广东工业大学下页上页 返回第三章 多维随机变量及其分布
§ 1 二维 随机变量
§ 2 边缘分布
§ 3 条件分布
§ 4 相互独立的随机变量
§ 5 两个随机变量的函数的分布广东工业大学下页上页 返回
§ 1 二维 随机变量一、二维随机变量的概念二、二维随机变量的分布函数三、二维离散型随机变量及其分布四、二维连续型随机变量及其分布五,n维随机变量及其分布广东工业大学下页上页 返回在实际问题中,一些随机试验的结果往往同时需要两个或两个以上的随机变量来描述,要研究这些随机变量之间的关系,
就应同时考虑若干个随机变量即多维随机变量及其取值规律即多维随机变量的分布,
一、二维随机变量的概念
1、多维随机变量举例,
（ 1）对一目标进行射击：
X：表示弹着点与目标的水平距离；
Y：表示弹着点与目标的垂直距离；
则（ X,Y）就是一个二维随机变量。
广东工业大学下页上页 返回
（ 2）考察某地区学龄前童的身体发育情况：
X：表示该地区学龄前儿童的身高；
Y：表示该地区学龄前儿童的体重；
则（ X,Y）就是一个二维随机变量。
（ 3）考察某地区的气候状况：
X：表示该地区的温度； Y：表示该地区的湿度；
则（ X,Y）就是一个二维随机变量。
（ 4）考察某钢厂钢材的质量：
X：表示该钢厂钢材的硬度；
Y：表示该钢厂钢材的含碳量；
则（ X,Y,Z）就是一个三维随机变量。
Z：表示该钢厂钢材的含硫量；
广东工业大学下页上页 返回
2、二维随机变量的定义设 E是一个随机试验，其样本空间为,设}{eS?
)(eXX? )(eYY?
是定义在 S上的两个随机变量，则由它们构成的一个向量 ),( YX
称为 二维随机向量 或 二维随机变量 。
对于多维随机变量 [如二维 ( X,Y )]，其性质不仅与 X 及 Y
有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，逐个地来研究 X 或 Y 的性质是不够的，还需将 ( X,Y )作为一个整体来进行研究。
广东工业大学下页上页 返回二、二维随机变量的分布函数
1、联合分布函数的定义
),(),( yYxXPyxF
称为二维随机变量 的分布函数 (或称联合分布函数 ).),( YX
设 是二维随机变量,对于任意实数 x,y,二元函数),( YX
),( yx联合分布函数
),(),( yYxXPyxF
的值就是随机点 落在),( YX x
y
O
D
2、几何意义
区域 D内的概率。
广东工业大学下页上页 返回性质 1 对任意的 有,,yx ;1),(0 yxF
性质 2
且有
1),(F
0),(),(),( FyFxF
),( yxF 是变量 x 和 y 的单调非降函数 ;
3、联合分布函数 的性质 ),(),( yYxXPyxF
如图：
),( 1 yx
x
y
O
),( 2 yx
),(),( 21 yxFyxF?
,21 xx?对 显然有于是我们得到广东工业大学下页上页 返回
),( 21 yx
x
y
O
),( 22 yx
),( 11 yx ),( 12 yx
1x 2x
1y
2y
考虑随机变量 落在矩形区域 D的概率，其中),( YX
},|),{( 2121 yYyxXxYXD
D
),( 2121 yYyxXxP
),( 22 yxF? ),( 21 yxF?
),( 12 yxF? ),( 11 yxF?
容易得到性质 3 2121,yyxx对任意的 总有
),( 2121 yYyxXxP
且 0),(),(),(),( 11122122 yxFyxFyxFyxF
),(),(),(),( 11122122 yxFyxFyxFyxF
广东工业大学下页上页 返回
),(),0( yxFyxF ),()0,( yxFyxF
性质 4 ),( yxF 对任意的 x ( 或 y )都是右连续的,
即对任意的,,yx 均有性质 1 对任意的 有,,yx ;1),(0 yxF 且有
1),(F
0),(),(),( FyFxF
性质 2 ),( yxF 是变量 x 和 y 的单调非降函数 ;
性质 3 2121,yyxx对任意的 总有
),( 2121 yYyxXxP
且 0),(),(),(),( 11122122 yxFyxFyxFyxF
),(),(),(),( 11122122 yxFyxFyxFyxF
广东工业大学下页上页 返回例 1 已知二维随机变量 的联合分布函数为),( YX
)a r c ta n)(a r c ta n(),( yCxBAyxF
试确定常数 A,B,C的值。并求概率
),( yx
).10,10( YXP
解,由分布函数的性质得
)a r c t a n)(a r c t a n(lim yCxBA
yx
),(F
)2)(2( CBA 1?
)a r c t a n)(a r c t a n(lim yCxBAx ),( yF
)a rc ta n)(2( yCBA0?
同理 ),(xF
由 (1),(2),(3)解得,12A,2B,2C
(1)
(2)
(3) )2)(a rc ta n( CxBA 0?
广东工业大学下页上页 返回例 1 已知二维随机变量 的联合分布函数为),( YX
)a r c ta n)(a r c ta n(),( yCxBAyxF
),( yx
由 (1),(2),(3)解得,12A,2B,2C
)10,10( YXP
)0,0()0,1()1,0()1,1( FFFF
于是 ),( yxF )a rcta n2)(a rcta n2(1 2 yx
从而
2
2 )42(
1
)42(2
1
2
2)42(
1
2
2
1
2
16
1?
试确定常数 A,B,C的值。并求概率 ).10,10( YXP
广东工业大学下页上页 返回
1、二维离散型随机变量的定义如果二维随机变量 的所有可能取的值是 有限对 或),( YX
若 及 的全部不同的可能取值分别为X Y
,,,,,21 nxxxX
,,,,,21 myyyY
则 的全部可能取值为,),( YX
),( ji yx,,,2,1 ni,,,2,1 mj?
2、二维离散型随机变量的联合概率分布三、二维离散型随机变量及其分布可列无限对,则称 是 离散型随机变量,),( YX
广东工业大学下页上页 返回
YX
i
i
n
p
p
p
p
y
1
1
21
11
1
i
im
nm
m
m
m
p
p
p
p
y
2
1
i
i
n
p
p
p
p
y
1
1
21
11
1
1
2
1
j
nj
j
j
j
j
i
p
p
p
p
i
n
p
x
x
x
2
1
称概率函数
ijji pyYxXP ),(
为二维离散型随机变量 的 (联合 )概率分布 (律 ).),( YX;,,,2,1 ni,,,2,1 mj?
或列表为 (概率分布也称为 联合分布列 )
广东工业大学下页上页 返回称概率函数
ijji pyYxXP ),(
为二维离散型随机变量 的 (联合 )概率分布 (律 ).),( YX;,,,2,1 ni,,,2,1 mj?
或列表为 (概率分布也称为 联合分布列 )
(1)
(2)
0?ijp
1
i j ij
p
3、概率分布的性质广东工业大学下页上页 返回
4、二维离散型随机变量的分布函数
ijji pyYxXP ),(
设二维离散型随机变量 的联合 概率分布 为),( YX;,,,2,1 ni,,,2,1 mj?
则有
xx yy iji j
pyxF ),(
进行的。
这个求和式是对满足 及 的一切下标 i 和 jxxi? yy j?
广东工业大学下页上页 返回例 1 已知 10件产品中有 3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从这批产品中任意抽出 4 件,求其中一等品件数 与二等品件数的联合分布列,
X
Y
解,
},{ jYiXPp ij
由古典概率公式,有其中 4,3,2,1,0;3,2,1,0 ji 且,42 ji
依上式可得 的联合概率分布列如下,),( YX
),( ji
由已知条件，二维随机变量 所有可能的取值为：),( YX
410
i3j5 ji4 2
广东工业大学下页上页 返回例 1 已知 10件产品中有 3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从这批产品中任意抽出 4 件,求其中一等品件数 与二等品件数的联合分布列,
X
Y
解,
},{ jYiXPp ij
410
i3j5 ji4 2
0 1 2 3 4
0
1
2
3
X Y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
30/210
5/210
30/210
广东工业大学下页上页 返回解,
例 2 设 A,B为随机事件,且,21)|(,31)|(,41)( BAPABPAP
令 不发生 发生A AX 01 不发生 发生B BY 01
求,(I) 二维随机变量 的概率分布 ;),( YX (II) X与 Y的相关系数,
(2004)
(I) 易见 的可能取值为,),( YX ).1,1(),0,1(),1,0(),0,0(
相应概率分别为
}1,1{ YXP )( ABP? )|()( ABPAP? 121?3141
}0,1{ YXP )( BAP? )()( ABPAP 61?12141
}1,0{ YXP )( BAP? )()( ABPBP
12
1?
12
1
2/1
12/1 )(
)|(
)( ABP
BAP
ABP
广东工业大学下页上页 返回例 2 设 A,B为随机事件,且,21)|(,31)|(,41)( BAPABPAP
令 不发生 发生A AX 01 不发生 发生B BY 01
求,(I) 二维随机变量 的概率分布 ;),( YX (II) X与 Y的相关系数,
(2004)
}1,1{ YXP 121? }0,1{ YXP 61?
}1,0{ YXP 121? }0,0{ YXP 121611211 32?
于是 的概率分布为),( YX
X Y 0 1
0
1
3
2
12
1
12
1
6
1
广东工业大学下页上页 返回
1、联合概率密度的定义对于二维随机变量 的联合分布函数,),( YX ),( yxF
如果存在一个二元非负值函数 ),,)(,( yxyxf
使得对任意,,yx 有
x y d y d xyxfyxF ),(),(
则称 为 二维连续型随机变量,),( YX ),( yxf 称为二维连续型随机变量的 联合概率密度函数,
（简称 联合密度函数 或 联合密度 ）
记为 ),(~),( yxFYX
在空间直角坐标系中,表示一曲面,此曲面),( yxfz?
称为 分布曲面,
四、二维连续型随机变量及其分布广东工业大学下页上页 返回
2、联合密度函数的性质
（ 1） ;0),(?yxf
（ 2） 1),( d x d yyxf
具有性质 (1),(2)的二元函数 f (x,y),必是某个
,),(),( x y dy dxyxfyxF注意到,1),(F以及可得注,
二维连续型随机变量的密度函数。
分布曲面与 xoy 面所夹部分的体积为 1.
广东工业大学下页上页 返回
（ 3）
R
d x d yyxfRYXP ),(}),{(
设 R为 xoy 平面内任一区域,则有
（ 4） ),( yxf在 的连续点处，有 ),(
),(2 yxf
yx
yxF?
以 R为底,以分布曲面为顶的曲顶柱体的体积,
d v d uvufuxyx yxF x y ),(),(
22
),( yxf?
,),(),( x y dy dxyxfyxF由 两边同时对 x 和 y 求偏导数 (假定偏导数存在 ),得几何意义,
广东工业大学下页上页 返回例 1 已知二维随机变量 的密度为),( YX
其它0
10,1),( 2 xyxkxyyxf
试确定 k 的值，并求 落在区域 D的概率。其中),( YX
}10,|),{( 2 XxYxYXD
解,
由密度函数的性质 1),( dxd yyxf
又 dxdyyxf ),(
R
k x y d x d y
}10,1|),{( 2 xyxyxR记
10 1 2x xy dydxk dxxyk x1210 2|21
10 5 )(2 dxxxk 6k? 从而,6?k 1062 |)6121(2 xxk
x
y
O 1
1
R
2xy?
