动力学普遍方程和拉格朗日方程
※ 引 言
※ 动力学普遍方程
※ 拉格朗日方程
※ 拉格朗日方程的初积分
※ 结论与讨论
经典动力学的两个发展方面
拓宽研究领域矢量动力学 又称为 牛顿－欧拉动力学牛顿运动定律由单个自由质点
★ 受约束质点和质点系 (以达朗贝尔原理为基础 )
欧拉将牛顿运动定律
★ 刚体和理想流体
寻求新的表达形式将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系拉格朗日力学考察由 n个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔原理，有
),,2,1(0N nim iiii aFF
主动力惯性力令系统有任意一组虚位移
),,2,1( niδ ir
系统的总虚功为
),,2,1(0δ)( N nim i
i
iiii raFF
§ 18-1 动力学普遍方程系统的总虚功为利用理想约束条件
),,2,1(0N niδ
i
ii rF
),,2,1(0)( niδm i
i
iii raF
得到
—— 动力学普遍方程任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和等于零。
),,2,1(0δ)( N nim i
i
iiii raFF
ni
zzmFyymFxxmF iiiziiiiyii
i
iixi
,,2,1
0]δ)(δ)(δ)[(
动力学普遍方程的直角坐标形式动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。
动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。
动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。
动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统。
),,2,1(0)( niδm i
i
iii raF
动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问题，即：已知主动力求系统的运动规律。
应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。
由于 动力学普遍方程 中不包含约束力，因此，
不需要解除约束，也不需要将系统拆开。
应用 动力学普遍方程,需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。
动力学普遍方程的应用例 题 1 已知,m,R,f,?。
求,圆盘纯滚时质心的加速度。
C
mg
aC
FIR
MIC
x
解,1、分析运动，施加惯性力
2、本系统有一个自由度，
令其有一虚位移?x。
CmaF?IR
CIC JM
3、应用动力学普遍方程
0s i n R xMxF-xmg ICIR
s in32 ga C?
RamRJ CC,21 2其中：
例 题 2 离心调速器已知,m1－ 球 A,B 的质量；
m2－ 重锤 C 的质量；
l－ 杆件的长度；
－ O1 y1轴的旋转角速度。
求,?－? 的关系。
BA
C
l
l
l
l
O1 x1
y1
解,不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系统具有一个自由度。取广义坐标 q =?
1、分析运动、确定惯性力球 A,B绕 y轴等速转动；重锤静止不动。
球 A,B的惯性力为
2II s inmlFF BA
FIBFIA
m1g
m2g
m1g
BA
C
l
l
l
l
O1 x1
y1
FIBFIA
m1g
m2g
m1g?rC 0δδ
δδδ
21
1II
CB
ABBAA
ygmygm
ygmxFxF
rB?rA
2、令系统有一虚位移。 A,B,C三处的虚位移分别为?rA,?rB,?rC 。
3、应用动力学普遍方程根据几何关系，有
c os2
c os
s in
c os
s in
ly
ly
lx
ly
lx
C
B
B
A
A
s in2
s in
c os
s in
c os
ly
ly
lx
ly
lx
C
B
B
A
A
BA
C
l
l
l
l
O1 x1
y1
FIBFIA
m1g
m2g
m1g?rC
0δδ
δδδ
21
1II
CB
ABBAA
ygmygm
ygmxFxF
rB?rA
3、应用动力学普遍方程
s in2
s in
c os
s in
c os
ly
ly
lx
ly
lx
C
B
B
A
A
0s i n2s i n2c o ss i n2 2121 glmglmllm
c o s
)(
1
212
lm
gmm
xO
y
C2
D
求,1、三棱柱后退的加速度 a1；
2、圆轮质心 C2相对于 三棱柱加速度 ar。
C1
A
C B?
例题 3 质量为 m1的 三棱柱 ABC
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。
质量为 m2、半径为 R的均质圆轮沿三棱柱的斜面 AB无滑动地滚下。
解,1、分析运动三棱柱作平动，加速度为 a1。
圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为 ae= a1 ； 质心的相对加速度为 ar； 圆轮的角加速度为?2。
a1
ae
ar
2
xO
y
C2
D
C1
A
C B?a1
m1g
m2 gFI1
FI 2 e
FI 2 r
MI2
ae
ar
解,2、施加惯性力
11I1 amF?
12I2 e amF?
r2I2 r amF?
22I2 αJM?
2
22 2
1 RmJ?
解,3、确定虚位移考察三棱柱和圆盘组成的系统，系统具有两个自由度。
第一组
0δ0δ，x
第二组
0δ0δ，x
二自由度系统具有两组虚位移：
x
xO
y
C2
D
C1
A
C B?
m1g
m2 gFI1
FI 2 e
FI 2 r
MI2解,4、应用动力学普遍方程
0δδδc o sδs i n 22r2Ie2I2 JRFRFRgm －
0)23c o s(1s in r1 aag
0δ0δ，x令：
11I1 amF?
