动量矩定理
几个有意义的实际问题
动量矩定理
结论与讨论
相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
刚体平面运动微分方程
质点和 质点系动量矩
刚体绕定轴转动的微分方程
？
几个有意义的实际问题谁最先到达顶点
？
几个有意义的实际问题直升飞机如果没有尾翼将发生什么现象
？
几个有意义的实际问题为什么二者转动方向相反几个有意义的实际问题航天器是怎样实现姿态控制的
1,质点的动量矩
vrvM mmO)(
§ 13-1 质点和质点系的动量矩
Mo(mv)
O
A(x,y,z)
B
r
mv
h y
x
z
MO(mv) =mvh=2△ OAB
MO(mv) 定位矢量
)()]([ vvM mMm zzO?
2,质点系的动量矩
O
ri
vi
y
x
z
m1
mim2 ii
)(
vr
vML
m
m iiOO
)( iizz mML v
质点系中所有质点对于点 O的动量矩的矢量和，称为质点系对点 O的动量矩。
zzO L?][ L
vi
ri
mi
y
x
z
22
)(
iiii
iiiiizz
rmrm
rvmmML
v
令：
z2ii Jrm
zz JL?
Jz—— 刚体对 z 轴的转动惯量
★ 绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。
定轴转动刚体对转轴的动量矩
§ 13-2 动量矩定理
1,质点的动量矩定理
Mo(F)
Mo(mv)
O
A(x,y,z)
B
r
mv
y
x
z
F
)(
)(
)()(
FM
Frvv
vrv
r
vrvM
O
O
m
m
dt
d
m
dt
d
m
dt
d
m
dt
d
)()( FMvM OO mdtd?
★ 质点对某 定点 的动量矩对时间的导数，等于作用力对同一点的力矩。
)()( FMvM OO mdtd?
)()(
)()(
)()(
Fv
Fv
Fv
zz
yy
xx
MmM
dt
d
MmM
dt
d
MmM
dt
d
2,质点的动量矩守恒定律
0)(, FzM若2
恒矢量?)( vM mO
量 恒?)( vmM z
0)(, FM O若1
rmv
F
M
O
h
有心力作用下的运动问题
0)(O FM
恒矢量?
vrvM mmO )(
★ 有心力作用下的运动轨迹是平面曲线。
c o n s tm v hmO)( vM
3,质点系的动量矩定理
)()()( )()( iiOeiOiiO mdtd FMFMvM
)( eiOdtd FML O
0)( )( iiO FM其中：
)()()( )()( iiOeiOiiO mdtd FMFMvM
)(
)(
)(
( e )
izz
( e )
iyy
( e )
ixx
ML
dt
d
ML
dt
d
ML
dt
d
F
F
F
★ 质点系对某 定点 的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的 外力 对同一点的矩的矢量和。
4,质点系动量矩守恒定律
e
e
e
d
d
d
d
d
d
Oz
Oz
Oy
Oy
Ox
Ox
M
t
L
M
t
L
M
t
L
0
0
0
e
e
e
Oz
Oy
Ox
M
M
M
3
2
1
CL
CL
CL
Oz
Oy
Ox
e
d
d
O
O
t M
L? CL?O，＝ 0eOM
如果外力系对于定点的主矩等于 0,则质点系对这一点的动量矩守恒 。
如果外力系对于定轴之矩等于 0,则质点系对这一轴的动量矩守恒 。
解,取系统为研究对象例 题 1
均质圆轮半径为 R,质量为 m,圆轮对转轴的转动惯量为 JO。圆轮在重物 P带动下绕固定轴 O转动，
已知重物重量为 W。
求,重物下落的加速度
O
P
W
v
vRgWJL OO
mg
FOx
FOy
WRM e?)(
R
v
vRgWRJL OO )(
应用动量矩定理
)( eO M
td
Ld?
WRdtdvRgWRJ O )(
)( 2
2
R
g
W
J
WR
a
O?
例 题 2 水流通过固定导流叶片进入叶轮，入口和出口的流速分别为 v
1
和 v2,二者与叶轮外周边和内周边切线之间的夹角分别为?1和? 2，
水的体积流量为 qV,密度为?，
水流入口和出口处叶轮的半径分别为 r1和 r2,叶轮水平放置。
求,水流对叶轮的驱动力矩。
解,在 d t 时间间隔内，水流
ABCD段的水流运动到 abcd时，
所受的力以及他们对 O轴之矩：
重力 —— 由于水轮机水平放置，重力 对 O轴之矩等于 0；
相邻水流的压力 —— 忽略不计；
叶轮的反作用力矩 —— 与水流对叶轮的驱动力矩大小相等，方向相反。
a b
cd
a b
cd
A B a bC D c d
A B C Da b c dz
LL
LLdL
111
222
c o s
c o s
rvdtqL
rvdtqL
VA B a b
VC D c d
应用动量矩定理
)(
d
d e
z
z M
t
L?