广东工业大学下页上页 返回例 1 已知二维随机变量 的密度为),( YX
试确定 k 的值，并求 落在区域 D的概率。其中),( YX
}10,|),{( 2 XxYxYXD
其它0
10,1),( 2 xyxkxyyxf
其它0
10,16 2 xyxxy
x
y
O 1
1
R
2xy?
从而,6?k
xy?
于是 }),{( DYXP?
D xy dx dy6
10 2 6xx xy dydx dxyx xx 10 2 2|3
dxxx )(3 510 3 1064 |)6141(3 xx
4
1?
D dx dyyxf ),(
D
广东工业大学下页上页 返回例 2 (2003数一 ) 设二维随机变量 的概率密度为),( YX
其它0
106),( yxxyxf
则 }1{ YXP
解 }1{ YXP
1
),(
yx
dxdyyxf
210 1 6xx xdydx
210 )21(6 dxxx
4
1?
1 x
y
O
2
1
xy?
1 yx
1
41
广东工业大学下页上页 返回例 3 设二维随机变量 的概率密度为),( YX
其它0
0,02),( )2( yxeyxf yx
（ 1）求分布函数 ；（ 2）求概率 。),( yxF }{ XYP?
广东工业大学下页上页 返回五,n维随机变量及其分布设 E是一个随机试验，其样本空间为,设}{eS?
)(,),(),( 2211 eXXeXXeXX nn
是定义在 S上的 n个随机变量，则由它们构成的一个向量称为 n维随机向量 或 n维随机变量 。
1,n维随机变量的定义
),,,( 21 nXXX?
广东工业大学下页上页 返回
},,,{),,,( 221121 nnn xXxXxXPxxxF
设 是 n维随机变量,对于任意 n个实数),,,( 21 nXXX?
2,n维随机变量的联合分布函数
nxxx,,,21?
称 n元函数为 n维随机变量 的分布函数 (或 联合分布函数 )。),,,( 21 nXXX?
广东工业大学下页上页 返回
§ 2 边缘分布一、边缘分布函数二、边缘分布律三、边缘概率密度广东工业大学下页上页 返回
1、边缘分布的定义则称随机变量 X或 Y的概率分布称为它的 边缘分布 。
一般地，对于二维随机变量,若已知其联合分布，),( YX
一、边缘分布函数
2、边缘分布函数随机变量 X(或 Y)的分布函数 (或 ) 为 的)(xFX )(yFY ),( yxF
边缘分布函数 。
问题,已知 的联合分布函数,),( YX ),( yxF 如何求边缘分布？
若二随机变量 的联合分布函数为,则称),( yxF),( YX
广东工业大学下页上页 返回
}{)( xXPxF X },{ YxXP ),( xF
同理有
),()( yFyF Y
由分布函数的定义，有问题,已知 的联合分布函数,),( YX ),( yxF 如何求边缘分布？
广东工业大学下页上页 返回例 1 已知二维随机变量 的联合分布函数为),( YX
)a r c t a n2)(a r c t a n2(1),( 2 yxyxF
),( yx
求边缘分布函数 。 )(),( yFxF YX
广东工业大学下页上页 返回二、边缘分布律
1、边缘分布律的定义
ijji pyYxXP },{ ;,,,2,1 ni,,,2,1 mj?
设二维离散型随机变量 的联合分布律为),( YX
随机变量 X的边缘分布律为
}{ ixXP,,,2,1 ni ip
同理随机变量 Y的边缘分布律为
i
ijj pyYP }{,,,2,1 mj?jp
则称随机变量 X（或 Y）的分布律为二维随机变量 (X,Y)关于 X
（或 Y）的 边缘分布律 。
2、边缘分布律的求法
},{
1
j
j
i yYxXP
1j
ijp
广东工业大学下页上页 返回续例 已知 10件产品中有 3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从这批产品中任意抽出 4 件,求其中一等品件数 及二等品件数 的联合分布列,
X
Y
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
X Y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
求随机变量 (或 )的边缘分布列,X Y
}{ iXP }0,{ YiXP }1,{ YiXP }2,{ YiXP
}3,{ YiXP }4,{ YiXP
解,
0ip? 1ip? 2ip? 4ip?3ip?
3,2,1,0?i
4
0j
ijp ip
广东工业大学下页上页 返回续例 已知 10件产品中有 3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从这批产品中任意抽出 4 件,求其中一等品件数 及二等品件数 的联合分布列,
X
Y
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
X Y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
即求随机变量 (或 )的边缘分布列,X Y
2 1 0/72 1 0/632 1 0/1 0 52 1 0/35
3210
P
X
30/110/32/16/1
3210
P
X即广东工业大学下页上页 返回续例 已知 10件产品中有 3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从这批产品中任意抽出 4 件,求其中一等品件数 及二等品件数 的联合分布列,
X
Y
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
X Y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
同理求随机变量 (或 )的边缘分布列,X Y
2 1 0/52 1 0/502 1 0/1 0 02 1 0/502 1 0/5
43210
P
Y
42/121/521/1021/542/1
43210
P
Y即广东工业大学下页上页 返回三、边缘概率密度设二维连续型随机变量 的联合分布函数为,),( YX ),( yxF
联合概率密度函数为 。),( yxf
于是，随机变量 X的分布函数为
)(xFX ),( xF x dxdyyxf ]),([
得 X的密度函数为
dyyxfxf X ),()(
同理可得随机变量 Y的分布函数为
)(yFY ),( yF y dydxyxf ]),([
密度函数为
dxyxfyf Y ),()(
二维随机变量
(X,Y)关于 X的边缘概率密度二维随机变量
(X,Y)关于 Y的边缘概率密度广东工业大学下页上页 返回例 1 已知二维随机变量 的密度为),( YX
其它0
10,16),( 2 xyxxyyxf
分别求出 及 的边缘概率密度。X Y
解, dyyxfxf X ),()(
（ 1） 当 时，有]1,0[?x
1 2 6)( xX x y d yxf 12 2|26 xyx
533 xx
（ 2） 当 时，有]1,0[?x 0)(?xf X
故 其它0 1033)(
5 xxx
xf X
x
y
O 1
1 R
2xy?
根据公式广东工业大学下页上页 返回例 1 已知二维随机变量 的密度为),( YX
其它0
10,16),( 2 xyxxyyxf
分别求出 及 的边缘概率密度。X Y
同理,由根据公式 dxyxfyf Y ),()(
（ 1） 当 时，有]1,0[?y
yY x y d xyf 0 6)( yxy 02 |26
23y?
（ 2） 当 时，有]1,0[?y 0)(?yfY
故
其它0
103)( 2 yyyf
Y
x
y
O 1
1 R
2xy?
广东工业大学下页上页 返回例 2 设二维随机变量 的概率密度函数为),( YX
其它0
20,101),( xyxyxf
求,(I) 的边缘概率密度),( YX ).(),( yfxf YX
(II) 的概率密度 YXZ 2 ).(zfZ (2005)
1
2
x
y
O
解 如图,
dyyxfxf X ),()(
当 时,10 x
x dy20 x2?
当 或 时,0?x 1?x 0)(?xf X
从而
其它0
102)( xxxf
X
(1) 先求 )(xfX
广东工业大学下页上页 返回例 2 设二维随机变量 的概率密度函数为),( YX
其它0
20,101),( xyxyxf
求,(I) 的边缘概率密度),( YX ).(),( yfxf YX
(II) 的概率密度 YXZ 2 ).(zfZ (2005)
1
2
x
y
O
dxyxfyf Y ),()(
当 时,20 y
12y dy 21 y
当 或 时,0?y 2?y 0)(?yfY
从而?
其它0
20
2
1)( yyyf
Y
(2) 下面求 )(yfY
广东工业大学下页上页 返回四、二维正态分布若二维随机变量 的联合密度函数为),( YX
]})())((2)([)1(2 1ex p { 2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2?
yyxx
2
21 12
1),(
yxf
),,,,(~),( 222121NYX
则称 服从参数为 的正态分布,),( YX,,,,2121
记为其中 为常数，且 。 1||,0,0 21,,,,2121
求边缘密度函数。
广东工业大学下页上页 返回解,
])())((2)[()1(2 1
2
21
2
2
2
2
2
1
12
1
1
2
12
1),(
yyxx
eyxf
),( YX 的联合密度函数为于是,由公式,),()( dyyxfxf X
将被积函数 的指数可变形为),( yxf
记,
1
1
xu
2
2
yv
,2 dvdy则
])())((2)[()1(2 1 2
2
2
2
2
1
12
1
1
2?
yyxx
]2[)1(2 1 222 vuvu ])1()[()1(2 1 2222 uuv
22
2 2
1)(
)1(2
1 uuv
]})())((2)([)1(2 1ex p { 2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2?
yyxx?
2212
1),(
yxf
广东工业大学下页上页 返回解,
])())((2)[()1(2 1
2
21
2
2
2
2
2
1
12
1
1
2
12
1),(
yyxx
eyxf
),( YX 的联合密度函数为将被积函数 的指数可变形为),( yxf,2 dvdy则
])())((2)[()1(2 1 2
2
2
2
2
1
12
1
1
2?
yyxx
]2[)1(2 1 222 vuvu ])1()[()1(2 1 2222 uuv
22
2 2
1)(
)1(2
1 uuv
]})())((2)([)1(2 1ex p { 2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2?
yyxx?
2212
1),(
yxf
于是
dyyxfxf X ),()(
dvee u
uv
2
2
1
)1(2
)(
2
21
22
2
12
1?
广东工业大学下页上页 返回解,
])())((2)[()1(2 1
2
21
2
2
2
2
2
1
12
1
1
2
12
1),(
yyxx
eyxf
),( YX 的联合密度函数为
]})())((2)([)1(2 1ex p { 2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2?
yyxx?
2212
1),(
yxf
于是
dyyxfxf X ),()(
dvee u
uv
2
2
1
)1(2
)(
2
21
22
2
12
1?
dvee
uv
u
)1(2
)(
2
1
2
1
2
2
2
12
1
dtee
tu
222
1
2
1
112 1
22
21?
uvt令
dtdv 21则广东工业大学下页上页 返回
]})())((2)([)1(2 1ex p { 2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2?
yyxx?