12I2 e amF?
r2I2 r amF?
22I2 αJM?
2
22 2
1 RmJ?
2r?Ra?
xO
y
C2
D
C1
A
C B?
m1g
m2 gFI1
FI 2 e
FI 2 r
MI2解,4、应用动力学普遍方程
c os
)(
2
121
m
amma
r
令,0δ0δ，x
0cos)( r2Ie2I1I xFxFF
x11I1 amF?
12I2 e amF?
r2I2 r amF?
22I2 αJM?
2
22 2
1 RmJ?
2r?Ra?
解,5、求解联立方程
2
221
21
r
2
221
2
1
c os2)3(
)(s i n2
c os2)3(
s i n 2
mmm
mmg
a
mmm
gm
a
－
－
c os
)(
2
121
m
amma
r
0)23c o s(1s in r1 aag
§ 18-2 拉格朗日 (Lagrange)方程由 n个质点所组成的质点系主 动 力虚 位 移广义坐标第 i个质点的位矢
),,,( 21 nFFFF
),,,( 21 nrrrr
)( 21 Nqqqq,,,
),,,,( 21 tqqq Nii rr
由动力学普遍方程，得 0
11
i
n
i
iii
n
i
i δmδ rarF
N
k
kki
n
i
i qQδ
11
rF Qk—— 广义力
N
k
k
k
i
i qq
1
rr
i
n
i
ii δm ra
1
0)(
1111
k
k
i
n
i
ii
N
k
ki
n
i
iii
n
i
i qqmQδmδ?
rrrarF
),,2,1(0
1
NkqmQ
n
i k
i
iik
rr
k
k
i
n
i
ii
N
k
k
N
k k
i
n
i
ii qq
rmq
q
rm )(
1111?
rr
)()(
11
1
k
i
n
i
ii
k
i
i
n
i
i
n
i k
i
ii
qdt
d
m
qdt
d
m
q
m
r
r
r
r
r
r
( 消点)第一个拉格朗日关系式
k
i
k
i
qq
rr
函数，仅为时间和广义坐标的和
j
ii
qt?
rr
无关与广义速度 jq?
广义速度
t
qqq
qt
k
kk
N
k k
ii
i d
d
1
rrr
k
N
k k
ii
i qqt
1
rrr
对任意一个广义坐标 qj 求偏导数
k
N
k kj
i
j
i
j
i q
qqtqq?
1
22 rrr
如果将位矢 对任意一个广义坐标 qj 求偏导数，再对时间求导数，则得到
k
N
k kj
i
j
i
j
i q
qqtqqt
1
22
d
d rrr
k
i
q?
r
k
i
qt
r
d
d＝ 第二个拉格朗日关系式
n
i k
i
ii
n
i
n
i k
i
ii
k
i
ii qdt
dm
qdt
dm
qm 11 1 )()(
rrrrrr
n
i k
i
ii
n
i k
i
i
n
i k
i
ii
n
i k
i
ii
q
m
q
m
dt
d
q
m
qdt
d
m
11
11
)(
r
r
r
r
r
r
r
r
k
n
i k
i
i
k
n
i
ii
k
n
i
iii
k
n
i k
i
i
q
T
q
m
q
T
vm
q
m
qq
m
1
1
2
11
)(
2
1
)(
2
1
r
r
rr
r
r
kk
n
i k
i
ii q
T
q
T
dt
d
qm?
1
rr
k
i
k
i
qq?
rr
k
i
k
i
qqdt
d
rr?
),,2,1(0
1
NkqmQ
n
i k
i
iik
rr
kk
n
i k
i
ii q
T
q
T
dt
d
qm?
1
rr
),,2,1( NkQ
q
T
q
T
dt
d
k
kk
此即 拉格朗日方程,或称为 第二类拉格朗日方程。
如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主动力
k
k q
VQ
kkk q
V
q
T
q
T
t?
)(
d
d
),,2,1(,0),,,,( 21 NkqVqqqtVV
k
N
＝
0)()(dd ＝－－－
kkkk q
V
q
T
q
V
q
T
t?
引入拉格朗日函数
L＝ T－ V
得到 主动力为有势力的拉格朗日方程
0)(
d
d?
kk q
L
q
L
t?
对于只具有完整约束、自由度为 N 的系统，可以得到由 N 个拉格朗日方程组成的方程组。
应用拉格朗日方程，一般应遵循以下步骤：
首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势，
决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。
其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。
按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广义力。
将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。
拉格朗日方程的应用
O
A
R
rM
例 题 4
均质杆 OA质量为 m1、可以绕 O端转动,
小 齿 轮 A质量为 m2，半径为 r,其上作用力偶 M。
求,该杆的运动方程。
解,1、系统具有一个自由度，
取? 为其广义坐标。
22
2
2
2
1
2
1
2
1
AAAO JvmJT
2、计算系统的动能：
22
21 ))(92(12
1rRmm
r
rR
r
v
rRv
A
A
A
)(
其中：
O
A
R
rM
3、计算广义力：
22
2
2
2
1
2
1
2
1
AAAO JvmJT
22
21 ))(92(12
1rRmm
MMWQ F
4、应用拉格朗日方程
Q
TT
t
)(
d
d
MrRmm221 ))(92(61
2
21 ))(92(
6
rRmm
M
00
2
2
21 ))(92(
3
ttrRmm
M?
