动能定理
※ 力的功
※ 质点和质点系的动能
※ 动能定理
※ 势力场 ·势能 ·机械能守恒定律
※ 功率 ·功率方程 ·机械效率
※ 质点系普遍定理的综合应用
※ 结论与讨论
Mf2Mf1
F1
F2
FN2FN1
Fr
maC = F1 - F2 - Fr
C
W
从汽车的驱动问题看动量方法与能量方法从动量定理提供的方法，分析汽车的驱动力
F1 － 汽车行驶的驱动力
F1 >F2 ＋ Fr
汽车向前行驶
从汽车的驱动问题看动量方法与能量方法如果发动机的功率很小而摩擦力很大如果发动机的功率很大而摩擦力很小如何评价发动机功率对驱动汽车行驶的作用？
§ 14-1 力的功
a,常力的功
b,变力的功
F
M
M1 M2?
SsFWc o s
功是代数量，其国际单位制为 J（焦耳）。
dsFW c o s?
s dsFW 0 c o s?
2
1
M
M
dW
dW
rF
rF?
kjir
kjiF
dzdydxd
FFF zyx
2
1
)(12
M
M zyx
dzFdyFdxFW
2
1
M
M
dtW
dtdW
vF
vFrF?
c,几种常见力的功
（ 1）重力的功
x mgZ,Y,X 00
21 )( 2112 zz zzmgm g d zW
重力作功仅与质点运动始末位置的高度差有关，
与运动轨迹形状无关。
)( 2112 iii zzgmW
)( 2112 CC zzmgW
质点系：
（ 2）弹性力的功
kF?
00 )( rF lrk
2
1
00
12
)(
A
A
A
A
dlrk
dW 2
1
rr
rF
drrdrdrdrdr )(2 1)(2 1 20 rrrrr
])()[(2)( 202201012 2
1
lrlrkdrlrkW r
r
)(
2
2
2
2
112
kW
（ 3）定轴转动刚体上作用力的功
y
x
z
r
A
F
Fxy
F
nF
A
rdFdsFdW rF
rFM z)( F
dMW z?
dMW z 2
1
12
（ 4）平面运动刚体上力系的功
Mi
C
Fi
drC
driC
d?
icCi ddd rrr
iCiCi
ii
dd
dW
rFrF
rF
dM
dCMFd
iC
iiiCi
)(
c o s
F
rF
dMd
dMdWW
CCR
iCCii
rF
FrF )(
dMdW CC
C CR
2
1
2
1
12 rF
§ 14-2 质点和质点系的动能质点的动能
2
2
1 mvT?
i
ii vmT
2
2
1
质点系的动能动能和动量都是表征机械运动的量，前者与质点速度的平方成正比，是一个标量；后者与质点速度的一次方成正比，是一个矢量，它们是机械运动的两种度量。动能与功的量纲相同，也为 J 。
刚体的动能
a,平动刚体的动能
b,定轴转动刚体的动能
222
2
1
2
1
2
1
CiC
i
ii mvmvvmT
vi
ri
mi
y
x
z
2
22
22
2
1
2
1
)(
2
1
2
1
z
i
i
i
i
i
i
i
ii
J
rm
rmvmT
c,平面运动刚体的动能
P
C
d
221?PJT? 2mdJJ CP
vC
222 )(
2
1
2
1 mdJJT
CP
dv C?
22
2
1
2
1?
CC JmvT
C vC 22
2
1
2
1?
CC JmvT
RvmRJ CC,21 2
2
4
3
CmvT?
§ 14-2 动能定理
1,质点的动能定理
Fv?dtdm rFrv dddtdm rFvv ddm
Wmvd)21( 2
12
2
1
2
2 2
1
2
1 Wmvmv
dvvddd )(21)(21 2vvvv
2,质点系的动能定理
iii Wvmd)2
1( 2
iii Wvmd )2
1( 2
iWdT
iWTT 12
质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和 微分形式 。
质点系在某一段运动过程中动能的改变量，等于作用于质点系全部力所作功的和 积分形式。
3,理想约束约束反力作功等于零的约束 理想约束 。
′F
dr
O
A
B F1
dr1
dr2
F2
O
F?1
2
0 rFrF ddW?
0
c o sc o s 222111
2211
drFdrF
ddW rFrF
C
F
FN
0tddW vFrF?
4,内力的功
ABAB rrr
ABAB rrr ddd
FA 和 FB 在 drA 和 drB 上所作之元功
BBAAW rFrF ddd i
)d( - d BAB rrF
)-d( ABB rrF
ABB rF d
O
x
z
y
FA
FB
A
B
rA
rB
这一结果表明,当两点之间的距离发生变化时，
这两点之间的内力所作之元功不等于零。
工程上几种内力作功的情形
◆ 作为整体考察，所有发动机的内力都是有功力。例如汽车内燃机工作时，气缸内膨胀的气体质点之间的内力；气体质点与活塞之间的内力；气体质点与气缸内壁间的内力；这些内力都要作功。
◆ 有相对滑动的两个物体之间的摩擦力作负功。
对于简单的刚体系统，将力分为主动力和约束反力，
当其为理想约束时，约束反力不作功。
)(
12
主
iWTT
例 题 1 已知,摩擦阻力为车重的 0.2倍，空车重 G0求,G/G
0 =？
解,取车研究对象，设弹簧的最大变形为?m
(1) 车下滑到弹簧压缩至最大
2
12 2)(2.030s i n)( mmm
klGlGW
30°
(2) 车卸料后又弹回原位置，由动能定理得
2
00 2)(2.030s i n)(00 mmm
klGlG
由动能定理得
2
2)(2.030s i n)(00 mmm
klGlG
3
7
2.030s in
2.030s in
0
G
G解得：
O
P
W
v
例 题 2 均质圆轮半径为 R,质量为 m,圆轮对转轴的转动惯量为 J
O。圆轮在重物 P带动下绕固定轴 O转动，
已知重物重量为 W。
求,重物下落的加速度?
s
解,取系统为研究对象
22
2
1
2
1
2
1
0
OJv
g
W
T
T
主动力的功：
R
v
WsW?12
由动能定理得,Wsv
R
Jv
g
W O 0
2
1
2
1 2
2
2
将上式对时间求导，并注意
vdtdsadtdv,
O
P
W
v
s
由动能定理得,Wsv
R
Jv
g
W O 0
2
1
2
1 2
2
2
将上式对时间求导，并注意
vdtdsadtdv,
)( 2
2
R
g
W
J
WR
a
O?
解得：
例 题 3 已知,m,R,f,?。
求,纯滚时盘心的加速度。
C
FN
mg
vC
F解,取系统为研究对象
s
22
2
1
2
1
2
1
0
CC JmvT
T
R
v
主动力的功,?s in
12 m g sW?
由动能定理得：
s in043 2 m g smv C
2
2 4
3
CmvT?
s in32 ga?
