广东工业大学下页上页 返回第一章 概率论的基本概念
§ 1 随机试验
§ 2 样本空间,随机事件
§ 3 频率与 概率
§ 4 等可能概型（古典概型）
§ 5 条件 概率
§ 6 独立性广东工业大学下页上页 返回
§ 5 条件概率一、条件概率二、乘法定理三、全概率公式四、贝叶斯公式广东工业大学下页上页 返回
)()()()( ABPBPAPBAP
设解,
问题 (1)的样本空间为问题 (2)的样本空间为已经发生的条件限制了的样本空间,
相对于原问题即问题 (1),称 为缩减样本空间,AS
{任取一个两位数能被 2整除 }?A
{任取一个两位数能被 3整除 },?B
}98,,14,12,10{AS
}99,,12,11,10{S
即由已知 A
例 在所有的两位数 10到 99中任取一个数,
(1)求此数能被 2或 3整除的概率?p
(2)若已知此数是偶数,问这个数能被 3整除的概率?1p
一、条件概率广东工业大学下页上页 返回
)()()()( ABPBPAPBAP
例 在所有的两位数 10到 99中任取一个数,
(1)求此数能被 2或 3整除的概率?p
(2)若已知此数是偶数,问这个数能被 3整除的概率?1p
一、条件概率容易求得
3
1)(
1 BPp
1p 称作是已知 发生的条件下,发生的条件概率,A B
记为,)|( ABP
2
1)(?AP
6
1)(?ABP
从以上数据上看,有 )( )()|( AP ABPABP?
}98,,14,12,10{AS }99,,12,11,10{S
ABAB
广东工业大学下页上页 返回定义 1 对事件,若BA,,0)(?AP 则称为事件 B在条件 A[发生 ]下的 条件概率,
相对地,有时就把概率 等称为 无条件概率,)(),( BPAP
此公式很重要，虽然我们是从特殊的例子得到的，但对于古典概率、几何概率问题，可以证明这个公式都是正确的
。因此，我们就把这个公式作为条件概率的一般定义：
)(
)()|(
AP
ABPABP? A发生的条件条件概率件下 B发生的
)(
)()|(
AP
ABPABP?
广东工业大学下页上页 返回用文氏图解释：
A B
条件概率 P(B|A)是在
(即投点落在 A之内 )
问 B发生的概率
(即点落在 B内 )
确知 A发生的条件 下也就是说,在已知点投在 A内的条件下,点也落在 B内的概率,
显然,已知点投在 A内,点也落在 B内,则点只能落在 AB内,
AB
从而 )( )()|( AP ABPABP?
广东工业大学下页上页 返回定理 2 条件概率的性质：
（ 1）非负性
（ 2）规范性
（ 3）可加性
0)|(?ABP
1)|( ABPB,A 则有若为一列两两互不相容的若,,,,21 nBBB
事件，则有
11
)|()|(
k kk k
ABPABP
特别地特别地 1)|()|( AAPASP
)|(1)|( ABPABP
证明,略,
广东工业大学下页上页 返回在计算条件概率时,一般有两种方法,
(1) 由条件概率的公式 ;
(2) 由 P(B|A)的实际意义,按古典概型用 缩减样本空间 计算,
广东工业大学下页上页 返回例 1 一盒中混有 100只新、旧乒乓球，各有 黄,白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只 黄球,试求该黄球 是新球的概率。
解,设 A={取到一只黄球 },
B={取到一只新球 }.
10由已知有 30
于是,则条件概率公式,有
)|( ABP )( )( AP ABP
100
60
100
40
20
3
2?
)( AP
40
)( ABP
100
60
100
40
新球 旧球黄 球白 球广东工业大学下页上页 返回例 2 已知某种动物自出生能活过 20岁的概率是 0.8，能活过
25岁的概率是 0.4。问现龄 20岁的该种动物能活 25岁的概率是多少？
解,以 表示某该种动物“能活过 20岁”的事件；A
以 表示某该种动物“能活过 25岁”的事件；B
由已知,有：
于是，所求概率
)|( ABP )( )( AP ABP )( )( AP BP? 8.04.0?
,8.0)(?AP,4.0)(?BP ),()( BPABP?
5.0?
广东工业大学下页上页 返回例 2 已知某种动物自出生能活过 20岁的概率是 0.8，能活过
25岁的概率是 0.4。问现龄 20岁的该种动物能活 25岁的概率是多少？
条件概率是概率论中最重要的概念这一，作为一项描述与计算的工具，其重要性首先表现在当存在部分先验信息（如 A已发生，在这里即动物已活过 20岁）可资利用时，可归结为条件概率而对概率作出重新估计（如这里 P(B|A)=0.5而不是 P(B)=0.4了）。
另外，条件概率也是计算某些概率的有效工具。
广东工业大学下页上页 返回例 3 设 A,B是任意两个随机事件,又知 且,BA?,0)(?BP
则下列结论中一定成立的是
(A) )()|( APABP? (B)
(C) (D)
)()|( BPABP?
)()|( APABP? )()|( BPABP?
广东工业大学下页上页 返回例 4 设 A,B 为随机事件，且,则必有 1)|(,0)( BAPBP
(A) )()( APBAP (B) )()( BPBAP
(C) )()( APBAP (D) )()( BPBAP
(2006)
广东工业大学下页上页 返回例 6 设 A,B是两个随机事件,,2.0)(,4.0)( ABPAP
,1)|()|( BAPBAP 则 )( BAP
广东工业大学下页上页 返回例 5 设 A,B是两个随机事件,且,0)(,1)(0 BPAP
).|()|( ABPABP?则必有
(A) (B)
(C) (D)
)|()|( BAPBAP?
)()()( BPAPABP?
)|()|( BAPBAP?
)()()( BPAPABP?
广东工业大学下页上页 返回
)(
)()|(
AP
ABPABP?
根据条件概率公式：
我们有：
定理 3 则有若,0)(?AP )|()()( ABPAPABP?
则有若,0)(?BP )|()()( BAPBPABP?
二、乘法定理广东工业大学下页上页 返回乘法定理的推广,
(1) 若 P(AB)>0,则有
)|()|()()( ABCPABPAPA B CP?
证明,由乘法定理,有
)( ABCP )|()( ABCPABP?
)|()|()( ABCPABPAP?
)|()()|()()( BAPBPABPAPABP
广东工业大学下页上页 返回
)|()()|()()( BAPBPABPAPABP
)( 21 nAAAP? )|()|()|()( 121213121 nn AAAAPAAAPAAPAP
(2) 若,则有 0)( 121nAAAP?
)|()( 121121 nnn AAAAPAAAP
证明,由乘法定理,有
)( 21 nAAAP?
)|()|()( 1212211221 nnnnn AAAAPAAAAPAAAP
)|()|()|()( 121213121 nn AAAAPAAAPAAPAP证毕,
乘法定理的推广,
(1) 若 P(AB)>0,则有
)|()|()()( ABCPABPAPA B CP?
广东工业大学下页上页 返回例 7 一批零件共 100件，已知有 10个是次品，现从中任意逐次取出一个零件（取出后不放回），问第三次才取得正品的概率是多少？
解,设?iA,第 次取出的零件是正品”，i,3,2,1?i
则所求概率为 )( 321 AAAP
由乘法公式，有
)( 321 AAAP )|()|()( 213121 AAAPAAPAP?
100
10
99
9?
98
90
0 0 8 4.0?
广东工业大学下页上页 返回例 8 设袋中装有 r只红球,t只白球。每次自袋中任取一只球，
观察其颜色然后放回，并再放入 a只与所取出的那只球同色的球。若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。
广东工业大学下页上页 返回解,设,3,2,1?i
由已知有
3.0)( 1?AP 2.0)|( 12?AAP 1.0)|( 213?AAAP
法一：
例 9 对某种产品要依次进行三项破坏性试验。已知产品不能通过第一项试验的概率是 0.3；通过第一项而通不过第二项试验的概率是 0.2；通过了前面两项试验却不能通过最后一项试验的概率是 0.1。试求产品未能通过破坏性试验的概率？
,321211 AAAAAAA 于是，
)( AP )()()( 321211 AAAPAAPAP
)|()|()()|()()( 2131211211 AAAPAAPAPAAPAPAP
又 )|(1)|( 1212 AAPAAP2.01 8.0? 代入上式，得
3.0)(?AP 1.08.07.02.07.0 496.0?
由已知，有
iA,产品未能通过第 项破坏性试验”，i
A,产品未能通过这三项破坏性试验”，
广东工业大学下页上页 返回例 9 对某种产品要依次进行三项破坏性试验。已知产品不能通过第一项试验的概率是 0.3；通过第一项而通不过第二项试验的概率是 0.2；通过了前面两项试验却不能通过最后一项试验的概率是 0.1。试求产品未能通过破坏性试验的概率？
解,设,3,2,1?i
由已知有
3.0)( 1?AP 2.0)|( 12?AAP 1.0)|( 213?AAAP
法一：,321211 AAAAAAA 于是，
)( AP )()()( 321211 AAAPAAPAP
)|()|()()|()()( 2131211211 AAAPAAPAPAAPAPAP
又 )|(1)|( 1212 AAPAAP2.01 8.0? 代入上式，得
3.0)(?AP 1.08.07.02.07.0 496.0?
由已知，有
iA,产品未能通过第 项破坏性试验”，i
A,产品未能通过这三项破坏性试验”，
321 AAAA
法二,
)(1 321 AAAP
)|()|()(1 213121 AAAPAAPAP
)(1)( APAP
利用对立事件性质，有
9.08.07.01 496.0?
发生即为 中至少有一发生，A 321 AAA,,故有广东工业大学下页上页 返回解,?A设,工厂同时启用两套报警系统时,能正确报警”，
iA,第 套报警系统能正常工作”，i,2,1?i 显然有
21 AAA
由已知有
92.0)( 1?AP 93.0)( 2?AP 85.0)|( 12?AAP
由加法公式,)()()()( 212121 AAPAPAPAAP
例 10 为安全起见，工厂同时装有两套报警系统 1,2。已知每套系统单独使用时能正确报警的概率为 0.92和 0.93,
又已知第一套系统失灵时第二套系统仍能正常工作的概率为 0.85。试求该工厂在同时启用两套报警系统时，能正确报警的概率是多少？
广东工业大学下页上页 返回又 )()()( 21221 AAPAPAAP )|()()( 1212 AAPAPAP
85.008.093.0 862.?
于是 )()()()( 212121 AAPAPAPAAP
862.093.092.0
988.0?
92.0)( 1?AP 93.0)( 2?AP 85.0)|( 12?AAP
由加法公式,)()()()( 212121 AAPAPAPAAP
例 10 为安全起见，工厂同时装有两套报警系统 1,2。已知每套系统单独使用时能正确报警的概率为 0.92和 0.93,
又已知第一套系统失灵时第二套系统仍能正常工作的概率为 0.85。试求该工厂在同时启用两套报警系统时，能正确报警的概率是多少？
广东工业大学下页上页 返回三、全概率公式
1、划分（完备事件组）
设 S为 E的样本空间,为 E的一组事件，若 nBBB,,,21?
,jiBB ji nji,,2,1,（ 1）
SBBB n21（ 2）
则称 为样本空间 S的一个 划分 （或 完备事件组 ）。nBBB,,,21?
2、几点说明,
若 为样本空间的一个划分,nBBB,,,21? 那么，在每次事件 中必有一个且仅有一个发生。 nBBB,,,21?