)c o sc o s( 111222 rvrvqM Vz
)c o sc o s( 111222 rvrvqMnM Vzz
Mz
例 题 3 求,此时系统的角速度
z
a a
l l
A B
C D?o
z
A B
C D?
解,取系统为研究对象
0)( ezM
恒量?zL
0201 22 maamaL z
22 )s in(2 lamL z
02
2
)s in(
la
a
mg mg
0)( ( e )izM F?:解
0量 恒 zL
0 rvmrvm BaBAaA
uvv
uvv
BrBa
ArAa
BaAa vv?
2
BrAr vvu
2
BrAr
BaAa
vvvv
强与弱不分胜负
§ 13-3 刚体绕定轴的转动微分方程
z
i iiii iiiOz
Jr)rm(r)m(L v
i
iiz rmJ
2
—— 刚体 z轴的转动惯量v
ir
im
i
F1
F2
Fn
Fi
y
x
z
)()( izz MJdtd F
)(2
2
F zzzz M
dt
dJ
dt
dJJ
★ 质刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。
)( F zz MJ? Fa?m
c o n s tM ( e )iz0)(,F若1
c o n s tc o n s tM ( e )iz)(,F若2
★ 转动惯量 —— 是刚体转动时惯性的度量
a
C
mg
O
解,取摆为研究对象例 题 5 求,微小摆动的周期。
已知,m,a,JO。
s in2
2
m g adtdJ O
摆作微小摆动，有,s in
02
2
OJ
m g a
dt
d
此方程的通解为
)s in (0 t
J
m g a
O m ga
JT O?2?
周期为
0
O FN
F
例 题 5 求,制动所需的时间。
已知,JO,? 0,FN,f 。
解,取飞轮为研究对象
RfFFRdtdJ NO
dtRfFdJ t NO 00 0
解得
RFf
J
t
N
O 0
例 题 6
求,轴 Ⅰ 的角加速度。
已知,J1,J2,R1,R2,i12 = R2 / R1
M1,M2。
Ⅰ
Ⅱ
M1
M2
M2
M1
1
2
F Fn
F′
Fn′
解,分别取轴 Ⅰ 和 Ⅱ 为研究对象
1111 RFMJ
2222 MRFJ
1
2
12
2
1
R
Ri
解得：
)()( 2
12
2
1
12
2
11 i
JJ
i
MM
§ 13-4 刚体对轴的转动惯量刚体对 转 轴的转动惯量转动惯量 —— 是刚体转动时惯性的度量。
转动惯量的大小不仅与质量的大小有关，而且与质量的分布情况有关。
其单位在国际单位制中为 kg·m2
2iiz rmJ
)( F zz MJ?
1,简单形状物体的转动惯量的计算
（ 1）均质细直杆 C BA
l x dx
x
z
（ 2）均质圆环
R O
z
222
0
2
12
1
mlxdx
l
m
rmJ
l
iiCz
2
3
1 mlJ
Az?
22 mRrmJ iiCz
（ 3）均质圆板
R
d?
O
2,惯性半径（或回转半径）
22
0 2
2
2
1
2 mRd
R
m
rmJ
R
iiCz
2
zz mJ
惯性半径( 回转半径)
m
J z
z?
2,平行轴定理
)( 212121 yxmrmJ iizC
iii
i
iiz
mdymdyxm
dyxm
yxmrmJ
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
222
2)(
])([
)(
01?