2212
1),(
yxf
dyyxfxf X ),()( dvee
u
uv
2
2
1
)1(2
)(
2
21
22
2
12
1?
dtee
tu
222
1
2
1
112 1
22
dtee
tu
22
1
1
22
2
1
2
1
2
1
2
)(
12
1
x
e
121
2
2
1
dte t?注意到从而 ),(~ 211NX
),(~ 222NY同理广东工业大学下页上页 返回四、二维正态分布若二维随机变量 的联合密度函数为),( YX
]})())((2)([)1(2 1ex p { 2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2?
yyxx
2
21 12
1),(
yxf
),,,,(~),( 222121NYX
则称 服从参数为 的正态分布,),( YX,,,,2121
记为其中 为常数，且 。 1||,0,0 21,,,,2121
结论,),,,,,(~),( 222121NYX
则 ),,(~ 211NX ).,(~ 222NY
若广东工业大学下页上页 返回
§ 3 条件分布一、条件分布律二、条件概率密度广东工业大学下页上页 返回
1、条件分布的定义对二维随机变量,在一个随机变量取固定值的条),( YX
件下,另一随机变量的概率分布,称为条件概率分布 (简称
2、二维离散型随机变量的条件分布
ijji pyYxXP ),(?,3,2,1,?ji
则关于 的边缘分布律为X
ij iji ppxXP )(?,2,1?i
关于 的边缘分布律为Y
ji ijj ppyYP)(?,2,1?j
条件分布 )。
设二维离散型随机变量 的联合分布律为),( YX
广东工业大学下页上页 返回若,则由条件概率的定义知0jp
)|( ji yYxXP )(
),(
j
ji
yYP
yYxXP
j
ij
p
p
,2,1?i
称之为在 条件下 的 条件分布律 。jyY? X
类似地，当 时，在 条件下 的 条件分布律 为0ip ixX? Y
)|( ij xXyYP )( ),(
i
ji
xXP
yYxXP
i
ij
p
p?,2,1?j
广东工业大学下页上页 返回续例 已知 10件产品中有 3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从这批产品中任意抽出 4 件,求其中一等品件数 及二等品件数 的联合分布列,
X
Y
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
X Y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
(1) 已知抽取的 4件产品中有 2件二等品,求一等品件数的概率分布,
(2) 已知抽取的 4件产品中有 1件一等品,求二等品件数的概率分布,
求随机变量 (或 )的边缘分布列,X Y
广东工业大学下页上页 返回
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
X Y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
(1) 已知抽取的 4件产品中有 2件二等品,求一等品件数的概率分布,
(2) 已知抽取的 4件产品中有 1件一等品,求二等品件数的概率分布,
解,}2|{ YiXP 3,2,1,0?i(1) 所求概率分布律为于是 }2|0{ YXP
}2{
}2,0{
YP
YXP
2 1 0
1 0 0
2 1 0
10?
10
1?
}2|1{ YXP 2 1 01 0 02 1 060? 53?同理广东工业大学下页上页 返回
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
X Y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
(1) 已知抽取的 4件产品中有 2件二等品,求一等品件数的概率分布,
(2) 已知抽取的 4件产品中有 1件一等品,求二等品件数的概率分布,
}2|2{ YXP 2 1 01 0 02 1 030? 103?
}2|3{ YXP 2101000? 0?
广东工业大学下页上页 返回
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
X Y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
(1) 已知抽取的 4件产品中有 2件二等品,求一等品件数的概率分布,
(2) 已知抽取的 4件产品中有 1件一等品,求二等品件数的概率分布,
解,
}2|0{ YXP 101? }2|1{ YXP 53?
}2|2{ YXP 103? }2|3{ YXP 0?
}2|{ YiXP 3,2,1,0?i(1) 所求概率分布律为广东工业大学下页上页 返回
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
X Y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
(1) 已知抽取的 4件产品中有 2件二等品,求一等品件数的概率分布,
(2) 已知抽取的 4件产品中有 1件一等品,求二等品件数的概率分布,
解,}1|{ XiYP 4,3,2,1,0?i(2) 所求概率分布律为
}1|0{ XYP 0? 71? 74?
7
2? 0?
}1|1{ XYP }1|2{ XYP
}1|3{ XYP }1|4{ XYP
广东工业大学下页上页 返回例 2 一射手进行射击,击中目标的概率为 p，射击直至击中目标两次为止。设以 X表示首次击中目标所进行的射击次数,Y表示总共进行的射击次数，试求 X和 Y的联合分布律、边缘分布律及条件分布律。
广东工业大学下页上页 返回
),( YX
例 3（ 01） 设某班车起点站上客人数 X服从参数为 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p，且中途下车与否相
（ 1）在发车时有 n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率；
（ 2） 的概率分布。
互独立,Y表示在中途下车的人数，求广东工业大学下页上页 返回
3、二维连续型随机变量的条件分布对于二维连续型随机变量，由于对任一特定值 x或 y，均有
0)( xXP 0)( yYP及,故对二维连续型随机变量，不能直接套用条件概率来定义条件概率分布。
下面我们利用 极限 来定义二维连续型随机变量的条件分布：
设 的联合分布函数为,),( YX ),( yxf 边缘密度
dxyxfyf Y ),()(
在条件 下,yY?
连续型随机变量 的条件分布函数定义为,X
若 连续,)(),,( yfyxf Y 则对使 的点,0)(?yfY y
广东工业大学下页上页 返回
}|{ yYxXP }|{l i m
0 yyYyxXPy
}{
},{lim
0 yyYyP
yyYyxXP
y?
yy
y Y
x yy
y
y dvvf
d vd uvuf
)(
),(
l i m
0
ytf
yd usuf
Y
x
y?
)(
),(
l i m
0
(
),(
yf
duyuf
Y
x?
(利用积分中值定理 )
duyf yufx
Y
)( ),(
条件分布函数记为 )|( yxF
即 duyf yufyxF x
Y
)( ),()|(
广东工业大学下页上页 返回
duyf yufyxF x
Y
)( ),()|(
在条件 下,yY? 连续型随机变量 X的条件分布函数为,
条件概率密度函数为 )( ),()|(| yf yxfyxf
Y
YX?
dvxf vxfxyF y
X
)( ),()|(
条件概率密度函数为 )( ),()|(| xf yxfxyf
X
XY?
连续型随机变量 Y的条件分布函数为,在条件 下,xX?同理,
条件概率公式,)( )()|( AP ABPABP?
广东工业大学下页上页 返回例 4 已知二维随机变量 的密度为),( YX
其它0
10,16),( 2 xyxxyyxf
试求 及 )|( yxf ).|( xyf
其它0
103)( 2 yyyf
Y
解,易得于是，对 有)1,0(?y
)(
),()|(
yf
yxfyxf
Y
其它0
10,1
3
6 2
2 xyxy
xy
其它0
102 yx
y
x
其它0
1033)( 5 xxxxf
X
广东工业大学下页上页 返回例 4 已知二维随机变量 的密度为),( YX
其它0
10,16),( 2 xyxxyyxf
试求 及 )|( yxf ).|( xyf
其它0
103)( 2 yyyf
Y
解,易得
其它0
1033)( 5 xxxxf
X
)(
),()|(
xf
yxfxyf
X
其它0
10,1
)(3
6 2
5 xyxxx
xy
其它0
10,1
1
2 2
4 xyxx
y
对 有)1,0(?x类似地,
广东工业大学下页上页 返回例 5 设二维随机变量 ),,,,,(~),( 222121NYX 试求解,
])())((2)[(
)1(2
1
2
21
2
2
2
2
2
1
12
1
1
2
12
1),(
yyxx
eyxf
).|( xyf
由及 21
2
1
2
)(
12
1)(
x
X exf
有
)(
),()|(
xf
yxfxyf
X
])())((2)[()1(2 1
2
21
2
2
2
2
2
1
12
1
1
2
12
1
yyxx
e
=
2
1
2
1
2
)(
12
1
x
e
广东工业大学下页上页 返回
22
1
1
2
22
2
]})([{
2
1
2
2 12
1
xy
e
容易看出,此条件分布仍是正态分布,
)]1(),([ 2221
1
2
2
xN
类似可以得到 也是正态分布,)|( yxf
)]1(),([ 2212
2
1
1
yN
二元正态分布的条件分布仍是正态分布,
例 5 设二维随机变量 ),,,,,(~),( 222121NYX 试求 ).|( xyf
])())((2)[()1(2 1
2
21
2
2
2
2
2
1
12
1
1
2
12
1
yyxx
e
=
2
1
2
1
2
)(
12
1
x
e
)|( xyf
广东工业大学下页上页 返回
}.1{ YXP
的条件例 6 设 X 在区间 上服从均匀分布，在
(2)Y 的概率密度；
(3)概率
(1) 随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；
)1,0( )10( xxX
下，随机变量 Y 在区间 服从均匀分布，求),0( x
解,（ 1） 随机变量 X的概率密度函数为
其他，，
，
0
10,1)( xxf
X
其他，，
，
0
0,1)|( xy
xxyf
在 的条件下,Y 的条件概率密度函数为 )10( xxX
xxyfxfyxf X
1)|()(),(
当 时,X 和 Y 的联合概率密度函数为10 xy
0),(?yxf在其它点 处，有),( yx
(2004)
广东工业大学下页上页 返回
．
xy
xyxf
其他，
，
0
10,1),(
从而
dxyxfyf Y ),()(（ 2） 当 时，10 y
dxyxfyf Y ),()(? 1 1y dxx yln
当 或 时，0?y 1?y 0)(?yfY
因此
．
yyyf
Y 其他，
，
0
10,ln)(
}.1{ YXP
的条件例 6 设 X 在区间 上服从均匀分布，在
(2)Y 的概率密度；
(3)概率
(1) 随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；
)1,0( )10( xxX
下，随机变量 Y 在区间 服从均匀分布，求),0( x
(2004)
广东工业大学下页上页 返回
．
xy
xyxf
其他，
，
0
10,1),(
从而
（ 3） }1{ YXP
x x dyxdx 11
2
1
1
1
),(
yx
d x d yyxf
1
2
1 )
12( dx
x
O x
y xy?
1 yx
1
2
1
2ln1
}.1{ YXP
的条件例 6 设 X 在区间 上服从均匀分布，在
(2)Y 的概率密度；
(3)概率
(1) 随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；
)1,0( )10( xxX
下，随机变量 Y 在区间 服从均匀分布，求),0( x
(2004)
广东工业大学下页上页 返回
4、二维均匀分布如果 的联合密度函数为),( YX
其它0
),(1),( Dyx
Syxf D
其中 D 是平面上某个区域。
则称二维随机变量 服从区域 D 上的均匀分布。),( YX
DS 表示区域 D 的面积,
D
O x
y
随机点落在区域 D内每一点的可能性都相同。
广东工业大学下页上页 返回
4、二维均匀分布如果 的联合密度函数为),( YX
其它0
),(1),( Dyx
Syxf D
随机点落在区域 D内每一点的可能性都相同。
对于事件 },),(|),{( 1DyxyxA注 1,若,1 DD? 则有
D
1DO
x
y
D
D
S
S
1? d x d yyxfAP
D
1
),()( dxdyS
D D
1
1
几何概率公式落在区域 的概率与 的),( YX 1D 1D
1D位置无关,与 的面积成正比,
上式说明,对均匀分布,随机点广东工业大学下页上页 返回
4、二维均匀分布如果 的联合密度函数为),( YX
其它0
),(1),( Dyx
Syxf D
随机点落在区域 D内每一点的可能性都相同。
注 2,如图,
D 2D
O x
y
对于事件 },),(|),{( 2DyxyxB 有
D
DD
S
S?
2?
d x d yyxfBP
D
2
),()(
d x d yS
DD D
2
1
广东工业大学下页上页 返回例 1 设二维随机变量 在圆域 上服从均匀分布，
求条件概率密度 。
),( YX 122 yx
)|(| yxf YX
广东工业大学下页上页 返回例 2 设二维随机变量 在区域 D上服从均匀分布，求边缘),( YX
},|),{( dycbxayxD
概率密度 。其中 )(),( yfxf YX
广东工业大学下页上页 返回
),( YX 20,11 yx
1222 3121233221 xXxxxYxxx
例 3 设二维随机变量 服从区域：
上的均匀分布，求二次曲面为椭球面的概率。
广东工业大学下页上页 返回
xy? 2xy? ),( YX
),( YX
例 4 设区域 D是由直线 和曲线 所围成。设在 D上服从均匀分布，试求 的边缘概率密度。
广东工业大学下页上页 返回
§ 4 随机变量的相互独立性一、离散型随机变量的独立性二、连续型随机变量的独立性广东工业大学下页上页 返回事件的独立性事件 A与 B 相互独立,
事件的独立性对概率的计算带来了很大的方便。
那么，对于随机变量，有没有类似的结论呢？
)()()( BPAPABP?