例 题 5 已知,m1,m2,R,f,F 。求,板的加速度。
F
C R解,1、系统具有二个自由度，
取 x,? 为其广义坐标。
O
xx
22
2
2
1 2
1
2
1
2
1
CC JvmxmT
2、计算系统的动能：
2
22
1 RmJ
Rxv
C
C
其中：
22
22
2
21 4
3)(
2
1 RmxRmxmm
3、计算广义力：
gfmmFx xFFxWQ sFx )()( 21
(1)令,0δ0δ，x
(2)令,0δ0δ，x
0 FWQ
Fs
4、应用拉格朗日方程
xQx
T
x
T
t
)(
d
d
Rmxmm
x
T
dt
d
Rmxmm
x
T
221
221
)(
)(
gfmmFRmxmm )()( 21221
Q
TT
t
)(
d
d
2
22
2
22
2
3
2
3
RmxRm
x
T
RmxRm
T
023 222 RmxRm
3
)(
2
1
21
mm
gmmfFa
解得：
22
22
2
21 4
3)(
2
1 RmxRmxmmT
0Q
gfmmFQ x )( 21
例 题 6
x
O
x
l0质量为 m、长度为 l的均质杆 AB
可以绕 A端的铰链在平面内转动。
A端的小圆轮与刚度系数为 k的弹簧相连，并可在滑槽内上下滑动。
弹簧的原长为 l0。
求,系统的运动微分方程
A
B
k
C
解,1、系统的约束为完整约束，
主动力为有势力。
2、系统具有两个自由度，广义坐标选择为 q=(x,?),x 坐标的原点取在弹簧原长的下方 。
x
O
x
l0
A
B
k
C
解,3、计算系统的动能：不计弹簧的质量，系统的动能即为 AB杆的动能
22
2
1
2
1
CC JmvT
速度 vC的确定
c o s2s i n2 lyly CC
s i n2c o s2 lxxlxx CC
)
3
1
s i n(
2
1
2
1
)c o s
2
1
()s i n
2
(
2
1
222
222
llxxm
J
l
xmT C
)c o s2(21 2?lxmgkxV
系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成，以 O点为共同的势能零点：
x
O
x
l0
A
B
k
C
拉格朗日函数
)c o s2(21 2?lxmgkx
VTL
)31s i n(21 222 llxxm
4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程
21
21
,
,2,1,
qxq
qxqkq k广义坐标
0)(
d
d?
kk q
L
q
L
t?
m g xkxxL － s in21 lmxmxL
c o s21s i n21)(dd 2 lmlmxmxLt
)c o s2(21 2?lxmgkx
)31s i n(21 222 llxxmVTL
0)(dd xLxLt?
0c o s21s i n21 2 mgkxmlmlxm
0)(dd LLt?
c o s21s i n213)(dd
2
lxmxmlmlLt
s i n21c o s21 m g llxmL s in2131 2 xmlmlL
0s i n21s i n213 gxl －
0c o s21s i n21 2 mgkxmlmlxm
)c o s2(21 2?lxmgkx
)31s i n(21 222 llxxmVTL
O
A
C
k
例 题 7
质量为 m1、半径为 r 的均质圆轮在水平面上纯滚,轮心与刚性系数为 k的弹簧相连。 均质杆 AB
长度为 l，质量为 m2 。
求,系统的运动微分方程。
解,1、系统的约束为完整约束，
主动力为有势力。
2、系统具有两个自由度，广义坐标选择为 q=(x,?),x 坐标的原点取在弹簧原长处 。
x
x
y
O
A
C
k
x
x
y
3、计算系统的动能：
22
2
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
CC
OO
Jvm
JxmT
速度 vC的确定
s i n2c o s2 lyly CC
c o s2s i n2 lxxlxx CC
c o s2121 22 glmkxV
系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成,
c o s2161)23(41 2222221 xlmlmxmmT
O
A
C
k
x
x
y
拉格朗日函数
4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程
0)(
d
d?
kk q
L
q
L
t?
VTL
c o s2161)23(41 2222221 xlmlmxmm
c o s2121 22 glmkx
21
21
,
,2,1,
qxq
qxqkq k广义坐标
kxxL － c o s21)23(21 221 lmxmmxL
s i n21c o s21)23(21)(dd 22221 lmlmxmmxLt
0)(dd xLxLt?
c o s2161)23(41 2222221 xlmlmxmmVTL
c o s2121 22 glmkx
0s i nc o s)23( 22221 kxlmlmxmm
s i n21s i n21 22 glmxmL c o s2131 222 xlmlmL
s i n21c o s2131)(dd 2222 xlmxlmlmxLt
0)(
d
d?