任意事件 A与其对立事件 构成最简单的完备事件组。A
（ 1）
试验中,
（ 2）
},,,,{ 21 nS设试验 E的样本空间为（ 3） 则
}{,},{},{ 21 n构成一个完备事件组。
广东工业大学下页上页 返回证明,
)( AP )(ASP
)( 21 nABABABP
)]([ 21 nBBBAP
)()()( 21 nABPABPABP
)|()( 11 BAPBP? )|()( 22 BAPBP )|(( nn BAPP?
n
k kk
BAPBP
1
)|()( 证毕,
(利用乘法公式 )
设 S为 E的样本空间,A为 E的事件,nBBB,,,21?为 S的一个划分，且 ),,2,1(0)( niBP i 则有
)|()()|()()|()()( 2211 nn BAPBPBAPBPBAPBPAP
2、全概率公式由 构成完备事件组，有 nBBB,,,21?
广东工业大学下页上页 返回全概率公式的文氏图解释：
1B
2B
3B
4B
5B
1AB
2AB
3AB
4AB
5ABA
nABABABA21
)()()()( 21 nABPABPABPAP
即从而有将事件 A分解为若干个互不相容的较简单事件之和。
)|()()|()()|()( 2211 nn BAPBPBAPBPBAPBP
广东工业大学下页上页 返回例 11 袋中有大小相同的 a个黄球,b个白球,现做不放回的摸球两次,求第 2次摸得黄球的概率?
解：,第 1次摸到黄球”,?1B,第 1次摸到白球”?2B设则显然有,21BB 21 BB
记 A=“第 2次摸到黄球”,由全概率公式，有
)(AP )()( 21 ABPABP )|()()|()( 2211 BAPBPBAPBP
baa 1 ba 1?a ba b a 1 ba
ba
a
黄 球 白 球个 数第一次后
a b
a - 1 ba b - 1
广东工业大学下页上页 返回例 12 盒中放有 12个乒乓球,其中 9个是新的,3个是旧的,第一次比赛时,从中任意地取出 3个来用,用毕仍放回盒子中 (新球用后成了旧球 ),第二次比赛时再从盒中取出 3个球来用,求第二次取出的
3个球均为新球的概率?
解,第二次取球时,盒中有几个新球未知,这是与第一次取球的
A=“第二次取出 3球全是新球”
kB,第一次取出 3球中有 k 个新球”,3,2,1,0?k
按全概率公式,有,
)|()()|()()( 1100 BAPBPBAPBPAP
)|()()|()( 3322 BAPBPBAPBP
各种可能结果有关,可设广东工业大学下页上页 返回
)|()()|()()|()()|()()( 33221100 BAPBPBAPBPBAPBPBAPBPAP
例 12 盒中放有 12个乒乓球,其中 9个是新的,3个是旧的,第一次比赛时,从中任意地取出 3个来用,用毕仍放回盒子中 (新球用后成了旧球 ),第二次比赛时再从盒中取出 3个球来用,求第二次取出的
3个球均为新球的概率?
33
312312
2319
13
312
29
312312?
3
12?
3
12
38393739
312
36
1458.0?
新 球 旧 球第一次摸球后第一次摸球前 9 3
第一次摸的球 0 3
9 3
1 2
8 4
2 1
7 5
03
6 6
广东工业大学下页上页 返回例 13 某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量 15%,20%,30%和 35%,又知这四条流水线的次品率依次为 0.05,0.04,0.03 及 0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到次品的概率是多少?
解,设 A=“任取一产品,结果为次品”,
“任取一产品,结果是第 k 条流水线的产品”,?kB 4,3,2,1?k
由已知条件,可得
15.0)( 1?BP 20.0)( 2?BP 30.0)( 3?BP
35.0)( 4?BP 05.0)|( 1?BAP
03.0)|( 3?BAP
04.0)|( 2?BAP
02.0)|( 4?BAP
于是,由全概率公式,有广东工业大学下页上页 返回例 13 某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量 15%,20%,30%和 35%,又知这四条流水线的次品率依次为 0.05,0.04,0.03 及 0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到次品的概率是多少?
解,设 A=“任取一产品,结果为次品”,
“任取一产品,结果是第 k 条流水线的产品”,?kB 4,3,2,1?k
由已知条件,可得
15.0)( 1?BP 20.0)( 2?BP 30.0)( 3?BP
35.0)( 4?BP 05.0)|( 1?BAP
03.0)|( 3?BAP
04.0)|( 2?BAP
02.0)|( 4?BAP
于是,由全概率公式,有
4
1
)|()()(
k kk
BAPBPAP
05.015.0 04.020.0 03.030.0 02.035.0
0315.0?
广东工业大学下页上页 返回补例 1(05) 从数 1,2,3,4中任取一个数,记为 X,再从 1到 X中任取一个数,记为 Y,则 }2{YP
广东工业大学下页上页 返回补例 2(97) 袋子中有 50个乒乓球,其中 20个是黄球,30个是白球,
今有两人依次地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个个取得黄球的概率为广东工业大学下页上页 返回例 13 某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量 15%,20%,30%和 35%,又知这四条流水线的次品率依次为 0.05,0.04,0.03 及 0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到次品的概率是多少?
四、贝叶斯公式若取到的是次品，求此次品是由第一条流水线生产的概率。
设 满足下面条件 nBBB,,,21?
,ji BB njiji,,2,1,;(1)
SBBB n21(2)
则对任一具有正概率的事件 Ａ,有0)(?kBP ),,,2,1( nk且贝叶斯公式?
n
i
ii
kk
k
BAPBP
BAPBPABP
1
)|()(
)|()()|(
广东工业大学下页上页 返回四、贝叶斯公式设 满足下面条件 nBBB,,,21?
,ji BB njiji,,2,1,;(1)
SBBB n21(2)
则对任一具有正概率的事件 Ａ,有0)(?kBP ),,,2,1( nk且贝叶斯公式?
n
i
ii
kk
k
BAPBP
BAPBPABP
1
)|()(
)|()()|(
广东工业大学下页上页 返回四、贝叶斯公式设 满足下面条件 nBBB,,,21?
,ji BB njiji,,2,1,;(1)
SBBB n21(2)
则对任一具有正概率的事件 Ａ,有0)(?kBP ),,,2,1( nk且贝叶斯公式?
n
i
ii
kk
k
BAPBP
BAPBPABP
1
)|()(
)|()()|(
证明,由条件概率的定义,有 )( )()|( AP ABPABP kk?
上式分子应用乘法公式,)|()()(
kkk BAPBPABP?
分母利用全概率公式,?
n
i ii
BAPBPAP
1
)|()()( 即得。
广东工业大学下页上页 返回四、贝叶斯公式设 满足下面条件 nBBB,,,21?
,ji BB njiji,,2,1,;(1)
SBBB n21(2)
则对任一具有正概率的事件 Ａ,有0)(?kBP ),,,2,1( nk且贝叶斯公式?
n
i
ii
kk
k
BAPBP
BAPBPABP
1
)|()(
)|()()|(
从推导上看,这个公式平淡无奇,其之所以著名,主要在于它的现实解释上,概率 是在没有进一步信息 (不知事件 A 是否发生 )的情况下,人们对各事件发生可能性大小的认识,现在有了新的信息 (已知 A发生 ),人们对事件 发生可能性理应有新的估价,
)(,),(),( 21 nBPBPBP?
)(,),(),( 21 nBPBPBP?
nBBB,,,21?
广东工业大学下页上页 返回四、贝叶斯公式设 满足下面条件 nBBB,,,21?
,ji BB njiji,,2,1,;(1)
SBBB n21(2)
则对任一具有正概率的事件 Ａ,有0)(?kBP ),,,2,1( nk且贝叶斯公式?
n
i
ii
kk
k
BAPBP
BAPBPABP
1
)|()(
)|()()|(
这种情况在日常生活中也屡见不鲜,原以为不大可能的事,
可以因为发生了某种事件而变得可能,或者相反,而贝叶斯公式则从数量上刻画了这种变化,
广东工业大学下页上页 返回例 13(续 )某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量 15%,20%,30%和 35%,又知这四条流水线的产品不合格率依次为 0.05,0.04,0.03及 0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到不合格品的概率是多少?
解,设 A=“任取一产品,结果为次品”,
“任取一产品,结果是第 k 条流水线的产品”,?kB 4,3,2,1?k
由已知条件,可得 15.0)( 1?BP 20.0)( 2?BP 30.0)( 3?BP
35.0)( 4?BP 05.0)|( 1?BAP
03.0)|( 3?BAP
04.0)|( 2?BAP
02.0)|( 4?BAP
由全概率公式求得 0 3 1 5.0)(?AP
若取到的是次品，求此次品是由第一条流水线生产的概率。
于是，由贝叶斯公式，有
4
1
11
1
)|()(
)|()()|(
i
ii BAPBP
BAPBPABP
0315.0
05.015.0 2381.0?
广东工业大学下页上页 返回例 13(续 )某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量 15%,20%,30%和 35%,又知这四条流水线的产品不合格率依次为 0.05,0.04,0.03及 0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到不合格品的概率是多少?
解,设 A=“任取一产品,结果为次品”,
“任取一产品,结果是第 k 条流水线的产品”,?kB 4,3,2,1?k
由已知条件,可得 15.0)( 1?BP 20.0)( 2?BP 30.0)( 3?BP
35.0)( 4?BP 05.0)|( 1?BAP
03.0)|( 3?BAP
04.0)|( 2?BAP
02.0)|( 4?BAP
由全概率公式求得 0 3 1 5.0)(?AP
若取到的是次品，求此次品是由第一条流水线生产的概率。
同理，有
4
1
22
2
)|()(
)|()()|(
i
ii BAPBP
BAPBPABP
0315.0
04.020.0 2540.0?
广东工业大学下页上页 返回例 13(续 )某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量 15%,20%,30%和 35%,又知这四条流水线的产品不合格率依次为 0.05,0.04,0.03及 0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到不合格品的概率是多少?
解,设 A=“任取一产品,结果为次品”,
“任取一产品,结果是第 k 条流水线的产品”,?kB 4,3,2,1?k
由已知条件,可得 15.0)( 1?BP 20.0)( 2?BP 30.0)( 3?BP
35.0)( 4?BP 05.0)|( 1?BAP
03.0)|( 3?BAP
04.0)|( 2?BAP
02.0)|( 4?BAP
由全概率公式求得 0 3 1 5.0)(?AP
若取到的是次品，求此次品是由第一条流水线生产的概率。
同理，有
4
1
33
3
)|()(
)|()()|(
i
ii BAPBP
BAPBPABP
0315.0
03.030.0 2857.0?
广东工业大学下页上页 返回例 13(续 )某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量 15%,20%,30%和 35%,又知这四条流水线的产品不合格率依次为 0.05,0.04,0.03及 0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到不合格品的概率是多少?
解,设 A=“任取一产品,结果为次品”,
“任取一产品,结果是第 k 条流水线的产品”,?kB 4,3,2,1?k
由已知条件,可得 15.0)( 1?BP 20.0)( 2?BP 30.0)( 3?BP
35.0)( 4?BP 05.0)|( 1?BAP
03.0)|( 3?BAP
04.0)|( 2?BAP
02.0)|( 4?BAP
由全概率公式求得 0 3 1 5.0)(?AP
若取到的是次品，求此次品是由第一条流水线生产的概率。
同理，有
4
1
44
4
)|()(
)|()()|(
i
ii BAPBP
BAPBPABP
0315.0
02.035.0 2222.0?
广东工业大学下页上页 返回例 13(续 )某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量 15%,20%,30%和 35%,又知这四条流水线的产品不合格率依次为 0.05,0.04,0.03及 0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到不合格品的概率是多少?
