、中心极限定理广东工业大学下页上页 返回
~
n
n
i
i
n
i
i
B
X
11
近似地
)1,0(N
即,n 充分大时，有
nZ
~近似地 ),( 1 nni i BN
则当 n 充分大时，有
n
i
inn
n
i
i ZBX
11
有,
11
n
i
inn
n
i
i ZBX?
定理说明,无论各个随机变量服从什么分布，只要满足定理的条件，那么当 n很大时，它们的和就近似服从正态分布。
二、中心极限定理
1、李雅普诺夫中心极限定理广东工业大学下页上页 返回
)(}{l i m 1 xx
n
nX
P
n
i
i
n
2、林德伯格 -列维定理（独立同分布的中心极限定理）
,,,,21 nXXX 独立同分布，且具有数学期设随机变量望和方差,),,2,1(0)(,)( 2 kXDXE kk记
)(
)(
1
11
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
XD
XEX
Y
n
nX
n
i
i
1
的分布函数为,)(xFn 则对任意实数 x，有
)(lim xF nn dte t
x 2/2
2
1?
广东工业大学下页上页 返回
2、林德伯格 -列维定理（独立同分布的中心极限定理）
)(}{l i m 1 xx
n
nX
P
n
i
i
n
)(lim xF nn dte
tx 2/2
2
1?
n
nX
n
i
i
1 ~近似地 )1,0(N
即,n 充分大时，有
n
X
n
n
i
i
/
1
1
~近似地 )1,0(N可化为
n
i
iXnX
1
1记
n
X
/?
~近似地
)1,0(N则有广东工业大学下页上页 返回
2、林德伯格 -列维定理（独立同分布的中心极限定理）
)(}{l i m 1 xx
n
nX
P
n
i
i
n
)(lim xF nn dte
tx 2/2
2
1?
n
nX
n
i
i
1 ~近似地 )1,0(N
即,n 充分大时，有
n
i
iXnX
1
1记
n
X
/?
~近似地
)1,0(N则有或 ~
X
近似地
),(
2
n
N
大样本统计推断的基础广东工业大学下页上页 返回应用举例广东工业大学下页上页 返回例 1 一盒同型号螺丝钉共有 100个，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值为 100g，标准差是 10g，求一盒螺丝钉的重量起过 10.2kg的概率。
广东工业大学下页上页 返回例 2 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。
假设每箱平均重 50千克，标准差为 5千克。若用最大载重为 5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977.其中 。 977.0)2(
广东工业大学下页上页 返回
)(}{l i m 1 xx
n
nX
P
n
i
i
n
2、林德伯格 -列维定理（独立同分布的中心极限定理）
,,,,21 nXXX 独立同分布，且具有数学期设随机变量望和方差,),,2,1(0)(,)( 2 kXDXE kk记
)(
)(
1
11
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
XD
XEX
Y
n
nX
n
i
i
1
的分布函数为,)(xFn 则对任意实数 x，有
)(lim xF nn dte t
x 2/2
2
1?
即,n 充分大时，有
~近似地 )1,0(N
广东工业大学下页上页 返回棣莫弗 -拉普拉斯中心极限定理
2、林德伯格 -列维定理（独立同分布的中心极限定理）
,,,,21 nXXX 独立同分布，且具有数学期设随机变量望和方差,),,2,1(0)(,)( 2 kXDXE kk记
)(
)(
1
11
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
XD
XEX
Y
n
nX
n
i
i
1 ~近似地
)1,0(N
考虑特殊情况,
均服从参数为 p的 0-1分布于是有
)1(
1
pnp
npX
n
i
i
~近似地
)1,0(N
广东工业大学下页上页 返回
,,,,21 nXXX 相互独立,均服从参数为 p的设随机变量
0-1分布，则对任意实数 x，有
)(}
)1(
{l i m 1 xx
pnp
npX
P
n
i
i
n
dte t
x 2/2
2
1?
3、棣莫弗 -拉普拉斯中心定理即,n 充分大时，有
)1(
1
pnp
npX
n
i
i
~近似地
)1,0(N
广东工业大学下页上页 返回
,,,,21 nXXX 相互独立,均服从参数为 p的设随机变量
0-1分布，则对任意实数 x，有
)(}
)1(
{l i m 1 xx
pnp
npX
P
n
i
i
n
dte t
x 2/2
2
1?
