广东工业大学下页上页 返回第一章小结
§ 1 随机试验
§ 2 样本空间,随机事件
§ 3 频率与 概率
§ 4 等可能概型（古典概型）
§ 5 条件 概率
§ 6 独立性广东工业大学下页上页 返回主 要 内 容一、事件的关系与运算
１、样本空间：
把随机试验 E的所有可能结果组成的集合称为随机试验
E的 样本空间,记为 S（或?）。
２、样本点 (Sampling point):
样本空间的元素，即 E的每个可能的结果称为 样本点 。
3、随机事件（ Random event）,
在随机试验中,可能发生也可能不发生的事情称为 随机事件 。
（样本空间的子集称为 随机事件,简称为 事件 。）
广东工业大学下页上页 返回
4、事件发生当一次试验结果出现在这个集合时，即当一次试验结果
A 时，就称这次试验中 事件 Ａ 发生 。 否则称 Ａ 未发生。
即一次试验的结果为 时?
A 事件 Ａ 发生?
A 事件 Ａ 未发生?
5、事件的包含 (Inclusion relation)
如果事件 A发生时，事件 B一定发生。
,A 则 。）B（即若则称事件 B包含事件 A,记作
.BAAB 或 B A
S
即 Ａ 为 Ｂ
的子集。
广东工业大学下页上页 返回
6、事件的积 (Product of events)
“二事件 Ａ,Ｂ 同时发生”也是一个事件，称为事件 Ａ
与事件 Ｂ 的积事件（交事件）。记为,BA?
BA? ｛ Ａ 发生且 Ｂ 发生｝ },|{ BA 且
A B
BA? 简记为 AB
广东工业大学下页上页 返回
7、互不相容（互斥）事件 (Incompatible events)
如果 A,B不能在同一次试验同时发生,则称 A,B为互不相容事件 (或称 A,B互斥 ） 。
则 AB为不可能事件,.AB即若事件 Ａ 与 Ｂ 互斥，
ABBA 互斥与两两互斥,若一些事件中任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的。
A B
互不相容事件的关系广东工业大学下页上页 返回
8、事件的并（和） (Union of events)
“二事件 Ａ,Ｂ 至少发生一个”也是一个事件，称为事件 Ａ 与事件 Ｂ 的并事件（和事件）。记为,BA?
BA? ｛ Ａ 发生或 Ｂ 发生｝ },|{ BA 或
BA? 若 Ａ 与 Ｂ 互斥，常将
BA? 简记为,BA?A B
广东工业大学下页上页 返回
9、事件的差 (Difference of events)
,事件 A发生,但事件 B不发生,为一事件,称为 A与 B的差,
.BA?记为
}{ 不发生发生且 BABA }|{ BA 且
A B
S
BA?
广东工业大学下页上页 返回
10,对立事件 (Opposite events)
“事件 Ａ 不发生”是一个事件，称为 Ａ 的 对立事件 （或逆事件 ）,.A记为
}{ 不发生AA? }|{ AS 且AS
A A
Ｂ 为 Ａ 的对立事件，当且仅当
AB)1(
SBA)2(
广东工业大学下页上页 返回
11、事件间的运算法则
（ 1）交换律,ABBA
ABBA
（ 2）结合律,)()( CBACBA
)()( CBACBA
（ 3）分配律,)()()( CABACBA
)()()( CABACBA
BABA（ 4）摩根律（对偶律）：
BABA
广东工业大学下页上页 返回二,概率的定义及性质设 E是随机试验,S为它的样本空间。对于 E的每一事件 A赋于一个实数，记为 P(A)，称为事件 A的概率，如果集合函数 P(A)满足下列条件：
（ 1） 非负性,对任一事件 A,有
（ 2） 规范性,对必然事件 S,有
0)(?AP
1)(?SP
（ 3） 可列可加性,,,,,,21 两两不相容若事件 kAAA
即对,,2,1,,, jiAAji ji?则有
)()()()( 2121 kk APAPAPAAAP
1、定义广东工业大学下页上页 返回
2、概率的性质
（ 1） 0)(P
（ 2） 有限可加性 若 两两不相容，则有 nAAA,,,21?
)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP
（ 3） ),()()(,APBPABPBA 则有若 ).()( APBP?且有
（ 4） 减法公式 对任意两事件 A,B，有
)()()( ABPBPABP
（ 5）对任意事件 A，有 1)(0 AP
)(1)( APAP（ 6）对任意事件 A,有
).()()()( ABPBPAPBAP
（ 7）加法公式 对任意两事件 A,B有广东工业大学下页上页 返回
（ 8）加法公式的推广（三个的情形）
对三个事件,有,CBA,,
)()()()()( ABPCPBPAPCBAP
)()()( ABCPBCPACP
)( 21 nAAAP
nji
ji
n
i
i AAPAP
11
)()(
).()1()( 211
1 n
n
nkji kji
AAAPAAAP
对 n 个事件 有,,,,21 nAAA?