若取到的是次品，求此次品是由第一条流水线生产的概率。
若将“抽检一件产品”说成一次试验,那么 是在试验之前就已经知道的概率,所以习惯上称为 先验 (先于试验 )概率,这是过去已掌握情况的反映,这试验将出现的结果提供了一定的信息,在本例中,条件概率 反映了在试验以后,对 A发生的各种“原因” (即不合格品的来源 )的可能性的定量描述,通常称为 后验概率,
)( kBP
)|( ABP k
在统计学中,依靠收集的数据 (相当于这里的事件 A )去寻找感兴趣问题的答案,这是个,由结果找原因” 性质的过程,
依据贝叶斯公式的思想发展的一整套统计推断的方法,称
“贝叶斯统计”,
广东工业大学下页上页 返回例 14 用血清甲胎蛋白法普查肝癌,令
C =“受检查者患肝癌”
A=“受检查者的甲胎蛋白检验结果呈阳性”
检验方法虽相当可靠但还不尽完善,已知有
95.0)|(?CAP 90.0)|(?CAP
其中 表示“受检查者的检验结果呈阴性”,A 而 表示,受检查者C
又设人群中患肝癌的概率已知为,0004.0)(?CP
现若有一人被此检验法诊断为阳性 (患肝癌 ),求此人确患肝癌的
)|( ACP
并不患肝癌”,
概率解,由贝叶斯公式可得
)|( ACP )|()()|()( )|()( CAPCPCAPCP CAPCP
95.00004.0?95.00004.0? 1.09996.0 0038.0?
广东工业大学下页上页 返回一种直观的解法,
平均 10000个人中,有肝癌患者 人,40004.010000
为清楚起见,列表如下肝癌患者 未患肝癌者 总和阳性阴性总和 100004 9996
8.395.04
4.8 9 9 69.09 9 9 6
6.9 9 94.8 9 9 69 9 9 6
2.08.34 8996.6
1003.4
因此已检出阳性条件下 (总共 1003.4人 ),患有肝癌 (3.8人 )的条件概率为
)|( ACP 4.10038.3? 0038.0?
对发病率很低,检查费用又很高的某些疾病,随便用普查的做法是不可取的,
广东工业大学下页上页 返回例 15(市场问题 ) 某公司计划将一种无污染副作用的净化设备投放市场,公司市场部事先估计该产品畅销的概率是 0.5,一般为 0.3.
滞销为 0.2.为测试销路,决定先进行试销,并设定了以下的标准,
若产品畅销,则在试销期内卖出 7000到 10000台产品的概率是
0.9;若产品的销路一般,则在产品的试销期内卖 7000到 10000台产品的概率是 0.6;若产品滞销,则在试销期间能卖出 7000到
10000台产品的概率是 0.2.
若在试销期满后,实际卖出产品是 9000台,问该产品是 (1)“销路为一般” ;(2)“畅销” ;(3)“畅销或销路一般”的概率各是多少?
解,{该产品是畅销品}?1A { 该产品的销路一般}?2A
{ 该产品是滞销品}?3A
记
0 0 0 0 台}{ 能卖出7 0 0 0 到1?B
5.0)( 1?AP 3.0)( 2?AP 2.0)( 3?AP
9.0)|( 1?ABP 6.0)|( 2?ABP 2.0)|( 3?ABP
由题意知求 )|()|(),|( 321 BAPBAPBAP 及广东工业大学下页上页 返回解,{该产品是畅销品}?1A { 该产品的销路一般}?2A
{ 该产品是滞销品}?3A
记
0 0 0 0 台}{ 能卖出7 0 0 0 到1?B
5.0)( 1?AP 3.0)( 2?AP 2.0)( 3?AP
9.0)|( 1?ABP 6.0)|( 2?ABP 2.0)|( 3?ABP
由题意知求 )|()|(),|( 321 BAPBAPBAP 及由贝叶斯公式,有
)(
)()|( 1
1 BP
BAPBAP?
)|()()|()()|()(
)|()(
332211
11
ABPAPABPAPABPAP
ABPAP
67.0?
(1)
9.05.0?9.05.0? 6.03.0 2.02.0 67.0 45.0?
广东工业大学下页上页 返回解,{该产品是畅销品}?1A { 该产品的销路一般}?2A
{ 该产品是滞销品}?3A
记
0 0 0 0 台}{ 能卖出7 0 0 0 到1?B
5.0)( 1?AP 3.0)( 2?AP 2.0)( 3?AP
9.0)|( 1?ABP 6.0)|( 2?ABP 2.0)|( 3?ABP
由题意知求 )|()|(),|( 321 BAPBAPBAP 及由贝叶斯公式,有
(2)
)(
)()|( 2
2 BP
BAPBAP?
)|()()|()()|()(
)|()(
332211
22
ABPAPABPAPABPAP
ABPAP
27.0?
6.03.0?9.05.0? 6.03.0 2.02.0 67.0 18.0?
广东工业大学下页上页 返回解,{该产品是畅销品}?1A { 该产品的销路一般}?2A
{ 该产品是滞销品}?3A
记
0 0 0 0 台}{ 能卖出7 0 0 0 到1?B
5.0)( 1?AP 3.0)( 2?AP 2.0)( 3?AP
9.0)|( 1?ABP 6.0)|( 2?ABP 2.0)|( 3?ABP
由题意知求 )|()|(),|( 321 BAPBAPBAP 及
(3)
)|()|()|( 213 BAPBAPBAP
27.067.0
94.0?
321,,AAA由 两两互斥及,可得, 321 AAA
广东工业大学下页上页 返回人 数发 病
7750
5250
7000
7500
4200
3500
例 16(贝叶斯决策 ) 假定具有症状 S 的疾病有 三种,现从 20000份患有疾病 的病史卡中,统计得到下列数据,
321,,ddd
321,,ddd
1d
2d
3d
试求当一个具有症状 S的病人前来就诊时,他患有疾病的可能性各有多大?若没有其他可资依据的诊断手段的情况下,
诊断该病人患这三种病中的哪一种较为合适?
321,,ddd
出现症状 S 的人数解,设 A=“患者出现症状 S,,=“患者患有疾病,,iD id,3,2,1?i
每观察一张病卡可看成是作了一次试验,由于统计的病卡
A1D
3D
2D
于是,由统计数字,得很多,根据频率的稳定性,用频率来近似代替概率是可行的,
广东工业大学下页上页 返回人 数发 病
7750
5250
7000
7500
4200
3500
例 16(贝叶斯决策 ) 假定具有症状 S 的疾病有 三种,现从 20000份患有疾病 的病史卡中,统计得到下列数据,
321,,ddd
321,,ddd
1d
2d
3d
试求当一个具有症状 S的病人前来就诊时,他患有疾病的可能性各有多大?若没有其他可资依据的诊断手段的情况下,
诊断该病人患这三种病中的哪一种较为合适?
321,,ddd
出现症状 S 的人数
A1D
3D
2D
)( 1DP 200007750? 3875.0? )( 2DP 200005250? 2625.0?
)( 3DP 200007000? 3500.0? )|( 1DAP 77507500? 9677.0?
)|( 2DAP 52504200? 8.0? )|( 3DAP 70003500? 5.0?
广东工业大学下页上页 返回例 16(贝叶斯决策 ) 假定具有症状 S 的疾病有 三种,现从 20000份患有疾病 的病史卡中,统计得到下列数据,
321,,ddd
321,,ddd
试求当一个具有症状 S的病人前来就诊时,他患有疾病的可能性各有多大?若没有其他可资依据的诊断手段的情况下,
诊断该病人患这三种病中的哪一种较为合适?
321,,ddd
人 数发 病
7750
5250
7000
7500
4200
3500
1d
2d
3d
出现症状 S 的人数
A1D
3D
2D
)( 1DP 200007750? 3875.0? )( 2DP 200005250? 2625.0?
)( 3DP 200007000? 3500.0? )|( 1DAP 77507500? 9677.0?
)|( 2DAP 52504200? 8.0? )|( 3DAP 70003500? 5.0?
)|( 1 ADP
9 6 7 7.03 8 7 5.0?
9 6 7 7.03 8 7 5.0? 8.02625,? 5.035.0 4934.0?
)|()()|()()|()(
)|()(
332211
11
DAPDPDAPDPDAPDP
DAPDP
于是,有广东工业大学下页上页 返回
)( 1DP 200007750? 3875.0? )( 2DP 200005250? 2625.0?
)( 3DP 200007000? 3500.0? )|( 1DAP 77507500? 9677.0?
)|( 2DAP 52504200? 8.0? )|( 3DAP 70003500? 5.0?
人 数发 病
7750
5250
7000
7500
4200
3500
1d
2d
3d
出现症状 S 的人数
A1D
3D
2D
)|( 2 ADP
9 6 7 7.03 8 7 5.0? 8.02625,? 5.035.0 2763.0?
)|()()|()()|()(
)|()(
332211
22
DAPDPDAPDPDAPDP
DAPDP
同理有,
8.02625.0?
广东工业大学下页上页 返回
)( 1DP 200007750? 3875.0? )( 2DP 200005250? 2625.0?
)( 3DP 200007000? 3500.0? )|( 1DAP 77507500? 9677.0?
)|( 2DAP 52504200? 8.0? )|( 3DAP 70003500? 5.0?
人 数发 病
7750
5250
7000
7500
4200
3500
1d
2d
3d
出现症状 S 的人数
A1D
3D
2D
)|( 3 ADP
9 6 7 7.03 8 7 5.0? 8.02625,? 5.035.0 2303.0?
)|()()|()()|()(
)|()(
332211
33
DAPDPDAPDPDAPDP
DAPDP
5.035.0?
广东工业大学下页上页 返回
)( 1DP 200007750? 3875.0? )( 2DP 200005250? 2625.0?
)( 3DP 200007000? 3500.0? )|( 1DAP 77507500? 9677.0?
)|( 2DAP 52504200? 8.0? )|( 3DAP 70003500? 5.0?
人 数发 病
7750
5250
7000
7500
4200
3500
1d
2d
3d
出现症状 S 的人数
A1D
3D
2D
)|( 3 ADP
2303.0?
)|()()|()()|()(
)|()(
332211
33
DAPDPDAPDPDAPDP
DAPDP
9 6 7 7.03 8 7 5.0? 8.02625,? 5.035.0
5.035.0?或
)|()|(1 21 ADPADP
1-0.4934-0.2753
广东工业大学下页上页 返回人 数发 病
7750
5250
7000
7500
4200
3500
例 16(贝叶斯决策 ) 假定具有症状 S 的疾病有 三种,现从 20000份患有疾病 的病史卡中,统计得到下列数据,
321,,ddd
321,,ddd
1d
2d
3d
试求当一个具有症状 S的病人前来就诊时,他患有疾病的可能性各有多大?若没有其他可资依据的诊断手段的情况下,
诊断该病人患这三种病中的哪一种较为合适?
321,,ddd
出现症状 S 的人数
A1D
3D
2D
因此,在没有别的可资依据的诊断手段下,有
)|()|()|( 321 ADPADPADP
说明在出现症状 S时,患有疾病 的可能性最大,1d 因此认为该病人患有疾病 的判断较为合理,1d
这种根据 后验概率 做出判断的方法称为 贝叶斯决策,
0.4934
0.2763
0.2303
广东工业大学下页上页 返回
§ 6 独 立 性广东工业大学下页上页 返回一般情况下
)|( ABP )( BP
即事件 A 的出现对事件 B 发生的概率是有影响的。 但在
)|( ABP )( BP
一、两个事件的独立性即事件 A 的出现对事件 B 发生的概率没有任何影响。
某些情况下，可能也有广东工业大学下页上页 返回
3
2)(?AP?)(BP
26
46?
3
2?
2
2
6
4)(?ABP
9
4
)(
)()|(
AP
ABPABP?
3
2
9
4
3
2?
从而有 )|()( ABPBP?
