虚位移原理
※ 引 言
※ 约束及其分类
※ 自由度和广义坐标
※ 以广义坐标表示的质点系平衡条件
※ 虚位移原理
※ 虚位移和理想约束
※ 质点系在有势力作用下的平衡问题
※ 结论与讨论引 言
虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，
是研究静力学平衡问题的另一途径。对于只有理想约束的物体系统，由于求知的约束反力不作功，有时应用虚位移原理求解比列平衡方程更方便。
虚位移原理与达朗伯原理结合起来组成动力学普遍方程,又为求解复杂系统的动力学问题提供另一种普遍的方法。这些理论构成分析力学的基础。
§ 17-1 约束及其分类约 束 —— 物体运动所受到的限制
1,几何约束与运动约束
0),( 222 lyxyxf
y
xO
A A0
l
几何约束在质点系中，所加的约束只能限制各质点在空间的位置或质点系的位形。
C
O
y
x
vC
xR C*
0 Rxf
运动约束在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限制它们运动的速度。
O
y
x
A
xB
yB
xA
yA
AB
AB
A
A
yy
xx
y
x
B
vA
2,定常约束与非定常约束定常约束 －约束方程中不显含时间的约束：
非定常约束 －约束方程中显含时间的约束：
)(,1,2,)(210,)( 约束数；质点数,snitf i,,,r
)(,1,2,)(210,)( 约束数；质点数 snif i,,,r
y
x
v
O
M
2022 )( vtlyx
3,单 面约束与双面约束双面约束 —— 约束方程可以写成等式的约束。
单面约束 —— 约束方程不能写成等式、但是可以写成不等式的约束。
)(0 双面约束?By
)(0 单面约束?By
B
B
y
xO
y
xO
y
xO
单面约束还是双面约束？ 约束方程？
)(222 双面约束lyx )(222 单面约束lyx
y
xO
A
A
A0
l
A0
l
3,单 面约束与双面约束
4,完整 约束与非完整约束完整约束 —— 约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但约束方程是可以积分的约束。
非完整约束 —— 约束方程包含质点速度、且约束方程不可以积分的约束。
)(,1,2,)(210,)( 约束数；质点数 snif i,,,r
)(,1,2,)(210,)( 约束数；质点数,snif ii,,,rr?
4,完整 约束与非完整约束
C
O
y
x
vC
xR C*
O
y
x
A
xB
yB
xA
yA
AB
AB
A
A
yy
xx
y
x
vA
约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。
0
0
Rx
Rx
C
C
可以积分为
圆轮所受约束为完整约束。
B
§ 17-2 广义坐标与自由度
y
xO
cos
sin
ly
lx
l
A(x,y)
y
xO
c osc os
s ins in
c os
s in
2
2
1
1
bay
bax
ay
ax
广义坐标
广义坐标,
A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
b
广义坐标 —— 确定质点系位形的独立参变量。
广义坐标 —— 确定质点系位形的独立参变量。
用 q1,q2,… 表示。
自 由 度 —— 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变量的数目等于系统的自由度数。
对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的函数形式
),,2,1(
),,,(
),,,(
),,,(
21
21
21
ni
tqqqzz
tqqqyy
tqqqxx
kii
kii
kii
N=3n— s
§ 17-3 虚位移和理想约束
1,虚 位 移
x
y
O
B
A
M
F
Br?
Ar?
质点系在给定瞬时，
为约束所允许的无限小位移 —— 虚位移
（ 1）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；
（ 2）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；
（ 3）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；
（ 4）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。
虚位移与实位移的区别和联系
（ 1）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个；
M
M1
dr
dre
r
dr —— 实位移
r —— 虚位移实位移 —— 质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间隔内发生的位移。
（ 2）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。
2,虚 功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功 —— 虚功 。
W = F·? r
3,理想约束质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为理想约束。
W = M·
∑FNi ·? ri = 0
§ 17-4 虚位移原理
Fi FNi
m1
m2
mi
ri
Fi —— 主动力
FNi—— 约束反力
ri—— 虚位移
Fi + FNi = 0
Fi ·? ri + FNi ·? ri = 0
∑Fi ·? ri + ∑FNi ·? ri = 0
∑FNi ·? ri = 0
∑Fi ·? ri = 0
对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零 —— 虚位移原理
∑Fi ·? ri = 0
kjir
kjir
kjiF
iii
iii
ziyixi
zyx
zyx
FFF
i
i
i
0)( iziiyiixi zFyFxF
上式称为虚位移原理的 解析表达式应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法：
（ 1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；
（ 2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。
例 题 1 已知,OA=r,AB=l,不计各杆质量 。求,平衡时 F与 M 间的关系。
B
A
O
解,取系统为研究对象
Br?