i
i
C m
ymy 2mdJJ
zCz
★ 两轴必须是相互平行
★ JZC 必须是通过质心的
C BA
zCz
l
O
C
d
m1
m2
)83(31 22221 ldldmlmJ O
22
3
1)
2( ml
lmJJ
Czz
盘杆 OOO JJJ
2
13
1 lmJ
O?杆
)83()2( 22222 ldldmdlmJJ CO盘
O C
例 题 6
求,O 处动约束反力。
已知,m,R 。
解,取圆轮为研究对象
mg
FOy
FOx
m g RJ O
222
2
3
2
1 mRmRmRJ
O
解得：
R
g
3
2
CyOy
e
y
CxOx
e
x
maFmgF
maFF
)(
)(
由质心运动定理
gRaa CyCx 23,0
mgF
F
Oy
Ox
2
1
0
§ 13-5 质点系相对于质心的动量矩定理
mi
ri′
O y
x
z
ri
y′
x′
z′
C
vi
rC
ii)( vrvML mm iiOO
iCi rrr
iiC
iC )(
vrvr
vrrL
iii
iiO
mm
m
Ci vv mm i
ivrL iiC m
CO m LvrL CC
CO m LvrL CC
)(
CC )(
e
iiC
O m
dt
d
dt
d FrLvrL
iCi rrr
)()(
CCC
C e
ii
e
iC
C
dt
dm
dt
dm
dt
d FrFrLvrvr
0 CC vv )( eiCC mmdtd Fav
)( )()( eiCeiiCdtd FMFrL
)( )( eiCCdtd FML
质点系相对于质心 ( 平移系 ) 的动量矩对时间的导数，
等于作用于质点系的外力对质心的主矩,这就是 质点系相对于质心 (平移系 )的动量矩定理 。
)( )( eiCCdtd FML
这一表达式只有将质心取为定点才是正确的。
当外力对质心的主矩为 0时，
c o n s tC?L
mi
ri′
O y
x
z
ri
y′
x′
z′
C
vi
rC
irCi vvv
irC
irC
i
)(
vrvr
vvr
vrL
iiii
ii
iiC
mm
m
m
0 Cii mm rr
iri vrL iC m
由质心坐标公式，有
§ 13-6 刚体的平面运动微分方程
O
y
x
x′
y′
C
D
CC JL?
F1
F2Fn
)( )(
)(
e
iCCC
e
iC
MJJ
dt
d
m
F
Fa
由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，有：
)( )(
2
2
)(
2
2
e
iCC
e
i
C
M
dt
d
J
dt
d
m
F
F
r
刚体平面运动微分方程
e
RFFa
i
iCm
eer )()(
d
d
d
d
C
i
iCCC
C MMJJ
tt
L F
)(
e
i
iCC
i
yC
i
xC
MJ
Fym
Fxm
F
刚体平面运动微分方程例 题 7 已知,m,R,f,?。
就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。
C
FN
mg
(a) 斜面光滑
aC
解,取圆轮为研究对象
0
0c os
s i n
)(
)(
)(
e
CC
CyN
e
y
CCx
e
x
MJ
maFmgF
mamamgF
c os
0
s in
mgF
ga
N
C
圆盘作平动
(b) 斜面足够粗糙
Ra
FRJ
FmgF
maFmgF
C
C
N
e
y
C
e
x
0c os
s in
)(
)(
c os
s in
3
1
s in
3
2
s in
3
2
mgF
mgF
R
g
ga
N
C
C
FN
aC
mg
F
NfFF?
由 得：
t a n31 gf?
满足纯滚的条件：
(c) 斜面介于上述两者之间
N
C
N
e
y
C
e
x
fFF
FRJ
FmgF
maFmgF
0c os
s i n
)(
)(
c o s
2
)c o s( s in
R
fg
fga C
c o s
c o s
m g fF
mgF N
C
FN
aC
mg
F
圆盘既滚又滑
F
C
例 题 8 已知,m1,m2,R,f,F 。求,板的加速度。
F
C
F1
FN1
FN2 F2
′FN2′F
2
m1g
m2g
a
aCar
解,取板和圆轮为研究对象对板：
211 FFFam
对圆轮：
RFRm
Fam C
2
2
2
22
2
1
gmmfF
Raa C
)( 211
3
)(
2
1
21
mm
gmmfFa
解得：
关于突然解除约束问题
O FOx
FOy
W=mg
O
FOy
FOx
W=mg
解除约束前：
FOx=0,FOy=mg/2
突然解除约束瞬时：
FOx=？,FOy=？
关于突然解除约束问题例 题 9
突然解除约束瞬时，
杆 OA将绕 O轴转动，
不再是静力学问题。
这时, 0, 0。
需要先求出?,再确定约束力。
应用定轴转动微分方程
l
glmgml
2
3,
23
1 2
应用质心运动定理
Oy
Ox
Fmg
l
m
F
l
m
2
0
2
2
O FOx
FOy
W=mg
42
0
mglmmgF
F
Oy
Ox
解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续，
加速度与角加速度将发生突变。
突然解除约束问题的特点
系统的自由度一般会增加；
W=mg
O
A BC
例 题 10 已知,OA=OB=AB=l 。
求,剪断 OB 绳瞬时,OA绳的张力。
B
W=mg
A C
FA
解,取 AB 杆为研究对象应用平面运动微分方程
2
60s in
12
1