下面，我们利用事件的独立性来引出随机变量的独立性。
广东工业大学下页上页 返回事件的独立性事件 A与 B 相互独立,)()()( BPAPABP?
一,离散型 随机变量的独立性设二维随机变量 的联合分布律为),( YX
ijji pyYxXP },{
记事件 },{ ixXA }.{ jyYB 若事件 A与 B独立，
也就是 },{ ji yYxXP }{}{ ji yYPxXP
jiij ppp
,,2,1i?,2,1?j
即则有广东工业大学下页上页 返回事件的独立性事件 A与 B 相互独立,)()()( BPAPABP?
一,离散型 随机变量的独立性记事件 },{ ixXA }.{ jyYB 若事件 A与 B独立，
也就是 },{ ji yYxXP }{}{ ji yYPxXP
jiij ppp即则有则称 随机变量 X与 Y相互独立 。
},{ ji yYxXP }{}{ ji yYPxXP
jiij ppp
若对所有可能的 i 和 j,都有即
,,2,1i?,2,1?j ijji pyYxXP },{
设二维随机变量 的联合分布律为),( YX定义,
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X和 Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律中的部分数值，
试将其余数值填入表中空白处。
),( YX
1y 2y 3y
1x
2x
jj pyYP }{
ii pxYP }{X Y
8
1
11?p 2?p 3?p
1p
2p
11p 12p 13p
21p 22p 23p8
1
6
1
公式,
2
1i ijj
pp?
3
1j
iji pp jiij ppp
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X和 Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律中的部分数值，
试将其余数值填入表中空白处。
),( YX
1y 2y 3y
1x
2x
jj pyYP }{
ii pxYP }{
8
1
X Y
12?p 3?p
1p
2p
12p 13p
22p 23p
1?p
11p
21p8
1
6
1
24
1
公式,
2
1i ijj
pp?
3
1j
iji pp jiij ppp 12111 ppp 12111 pp
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X和 Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律中的部分数值，
试将其余数值填入表中空白处。
),( YX
1y 2y 3y
1x
2x
jj pyYP }{
ii pxYP }{
8
1
X Y
12?p 3?p
2p
12p 13p
21p 22p 23p8
1
1?p6
1
公式,
2
1i ijj
pp?
3
1j
iji pp jiij ppp1111 ppp
4
1
1p24
1
11p
1111 pp
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X和 Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律中的部分数值，
试将其余数值填入表中空白处。
),( YX
1y 2y 3y
1x
2x
jj pyYP }{
ii pxYP }{X Y
11?p 2?p 3?p
2p21p 22p 23p8
1
6
1
8
1
4
1
12
1
1p11p 12p 13p24
1
公式,
2
1i ijj
pp?
3
1j
iji pp jiij ppp 1131211 pppp 1131211 ppp
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X和 Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律中的部分数值，
试将其余数值填入表中空白处。
),( YX
1y 2y 3y
1x
2x
jj pyYP }{
ii pxYP }{X Y
12
1
11?p 3?p
2p
11p 13p
21p 22p 23p8
1
6
1
24
1
4
1
1p8
1
12p
公式,
2
1i ijj
pp?
3
1j
iji pp jiij ppp2112 ppp
2
1
2?p
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X和 Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律中的部分数值，
试将其余数值填入表中空白处。
),( YX
1y 2y 3y
1x
2x
jj pyYP }{
ii pxYP }{X Y
1211?p 2?p
2p
11p
21p 22p 23p8
1
6
1
24
1
8
1
12p 12
1
13p 4
1
1p
公式,
2
1i ijj
pp?
3
1j
iji pp jiij ppp3113 ppp
3
1
3?p
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X和 Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律中的部分数值，
试将其余数值填入表中空白处。
),( YX
1y 2y 3y
1x
2x
jj pyYP }{
ii pxYP }{X Y
11?p 3?p
2p
11p
21p 23p8
1
6
1
24
1
12
1
13p 4
1
1p
3
1
2
1
2?p
22p
8
1
12p
8
3
公式,
2
1i ijj
pp?
3
1j
iji pp jiij ppp
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X和 Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律中的部分数值，
试将其余数值填入表中空白处。
),( YX
1y 2y 3y
1x
2x
jj pyYP }{
ii pxYP }{X Y
11?p
2p
11p
21p8
1
6
1
24
1
4
1
1p
2
1
2?p
22p
8
1
12p
8
3
3?p
23p
12
1
13p
3
1
4
1
公式,
2
1i ijj
pp?
3
1j
iji pp jiij ppp
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X和 Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律中的部分数值，
试将其余数值填入表中空白处。
),( YX
1y 2y 3y
1x
2x
jj pyYP }{
ii pxYP }{X Y
1?p
11p
6
1
24
1
2
1
2?p
8
1
12p
3?p
12
1
13p
3
1 1
2p
4
1
1p
4
3
公式,
2
1i ijj
pp?
3
1j
iji pp jiij ppp
8
1
21p 8
3
22p 4
1
23p
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X和 Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律中的部分数值，
试将其余数值填入表中空白处。
),( YX
1y 2y 3y
1x
2x
jj pyYP }{
ii pxYP }{X Y
4
3
11?p
2p
11p
21p8
1
6
1
24
1
4
1
1p
2
1
2?p
22p
8
1
12p
8
3
3?p
23p
12
1
13p
3
1
4
1
广东工业大学下页上页 返回二、连续型随机变量的独立性事件的独立性事件 A与 B 相互独立,)()()( BPAPABP?
1、随机变量相互独立的定义设 是两个随机变量,若对任意实数 都有YX,,,yx
}{}{},{ yYPxXPyYxXP
则称随机变量 X与 Y是 (相互 )独立的,
广东工业大学下页上页 返回
2、二维随机变量相互独立的充要条件
X与 Y相互独立
)()(),( yFxFyxF YX?
}{}{},{ yYPxXPyYxXP
3、离散型随机变量相互独立的充要条件
jiij ppp
},{ dYcbXaP }{}{ dYcPbXaP
广东工业大学下页上页 返回
2、二维随机变量相互独立的充要条件
X与 Y相互独立
)()(),( yFxFyxF YX?
}{}{},{ yYPxXPyYxXP
},{ dYcbXaP }{}{ dYcPbXaP
4、连续型随机变量相互独立的充要条件
)()(),( yfxfyxf YX?
)()|( xFyxF X?
)()|( yFxyF X?
duyf yufyxF x )( ),()|(
广东工业大学下页上页 返回
(2) 实际使用时往往从 直观上去判断 随机变量的 独立性,
(1) 判断随机变量的独立性一般有两种方法,
B:由问题的性质从直观上去判断,
A:由定义判断,是否满足公式 ;
6、随机变量独立性的判断广东工业大学下页上页 返回例 1 设二维随机变量 的概率密度函数为),( YX
其它0
10)(),( xyyxkyxf
(２ )求 的边缘概率密度YX,);(),( yfxf YX
(３ ) 讨论 Ｘ 与 Ｙ 的独立性； ).(zfZ
（ 1）求常数可 k；
}.1{ YXP（ 4）计算广东工业大学下页上页 返回
),1,0(~ NX
}0),{ m a x ( YXP
例 2 设随机变量 X与 Y相互独立,且均匀分布，则概率
(06) 设随机变量 X与 Y相互独立,且均服从 [0,3]上的均匀分布,
}1),{ m a x ( YXP
Y在 [-1,3]上服从则广东工业大学下页上页 返回例 3 设二维随机变量 ),,,,,(~),( 222121NYX 试证 X与 Y相互独立当且仅当,
解,
])())((2)[()1(2 1
2
21
2
2
2
2
2
1
12
1
1
2
12
1),(
yyxx
eyxf
),( YX 的联合密度函数为
0
2
1
2
1
2
)(
12
1)(
x
X exf
2
2
2
2
2
)(
22
1)(
y
Y eyf
若,0 则显然有 ),()(),( yfxfyxf YX?
从而 与 相互独立,X Y
由 P82例 3知 X与 Y的边缘概率密度为若 与 相互独立,X Y ),()(),( yfxfyxf YX?则有对照可知必有,0
充分性,
必要性,
证毕,
广东工业大学下页上页 返回例 4 设随机变量 服从二维正态分布，且 X与 Y相互独立，
)(),( yfxf YX 分别表示 X和 Y的概率密度,则在 的条件下，
),( YX
yY?
X的条件概率密度 为 )|(| yxf YX
（ A） （ B）
（ C） （ D）
)(xfX )(yfY
)()( yfxf YX
)(
)(
yf
xf
Y
X
广东工业大学下页上页 返回
),( YX
其它0
1||,1||4/)1(),( yxxyyxf
例 5 设二维随机变量 的联合概率密度函数为证明,X与 Y不独立，但 与 独立,2X 2Y
解,容易得到 X与 Y的边缘密度为
其它,0
1||,
2
1
)( xxf X
其它,0
1||,
2
1
)( yyf Y
显然 )()(),( yfxfyxf YX?
故 X与 Y不独立,
广东工业大学下页上页 返回例 6 一负责人到达办室的时间均匀分布在 8~12时,他的秘书到达办公室的时间均匀布在 7~9时,设他们两人到达时间相互独立,求他们到达办公室的时间相差不超过 5分钟的概率,
广东工业大学下页上页 返回
7 推广,n 个随机变量的独立性
},,,{ 2211 nn xXxXxXP }{}{}{ 2211 nn xXPxXPxXP
如果对任意实数,,,,21 nxxx?总成立则称 n 个随机变量 的 相互独立 。nXXX,,,21?
)()()(),,,( 221121 nnn xFxFxFxxxF
n
i
ii xF
1
)(
(1) 定义或
),,,( 21 nxxxF?其中 为 的联合分布函数,nXXX,,,21?
),,2,1)(( nixF ii为随机变量 的分布函数,iX
}{},,,{
1
2211 ii
n
i
nn xXPxXxXxXP
n 个随机变量 相互独立 当且仅当 nXXX,,,21?(2)
)()()(),,,( 221121 nnn xfxfxfxxxf连续型,
离散型,
广东工业大学下页上页 返回若 和 相互独立,),,,( 21 mXXX? ),,,( 21 nYYY?
则 和 相互独立,),,2,1( miX i ),,2,1( niY i
若 是连续函数,gh,则 和 ),,,( 21 mXXXh? ),,,( 21 nYYYg?
8、随机变量独立性的进一步推广,
相互独立,
若对任意的 nm yyyxxx,,,,,,,2121有
),,,,,,,( 2121 nm yyyxxxF
),,,(),,,( 212211 nm yyyFxxxF
则称随机变量 和 相互独立。 ),,,( 21 mXXX? ),,,( 21 nYYY?
（ 1）
（ 2）
其中 依次为随机变量FFF,,21 ),,,,( 21 mXXX? ),,,( 21 nYYY?