（ 9）加法公式的推广（任意 n个的情形）
广东工业大学下页上页 返回三、古典概型中的样本点数中所含的样本点数
S
A
n
kAP)(
试验的基本事件总数的有利场合数A?
广东工业大学下页上页 返回四、几何概型如果一个试验具有以下两个特点：
1、样本空间 S是一个大小可以计量的几何区域（如线段、
那么，事件 A的概率由下式计算：
2、向区域内任意投一点，落在区域内任意点处都是“等可平面、立体）；
能的”。
()
APA?
的的测度测度广东工业大学下页上页 返回定义 1 对事件,若BA,,0)(?AP 则称为事件 B在条件 A[发生 ]下的 条件概率,
)(
)()|(
AP
ABPABP? A发生的条件条件概率件下 B发生的五、条件概率六、乘法定理则有若,0)(?AP )|()()( ABPAPABP?
则有若,0)(?BP )|()()( BAPBPABP?
广东工业大学下页上页 返回六、乘法定理则有若,0)(?AP )|()()( ABPAPABP?
则有若,0)(?BP )|()()( BAPBPABP?
)( 21 nAAAP? )|()|()|()( 121213121 nn AAAAPAAAPAAPAP
(2) 若,则有 0)( 121nAAAP?
乘法定理的推广,
(1) 若 P(AB)>0,则有
)|()|()()( ABCPABPAPA B CP?
广东工业大学下页上页 返回设 S为 E的样本空间,A为 E的事件,nBBB,,,21?为 S的一个划分，且 ),,2,1(0)( niBP i 则有
)|()()|()()|()()( 2211 nn BAPBPBAPBPBAPBPAP
七、全概率公式八、贝叶斯公式设 满足下面条件 nBBB,,,21?
,ji BB njiji,,2,1,;(1)
SBBB n21(2)
则对任一具有正概率的事件 Ａ,有0)(?kBP ),,,2,1( nk且贝叶斯公式?
n
i
ii
kk
k
BAPBP
BAPBPABP
1
)|()(
)|()()|(
广东工业大学下页上页 返回九、事件的独立性
1、定义 对事件,若BA、
则称事件 与事件 是相互 统计独立的,A B 简称 独立 的。
P(AB)=P(A)P(B)
定理 1 若,则事件 与 独立的充分必要条件是0)(?AP A B
)()|( BPABP?
或
)()|( APBAP?
)0)((?BP
定理 2 若事件 与事件 独立，则下面三对事件均独立：A B
BA，BAB,A 与与与广东工业大学下页上页 返回
2、三个事件的独立性定义 3 若事件 A,B,C 满足下面三个条件
)()()( BPAPABP?
)()()( CPBPBCP?
)()()( CPAPACP?
)()()()( CPBPAPABCP?
则称三个事件 A,B,C 是两两独立的。
若 A,B,C还满足则称此三事件 A,B,C 是相互独立的。
广东工业大学下页上页 返回定义 若事件 A1,A2,…,An中任意两个事件相互独立，
)()()( jiji APAPAAP?
定义
3,n 个事件的独立性则称 两两独立 。nAAA,,,21?
即对于一切 1≤i< j≤n,有设 为 n个事件，若对于任意,nAAA,,,21? )1( nkk
,1 21 niii k及 都有
)()()()( 2121 kk iiiiii APAPAPAAAP
则称 相互独立 。nAAA,,,21?
广东工业大学下页上页 返回定理 6 设 是 n 个相互独立的事件，则有 nAAA,,,21?
nAAA,,,21?（ 1） 将 中任意个事件换成其逆事件，所得的 n个事件都是独立的。
)( 21 nAAAP
事件 都是相互独立的。 kiii AAA?21数,,,,,21 kiiik?
对多个事件的独立性，具有两个事件的独立性相同的性质：
（ 3） )()()(1 21 nAPAPAP
（ 2） 对满足条件 niii k211,1 nk 的任意正整广东工业大学下页上页 返回习题选讲广东工业大学下页上页 返回
4,设 A,B,C是三事件,且,41)()()( CPBPAP
,0)()( BCPABP
,81)(?ACP
求 A,B,C至少有一个发生的概率,
广东工业大学下页上页 返回
6,在房间里有 10个人,分别佩戴从 1号到 10号的纪念章,任选 3人记录其纪念章的号码,(1)求最小号码为 5的的概率,(2)求最大号码为 5的概率,
广东工业大学下页上页 返回
9,从 5双不同的鞋子中任取 4只,问这 4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?