60s in
60c o s
2
)(
)(
l
FmlJ
maFmgF
maFF
AC
cyA
e
y
CxA
e
x
60°
aA
aCA
aA
应用平面运动加速度分析，取 A 为基点。
2
,0
l
aa CAnCA
n
CACAAC
aaaa
230s i n,30c o s laaaa ACyAcx
A C B
B
W=mg
A C
FA
2
60s in
12
1
60s in
60c o s
2
)(
)(
l
FmlJ
maFmgF
maFF
AC
cyA
e
y
CxA
e
x
60°
A C
aA
aCA
aA
2
30s in
,30c o s
l
aa
aa
ACy
Acx
.13 2,1318,13 32 galgmgF AA
解得：
请问能否直接对 A点列写动量矩方程？
W=mg
O
A BC
W=mg
A BC
请问若将上述两问题中的绳子改为一刚性系数为 k 的弹簧，则会发生什么变化，其计算过程和计算方法是否还不变？
结论与讨论质点系动力学中的两个矢量系
作用在质点系上的外力系 —— 力系及其基本特征量
,F,.,,,F,.,,,F,FF )( 21 ni?：力系
i
iOO )
e FMM （主矩
,FF
i
i
e
R主矢基本特征量,
质点系动力学中的两个矢量系
作用在质点系上的动量系 —— 动量系及其基本特征量
,p,.,,,p,.,,,p,pp )( 21 ni?：动量系
,vpp
i i
iii m质点系动量:主矢基本特征量,
i i
iiOiOO m )( vMLL质点系动量矩:主矩结论与讨论外力系与动量系之间的关系之一,质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理之二,质点系动量定理与相对质心 (平移系 )动量矩定理之三,刚体平面运动微分方程结论与讨论外力系与动量系之间的关系之一,质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理
e
Rd
d Fp?
t
质点系动量定理
e
d
d
O
O
t M
L?质点系相对定点动量矩定理质点系相对定轴动量矩定理
e
e
e
d
d
d
d
d
d
Oz
Oz
Oy
Oy
Ox
Ox
M
t
L
M
t
L
M
t
L
结论与讨论之二,质点系动量定理与相对质心 (平移系 )动量矩定理
e
Rd
d Fp?
t
质点系动量定理
er
d
d
C
C
t M
L?质点系相对质心 (平移系 )动量矩定理
—— 描述质点系质心的运动
—— 描述质点系相对质心的运动定轴转动的特殊情形
zz MJ
之一,质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理之三,刚体平面运动微分方程 —— 动量定理和相对质心动量矩定理描述平面运动刚体的总体运动。
)(
e
i
iCC
i
yC
i
xC
MJ
Fym
Fxm
F
描述刚体质心的运动
－描述刚体相对质心 (平移系 )的转动
0)(
0
0
e
＝
＝
＝
i
iC
i
y
i
x
M
F
F
F
静力学静力学是动力学的特殊情形应用动量矩定理时
一般情形下，应该以定点、定轴或质心 (平移系 )
为矩心，或取矩轴；对于加速度指向质心的速度瞬心，对质心 (平移系 )动量矩定理与对定点的动量矩定理形式相同。
动量矩定理主要应用于分析具有转动系统的动力学问题。
对于定轴问题,系统各部分对定轴的角速度必须是同一惯性参考系中的角速度，也就是绝对角速度。
计算动量矩以及外力矩时，都要采用相同的正负号规则 —— 右手定则 。
结论与讨论
？谁最先到 达顶点结论与讨论? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题结论与讨论? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题
？ 直升飞机如果没有尾翼将发生什么现象结论与讨论? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题航天器是怎样实现姿态控制的
？
结论与讨论? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题跳远运动员怎样使身体在空中不发生转动
？
结论与讨论? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题跳远运动员怎样使身体在空中不发生转动结论与讨论? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题
？ 无论力偶加在哪里，为什么圆盘总是绕着质心转动结论与讨论? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题
？ 无论力偶加在哪里，为什么圆盘总是绕着质心转动返回本章目录页
几个有意义的实际问题
动量矩定理
结论与讨论
相对于质心 (平移系 )的质点系动量矩定理
刚体平面运动微分方程
质点和 质点系动量矩
刚体绕定轴转动的微分方程
？
几个有意义的实际问题谁最先到达顶点
？
几个有意义的实际问题直升飞机如果没有尾翼将发生什么现象
？
几个有意义的实际问题为什么二者转动方向相反几个有意义的实际问题航天器是怎样实现姿态控制的
1,质点的动量矩
vrvM mmO)(
§ 13-1 质点和质点系的动量矩
Mo(mv)
O
A(x,y,z)
B
r
mv
h y
x
z
MO(mv) =mvh=2△ OAB
MO(mv) 定位矢量
)()]([ vvM mMm zzO?