),,,,,,,( 2121 nm YYYXXX的联合分布函数。和
§ 1 二维 随机变量
§ 2 边缘分布
§ 3 条件分布
§ 4 相互独立的随机变量
§ 5 两个随机变量的函数的分布广东工业大学下页上页 返回
§ 1 二维 随机变量一、二维随机变量的概念二、二维随机变量的分布函数三、二维离散型随机变量及其分布四、二维连续型随机变量及其分布五,n维随机变量及其分布广东工业大学下页上页 返回在实际问题中,一些随机试验的结果往往同时需要两个或两个以上的随机变量来描述,要研究这些随机变量之间的关系,
就应同时考虑若干个随机变量即多维随机变量及其取值规律即多维随机变量的分布,
一、二维随机变量的概念
1、多维随机变量举例,
（ 1）对一目标进行射击：
X：表示弹着点与目标的水平距离；
Y：表示弹着点与目标的垂直距离；
则（ X,Y）就是一个二维随机变量。
广东工业大学下页上页 返回
（ 2）考察某地区学龄前童的身体发育情况：
X：表示该地区学龄前儿童的身高；
Y：表示该地区学龄前儿童的体重；
则（ X,Y）就是一个二维随机变量。
（ 3）考察某地区的气候状况：
X：表示该地区的温度； Y：表示该地区的湿度；
则（ X,Y）就是一个二维随机变量。
（ 4）考察某钢厂钢材的质量：
X：表示该钢厂钢材的硬度；
Y：表示该钢厂钢材的含碳量；
则（ X,Y,Z）就是一个三维随机变量。
Z：表示该钢厂钢材的含硫量；
广东工业大学下页上页 返回
2、二维随机变量的定义设 E是一个随机试验，其样本空间为,设}{eS?
)(eXX? )(eYY?
是定义在 S上的两个随机变量，则由它们构成的一个向量 ),( YX
称为 二维随机向量 或 二维随机变量 。
对于多维随机变量 [如二维 ( X,Y )]，其性质不仅与 X 及 Y
有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，逐个地来研究 X 或 Y 的性质是不够的，还需将 ( X,Y )作为一个整体来进行研究。
广东工业大学下页上页 返回二、二维随机变量的分布函数
1、联合分布函数的定义
),(),( yYxXPyxF
称为二维随机变量 的分布函数 (或称联合分布函数 ).),( YX
设 是二维随机变量,对于任意实数 x,y,二元函数),( YX
),( yx联合分布函数
),(),( yYxXPyxF
的值就是随机点 落在),( YX x
y
O
D
2、几何意义
区域 D内的概率。
广东工业大学下页上页 返回性质 1 对任意的 有,,yx ;1),(0 yxF
性质 2
且有
1),(F
0),(),(),( FyFxF
),( yxF 是变量 x 和 y 的单调非降函数 ;
3、联合分布函数 的性质 ),(),( yYxXPyxF
如图：
),( 1 yx
x
y
O
),( 2 yx
),(),( 21 yxFyxF?
,21 xx?对 显然有于是我们得到广东工业大学下页上页 返回
),( 21 yx
x
y
O
),( 22 yx
),( 11 yx ),( 12 yx
1x 2x
1y
2y
考虑随机变量 落在矩形区域 D的概率，其中),( YX
},|),{( 2121 yYyxXxYXD
D
),( 2121 yYyxXxP
),( 22 yxF? ),( 21 yxF?
),( 12 yxF? ),( 11 yxF?
容易得到性质 3 2121,yyxx对任意的 总有
),( 2121 yYyxXxP
且 0),(),(),(),( 11122122 yxFyxFyxFyxF
),(),(),(),( 11122122 yxFyxFyxFyxF
广东工业大学下页上页 返回
),(),0( yxFyxF ),()0,( yxFyxF
性质 4 ),( yxF 对任意的 x ( 或 y )都是右连续的,
即对任意的,,yx 均有性质 1 对任意的 有,,yx ;1),(0 yxF 且有
1),(F
0),(),(),( FyFxF
性质 2 ),( yxF 是变量 x 和 y 的单调非降函数 ;
性质 3 2121,yyxx对任意的 总有
),( 2121 yYyxXxP
且 0),(),(),(),( 11122122 yxFyxFyxFyxF
),(),(),(),( 11122122 yxFyxFyxFyxF
广东工业大学下页上页 返回例 1 已知二维随机变量 的联合分布函数为),( YX
)a r c ta n)(a r c ta n(),( yCxBAyxF
试确定常数 A,B,C的值。并求概率
),( yx
).10,10( YXP
解,由分布函数的性质得
)a r c t a n)(a r c t a n(lim yCxBA
yx
),(F
)2)(2( CBA 1?
)a r c t a n)(a r c t a n(lim yCxBAx ),( yF
)a rc ta n)(2( yCBA0?
同理 ),(xF
由 (1),(2),(3)解得,12A,2B,2C
(1)
(2)
(3) )2)(a rc ta n( CxBA 0?
广东工业大学下页上页 返回例 1 已知二维随机变量 的联合分布函数为),( YX
)a r c ta n)(a r c ta n(),( yCxBAyxF
),( yx
由 (1),(2),(3)解得,12A,2B,2C
)10,10( YXP
)0,0()0,1()1,0()1,1( FFFF
于是 ),( yxF )a rcta n2)(a rcta n2(1 2 yx
从而
2
2 )42(
1
)42(2
1
2
2)42(
1
2
2
1
2
16
1?
试确定常数 A,B,C的值。并求概率 ).10,10( YXP
广东工业大学下页上页 返回
1、二维离散型随机变量的定义如果二维随机变量 的所有可能取的值是 有限对 或),( YX
若 及 的全部不同的可能取值分别为X Y
,,,,,21 nxxxX
,,,,,21 myyyY
则 的全部可能取值为,),( YX
),( ji yx,,,2,1 ni,,,2,1 mj?
2、二维离散型随机变量的联合概率分布三、二维离散型随机变量及其分布可列无限对,则称 是 离散型随机变量,),( YX
广东工业大学下页上页 返回
YX
i
i
n
p
p
p
p
y
1
1
21
11
1
i
im
nm
m
m
m
p
p
p
p
y
2
1
i
i
n
p
p
p
p
y
1
1
21
11
1
1
2
1
j
nj
j
j
j
j
i
p
p
p
p
i
n
p
x
x
x
2
1
称概率函数
ijji pyYxXP ),(
为二维离散型随机变量 的 (联合 )概率分布 (律 ).),( YX;,,,2,1 ni,,,2,1 mj?
或列表为 (概率分布也称为 联合分布列 )
广东工业大学下页上页 返回称概率函数
ijji pyYxXP ),(
为二维离散型随机变量 的 (联合 )概率分布 (律 ).),( YX;,,,2,1 ni,,,2,1 mj?
或列表为 (概率分布也称为 联合分布列 )
(1)
(2)
0?ijp
1
i j ij
p
3、概率分布的性质广东工业大学下页上页 返回
4、二维离散型随机变量的分布函数
ijji pyYxXP ),(
设二维离散型随机变量 的联合 概率分布 为),( YX;,,,2,1 ni,,,2,1 mj?
则有
xx yy iji j
pyxF ),(
进行的。
这个求和式是对满足 及 的一切下标 i 和 jxxi? yy j?
广东工业大学下页上页 返回例 1 已知 10件产品中有 3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从这批产品中任意抽出 4 件,求其中一等品件数 与二等品件数的联合分布列,
X
Y
解,
},{ jYiXPp ij
由古典概率公式,有其中 4,3,2,1,0;3,2,1,0 ji 且,42 ji
依上式可得 的联合概率分布列如下,),( YX
),( ji
由已知条件，二维随机变量 所有可能的取值为：),( YX
410
i3j5 ji4 2
广东工业大学下页上页 返回例 1 已知 10件产品中有 3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从这批产品中任意抽出 4 件,求其中一等品件数 与二等品件数的联合分布列,
X
Y
解,
},{ jYiXPp ij
410
i3j5 ji4 2
0 1 2 3 4
0
1
2
3
X Y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
30/210
5/210
30/210
广东工业大学下页上页 返回解,
例 2 设 A,B为随机事件,且,21)|(,31)|(,41)( BAPABPAP
令 不发生 发生A AX 01 不发生 发生B BY 01
求,(I) 二维随机变量 的概率分布 ;),( YX (II) X与 Y的相关系数,
(2004)
(I) 易见 的可能取值为,),( YX ).1,1(),0,1(),1,0(),0,0(
相应概率分别为
}1,1{ YXP )( ABP? )|()( ABPAP? 121?3141
}0,1{ YXP )( BAP? )()( ABPAP 61?12141
}1,0{ YXP )( BAP? )()( ABPBP
12
1?
12
1
2/1
12/1 )(
)|(
)( ABP
BAP
ABP
广东工业大学下页上页 返回例 2 设 A,B为随机事件,且,21)|(,31)|(,41)( BAPABPAP
令 不发生 发生A AX 01 不发生 发生B BY 01
求,(I) 二维随机变量 的概率分布 ;),( YX (II) X与 Y的相关系数,
(2004)
}1,1{ YXP 121? }0,1{ YXP 61?
}1,0{ YXP 121? }0,0{ YXP 121611211 32?
于是 的概率分布为),( YX
X Y 0 1
0
1
3
2
12
1
12
1
6
1
广东工业大学下页上页 返回
1、联合概率密度的定义对于二维随机变量 的联合分布函数,),( YX ),( yxF
如果存在一个二元非负值函数 ),,)(,( yxyxf
使得对任意,,yx 有
x y d y d xyxfyxF ),(),(
则称 为 二维连续型随机变量,),( YX ),( yxf 称为二维连续型随机变量的 联合概率密度函数,
（简称 联合密度函数 或 联合密度 ）
记为 ),(~),( yxFYX
在空间直角坐标系中,表示一曲面,此曲面),( yxfz?
称为 分布曲面,
四、二维连续型随机变量及其分布广东工业大学下页上页 返回
2、联合密度函数的性质
（ 1） ;0),(?yxf
（ 2） 1),( d x d yyxf
具有性质 (1),(2)的二元函数 f (x,y),必是某个
,),(),( x y dy dxyxfyxF注意到,1),(F以及可得注,
二维连续型随机变量的密度函数。
分布曲面与 xoy 面所夹部分的体积为 1.
广东工业大学下页上页 返回
（ 3）
R
d x d yyxfRYXP ),(}),{(
设 R为 xoy 平面内任一区域,则有
（ 4） ),( yxf在 的连续点处，有 ),(
),(2 yxf
yx
yxF?
以 R为底,以分布曲面为顶的曲顶柱体的体积,
d v d uvufuxyx yxF x y ),(),(
22
),( yxf?
,),(),( x y dy dxyxfyxF由 两边同时对 x 和 y 求偏导数 (假定偏导数存在 ),得几何意义,
广东工业大学下页上页 返回例 1 已知二维随机变量 的密度为),( YX
其它0
10,1),( 2 xyxkxyyxf
试确定 k 的值，并求 落在区域 D的概率。其中),( YX
}10,|),{( 2 XxYxYXD
解,
由密度函数的性质 1),( dxd yyxf
又 dxdyyxf ),(
R
k x y d x d y
}10,1|),{( 2 xyxyxR记
10 1 2x xy dydxk dxxyk x1210 2|21
10 5 )(2 dxxxk 6k? 从而,6?k 1062 |)6121(2 xxk
x
y
O 1
1
R
2xy?