LL
t?
c o s2161)23(41 2222221 xlmlmxmmVTL
c o s2121 22 glmkx
0s i nc o s32 gxl
0s i nc o s)23( 22221 kxlmlmxmm
O1
O2
例 题 8
质量为 m、半径为 3R 的均质大圆环在粗糙的水平面上纯滚 。另一小圆环质量亦为 m,半径为 R,
又在粗糙的大圆环内壁做纯滚动。
不计滚动摩阻，整个系统处于铅垂面内。
求,系统的运动微分方程。
解,1、系统的约束为完整约束，
主动力为有势力。
2、系统具有两个自由度，广义坐标选择为 q=(?,? )。
O1
O2
3、计算系统的动能：
2
22
2
2
2
11
2
1 2
1
2
1
2
1
2
1
OOOOOO JmvJmvT
由运动学可知：
11,3 OO Rv
建立随质心 O1平动的坐标系 O1 x1 y1
x1
y1
O1
O2
E
vO1 v
O2r vEr
23
2,3
2
2
2
R
vv
RvRv
rOEr
O
rOEr
c o s1249
c o s2
22222
21
2
2
2
1
2
2
RRR
vvvvv rOOrOOO
O1
O2
3、计算系统的动能：
2
22
2
2
2
11
2
1 2
1
2
1
2
1
2
1
OOOOOO JmvJmvT
11,3 OO Rv
O1
O2
E
vO1 v
O2r vEr
2322 R vv rOErO
c o s1249
c o s2
22222
21
2
2
2
1
2
2
RRR
vvvvv rOOrOOO
)c o s1(6
418
2
2222
mR
mRmR
系统的势能：
c o s2 m g RV
O1
O2
拉格朗日函数
4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程
0)(
d
d?
kk q
L
q
L
t?
VTL
21
21
,
,2,1,
qq
qqkq k广义坐标
)c o s1(6
418
2
2222
mR
mRmR
c o s2 m g R?
0L )c o s1(636 22 mRmRL
s i n6)c o s1(636)(dd 2222 mRmRmRLt
0)(
d
d?
LL
t?
0s i n)cos1(6 2
c o s2)c o s1(6418 22222 mg RmRmRmRVTL
s i n2s i n6 2 m g RmRL
)c o s1(68 22 mRmRL
s i n6)c o s1(68)(dd 222 mRmRmRLt
0)(dd LLt? 0s i n)c o s1(34
R
g
c o s2)c o s1(6418 22222 mg RmRmRmRVTL
0s i n)cos1(6 2
§ 18-3 拉格朗日 (Lagrange)方程的初积分
（ 1）循环积分（广义动量守恒）
（ 2）能量积分（广义能量守恒）
当 L 函数不显含某一广义坐标 qj时,qj ___称为 循环坐标,
此时，有循环积分：
广义动量?
j
j
jj
p
c o n s tp
q
T
q
L
系统主动力有势,L 函数不显含时间 t,约束是定常的，
即有机构能守恒：
EVT
O1
O2
)c o s1(6418 22222 mRmRmRT
c o s2 m g RV
c o s2)c o s1(6
418
2
2222
m g RmR
mRmRVTL
由能量积分得：
c o n s tgR c o s]2)c o s1(39[ 22
因 L 函数不显含?,故? 为循环坐标，系统存在循环积分：
c o n s tLL,0 c o n s t )c o s1(6
c o n s tgR c o s]2)c o s1(39[ 22
c o n s t )c o s1(6
0s i n)c o s1(34 Rg
0s i n)cos1(6 2
O1
O2
结论与讨论
达朗贝尔原理、虚位移原理与拉格朗日方程
达朗贝尔原理在形式上将质点系动力学问题化为静力学平衡问题。
虚位移原理给出了质点系平衡的充分与必要条件。
通过达朗贝尔原理可以将虚位移原理推广应用于质点系的动力学问题，得到达朗贝尔－
拉格朗日方程，即第一类拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程，用于求解具有理想约束的非自由质点系的动力学第二类问题，即已知主动力求运动。
结论与讨论
第一类拉格朗日方程，即达朗贝尔－拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程。
)21(0δ)( nim i
i
iii,,,raF
达朗贝尔－拉格朗日方程适用于具有理想约束或双面约束的系统。
达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。
达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。
达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统。
结论与讨论
第二类拉格朗日方程,仅用动能、势能以及广义主动力等少数几个标量便可描述复杂质点系的运动。但只能用于具有完整约束的系统。
基本形式主动力有势形式结论与讨论
),,2,1()( NkQqTqTdtd k
kk
),,2,1(0)( NkqLqLdtd
kk
结论与讨论
（ 1）循环积分（广义动量守恒）
（ 2）能量积分（广义能量守恒）
广义动量?