Ar?
∑Fi ·? ri = 0
0 BF rFMW
由运动学关系可知：
r
rrr A
BA
0)( ABF rFrMrFMW
rMF /?
M
F
C
B A
D
M
例 题 2 已知,菱形边长为 a,
求,物体 C所受到的压力。
螺距为 h，顶角为 2?，主动力偶为 M.
FN
rA?rC解,(1) 取系统为研究对象
0 CNF rFMW
(2) 建立虚位移间的关系
c o s2
AxAAx rr
h
r
c o s)290c o s ( CA rr
αhr C t a n?
0t a n hFMW NF c othMF N?
x
y
C
B A
D
M
FN
解法二,取建立图示坐标系
0s i n2
c o s2
aF
h
a
M
yFMW
N
CNF
2
h
x A
αay
α ax
C
A
c o s2
s in
c othMF N?
s in2
c o s
ay
ax
C
A
h
αa
h
x A c o s22
rC
O
A
B
C
D
P
Q
例 题 3 图示操纵汽门的杠杆系统，
已知 OA/OB = 1/3，求此系统平衡时主动力 P 和 Q 间的关系。
rB
rA
解,(1) 取系统为研究对象
0
)90c o s (
ACF rQrPW
由运动学关系可知：
3
1
s in)902c o s (
OB
OA
r
r
rr
B
A
BC
c o s32?
C
A
r
r
0)c o s
3
2s i n(
)90c o s (
C
ACF
rQP
rQrPW
c o t32?QP
例 题 4 图示系统中除连接 H点的两杆长度为 l 外,其余各杆长度均为 2l,弹簧的弹性系数为 k,当未加水平力 P 时弹簧不受力，且
=?0,求平衡时水平力 P 的大小。
解,(1) 建立图示坐标系
s in5
s in3
s in
2
1
lx
lx
lx
H
O
O
c o s5
c o s3
c o s
2
1
lx
lx
lx
H
O
O
(2) 系统的虚功方程
0)s i n( s i n2
)s i n( s i n2)s i n( s i n2)s i n( s i n2
0
000 221
HH
OOO
xPxlk
xlkxlkxlk
0c o s5]c o s5c o s)[s i n( s i n2 0 lPlllk
(2) 系统的虚功方程
0)s i n( s i n2
)s i n( s i n2)s i n( s i n2)s i n( s i n2
0
000 221
HH
OOO
xPxlk
xlkxlkxlk
0c o s5]c o s5c o s)[s i n( s i n2 0 lPlllk
0]c o s4)s i n( s i n2c o s5[ 0 lklPl
)s in( s in58 0 klP
例 题 5 求图示连续梁的支座反力。
P Mq
l l 2l
A
B C D
解,(1) 解除 D处约束，
代之以反力 FD,并将其视为主动力。
P Mq
A
B C D
FD
sE?s
D
022 lsMsFslq DDDE
2
1?
D
E
s
s
其中
qllMF D 2
解得
(2) 解除 B处约束，代之以反力
FB,并将其视为主动力。
FB
sB?s
C
P Mq
A
B C D
02 lsMsqlsFsP EEBBB
EB ss
其中
l
MqlPF
B 2
解得
sE由虚功方程，得代入虚功方程，得
0)2( BB slMqlFP?
P Mq
A B C D
FA
sA
sC?sE
(3) 解除 A处约束，代之以反力
FA,并将其视为主动力。
02 lsMsqlsF EEAA
由虚功方程，得
ECA sss 2
其中代入虚功方程，得
0)2( AA slMqlF?
qllMF A 2解得
§ 17-5 用广义坐标表示的质点系平衡条件
),,2,1(
),,,(
),,,(
),,,(
21
21
21
ni
tqqqzz
tqqqyy
tqqqxx
kii
kii
kii
),,2,1( ni
q
q
z
z
q
q
y
y
q
q
x
x
k
k
i
i
k
k
i
i
k
k
i
i
qk—— 广义虚位移
0
)]([
)(
)(
11
1 11 1
k
n
i k
i
zi
k
i
yi
k
i
xi
N
k
N
k
N
k
k
k
i
zik
k
i
n
i
yi
N
k
k
k
i
xi
iziiyiixiF
q
q
z
F
q
y
F
q
x
F
q
q
z
Fq
q
y
Fq
q
x
F
zFyFxFW
0
)]([
)(
)(
11
1 11 1
k
n
i k
i
zi
k
i
yi
k
i
xi
N
k
N
k
N
k
k
k
i
zik
k
i
yi
n
i
N
k
k
k
i
xi
iziiyiixiF
q
q
z
F
q
y
F
q
x
F
q
q
z
Fq
q
y
Fq
q
x
F
zFyFxFW
0
1
n
k
kkF qQW
Qk—— 广义力
Q1 = Q2=… = Qk =0
★ 质点系的平衡条件是所有的广义力都等于零
),,2,1()(
1
NkqzFqyFqxFQ
n
i k
i
zi
k
i
yi
k
i
xik
令广义力的计算方法
),,2,1()(
1
NkqzFqyFqxFQ
n
i k
i
zi
k
i
yi
k
i
xik
1,按定义计算
2,用一组特定的广义坐标变分来计算等于零.而其它的广义虚位移都:令 0?kq?