3、棣莫弗 -拉普拉斯中心定理即,n 充分大时，有
)1(
1
pnp
npX
n
i
i
~近似地
)1,0(N
n
i
in XY
1
~ ),( pnB
广东工业大学下页上页 返回
)(})1({l i m xxpnp npYP n
n
3、棣莫弗 -拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）
~)1( pnp npY n 近似地 )1,0(N即,n 充分大时，有设随机变量 服从参数为 n,p的二项分布，nY 则对任意实数 x，恒有
dte tx 2/221
或 ~
近似地
))1(,( pnpnpN?nY
意义：在实际应用中，只要 n充分大，二项分布就可以用正态分布来近似计算。
广东工业大学下页上页 返回
（ 1）对任意非负整数 nk,,2,1,0
}{ kXP
))1( 5.0())1( 5.0( pnp npkpnp npk
意义：在实际应用中，只要 n充分大，二项分布就可以用正态分布来近似计算。
具体用法,设 ),(~ pnBX
}5.05.0{ kXkP
})1( 5.0)1()1( 5.0{ pnp npkpnp npXpnp npkP
n充分大广东工业大学下页上页 返回
（ 2）对任意非负整数 nkk 210
}{ 21 kXkP
))1(())1(( 12 pnp npkpnp npk
意义：在实际应用中，只要 n充分大，二项分布就可以用正态分布来近似计算。
具体用法,设 ),(~ pnBX
})1()1()1({ 21 pnp npkpnp npXpnp npkP
n充分大广东工业大学下页上页 返回应用举例广东工业大学下页上页 返回例 1 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 的概率,若船舶遭受了 90000次波浪冲击，问其中有 29500～ 30500次纵摇角度大于 的概率是多少3
3 3/1?p
广东工业大学下页上页 返回解,在 90000次波浪冲击中纵摇角大于 的次数记为 X，?3 则有
)3/1,9 0 0 0 0(~ BX
于是，所求概率为
}3 0 5 0 02 9 5 0 0{ XP
3 0 5 0 0
2 9 5 0 0
9 0 0 0 0
9 0 0 0 0 )3
11()
3
1(
k
kkkC
knkkn ppCkXP )1(}{
例 1 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 的概率,若船舶遭受了 90000次波浪冲击，问其中有 29500～ 30500次纵摇角度大于 的概率是多少3
3 3/1?p
广东工业大学下页上页 返回例 1 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 的概率,若船舶遭受了 90000次波浪冲击，问其中有 29500～ 30500次纵摇角度大于 的概率是多少3
3 3/1?p
解,在 90000次波浪冲击中纵摇角大于 的次数记为 X，?3 则有
)3/1,9 0 0 0 0(~ BX
于是，所求概率为 （利用中心极限定理）
}3 0 5 0 02 9 5 0 0{ XP })1(30500)1()1(29500{ pnp nppnp npXpnp npP
))1(2 9 5 0 0())1(3 0 5 0 0( pnp nppnp np
)2/25()2/25(
9995.0?
拉普拉斯中心极限定理广东工业大学下页上页 返回例 2 假设一批种子的良种率为 1/6，从中任意选出 600粒，试计算这 600粒种子中良种所占比例与 1/6之差的绝对值不超过 0.02
的概率。
解,设 X表示 600粒种子中的良种数,)6/1,6 0 0(~ BX则有于是 1 0 0616 0 0EX 32506561600)(XD
}02.0|61600{|XP }12|100{| XP 212 )(1 XD 4213.0?
由 契比雪夫不等式,有广东工业大学下页上页 返回例 2 假设一批种子的良种率为 1/6，从中任意选出 600粒，试计算这 600粒种子中良种所占比例与 1/6之差的绝对值不超过 0.02
的概率。
法二（利用拉普拉斯中心极限定理）：
}02.0|61600{|XP }12|100{| XP }121 0 012{ XP
}3/250123/250 1003/250 12{ XP
)3/250 12()3/25012( 8114.0?
解,设 X表示 600粒种子中的良种数,)6/1,6 0 0(~ BX则有于是 1 0 0616 0 0EX 32506561600)(XD
广东工业大学下页上页 返回例 2 假设一批种子的良种率为 1/6，从中任意选出 600粒，试计算这 600粒种子中良种所占比例与 1/6之差的绝对值不超过 0.02
的概率。
法二（利用拉普拉斯中心极限定理）：
}02.0|61600{|XP }12|100{| XP }121 0 012{ XP
}3/250123/250 1003/250 12{ XP
)3/250 12()3/25012( 8114.0?
}02.0|61600{|XP }12|100{| XP 212 )(1 XD 4213.0?
由 契比雪夫不等式,有广东工业大学下页上页 返回例 3 设某保险公司有 10000人投保,每人每年交保费 12元,投保人每年的死亡率为 0.006.若投保人死亡,则公司付给死亡人家属 1000元,
求 (1)保险公司没有利润的概率 ;(2)每年利润不少于 60000元的概率,
广东工业大学下页上页 返回例 3 设某保险公司有 10000人投保,每人每年交保费 12元,投保人每年的死亡率为 0.006.若投保人死亡,则公司付给死亡人家属 1000元,
求 (1)保险公司没有利润的概率 ;(2)每年利润不少于 60000元的概率,
解,设 10000投保人中一年死亡 X人,则显然有 )0 0 6.0,1 0 0 0 0(~ BX
保险公司一年的收入为,121 0 0 0 0? 元120000?
保险公司一年的支出为,元X10 00
（ 1） 保险公司没有利润的概率为
}1 2 0 0 0 01 0 0 0{?XP }1 2{ XP
}64.59 601 2 064.59 60{1 XP
0 0 6.01 0 0 0 0 npEX 60?