j
j
jj
p
c o n s tp
q
T
q
L
EVT
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※ 引 言
※ 动力学普遍方程
※ 拉格朗日方程
※ 拉格朗日方程的初积分
※ 结论与讨论
经典动力学的两个发展方面
拓宽研究领域矢量动力学 又称为 牛顿－欧拉动力学牛顿运动定律由单个自由质点
★ 受约束质点和质点系 (以达朗贝尔原理为基础 )
欧拉将牛顿运动定律
★ 刚体和理想流体
寻求新的表达形式将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系拉格朗日力学考察由 n个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔原理，有
),,2,1(0N nim iiii aFF
主动力惯性力令系统有任意一组虚位移
),,2,1( niδ ir
系统的总虚功为
),,2,1(0δ)( N nim i
i
iiii raFF
§ 18-1 动力学普遍方程系统的总虚功为利用理想约束条件
),,2,1(0N niδ
i
ii rF
),,2,1(0)( niδm i
i
iii raF
得到
—— 动力学普遍方程任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和等于零。
),,2,1(0δ)( N nim i
i
iiii raFF
ni
zzmFyymFxxmF iiiziiiiyii
i
iixi
,,2,1
0]δ)(δ)(δ)[(
动力学普遍方程的直角坐标形式动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。
动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。
动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。
动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统。
),,2,1(0)( niδm i
i
iii raF
动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问题，即：已知主动力求系统的运动规律。
应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。
由于 动力学普遍方程 中不包含约束力，因此，
不需要解除约束，也不需要将系统拆开。
应用 动力学普遍方程,需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。
动力学普遍方程的应用例 题 1 已知,m,R,f,?。
求,圆盘纯滚时质心的加速度。
C
mg
aC
FIR
MIC
x
解,1、分析运动，施加惯性力
2、本系统有一个自由度，
令其有一虚位移?x。
CmaF?IR
CIC JM
3、应用动力学普遍方程
0s i n R xMxF-xmg ICIR
s in32 ga C?
RamRJ CC,21 2其中：
例 题 2 离心调速器已知,m1－ 球 A,B 的质量；
m2－ 重锤 C 的质量；
l－ 杆件的长度；
－ O1 y1轴的旋转角速度。
求,?－? 的关系。
BA
C
l
l
l
l
O1 x1
y1
解,不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系统具有一个自由度。取广义坐标 q =?
1、分析运动、确定惯性力球 A,B绕 y轴等速转动；重锤静止不动。
球 A,B的惯性力为
2II s inmlFF BA
FIBFIA
m1g
m2g
m1g
BA
C
l
l
l
l
O1 x1
y1
FIBFIA
m1g
m2g
m1g?rC 0δδ
δδδ
21
1II
CB
ABBAA
ygmygm
ygmxFxF
rB?rA
2、令系统有一虚位移。 A,B,C三处的虚位移分别为?rA,?rB,?rC 。
3、应用动力学普遍方程根据几何关系，有
c os2
c os
s in
c os
s in
ly
ly
lx
ly
lx
C
B
B
A
A
s in2
s in
c os
s in
c os
ly
ly
lx
ly
lx
C
B
B
A
A
BA
C
l
l
l
l
O1 x1
y1
FIBFIA
m1g
m2g
m1g?rC
0δδ
δδδ
21
1II
CB
ABBAA
ygmygm
ygmxFxF
rB?rA
3、应用动力学普遍方程
s in2
s in
c os
s in
c os
ly
ly
lx
ly
lx
C
B
B
A
A
0s i n2s i n2c o ss i n2 2121 glmglmllm
c o s
)(
1
212
lm
gmm
xO
y
C2
D
求,1、三棱柱后退的加速度 a1；
2、圆轮质心 C2相对于 三棱柱加速度 ar。
C1
A
C B?
例题 3 质量为 m1的 三棱柱 ABC
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。
质量为 m2、半径为 R的均质圆轮沿三棱柱的斜面 AB无滑动地滚下。
解,1、分析运动三棱柱作平动，加速度为 a1。
圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为 ae= a1 ； 质心的相对加速度为 ar； 圆轮的角加速度为?2。
a1
ae
ar
2
xO
y
C2
D
C1
A
C B?a1
m1g
m2 gFI1
FI 2 e
FI 2 r
MI2
ae
ar
解,2、施加惯性力
11I1 amF?
12I2 e amF?
r2I2 r amF?
22I2 αJM?
2
22 2
1 RmJ?
解,3、确定虚位移考察三棱柱和圆盘组成的系统，系统具有两个自由度。
第一组
0δ0δ，x
第二组
0δ0δ，x
二自由度系统具有两组虚位移：
x
xO
y
C2
D
C1
A
C B?
m1g
m2 gFI1
FI 2 e
FI 2 r
MI2解,4、应用动力学普遍方程
0δδδc o sδs i n 22r2Ie2I2 JRFRFRgm －
0)23c o s(1s in r1 aag
0δ0δ，x令：
11I1 amF?