2,质点系的动量矩
O
ri
vi
y
x
z
m1
mim2 ii
)(
vr
vML
m
m iiOO
)( iizz mML v
质点系中所有质点对于点 O的动量矩的矢量和，称为质点系对点 O的动量矩。
zzO L?][ L
vi
ri
mi
y
x
z
22
)(
iiii
iiiiizz
rmrm
rvmmML
v
令：
z2ii Jrm
zz JL?
Jz—— 刚体对 z 轴的转动惯量
★ 绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。
定轴转动刚体对转轴的动量矩
§ 13-2 动量矩定理
1,质点的动量矩定理
Mo(F)
Mo(mv)
O
A(x,y,z)
B
r
mv
y
x
z
F
)(
)(
)()(
FM
Frvv
vrv
r
vrvM
O
O
m
m
dt
d
m
dt
d
m
dt
d
m
dt
d
)()( FMvM OO mdtd?
★ 质点对某 定点 的动量矩对时间的导数，等于作用力对同一点的力矩。
)()( FMvM OO mdtd?
)()(
)()(
)()(
Fv
Fv
Fv
zz
yy
xx
MmM
dt
d
MmM
dt
d
MmM
dt
d
2,质点的动量矩守恒定律
0)(, FzM若2
恒矢量?)( vM mO
量 恒?)( vmM z
0)(, FM O若1
rmv
F
M
O
h
有心力作用下的运动问题
0)(O FM
恒矢量?
vrvM mmO )(
★ 有心力作用下的运动轨迹是平面曲线。
c o n s tm v hmO)( vM
3,质点系的动量矩定理
)()()( )()( iiOeiOiiO mdtd FMFMvM
)( eiOdtd FML O
0)( )( iiO FM其中：
)()()( )()( iiOeiOiiO mdtd FMFMvM
)(
)(
)(
( e )
izz
( e )
iyy
( e )
ixx
ML
dt
d
ML
dt
d
ML
dt
d
F
F
F
★ 质点系对某 定点 的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的 外力 对同一点的矩的矢量和。
4,质点系动量矩守恒定律
e
e
e
d
d
d
d
d
d
Oz
Oz
Oy
Oy
Ox
Ox
M
t
L
M
t
L
M
t
L
0
0
0
e
e
e
Oz
Oy
Ox
M
M
M
3
2
1
CL
CL
CL
Oz
Oy
Ox
e
d
d
O
O
t M
L? CL?O，＝ 0eOM
如果外力系对于定点的主矩等于 0,则质点系对这一点的动量矩守恒 。
如果外力系对于定轴之矩等于 0,则质点系对这一轴的动量矩守恒 。
解,取系统为研究对象例 题 1
均质圆轮半径为 R,质量为 m,圆轮对转轴的转动惯量为 JO。圆轮在重物 P带动下绕固定轴 O转动，
已知重物重量为 W。
求,重物下落的加速度
O
P
W
v
vRgWJL OO
mg
FOx
FOy
WRM e?)(
R
v
vRgWRJL OO )(
应用动量矩定理
)( eO M
td
Ld?
WRdtdvRgWRJ O )(
)( 2
2
R
g
W
J
WR
a
O?
例 题 2 水流通过固定导流叶片进入叶轮，入口和出口的流速分别为 v
1
和 v2,二者与叶轮外周边和内周边切线之间的夹角分别为?1和? 2，
水的体积流量为 qV,密度为?，
水流入口和出口处叶轮的半径分别为 r1和 r2,叶轮水平放置。
求,水流对叶轮的驱动力矩。
解,在 d t 时间间隔内，水流
ABCD段的水流运动到 abcd时，
所受的力以及他们对 O轴之矩：
重力 —— 由于水轮机水平放置，重力 对 O轴之矩等于 0；
相邻水流的压力 —— 忽略不计；
叶轮的反作用力矩 —— 与水流对叶轮的驱动力矩大小相等，方向相反。
a b
cd
a b
cd
A B a bC D c d
A B C Da b c dz
LL
LLdL
111
222
c o s
c o s
rvdtqL
rvdtqL
VA B a b
VC D c d
应用动量矩定理
)(
d
d e
z
z M
t
L?