9 9 4.00 0 6.01 0 0 0 0)1( pnpDX 64.59?
)64.5960(1 0?
拉普拉斯中心极限定理
}1 2 0{1 XP
广东工业大学下页上页 返回例 3 设某保险公司有 10000人投保,每人每年交保费 12元,投保人每年的死亡率为 0.006.若投保人死亡,则公司付给死亡人家属 1000元,
求 (1)保险公司没有利润的概率 ;(2)每年利润不少于 60000元的概率,
解,设 10000投保人中一年死亡 X人,则显然有 )0 0 6.0,1 0 0 0 0(~ BX
保险公司一年的收入为,121 0 0 0 0? 元120000?
保险公司一年的支出为,元X10 00
（ 2） 每年利润不少于 60000元的概率为
}6 0 0 0 01 0 0 01 2 0 0 0 0{ XP
}60{ XP
}64.59 606064.59 60{ XP )0( 21?
拉普拉斯中心极限定理
0 0 6.01 0 0 0 0 npEX 60?
9 9 4.00 0 6.01 0 0 0 0)1( pnpDX 64.59?
广东工业大学下页上页 返回例 4 设 相互独立,设nXXX,,,21?,21 nn XXXS
则根据列维 -林德伯格中心极限定理,当 n充分大时,nS
近似服从正态分布,只要 nXXX,,,21?
(A) 有相同的数学期望 (B) 有相同的分布
(C) 服从同一指数分布 (D) 服从同一离散型分布广东工业大学下页上页 返回例 5 设 为独立同分布序列,且均服从参数为 的指数分布,则
,,,,21 nXXX?
)(}{l i m 1 xx
n
nX
P
n
i
i
n
)(}{l i m 1 xx
n
nX
P
n
i
i
n
)(}{l i m 1 xx
n
X
P
n
i
i
n
)(}{l i m 1 xx
n
X
P
n
i
i
n
（ A） （ B）
（ C） （ D）
广东工业大学下页上页 返回例 6 假设 独立同分布,已知nXXX,,,21? kk aEX? ),4,3,2,1(?
0224 aa并且 。证明当 n充分大时，随机变量近似服从正态分布,并指出其分布参数。
n
i
in XnY
1
21
广东工业大学下页上页 返回例 6 假设 独立同分布,已知nXXX,,,21? kk aEX? ),4,3,2,1(?
0224 aa并且 。证明当 n充分大时，随机变量近似服从正态分布,并指出其分布参数。
解,由已知知,22221,,,nXXX?独立同分布,且
,)( 22 aXE i? )( 2iXD 224 )]([)( ii XEXE 224 aa? 0?
即 22221,,,nXXX?独立同分布，期望与方差均存在。
由独立同分布的中心极限定理,当 n充分大时，有
)( 224
2
1
2
aan
naX
n
i
i
~
近似地
)1,0(N
于是，
n
i
in XnY
1
21
广东工业大学下页上页 返回例 6 假设 独立同分布,已知nXXX,,,21? kk aEX? ),4,3,2,1(?
0224 aa并且 。证明当 n充分大时，随机变量近似服从正态分布,并指出其分布参数。
解：
)( 224
2
1
2
aan
naX
n
i
i
~
近似地
)1,0(N
由已知知,22221,,,nXXX?独立同分布,且
,)( 22 aXE i? )( 2iXD 224 )]([)( ii XEXE 224 aa? 0?
即 22221,,,nXXX?独立同分布，期望与方差均存在。
由独立同分布的中心极限定理,当 n充分大时，有于是，
n
i
in XnY
1
21
广东工业大学下页上页 返回例 6 假设 独立同分布,已知nXXX,,,21? kk aEX? ),4,3,2,1(?
0224 aa并且 。证明当 n充分大时，随机变量近似服从正态分布,并指出其分布参数。
解：
)( 224
2
1
2
aan
naX
n
i
i
~
近似地
)1,0(N
n
i
in XnY
1
21
naa
aX
n
n
i
i
/)(
1
2
24
2
1
2
~近似地
)1,0(N
广东工业大学下页上页 返回例 6 假设 独立同分布,已知nXXX,,,21? kk aEX? ),4,3,2,1(?
0224 aa并且 。证明当 n充分大时，随机变量近似服从正态分布,并指出其分布参数。
解：
n
i
in XnY
1
21 ),(
2
24
2 n
aaaN?~近似
n
i
in XnY
1
21
naa
aX
n
n
i
i
/)(
1
2
24
2
1
2
~近似地
)1,0(N
广东工业大学下页上页 返回例 7 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长,1名家长,2名家长来参加会议的概率分别是 0.05,0.8,0.15。若学校共有 400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（ 1）求来参加会议的家长数 X超过 450的概率；（ 2）求有 1名家长来参加会议的学生数不多于 340的概率。
广东工业大学下页上页 返回例 7 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长,1名家长,2名家长来参加会议的概率分别是 0.05,0.8,0.15。若学校共有 400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（ 1）求来参加会议的家长数 X超过 450的概率；（ 2）求有 1名家长来参加会议的学生数不多于 340的概率。
解,(1) 以 表示第 k个学生来参加会议的家长kX )400,,2,1(k
人数。 易知 的分布律为kX 15.08.005.0 210PX k
有,1.1)(?kXE,19.0)(?kXD 由独立同分布的极限定理，有则有,4 0 0
1
k
kXX
}450{?XP }4 5 0{
4 0 0
1
k
kXP }19.0400
400450
19.0400
1.1400
{
40 0
1
k
kX
P
)147.1(1 1257.0?