kkk qQW则
k
k
k q
WQ
2
y
xO
A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
b
1
FA F
FB
例 题 6 求平衡时?1,?2
与 FA,FB,F 间的关系。
解法一,按定义计算，取?1,?2
为系统的广义坐标。
212
212
11
c o sc o s
s ins in
c o s
bay
bax
ay
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
x
F
y
F
y
FQ
x
F
y
F
y
FQ
BA
BA
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
c os,s i n,0
c os,s i n,s i n
b
x
b
yy
a
x
a
y
a
y
0c o ss i n
0c o ss i n)(
222
111
FbbFQ
FaaFFQ
B
BA
2
y
xO
A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
b
1
FA F
FB
212
212
11
c o sc o s
s ins in
c o s
bay
bax
ay
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
c os,s i n,0
c os,s i n,s i n
b
x
b
yy
a
x
a
y
a
y
0c o ss i n
0c o ss i n)(
222
111
FbbFQ
FaaFFQ
B
BA
B
BA
F
F
FF
F
2
1
t a n
t a n
解得解法二,（ 1）令,1≠ 0,2= 0
y
xO
A
B
1
212
212
11
c o sc o s
s ins in
c o s
bay
bax
ay
112
112
111
s in
c os
s in
ay
ax
ay
0
c o ss i n)( 11
1
221
1
1
1
FaaFF
xFyFyFW
Q BABA
BA FF
F
1t a n?
解得
（ 2）令,1 = 0,2 ≠ 0
y
xO
A
B
1
212
212
11
c o sc o s
s ins in
c o s
bay
bax
ay
222
222
1
s in
c o s
0
by
bx
y
0
c o ss i n 22
2
221
1
1
2
FbbF
xFyFyFW
Q BBA
BF
F?
2t a n?
解得
A C
E D
B M1
M2
M3
60° 60°
例 题 7
已知,AC=CD=DE,M1
求,平衡时 M2,M3。
解,（ 1）令,1≠ 0,2= 0
A C
E D
B
1
1
0
31
1
1311
1
1
1
MM
MM
W
Q
13 MM?
解得
A C
E D
B M1
M2
M3
60° 60°
解,（ 2）令,2≠ 0,1= 0
3
2
A C
E
D
B
60°
rB
rE
0
2
2231
2
2
2?
MMWQ
由运动学关系可知：
AEr
EDr
rr
E
B
BE
/
/
30s in
3
2
23 2
1
0
2 2
1
2
2231
2
M
MMM
Q
12 2
1 MM?解得
§ 17-6 质点系在有势力作用下的平衡问题
1,平衡条件某质点系由 n 个质点组成，内有 d 个完整、定常的理想约束，处于势力场中。作用在各质点上的主动力 Fi 都是有势力，因此，该质点系是保守系统，它的势能函数 V 可以表示为各质点坐标的函数，即
),,,,,,,,,,( 111 nnniii zyxzyxzyxVV
这些主动力 Fi 主可以有势能函数对坐标的偏导数表示，即
),,2,1()( nizVyVxV
iii
i
kjiF
将上式代入虚功方程，得
),,2,1()( nizzVyyVxxV i
i
i
i
i
i
FW
),,2,1()( nizzVyyVxxV i
i
i
i
i
i
FW
0?V?