广东工业大学下页上页 返回例 1 已知二维随机变量 的密度为),( YX
试确定 k 的值，并求 落在区域 D的概率。其中),( YX
}10,|),{( 2 XxYxYXD
其它0
10,1),( 2 xyxkxyyxf
其它0
10,16 2 xyxxy
x
y
O 1
1
R
2xy?
从而,6?k
xy?
于是 }),{( DYXP?
D xy dx dy6
10 2 6xx xy dydx dxyx xx 10 2 2|3
dxxx )(3 510 3 1064 |)6141(3 xx
4
1?
D dx dyyxf ),(
D
广东工业大学下页上页 返回例 2 (2003数一 ) 设二维随机变量 的概率密度为),( YX
其它0
106),( yxxyxf
则 }1{ YXP
解 }1{ YXP
1
),(
yx
dxdyyxf
210 1 6xx xdydx
210 )21(6 dxxx
4
1?
1 x
y
O
2
1
xy?
1 yx
1
41
广东工业大学下页上页 返回例 3 设二维随机变量 的概率密度为),( YX
其它0
0,02),( )2( yxeyxf yx
（ 1）求分布函数 ；（ 2）求概率 。),( yxF }{ XYP?
广东工业大学下页上页 返回五,n维随机变量及其分布设 E是一个随机试验，其样本空间为,设}{eS?
)(,),(),( 2211 eXXeXXeXX nn
是定义在 S上的 n个随机变量，则由它们构成的一个向量称为 n维随机向量 或 n维随机变量 。
1,n维随机变量的定义
),,,( 21 nXXX?
广东工业大学下页上页 返回
},,,{),,,( 221121 nnn xXxXxXPxxxF
设 是 n维随机变量,对于任意 n个实数),,,( 21 nXXX?
2,n维随机变量的联合分布函数
nxxx,,,21?
称 n元函数为 n维随机变量 的分布函数 (或 联合分布函数 )。),,,( 21 nXXX?
广东工业大学下页上页 返回
§ 2 边缘分布一、边缘分布函数二、边缘分布律三、边缘概率密度广东工业大学下页上页 返回
1、边缘分布的定义则称随机变量 X或 Y的概率分布称为它的 边缘分布 。
一般地，对于二维随机变量,若已知其联合分布，),( YX
一、边缘分布函数
2、边缘分布函数随机变量 X(或 Y)的分布函数 (或 ) 为 的)(xFX )(yFY ),( yxF
边缘分布函数 。
问题,已知 的联合分布函数,),( YX ),( yxF 如何求边缘分布？
若二随机变量 的联合分布函数为,则称),( yxF),( YX
广东工业大学下页上页 返回
}{)( xXPxF X },{ YxXP ),( xF
同理有
),()( yFyF Y
由分布函数的定义，有问题,已知 的联合分布函数,),( YX ),( yxF 如何求边缘分布？
广东工业大学下页上页 返回例 1 已知二维随机变量 的联合分布函数为),( YX
)a r c t a n2)(a r c t a n2(1),( 2 yxyxF
),( yx
求边缘分布函数 。 )(),( yFxF YX
广东工业大学下页上页 返回二、边缘分布律
1、边缘分布律的定义
ijji pyYxXP },{ ;,,,2,1 ni,,,2,1 mj?
设二维离散型随机变量 的联合分布律为),( YX
随机变量 X的边缘分布律为
}{ ixXP,,,2,1 ni ip
同理随机变量 Y的边缘分布律为
i
ijj pyYP }{,,,2,1 mj?jp
则称随机变量 X（或 Y）的分布律为二维随机变量 (X,Y)关于 X
（或 Y）的 边缘分布律 。
2、边缘分布律的求法
},{
1
j
j
i yYxXP
1j
ijp
广东工业大学下页上页 返回续例 已知 10件产品中有 3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从这批产品中任意抽出 4 件,求其中一等品件数 及二等品件数 的联合分布列,
X
Y
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
X Y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
求随机变量 (或 )的边缘分布列,X Y
}{ iXP }0,{ YiXP }1,{ YiXP }2,{ YiXP
}3,{ YiXP }4,{ YiXP
解,
0ip? 1ip? 2ip? 4ip?3ip?
3,2,1,0?i
4
0j
ijp ip
广东工业大学下页上页 返回续例 已知 10件产品中有 3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从这批产品中任意抽出 4 件,求其中一等品件数 及二等品件数 的联合分布列,
X
Y
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
X Y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
即求随机变量 (或 )的边缘分布列,X Y
2 1 0/72 1 0/632 1 0/1 0 52 1 0/35
3210
P
X
30/110/32/16/1
3210
P
X即广东工业大学下页上页 返回续例 已知 10件产品中有 3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从这批产品中任意抽出 4 件,求其中一等品件数 及二等品件数 的联合分布列,
X
Y
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
X Y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
同理求随机变量 (或 )的边缘分布列,X Y
2 1 0/52 1 0/502 1 0/1 0 02 1 0/502 1 0/5
43210
P
Y
42/121/521/1021/542/1
43210
P
Y即广东工业大学下页上页 返回三、边缘概率密度设二维连续型随机变量 的联合分布函数为,),( YX ),( yxF
联合概率密度函数为 。),( yxf
于是，随机变量 X的分布函数为
)(xFX ),( xF x dxdyyxf ]),([
得 X的密度函数为
dyyxfxf X ),()(
同理可得随机变量 Y的分布函数为
)(yFY ),( yF y dydxyxf ]),([
密度函数为
dxyxfyf Y ),()(
二维随机变量
(X,Y)关于 X的边缘概率密度二维随机变量
(X,Y)关于 Y的边缘概率密度广东工业大学下页上页 返回例 1 已知二维随机变量 的密度为),( YX
其它0
10,16),( 2 xyxxyyxf
分别求出 及 的边缘概率密度。X Y
解, dyyxfxf X ),()(
（ 1） 当 时，有]1,0[?x
1 2 6)( xX x y d yxf 12 2|26 xyx
533 xx
（ 2） 当 时，有]1,0[?x 0)(?xf X
故 其它0 1033)(
5 xxx
xf X
x
y
O 1
1 R
2xy?
根据公式广东工业大学下页上页 返回例 1 已知二维随机变量 的密度为),( YX
其它0
10,16),( 2 xyxxyyxf
分别求出 及 的边缘概率密度。X Y
同理,由根据公式 dxyxfyf Y ),()(
（ 1） 当 时，有]1,0[?y
yY x y d xyf 0 6)( yxy 02 |26
23y?
（ 2） 当 时，有]1,0[?y 0)(?yfY
故
其它0
103)( 2 yyyf
Y
x
y
O 1
1 R
2xy?
广东工业大学下页上页 返回例 2 设二维随机变量 的概率密度函数为),( YX
其它0
20,101),( xyxyxf
求,(I) 的边缘概率密度),( YX ).(),( yfxf YX
(II) 的概率密度 YXZ 2 ).(zfZ (2005)
1
2
x
y
O
解 如图,
dyyxfxf X ),()(
当 时,10 x
x dy20 x2?
当 或 时,0?x 1?x 0)(?xf X
从而
其它0
102)( xxxf
X
(1) 先求 )(xfX
广东工业大学下页上页 返回例 2 设二维随机变量 的概率密度函数为),( YX
其它0
20,101),( xyxyxf
求,(I) 的边缘概率密度),( YX ).(),( yfxf YX
(II) 的概率密度 YXZ 2 ).(zfZ (2005)
1
2
x
y
O
dxyxfyf Y ),()(
当 时,20 y
12y dy 21 y
当 或 时,0?y 2?y 0)(?yfY
从而?
其它0
20
2
1)( yyyf
Y
(2) 下面求 )(yfY
广东工业大学下页上页 返回四、二维正态分布若二维随机变量 的联合密度函数为),( YX
]})())((2)([)1(2 1ex p { 2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2?
yyxx
2
21 12
1),(
yxf
),,,,(~),( 222121NYX
则称 服从参数为 的正态分布,),( YX,,,,2121
记为其中 为常数，且 。 1||,0,0 21,,,,2121
求边缘密度函数。
广东工业大学下页上页 返回解,
])())((2)[()1(2 1
2
21
2
2
2
2
2
1
12
1
1
2
12
1),(
yyxx
eyxf
),( YX 的联合密度函数为于是,由公式,),()( dyyxfxf X
将被积函数 的指数可变形为),( yxf
记,
1
1
xu
2
2
yv
,2 dvdy则
])())((2)[()1(2 1 2
2
2
2
2
1
12
1
1
2?
yyxx
]2[)1(2 1 222 vuvu ])1()[()1(2 1 2222 uuv
22
2 2
1)(
)1(2
1 uuv
]})())((2)([)1(2 1ex p { 2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2?
yyxx?
2212
1),(
yxf
广东工业大学下页上页 返回解,
])())((2)[()1(2 1
2
21
2
2
2
2
2
1
12
1
1
2
12
1),(
yyxx
eyxf
),( YX 的联合密度函数为将被积函数 的指数可变形为),( yxf,2 dvdy则
])())((2)[()1(2 1 2
2
2
2
2
1
12
1
1
2?
yyxx
]2[)1(2 1 222 vuvu ])1()[()1(2 1 2222 uuv
22
2 2
1)(
)1(2
1 uuv
]})())((2)([)1(2 1ex p { 2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2?
yyxx?
2212
1),(
yxf
于是
dyyxfxf X ),()(
dvee u
uv
2
2
1
)1(2
)(
2
21
22
2
12
1?
广东工业大学下页上页 返回解,
])())((2)[()1(2 1
2
21
2
2
2
2
2
1
12
1
1
2
12
1),(
yyxx
eyxf
),( YX 的联合密度函数为
]})())((2)([)1(2 1ex p { 2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2?
yyxx?
2212
1),(
yxf
于是
dyyxfxf X ),()(
dvee u
uv
2
2
1
)1(2
)(
2
21
22
2
12
1?
dvee
uv
u
)1(2
)(
2
1
2
1
2
2
2
12
1
dtee
tu
222
1
2
1
112 1
22
21?
uvt令
dtdv 21则广东工业大学下页上页 返回
]})())((2)([)1(2 1ex p { 2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2?
yyxx?