)c o sc o s( 111222 rvrvqM Vz
)c o sc o s( 111222 rvrvqMnM Vzz
Mz
例 题 3 求,此时系统的角速度
z
a a
l l
A B
C D?o
z
A B
C D?
解,取系统为研究对象
0)( ezM
恒量?zL
0201 22 maamaL z
22 )s in(2 lamL z
02
2
)s in(
la
a
mg mg
0)( ( e )izM F?:解
0量 恒 zL
0 rvmrvm BaBAaA
uvv
uvv
BrBa
ArAa
BaAa vv?
2
BrAr vvu
2
BrAr
BaAa
vvvv
强与弱不分胜负
§ 13-3 刚体绕定轴的转动微分方程
z
i iiii iiiOz
Jr)rm(r)m(L v
i
iiz rmJ
2
—— 刚体 z轴的转动惯量v
ir
im
i
F1
F2
Fn
Fi
y
x
z
)()( izz MJdtd F
)(2
2
F zzzz M
dt
dJ
dt
dJJ
★ 质刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。
)( F zz MJ? Fa?m
c o n s tM ( e )iz0)(,F若1
c o n s tc o n s tM ( e )iz)(,F若2
★ 转动惯量 —— 是刚体转动时惯性的度量
a
C
mg
O
解,取摆为研究对象例 题 5 求,微小摆动的周期。
已知,m,a,JO。
s in2
2
m g adtdJ O
摆作微小摆动，有,s in
02
2
OJ
m g a
dt
d
此方程的通解为
)s in (0 t
J
m g a
O m ga
JT O?2?
周期为
0
O FN
F
例 题 5 求,制动所需的时间。
已知,JO,? 0,FN,f 。
解,取飞轮为研究对象
RfFFRdtdJ NO
dtRfFdJ t NO 00 0
解得
RFf
J
t
N
O 0
例 题 6
求,轴 Ⅰ 的角加速度。
已知,J1,J2,R1,R2,i12 = R2 / R1
M1,M2。
Ⅰ
Ⅱ
M1
M2
M2
M1
1
2
F Fn
F′
Fn′
解,分别取轴 Ⅰ 和 Ⅱ 为研究对象
1111 RFMJ
2222 MRFJ
1
2
12
2
1
R
Ri
解得：
)()( 2
12
2
1
12
2
11 i
JJ
i
MM
§ 13-4 刚体对轴的转动惯量刚体对 转 轴的转动惯量转动惯量 —— 是刚体转动时惯性的度量。
转动惯量的大小不仅与质量的大小有关，而且与质量的分布情况有关。
其单位在国际单位制中为 kg·m2
2iiz rmJ
)( F zz MJ?
1,简单形状物体的转动惯量的计算
（ 1）均质细直杆 C BA
l x dx
x
z
（ 2）均质圆环
R O
z
222
0
2
12
1
mlxdx
l
m
rmJ
l
iiCz
2
3
1 mlJ
Az?
22 mRrmJ iiCz
（ 3）均质圆板
R
d?
O
2,惯性半径（或回转半径）
22
0 2
2
2
1
2 mRd
R
m
rmJ
R
iiCz
2
zz mJ
惯性半径( 回转半径)
m
J z
z?
2,平行轴定理
)( 212121 yxmrmJ iizC
iii
i
iiz
mdymdyxm
dyxm
yxmrmJ
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
222
2)(
])([
)(
01?