解得：
例 题 4
求,轴 Ⅰ 的角加速度。
已知,J1,J2,R1,R2,i12 = R2 / R1
M1,M2。
Ⅰ
Ⅱ
M1
M2解,取系统为研究对象
2
22
2
112
1
2
1
2
1
0
JJT
T
2
1
1
2
12
2
1
R
Ri
由运动学可知：
2
12
12
2
12 )(2
1?
i
JJT
主动力的功：
1
12
2
1221112 )( i
MMMMW
Ⅰ
Ⅱ
M1
M2
由动能定理得：
1
12
2
1
2
12
12
2
1 )(0)(2
1
i
MM
i
JJ
将上式对时间求导，并注意
1
1
1
1,
dt
d
dt
d
解得：
)()( 2
12
2
1
12
2
11 i
J
J
i
M
M
例 题 5
B
A
C
P
mg vC
解,取杆为研究对象
22
2
1
2
1
2
1
0
CC JmvT
T
2lv c?
22
2 6
1?mlT?
主动力的功：
)s in( s in2 012 lmgW
由动能定理得,)s i n( s i n
206
1
0
22 lmgml
)s in( s in3 0
l
g解得：
B
A
C
P
mg vC
由动能定理得,)s i n( s i n
206
1
0
22 lmgml
)s in( s in3 0
l
g解得：
将方程对时间求导，并注意
dtddtd,
c os
2
3
l
g?解得：
A B
B
A
O
例 题 6
已知,两均质杆质量为 m,长度为 l,
轮 B 质量为 m 。
求,轮 B 的速度。
解,取系统为研究对象
vB
vA
AB
由运动学可知,AB杆速度瞬心在 A点
222
2
1
3
2
2
1
2
1
0
BABAB mvJmvT
T
主动力的功：
m g llmglmglmgW 4223212
由动能定理得：
m g lvml B 4032 22
glv B 6?
解得：
例 题 7
O
B
C
D
A
m1g
s
v
解,取系统为研究对象
22
12
1
2
1
2
1
0
PJvmT
T
P
rR
v
由运动学可知：
2222 RmmJ P
主动力的功,gsmW 112?
2
2
22
212 ))((2
1 v
rR
RmmT
由动能定理得：
gsmv
rR
Rmm
1
2
2
22
21 0))((2
1
O
B
C
D
A
m1g
s
v
P
由动能定理得：
gsmv
rR
Rmm
1
2
2
22
21 0))((2
1
)()(
)(
22
2
2
1
2
1
RmrRm
rRgma
A
解得：
O
C
B
P
O
A C
B
P
F
例 题 8
已知,轮 O 质量为 m,P,f 。
求,轮 O 移动距离 S 时轮的角速度、角加速度。
FT
FN
mg
解,取轮 O 为研究对象
22
2222
2
1
4
3
)
2
1
(
2
1
2
1
0
mR
mRmRJT
T
C
主动力的功,m g f sPsW 212
由动能定理得：
m g f sPsmR 2043 22
O
C
B
P
O
A C
B
P
F
FT
FN
mg
由动能定理得：
m g f sPsmR 2043 22
)2(
3
2 m g fP
m
s
R
解得：
)(
3
2 m g fP
mR
关于摩擦力的作功
0
O FN
FM
功是力与其作用点位移的点乘。这里“位移”并不是力作用点在空间中的位移，而是指受力物体上受力作用那一点的位移。
C
M
F
§ 14-4 功率 ·功率方程 ·机械效率
1,功 率力的功率 － 力所作之功对时间的变化率
vFttWP vFrF ddd
力的功率等于切向力与其作用点速度的标积。
MdtdMtWP d
作用在转动刚体上的力矩或力偶矩的功率等于力矩或力偶矩与刚体转动角速度的标积。
2,功 率 方 程质点系动能定理的微分形式
i
iWT dd ＝
等式两边同除以 dt
i
i
i
i P
t
W
t
T
d
d
d
d ＝
质点系动能对时间的一阶导数等于作用在系统上所有有功力的功率之代数和。
—— 功率方程无用有用输入 －－＝ PPPt
T
d
d
输入P
有用P
无用P
—— 输入功率
—— 有用功率，输出功率
—— 无用功率，损耗功率
3,机 械 效 率输入功率有效功率
dt
dTP
有用有效功率
n21 —— 系统的总效率例 题 9 车床电动机的功率 P输入 ＝ 5.4 kW 。传动零件之间的磨擦损耗功率为输入功率的 30％ 。 工件的直径 d＝
100 mm。
求,转速 n=42 r/min 和 n =112 r/min 的允许最大切削力。
例 题 9 车床电动机的功率 P输入 ＝ 5.4 kW 。传动零件之间的磨擦损耗功率为输入功率的 30％ 。 工件的直径 d＝
100 mm。
求,转速 n=42 r/min 和 n =112 r/min 的允许最大切削力。
解,车床正常工作时，工件匀速旋转，动能无变化
0dd ＝tT 无用输入有用 －＝ PPP
kW45,＝输入P kW62130,%输入无用 ＝ PP
其中
kW783,?无用输入有用 －＝ PPP
切削力 F 与工件在切削力作用点的速度 v 同向
30
π
2
ndFFvP vF＝
有用 有用PdnF π
60?
例 题 9 车床电动机的功率 P输入 ＝ 5.4 kW 。传动零件之间的磨擦损耗功率为输入功率的 30％ 。 工件的直径 d＝
100 mm。
求,转速 n=42 r/min 和 n =112 r/min 的允许最大切削力。
切削力 F 与工件在切削力作用点的速度 v 同向
30
π
2
ndFFvP vF＝
有用 有用PdnF π
60?
当 n = 42 r/min 时
kN1917783420,1π 60,,F
当 n = 112 r/min 时
kN4567832110,1π 60,,F
B
A
E
例 题 10 已知,轮 A 质量为 m2,R,杆 AB 质量 m1,长 l。
求,?=45° 点 A在初 瞬时的加速度。
m2g
AB
E
B
A
C
vB
vA vE
解,取系统为研究对象，在任意角?时
m1g
s inl
v
AC
v AA
AB
由运动学可知：
s in2
A
ABE
vCEv
R
v A
2
2
1
2
22
1
2
1
22
2
2
2
)
s i n
2
9(
12
1
12
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
A
ABE
A
v
m
m
lmvm
RmvmT
系统总动能：
B
A
E
m2g
AB
E
B
A
C
vB
vA vE
m1g
2
2
1
2 )s in
29(
12
1
Av
mmT
系统的总功率, c o t
2c o s 11
A
E
vgmvgmP
代入功率方程,
i
i
i
i P
t
W
t
T
d
d
d
d ＝
c ot
2
1
]
s i n
c os
2)9
s i n
2
([
6
1
1
4
12
22
1
A
AAA
gvm
v
l
m
vm
m
a
注意到?和 vA 都是 t 的函数，且有：
s inl
v
dt
d A
AB
B
A
E
m2g
AB
E
B
A
C
vB
vA vE
m1g
22
1
4
2
11
9
s i n
2
s i n
c o s
2c o t3
m
m
l
vmgm
a
A
A
注意到 初瞬时,vA =0,?=?=45°
21
1
94
3
mm
gma
A
c ot
2
1
]
s i n
c os
2)9
s i n
2
([
6
1
1
4
12
22
1
A
AAA
gvm
v
l
m
vm
m
a
§ 14-5 势力场 ·势能 ·机械能守恒定律
1,势 力 场如果一物体在某空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间称为 —— 力场。
如果物体在某力场内运动，作用于物体的力所作的功只与力作用点的初始位置和终了位置有关，而与该点的轨迹形状无关，这种力场称为 —— 势力场（保守力场）。
2,势 能在势力场中，质点从点 M运动到任选的点 M0，有势力所作的功称为质点在点 M相对于点 M0的势能，以 V 表示为
00 )(MMMM Z d zY d yX d xdV rF
a,重力场中的势能
b,弹性力场中的势能取 M0为零势能点，则点 M 的势能为：
)( 00 zzmgm g d zV zz
)(2 202 kV
取弹簧自然位置为零势能点，则有：
2
2?