广东工业大学下页上页 返回
11,将 3个球随机地放入 4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为 1,2,3的概率,
广东工业大学下页上页 返回
13.已知,5.0)(,4.0)(,3.0)( BAPBPAP 求 ).|( BABP?
广东工业大学下页上页 返回
14,已知,21)|(,31)|(,41)( BAPABPAP 求 ).( BAP?
)(),(),(),(),( BAPBAPBAPABPBP
广东工业大学下页上页 返回
16,据以往资料,某一 3口之家,患某种传染病的概率有以下规律,
P{孩子得病 }=0.6 P{母亲得病 |孩子得病 }=0.5
P{父亲得病 |母亲及孩子得病 }=0.4
求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率,
广东工业大学下页上页 返回
21,已知男子有 5%是色盲患者,女子有 0.25%是色盲患者,今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?
广东工业大学下页上页 返回
23,将两信息分别编码为 A和 B传递出去,接收站收到时,A被误收作 B的概率为 0.02,而 B被误收作 A的概率为 0.01.信息 A与信息 B传送的频繁程度为 2:1.若接收站收到的信息是 A,问原发信息是 A的概率是多少?
广东工业大学下页上页 返回
28,三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为
1/5,1/3,1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?
广东工业大学下页上页 返回例 1(05) 从数 1,2,3,4中任取一个数,记为 X,再从 1到 X中任取一个数,记为 Y,则 }2{YP
补充例题：
广东工业大学下页上页 返回例 2(97) 袋子中有 50个乒乓球,其中 20个是黄球,30个是白球,
今有两人依次地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个个取得黄球的概率为广东工业大学下页上页 返回例 3 设 A,B,C三个事件两两独立,则 A,B,C相互独立的充要条件为
(A) (B)
(C) (D)
A与 BC独立 AB与 A+B独立
AB与 BC独立 A+B与 A+C独立广东工业大学下页上页 返回例 4 已知随机变量 A,B,C满足且 A,B独立,A,C互不相容,则概率
.5.0)(,5.0)(,4.0)( CPBPAP
}|{ CABCAP?
广东工业大学下页上页 返回例 5 有两个盒子,第一个盒中装有 2个红球,1个黑球,第二盒是装有 2个红球,2个黑球,现从这两盒子中各任取一球放在一起,再从中任取一球,问,
(1) 这个球是红球的概率 ;
(2) 若发现这个球是红球,问第一盒中取出的球是红球的概率,
§ 1 随机试验
§ 2 样本空间,随机事件
§ 3 频率与 概率
§ 4 等可能概型（古典概型）
§ 5 条件 概率
§ 6 独立性广东工业大学下页上页 返回主 要 内 容一、事件的关系与运算
１、样本空间：
把随机试验 E的所有可能结果组成的集合称为随机试验
E的 样本空间,记为 S（或?）。
２、样本点 (Sampling point):
样本空间的元素，即 E的每个可能的结果称为 样本点 。
3、随机事件（ Random event）,
在随机试验中,可能发生也可能不发生的事情称为 随机事件 。
（样本空间的子集称为 随机事件,简称为 事件 。）
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4、事件发生当一次试验结果出现在这个集合时，即当一次试验结果
A 时，就称这次试验中 事件 Ａ 发生 。 否则称 Ａ 未发生。
即一次试验的结果为 时?
A 事件 Ａ 发生?
A 事件 Ａ 未发生?
5、事件的包含 (Inclusion relation)
如果事件 A发生时，事件 B一定发生。
,A 则 。）B（即若则称事件 B包含事件 A,记作
.BAAB 或 B A
S
即 Ａ 为 Ｂ
的子集。
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6、事件的积 (Product of events)
“二事件 Ａ,Ｂ 同时发生”也是一个事件，称为事件 Ａ
与事件 Ｂ 的积事件（交事件）。记为,BA?
BA? ｛ Ａ 发生且 Ｂ 发生｝ },|{ BA 且
A B
BA? 简记为 AB
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7、互不相容（互斥）事件 (Incompatible events)
如果 A,B不能在同一次试验同时发生,则称 A,B为互不相容事件 (或称 A,B互斥 ） 。
则 AB为不可能事件,.AB即若事件 Ａ 与 Ｂ 互斥，
ABBA 互斥与两两互斥,若一些事件中任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的。
A B
互不相容事件的关系广东工业大学下页上页 返回
8、事件的并（和） (Union of events)
“二事件 Ａ,Ｂ 至少发生一个”也是一个事件，称为事件 Ａ 与事件 Ｂ 的并事件（和事件）。记为,BA?