上式表明，在势力场中，具有完整、定常的理想约束的质点系其平衡的充分必要条件是,该质点系势能的一阶变分等于零。
当选择广义坐标，则直角坐标表示的势能函数可改写为用广义坐标表示的势能函数
),,,( 21 NqqqVV
),,2,1(
)(
Nk
q
V
q
z
z
V
q
y
y
V
q
x
x
V
Q
k
k
i
ik
i
ik
i
i
k
因此用广义坐标表示的平衡条件可写成如下形式：
),,2,1(0 NkqVQ
k
k
2,平衡稳定性的概念
（ a）稳定平衡 （ b）非稳定平衡 （ c）随遇平衡。
3,单自由度系统平衡稳定性质的判别方法平衡位置：
0
0
qqdq
dV
稳定平衡状态:若
0
0
2
2
qqdq
Vd
非稳定平衡状态:若
0
0
2
2
qqdq
Vd
数需进一步分析其高阶导
0
0
2
2
qqdq
Vd:若随遇平衡状态:若
0
0
2
2
qqdq
Vd
例 题 8 已知,AB=l,m,R 。求,平衡位置并判别其稳定性。
O
A
B
mg
C
x
y
解,取为?其广义坐标，建立图示坐标系。
s in4
2
2 lRmgymgV
C
0c o s4
2
2
lRmg
d
dV
为其平衡位置.23,2 21 oo
稳定平衡状态
04
2
2
2
2
01
lRmg
d
Vd
非稳定平衡状态
04
2
2
2
2
02
lRmg
d
Vd
l l
O
A
m m
研究,1,应用势能驻值定理，确定跷板的可能平衡位形；
跷板
2,应用机械能守恒确定跷板作二维微振动的振动方程；
3,确定二维微振动的固有频率与运动稳定性条件。
如图所示为玩具跷板简图。
在不计质量的木钉上固结两个与木钉夹角为?的刚性臂。臂端分别安装的质量均为 m 的小球。两臂等长均为。钉长 OA＝ d，分别与两臂所夹?角的范围 。
将木钉的尖端 O放置在柱形支承的表面，玩者可随意让跷板旋转或摆动。
20
跷 板
O
Am
m
l
lC
2mg
解,一般情形下，跷板绕点 O作定点运动。本例主要研究二维运动，因此
，这是一个自由度的理想约束系统。
取?为广义坐标。
以支点 O作为零势能位置
)c o s(c o s2
)c o sc o sc o s(22
dlmg
dlmgymgV C
0)c o s(s in2 dlmgddV
.,
.,0
2
21
o
oo
舍弃
2
为其平衡位置
为其平衡位置0?o?
1,跷板的静平衡位置
O
Am
m
l
lC
2mg
为其平衡位置0?o?
)c o s(c o s2 dlmgV
)c o s(c o s22
2
dlmgd Vd
随遇平衡状态非稳定平衡状态稳定平衡状态
0c os
0c os
0c os
)c os(2
0
2
2
dl
dl
dl
dlmg
d
Vd
O
Am
m
l
lC
2mg
2,跷板的二维微振动方程为了计算系统的动能，令 l1为每个小球到支点 O 的距离，
c o s2221 lddll
系统的总动能为
22
1)2(2
1lmT?
)c o s(c o s2 dlmgV系统的总势能为由系统的机械能守恒，得
Edlmglm )c o s(c o s2)2(21 221
将上式对时间求导，并注意到,sin
0)c os( 2
1
l dlg得跷板的二维微振动方程
O
Am
m
l
lC
2mg
3,跷板的固有频率
0)c os( 2
1
l dlg
1
)c o s(
l
dlg
结论与讨论
1,虚 位 移质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移 —— 虚位移作用在质点上的力在虚位移上所做的功 —— 虚功
2,理想约束质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为 理想约束。
∑Fi ·? ri = 0
具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零 —— 虚位移原理
3,虚位移原理通常用虚位移原理求解机构中主动力的平衡问题。解除约束，
代之以约束反力,并将此约束反力当作主动力，可和其它主动力一起应用虚位移原理求解。
（ 1） 通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；
（ 2） 建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。
5,建立虚位移关系间的方法
4,广义坐标与自由度广义坐标 —— 确定质点系位形的独立参变量。用 q1,q2,… 表示。
自 由 度 —— 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变量的数目等于系统的自由度数。
6,用广义坐标表示的质点系平衡条件平衡条件,Q1 = Q2=… = Qk =0
),,2,1()(
1
NkqzFqyFqxFQ
n
i k
i
zi
k
i
yi
k
i
xik
广义力：
7,质点系在有势力作用下的平衡问题如果作用于质点系的力都是有势力，势能为，则系统的广义力可写为
),,2,1( NkqVQ
k
k
稳定平衡状态:若
0
0
2
2
qqdq
Vd
非稳定平衡状态:若
0
0
2
2
qqdq
Vd
数需进一步分析其高阶导
0
0
2
2
qqdq
Vd:若随遇平衡状态:若
0
0
2
2
qqdq
Vd
平衡的稳定性：
平衡位置：
0
0
qqdq
dV
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※ 引 言
※ 约束及其分类
※ 自由度和广义坐标
※ 以广义坐标表示的质点系平衡条件
※ 虚位移原理
※ 虚位移和理想约束
※ 质点系在有势力作用下的平衡问题
※ 结论与讨论引 言
虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，
是研究静力学平衡问题的另一途径。对于只有理想约束的物体系统，由于求知的约束反力不作功，有时应用虚位移原理求解比列平衡方程更方便。
虚位移原理与达朗伯原理结合起来组成动力学普遍方程,又为求解复杂系统的动力学问题提供另一种普遍的方法。这些理论构成分析力学的基础。