广东工业大学下页上页 返回例 7 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长,1名家长,2名家长来参加会议的概率分别是 0.05,0.8,0.15。若学校共有 400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（ 1）求来参加会议的家长数 X超过 450的概率；（ 2）求有 1名家长来参加会议的学生数不多于 340的概率。
解,(2) 以 Y 表示只有一名家长来参加会议的学生数,则有
)8.0,4 0 0(~ BY
于是，由拉普拉斯中心极限定理，有
}3 4 0{?YP }2.08.04 0 0 8.04 0 03 4 02.08.04 0 0 8.04 0 0{ YP
}5.22.08.0400 8.0400{ YP )5.2( 9938.0?
广东工业大学下页上页 返回例 8 银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金，已知这批债券共发放了 500张，每张须付本息 1000元，设持券人（ 1人 1
券）到期到银行领取本息的概率为 0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以 99.9%的把握满足客户的兑换,
广东工业大学下页上页 返回例 8 银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金，已知这批债券共发放了 500张，每张须付本息 1000元，设持券人（ 1人 1
券）到期到银行领取本息的概率为 0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以 99.9%的把握满足客户的兑换,
解,设 X为该日到银行领取本息的总人数,则有 )4.0,5 0 0(~ BX
银行所需支付的现金为 1000X元,设银行该日准备现金 x元,于是
}1 0 0 0{ xXP?
}1000{ xXP }6.04.0500
4.05001 0 0 0
6.04.0500
4.0500{
x
XP
}302 0 0 02 0 0 0 0 01 2 02 0 0{ xXP )302 0 0 02 0 0 0 0 0( x? 999.0? )1.3(
即,1.3302 0 0 02 0 0 0 0 0x 得,7 9 8.2 3 3 9 5 8?x
234000元现金才能以 99.9%的把握满足客户的兑换,
因此银行于该日应准备广东工业大学下页上页 返回作 业
P154
7 9
广东工业大学下页上页 返回
§ 1 大数定理
§ 2 中心极限定理广东工业大学下页上页 返回
§ 1 大数定律广东工业大学下页上页 返回一、问题的提出
1、频率的稳定性
2、算术平均值的稳定性二、依概率收敛设 是一个随机变量序列,a 是一个常数。?,,,,21 nYYY
若对任意,有0
1}|{|l i maYP nn 0}|{|limaYP nn或则称随机变量序列 依概率收敛于 a。记为,,,,21 nYYY
aY Pn
1、定义广东工业大学下页上页 返回
2、依概率收敛的性质设,且 在点 连续，则,aX Pn bY Pn ),( yxg ),( yx
),(),( bagYXg Pnn
3、大数定律的概念设 是一个随机变量序列，记,,,,21 nXXX
n
XXXY n
n
21?
n
i
iXn
1
1
若存在常数序列,使得对任意,都有,,,,21 naaa 0
1}|{|limnnn aYP
则称随机变量序列 服从 大数定律 (大数法则 )。?,,,,21 nXXX
广东工业大学下页上页 返回三、切比雪夫不等式设随机变量 X具有数学期望,方差 。?EX 2DX
则对任意正数,有?
2
2}|{|
XP
2
21}|{|
XP或广东工业大学下页上页 返回例 1 假设一批种子的良种率为 1/6，从中任意选出 600粒，试计算这 600粒种子中良种所占比例与 1/6之差的绝对值不超过 0.02的概率。
广东工业大学下页上页 返回例 1 假设一批种子的良种率为 1/6，从中任意选出 600粒，试计算这 600粒种子中良种所占比例与 1/6之差的绝对值不超过 0.02的概率。
解,设 X表示 600粒种子中的良种数,)6/1,6 0 0(~ BX则有于是 1 0 0616 0 0EX 32506561600)(XD
}02.0|61600{|XP }12|100{| XP 212 )(1 XD 4213.0?