kV?
c,万有引力场中的势能
)
11
(
1
2
2
02
2100
rr
mmfdr
r
mfm
d
r
mfm
dV
1
r
r 2
1
A
A
A
A
1
rrrF
取无穷远处为零势能点，则有：
r
mmfV 1 2
★ 有势力所作的功等于质点系在运动过程的初始与终了位置的势能的差。
2112 VVW
3,机械能守恒定律
● 保守系统 — 仅在有势力作用下的系统。
● 机械能 — 系统所具有的动能与势能的总称。
● 机械能守恒 — 系统仅在有势力作用下运动时，
其机械能保持恒定。
2211 VTVT ＋＝＋
常数 EVT
动力学普遍定理动量定理动量矩动量动能定理动量方法能量方法
§ 14-6 质点系普遍定理的综合应用动力学两类问题与分析程序主动力 质点系运动质点系运动 动约束力非自由质点系一般分析程序：
先避开未知约束力，求解运动量；
然后再现在合适的定理，确定动约束力。
动力学两类问题与分析程序需要特别注意自由度的概念，注意分析约束的性质确定,系统是单自由度还是多自由度；
是一处约束还是多处约束；
是理想约束还是非理想约束。
对于具有理想约束，特别是具有多处约束的一个自由度系统，
一般先应用动能定理分析运动，然后再采用动量定理或动量矩定理，确定动约束力。
对于具有一处约束的系统，或者虽然具有多处约束的系统，
但所要求的是瞬时二阶运动量和未知约束力，这时可以联合应用动量定理和动量矩定理。
对于二自由度系统或多自由度系统，需要综合应用动能定理、动量定理、动量矩定理。这种情形下需要特别注意系统的守恒情形。
B
O2
例 题 11
A
O1
30o D
W
W
W
M
均质圆轮 A和 B的半径均为 r，圆轮 A和 B以及物块 D的重量均为 W，圆轮 B上作用有力偶矩为 M
的力偶，且 3Wr/2> M>Wr/2。圆轮 A在斜面上作纯滚动。不计圆轮 B的轴承的摩擦力。
求,1、物块 D的加速度；
2、二圆轮之间的绳索所受拉力；
3、圆轮 B处的轴承约束力。
B
O2
A
O1
30o D
W
W
W
M
解,首先，讨论系统的自由度、
约束以及广义坐标的选择。
自由度,1
约束,多约束广义坐标：
sD
O
sD
解,1、确定物块的加速度对系统整体应用动能定理
i iWTT ＝－ 12
2222
2 12 2
1
2
1
2
1
2
1
AOAABODD JvmJvmT＝
MGADi i WWWW
1
222222 )
2
1(
2
1
2
1)
2
1(
2
1
2
1 Tr
g
Wv
g
Wr
g
Wv
g
W
AABD
BDD MsWWss in 3 0
B
O2
A
O1
30o D
W
W
W
M
sD
O
解,1、确定物块的加速度
1
222222 )
2
1(
2
1
2
1)
2
1(
2
1
2
1 Tr
g
Wv
g
Wr
g
Wv
g
W
AABD
BDD MsWWss in 3 0
将所有运动量都表示成广义坐标 sD 的形式
r
s
r
vsvv DD
BADAD
,
DD s
W
r
MTv
g
W )
2(2
3
1
2
为求物块的加速度，将等式两边对时间求一阶导数，得到
DDD v
W
r
Mav
g
W )
2(3 gW
W
r
M
a D 3 2
当 M>Wr/2,aD>0，物块向上运动
D
B
O2
W
W
FT
FBy
FBx
M
解,2、确定圆轮 A和 B之间绳索的拉力
A
O1 D
W
M
B
O2
30o
W
W
解除圆轮 B轴承处的约束，将 AB段绳索截开，对圆轮
B、绳索和物块 D组成的局部系统应用动量矩定理
rFWMragWrgW DB )(21 T2
根据运动学关系 BD ra?＝
T2
3 FW
r
Ma
g
W
D )2
3(
2
1
T r
MWF
。,不合理时时，,023;023 TT FWrMFWrM
D
B
O2
W
W
FT
FBy
FBx
M
解,3、确定圆轮 B轴承处的动约束力对圆轮 B、绳索和物块 D组成的局部系统应用质心运动定理
30s in2
30c o s0
T
T
FWFa
g
W
FF
ByD
Bx
)
2
53
(
12
1
)
2
3
(
4
3
30c o sT
r
MW
F
r
M
WFF
By
Bx
A
O
30°
C
例 题 12
均质圆盘 O放置在光滑的水平面上，质量为 m，半径为 R，匀质细杆 OA长为 l，质量为 m。开始时杆在铅垂位置，且系统静止。
求,杆运动到图示位置时的角速度。
解,首先，讨论系统的自由度、
约束以及广义坐标的选择。
自由度,2
约束,多约束广义坐标,xO,?
x
A
O
30°
C
Ov
解,取系统为研究对象，因轮置于光滑面上，固其作平动。设其速度为 vO。杆转动的角速度为?。
A
O
30°
C
Ov
Ov
vCA
对系统整体应用动能定理
i iWTT ＝－ 12
222
2 2
1
2
1
2
1
CCO mvJmvT＝
m g llmgW
i
i 4
1)30s in1(
2
由刚体的平面运动分析得
lvlvvvvvv OOCAOCAOC 214160c o s2 222222
OO vmlmlmvT 4
1
6
1 222
2＝
A
O
30°
C
Ov
A
O
30°
C
Ov
Ov
vCA
m g lvmlmlmvTT OO 414161 22212＝
由系统在水平方向的动量守恒得
0)60c o s2(lvmmv OO
lv O 81?