这表明不论 A 发生还是不发生，都对 B发生的概率没有影响。此时，直观上可以认为事件 A与事件 B没有任何“关系”，或者说 A 与 B 独立。
引例 一袋子中装有 4个白球,2个黑球，从中有放回取两次，
每次取一个。事件 A = {第一次取到白球 },B = {第二次取到白球 }，求 P（ B） 及 P（ B|A）？
解,容易求出
)()( BPABP?
则若,0)(?AP
P(AB)=P(A)P(B)
广东工业大学下页上页 返回定义 2 对事件,若BA、
则称事件 与事件 是相互 统计独立的,A B 简称 独立 的。
注：
(1) 必然事件及不可能事件与任何事件都是独立的。
不能同时发生，而独立性则表示他们彼此不影响。
(2) 事件的独立性与互斥是两码事，互斥性表示两个事件
(4) 实际使用时往往从 直观上去判断 事件 独立性，从而利用各事件的概率计算事件的积的概率。
P(AB)=P(A)P(B)
(3) 判断事件的独立性一般有两种方法,
B:由问题的性质从直观上去判断,
A:由定义判断,是否满足公式 ;
广东工业大学下页上页 返回在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立,
事件 A,B分别表示甲、乙两人患感冒。
例如如果甲、乙两人的活动范围相距甚远，就认为 A,B是相互独立的。
如果甲、乙两人同住一个房间，那就不能认为 A,B相互独立。
广东工业大学下页上页 返回
(1)若抽取是有放回的,则 A1与 A2独立,
又如：
因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响,
(2)若抽取是无放回的，则 A1与 A2不独立,
因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响,
一批产品共 n件,从中抽取 2件,
i=1,2设 Ai ={第 i 件是合格品 }
广东工业大学下页上页 返回请问：如图的两个事件是独立的吗？
A
B
即,若 A,B互斥，且 P(A)>0,P(B)>0,则 A与 B不独立,
反之，若 A与 B独立，且 P(A) > 0,P(B) > 0,A,B不互斥,
而 P(A) ≠0,P(B) ≠0
故 A,B不独立我们来计算,P(AB)=0
P(AB) ≠ P(A)P(B)即例２ 设随机事件 Ａ 与 Ｂ 互不相容，,0)(,0)( BPAP
则下列结论中一定成立的有
（Ｂ） 互不相容BA,
（Ｃ） 不独立BA,（Ｄ） 相互独立BA,
（Ａ） 为对立事件BA,
广东工业大学下页上页 返回
S
能否在样本空间 S中找两个事件,它们既相互独立又互斥?
问题：
这两个事件就是 S 和?
S
0)()()( SPPSP
因为故 与 S 独立且互斥,?
不难发现,与任何事件都独立,?
广东工业大学下页上页 返回定理 1 若,则事件 与 独立的充分必要条件是0)(?AP A B
)()|( BPABP?
或
)()|( APBAP?
)0)((?BP
定理 2 若事件 与事件 独立，则下面三对事件均独立：A B
BA，BAB,A 与与与证明,)( BAP
)()( BPAP?
)( ABP )( ABBP )()( ABPBP
)()()( BPAPBP )()](1[ BPAP
从而 独立。BA与 类似可以证明 的独立性。 BA，BA 与与广东工业大学下页上页 返回解,依题意，有 )()( BAPBAP?
故 )()()()( BAPABPBAPABP
即有 )()( BPAP? 亦有 )()( BPAP?
亦独立。与独立，故与又因 BABA 于是
)()()( BPAPBAP? 2)]([ AP?
从而 31)(?AP 32)(?AP
例 1（ 2000年数一） 设两个相互独立的事件 A和 B都不发生的概率为 1/9,A发生 B不发生的概率与 B发生 A不发生的概率相等。
求 P（ A）？
9
1?
广东工业大学下页上页 返回例 2 商店经销的某种商品 100件,经理声称其中只有 5件带不影响效果的小缺陷,工商部门对这批商品进行抽检时,采用有放回每次抽一件检查的重复抽样检查法,试问在接连抽检两件这种商品时“第一件查出带缺陷”与“第二件查出带缺陷”这两个事件是否独立?被抽检的这两件产品皆是有缺陷的概率是多少?
解,设 =“第 i 件商品查出是带缺陷的”,iA,2,1?i
按古典概率计算法,可直接算出,
100
5)(
1?AP 1 0 05)( 2?AP 2
2
21 1 0 0
5)(?AAP
于是,有
)()()( 2121 APAPAAP?
故知 是相互独立的,21,AA
广东工业大学下页上页 返回二、多个事件的独立性
1、三个事件的独立性定义 3 若事件 A,B,C 满足下面三个条件
)()()( BPAPABP?
)()()( CPBPBCP?
)()()( CPAPACP?
)()()()( CPBPAPABCP?
则称三个事件 A,B,C 是两两独立的。
若 A,B,C还满足则称此三事件 A,B,C 是相互独立的。
由定义知，三个事件相互独立一定两两独立。
问题,三个事件两两独立是否一定相互独立呢广东工业大学下页上页 返回例 3（伯恩斯坦反例） 一个均匀的正四面体,其第一面染成红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同时染上红、白、黑三种颜色,现以 A,B,C分别记投一次四面体出现红,白,黑颜色朝下的事件,问 A,B,C是否相互独立?
解,由于在四面体中红,白,黑分别出现两面,因此
,21)()()( CPBPAP
又由题意知,41)()()( ACPBCPABP
故有 41)()()( BPAPABP
4
1)()()( CPBPBCP
4
1)()()( CPAPACP?
,41)(?ABCP
4
1)(?ABCP
8
1)()()(?CPBPAP
从而 A,B,C 两两独立,但不相互独立。
广东工业大学下页上页 返回定义 若事件 A1,A2,…,An中任意两个事件相互独立，
)()()( jiji APAPAAP?
定义
2,n 个事件的独立性则称 两两独立 。nAAA,,,21?
即对于一切 1≤i< j≤n,有设 为 n个事件，若对于任意,nAAA,,,21? )1( nkk
,1 21 niii k及 都有
)()()()( 2121 kk iiiiii APAPAPAAAP
则称 相互独立 。nAAA,,,21?
广东工业大学下页上页 返回定理 6 设 是 n 个相互独立的事件，则有 nAAA,,,21?
nAAA,,,21?（ 1） 将 中任意个事件换成其逆事件，所得的 n个事件都是独立的。
)( 21 nAAAP
)(1 21 nAAAP
事件 都是相互独立的。 kiii AAA?21数,,,,,21 kiiik?
对多个事件的独立性，具有两个事件的独立性相同的性质：
（ 3）
)(1 21 nAAAP
)()()(1 21 nAPAPAP
证明,)( 21 nAAP
)()()(1 21 nAPAPAP
（ 2） 对满足条件 niii k211,1 nk 的任意正整广东工业大学下页上页 返回例 4 某工人看管甲、乙、丙 3台机床。在 1小时内这 3台机床需要照管的概率分别为 0.2,0.1,0.4。各台机床需要照管是相互独立的，且当一台机床需要照管时，时间不会超过 1小时。试求在
1小时内，机床因得不到需要的照管而被迫停机的概率？
解,设用 A (B或 C )分别表示“在 1小时内甲 (乙或丙 )机床需要照管”
的事件,则由题设知 A,B,C 相互独立,且有
2.0)(?AP 1.0)(?BP 4.0)(?CP
记 D={机床因得不到需要的照管而被迫停机 },
事件 D发生当且仅当 A,B,C 至少有二件发生,从而 D可表为,
ACBCABD
法一,
于是,则加法定理及 A,B,C的独立性,有广东工业大学下页上页 返回例 4 某工人看管甲、乙、丙 3台机床。在 1小时内这 3台机床需要照管的概率分别为 0.2,0.1,0.4。各台机床需要照管是相互独立的，且当一台机床需要照管时，时间不会超过 1小时。试求在
1小时内，机床因得不到需要的照管而被迫停机的概率？
)()( ACBCABPDP
)()()( ACPBCPABP )( ABB CP?
)( ABBCACP? )()( BC ACPAB ACP
)(2)()()( AB CPACPBCPABP
)()()(2)()()()()()( CPBPAPCPAPCPBPBPAP
1.02.0 4.01.0 4.02.0 4.01.02.02
124.0?
广东工业大学下页上页 返回例 4 某工人看管甲、乙、丙 3台机床。在 1小时内这 3台机床需要照管的概率分别为 0.2,0.1,0.4。各台机床需要照管是相互独立的，且当一台机床需要照管时，时间不会超过 1小时。试求在
1小时内，机床因得不到需要的照管而被迫停机的概率？
法二,利用对立事件,有 CBACBACBACBAD
)()( CBACBACBACBAPDP又
)()()()( CBAPCBAPCBAPCBAP
)()()()()()( CPBPAPCPBPAP
)()()()()()( CPBPAPCPBPAP
6.09.08.0 4.09.08.0 6.01.08.0
6.09.02.0 876.0?
)(1)( DPDP于是 8 7 6.01 124.0?
广东工业大学下页上页 返回三、事件的独立性在 可靠性理论 中的应用：
一个元件的可靠性,该元件正常工作的概率,
一个系统的可靠性,由元件组成的系统正常工作的概率,
随着近代电子技术的发展,关于元件及系统可靠性的研究已发展成为一门学科 ---可靠性理论,由于元件及系统的可靠性都是用概率来定义的,所以概率论是研究可靠性理论的重要工具,
可靠性的定义,
广东工业大学下页上页 返回例 5 设构成系统的每个元件的可靠性均为 r,0< r <1,且各元件能否正常工作是相互独立的,试分别求出图 (a),(b)所示由 2n
个元件用不同方式串、并联构成之系统的可靠性?
1 2 n
1 2 n
1
1
2
2
n
n
(a)
(b)
广东工业大学下页上页 返回
1 2 n
1 2 n
(a)
可靠性,r
解,（ a） 以 表示前一条通路第 i 个元件正常工作的事件，iA
.,,2,1 ni表示后一条通路第 i 个元件正常工作的事件，iB
并分别以 A,B 分别表示前、后一条通路正常工作的事件。
则显然有 nAAAA?21? nBBBB?21?
又已知 相互独立,nn BBBAAA,,,,,,,2121 从而 A与 B独立，
rBPAP ii )()(,,,2,1 ni
于是有 )()( 21 nAAAPAP nr?
且
)()()( 21 nAPAPAP
同理 nrBP?)( 从而 （ a）系统的可靠性 为
)(1)( BAPBAP
2)1(1 nr )2( nrr
)()(1 BAP
广东工业大学下页上页 返回
1
1
2
2
n
n
(b)
可靠性,r
解,（ b）,,,2,1 ni以 表示第 i 对元件正常工作的事件，iC
则有 iii BAC,,,2,1 ni
易知 相互独立,nCCC,,,21? 且对 有 ni,,2,1
)(1)( ii CPCP )(1 ii BAP
)(1 ii BAP )()(1 ii BPAP
2)1(1 r )2( rr,,,2,1 ni
故 （ b）系统的可靠性 为
)( 21 nCCCP? )()()( 21 nCPCPCP nn rr )2(
广东工业大学下页上页 返回
1 2 n
1 2 n
1
1
2
2
n
n
(a)
(b)
（ a）系统的可靠性,)2( nn rr?
（ b）系统的可靠性,nn rr )2(?