由契比雪夫不等式，有广东工业大学下页上页 返回例 2(01) 设 X的方差为 2,则根据切比雪夫不等式有估计
}2|{| EXXP
广东工业大学下页上页 返回
1}|11{|l i m
11
n
i
i
n
i
in EXnXnP
0}|11{|l i m
11
n
i
i
n
i
in EXnXnP
1、切比雪夫大数定律
,cDX i?,,2,1i,0并且它们有公共上界，即 则对任意
,,,,21 nXXX iDX相互独立，方差设随机变量 都存在，
都有或意义,在定理的条件下,n个随机变量的算术平均，
当 n无限增加时将几乎变成一个常数。
四、大数定律广东工业大学下页上页 返回
2、切比雪夫大数定律的特殊情况设随机变量 相互独立，且具有相同的,,,,21 nXXX
数学期望和方差：
,)(kXE 2)(kXD ),2,1(k
记,1
1
n
i
iXnX,0则对任意 有
}|{|l i m XPn 1}|1{|lim 1
n
i
in XnP
}|{|l i m XPn 0}|1{|l i m 1
n
i
in XnP或广东工业大学下页上页 返回
1}|1{|lim
1
pXnP
n
i
in 0}|
1{|lim
1
pXnP
n
i
in
1}|{|limpnXPn 0}|{|l i mpnXPn
3、伯努利大数定律
（ 2）设 X为 n重贝努利试验中事件 A发生的次数，且每次试验或
,,,,21 nXXX
10?,0
相互独立且都服从参数为 p的分布，则对任意
（ 1）设随机变量都有或
,0 都有,)( pAP?中 A发生的概率为 则对任意广东工业大学下页上页 返回
1}|1{|lim
1
n
i
in XnP
0}|1{|lim
1
n
i
in XnP或
4、辛钦大数定律相互独立同分布，期望存在。?,,,,21 nXXX
,0
设随机变量记 为它们共同的期望，则对任意? 都有广东工业大学下页上页 返回例 1 设 独立同分布,且 则,,,,21 nXXX,0)(?iXE
}{lim
1
nXP
n
i
in
广东工业大学下页上页 返回
§ 2 中心极限定理广东工业大学下页上页 返回一、问题的提出例如,考虑大炮的射程,
受风速、风向影响产生的误差；
在很多实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响。
如 大炮炮身结构导致的误差；
发炮士兵技术引起的误差等等。
对我们来说重要的是这些随机因素的总影响。
大炮的射程受很多随机因素的影响,
瞄准时的误差；
广东工业大学下页上页 返回下面我们来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题。
由于无穷个随机变量之和可能趋于 ∞,故我们不研究 n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量的分布函数的极限。
设随机变量序列 相互独立,,,,,21 nXXX
记 nn XXXY21
当 n无限增大时,的极限分布是什么呢？nY
)(
)(
1
11
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
XD
XEX
Z
n
i
iX
1
)(
)(
n
nn
YD
YEY
广东工业大学下页上页 返回
1、李雅普诺夫中心极限定理则有设随机变量 相互独立，具有数学期望和方差：?,,21 XX
iiXE)( 0)( 2 iiXD,2,1?i
记,
1
22?
n
i
inB?若存在正数,使得当 时，有n
n
i
ii
n
XEB
1
2
2 0}|{|
1?
~
n
n
i
i
n
i
i
B
X
11
近似地
)1,0(N
}{l i m 11 x
B
X
P
n
n
i
i
n
i
i
n
)( x dte tx 2/221
即,n 充分大时，有二、中心极限定理广东工业大学下页上页 返回
~
n
n
i
i
n
i
i
B
X
11
近似地
)1,0(N
即,n 充分大时，有
nZ
~近似地 ),( 1 nni i BN
则当 n 充分大时，有
n
i
inn
n
i
i ZBX
11
有,
11
n
i
inn
n
i
i ZBX?
定理说明,无论各个随机变量服从什么分布，只要满足定理的条件，那么当 n很大时，它们的和就近似服从正态分布。
二、中心极限定理
1、李雅普诺夫中心极限定理广东工业大学下页上页 返回
)(}{l i m 1 xx
n
nX
P
n
i
i
n
2、林德伯格 -列维定理（独立同分布的中心极限定理）
,,,,21 nXXX 独立同分布，且具有数学期设随机变量望和方差,),,2,1(0)(,)( 2 kXDXE kk记
)(
)(
1
11
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
XD
XEX
Y
n
nX
n
i
i
1
的分布函数为,)(xFn 则对任意实数 x，有
)(lim xF nn dte t
x 2/2
2
1?
广东工业大学下页上页 返回
2、林德伯格 -列维定理（独立同分布的中心极限定理）
)(}{l i m 1 xx
n
nX
P
n
i
i
n
)(lim xF nn dte
tx 2/2
2
1?
n
nX
n
i
i
1 ~近似地 )1,0(N
即,n 充分大时，有
n
X
n
n
i
i
/
1
1
~近似地 )1,0(N可化为
n
i
iXnX
1
1记
n
X
/?
~近似地
)1,0(N则有广东工业大学下页上页 返回
2、林德伯格 -列维定理（独立同分布的中心极限定理）
)(}{l i m 1 xx
n
nX
P
n
i
i
n
)(lim xF nn dte
tx 2/2
2
1?
n
nX
n
i
i
1 ~近似地 )1,0(N
即,n 充分大时，有
n
i
iXnX
1
1记
n
X
/?