将 vO 代入动能定理方程可解得
l
g
29
34
结论与讨论
关于动量和动能的再讨论
正确计算刚体平面运动时的动能
速度 (角速度 )分析与动能计算
关于三个动力学定理的综合应用
关于动能定理与机械能守恒
关于溜溜球与人造卫星的溜溜消旋关于汽车驱动问题的结论发动机给出的主动力偶克服阻力和阻力偶作功使汽车的动能增加；
与汽车行驶方向相同的摩擦力克服方向相反的摩擦力与空气的阻力使汽车的动量增加。
如果路面很滑，摩擦力很小，发动机功率再大汽车也只能打滑，而不能向前行驶；反之，如果路面很粗糙，摩擦力可以很大，而发动机不能发出足够大的功率，汽车同样不能向前行驶。
结论与讨论? 关于动量和动能的再讨论运动员跑步时，脚底与地面之间的摩擦力并不作功，其作用是使运动员的动量增加；小腿的肌肉 (比目鱼肌 )收缩产生内力而作功，使运动员的动能增加。二者都是运动员跑步前进的驱动力。
结论与讨论? 关于动量和动能的再讨论应用动能定理时，很重要的是，正确计算系统的动能。特别是正确计算刚体平面运动的动能。
因此，要正确应用柯希尼定理。
i
iiCi TTvmvmT re
2
r
2
i 2
1)(
2
1
质点系的动能 (绝对运动动能 )，等于系统跟随质心平移的动能 (牵连运动动能 )与相对于质心平移系运动的动能 (相对运动动能 )之和。
结论与讨论? 正确计算刚体平面运动时的动能
A
B
O x
x
AA xv
均质杆 AB长度为 l、质量为 m,A 端与小圆滚轮铰接，小圆滚轮的重量不计。广义坐标 q=(x,?) 。 请判断关于系统动能的下列表达式是否正确：
2
2
1
2
1
AAAB JxmT
结论与讨论? 正确计算刚体平面运动时的动能
O
R
r
0
C *
行星轮机构中，小圆轮的质量为 m。
请判断关于小圆轮动能的下列表达式是否正确？
0
2
2
1
r
rRJT
AAC
＋,
结论与讨论? 正确计算刚体平面运动时的动能计算动能必须正确确定速度或角速度。为此需要首先分析运动，进而选择相应的方法计算速度或角速度。
确定速度和角速度的方法
点的运动学分析方法 —— 选择合适的描述点的运动坐标系，写出的运动方程或方程组，再将方程或方程组对时间求一次导数，即得点的速度。
点的复合运动分析方法 —— 正确选择动点和动系，确定牵连速度、相对速度和绝对速度。
刚体平面运动分析方法 —— 建立在速度合成定理基础上的基点法、速度投影法、瞬时速度中心法。
结论与讨论? 速度 (角速度 )分析与动能计算确定速度和角速度的方法
C
A
r 半径为 r的大圆环，不计质量，
绕 O轴旋转。大圆环上套有质量为 m的小圆环 A。小圆环在光滑的大圆环上自由滑动。
怎样确定小圆环的速度，进而确定其动能？
O
x
y
结论与讨论? 速度 (角速度 )分析与动能计算墙面地面
A
B
l,mvA
O
x
y
长度为 l，质量为 m的均质杆件 AB，
杆件两端 A和 B分别沿光滑的墙面和地面滑动,A端的速度为 vA。
怎样确定杆件 AB的速度，
进而确定其动能？
确定速度和角速度的方法结论与讨论? 速度 (角速度 )分析与动能计算动量定理、动量矩定理和动能定理的比较
动量定理、动量矩定理和动能定理都是描述质点系整体运动的变化与质点系所受的作用力之间的关系。
整体运动的变化 所受的作用力动 量 定 理动 能 定 理动量矩定理动 量 力 (冲量 )
动量矩 力 矩动 能 力 的 功
动量定理、动量矩定理和动能定理都可以用于求解动力学的两类基本问题。
结论与讨论? 关于几个动力学定理的综合应用动量定理、动量矩定理和动能定理的比较
动量定理、动量矩定理一般限于研究物体机械运动范围内的运动变化问题。
动能定理可以用于研究机械运动与其他运动形式之间的运动转化问题。
结论与讨论? 关于几个动力学定理的综合应用
关于几个动力学定理的综合应用动量定理、动量矩定理和动能定理的比较
动量定理、动量矩定理的表达式为矢量形式，
描述质点系整体运动时，不仅涉及有关运动量的大小，而且涉及运动量的方向。
动能定理的表达式为标量形式，描述质点系整体运动时，不涉及运动量的方向，无论质点系如何运动，动能定理只能提供一个方程 。
动量定理、动量矩定理的表达式中含有时间参数。
动能定理的表达式中含有路程参数。
结论与讨论动量定理、动量矩定理和动能定理的比较
动量定理、动量矩定理的表达式中只包含外力，而不包含内力 (内力的主矢和主矩均为零 )
动能定理的表达式中可以包含主动力和约束力，主动力中可以是外力，也可以是内力 (可变质点系 ) ；对于理想约束，则只包含主动力。
关于几个动力学定理的综合应用结论与讨论动量定理、动量矩定理和动能定理的比较
分析和解决复杂系统的动力学问题时，选择哪一个定理的原则是：
1、所要求的运动量在所选择的定理中能不能比较容易地表达出来；
2、在所选择的定理表达式中，不出现相关的未知力。
对于由多个刚体组成的复杂系统，求解动力学问题时，如果选用动量定理或动量矩定理，需要将系统拆开，不仅涉及的方程数目比较多，而且会涉及求解联立方程。
如果选用动能定理，对于受理想约束的系统，可以不必将系统拆开，而直接对系统整体应用动能定理，建立一个标量方程，求得速度或加速度 (角速度或角加速度 )。
关于几个动力学定理的综合应用结论与讨论
B
C
动量定理、动量矩定理和动能定理的比较
A
W
W
k,l0
O
x
x
为求物块 A下降至任意位置 (x)时的加速度，可以采用哪一个动力学定理？
W
关于几个动力学定理的综合应用结论与讨论动量定理、动量矩定理和动能定理的比较
k,l0
O
x
xA
B
R
Cr
W
W
为求物块 A下降至任意位置 (x)时的加速度，可以采用哪一个动力学定理？
W
关于几个动力学定理的综合应用结论与讨论
关于动能定理与机械能守恒
动能定理建立了作用在质点系上的力所作之功与质点系动能变化之间的关系；机械能守恒所建立的是质点系的动能与势能之间的相互转化关系。
动能定理中可以包含任何非有势力所作之功，
因此，动能定理所包含的内容比机械能守恒更加广泛。可以说，机械能守恒是质点系所受之力均为有势力时的动能定理。
结论与讨论
应用机械能守恒求解动力学问题时，摩擦力如何考虑？－要看摩擦力是否作功。
1,当系统存在摩擦力，并且摩擦力作功，这时机械能守恒不成立，只能应用动能定理；
2,当系统存在摩擦力，但是摩擦力不作功，这时机械能守恒成立，可以应用机械能守恒。
关于动能定理与机械能守恒结论与讨论
？可以应用机械能守恒吗B C
A
W
W
k,l0
O
x
x
W
F
关于动能定理与机械能守恒结论与讨论
？可以应用机械能守恒吗
k,l0
O
x
xA
B
R
Cr
W
WW F
关于动能定理与机械能守恒结论与讨论
l l
O
A
m m
已知,l,m,OA＝ d,?