§ 17-1 约束及其分类约 束 —— 物体运动所受到的限制
1,几何约束与运动约束
0),( 222 lyxyxf
y
xO
A A0
l
几何约束在质点系中，所加的约束只能限制各质点在空间的位置或质点系的位形。
C
O
y
x
vC
xR C*
0 Rxf
运动约束在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限制它们运动的速度。
O
y
x
A
xB
yB
xA
yA
AB
AB
A
A
yy
xx
y
x
B
vA
2,定常约束与非定常约束定常约束 －约束方程中不显含时间的约束：
非定常约束 －约束方程中显含时间的约束：
)(,1,2,)(210,)( 约束数；质点数,snitf i,,,r
)(,1,2,)(210,)( 约束数；质点数 snif i,,,r
y
x
v
O
M
2022 )( vtlyx
3,单 面约束与双面约束双面约束 —— 约束方程可以写成等式的约束。
单面约束 —— 约束方程不能写成等式、但是可以写成不等式的约束。
)(0 双面约束?By
)(0 单面约束?By
B
B
y
xO
y
xO
y
xO
单面约束还是双面约束？ 约束方程？
)(222 双面约束lyx )(222 单面约束lyx
y
xO
A
A
A0
l
A0
l
3,单 面约束与双面约束
4,完整 约束与非完整约束完整约束 —— 约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但约束方程是可以积分的约束。
非完整约束 —— 约束方程包含质点速度、且约束方程不可以积分的约束。
)(,1,2,)(210,)( 约束数；质点数 snif i,,,r
)(,1,2,)(210,)( 约束数；质点数,snif ii,,,rr?
4,完整 约束与非完整约束
C
O
y
x
vC
xR C*
O
y
x
A
xB
yB
xA
yA
AB
AB
A
A
yy
xx
y
x
vA
约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。
0
0
Rx
Rx
C
C
可以积分为
圆轮所受约束为完整约束。
B
§ 17-2 广义坐标与自由度
y
xO
cos
sin
ly
lx
l
A(x,y)
y
xO
c osc os
s ins in
c os
s in
2
2
1
1
bay
bax
ay
ax
广义坐标
广义坐标,
A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
b
广义坐标 —— 确定质点系位形的独立参变量。
广义坐标 —— 确定质点系位形的独立参变量。
用 q1,q2,… 表示。
自 由 度 —— 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变量的数目等于系统的自由度数。
对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的函数形式
),,2,1(
),,,(
),,,(
),,,(
21
21
21
ni
tqqqzz
tqqqyy
tqqqxx
kii
kii
kii
N=3n— s
§ 17-3 虚位移和理想约束
1,虚 位 移
x
y
O
B
A
M
F
Br?
Ar?
质点系在给定瞬时，
为约束所允许的无限小位移 —— 虚位移
（ 1）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；
（ 2）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；
（ 3）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；
（ 4）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。
虚位移与实位移的区别和联系
（ 1）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个；
M
M1
dr
dre
r
dr —— 实位移
r —— 虚位移实位移 —— 质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间隔内发生的位移。
（ 2）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。
2,虚 功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功 —— 虚功 。
W = F·? r
3,理想约束质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为理想约束。
W = M·
∑FNi ·? ri = 0
§ 17-4 虚位移原理
Fi FNi
m1
m2
mi
ri
Fi —— 主动力
FNi—— 约束反力
ri—— 虚位移
Fi + FNi = 0
Fi ·? ri + FNi ·? ri = 0
∑Fi ·? ri + ∑FNi ·? ri = 0
∑FNi ·? ri = 0
∑Fi ·? ri = 0
对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零 —— 虚位移原理
∑Fi ·? ri = 0
kjir
kjir
kjiF
iii
iii
ziyixi
zyx
zyx
FFF
i
i
i
0)( iziiyiixi zFyFxF
上式称为虚位移原理的 解析表达式应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法：
（ 1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；
（ 2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。
例 题 1 已知,OA=r,AB=l,不计各杆质量 。求,平衡时 F与 M 间的关系。
B
A
O
解,取系统为研究对象
Br?