2212
1),(
yxf
dyyxfxf X ),()( dvee
u
uv
2
2
1
)1(2
)(
2
21
22
2
12
1?
dtee
tu
222
1
2
1
112 1
22
dtee
tu
22
1
1
22
2
1
2
1
2
1
2
)(
12
1
x
e
121
2
2
1
dte t?注意到从而 ),(~ 211NX
),(~ 222NY同理广东工业大学下页上页 返回四、二维正态分布若二维随机变量 的联合密度函数为),( YX
]})())((2)([)1(2 1ex p { 2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2?
yyxx
2
21 12
1),(
yxf
),,,,(~),( 222121NYX
则称 服从参数为 的正态分布,),( YX,,,,2121
记为其中 为常数，且 。 1||,0,0 21,,,,2121
结论,),,,,,(~),( 222121NYX
则 ),,(~ 211NX ).,(~ 222NY
若广东工业大学下页上页 返回
§ 3 条件分布一、条件分布律二、条件概率密度广东工业大学下页上页 返回
1、条件分布的定义对二维随机变量,在一个随机变量取固定值的条),( YX
件下,另一随机变量的概率分布,称为条件概率分布 (简称
2、二维离散型随机变量的条件分布
ijji pyYxXP ),(?,3,2,1,?ji
则关于 的边缘分布律为X
ij iji ppxXP )(?,2,1?i
关于 的边缘分布律为Y
ji ijj ppyYP)(?,2,1?j
条件分布 )。
设二维离散型随机变量 的联合分布律为),( YX
广东工业大学下页上页 返回若,则由条件概率的定义知0jp
)|( ji yYxXP )(
),(
j
ji
yYP
yYxXP
j
ij
p
p
,2,1?i
称之为在 条件下 的 条件分布律 。jyY? X
类似地，当 时，在 条件下 的 条件分布律 为0ip ixX? Y
)|( ij xXyYP )( ),(
i
ji
xXP
yYxXP
i
ij
p
p?,2,1?j
广东工业大学下页上页 返回续例 已知 10件产品中有 3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从这批产品中任意抽出 4 件,求其中一等品件数 及二等品件数 的联合分布列,
X
Y
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
X Y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
(1) 已知抽取的 4件产品中有 2件二等品,求一等品件数的概率分布,
(2) 已知抽取的 4件产品中有 1件一等品,求二等品件数的概率分布,
求随机变量 (或 )的边缘分布列,X Y
广东工业大学下页上页 返回
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
X Y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
(1) 已知抽取的 4件产品中有 2件二等品,求一等品件数的概率分布,
(2) 已知抽取的 4件产品中有 1件一等品,求二等品件数的概率分布,
解,}2|{ YiXP 3,2,1,0?i(1) 所求概率分布律为于是 }2|0{ YXP
}2{
}2,0{
YP
YXP
2 1 0
1 0 0
2 1 0
10?
10
1?
}2|1{ YXP 2 1 01 0 02 1 060? 53?同理广东工业大学下页上页 返回
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
X Y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
(1) 已知抽取的 4件产品中有 2件二等品,求一等品件数的概率分布,
(2) 已知抽取的 4件产品中有 1件一等品,求二等品件数的概率分布,
}2|2{ YXP 2 1 01 0 02 1 030? 103?
}2|3{ YXP 2101000? 0?
广东工业大学下页上页 返回
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
X Y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
(1) 已知抽取的 4件产品中有 2件二等品,求一等品件数的概率分布,
(2) 已知抽取的 4件产品中有 1件一等品,求二等品件数的概率分布,
解,
}2|0{ YXP 101? }2|1{ YXP 53?
}2|2{ YXP 103? }2|3{ YXP 0?
}2|{ YiXP 3,2,1,0?i(1) 所求概率分布律为广东工业大学下页上页 返回
0 1 2 3 4
0
1
2
3
ip
jp?
X Y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10/210 20/210 5/210
15/210 60/210 30/210
3/210
2/210
5/210
30/210
5/210
50/210
30/210
100/210 50/210 5/210
35/210
105/210
63/210
7/210
1
(1) 已知抽取的 4件产品中有 2件二等品,求一等品件数的概率分布,
(2) 已知抽取的 4件产品中有 1件一等品,求二等品件数的概率分布,
解,}1|{ XiYP 4,3,2,1,0?i(2) 所求概率分布律为
}1|0{ XYP 0? 71? 74?
7
2? 0?
}1|1{ XYP }1|2{ XYP
}1|3{ XYP }1|4{ XYP
广东工业大学下页上页 返回例 2 一射手进行射击,击中目标的概率为 p，射击直至击中目标两次为止。设以 X表示首次击中目标所进行的射击次数,Y表示总共进行的射击次数，试求 X和 Y的联合分布律、边缘分布律及条件分布律。
广东工业大学下页上页 返回
),( YX
例 3（ 01） 设某班车起点站上客人数 X服从参数为 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p，且中途下车与否相
（ 1）在发车时有 n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率；
（ 2） 的概率分布。
互独立,Y表示在中途下车的人数，求广东工业大学下页上页 返回
3、二维连续型随机变量的条件分布对于二维连续型随机变量，由于对任一特定值 x或 y，均有
0)( xXP 0)( yYP及,故对二维连续型随机变量，不能直接套用条件概率来定义条件概率分布。
下面我们利用 极限 来定义二维连续型随机变量的条件分布：
设 的联合分布函数为,),( YX ),( yxf 边缘密度
dxyxfyf Y ),()(
在条件 下,yY?
连续型随机变量 的条件分布函数定义为,X
若 连续,)(),,( yfyxf Y 则对使 的点,0)(?yfY y
广东工业大学下页上页 返回
}|{ yYxXP }|{l i m
0 yyYyxXPy
}{
},{lim
0 yyYyP
yyYyxXP
y?
yy
y Y
x yy
y
y dvvf
d vd uvuf
)(
),(
l i m
0
ytf
yd usuf
Y
x
y?
)(
),(
l i m
0
(
),(
yf
duyuf
Y
x?
(利用积分中值定理 )
duyf yufx
Y
)( ),(
条件分布函数记为 )|( yxF
即 duyf yufyxF x
Y
)( ),()|(
广东工业大学下页上页 返回
duyf yufyxF x
Y
)( ),()|(
在条件 下,yY? 连续型随机变量 X的条件分布函数为,
条件概率密度函数为 )( ),()|(| yf yxfyxf
Y
YX?
dvxf vxfxyF y
X
)( ),()|(
条件概率密度函数为 )( ),()|(| xf yxfxyf
X
XY?
连续型随机变量 Y的条件分布函数为,在条件 下,xX?同理,
条件概率公式,)( )()|( AP ABPABP?
广东工业大学下页上页 返回例 4 已知二维随机变量 的密度为),( YX
其它0
10,16),( 2 xyxxyyxf
试求 及 )|( yxf ).|( xyf
其它0
103)( 2 yyyf
Y
解,易得于是，对 有)1,0(?y
)(
),()|(
yf
yxfyxf
Y
其它0
10,1
3
6 2
2 xyxy
xy
其它0
102 yx
y
x
其它0
1033)( 5 xxxxf
X
广东工业大学下页上页 返回例 4 已知二维随机变量 的密度为),( YX
其它0
10,16),( 2 xyxxyyxf
试求 及 )|( yxf ).|( xyf
其它0
103)( 2 yyyf
Y
解,易得
其它0
1033)( 5 xxxxf
X
)(
),()|(
xf
yxfxyf
X
其它0
10,1
)(3
6 2
5 xyxxx
xy
其它0
10,1
1
2 2
4 xyxx
y
对 有)1,0(?x类似地,
广东工业大学下页上页 返回例 5 设二维随机变量 ),,,,,(~),( 222121NYX 试求解,
])())((2)[(
)1(2
1
2
21
2
2
2
2
2
1
12
1
1
2
12
1),(
yyxx
eyxf
).|( xyf
由及 21
2
1
2
)(
12
1)(
x
X exf
有
)(
),()|(
xf
yxfxyf
X
])())((2)[()1(2 1
2
21
2
2
2
2
2
1
12
1
1
2
12
1
yyxx
e
=
2
1
2
1
2
)(
12
1
x
e
广东工业大学下页上页 返回
22
1
1
2
22
2
]})([{
2
1
2
2 12
1
xy
e
容易看出,此条件分布仍是正态分布,
)]1(),([ 2221
1
2
2
xN
类似可以得到 也是正态分布,)|( yxf
)]1(),([ 2212
2
1
1
yN
二元正态分布的条件分布仍是正态分布,
例 5 设二维随机变量 ),,,,,(~),( 222121NYX 试求 ).|( xyf
])())((2)[()1(2 1
2
21
2
2
2
2
2
1
12
1
1
2
12
1
yyxx
e
=
2
1
2
1
2
)(
12
1
x
e
)|( xyf
广东工业大学下页上页 返回
}.1{ YXP
的条件例 6 设 X 在区间 上服从均匀分布，在
(2)Y 的概率密度；
(3)概率
(1) 随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；
)1,0( )10( xxX
下，随机变量 Y 在区间 服从均匀分布，求),0( x
解,（ 1） 随机变量 X的概率密度函数为
其他，，
，
0
10,1)( xxf
X
其他，，
，
0
0,1)|( xy
xxyf
在 的条件下,Y 的条件概率密度函数为 )10( xxX
xxyfxfyxf X
1)|()(),(
当 时,X 和 Y 的联合概率密度函数为10 xy
0),(?yxf在其它点 处，有),( yx
(2004)
广东工业大学下页上页 返回
．
xy
xyxf
其他，
，
0
10,1),(
从而
dxyxfyf Y ),()(（ 2） 当 时，10 y
dxyxfyf Y ),()(? 1 1y dxx yln
当 或 时，0?y 1?y 0)(?yfY
因此
．
yyyf
Y 其他，
，
0
10,ln)(
}.1{ YXP
的条件例 6 设 X 在区间 上服从均匀分布，在
(2)Y 的概率密度；
(3)概率
(1) 随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；
)1,0( )10( xxX
下，随机变量 Y 在区间 服从均匀分布，求),0( x
(2004)
广东工业大学下页上页 返回
．
xy
xyxf
其他，
，
0
10,1),(
从而
（ 3） }1{ YXP
x x dyxdx 11
2
1
1
1
),(
yx
d x d yyxf
1
2
1 )
12( dx
x
O x
y xy?
1 yx
1
2
1
2ln1
}.1{ YXP
的条件例 6 设 X 在区间 上服从均匀分布，在
(2)Y 的概率密度；
(3)概率
(1) 随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；
)1,0( )10( xxX
下，随机变量 Y 在区间 服从均匀分布，求),0( x
(2004)
广东工业大学下页上页 返回
4、二维均匀分布如果 的联合密度函数为),( YX
其它0
),(1),( Dyx
Syxf D
其中 D 是平面上某个区域。
则称二维随机变量 服从区域 D 上的均匀分布。),( YX
DS 表示区域 D 的面积,
D
O x
y
随机点落在区域 D内每一点的可能性都相同。
广东工业大学下页上页 返回
4、二维均匀分布如果 的联合密度函数为),( YX
其它0
),(1),( Dyx
Syxf D
随机点落在区域 D内每一点的可能性都相同。
对于事件 },),(|),{( 1DyxyxA注 1,若,1 DD? 则有
D
1DO
x
y
D
D
S
S
1? d x d yyxfAP
D
1
),()( dxdyS
D D
1
1
几何概率公式落在区域 的概率与 的),( YX 1D 1D
1D位置无关,与 的面积成正比,
上式说明,对均匀分布,随机点广东工业大学下页上页 返回
4、二维均匀分布如果 的联合密度函数为),( YX
其它0
),(1),( Dyx
Syxf D
随机点落在区域 D内每一点的可能性都相同。
注 2,如图,
D 2D
O x
y
对于事件 },),(|),{( 2DyxyxB 有
D
DD
S
S?
2?
d x d yyxfBP
D
2
),()(
d x d yS
DD D
2
1
广东工业大学下页上页 返回例 1 设二维随机变量 在圆域 上服从均匀分布，
求条件概率密度 。
),( YX 122 yx
)|(| yxf YX
广东工业大学下页上页 返回例 2 设二维随机变量 在区域 D上服从均匀分布，求边缘),( YX
},|),{( dycbxayxD
概率密度 。其中 )(),( yfxf YX
广东工业大学下页上页 返回
),( YX 20,11 yx
1222 3121233221 xXxxxYxxx
例 3 设二维随机变量 服从区域：
上的均匀分布，求二次曲面为椭球面的概率。
广东工业大学下页上页 返回
xy? 2xy? ),( YX
),( YX
例 4 设区域 D是由直线 和曲线 所围成。设在 D上服从均匀分布，试求 的边缘概率密度。
广东工业大学下页上页 返回
§ 4 随机变量的相互独立性一、离散型随机变量的独立性二、连续型随机变量的独立性广东工业大学下页上页 返回事件的独立性事件 A与 B 相互独立,
事件的独立性对概率的计算带来了很大的方便。
那么，对于随机变量，有没有类似的结论呢？
)()()( BPAPABP?