研究,1,应用势能驻值定理，
确定跷板的可能平衡位形；
跷板
2,应用机械能守恒确定跷板作二维微振动的振动方程；
3,确定二维微振动的固有频率与运动稳定性条件。
关于动能定理与机械能守恒结论与讨论
关于溜溜球与人造卫星的溜溜消旋
关于溜溜球与人造卫星的溜溜消旋结论与讨论
关于溜溜球与人造卫星的溜溜消旋结论与讨论返回本章目录页
※ 力的功
※ 质点和质点系的动能
※ 动能定理
※ 势力场 ·势能 ·机械能守恒定律
※ 功率 ·功率方程 ·机械效率
※ 质点系普遍定理的综合应用
※ 结论与讨论
Mf2Mf1
F1
F2
FN2FN1
Fr
maC = F1 - F2 - Fr
C
W
从汽车的驱动问题看动量方法与能量方法从动量定理提供的方法，分析汽车的驱动力
F1 － 汽车行驶的驱动力
F1 >F2 ＋ Fr
汽车向前行驶
从汽车的驱动问题看动量方法与能量方法如果发动机的功率很小而摩擦力很大如果发动机的功率很大而摩擦力很小如何评价发动机功率对驱动汽车行驶的作用？
§ 14-1 力的功
a,常力的功
b,变力的功
F
M
M1 M2?
SsFWc o s
功是代数量，其国际单位制为 J（焦耳）。
dsFW c o s?
s dsFW 0 c o s?
2
1
M
M
dW
dW
rF
rF?
kjir
kjiF
dzdydxd
FFF zyx
2
1
)(12
M
M zyx
dzFdyFdxFW
2
1
M
M
dtW
dtdW
vF
vFrF?
c,几种常见力的功
（ 1）重力的功
x mgZ,Y,X 00
21 )( 2112 zz zzmgm g d zW
重力作功仅与质点运动始末位置的高度差有关，
与运动轨迹形状无关。
)( 2112 iii zzgmW
)( 2112 CC zzmgW
质点系：
（ 2）弹性力的功
kF?
00 )( rF lrk
2
1
00
12
)(
A
A
A
A
dlrk
dW 2
1
rr
rF
drrdrdrdrdr )(2 1)(2 1 20 rrrrr
])()[(2)( 202201012 2
1
lrlrkdrlrkW r
r
)(
2
2
2
2
112
kW
（ 3）定轴转动刚体上作用力的功
y
x
z
r
A
F
Fxy
F
nF
A
rdFdsFdW rF
rFM z)( F
dMW z?
dMW z 2
1
12
（ 4）平面运动刚体上力系的功
Mi
C
Fi
drC
driC
d?
icCi ddd rrr
iCiCi
ii
dd
dW
rFrF
rF
dM
dCMFd
iC
iiiCi
)(
c o s
F
rF
dMd
dMdWW
CCR
iCCii
rF
FrF )(
dMdW CC
C CR
2
1
2
1
12 rF
§ 14-2 质点和质点系的动能质点的动能
2
2
1 mvT?
i
ii vmT
2
2
1
质点系的动能动能和动量都是表征机械运动的量，前者与质点速度的平方成正比，是一个标量；后者与质点速度的一次方成正比，是一个矢量，它们是机械运动的两种度量。动能与功的量纲相同，也为 J 。
刚体的动能
a,平动刚体的动能
b,定轴转动刚体的动能
222
2
1
2
1
2
1
CiC
i
ii mvmvvmT
vi
ri
mi
y
x
z
2
22
22
2
1
2
1
)(
2
1
2
1
z
i
i
i
i
i
i
i
ii
J
rm
rmvmT
c,平面运动刚体的动能
P
C
d
221?PJT? 2mdJJ CP
vC
222 )(
2
1
2
1 mdJJT
CP
dv C?
22
2
1
2
1?
CC JmvT
C vC 22
2
1
2
1?
CC JmvT
RvmRJ CC,21 2
2
4
3
CmvT?
§ 14-2 动能定理
1,质点的动能定理
Fv?dtdm rFrv dddtdm rFvv ddm
Wmvd)21( 2
12
2
1
2
2 2
1
2
1 Wmvmv
dvvddd )(21)(21 2vvvv
2,质点系的动能定理
iii Wvmd)2
1( 2
iii Wvmd )2
1( 2
iWdT
iWTT 12
质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和 微分形式 。
质点系在某一段运动过程中动能的改变量，等于作用于质点系全部力所作功的和 积分形式。
3,理想约束约束反力作功等于零的约束 理想约束 。
′F
dr
O
A
B F1
dr1
dr2
F2
O
F?1
2
0 rFrF ddW?
0
c o sc o s 222111
2211
drFdrF
ddW rFrF
C
F
FN
0tddW vFrF?
4,内力的功
ABAB rrr
ABAB rrr ddd
FA 和 FB 在 drA 和 drB 上所作之元功
BBAAW rFrF ddd i
)d( - d BAB rrF
)-d( ABB rrF
ABB rF d
O
x
z
y
FA
FB
A
B
rA
rB
这一结果表明,当两点之间的距离发生变化时，
这两点之间的内力所作之元功不等于零。
工程上几种内力作功的情形
◆ 作为整体考察，所有发动机的内力都是有功力。例如汽车内燃机工作时，气缸内膨胀的气体质点之间的内力；气体质点与活塞之间的内力；气体质点与气缸内壁间的内力；这些内力都要作功。
◆ 有相对滑动的两个物体之间的摩擦力作负功。
对于简单的刚体系统，将力分为主动力和约束反力，
当其为理想约束时，约束反力不作功。
)(
12
主
iWTT
例 题 1 已知,摩擦阻力为车重的 0.2倍，空车重 G0求,G/G
0 =？
解,取车研究对象，设弹簧的最大变形为?m
(1) 车下滑到弹簧压缩至最大
2
12 2)(2.030s i n)( mmm
klGlGW
30°
(2) 车卸料后又弹回原位置，由动能定理得
2
00 2)(2.030s i n)(00 mmm
klGlG
由动能定理得
2
2)(2.030s i n)(00 mmm
klGlG
3
7
2.030s in
2.030s in
0
G
G解得：
O
P
W
v
例 题 2 均质圆轮半径为 R,质量为 m,圆轮对转轴的转动惯量为 J
O。圆轮在重物 P带动下绕固定轴 O转动，
已知重物重量为 W。
求,重物下落的加速度?
s
解,取系统为研究对象
22
2
1
2
1
2
1
0
OJv
g
W
T
T
主动力的功：
R
v
WsW?12
由动能定理得,Wsv
R
Jv
g
W O 0
2
1
2
1 2
2
2
将上式对时间求导，并注意
vdtdsadtdv,
O
P
W
v
s
由动能定理得,Wsv
R
Jv
g
W O 0
2
1
2
1 2
2
2
将上式对时间求导，并注意
vdtdsadtdv,
)( 2
2
R
g
W
J
WR
a
O?
解得：
例 题 3 已知,m,R,f,?。
求,纯滚时盘心的加速度。
C
FN
mg
vC
F解,取系统为研究对象
s
22
2
1
2
1
2
1
0
CC JmvT
T
R
v
主动力的功,?s in
12 m g sW?
由动能定理得：
s in043 2 m g smv C
2
2 4
3
CmvT?
s in32 ga?