12I2 e amF?
r2I2 r amF?
22I2 αJM?
2
22 2
1 RmJ?
2r?Ra?
xO
y
C2
D
C1
A
C B?
m1g
m2 gFI1
FI 2 e
FI 2 r
MI2解,4、应用动力学普遍方程
c os
)(
2
121
m
amma
r
令,0δ0δ，x
0cos)( r2Ie2I1I xFxFF
x11I1 amF?
12I2 e amF?
r2I2 r amF?
22I2 αJM?
2
22 2
1 RmJ?
2r?Ra?
解,5、求解联立方程
2
221
21
r
2
221
2
1
c os2)3(
)(s i n2
c os2)3(
s i n 2
mmm
mmg
a
mmm
gm
a
－
－
c os
)(
2
121
m
amma
r
0)23c o s(1s in r1 aag
§ 18-2 拉格朗日 (Lagrange)方程由 n个质点所组成的质点系主 动 力虚 位 移广义坐标第 i个质点的位矢
),,,( 21 nFFFF
),,,( 21 nrrrr
)( 21 Nqqqq,,,
),,,,( 21 tqqq Nii rr
由动力学普遍方程，得 0
11
i
n
i
iii
n
i
i δmδ rarF
N
k
kki
n
i
i qQδ
11
rF Qk—— 广义力
N
k
k
k
i
i qq
1
rr
i
n
i
ii δm ra
1
0)(
1111
k
k
i
n
i
ii
N
k
ki
n
i
iii
n
i
i qqmQδmδ?
rrrarF
),,2,1(0
1
NkqmQ
n
i k
i
iik
rr
k
k
i
n
i
ii
N
k
k
N
k k
i
n
i
ii qq
rmq
q
rm )(
1111?
rr
)()(
11
1
k
i
n
i
ii
k
i
i
n
i
i
n
i k
i
ii
qdt
d
m
qdt
d
m
q
m
r
r
r
r
r
r
( 消点)第一个拉格朗日关系式
k
i
k
i
rr
函数，仅为时间和广义坐标的和
j
ii
qt?
rr
无关与广义速度 jq?
广义速度
t
qqq
qt
k
kk
N
k k
ii
i d
d
1
rrr
k
N
k k
ii
i qqt
1
rrr
对任意一个广义坐标 qj 求偏导数
k
N
k kj
i
j
i
j
i q
qqtqq?
1
22 rrr
如果将位矢 对任意一个广义坐标 qj 求偏导数，再对时间求导数，则得到
k
N
k kj
i
j
i
j
i q
qqtqqt
1
22
d
d rrr
k
i
q?
r
k
i
qt
r
d
d＝ 第二个拉格朗日关系式
n
i k
i
ii
n
i
n
i k
i
ii
k
i
ii qdt
dm
qdt
dm
qm 11 1 )()(
rrrrrr
n
i k
i
ii
n
i k
i
i
n
i k
i
ii
n
i k
i
ii
q
m
q
m
dt
d
q
m
qdt
d
m
11
11
)(
r
r
r
r
r
r
r
r
k
n
i k
i
i
k
n
i
ii
k
n
i
iii
k
n
i k
i
i
q
T
q
m
q
T
vm
q
m
m
1
1
2
11
)(
2
1
)(
2
1
r
r
rr
r
r
kk
n
i k
i
ii q
T
q
T
dt
d
qm?
1
rr
k
i
k
i
qq?
rr
k
i
k
i
qqdt
d
rr?
),,2,1(0
1
NkqmQ
n
i k
i
iik
rr
kk
n
i k
i
ii q
T
q
T
dt
d
qm?
1
rr
),,2,1( NkQ
q
T
q
T
dt
d
k
kk
此即 拉格朗日方程,或称为 第二类拉格朗日方程。
如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主动力
k
k q
VQ
kkk q
V
q
T
q
T
t?
)(
d
d
),,2,1(,0),,,,( 21 NkqVqqqtVV
k
N
＝
0)()(dd ＝－－－
kkkk q
V
q
T
q
V
q
T
t?
引入拉格朗日函数
L＝ T－ V
得到 主动力为有势力的拉格朗日方程
0)(
d
d?
kk q
L
q
L
t?
对于只具有完整约束、自由度为 N 的系统，可以得到由 N 个拉格朗日方程组成的方程组。
应用拉格朗日方程，一般应遵循以下步骤：
首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势，
决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。
其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。
按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广义力。
将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。
拉格朗日方程的应用
O
A
R
rM
例 题 4
均质杆 OA质量为 m1、可以绕 O端转动,
小 齿 轮 A质量为 m2，半径为 r,其上作用力偶 M。
求,该杆的运动方程。
解,1、系统具有一个自由度，
取? 为其广义坐标。
22
2
2
2
1
2
1
2
1
AAAO JvmJT
2、计算系统的动能：
22
21 ))(92(12
1rRmm
r
rR
r
v
rRv
A
A
A
)(
其中：
O
A
R
rM
3、计算广义力：
22
2
2
2
1
2
1
2
1
AAAO JvmJT
22
21 ))(92(12
1rRmm
MMWQ F
4、应用拉格朗日方程
Q
TT
t
)(
d
d
MrRmm221 ))(92(61
2
21 ))(92(
6
rRmm
M
00
2
2
21 ))(92(
3
ttrRmm
M?