~近似地
)1,0(N则有或 ~
X
近似地
),(
2
n
N
大样本统计推断的基础广东工业大学下页上页 返回应用举例广东工业大学下页上页 返回例 1 一盒同型号螺丝钉共有 100个，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值为 100g，标准差是 10g，求一盒螺丝钉的重量起过 10.2kg的概率。
广东工业大学下页上页 返回例 2 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。
假设每箱平均重 50千克，标准差为 5千克。若用最大载重为 5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977.其中 。 977.0)2(
广东工业大学下页上页 返回
)(}{l i m 1 xx
n
nX
P
n
i
i
n
2、林德伯格 -列维定理（独立同分布的中心极限定理）
,,,,21 nXXX 独立同分布，且具有数学期设随机变量望和方差,),,2,1(0)(,)( 2 kXDXE kk记
)(
)(
1
11
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
XD
XEX
Y
n
nX
n
i
i
1
的分布函数为,)(xFn 则对任意实数 x，有
)(lim xF nn dte t
x 2/2
2
1?
即,n 充分大时，有
~近似地 )1,0(N
广东工业大学下页上页 返回棣莫弗 -拉普拉斯中心极限定理
2、林德伯格 -列维定理（独立同分布的中心极限定理）
,,,,21 nXXX 独立同分布，且具有数学期设随机变量望和方差,),,2,1(0)(,)( 2 kXDXE kk记
)(
)(
1
11
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
XD
XEX
Y
n
nX
n
i
i
1 ~近似地
)1,0(N
考虑特殊情况,
均服从参数为 p的 0-1分布于是有
)1(
1
pnp
npX
n
i
i
~近似地
)1,0(N
广东工业大学下页上页 返回
,,,,21 nXXX 相互独立,均服从参数为 p的设随机变量
0-1分布，则对任意实数 x，有
)(}
)1(
{l i m 1 xx
pnp
npX
P
n
i
i
n
dte t
x 2/2
2
1?
3、棣莫弗 -拉普拉斯中心定理即,n 充分大时，有
)1(
1
pnp
npX
n
i
i
~近似地
)1,0(N
广东工业大学下页上页 返回
,,,,21 nXXX 相互独立,均服从参数为 p的设随机变量
0-1分布，则对任意实数 x，有
)(}
)1(
{l i m 1 xx
pnp
npX
P
n
i
i
n
dte t
x 2/2
2
1?
3、棣莫弗 -拉普拉斯中心定理即,n 充分大时，有
)1(
1
pnp
npX
n
i
i
~近似地
)1,0(N
n
i
in XY
1
~ ),( pnB
广东工业大学下页上页 返回
)(})1({l i m xxpnp npYP n
n
3、棣莫弗 -拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）
~)1( pnp npY n 近似地 )1,0(N即,n 充分大时，有设随机变量 服从参数为 n,p的二项分布，nY 则对任意实数 x，恒有
dte tx 2/221
或 ~
近似地
))1(,( pnpnpN?nY
意义：在实际应用中，只要 n充分大，二项分布就可以用正态分布来近似计算。
广东工业大学下页上页 返回
（ 1）对任意非负整数 nk,,2,1,0
}{ kXP
))1( 5.0())1( 5.0( pnp npkpnp npk
意义：在实际应用中，只要 n充分大，二项分布就可以用正态分布来近似计算。
具体用法,设 ),(~ pnBX
}5.05.0{ kXkP
})1( 5.0)1()1( 5.0{ pnp npkpnp npXpnp npkP
n充分大广东工业大学下页上页 返回
（ 2）对任意非负整数 nkk 210
}{ 21 kXkP
))1(())1(( 12 pnp npkpnp npk
意义：在实际应用中，只要 n充分大，二项分布就可以用正态分布来近似计算。
具体用法,设 ),(~ pnBX
})1()1()1({ 21 pnp npkpnp npXpnp npkP
n充分大广东工业大学下页上页 返回应用举例广东工业大学下页上页 返回例 1 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 的概率,若船舶遭受了 90000次波浪冲击，问其中有 29500～ 30500次纵摇角度大于 的概率是多少3
3 3/1?p
广东工业大学下页上页 返回解,在 90000次波浪冲击中纵摇角大于 的次数记为 X，?3 则有
)3/1,9 0 0 0 0(~ BX
于是，所求概率为
}3 0 5 0 02 9 5 0 0{ XP
3 0 5 0 0
2 9 5 0 0
9 0 0 0 0
9 0 0 0 0 )3
11()
3
1(
k
kkkC
knkkn ppCkXP )1(}{
例 1 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 的概率,若船舶遭受了 90000次波浪冲击，问其中有 29500～ 30500次纵摇角度大于 的概率是多少3
3 3/1?p
广东工业大学下页上页 返回例 1 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 的概率,若船舶遭受了 90000次波浪冲击，问其中有 29500～ 30500次纵摇角度大于 的概率是多少3
3 3/1?p
解,在 90000次波浪冲击中纵摇角大于 的次数记为 X，?3 则有
)3/1,9 0 0 0 0(~ BX
于是，所求概率为 （利用中心极限定理）
}3 0 5 0 02 9 5 0 0{ XP })1(30500)1()1(29500{ pnp nppnp npXpnp npP
))1(2 9 5 0 0())1(3 0 5 0 0( pnp nppnp np
)2/25()2/25(
9995.0?