解得：
例 题 4
求,轴 Ⅰ 的角加速度。
已知,J1,J2,R1,R2,i12 = R2 / R1
M1,M2。
Ⅰ
Ⅱ
M1
M2解,取系统为研究对象
2
22
2
112
1
2
1
2
1
0
JJT
T
2
1
1
2
12
2
1
R
Ri
由运动学可知：
2
12
12
2
12 )(2
1?
i
JJT
主动力的功：
1
12
2
1221112 )( i
MMMMW
Ⅰ
Ⅱ
M1
M2
由动能定理得：
1
12
2
1
2
12
12
2
1 )(0)(2
1
i
MM
i
JJ
将上式对时间求导，并注意
1
1
1
1,
dt
d
dt
d
解得：
)()( 2
12
2
1
12
2
11 i
J
J
i
M
M
例 题 5
B
A
C
P
mg vC
解,取杆为研究对象
22
2
1
2
1
2
1
0
CC JmvT
T
2lv c?
22
2 6
1?mlT?
主动力的功：
)s in( s in2 012 lmgW
由动能定理得,)s i n( s i n
206
1
0
22 lmgml
)s in( s in3 0
l
g解得：
B
A
C
P
mg vC
由动能定理得,)s i n( s i n
206
1
0
22 lmgml
)s in( s in3 0
l
g解得：
将方程对时间求导，并注意
dtddtd,
c os
2
3
l
g?解得：
A B
B
A
O
例 题 6
已知,两均质杆质量为 m,长度为 l,
轮 B 质量为 m 。
求,轮 B 的速度。
解,取系统为研究对象
vB
vA
AB
由运动学可知,AB杆速度瞬心在 A点
222
2
1
3
2
2
1
2
1
0
BABAB mvJmvT
T
主动力的功：
m g llmglmglmgW 4223212
由动能定理得：
m g lvml B 4032 22
glv B 6?
解得：
例 题 7
O
B
C
D
A
m1g
s
v
解,取系统为研究对象
22
12
1
2
1
2
1
0
PJvmT
T
P
rR
v
由运动学可知：
2222 RmmJ P
主动力的功,gsmW 112?
2
2
22
212 ))((2
1 v
rR
RmmT
由动能定理得：
gsmv
rR
Rmm
1
2
2
22
21 0))((2
1
O
B
C
D
A
m1g
s
v
P
由动能定理得：
gsmv
rR
Rmm
1
2
2
22
21 0))((2
1
)()(
)(
22
2
2
1
2
1
RmrRm
rRgma
A
解得：
O
C
B
P
O
A C
B
P
F
例 题 8
已知,轮 O 质量为 m,P,f 。
求,轮 O 移动距离 S 时轮的角速度、角加速度。
FT
FN
mg
解,取轮 O 为研究对象
22
2222
2
1
4
3
)
2
1
(
2
1
2
1
0
mR
mRmRJT
T
C
主动力的功,m g f sPsW 212
由动能定理得：
m g f sPsmR 2043 22
O
C
B
P
O
A C
B
P
F
FT
FN
mg
由动能定理得：
m g f sPsmR 2043 22
)2(
3
2 m g fP
m
s
R
解得：
)(
3
2 m g fP
mR
关于摩擦力的作功
0
O FN
FM
功是力与其作用点位移的点乘。这里“位移”并不是力作用点在空间中的位移，而是指受力物体上受力作用那一点的位移。
C
M
F
§ 14-4 功率 ·功率方程 ·机械效率
1,功 率力的功率 － 力所作之功对时间的变化率
vFttWP vFrF ddd
力的功率等于切向力与其作用点速度的标积。
MdtdMtWP d
作用在转动刚体上的力矩或力偶矩的功率等于力矩或力偶矩与刚体转动角速度的标积。
2,功 率 方 程质点系动能定理的微分形式
i
iWT dd ＝
等式两边同除以 dt
i
i
i
i P
t
W
t
T
d
d
d
d ＝
质点系动能对时间的一阶导数等于作用在系统上所有有功力的功率之代数和。
—— 功率方程无用有用输入 －－＝ PPPt
T
d
d
输入P
有用P
无用P
—— 输入功率
—— 有用功率，输出功率
—— 无用功率，损耗功率
3,机 械 效 率输入功率有效功率
dt
dTP
有用有效功率
n21 —— 系统的总效率例 题 9 车床电动机的功率 P输入 ＝ 5.4 kW 。传动零件之间的磨擦损耗功率为输入功率的 30％ 。 工件的直径 d＝
100 mm。
求,转速 n=42 r/min 和 n =112 r/min 的允许最大切削力。
例 题 9 车床电动机的功率 P输入 ＝ 5.4 kW 。传动零件之间的磨擦损耗功率为输入功率的 30％ 。 工件的直径 d＝
100 mm。
求,转速 n=42 r/min 和 n =112 r/min 的允许最大切削力。
解,车床正常工作时，工件匀速旋转，动能无变化
0dd ＝tT 无用输入有用 －＝ PPP
kW45,＝输入P kW62130,%输入无用 ＝ PP
其中
kW783,?无用输入有用 －＝ PPP
切削力 F 与工件在切削力作用点的速度 v 同向
30
π
2
ndFFvP vF＝
有用 有用PdnF π
60?
例 题 9 车床电动机的功率 P输入 ＝ 5.4 kW 。传动零件之间的磨擦损耗功率为输入功率的 30％ 。 工件的直径 d＝
100 mm。
求,转速 n=42 r/min 和 n =112 r/min 的允许最大切削力。
切削力 F 与工件在切削力作用点的速度 v 同向
30
π
2
ndFFvP vF＝
有用 有用PdnF π
60?
当 n = 42 r/min 时
kN1917783420,1π 60,,F
当 n = 112 r/min 时
kN4567832110,1π 60,,F
B
A
E
例 题 10 已知,轮 A 质量为 m2,R,杆 AB 质量 m1,长 l。
求,?=45° 点 A在初 瞬时的加速度。
m2g
AB
E
B
A
C
vB
vA vE
解,取系统为研究对象，在任意角?时
m1g
s inl
v
AC
v AA
AB
由运动学可知：
s in2
A
ABE
vCEv
R
v A
2
2
1
2
22
1
2
1
22
2
2
2
)
s i n
2
9(
12
1
12
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
A
ABE
A
v
m
m
lmvm
RmvmT
系统总动能：
B
A
E
m2g
AB
E
B
A
C
vB
vA vE
m1g
2
2
1
2 )s in
29(
12
1
Av
mmT
系统的总功率, c o t
2c o s 11
A
E
vgmvgmP
代入功率方程,
i
i
i
i P
t
W
t
T
d
d
d
d ＝
c ot
2
1
]
s i n
c os
2)9
s i n
2
([
6
1
1
4
12
22
1
A
AAA
gvm
v
l
m
vm
m
a
注意到?和 vA 都是 t 的函数，且有：
s inl
v
dt
d A
AB
B
A
E
m2g
AB
E
B
A
C
vB
vA vE
m1g
22
1
4
2
11
9
s i n
2
s i n
c o s
2c o t3
m
m
l
vmgm
a
A
A
注意到 初瞬时,vA =0,?=?=45°
21
1
94
3
mm
gma
A
c ot
2
1
]
s i n
c os
2)9
s i n
2
([
6
1
1
4
12
22
1
A
AAA
gvm
v
l
m
vm
m
a
§ 14-5 势力场 ·势能 ·机械能守恒定律
1,势 力 场如果一物体在某空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间称为 —— 力场。
如果物体在某力场内运动，作用于物体的力所作的功只与力作用点的初始位置和终了位置有关，而与该点的轨迹形状无关，这种力场称为 —— 势力场（保守力场）。
2,势 能在势力场中，质点从点 M运动到任选的点 M0，有势力所作的功称为质点在点 M相对于点 M0的势能，以 V 表示为
00 )(MMMM Z d zY d yX d xdV rF
a,重力场中的势能
b,弹性力场中的势能取 M0为零势能点，则点 M 的势能为：
)( 00 zzmgm g d zV zz
)(2 202 kV
取弹簧自然位置为零势能点，则有：
2
2?