例 题 5 已知,m1,m2,R,f,F 。求,板的加速度。
F
C R解,1、系统具有二个自由度，
取 x,? 为其广义坐标。
O
xx
22
2
2
1 2
1
2
1
2
1
CC JvmxmT
2、计算系统的动能：
2
22
1 RmJ
Rxv
C
C
其中：
22
22
2
21 4
3)(
2
1 RmxRmxmm
3、计算广义力：
gfmmFx xFFxWQ sFx )()( 21
(1)令,0δ0δ，x
(2)令,0δ0δ，x
0 FWQ
Fs
4、应用拉格朗日方程
xQx
T
x
T
t
)(
d
d
Rmxmm
x
T
dt
d
Rmxmm
x
T
221
221
)(
)(
gfmmFRmxmm )()( 21221
Q
TT
t
)(
d
d
2
22
2
22
2
3
2
3
RmxRm
x
T
RmxRm
T
023 222 RmxRm
3
)(
2
1
21
mm
gmmfFa
解得：
22
22
2
21 4
3)(
2
1 RmxRmxmmT
0Q
gfmmFQ x )( 21
例 题 6
x
O
x
l0质量为 m、长度为 l的均质杆 AB
可以绕 A端的铰链在平面内转动。
A端的小圆轮与刚度系数为 k的弹簧相连，并可在滑槽内上下滑动。
弹簧的原长为 l0。
求,系统的运动微分方程
A
B
k
C
解,1、系统的约束为完整约束，
主动力为有势力。
2、系统具有两个自由度，广义坐标选择为 q=(x,?),x 坐标的原点取在弹簧原长的下方 。
x
O
x
l0
A
B
k
C
解,3、计算系统的动能：不计弹簧的质量，系统的动能即为 AB杆的动能
22
2
1
2
1
CC JmvT
速度 vC的确定
c o s2s i n2 lyly CC
s i n2c o s2 lxxlxx CC
)
3
1
s i n(
2
1
2
1
)c o s
2
1
()s i n
2
(
2
1
222
222
llxxm
J
l
xmT C
)c o s2(21 2?lxmgkxV
系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成，以 O点为共同的势能零点：
x
O
x
l0
A
B
k
C
拉格朗日函数
)c o s2(21 2?lxmgkx
VTL
)31s i n(21 222 llxxm
4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程
21
21
,
,2,1,
qxq
qxqkq k广义坐标
0)(
d
d?
kk q
L
q
L
t?
m g xkxxL － s in21 lmxmxL
c o s21s i n21)(dd 2 lmlmxmxLt
)c o s2(21 2?lxmgkx
)31s i n(21 222 llxxmVTL
0)(dd xLxLt?
0c o s21s i n21 2 mgkxmlmlxm
0)(dd LLt?
c o s21s i n213)(dd
2
lxmxmlmlLt
s i n21c o s21 m g llxmL s in2131 2 xmlmlL
0s i n21s i n213 gxl －
0c o s21s i n21 2 mgkxmlmlxm
)c o s2(21 2?lxmgkx
)31s i n(21 222 llxxmVTL
O
A
C
k
例 题 7
质量为 m1、半径为 r 的均质圆轮在水平面上纯滚,轮心与刚性系数为 k的弹簧相连。 均质杆 AB
长度为 l，质量为 m2 。
求,系统的运动微分方程。
解,1、系统的约束为完整约束，
主动力为有势力。
2、系统具有两个自由度，广义坐标选择为 q=(x,?),x 坐标的原点取在弹簧原长处 。
x
x
y
O
A
C
k
x
x
y
3、计算系统的动能：
22
2
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
CC
OO
Jvm
JxmT
速度 vC的确定
s i n2c o s2 lyly CC
c o s2s i n2 lxxlxx CC
c o s2121 22 glmkxV
系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成,
c o s2161)23(41 2222221 xlmlmxmmT
O
A
C
k
x
x
y
拉格朗日函数
4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程
0)(
d
d?
kk q
L
q
L
t?
VTL
c o s2161)23(41 2222221 xlmlmxmm
c o s2121 22 glmkx
21
21
,
,2,1,
qxq
qxqkq k广义坐标
kxxL － c o s21)23(21 221 lmxmmxL
s i n21c o s21)23(21)(dd 22221 lmlmxmmxLt
0)(dd xLxLt?
c o s2161)23(41 2222221 xlmlmxmmVTL
c o s2121 22 glmkx
0s i nc o s)23( 22221 kxlmlmxmm
s i n21s i n21 22 glmxmL c o s2131 222 xlmlmL
s i n21c o s2131)(dd 2222 xlmxlmlmxLt
0)(
d
d?