i
i
C m
ymy 2mdJJ
zCz
★ 两轴必须是相互平行
★ JZC 必须是通过质心的
C BA
zCz
l
O
C
d
m1
m2
)83(31 22221 ldldmlmJ O
22
3
1)
2( ml
lmJJ
Czz
盘杆 OOO JJJ
2
13
1 lmJ
O?杆
)83()2( 22222 ldldmdlmJJ CO盘
O C
例 题 6
求,O 处动约束反力。
已知,m,R 。
解,取圆轮为研究对象
mg
FOy
FOx
m g RJ O
222
2
3
2
1 mRmRmRJ
O
解得：
R
g
3
2
CyOy
e
y
CxOx
e
x
maFmgF
maFF
)(
)(
由质心运动定理
gRaa CyCx 23,0
mgF
F
Oy
Ox
2
1
0
§ 13-5 质点系相对于质心的动量矩定理
mi
ri′
O y
x
z
ri
y′
x′
z′
C
vi
rC
ii)( vrvML mm iiOO
iCi rrr
iiC
iC )(
vrvr
vrrL
iii
iiO
mm
m
Ci vv mm i
ivrL iiC m
CO m LvrL CC
CO m LvrL CC
)(
CC )(
e
iiC
O m
dt
d
dt
d FrLvrL
iCi rrr
)()(
CCC
C e
ii
e
iC
C
dt
dm
dt
dm
dt
d FrFrLvrvr
0 CC vv )( eiCC mmdtd Fav
)( )()( eiCeiiCdtd FMFrL
)( )( eiCCdtd FML
质点系相对于质心 ( 平移系 ) 的动量矩对时间的导数，
等于作用于质点系的外力对质心的主矩,这就是 质点系相对于质心 (平移系 )的动量矩定理 。
)( )( eiCCdtd FML
这一表达式只有将质心取为定点才是正确的。
当外力对质心的主矩为 0时，
c o n s tC?L
mi
ri′
O y
x
z
ri
y′
x′
z′
C
vi
rC
irCi vvv
irC
irC
i
)(
vrvr
vvr
vrL
iiii
ii
iiC
mm
m
m
0 Cii mm rr
iri vrL iC m
由质心坐标公式，有
§ 13-6 刚体的平面运动微分方程
O
y
x
x′
y′
C
D
CC JL?
F1
F2Fn
)( )(
)(
e
iCCC
e
iC
MJJ
dt
d
m
F
Fa
由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，有：
)( )(
2
2
)(
2
2
e
iCC
e
i
C
M
dt
d
J
dt
d
m
F
F
r
刚体平面运动微分方程
e
RFFa
i
iCm
eer )()(
d
d
d
d
C
i
iCCC
C MMJJ
tt
L F
)(
e
i
iCC
i
yC
i
xC
MJ
Fym
Fxm
F
刚体平面运动微分方程例 题 7 已知,m,R,f,?。
就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。
C
FN
mg
(a) 斜面光滑
aC
解,取圆轮为研究对象
0
0c os
s i n
)(
)(
)(
e
CC
CyN
e
y
CCx
e
x
MJ
maFmgF
mamamgF
c os
0
s in
mgF
ga
N
C
圆盘作平动
(b) 斜面足够粗糙
Ra
FRJ
FmgF
maFmgF
C
C
N
e
y
C
e
x
0c os
s in
)(
)(
c os
s in
3
1
s in
3
2
s in
3
2
mgF
mgF
R
g
ga
N
C
C
FN
aC
mg
F
NfFF?
由 得：
t a n31 gf?
满足纯滚的条件：
(c) 斜面介于上述两者之间
N
C
N
e
y
C
e
x
fFF
FRJ
FmgF
maFmgF
0c os
s i n
)(
)(
c o s
2
)c o s( s in
R
fg
fga C
c o s
c o s
m g fF
mgF N
C
FN
aC
mg
F
圆盘既滚又滑
F
C
例 题 8 已知,m1,m2,R,f,F 。求,板的加速度。
F
C
F1
FN1
FN2 F2
′FN2′F
2
m1g
m2g
a
aCar
解,取板和圆轮为研究对象对板：
211 FFFam
对圆轮：
RFRm
Fam C
2
2
2
22
2
1
gmmfF
Raa C
)( 211
3
)(
2
1
21
mm
gmmfFa
解得：
关于突然解除约束问题
O FOx
FOy
W=mg
O
FOy
FOx
W=mg
解除约束前：
FOx=0,FOy=mg/2
突然解除约束瞬时：
FOx=？,FOy=？
关于突然解除约束问题例 题 9
突然解除约束瞬时，
杆 OA将绕 O轴转动，
不再是静力学问题。
这时, 0, 0。
需要先求出?,再确定约束力。
应用定轴转动微分方程
l
glmgml
2
3,
23
1 2
应用质心运动定理
Oy
Ox
Fmg
l
m
F
l
m
2
0
2
2
O FOx
FOy
W=mg
42
0
mglmmgF
F
Oy
Ox
解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续，