kV?
c,万有引力场中的势能
)
11
(
1
2
2
02
2100
rr
mmfdr
r
mfm
d
r
mfm
dV
1
r
r 2
1
A
A
A
A
1
rrrF
取无穷远处为零势能点，则有：
r
mmfV 1 2
★ 有势力所作的功等于质点系在运动过程的初始与终了位置的势能的差。
2112 VVW
3,机械能守恒定律
● 保守系统 — 仅在有势力作用下的系统。
● 机械能 — 系统所具有的动能与势能的总称。
● 机械能守恒 — 系统仅在有势力作用下运动时，
其机械能保持恒定。
2211 VTVT ＋＝＋
常数 EVT
动力学普遍定理动量定理动量矩动量动能定理动量方法能量方法
§ 14-6 质点系普遍定理的综合应用动力学两类问题与分析程序主动力 质点系运动质点系运动 动约束力非自由质点系一般分析程序：
先避开未知约束力，求解运动量；
然后再现在合适的定理，确定动约束力。
动力学两类问题与分析程序需要特别注意自由度的概念，注意分析约束的性质确定,系统是单自由度还是多自由度；
是一处约束还是多处约束；
是理想约束还是非理想约束。
对于具有理想约束，特别是具有多处约束的一个自由度系统，
一般先应用动能定理分析运动，然后再采用动量定理或动量矩定理，确定动约束力。
对于具有一处约束的系统，或者虽然具有多处约束的系统，
但所要求的是瞬时二阶运动量和未知约束力，这时可以联合应用动量定理和动量矩定理。
对于二自由度系统或多自由度系统，需要综合应用动能定理、动量定理、动量矩定理。这种情形下需要特别注意系统的守恒情形。
B
O2
例 题 11
A
O1
30o D
W
W
W
M
均质圆轮 A和 B的半径均为 r，圆轮 A和 B以及物块 D的重量均为 W，圆轮 B上作用有力偶矩为 M
的力偶，且 3Wr/2> M>Wr/2。圆轮 A在斜面上作纯滚动。不计圆轮 B的轴承的摩擦力。
求,1、物块 D的加速度；
2、二圆轮之间的绳索所受拉力；
3、圆轮 B处的轴承约束力。
B
O2
A
O1
30o D
W
W
W
M
解,首先，讨论系统的自由度、
约束以及广义坐标的选择。
自由度,1
约束,多约束广义坐标：
sD
O
sD
解,1、确定物块的加速度对系统整体应用动能定理
i iWTT ＝－ 12
2222
2 12 2
1
2
1
2
1
2
1
AOAABODD JvmJvmT＝
MGADi i WWWW
1
222222 )
2
1(
2
1
2
1)
2
1(
2
1
2
1 Tr
g
Wv
g
Wr
g
Wv
g
W
AABD
BDD MsWWss in 3 0
B
O2
A
O1
30o D
W
W
W
M
sD
O
解,1、确定物块的加速度
1
222222 )
2
1(
2
1
2
1)
2
1(
2
1
2
1 Tr
g
Wv
g
Wr
g
Wv
g
W
AABD
BDD MsWWss in 3 0
将所有运动量都表示成广义坐标 sD 的形式
r
s
r
vsvv DD
BADAD
,
DD s
W
r
MTv
g
W )
2(2
3
1
2
为求物块的加速度，将等式两边对时间求一阶导数，得到
DDD v
W
r
Mav
g
W )
2(3 gW
W
r
M
a D 3 2
当 M>Wr/2,aD>0，物块向上运动
D
B
O2
W
W
FT
FBy
FBx
M
解,2、确定圆轮 A和 B之间绳索的拉力
A
O1 D
W
M
B
O2
30o
W
W
解除圆轮 B轴承处的约束，将 AB段绳索截开，对圆轮
B、绳索和物块 D组成的局部系统应用动量矩定理
rFWMragWrgW DB )(21 T2
根据运动学关系 BD ra?＝
T2
3 FW
r
Ma
g
W
D )2
3(
2
1
T r
MWF
。,不合理时时，,023;023 TT FWrMFWrM
D
B
O2
W
W
FT
FBy
FBx
M
解,3、确定圆轮 B轴承处的动约束力对圆轮 B、绳索和物块 D组成的局部系统应用质心运动定理
30s in2
30c o s0
T
T
FWFa
g
W
FF
ByD
Bx
)
2
53
(
12
1
)
2
3
(
4
3
30c o sT
r
MW
F
r
M
WFF
By
Bx
A
O
30°
C
例 题 12
均质圆盘 O放置在光滑的水平面上，质量为 m，半径为 R，匀质细杆 OA长为 l，质量为 m。开始时杆在铅垂位置，且系统静止。
求,杆运动到图示位置时的角速度。
解,首先，讨论系统的自由度、
约束以及广义坐标的选择。
自由度,2
约束,多约束广义坐标,xO,?
x
A
O
30°
C
Ov
解,取系统为研究对象，因轮置于光滑面上，固其作平动。设其速度为 vO。杆转动的角速度为?。
A
O
30°
C
Ov
Ov
vCA
对系统整体应用动能定理
i iWTT ＝－ 12
222
2 2
1
2
1
2
1
CCO mvJmvT＝
m g llmgW
i
i 4
1)30s in1(
2
由刚体的平面运动分析得
lvlvvvvvv OOCAOCAOC 214160c o s2 222222
OO vmlmlmvT 4
1
6
1 222
2＝
A
O
30°
C
Ov
A
O
30°
C
Ov
Ov
vCA
m g lvmlmlmvTT OO 414161 22212＝
由系统在水平方向的动量守恒得
0)60c o s2(lvmmv OO
lv O 81?