不难证明，当 时，有2?n )2( nn rr? nn rr )2(
这说明了以上所示两系统都同样用了 2n 元件，但并联系统
（ b）比串联系统（ a）具有较高的可靠性。
广东工业大学下页上页 返回例 6 设两两相互独立的三事件 A,B和 C满足条件,ABC
,21)()()( CPBPAP 且已知 169(?CBAP 求?)(AP
广东工业大学下页上页 返回广东工业大学下页上页 返回
§ 1 随机试验
§ 2 样本空间,随机事件
§ 3 频率与 概率
§ 4 等可能概型（古典概型）
§ 5 条件 概率
§ 6 独立性广东工业大学下页上页 返回
§ 5 条件概率一、条件概率二、乘法定理三、全概率公式四、贝叶斯公式广东工业大学下页上页 返回
)()()()( ABPBPAPBAP
设解,
问题 (1)的样本空间为问题 (2)的样本空间为已经发生的条件限制了的样本空间,
相对于原问题即问题 (1),称 为缩减样本空间,AS
{任取一个两位数能被 2整除 }?A
{任取一个两位数能被 3整除 },?B
}98,,14,12,10{AS
}99,,12,11,10{S
即由已知 A
例 在所有的两位数 10到 99中任取一个数,
(1)求此数能被 2或 3整除的概率?p
(2)若已知此数是偶数,问这个数能被 3整除的概率?1p
一、条件概率广东工业大学下页上页 返回
)()()()( ABPBPAPBAP
例 在所有的两位数 10到 99中任取一个数,
(1)求此数能被 2或 3整除的概率?p
(2)若已知此数是偶数,问这个数能被 3整除的概率?1p
一、条件概率容易求得
3
1)(
1 BPp
1p 称作是已知 发生的条件下,发生的条件概率,A B
记为,)|( ABP
2
1)(?AP
6
1)(?ABP
从以上数据上看,有 )( )()|( AP ABPABP?
}98,,14,12,10{AS }99,,12,11,10{S
ABAB
广东工业大学下页上页 返回定义 1 对事件,若BA,,0)(?AP 则称为事件 B在条件 A[发生 ]下的 条件概率,
相对地,有时就把概率 等称为 无条件概率,)(),( BPAP
此公式很重要，虽然我们是从特殊的例子得到的，但对于古典概率、几何概率问题，可以证明这个公式都是正确的
。因此，我们就把这个公式作为条件概率的一般定义：
)(
)()|(
AP
ABPABP? A发生的条件条件概率件下 B发生的
)(
)()|(
AP
ABPABP?
广东工业大学下页上页 返回用文氏图解释：
A B
条件概率 P(B|A)是在
(即投点落在 A之内 )
问 B发生的概率
(即点落在 B内 )
确知 A发生的条件 下也就是说,在已知点投在 A内的条件下,点也落在 B内的概率,
显然,已知点投在 A内,点也落在 B内,则点只能落在 AB内,
AB
从而 )( )()|( AP ABPABP?
广东工业大学下页上页 返回定理 2 条件概率的性质：
（ 1）非负性
（ 2）规范性
（ 3）可加性
0)|(?ABP
1)|( ABPB,A 则有若为一列两两互不相容的若,,,,21 nBBB
事件，则有
11
)|()|(
k kk k
ABPABP
特别地特别地 1)|()|( AAPASP
)|(1)|( ABPABP
证明,略,
广东工业大学下页上页 返回在计算条件概率时,一般有两种方法,
(1) 由条件概率的公式 ;
(2) 由 P(B|A)的实际意义,按古典概型用 缩减样本空间 计算,
广东工业大学下页上页 返回例 1 一盒中混有 100只新、旧乒乓球，各有 黄,白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只 黄球,试求该黄球 是新球的概率。
解,设 A={取到一只黄球 },
B={取到一只新球 }.
10由已知有 30
于是,则条件概率公式,有
)|( ABP )( )( AP ABP
100
60
100
40
20
3
2?
)( AP
40
)( ABP
100
60
100
40
新球 旧球黄 球白 球广东工业大学下页上页 返回例 2 已知某种动物自出生能活过 20岁的概率是 0.8，能活过
25岁的概率是 0.4。问现龄 20岁的该种动物能活 25岁的概率是多少？
解,以 表示某该种动物“能活过 20岁”的事件；A
以 表示某该种动物“能活过 25岁”的事件；B
由已知,有：
于是，所求概率
)|( ABP )( )( AP ABP )( )( AP BP? 8.04.0?
,8.0)(?AP,4.0)(?BP ),()( BPABP?
5.0?
广东工业大学下页上页 返回例 2 已知某种动物自出生能活过 20岁的概率是 0.8，能活过
25岁的概率是 0.4。问现龄 20岁的该种动物能活 25岁的概率是多少？
条件概率是概率论中最重要的概念这一，作为一项描述与计算的工具，其重要性首先表现在当存在部分先验信息（如 A已发生，在这里即动物已活过 20岁）可资利用时，可归结为条件概率而对概率作出重新估计（如这里 P(B|A)=0.5而不是 P(B)=0.4了）。
另外，条件概率也是计算某些概率的有效工具。
广东工业大学下页上页 返回例 3 设 A,B是任意两个随机事件,又知 且,BA?,0)(?BP
则下列结论中一定成立的是
(A) )()|( APABP? (B)
(C) (D)
)()|( BPABP?
)()|( APABP? )()|( BPABP?
广东工业大学下页上页 返回例 4 设 A,B 为随机事件，且,则必有 1)|(,0)( BAPBP
(A) )()( APBAP (B) )()( BPBAP
(C) )()( APBAP (D) )()( BPBAP
(2006)
广东工业大学下页上页 返回例 6 设 A,B是两个随机事件,,2.0)(,4.0)( ABPAP
,1)|()|( BAPBAP 则 )( BAP
广东工业大学下页上页 返回例 5 设 A,B是两个随机事件,且,0)(,1)(0 BPAP
).|()|( ABPABP?则必有
(A) (B)
(C) (D)
)|()|( BAPBAP?
)()()( BPAPABP?
)|()|( BAPBAP?
)()()( BPAPABP?
广东工业大学下页上页 返回
)(
)()|(
AP
ABPABP?
根据条件概率公式：
我们有：
定理 3 则有若,0)(?AP )|()()( ABPAPABP?
则有若,0)(?BP )|()()( BAPBPABP?
二、乘法定理广东工业大学下页上页 返回乘法定理的推广,
(1) 若 P(AB)>0,则有
)|()|()()( ABCPABPAPA B CP?
证明,由乘法定理,有
)( ABCP )|()( ABCPABP?
)|()|()( ABCPABPAP?
)|()()|()()( BAPBPABPAPABP
广东工业大学下页上页 返回
)|()()|()()( BAPBPABPAPABP
)( 21 nAAAP? )|()|()|()( 121213121 nn AAAAPAAAPAAPAP
(2) 若,则有 0)( 121nAAAP?
)|()( 121121 nnn AAAAPAAAP
证明,由乘法定理,有
)( 21 nAAAP?
)|()|()( 1212211221 nnnnn AAAAPAAAAPAAAP
)|()|()|()( 121213121 nn AAAAPAAAPAAPAP证毕,
乘法定理的推广,
(1) 若 P(AB)>0,则有
)|()|()()( ABCPABPAPA B CP?
广东工业大学下页上页 返回例 7 一批零件共 100件，已知有 10个是次品，现从中任意逐次取出一个零件（取出后不放回），问第三次才取得正品的概率是多少？
解,设?iA,第 次取出的零件是正品”，i,3,2,1?i
则所求概率为 )( 321 AAAP
由乘法公式，有
)( 321 AAAP )|()|()( 213121 AAAPAAPAP?
100
10
99
9?
98
90
0 0 8 4.0?
广东工业大学下页上页 返回例 8 设袋中装有 r只红球,t只白球。每次自袋中任取一只球，
观察其颜色然后放回，并再放入 a只与所取出的那只球同色的球。若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。
广东工业大学下页上页 返回解,设,3,2,1?i
由已知有
3.0)( 1?AP 2.0)|( 12?AAP 1.0)|( 213?AAAP
法一：
例 9 对某种产品要依次进行三项破坏性试验。已知产品不能通过第一项试验的概率是 0.3；通过第一项而通不过第二项试验的概率是 0.2；通过了前面两项试验却不能通过最后一项试验的概率是 0.1。试求产品未能通过破坏性试验的概率？
,321211 AAAAAAA 于是，
)( AP )()()( 321211 AAAPAAPAP
)|()|()()|()()( 2131211211 AAAPAAPAPAAPAPAP
又 )|(1)|( 1212 AAPAAP2.01 8.0? 代入上式，得
3.0)(?AP 1.08.07.02.07.0 496.0?
由已知，有
iA,产品未能通过第 项破坏性试验”，i
A,产品未能通过这三项破坏性试验”，
广东工业大学下页上页 返回例 9 对某种产品要依次进行三项破坏性试验。已知产品不能通过第一项试验的概率是 0.3；通过第一项而通不过第二项试验的概率是 0.2；通过了前面两项试验却不能通过最后一项试验的概率是 0.1。试求产品未能通过破坏性试验的概率？
解,设,3,2,1?i
由已知有
3.0)( 1?AP 2.0)|( 12?AAP 1.0)|( 213?AAAP
法一：,321211 AAAAAAA 于是，
)( AP )()()( 321211 AAAPAAPAP
)|()|()()|()()( 2131211211 AAAPAAPAPAAPAPAP
又 )|(1)|( 1212 AAPAAP2.01 8.0? 代入上式，得
3.0)(?AP 1.08.07.02.07.0 496.0?
由已知，有
iA,产品未能通过第 项破坏性试验”，i
A,产品未能通过这三项破坏性试验”，
321 AAAA
法二,
)(1 321 AAAP
)|()|()(1 213121 AAAPAAPAP
)(1)( APAP
利用对立事件性质，有
9.08.07.01 496.0?
发生即为 中至少有一发生，A 321 AAA,,故有广东工业大学下页上页 返回解,?A设,工厂同时启用两套报警系统时,能正确报警”，
iA,第 套报警系统能正常工作”，i,2,1?i 显然有
21 AAA
由已知有
92.0)( 1?AP 93.0)( 2?AP 85.0)|( 12?AAP
由加法公式,)()()()( 212121 AAPAPAPAAP
例 10 为安全起见，工厂同时装有两套报警系统 1,2。已知每套系统单独使用时能正确报警的概率为 0.92和 0.93,
又已知第一套系统失灵时第二套系统仍能正常工作的概率为 0.85。试求该工厂在同时启用两套报警系统时，能正确报警的概率是多少？
广东工业大学下页上页 返回又 )()()( 21221 AAPAPAAP )|()()( 1212 AAPAPAP
85.008.093.0 862.?
于是 )()()()( 212121 AAPAPAPAAP
862.093.092.0
988.0?
92.0)( 1?AP 93.0)( 2?AP 85.0)|( 12?AAP
由加法公式,)()()()( 212121 AAPAPAPAAP
例 10 为安全起见，工厂同时装有两套报警系统 1,2。已知每套系统单独使用时能正确报警的概率为 0.92和 0.93,
又已知第一套系统失灵时第二套系统仍能正常工作的概率为 0.85。试求该工厂在同时启用两套报警系统时，能正确报警的概率是多少？
广东工业大学下页上页 返回三、全概率公式
1、划分（完备事件组）
设 S为 E的样本空间,为 E的一组事件，若 nBBB,,,21?
,jiBB ji nji,,2,1,（ 1）
SBBB n21（ 2）
则称 为样本空间 S的一个 划分 （或 完备事件组 ）。nBBB,,,21?
2、几点说明,
若 为样本空间的一个划分,nBBB,,,21? 那么，在每次事件 中必有一个且仅有一个发生。 nBBB,,,21?