加速度与角加速度将发生突变。
突然解除约束问题的特点
系统的自由度一般会增加；
W=mg
O
A BC
例 题 10 已知,OA=OB=AB=l 。
求,剪断 OB 绳瞬时,OA绳的张力。
B
W=mg
A C
FA
解,取 AB 杆为研究对象应用平面运动微分方程
2
60s in
12
1
60s in
60c o s
2
)(
)(
l
FmlJ
maFmgF
maFF
AC
cyA
e
y
CxA
e
x
60°
aA
aCA
aA
应用平面运动加速度分析，取 A 为基点。
2
,0
l
aa CAnCA
n
CACAAC
aaaa
230s i n,30c o s laaaa ACyAcx
A C B
B
W=mg
A C
FA
2
60s in
12
1
60s in
60c o s
2
)(
)(
l
FmlJ
maFmgF
maFF
AC
cyA
e
y
CxA
e
x
60°
A C
aA
aCA
aA
2
30s in
,30c o s
l
aa
aa
ACy
Acx
.13 2,1318,13 32 galgmgF AA
解得：
请问能否直接对 A点列写动量矩方程？
W=mg
O
A BC
W=mg
A BC
请问若将上述两问题中的绳子改为一刚性系数为 k 的弹簧，则会发生什么变化，其计算过程和计算方法是否还不变？
结论与讨论质点系动力学中的两个矢量系
作用在质点系上的外力系 —— 力系及其基本特征量
,F,.,,,F,.,,,F,FF )( 21 ni?：力系
i
iOO )
e FMM （主矩
,FF
i
i
e
R主矢基本特征量,
质点系动力学中的两个矢量系
作用在质点系上的动量系 —— 动量系及其基本特征量
,p,.,,,p,.,,,p,pp )( 21 ni?：动量系
,vpp
i i
iii m质点系动量:主矢基本特征量,
i i
iiOiOO m )( vMLL质点系动量矩:主矩结论与讨论外力系与动量系之间的关系之一,质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理之二,质点系动量定理与相对质心 (平移系 )动量矩定理之三,刚体平面运动微分方程结论与讨论外力系与动量系之间的关系之一,质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理
e
Rd
d Fp?
t
质点系动量定理
e
d
d
O
O
t M
L?质点系相对定点动量矩定理质点系相对定轴动量矩定理
e
e
e
d
d
d
d
d
d
Oz
Oz
Oy
Oy
Ox
Ox
M
t
L
M
t
L
M
t
L
结论与讨论之二,质点系动量定理与相对质心 (平移系 )动量矩定理
e
Rd
d Fp?
t
质点系动量定理
er
d
d
C
C
t M
L?质点系相对质心 (平移系 )动量矩定理
—— 描述质点系质心的运动
—— 描述质点系相对质心的运动定轴转动的特殊情形
zz MJ
之一,质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理之三,刚体平面运动微分方程 —— 动量定理和相对质心动量矩定理描述平面运动刚体的总体运动。
)(
e
i
iCC
i
yC
i
xC
MJ
Fym
Fxm
F
描述刚体质心的运动
－描述刚体相对质心 (平移系 )的转动
0)(
0
0
e
＝
＝
＝
i
iC
i
y
i
x
M
F
F
F
静力学静力学是动力学的特殊情形应用动量矩定理时
一般情形下，应该以定点、定轴或质心 (平移系 )
为矩心，或取矩轴；对于加速度指向质心的速度瞬心，对质心 (平移系 )动量矩定理与对定点的动量矩定理形式相同。
动量矩定理主要应用于分析具有转动系统的动力学问题。
对于定轴问题,系统各部分对定轴的角速度必须是同一惯性参考系中的角速度，也就是绝对角速度。
计算动量矩以及外力矩时，都要采用相同的正负号规则 —— 右手定则 。
结论与讨论
？谁最先到 达顶点结论与讨论? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题结论与讨论? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题
？ 直升飞机如果没有尾翼将发生什么现象结论与讨论? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题航天器是怎样实现姿态控制的
？
结论与讨论? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题跳远运动员怎样使身体在空中不发生转动
？
结论与讨论? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题跳远运动员怎样使身体在空中不发生转动结论与讨论? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题
？ 无论力偶加在哪里，为什么圆盘总是绕着质心转动结论与讨论? 与动量矩定理有关的若干实际问题问题
？ 无论力偶加在哪里，为什么圆盘总是绕着质心转动返回本章目录页