BA? ｛ Ａ 发生或 Ｂ 发生｝ },|{ BA 或
BA? 若 Ａ 与 Ｂ 互斥，常将
BA? 简记为,BA?A B
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9、事件的差 (Difference of events)
,事件 A发生,但事件 B不发生,为一事件,称为 A与 B的差,
.BA?记为
}{ 不发生发生且 BABA }|{ BA 且
A B
S
BA?
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10,对立事件 (Opposite events)
“事件 Ａ 不发生”是一个事件，称为 Ａ 的 对立事件 （或逆事件 ）,.A记为
}{ 不发生AA? }|{ AS 且AS
A A
Ｂ 为 Ａ 的对立事件，当且仅当
AB)1(
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11、事件间的运算法则
（ 1）交换律,ABBA
ABBA
（ 2）结合律,)()( CBACBA
)()( CBACBA
（ 3）分配律,)()()( CABACBA
)()()( CABACBA
BABA（ 4）摩根律（对偶律）：
BABA
广东工业大学下页上页 返回二,概率的定义及性质设 E是随机试验,S为它的样本空间。对于 E的每一事件 A赋于一个实数，记为 P(A)，称为事件 A的概率，如果集合函数 P(A)满足下列条件：
（ 1） 非负性,对任一事件 A,有
（ 2） 规范性,对必然事件 S,有
0)(?AP
1)(?SP
（ 3） 可列可加性,,,,,,21 两两不相容若事件 kAAA
即对,,2,1,,, jiAAji ji?则有
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1、定义广东工业大学下页上页 返回
2、概率的性质
（ 1） 0)(P
（ 2） 有限可加性 若 两两不相容，则有 nAAA,,,21?
)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP
（ 3） ),()()(,APBPABPBA 则有若 ).()( APBP?且有
（ 4） 减法公式 对任意两事件 A,B，有
)()()( ABPBPABP
（ 5）对任意事件 A，有 1)(0 AP
)(1)( APAP（ 6）对任意事件 A,有
).()()()( ABPBPAPBAP
（ 7）加法公式 对任意两事件 A,B有广东工业大学下页上页 返回
（ 8）加法公式的推广（三个的情形）
对三个事件,有,CBA,,
)()()()()( ABPCPBPAPCBAP
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nji
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11
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对 n 个事件 有,,,,21 nAAA?
（ 9）加法公式的推广（任意 n个的情形）
广东工业大学下页上页 返回三、古典概型中的样本点数中所含的样本点数
S
A
n
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试验的基本事件总数的有利场合数A?
广东工业大学下页上页 返回四、几何概型如果一个试验具有以下两个特点：
1、样本空间 S是一个大小可以计量的几何区域（如线段、
那么，事件 A的概率由下式计算：
2、向区域内任意投一点，落在区域内任意点处都是“等可平面、立体）；
能的”。
()
APA?
的的测度测度广东工业大学下页上页 返回定义 1 对事件,若BA,,0)(?AP 则称为事件 B在条件 A[发生 ]下的 条件概率,
)(
)()|(
AP
ABPABP? A发生的条件条件概率件下 B发生的五、条件概率六、乘法定理则有若,0)(?AP )|()()( ABPAPABP?
则有若,0)(?BP )|()()( BAPBPABP?
广东工业大学下页上页 返回六、乘法定理则有若,0)(?AP )|()()( ABPAPABP?
则有若,0)(?BP )|()()( BAPBPABP?
)( 21 nAAAP? )|()|()|()( 121213121 nn AAAAPAAAPAAPAP
(2) 若,则有 0)( 121nAAAP?
乘法定理的推广,
(1) 若 P(AB)>0,则有
)|()|()()( ABCPABPAPA B CP?
广东工业大学下页上页 返回设 S为 E的样本空间,A为 E的事件,nBBB,,,21?为 S的一个划分，且 ),,2,1(0)( niBP i 则有
)|()()|()()|()()( 2211 nn BAPBPBAPBPBAPBPAP
七、全概率公式八、贝叶斯公式设 满足下面条件 nBBB,,,21?