Ar?
∑Fi ·? ri = 0
0 BF rFMW
由运动学关系可知：
r
rrr A
BA
0)( ABF rFrMrFMW
rMF /?
M
F
C
B A
D
M
例 题 2 已知,菱形边长为 a,
求,物体 C所受到的压力。
螺距为 h，顶角为 2?，主动力偶为 M.
FN
rA?rC解,(1) 取系统为研究对象
0 CNF rFMW
(2) 建立虚位移间的关系
c o s2
AxAAx rr
h
r
c o s)290c o s ( CA rr
αhr C t a n?
0t a n hFMW NF c othMF N?
x
y
C
B A
D
M
FN
解法二,取建立图示坐标系
0s i n2
c o s2
aF
h
a
M
yFMW
N
CNF
2
h
x A
αay
α ax
C
A
c o s2
s in
c othMF N?
s in2
c o s
ay
ax
C
A
h
αa
h
x A c o s22
rC
O
A
B
C
D
P
Q
例 题 3 图示操纵汽门的杠杆系统，
已知 OA/OB = 1/3，求此系统平衡时主动力 P 和 Q 间的关系。
rB
rA
解,(1) 取系统为研究对象
0
)90c o s (
ACF rQrPW
由运动学关系可知：
3
1
s in)902c o s (
OB
OA
r
r
rr
B
A
BC
c o s32?
C
A
r
r
0)c o s
3
2s i n(
)90c o s (
C
ACF
rQP
rQrPW
c o t32?QP
例 题 4 图示系统中除连接 H点的两杆长度为 l 外,其余各杆长度均为 2l,弹簧的弹性系数为 k,当未加水平力 P 时弹簧不受力，且
=?0,求平衡时水平力 P 的大小。
解,(1) 建立图示坐标系
s in5
s in3
s in
2
1
lx
lx
lx
H
O
O
c o s5
c o s3
c o s
2
1
lx
lx
lx
H
O
O
(2) 系统的虚功方程
0)s i n( s i n2
)s i n( s i n2)s i n( s i n2)s i n( s i n2
0
000 221
HH
OOO
xPxlk
xlkxlkxlk
0c o s5]c o s5c o s)[s i n( s i n2 0 lPlllk
(2) 系统的虚功方程
0)s i n( s i n2
)s i n( s i n2)s i n( s i n2)s i n( s i n2
0
000 221
HH
OOO
xPxlk
xlkxlkxlk
0c o s5]c o s5c o s)[s i n( s i n2 0 lPlllk
0]c o s4)s i n( s i n2c o s5[ 0 lklPl
)s in( s in58 0 klP
例 题 5 求图示连续梁的支座反力。
P Mq
l l 2l
A
B C D
解,(1) 解除 D处约束，
代之以反力 FD,并将其视为主动力。
P Mq
A
B C D
FD
sE?s
D
022 lsMsFslq DDDE
2
1?
D
E
s
s
其中
qllMF D 2
解得
(2) 解除 B处约束，代之以反力
FB,并将其视为主动力。
FB
sB?s
C
P Mq
A
B C D
02 lsMsqlsFsP EEBBB
EB ss
其中
l
MqlPF
B 2
解得
sE由虚功方程，得代入虚功方程，得
0)2( BB slMqlFP?
P Mq
A B C D
FA
sA
sC?sE
(3) 解除 A处约束，代之以反力
FA,并将其视为主动力。
02 lsMsqlsF EEAA
由虚功方程，得
ECA sss 2
其中代入虚功方程，得
0)2( AA slMqlF?