拉普拉斯中心极限定理广东工业大学下页上页 返回例 2 假设一批种子的良种率为 1/6，从中任意选出 600粒，试计算这 600粒种子中良种所占比例与 1/6之差的绝对值不超过 0.02
的概率。
解,设 X表示 600粒种子中的良种数,)6/1,6 0 0(~ BX则有于是 1 0 0616 0 0EX 32506561600)(XD
}02.0|61600{|XP }12|100{| XP 212 )(1 XD 4213.0?
由 契比雪夫不等式,有广东工业大学下页上页 返回例 2 假设一批种子的良种率为 1/6，从中任意选出 600粒，试计算这 600粒种子中良种所占比例与 1/6之差的绝对值不超过 0.02
的概率。
法二（利用拉普拉斯中心极限定理）：
}02.0|61600{|XP }12|100{| XP }121 0 012{ XP
}3/250123/250 1003/250 12{ XP
)3/250 12()3/25012( 8114.0?
解,设 X表示 600粒种子中的良种数,)6/1,6 0 0(~ BX则有于是 1 0 0616 0 0EX 32506561600)(XD
广东工业大学下页上页 返回例 2 假设一批种子的良种率为 1/6，从中任意选出 600粒，试计算这 600粒种子中良种所占比例与 1/6之差的绝对值不超过 0.02
的概率。
法二（利用拉普拉斯中心极限定理）：
}02.0|61600{|XP }12|100{| XP }121 0 012{ XP
}3/250123/250 1003/250 12{ XP
)3/250 12()3/25012( 8114.0?
}02.0|61600{|XP }12|100{| XP 212 )(1 XD 4213.0?
由 契比雪夫不等式,有广东工业大学下页上页 返回例 3 设某保险公司有 10000人投保,每人每年交保费 12元,投保人每年的死亡率为 0.006.若投保人死亡,则公司付给死亡人家属 1000元,
求 (1)保险公司没有利润的概率 ;(2)每年利润不少于 60000元的概率,
广东工业大学下页上页 返回例 3 设某保险公司有 10000人投保,每人每年交保费 12元,投保人每年的死亡率为 0.006.若投保人死亡,则公司付给死亡人家属 1000元,
求 (1)保险公司没有利润的概率 ;(2)每年利润不少于 60000元的概率,
解,设 10000投保人中一年死亡 X人,则显然有 )0 0 6.0,1 0 0 0 0(~ BX
保险公司一年的收入为,121 0 0 0 0? 元120000?
保险公司一年的支出为,元X10 00
（ 1） 保险公司没有利润的概率为
}1 2 0 0 0 01 0 0 0{?XP }1 2{ XP
}64.59 601 2 064.59 60{1 XP
0 0 6.01 0 0 0 0 npEX 60?
9 9 4.00 0 6.01 0 0 0 0)1( pnpDX 64.59?
)64.5960(1 0?
拉普拉斯中心极限定理
}1 2 0{1 XP
广东工业大学下页上页 返回例 3 设某保险公司有 10000人投保,每人每年交保费 12元,投保人每年的死亡率为 0.006.若投保人死亡,则公司付给死亡人家属 1000元,
求 (1)保险公司没有利润的概率 ;(2)每年利润不少于 60000元的概率,
解,设 10000投保人中一年死亡 X人,则显然有 )0 0 6.0,1 0 0 0 0(~ BX
保险公司一年的收入为,121 0 0 0 0? 元120000?
保险公司一年的支出为,元X10 00
（ 2） 每年利润不少于 60000元的概率为
}6 0 0 0 01 0 0 01 2 0 0 0 0{ XP
}60{ XP
}64.59 606064.59 60{ XP )0( 21?
拉普拉斯中心极限定理
0 0 6.01 0 0 0 0 npEX 60?
9 9 4.00 0 6.01 0 0 0 0)1( pnpDX 64.59?
广东工业大学下页上页 返回例 4 设 相互独立,设nXXX,,,21?,21 nn XXXS
则根据列维 -林德伯格中心极限定理,当 n充分大时,nS
近似服从正态分布,只要 nXXX,,,21?
(A) 有相同的数学期望 (B) 有相同的分布
(C) 服从同一指数分布 (D) 服从同一离散型分布广东工业大学下页上页 返回例 5 设 为独立同分布序列,且均服从参数为 的指数分布,则
,,,,21 nXXX?
)(}{l i m 1 xx
n
nX
P
n
i
i
n
)(}{l i m 1 xx
n
nX
P
n
i
i
n
)(}{l i m 1 xx
n
X
P
n
i
i
n
)(}{l i m 1 xx
n
X
P
n
i
i
n
（ A） （ B）
（ C） （ D）
广东工业大学下页上页 返回例 6 假设 独立同分布,已知nXXX,,,21? kk aEX? ),4,3,2,1(?