任意事件 A与其对立事件 构成最简单的完备事件组。A
（ 1）
试验中,
（ 2）
},,,,{ 21 nS设试验 E的样本空间为（ 3） 则
}{,},{},{ 21 n构成一个完备事件组。
广东工业大学下页上页 返回证明,
)( AP )(ASP
)( 21 nABABABP
)]([ 21 nBBBAP
)()()( 21 nABPABPABP
)|()( 11 BAPBP? )|()( 22 BAPBP )|(( nn BAPP?
n
k kk
BAPBP
1
)|()( 证毕,
(利用乘法公式 )
设 S为 E的样本空间,A为 E的事件,nBBB,,,21?为 S的一个划分，且 ),,2,1(0)( niBP i 则有
)|()()|()()|()()( 2211 nn BAPBPBAPBPBAPBPAP
2、全概率公式由 构成完备事件组，有 nBBB,,,21?
广东工业大学下页上页 返回全概率公式的文氏图解释：
1B
2B
3B
4B
5B
1AB
2AB
3AB
4AB
5ABA
nABABABA21
)()()()( 21 nABPABPABPAP
即从而有将事件 A分解为若干个互不相容的较简单事件之和。
)|()()|()()|()( 2211 nn BAPBPBAPBPBAPBP
广东工业大学下页上页 返回例 11 袋中有大小相同的 a个黄球,b个白球,现做不放回的摸球两次,求第 2次摸得黄球的概率?
解：,第 1次摸到黄球”,?1B,第 1次摸到白球”?2B设则显然有,21BB 21 BB
记 A=“第 2次摸到黄球”,由全概率公式，有
)(AP )()( 21 ABPABP )|()()|()( 2211 BAPBPBAPBP
baa 1 ba 1?a ba b a 1 ba
ba
a
黄 球 白 球个 数第一次后
a b
a - 1 ba b - 1
广东工业大学下页上页 返回例 12 盒中放有 12个乒乓球,其中 9个是新的,3个是旧的,第一次比赛时,从中任意地取出 3个来用,用毕仍放回盒子中 (新球用后成了旧球 ),第二次比赛时再从盒中取出 3个球来用,求第二次取出的
3个球均为新球的概率?
解,第二次取球时,盒中有几个新球未知,这是与第一次取球的
A=“第二次取出 3球全是新球”
kB,第一次取出 3球中有 k 个新球”,3,2,1,0?k
按全概率公式,有,
)|()()|()()( 1100 BAPBPBAPBPAP
)|()()|()( 3322 BAPBPBAPBP
各种可能结果有关,可设广东工业大学下页上页 返回
)|()()|()()|()()|()()( 33221100 BAPBPBAPBPBAPBPBAPBPAP
例 12 盒中放有 12个乒乓球,其中 9个是新的,3个是旧的,第一次比赛时,从中任意地取出 3个来用,用毕仍放回盒子中 (新球用后成了旧球 ),第二次比赛时再从盒中取出 3个球来用,求第二次取出的
3个球均为新球的概率?
33
312312
2319
13
312
29
312312?
3
12?
3
12
38393739
312
36
1458.0?
新 球 旧 球第一次摸球后第一次摸球前 9 3
第一次摸的球 0 3
9 3
1 2
8 4
2 1
7 5
03
6 6
广东工业大学下页上页 返回例 13 某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量 15%,20%,30%和 35%,又知这四条流水线的次品率依次为 0.05,0.04,0.03 及 0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到次品的概率是多少?
解,设 A=“任取一产品,结果为次品”,
“任取一产品,结果是第 k 条流水线的产品”,?kB 4,3,2,1?k
由已知条件,可得
15.0)( 1?BP 20.0)( 2?BP 30.0)( 3?BP
35.0)( 4?BP 05.0)|( 1?BAP
03.0)|( 3?BAP
04.0)|( 2?BAP
02.0)|( 4?BAP
于是,由全概率公式,有广东工业大学下页上页 返回例 13 某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量 15%,20%,30%和 35%,又知这四条流水线的次品率依次为 0.05,0.04,0.03 及 0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到次品的概率是多少?
解,设 A=“任取一产品,结果为次品”,
“任取一产品,结果是第 k 条流水线的产品”,?kB 4,3,2,1?k
由已知条件,可得
15.0)( 1?BP 20.0)( 2?BP 30.0)( 3?BP
35.0)( 4?BP 05.0)|( 1?BAP
03.0)|( 3?BAP
04.0)|( 2?BAP
02.0)|( 4?BAP
于是,由全概率公式,有
4
1
)|()()(
k kk
BAPBPAP
05.015.0 04.020.0 03.030.0 02.035.0
0315.0?
广东工业大学下页上页 返回补例 1(05) 从数 1,2,3,4中任取一个数,记为 X,再从 1到 X中任取一个数,记为 Y,则 }2{YP
广东工业大学下页上页 返回补例 2(97) 袋子中有 50个乒乓球,其中 20个是黄球,30个是白球,
今有两人依次地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个个取得黄球的概率为广东工业大学下页上页 返回例 13 某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量 15%,20%,30%和 35%,又知这四条流水线的次品率依次为 0.05,0.04,0.03 及 0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到次品的概率是多少?
四、贝叶斯公式若取到的是次品，求此次品是由第一条流水线生产的概率。
设 满足下面条件 nBBB,,,21?
,ji BB njiji,,2,1,;(1)
SBBB n21(2)
则对任一具有正概率的事件 Ａ,有0)(?kBP ),,,2,1( nk且贝叶斯公式?
n
i
ii
kk
k
BAPBP
BAPBPABP
1
)|()(
)|()()|(
广东工业大学下页上页 返回四、贝叶斯公式设 满足下面条件 nBBB,,,21?
,ji BB njiji,,2,1,;(1)
SBBB n21(2)
则对任一具有正概率的事件 Ａ,有0)(?kBP ),,,2,1( nk且贝叶斯公式?
n
i
ii
kk
k
BAPBP
BAPBPABP
1
)|()(
)|()()|(
广东工业大学下页上页 返回四、贝叶斯公式设 满足下面条件 nBBB,,,21?
,ji BB njiji,,2,1,;(1)
SBBB n21(2)
则对任一具有正概率的事件 Ａ,有0)(?kBP ),,,2,1( nk且贝叶斯公式?
n
i
ii
kk
k
BAPBP
BAPBPABP
1
)|()(
)|()()|(
证明,由条件概率的定义,有 )( )()|( AP ABPABP kk?
上式分子应用乘法公式,)|()()(
kkk BAPBPABP?
分母利用全概率公式,?
n
i ii
BAPBPAP
1
)|()()( 即得。
广东工业大学下页上页 返回四、贝叶斯公式设 满足下面条件 nBBB,,,21?
,ji BB njiji,,2,1,;(1)
SBBB n21(2)
则对任一具有正概率的事件 Ａ,有0)(?kBP ),,,2,1( nk且贝叶斯公式?
n
i
ii
kk
k
BAPBP
BAPBPABP
1
)|()(
)|()()|(
从推导上看,这个公式平淡无奇,其之所以著名,主要在于它的现实解释上,概率 是在没有进一步信息 (不知事件 A 是否发生 )的情况下,人们对各事件发生可能性大小的认识,现在有了新的信息 (已知 A发生 ),人们对事件 发生可能性理应有新的估价,
)(,),(),( 21 nBPBPBP?
)(,),(),( 21 nBPBPBP?
nBBB,,,21?
广东工业大学下页上页 返回四、贝叶斯公式设 满足下面条件 nBBB,,,21?
,ji BB njiji,,2,1,;(1)
SBBB n21(2)
则对任一具有正概率的事件 Ａ,有0)(?kBP ),,,2,1( nk且贝叶斯公式?
n
i
ii
kk
k
BAPBP
BAPBPABP
1
)|()(
)|()()|(
这种情况在日常生活中也屡见不鲜,原以为不大可能的事,
可以因为发生了某种事件而变得可能,或者相反,而贝叶斯公式则从数量上刻画了这种变化,
广东工业大学下页上页 返回例 13(续 )某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量 15%,20%,30%和 35%,又知这四条流水线的产品不合格率依次为 0.05,0.04,0.03及 0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到不合格品的概率是多少?
解,设 A=“任取一产品,结果为次品”,
“任取一产品,结果是第 k 条流水线的产品”,?kB 4,3,2,1?k
由已知条件,可得 15.0)( 1?BP 20.0)( 2?BP 30.0)( 3?BP
35.0)( 4?BP 05.0)|( 1?BAP
03.0)|( 3?BAP
04.0)|( 2?BAP
02.0)|( 4?BAP
由全概率公式求得 0 3 1 5.0)(?AP
若取到的是次品，求此次品是由第一条流水线生产的概率。
于是，由贝叶斯公式，有
4
1
11
1
)|()(
)|()()|(
i
ii BAPBP
BAPBPABP
0315.0
05.015.0 2381.0?
广东工业大学下页上页 返回例 13(续 )某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量 15%,20%,30%和 35%,又知这四条流水线的产品不合格率依次为 0.05,0.04,0.03及 0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到不合格品的概率是多少?
解,设 A=“任取一产品,结果为次品”,
“任取一产品,结果是第 k 条流水线的产品”,?kB 4,3,2,1?k
由已知条件,可得 15.0)( 1?BP 20.0)( 2?BP 30.0)( 3?BP
35.0)( 4?BP 05.0)|( 1?BAP
03.0)|( 3?BAP
04.0)|( 2?BAP
02.0)|( 4?BAP
由全概率公式求得 0 3 1 5.0)(?AP
若取到的是次品，求此次品是由第一条流水线生产的概率。
同理，有
4
1
22
2
)|()(
)|()()|(
i
ii BAPBP
BAPBPABP
0315.0
04.020.0 2540.0?
广东工业大学下页上页 返回例 13(续 )某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量 15%,20%,30%和 35%,又知这四条流水线的产品不合格率依次为 0.05,0.04,0.03及 0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到不合格品的概率是多少?
解,设 A=“任取一产品,结果为次品”,
“任取一产品,结果是第 k 条流水线的产品”,?kB 4,3,2,1?k
由已知条件,可得 15.0)( 1?BP 20.0)( 2?BP 30.0)( 3?BP
35.0)( 4?BP 05.0)|( 1?BAP
03.0)|( 3?BAP
04.0)|( 2?BAP
02.0)|( 4?BAP
由全概率公式求得 0 3 1 5.0)(?AP
若取到的是次品，求此次品是由第一条流水线生产的概率。
同理，有
4
1
33
3
)|()(
)|()()|(
i
ii BAPBP
BAPBPABP
0315.0
03.030.0 2857.0?
广东工业大学下页上页 返回例 13(续 )某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量 15%,20%,30%和 35%,又知这四条流水线的产品不合格率依次为 0.05,0.04,0.03及 0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到不合格品的概率是多少?
解,设 A=“任取一产品,结果为次品”,
“任取一产品,结果是第 k 条流水线的产品”,?kB 4,3,2,1?k
由已知条件,可得 15.0)( 1?BP 20.0)( 2?BP 30.0)( 3?BP
35.0)( 4?BP 05.0)|( 1?BAP
03.0)|( 3?BAP
04.0)|( 2?BAP
02.0)|( 4?BAP
由全概率公式求得 0 3 1 5.0)(?AP
若取到的是次品，求此次品是由第一条流水线生产的概率。
同理，有
4
1
44
4
)|()(
)|()()|(
i
ii BAPBP
BAPBPABP
0315.0
02.035.0 2222.0?
广东工业大学下页上页 返回例 13(续 )某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量 15%,20%,30%和 35%,又知这四条流水线的产品不合格率依次为 0.05,0.04,0.03及 0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到不合格品的概率是多少?