下面，我们利用事件的独立性来引出随机变量的独立性。
广东工业大学下页上页 返回事件的独立性事件 A与 B 相互独立,)()()( BPAPABP?
一,离散型 随机变量的独立性设二维随机变量 的联合分布律为),( YX
ijji pyYxXP },{
记事件 },{ ixXA }.{ jyYB 若事件 A与 B独立，
也就是 },{ ji yYxXP }{}{ ji yYPxXP
jiij ppp
,,2,1i?,2,1?j
即则有广东工业大学下页上页 返回事件的独立性事件 A与 B 相互独立,)()()( BPAPABP?
一,离散型 随机变量的独立性记事件 },{ ixXA }.{ jyYB 若事件 A与 B独立，
也就是 },{ ji yYxXP }{}{ ji yYPxXP
jiij ppp即则有则称 随机变量 X与 Y相互独立 。
},{ ji yYxXP }{}{ ji yYPxXP
jiij ppp
若对所有可能的 i 和 j,都有即
,,2,1i?,2,1?j ijji pyYxXP },{
设二维随机变量 的联合分布律为),( YX定义,
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X和 Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律中的部分数值，
试将其余数值填入表中空白处。
),( YX
1y 2y 3y
1x
2x
jj pyYP }{
ii pxYP }{X Y
8
1
11?p 2?p 3?p
1p
2p
11p 12p 13p
21p 22p 23p8
1
6
1
公式,
2
1i ijj
pp?
3
1j
iji pp jiij ppp
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X和 Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律中的部分数值，
试将其余数值填入表中空白处。
),( YX
1y 2y 3y
1x
2x
jj pyYP }{
ii pxYP }{
8
1
X Y
12?p 3?p
1p
2p
12p 13p
22p 23p
1?p
11p
21p8
1
6
1
24
1
公式,
2
1i ijj
pp?
3
1j
iji pp jiij ppp 12111 ppp 12111 pp
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X和 Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律中的部分数值，
试将其余数值填入表中空白处。
),( YX
1y 2y 3y
1x
2x
jj pyYP }{
ii pxYP }{
8
1
X Y
12?p 3?p
2p
12p 13p
21p 22p 23p8
1
1?p6
1
公式,
2
1i ijj
pp?
3
1j
iji pp jiij ppp1111 ppp
4
1
1p24
1
11p
1111 pp
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X和 Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律中的部分数值，
试将其余数值填入表中空白处。
),( YX
1y 2y 3y
1x
2x
jj pyYP }{
ii pxYP }{X Y
11?p 2?p 3?p
2p21p 22p 23p8
1
6
1
8
1
4
1
12
1
1p11p 12p 13p24
1
公式,
2
1i ijj
pp?
3
1j
iji pp jiij ppp 1131211 pppp 1131211 ppp
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X和 Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律中的部分数值，
试将其余数值填入表中空白处。
),( YX
1y 2y 3y
1x
2x
jj pyYP }{
ii pxYP }{X Y
12
1
11?p 3?p
2p
11p 13p
21p 22p 23p8
1
6
1
24
1
4
1
1p8
1
12p
公式,
2
1i ijj
pp?
3
1j
iji pp jiij ppp2112 ppp
2
1
2?p
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X和 Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律中的部分数值，
试将其余数值填入表中空白处。
),( YX
1y 2y 3y
1x
2x
jj pyYP }{
ii pxYP }{X Y
1211?p 2?p
2p
11p
21p 22p 23p8
1
6
1
24
1
8
1
12p 12
1
13p 4
1
1p
公式,
2
1i ijj
pp?
3
1j
iji pp jiij ppp3113 ppp
3
1
3?p
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X和 Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律中的部分数值，
试将其余数值填入表中空白处。
),( YX
1y 2y 3y
1x
2x
jj pyYP }{
ii pxYP }{X Y
11?p 3?p
2p
11p
21p 23p8
1
6
1
24
1
12
1
13p 4
1
1p
3
1
2
1
2?p
22p
8
1
12p
8
3
公式,
2
1i ijj
pp?
3
1j
iji pp jiij ppp
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X和 Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律中的部分数值，
试将其余数值填入表中空白处。
),( YX
1y 2y 3y
1x
2x
jj pyYP }{
ii pxYP }{X Y
11?p
2p
11p
21p8
1
6
1
24
1
4
1
1p
2
1
2?p
22p
8
1
12p
8
3
3?p
23p
12
1
13p
3
1
4
1
公式,
2
1i ijj
pp?
3
1j
iji pp jiij ppp
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X和 Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律中的部分数值，
试将其余数值填入表中空白处。
),( YX
1y 2y 3y
1x
2x
jj pyYP }{
ii pxYP }{X Y
1?p
11p
6
1
24
1
2
1
2?p
8
1
12p
3?p
12
1
13p
3
1 1
2p
4
1
1p
4
3
公式,
2
1i ijj
pp?
3
1j
iji pp jiij ppp
8
1
21p 8
3
22p 4
1
23p
广东工业大学下页上页 返回例 1 设随机变量 X和 Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于 X和 Y的边缘分布律中的部分数值，
试将其余数值填入表中空白处。
),( YX
1y 2y 3y
1x
2x
jj pyYP }{
ii pxYP }{X Y
4
3
11?p
2p
11p
21p8
1
6
1
24
1
4
1
1p
2
1
2?p
22p
8
1
12p
8
3
3?p
23p
12
1
13p
3
1
4
1
广东工业大学下页上页 返回二、连续型随机变量的独立性事件的独立性事件 A与 B 相互独立,)()()( BPAPABP?
1、随机变量相互独立的定义设 是两个随机变量,若对任意实数 都有YX,,,yx
}{}{},{ yYPxXPyYxXP
则称随机变量 X与 Y是 (相互 )独立的,
广东工业大学下页上页 返回
2、二维随机变量相互独立的充要条件
X与 Y相互独立
)()(),( yFxFyxF YX?
}{}{},{ yYPxXPyYxXP
3、离散型随机变量相互独立的充要条件
jiij ppp
},{ dYcbXaP }{}{ dYcPbXaP
广东工业大学下页上页 返回
2、二维随机变量相互独立的充要条件
X与 Y相互独立
)()(),( yFxFyxF YX?
}{}{},{ yYPxXPyYxXP
},{ dYcbXaP }{}{ dYcPbXaP
4、连续型随机变量相互独立的充要条件
)()(),( yfxfyxf YX?
)()|( xFyxF X?
)()|( yFxyF X?
duyf yufyxF x )( ),()|(
广东工业大学下页上页 返回
(2) 实际使用时往往从 直观上去判断 随机变量的 独立性,
(1) 判断随机变量的独立性一般有两种方法,
B:由问题的性质从直观上去判断,
A:由定义判断,是否满足公式 ;
6、随机变量独立性的判断广东工业大学下页上页 返回例 1 设二维随机变量 的概率密度函数为),( YX
其它0
10)(),( xyyxkyxf
(２ )求 的边缘概率密度YX,);(),( yfxf YX
(３ ) 讨论 Ｘ 与 Ｙ 的独立性； ).(zfZ
（ 1）求常数可 k；
}.1{ YXP（ 4）计算广东工业大学下页上页 返回
),1,0(~ NX
}0),{ m a x ( YXP
例 2 设随机变量 X与 Y相互独立,且均匀分布，则概率
(06) 设随机变量 X与 Y相互独立,且均服从 [0,3]上的均匀分布,
}1),{ m a x ( YXP
Y在 [-1,3]上服从则广东工业大学下页上页 返回例 3 设二维随机变量 ),,,,,(~),( 222121NYX 试证 X与 Y相互独立当且仅当,
解,
])())((2)[()1(2 1
2
21
2
2
2
2
2
1
12
1
1
2
12
1),(
yyxx
eyxf
),( YX 的联合密度函数为
0
2
1
2
1
2
)(
12
1)(
x
X exf
2
2
2
2
2
)(
22
1)(
y
Y eyf
若,0 则显然有 ),()(),( yfxfyxf YX?
从而 与 相互独立,X Y
由 P82例 3知 X与 Y的边缘概率密度为若 与 相互独立,X Y ),()(),( yfxfyxf YX?则有对照可知必有,0
充分性,
必要性,
证毕,
广东工业大学下页上页 返回例 4 设随机变量 服从二维正态分布，且 X与 Y相互独立，
)(),( yfxf YX 分别表示 X和 Y的概率密度,则在 的条件下，
),( YX
yY?
X的条件概率密度 为 )|(| yxf YX
（ A） （ B）
（ C） （ D）
)(xfX )(yfY
)()( yfxf YX
)(
)(
yf
xf
Y
X
广东工业大学下页上页 返回
),( YX
其它0
1||,1||4/)1(),( yxxyyxf
例 5 设二维随机变量 的联合概率密度函数为证明,X与 Y不独立，但 与 独立,2X 2Y
解,容易得到 X与 Y的边缘密度为
其它,0
1||,
2
1
)( xxf X
其它,0
1||,
2
1
)( yyf Y
显然 )()(),( yfxfyxf YX?
故 X与 Y不独立,
广东工业大学下页上页 返回例 6 一负责人到达办室的时间均匀分布在 8~12时,他的秘书到达办公室的时间均匀布在 7~9时,设他们两人到达时间相互独立,求他们到达办公室的时间相差不超过 5分钟的概率,
广东工业大学下页上页 返回
7 推广,n 个随机变量的独立性
},,,{ 2211 nn xXxXxXP }{}{}{ 2211 nn xXPxXPxXP
如果对任意实数,,,,21 nxxx?总成立则称 n 个随机变量 的 相互独立 。nXXX,,,21?
)()()(),,,( 221121 nnn xFxFxFxxxF
n
i
ii xF
1
)(
(1) 定义或
),,,( 21 nxxxF?其中 为 的联合分布函数,nXXX,,,21?
),,2,1)(( nixF ii为随机变量 的分布函数,iX
}{},,,{
1
2211 ii
n
i
nn xXPxXxXxXP
n 个随机变量 相互独立 当且仅当 nXXX,,,21?(2)
)()()(),,,( 221121 nnn xfxfxfxxxf连续型,
离散型,
广东工业大学下页上页 返回若 和 相互独立,),,,( 21 mXXX? ),,,( 21 nYYY?
则 和 相互独立,),,2,1( miX i ),,2,1( niY i
若 是连续函数,gh,则 和 ),,,( 21 mXXXh? ),,,( 21 nYYYg?
8、随机变量独立性的进一步推广,
相互独立,
若对任意的 nm yyyxxx,,,,,,,2121有
),,,,,,,( 2121 nm yyyxxxF
),,,(),,,( 212211 nm yyyFxxxF
则称随机变量 和 相互独立。 ),,,( 21 mXXX? ),,,( 21 nYYY?
（ 1）
（ 2）
其中 依次为随机变量FFF,,21 ),,,,( 21 mXXX? ),,,( 21 nYYY?
),,,,,,,( 2121 nm YYYXXX的联合分布函数。和