0224 aa并且 。证明当 n充分大时，随机变量近似服从正态分布,并指出其分布参数。
n
i
in XnY
1
21
广东工业大学下页上页 返回例 6 假设 独立同分布,已知nXXX,,,21? kk aEX? ),4,3,2,1(?
0224 aa并且 。证明当 n充分大时，随机变量近似服从正态分布,并指出其分布参数。
解,由已知知,22221,,,nXXX?独立同分布,且
,)( 22 aXE i? )( 2iXD 224 )]([)( ii XEXE 224 aa? 0?
即 22221,,,nXXX?独立同分布，期望与方差均存在。
由独立同分布的中心极限定理,当 n充分大时，有
)( 224
2
1
2
aan
naX
n
i
i
~
近似地
)1,0(N
于是，
n
i
in XnY
1
21
广东工业大学下页上页 返回例 6 假设 独立同分布,已知nXXX,,,21? kk aEX? ),4,3,2,1(?
0224 aa并且 。证明当 n充分大时，随机变量近似服从正态分布,并指出其分布参数。
解：
)( 224
2
1
2
aan
naX
n
i
i
~
近似地
)1,0(N
由已知知,22221,,,nXXX?独立同分布,且
,)( 22 aXE i? )( 2iXD 224 )]([)( ii XEXE 224 aa? 0?
即 22221,,,nXXX?独立同分布，期望与方差均存在。
由独立同分布的中心极限定理,当 n充分大时，有于是，
n
i
in XnY
1
21
广东工业大学下页上页 返回例 6 假设 独立同分布,已知nXXX,,,21? kk aEX? ),4,3,2,1(?
0224 aa并且 。证明当 n充分大时，随机变量近似服从正态分布,并指出其分布参数。
解：
)( 224
2
1
2
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naX
n
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~
近似地
)1,0(N
n
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21
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1
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~近似地
)1,0(N
广东工业大学下页上页 返回例 6 假设 独立同分布,已知nXXX,,,21? kk aEX? ),4,3,2,1(?
0224 aa并且 。证明当 n充分大时，随机变量近似服从正态分布,并指出其分布参数。
解：
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21 ),(
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aaaN?~近似
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2
~近似地
)1,0(N
广东工业大学下页上页 返回例 7 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长,1名家长,2名家长来参加会议的概率分别是 0.05,0.8,0.15。若学校共有 400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（ 1）求来参加会议的家长数 X超过 450的概率；（ 2）求有 1名家长来参加会议的学生数不多于 340的概率。
广东工业大学下页上页 返回例 7 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长,1名家长,2名家长来参加会议的概率分别是 0.05,0.8,0.15。若学校共有 400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（ 1）求来参加会议的家长数 X超过 450的概率；（ 2）求有 1名家长来参加会议的学生数不多于 340的概率。
解,(1) 以 表示第 k个学生来参加会议的家长kX )400,,2,1(k
人数。 易知 的分布律为kX 15.08.005.0 210PX k
有,1.1)(?kXE,19.0)(?kXD 由独立同分布的极限定理，有则有,4 0 0
1
k
kXX
}450{?XP }4 5 0{
4 0 0
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19.0400
1.1400
{
40 0
1
k
kX
P
)147.1(1 1257.0?
广东工业大学下页上页 返回例 7 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长,1名家长,2名家长来参加会议的概率分别是 0.05,0.8,0.15。若学校共有 400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（ 1）求来参加会议的家长数 X超过 450的概率；（ 2）求有 1名家长来参加会议的学生数不多于 340的概率。
解,(2) 以 Y 表示只有一名家长来参加会议的学生数,则有
)8.0,4 0 0(~ BY
于是，由拉普拉斯中心极限定理，有
}3 4 0{?YP }2.08.04 0 0 8.04 0 03 4 02.08.04 0 0 8.04 0 0{ YP
}5.22.08.0400 8.0400{ YP )5.2( 9938.0?
广东工业大学下页上页 返回例 8 银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金，已知这批债券共发放了 500张，每张须付本息 1000元，设持券人（ 1人 1
券）到期到银行领取本息的概率为 0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以 99.9%的把握满足客户的兑换,
广东工业大学下页上页 返回例 8 银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金，已知这批债券共发放了 500张，每张须付本息 1000元，设持券人（ 1人 1
券）到期到银行领取本息的概率为 0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以 99.9%的把握满足客户的兑换,
解,设 X为该日到银行领取本息的总人数,则有 )4.0,5 0 0(~ BX
银行所需支付的现金为 1000X元,设银行该日准备现金 x元,于是
}1 0 0 0{ xXP?
}1000{ xXP }6.04.0500
4.05001 0 0 0
6.04.0500
4.0500{
x
XP
}302 0 0 02 0 0 0 0 01 2 02 0 0{ xXP )302 0 0 02 0 0 0 0 0( x? 999.0? )1.3(
即,1.3302 0 0 02 0 0 0 0 0x 得,7 9 8.2 3 3 9 5 8?x
234000元现金才能以 99.9%的把握满足客户的兑换,
因此银行于该日应准备广东工业大学下页上页 返回作 业
P154
7 9
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