qllMF A 2解得
§ 17-5 用广义坐标表示的质点系平衡条件
),,2,1(
),,,(
),,,(
),,,(
21
21
21
ni
tqqqzz
tqqqyy
tqqqxx
kii
kii
kii
),,2,1( ni
q
q
z
z
q
q
y
y
q
q
x
x
k
k
i
i
k
k
i
i
k
k
i
i
qk—— 广义虚位移
0
)]([
)(
)(
11
1 11 1
k
n
i k
i
zi
k
i
yi
k
i
xi
N
k
N
k
N
k
k
k
i
zik
k
i
n
i
yi
N
k
k
k
i
xi
iziiyiixiF
q
q
z
F
q
y
F
q
x
F
q
q
z
Fq
q
y
Fq
q
x
F
zFyFxFW
0
)]([
)(
)(
11
1 11 1
k
n
i k
i
zi
k
i
yi
k
i
xi
N
k
N
k
N
k
k
k
i
zik
k
i
yi
n
i
N
k
k
k
i
xi
iziiyiixiF
q
q
z
F
q
y
F
q
x
F
q
q
z
Fq
q
y
Fq
q
x
F
zFyFxFW
0
1
n
k
kkF qQW
Qk—— 广义力
Q1 = Q2=… = Qk =0
★ 质点系的平衡条件是所有的广义力都等于零
),,2,1()(
1
NkqzFqyFqxFQ
n
i k
i
zi
k
i
yi
k
i
xik
令广义力的计算方法
),,2,1()(
1
NkqzFqyFqxFQ
n
i k
i
zi
k
i
yi
k
i
xik
1,按定义计算
2,用一组特定的广义坐标变分来计算等于零.而其它的广义虚位移都:令 0?kq?
kkk qQW则
k
k
k q
WQ
2
y
xO
A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
b
1
FA F
FB
例 题 6 求平衡时?1,?2
与 FA,FB,F 间的关系。
解法一,按定义计算，取?1,?2
为系统的广义坐标。
212
212
11
c o sc o s
s ins in
c o s
bay
bax
ay
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
x
F
y
F
y
FQ
x
F
y
F
y
FQ
BA
BA
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
c os,s i n,0
c os,s i n,s i n
b
x
b
yy
a
x
a
y
a
y
0c o ss i n
0c o ss i n)(
222
111
FbbFQ
FaaFFQ
B
BA
2
y
xO
A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
b
1
FA F
FB
212
212
11
c o sc o s
s ins in
c o s
bay
bax
ay
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
c os,s i n,0
c os,s i n,s i n
b
x
b
yy
a
x
a
y
a
y
0c o ss i n
0c o ss i n)(
222
111
FbbFQ
FaaFFQ
B
BA
B
BA
F
F
FF
F
2
1
t a n
t a n
解得解法二,（ 1）令,1≠ 0,2= 0
y
xO
A
B
1
212
212
11
c o sc o s
s ins in
c o s
bay
bax
ay
112
112
111
s in
c os
s in
ay
ax
ay
0
c o ss i n)( 11
1
221
1
1
1
FaaFF
xFyFyFW
Q BABA
BA FF
F
1t a n?
解得
（ 2）令,1 = 0,2 ≠ 0
y
xO
A
B
1
212
212
11
c o sc o s
s ins in
c o s
bay
bax
ay
222
222
1
s in
c o s
0
by
bx
y
0
c o ss i n 22
2
221
1
1
2
FbbF
xFyFyFW
Q BBA
BF
F?
2t a n?
解得
A C
E D
B M1
M2
M3
60° 60°
例 题 7
已知,AC=CD=DE,M1
求,平衡时 M2,M3。
解,（ 1）令,1≠ 0,2= 0
A C
E D
B
1
1
0
31
1
1311
1
1
1
MM
MM
W
Q
13 MM?
解得
A C
E D
B M1
M2
M3
60° 60°
解,（ 2）令,2≠ 0,1= 0
3
2
A C
E
D
B
60°
rB
rE
0
2
2231
2
2
2?
MMWQ
由运动学关系可知：
AEr
EDr
rr
E
B
BE
/
/
30s in
3
2
23 2
1
0
2 2
1
2
2231
2
M
MMM
Q
12 2
1 MM?解得
§ 17-6 质点系在有势力作用下的平衡问题
1,平衡条件某质点系由 n 个质点组成，内有 d 个完整、定常的理想约束，处于势力场中。作用在各质点上的主动力 Fi 都是有势力，因此，该质点系是保守系统，它的势能函数 V 可以表示为各质点坐标的函数，即
),,,,,,,,,,( 111 nnniii zyxzyxzyxVV
这些主动力 Fi 主可以有势能函数对坐标的偏导数表示，即
),,2,1()( nizVyVxV
iii
i
kjiF
将上式代入虚功方程，得
),,2,1()( nizzVyyVxxV i
i
i
i
i
i
FW
),,2,1()( nizzVyyVxxV i
i
i
i
i
i
FW
0?V?