若取到的是次品，求此次品是由第一条流水线生产的概率。
若将“抽检一件产品”说成一次试验,那么 是在试验之前就已经知道的概率,所以习惯上称为 先验 (先于试验 )概率,这是过去已掌握情况的反映,这试验将出现的结果提供了一定的信息,在本例中,条件概率 反映了在试验以后,对 A发生的各种“原因” (即不合格品的来源 )的可能性的定量描述,通常称为 后验概率,
)( kBP
)|( ABP k
在统计学中,依靠收集的数据 (相当于这里的事件 A )去寻找感兴趣问题的答案,这是个,由结果找原因” 性质的过程,
依据贝叶斯公式的思想发展的一整套统计推断的方法,称
“贝叶斯统计”,
广东工业大学下页上页 返回例 14 用血清甲胎蛋白法普查肝癌,令
C =“受检查者患肝癌”
A=“受检查者的甲胎蛋白检验结果呈阳性”
检验方法虽相当可靠但还不尽完善,已知有
95.0)|(?CAP 90.0)|(?CAP
其中 表示“受检查者的检验结果呈阴性”,A 而 表示,受检查者C
又设人群中患肝癌的概率已知为,0004.0)(?CP
现若有一人被此检验法诊断为阳性 (患肝癌 ),求此人确患肝癌的
)|( ACP
并不患肝癌”,
概率解,由贝叶斯公式可得
)|( ACP )|()()|()( )|()( CAPCPCAPCP CAPCP
95.00004.0?95.00004.0? 1.09996.0 0038.0?
广东工业大学下页上页 返回一种直观的解法,
平均 10000个人中,有肝癌患者 人,40004.010000
为清楚起见,列表如下肝癌患者 未患肝癌者 总和阳性阴性总和 100004 9996
8.395.04
4.8 9 9 69.09 9 9 6
6.9 9 94.8 9 9 69 9 9 6
2.08.34 8996.6
1003.4
因此已检出阳性条件下 (总共 1003.4人 ),患有肝癌 (3.8人 )的条件概率为
)|( ACP 4.10038.3? 0038.0?
对发病率很低,检查费用又很高的某些疾病,随便用普查的做法是不可取的,
广东工业大学下页上页 返回例 15(市场问题 ) 某公司计划将一种无污染副作用的净化设备投放市场,公司市场部事先估计该产品畅销的概率是 0.5,一般为 0.3.
滞销为 0.2.为测试销路,决定先进行试销,并设定了以下的标准,
若产品畅销,则在试销期内卖出 7000到 10000台产品的概率是
0.9;若产品的销路一般,则在产品的试销期内卖 7000到 10000台产品的概率是 0.6;若产品滞销,则在试销期间能卖出 7000到
10000台产品的概率是 0.2.
若在试销期满后,实际卖出产品是 9000台,问该产品是 (1)“销路为一般” ;(2)“畅销” ;(3)“畅销或销路一般”的概率各是多少?
解,{该产品是畅销品}?1A { 该产品的销路一般}?2A
{ 该产品是滞销品}?3A
记
0 0 0 0 台}{ 能卖出7 0 0 0 到1?B
5.0)( 1?AP 3.0)( 2?AP 2.0)( 3?AP
9.0)|( 1?ABP 6.0)|( 2?ABP 2.0)|( 3?ABP
由题意知求 )|()|(),|( 321 BAPBAPBAP 及广东工业大学下页上页 返回解,{该产品是畅销品}?1A { 该产品的销路一般}?2A
{ 该产品是滞销品}?3A
记
0 0 0 0 台}{ 能卖出7 0 0 0 到1?B
5.0)( 1?AP 3.0)( 2?AP 2.0)( 3?AP
9.0)|( 1?ABP 6.0)|( 2?ABP 2.0)|( 3?ABP
由题意知求 )|()|(),|( 321 BAPBAPBAP 及由贝叶斯公式,有
)(
)()|( 1
1 BP
BAPBAP?
)|()()|()()|()(
)|()(
332211
11
ABPAPABPAPABPAP
ABPAP
67.0?
(1)
9.05.0?9.05.0? 6.03.0 2.02.0 67.0 45.0?
广东工业大学下页上页 返回解,{该产品是畅销品}?1A { 该产品的销路一般}?2A
{ 该产品是滞销品}?3A
记
0 0 0 0 台}{ 能卖出7 0 0 0 到1?B
5.0)( 1?AP 3.0)( 2?AP 2.0)( 3?AP
9.0)|( 1?ABP 6.0)|( 2?ABP 2.0)|( 3?ABP
由题意知求 )|()|(),|( 321 BAPBAPBAP 及由贝叶斯公式,有
(2)
)(
)()|( 2
2 BP
BAPBAP?
)|()()|()()|()(
)|()(
332211
22
ABPAPABPAPABPAP
ABPAP
27.0?
6.03.0?9.05.0? 6.03.0 2.02.0 67.0 18.0?
广东工业大学下页上页 返回解,{该产品是畅销品}?1A { 该产品的销路一般}?2A
{ 该产品是滞销品}?3A
记
0 0 0 0 台}{ 能卖出7 0 0 0 到1?B
5.0)( 1?AP 3.0)( 2?AP 2.0)( 3?AP
9.0)|( 1?ABP 6.0)|( 2?ABP 2.0)|( 3?ABP
由题意知求 )|()|(),|( 321 BAPBAPBAP 及
(3)
)|()|()|( 213 BAPBAPBAP
27.067.0
94.0?
321,,AAA由 两两互斥及,可得, 321 AAA
广东工业大学下页上页 返回人 数发 病
7750
5250
7000
7500
4200
3500
例 16(贝叶斯决策 ) 假定具有症状 S 的疾病有 三种,现从 20000份患有疾病 的病史卡中,统计得到下列数据,
321,,ddd
321,,ddd
1d
2d
3d
试求当一个具有症状 S的病人前来就诊时,他患有疾病的可能性各有多大?若没有其他可资依据的诊断手段的情况下,
诊断该病人患这三种病中的哪一种较为合适?
321,,ddd
出现症状 S 的人数解,设 A=“患者出现症状 S,,=“患者患有疾病,,iD id,3,2,1?i
每观察一张病卡可看成是作了一次试验,由于统计的病卡
A1D
3D
2D
于是,由统计数字,得很多,根据频率的稳定性,用频率来近似代替概率是可行的,
广东工业大学下页上页 返回人 数发 病
7750
5250
7000
7500
4200
3500
例 16(贝叶斯决策 ) 假定具有症状 S 的疾病有 三种,现从 20000份患有疾病 的病史卡中,统计得到下列数据,
321,,ddd
321,,ddd
1d
2d
3d
试求当一个具有症状 S的病人前来就诊时,他患有疾病的可能性各有多大?若没有其他可资依据的诊断手段的情况下,
诊断该病人患这三种病中的哪一种较为合适?
321,,ddd
出现症状 S 的人数
A1D
3D
2D
)( 1DP 200007750? 3875.0? )( 2DP 200005250? 2625.0?
)( 3DP 200007000? 3500.0? )|( 1DAP 77507500? 9677.0?
)|( 2DAP 52504200? 8.0? )|( 3DAP 70003500? 5.0?
广东工业大学下页上页 返回例 16(贝叶斯决策 ) 假定具有症状 S 的疾病有 三种,现从 20000份患有疾病 的病史卡中,统计得到下列数据,
321,,ddd
321,,ddd
试求当一个具有症状 S的病人前来就诊时,他患有疾病的可能性各有多大?若没有其他可资依据的诊断手段的情况下,
诊断该病人患这三种病中的哪一种较为合适?
321,,ddd
人 数发 病
7750
5250
7000
7500
4200
3500
1d
2d
3d
出现症状 S 的人数
A1D
3D
2D
)( 1DP 200007750? 3875.0? )( 2DP 200005250? 2625.0?
)( 3DP 200007000? 3500.0? )|( 1DAP 77507500? 9677.0?
)|( 2DAP 52504200? 8.0? )|( 3DAP 70003500? 5.0?
)|( 1 ADP
9 6 7 7.03 8 7 5.0?
9 6 7 7.03 8 7 5.0? 8.02625,? 5.035.0 4934.0?
)|()()|()()|()(
)|()(
332211
11
DAPDPDAPDPDAPDP
DAPDP
于是,有广东工业大学下页上页 返回
)( 1DP 200007750? 3875.0? )( 2DP 200005250? 2625.0?
)( 3DP 200007000? 3500.0? )|( 1DAP 77507500? 9677.0?
)|( 2DAP 52504200? 8.0? )|( 3DAP 70003500? 5.0?
人 数发 病
7750
5250
7000
7500
4200
3500
1d
2d
3d
出现症状 S 的人数
A1D
3D
2D
)|( 2 ADP
9 6 7 7.03 8 7 5.0? 8.02625,? 5.035.0 2763.0?
)|()()|()()|()(
)|()(
332211
22
DAPDPDAPDPDAPDP
DAPDP
同理有,
8.02625.0?
广东工业大学下页上页 返回
)( 1DP 200007750? 3875.0? )( 2DP 200005250? 2625.0?
)( 3DP 200007000? 3500.0? )|( 1DAP 77507500? 9677.0?
)|( 2DAP 52504200? 8.0? )|( 3DAP 70003500? 5.0?
人 数发 病
7750
5250
7000
7500
4200
3500
1d
2d
3d
出现症状 S 的人数
A1D
3D
2D
)|( 3 ADP
9 6 7 7.03 8 7 5.0? 8.02625,? 5.035.0 2303.0?
)|()()|()()|()(
)|()(
332211
33
DAPDPDAPDPDAPDP
DAPDP
5.035.0?
广东工业大学下页上页 返回
)( 1DP 200007750? 3875.0? )( 2DP 200005250? 2625.0?
)( 3DP 200007000? 3500.0? )|( 1DAP 77507500? 9677.0?
)|( 2DAP 52504200? 8.0? )|( 3DAP 70003500? 5.0?
人 数发 病
7750
5250
7000
7500
4200
3500
1d
2d
3d
出现症状 S 的人数
A1D
3D
2D
)|( 3 ADP
2303.0?
)|()()|()()|()(
)|()(
332211
33
DAPDPDAPDPDAPDP
DAPDP
9 6 7 7.03 8 7 5.0? 8.02625,? 5.035.0
5.035.0?或
)|()|(1 21 ADPADP
1-0.4934-0.2753
广东工业大学下页上页 返回人 数发 病
7750
5250
7000
7500
4200
3500
例 16(贝叶斯决策 ) 假定具有症状 S 的疾病有 三种,现从 20000份患有疾病 的病史卡中,统计得到下列数据,
321,,ddd
321,,ddd
1d
2d
3d
试求当一个具有症状 S的病人前来就诊时,他患有疾病的可能性各有多大?若没有其他可资依据的诊断手段的情况下,
诊断该病人患这三种病中的哪一种较为合适?
321,,ddd
出现症状 S 的人数
A1D
3D
2D
因此,在没有别的可资依据的诊断手段下,有
)|()|()|( 321 ADPADPADP
说明在出现症状 S时,患有疾病 的可能性最大,1d 因此认为该病人患有疾病 的判断较为合理,1d
这种根据 后验概率 做出判断的方法称为 贝叶斯决策,
0.4934
0.2763
0.2303
广东工业大学下页上页 返回
§ 6 独 立 性广东工业大学下页上页 返回一般情况下
)|( ABP )( BP
即事件 A 的出现对事件 B 发生的概率是有影响的。 但在
)|( ABP )( BP
一、两个事件的独立性即事件 A 的出现对事件 B 发生的概率没有任何影响。
某些情况下，可能也有广东工业大学下页上页 返回
3
2)(?AP?)(BP
26
46?
3
2?
2
2
6
4)(?ABP
9
4
)(
)()|(
AP
ABPABP?
3
2
9
4
3
2?
从而有 )|()( ABPBP?