LL
t?
c o s2161)23(41 2222221 xlmlmxmmVTL
c o s2121 22 glmkx
0s i nc o s32 gxl
0s i nc o s)23( 22221 kxlmlmxmm
O1
O2
例 题 8
质量为 m、半径为 3R 的均质大圆环在粗糙的水平面上纯滚 。另一小圆环质量亦为 m,半径为 R,
又在粗糙的大圆环内壁做纯滚动。
不计滚动摩阻，整个系统处于铅垂面内。
求,系统的运动微分方程。
解,1、系统的约束为完整约束，
主动力为有势力。
2、系统具有两个自由度，广义坐标选择为 q=(?,? )。
O1
O2
3、计算系统的动能：
2
22
2
2
2
11
2
1 2
1
2
1
2
1
2
1
OOOOOO JmvJmvT
由运动学可知：
11,3 OO Rv
建立随质心 O1平动的坐标系 O1 x1 y1
x1
y1
O1
O2
E
vO1 v
O2r vEr
23
2,3
2
2
2
R
vv
RvRv
rOEr
O
rOEr
c o s1249
c o s2
22222
21
2
2
2
1
2
2
RRR
vvvvv rOOrOOO
O1
O2
3、计算系统的动能：
2
22
2
2
2
11
2
1 2
1
2
1
2
1
2
1
OOOOOO JmvJmvT
11,3 OO Rv
O1
O2
E
vO1 v
O2r vEr
2322 R vv rOErO
c o s1249
c o s2
22222
21
2
2
2
1
2
2
RRR
vvvvv rOOrOOO
)c o s1(6
418
2
2222
mR
mRmR
系统的势能：
c o s2 m g RV
O1
O2
拉格朗日函数
4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程
0)(
d
d?
kk q
L
q
L
t?
VTL
21
21
,
,2,1,
qqkq k广义坐标
)c o s1(6
418
2
2222
mR
mRmR
c o s2 m g R?
0L )c o s1(636 22 mRmRL
s i n6)c o s1(636)(dd 2222 mRmRmRLt
0)(
d
d?
LL
t?
0s i n)cos1(6 2
c o s2)c o s1(6418 22222 mg RmRmRmRVTL
s i n2s i n6 2 m g RmRL
)c o s1(68 22 mRmRL
s i n6)c o s1(68)(dd 222 mRmRmRLt
0)(dd LLt? 0s i n)c o s1(34
R
g
c o s2)c o s1(6418 22222 mg RmRmRmRVTL
0s i n)cos1(6 2
§ 18-3 拉格朗日 (Lagrange)方程的初积分
（ 1）循环积分（广义动量守恒）
（ 2）能量积分（广义能量守恒）
当 L 函数不显含某一广义坐标 qj时,qj ___称为 循环坐标,
此时，有循环积分：
广义动量?
j
j
jj
p
c o n s tp
q
T
q
L
系统主动力有势,L 函数不显含时间 t,约束是定常的，
即有机构能守恒：
EVT
O1
O2
)c o s1(6418 22222 mRmRmRT
c o s2 m g RV
c o s2)c o s1(6
418
2
2222
m g RmR
mRmRVTL
由能量积分得：
c o n s tgR c o s]2)c o s1(39[ 22
因 L 函数不显含?,故? 为循环坐标，系统存在循环积分：
c o n s tLL,0 c o n s t )c o s1(6
c o n s tgR c o s]2)c o s1(39[ 22
c o n s t )c o s1(6
0s i n)c o s1(34 Rg
0s i n)cos1(6 2
O1
O2
结论与讨论
达朗贝尔原理、虚位移原理与拉格朗日方程
达朗贝尔原理在形式上将质点系动力学问题化为静力学平衡问题。
虚位移原理给出了质点系平衡的充分与必要条件。
通过达朗贝尔原理可以将虚位移原理推广应用于质点系的动力学问题，得到达朗贝尔－
拉格朗日方程，即第一类拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程，用于求解具有理想约束的非自由质点系的动力学第二类问题，即已知主动力求运动。
结论与讨论
第一类拉格朗日方程，即达朗贝尔－拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程。
)21(0δ)( nim i
i
iii,,,raF
达朗贝尔－拉格朗日方程适用于具有理想约束或双面约束的系统。
达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。
达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。
达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统。
结论与讨论
第二类拉格朗日方程,仅用动能、势能以及广义主动力等少数几个标量便可描述复杂质点系的运动。但只能用于具有完整约束的系统。
基本形式主动力有势形式结论与讨论
),,2,1()( NkQqTqTdtd k
kk
),,2,1(0)( NkqLqLdtd
kk
结论与讨论
（ 1）循环积分（广义动量守恒）
（ 2）能量积分（广义能量守恒）
广义动量?
j
j
jj
p
c o n s tp
q
T
q
L
EVT
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