,ji BB njiji,,2,1,;(1)
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则对任一具有正概率的事件 Ａ,有0)(?kBP ),,,2,1( nk且贝叶斯公式?
n
i
ii
kk
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BAPBP
BAPBPABP
1
)|()(
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广东工业大学下页上页 返回九、事件的独立性
1、定义 对事件,若BA、
则称事件 与事件 是相互 统计独立的,A B 简称 独立 的。
P(AB)=P(A)P(B)
定理 1 若,则事件 与 独立的充分必要条件是0)(?AP A B
)()|( BPABP?
或
)()|( APBAP?
)0)((?BP
定理 2 若事件 与事件 独立，则下面三对事件均独立：A B
BA，BAB,A 与与与广东工业大学下页上页 返回
2、三个事件的独立性定义 3 若事件 A,B,C 满足下面三个条件
)()()( BPAPABP?
)()()( CPBPBCP?
)()()( CPAPACP?
)()()()( CPBPAPABCP?
则称三个事件 A,B,C 是两两独立的。
若 A,B,C还满足则称此三事件 A,B,C 是相互独立的。
广东工业大学下页上页 返回定义 若事件 A1,A2,…,An中任意两个事件相互独立，
)()()( jiji APAPAAP?
定义
3,n 个事件的独立性则称 两两独立 。nAAA,,,21?
即对于一切 1≤i< j≤n,有设 为 n个事件，若对于任意,nAAA,,,21? )1( nkk
,1 21 niii k及 都有
)()()()( 2121 kk iiiiii APAPAPAAAP
则称 相互独立 。nAAA,,,21?
广东工业大学下页上页 返回定理 6 设 是 n 个相互独立的事件，则有 nAAA,,,21?
nAAA,,,21?（ 1） 将 中任意个事件换成其逆事件，所得的 n个事件都是独立的。
)( 21 nAAAP
事件 都是相互独立的。 kiii AAA?21数,,,,,21 kiiik?
对多个事件的独立性，具有两个事件的独立性相同的性质：
（ 3） )()()(1 21 nAPAPAP
（ 2） 对满足条件 niii k211,1 nk 的任意正整广东工业大学下页上页 返回习题选讲广东工业大学下页上页 返回
4,设 A,B,C是三事件,且,41)()()( CPBPAP
,0)()( BCPABP
,81)(?ACP
求 A,B,C至少有一个发生的概率,
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6,在房间里有 10个人,分别佩戴从 1号到 10号的纪念章,任选 3人记录其纪念章的号码,(1)求最小号码为 5的的概率,(2)求最大号码为 5的概率,
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9,从 5双不同的鞋子中任取 4只,问这 4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?
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11,将 3个球随机地放入 4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为 1,2,3的概率,
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13.已知,5.0)(,4.0)(,3.0)( BAPBPAP 求 ).|( BABP?
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14,已知,21)|(,31)|(,41)( BAPABPAP 求 ).( BAP?
)(),(),(),(),( BAPBAPBAPABPBP
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16,据以往资料,某一 3口之家,患某种传染病的概率有以下规律,
P{孩子得病 }=0.6 P{母亲得病 |孩子得病 }=0.5
P{父亲得病 |母亲及孩子得病 }=0.4
求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率,
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21,已知男子有 5%是色盲患者,女子有 0.25%是色盲患者,今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?
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23,将两信息分别编码为 A和 B传递出去,接收站收到时,A被误收作 B的概率为 0.02,而 B被误收作 A的概率为 0.01.信息 A与信息 B传送的频繁程度为 2:1.若接收站收到的信息是 A,问原发信息是 A的概率是多少?
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28,三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为
1/5,1/3,1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?
广东工业大学下页上页 返回例 1(05) 从数 1,2,3,4中任取一个数,记为 X,再从 1到 X中任取一个数,记为 Y,则 }2{YP
补充例题：
广东工业大学下页上页 返回例 2(97) 袋子中有 50个乒乓球,其中 20个是黄球,30个是白球,
今有两人依次地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个个取得黄球的概率为广东工业大学下页上页 返回例 3 设 A,B,C三个事件两两独立,则 A,B,C相互独立的充要条件为
(A) (B)
(C) (D)
A与 BC独立 AB与 A+B独立
AB与 BC独立 A+B与 A+C独立广东工业大学下页上页 返回例 4 已知随机变量 A,B,C满足且 A,B独立,A,C互不相容,则概率
.5.0)(,5.0)(,4.0)( CPBPAP
}|{ CABCAP?
广东工业大学下页上页 返回例 5 有两个盒子,第一个盒中装有 2个红球,1个黑球,第二盒是装有 2个红球,2个黑球,现从这两盒子中各任取一球放在一起,再从中任取一球,问,
(1) 这个球是红球的概率 ;
(2) 若发现这个球是红球,问第一盒中取出的球是红球的概率,