这表明不论 A 发生还是不发生，都对 B发生的概率没有影响。此时，直观上可以认为事件 A与事件 B没有任何“关系”，或者说 A 与 B 独立。
引例 一袋子中装有 4个白球,2个黑球，从中有放回取两次，
每次取一个。事件 A = {第一次取到白球 },B = {第二次取到白球 }，求 P（ B） 及 P（ B|A）？
解,容易求出
)()( BPABP?
则若,0)(?AP
P(AB)=P(A)P(B)
广东工业大学下页上页 返回定义 2 对事件,若BA、
则称事件 与事件 是相互 统计独立的,A B 简称 独立 的。
注：
(1) 必然事件及不可能事件与任何事件都是独立的。
不能同时发生，而独立性则表示他们彼此不影响。
(2) 事件的独立性与互斥是两码事，互斥性表示两个事件
(4) 实际使用时往往从 直观上去判断 事件 独立性，从而利用各事件的概率计算事件的积的概率。
P(AB)=P(A)P(B)
(3) 判断事件的独立性一般有两种方法,
B:由问题的性质从直观上去判断,
A:由定义判断,是否满足公式 ;
广东工业大学下页上页 返回在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立,
事件 A,B分别表示甲、乙两人患感冒。
例如如果甲、乙两人的活动范围相距甚远，就认为 A,B是相互独立的。
如果甲、乙两人同住一个房间，那就不能认为 A,B相互独立。
广东工业大学下页上页 返回
(1)若抽取是有放回的,则 A1与 A2独立,
又如：
因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响,
(2)若抽取是无放回的，则 A1与 A2不独立,
因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响,
一批产品共 n件,从中抽取 2件,
i=1,2设 Ai ={第 i 件是合格品 }
广东工业大学下页上页 返回请问：如图的两个事件是独立的吗？
A
B
即,若 A,B互斥，且 P(A)>0,P(B)>0,则 A与 B不独立,
反之，若 A与 B独立，且 P(A) > 0,P(B) > 0,A,B不互斥,
而 P(A) ≠0,P(B) ≠0
故 A,B不独立我们来计算,P(AB)=0
P(AB) ≠ P(A)P(B)即例２ 设随机事件 Ａ 与 Ｂ 互不相容，,0)(,0)( BPAP
则下列结论中一定成立的有
（Ｂ） 互不相容BA,
（Ｃ） 不独立BA,（Ｄ） 相互独立BA,
（Ａ） 为对立事件BA,
广东工业大学下页上页 返回
S
能否在样本空间 S中找两个事件,它们既相互独立又互斥?
问题：
这两个事件就是 S 和?
S
0)()()( SPPSP
因为故 与 S 独立且互斥,?
不难发现,与任何事件都独立,?
广东工业大学下页上页 返回定理 1 若,则事件 与 独立的充分必要条件是0)(?AP A B
)()|( BPABP?
或
)()|( APBAP?
)0)((?BP
定理 2 若事件 与事件 独立，则下面三对事件均独立：A B
BA，BAB,A 与与与证明,)( BAP
)()( BPAP?
)( ABP )( ABBP )()( ABPBP
)()()( BPAPBP )()](1[ BPAP
从而 独立。BA与 类似可以证明 的独立性。 BA，BA 与与广东工业大学下页上页 返回解,依题意，有 )()( BAPBAP?
故 )()()()( BAPABPBAPABP
即有 )()( BPAP? 亦有 )()( BPAP?
亦独立。与独立，故与又因 BABA 于是
)()()( BPAPBAP? 2)]([ AP?
从而 31)(?AP 32)(?AP
例 1（ 2000年数一） 设两个相互独立的事件 A和 B都不发生的概率为 1/9,A发生 B不发生的概率与 B发生 A不发生的概率相等。
求 P（ A）？
9
1?
广东工业大学下页上页 返回例 2 商店经销的某种商品 100件,经理声称其中只有 5件带不影响效果的小缺陷,工商部门对这批商品进行抽检时,采用有放回每次抽一件检查的重复抽样检查法,试问在接连抽检两件这种商品时“第一件查出带缺陷”与“第二件查出带缺陷”这两个事件是否独立?被抽检的这两件产品皆是有缺陷的概率是多少?
解,设 =“第 i 件商品查出是带缺陷的”,iA,2,1?i
按古典概率计算法,可直接算出,
100
5)(
1?AP 1 0 05)( 2?AP 2
2
21 1 0 0
5)(?AAP
于是,有
)()()( 2121 APAPAAP?
故知 是相互独立的,21,AA
广东工业大学下页上页 返回二、多个事件的独立性
1、三个事件的独立性定义 3 若事件 A,B,C 满足下面三个条件
)()()( BPAPABP?
)()()( CPBPBCP?
)()()( CPAPACP?
)()()()( CPBPAPABCP?
则称三个事件 A,B,C 是两两独立的。
若 A,B,C还满足则称此三事件 A,B,C 是相互独立的。
由定义知，三个事件相互独立一定两两独立。
问题,三个事件两两独立是否一定相互独立呢广东工业大学下页上页 返回例 3（伯恩斯坦反例） 一个均匀的正四面体,其第一面染成红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同时染上红、白、黑三种颜色,现以 A,B,C分别记投一次四面体出现红,白,黑颜色朝下的事件,问 A,B,C是否相互独立?
解,由于在四面体中红,白,黑分别出现两面,因此
,21)()()( CPBPAP
又由题意知,41)()()( ACPBCPABP
故有 41)()()( BPAPABP
4
1)()()( CPBPBCP
4
1)()()( CPAPACP?
,41)(?ABCP
4
1)(?ABCP
8
1)()()(?CPBPAP
从而 A,B,C 两两独立,但不相互独立。
广东工业大学下页上页 返回定义 若事件 A1,A2,…,An中任意两个事件相互独立，
)()()( jiji APAPAAP?
定义
2,n 个事件的独立性则称 两两独立 。nAAA,,,21?
即对于一切 1≤i< j≤n,有设 为 n个事件，若对于任意,nAAA,,,21? )1( nkk
,1 21 niii k及 都有
)()()()( 2121 kk iiiiii APAPAPAAAP
则称 相互独立 。nAAA,,,21?
广东工业大学下页上页 返回定理 6 设 是 n 个相互独立的事件，则有 nAAA,,,21?
nAAA,,,21?（ 1） 将 中任意个事件换成其逆事件，所得的 n个事件都是独立的。
)( 21 nAAAP
)(1 21 nAAAP
事件 都是相互独立的。 kiii AAA?21数,,,,,21 kiiik?
对多个事件的独立性，具有两个事件的独立性相同的性质：
（ 3）
)(1 21 nAAAP
)()()(1 21 nAPAPAP
证明,)( 21 nAAP
)()()(1 21 nAPAPAP
（ 2） 对满足条件 niii k211,1 nk 的任意正整广东工业大学下页上页 返回例 4 某工人看管甲、乙、丙 3台机床。在 1小时内这 3台机床需要照管的概率分别为 0.2,0.1,0.4。各台机床需要照管是相互独立的，且当一台机床需要照管时，时间不会超过 1小时。试求在
1小时内，机床因得不到需要的照管而被迫停机的概率？
解,设用 A (B或 C )分别表示“在 1小时内甲 (乙或丙 )机床需要照管”
的事件,则由题设知 A,B,C 相互独立,且有
2.0)(?AP 1.0)(?BP 4.0)(?CP
记 D={机床因得不到需要的照管而被迫停机 },
事件 D发生当且仅当 A,B,C 至少有二件发生,从而 D可表为,
ACBCABD
法一,
于是,则加法定理及 A,B,C的独立性,有广东工业大学下页上页 返回例 4 某工人看管甲、乙、丙 3台机床。在 1小时内这 3台机床需要照管的概率分别为 0.2,0.1,0.4。各台机床需要照管是相互独立的，且当一台机床需要照管时，时间不会超过 1小时。试求在
1小时内，机床因得不到需要的照管而被迫停机的概率？
)()( ACBCABPDP
)()()( ACPBCPABP )( ABB CP?
)( ABBCACP? )()( BC ACPAB ACP
)(2)()()( AB CPACPBCPABP
)()()(2)()()()()()( CPBPAPCPAPCPBPBPAP
1.02.0 4.01.0 4.02.0 4.01.02.02
124.0?
广东工业大学下页上页 返回例 4 某工人看管甲、乙、丙 3台机床。在 1小时内这 3台机床需要照管的概率分别为 0.2,0.1,0.4。各台机床需要照管是相互独立的，且当一台机床需要照管时，时间不会超过 1小时。试求在
1小时内，机床因得不到需要的照管而被迫停机的概率？
法二,利用对立事件,有 CBACBACBACBAD
)()( CBACBACBACBAPDP又
)()()()( CBAPCBAPCBAPCBAP
)()()()()()( CPBPAPCPBPAP
)()()()()()( CPBPAPCPBPAP
6.09.08.0 4.09.08.0 6.01.08.0
6.09.02.0 876.0?
)(1)( DPDP于是 8 7 6.01 124.0?
广东工业大学下页上页 返回三、事件的独立性在 可靠性理论 中的应用：
一个元件的可靠性,该元件正常工作的概率,
一个系统的可靠性,由元件组成的系统正常工作的概率,
随着近代电子技术的发展,关于元件及系统可靠性的研究已发展成为一门学科 ---可靠性理论,由于元件及系统的可靠性都是用概率来定义的,所以概率论是研究可靠性理论的重要工具,
可靠性的定义,
广东工业大学下页上页 返回例 5 设构成系统的每个元件的可靠性均为 r,0< r <1,且各元件能否正常工作是相互独立的,试分别求出图 (a),(b)所示由 2n
个元件用不同方式串、并联构成之系统的可靠性?
1 2 n
1 2 n
1
1
2
2
n
n
(a)
(b)
广东工业大学下页上页 返回
1 2 n
1 2 n
(a)
可靠性,r
解,（ a） 以 表示前一条通路第 i 个元件正常工作的事件，iA
.,,2,1 ni表示后一条通路第 i 个元件正常工作的事件，iB
并分别以 A,B 分别表示前、后一条通路正常工作的事件。
则显然有 nAAAA?21? nBBBB?21?
又已知 相互独立,nn BBBAAA,,,,,,,2121 从而 A与 B独立，
rBPAP ii )()(,,,2,1 ni
于是有 )()( 21 nAAAPAP nr?
且
)()()( 21 nAPAPAP
同理 nrBP?)( 从而 （ a）系统的可靠性 为
)(1)( BAPBAP
2)1(1 nr )2( nrr
)()(1 BAP
广东工业大学下页上页 返回
1
1
2
2
n
n
(b)
可靠性,r
解,（ b）,,,2,1 ni以 表示第 i 对元件正常工作的事件，iC
则有 iii BAC,,,2,1 ni
易知 相互独立,nCCC,,,21? 且对 有 ni,,2,1
)(1)( ii CPCP )(1 ii BAP
)(1 ii BAP )()(1 ii BPAP
2)1(1 r )2( rr,,,2,1 ni
故 （ b）系统的可靠性 为
)( 21 nCCCP? )()()( 21 nCPCPCP nn rr )2(
广东工业大学下页上页 返回
1 2 n
1 2 n
1
1
2
2
n
n
(a)
(b)
（ a）系统的可靠性,)2( nn rr?
（ b）系统的可靠性,nn rr )2(?
不难证明，当 时，有2?n )2( nn rr? nn rr )2(
这说明了以上所示两系统都同样用了 2n 元件，但并联系统
（ b）比串联系统（ a）具有较高的可靠性。
广东工业大学下页上页 返回例 6 设两两相互独立的三事件 A,B和 C满足条件,ABC
,21)()()( CPBPAP 且已知 169(?CBAP 求?)(AP
广东工业大学下页上页 返回广东工业大学下页上页 返回