将 vO 代入动能定理方程可解得
l
g
29
34
结论与讨论
关于动量和动能的再讨论
正确计算刚体平面运动时的动能
速度 (角速度 )分析与动能计算
关于三个动力学定理的综合应用
关于动能定理与机械能守恒
关于溜溜球与人造卫星的溜溜消旋关于汽车驱动问题的结论发动机给出的主动力偶克服阻力和阻力偶作功使汽车的动能增加；
与汽车行驶方向相同的摩擦力克服方向相反的摩擦力与空气的阻力使汽车的动量增加。
如果路面很滑，摩擦力很小，发动机功率再大汽车也只能打滑，而不能向前行驶；反之，如果路面很粗糙，摩擦力可以很大，而发动机不能发出足够大的功率，汽车同样不能向前行驶。
结论与讨论? 关于动量和动能的再讨论运动员跑步时，脚底与地面之间的摩擦力并不作功，其作用是使运动员的动量增加；小腿的肌肉 (比目鱼肌 )收缩产生内力而作功，使运动员的动能增加。二者都是运动员跑步前进的驱动力。
结论与讨论? 关于动量和动能的再讨论应用动能定理时，很重要的是，正确计算系统的动能。特别是正确计算刚体平面运动的动能。
因此，要正确应用柯希尼定理。
i
iiCi TTvmvmT re
2
r
2
i 2
1)(
2
1
质点系的动能 (绝对运动动能 )，等于系统跟随质心平移的动能 (牵连运动动能 )与相对于质心平移系运动的动能 (相对运动动能 )之和。
结论与讨论? 正确计算刚体平面运动时的动能
A
B
O x
x
AA xv
均质杆 AB长度为 l、质量为 m,A 端与小圆滚轮铰接，小圆滚轮的重量不计。广义坐标 q=(x,?) 。 请判断关于系统动能的下列表达式是否正确：
2
2
1
2
1
AAAB JxmT
结论与讨论? 正确计算刚体平面运动时的动能
O
R
r
0
C *
行星轮机构中，小圆轮的质量为 m。
请判断关于小圆轮动能的下列表达式是否正确？
0
2
2
1
r
rRJT
AAC
＋,
结论与讨论? 正确计算刚体平面运动时的动能计算动能必须正确确定速度或角速度。为此需要首先分析运动，进而选择相应的方法计算速度或角速度。
确定速度和角速度的方法
点的运动学分析方法 —— 选择合适的描述点的运动坐标系，写出的运动方程或方程组，再将方程或方程组对时间求一次导数，即得点的速度。
点的复合运动分析方法 —— 正确选择动点和动系，确定牵连速度、相对速度和绝对速度。
刚体平面运动分析方法 —— 建立在速度合成定理基础上的基点法、速度投影法、瞬时速度中心法。
结论与讨论? 速度 (角速度 )分析与动能计算确定速度和角速度的方法
C
A
r 半径为 r的大圆环，不计质量，
绕 O轴旋转。大圆环上套有质量为 m的小圆环 A。小圆环在光滑的大圆环上自由滑动。
怎样确定小圆环的速度，进而确定其动能？
O
x
y
结论与讨论? 速度 (角速度 )分析与动能计算墙面地面
A
B
l,mvA
O
x
y
长度为 l，质量为 m的均质杆件 AB，
杆件两端 A和 B分别沿光滑的墙面和地面滑动,A端的速度为 vA。
怎样确定杆件 AB的速度，
进而确定其动能？
确定速度和角速度的方法结论与讨论? 速度 (角速度 )分析与动能计算动量定理、动量矩定理和动能定理的比较
动量定理、动量矩定理和动能定理都是描述质点系整体运动的变化与质点系所受的作用力之间的关系。
整体运动的变化 所受的作用力动 量 定 理动 能 定 理动量矩定理动 量 力 (冲量 )
动量矩 力 矩动 能 力 的 功
动量定理、动量矩定理和动能定理都可以用于求解动力学的两类基本问题。
结论与讨论? 关于几个动力学定理的综合应用动量定理、动量矩定理和动能定理的比较
动量定理、动量矩定理一般限于研究物体机械运动范围内的运动变化问题。
动能定理可以用于研究机械运动与其他运动形式之间的运动转化问题。
结论与讨论? 关于几个动力学定理的综合应用
关于几个动力学定理的综合应用动量定理、动量矩定理和动能定理的比较
动量定理、动量矩定理的表达式为矢量形式，
描述质点系整体运动时，不仅涉及有关运动量的大小，而且涉及运动量的方向。
动能定理的表达式为标量形式，描述质点系整体运动时，不涉及运动量的方向，无论质点系如何运动，动能定理只能提供一个方程 。
动量定理、动量矩定理的表达式中含有时间参数。
动能定理的表达式中含有路程参数。
结论与讨论动量定理、动量矩定理和动能定理的比较
动量定理、动量矩定理的表达式中只包含外力，而不包含内力 (内力的主矢和主矩均为零 )
动能定理的表达式中可以包含主动力和约束力，主动力中可以是外力，也可以是内力 (可变质点系 ) ；对于理想约束，则只包含主动力。
关于几个动力学定理的综合应用结论与讨论动量定理、动量矩定理和动能定理的比较
分析和解决复杂系统的动力学问题时，选择哪一个定理的原则是：
1、所要求的运动量在所选择的定理中能不能比较容易地表达出来；
2、在所选择的定理表达式中，不出现相关的未知力。
对于由多个刚体组成的复杂系统，求解动力学问题时，如果选用动量定理或动量矩定理，需要将系统拆开，不仅涉及的方程数目比较多，而且会涉及求解联立方程。
如果选用动能定理，对于受理想约束的系统，可以不必将系统拆开，而直接对系统整体应用动能定理，建立一个标量方程，求得速度或加速度 (角速度或角加速度 )。
关于几个动力学定理的综合应用结论与讨论
B
C
动量定理、动量矩定理和动能定理的比较
A
W
W
k,l0
O
x
x
为求物块 A下降至任意位置 (x)时的加速度，可以采用哪一个动力学定理？
W
关于几个动力学定理的综合应用结论与讨论动量定理、动量矩定理和动能定理的比较
k,l0
O
x
xA
B
R
Cr
W
W
为求物块 A下降至任意位置 (x)时的加速度，可以采用哪一个动力学定理？
W
关于几个动力学定理的综合应用结论与讨论
关于动能定理与机械能守恒
动能定理建立了作用在质点系上的力所作之功与质点系动能变化之间的关系；机械能守恒所建立的是质点系的动能与势能之间的相互转化关系。
动能定理中可以包含任何非有势力所作之功，
因此，动能定理所包含的内容比机械能守恒更加广泛。可以说，机械能守恒是质点系所受之力均为有势力时的动能定理。
结论与讨论
应用机械能守恒求解动力学问题时，摩擦力如何考虑？－要看摩擦力是否作功。
1,当系统存在摩擦力，并且摩擦力作功，这时机械能守恒不成立，只能应用动能定理；
2,当系统存在摩擦力，但是摩擦力不作功，这时机械能守恒成立，可以应用机械能守恒。
关于动能定理与机械能守恒结论与讨论
？可以应用机械能守恒吗B C
A
W
W
k,l0
O
x
x
W
F
关于动能定理与机械能守恒结论与讨论
？可以应用机械能守恒吗
k,l0
O
x
xA
B
R
Cr
W
WW F
关于动能定理与机械能守恒结论与讨论
l l
O
A
m m
已知,l,m,OA＝ d,?
研究,1,应用势能驻值定理，
确定跷板的可能平衡位形；
跷板
2,应用机械能守恒确定跷板作二维微振动的振动方程；
3,确定二维微振动的固有频率与运动稳定性条件。
关于动能定理与机械能守恒结论与讨论
关于溜溜球与人造卫星的溜溜消旋
关于溜溜球与人造卫星的溜溜消旋结论与讨论
关于溜溜球与人造卫星的溜溜消旋结论与讨论返回本章目录页