上式表明，在势力场中，具有完整、定常的理想约束的质点系其平衡的充分必要条件是,该质点系势能的一阶变分等于零。
当选择广义坐标，则直角坐标表示的势能函数可改写为用广义坐标表示的势能函数
),,,( 21 NqqqVV
),,2,1(
)(
Nk
q
V
q
z
z
V
q
y
y
V
q
x
x
V
Q
k
k
i
ik
i
ik
i
i
k
因此用广义坐标表示的平衡条件可写成如下形式：
),,2,1(0 NkqVQ
k
k
2,平衡稳定性的概念
（ a）稳定平衡 （ b）非稳定平衡 （ c）随遇平衡。
3,单自由度系统平衡稳定性质的判别方法平衡位置：
0
0
qqdq
dV
稳定平衡状态:若
0
0
2
2
qqdq
Vd
非稳定平衡状态:若
0
0
2
2
qqdq
Vd
数需进一步分析其高阶导
0
0
2
2
qqdq
Vd:若随遇平衡状态:若
0
0
2
2
qqdq
Vd
例 题 8 已知,AB=l,m,R 。求,平衡位置并判别其稳定性。
O
A
B
mg
C
x
y
解,取为?其广义坐标，建立图示坐标系。
s in4
2
2 lRmgymgV
C
0c o s4
2
2
lRmg
d
dV
为其平衡位置.23,2 21 oo
稳定平衡状态
04
2
2
2
2
01
lRmg
d
Vd
非稳定平衡状态
04
2
2
2
2
02
lRmg
d
Vd
l l
O
A
m m
研究,1,应用势能驻值定理，确定跷板的可能平衡位形；
跷板
2,应用机械能守恒确定跷板作二维微振动的振动方程；
3,确定二维微振动的固有频率与运动稳定性条件。
如图所示为玩具跷板简图。
在不计质量的木钉上固结两个与木钉夹角为?的刚性臂。臂端分别安装的质量均为 m 的小球。两臂等长均为。钉长 OA＝ d，分别与两臂所夹?角的范围 。
将木钉的尖端 O放置在柱形支承的表面，玩者可随意让跷板旋转或摆动。
20
跷 板
O
Am
m
l
lC
2mg
解,一般情形下，跷板绕点 O作定点运动。本例主要研究二维运动，因此
，这是一个自由度的理想约束系统。
取?为广义坐标。
以支点 O作为零势能位置
)c o s(c o s2
)c o sc o sc o s(22
dlmg
dlmgymgV C
0)c o s(s in2 dlmgddV
.,
.,0
2
21
o
oo
舍弃
2
为其平衡位置
为其平衡位置0?o?
1,跷板的静平衡位置
O
Am
m
l
lC
2mg
为其平衡位置0?o?
)c o s(c o s2 dlmgV
)c o s(c o s22
2
dlmgd Vd
随遇平衡状态非稳定平衡状态稳定平衡状态
0c os
0c os
0c os
)c os(2
0
2
2
dl
dl
dl
dlmg
d
Vd
O
Am
m
l
lC
2mg
2,跷板的二维微振动方程为了计算系统的动能，令 l1为每个小球到支点 O 的距离，
c o s2221 lddll
系统的总动能为
22
1)2(2
1lmT?
)c o s(c o s2 dlmgV系统的总势能为由系统的机械能守恒，得
Edlmglm )c o s(c o s2)2(21 221
将上式对时间求导，并注意到,sin
0)c os( 2
1
l dlg得跷板的二维微振动方程
O
Am
m
l
lC
2mg
3,跷板的固有频率
0)c os( 2
1
l dlg
1
)c o s(
l
dlg
结论与讨论
1,虚 位 移质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移 —— 虚位移作用在质点上的力在虚位移上所做的功 —— 虚功
2,理想约束质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为 理想约束。
∑Fi ·? ri = 0
具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零 —— 虚位移原理
3,虚位移原理通常用虚位移原理求解机构中主动力的平衡问题。解除约束，
代之以约束反力,并将此约束反力当作主动力，可和其它主动力一起应用虚位移原理求解。
（ 1） 通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；
（ 2） 建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。
5,建立虚位移关系间的方法
4,广义坐标与自由度广义坐标 —— 确定质点系位形的独立参变量。用 q1,q2,… 表示。
自 由 度 —— 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变量的数目等于系统的自由度数。
6,用广义坐标表示的质点系平衡条件平衡条件,Q1 = Q2=… = Qk =0
),,2,1()(
1
NkqzFqyFqxFQ
n
i k
i
zi
k
i
yi
k
i
xik
广义力：
7,质点系在有势力作用下的平衡问题如果作用于质点系的力都是有势力，势能为，则系统的广义力可写为
),,2,1( NkqVQ
k
k
稳定平衡状态:若
0
0
2
2
qqdq
Vd
非稳定平衡状态:若
0
0
2
2
qqdq
Vd
数需进一步分析其高阶导
0
0
2
2
qqdq
Vd:若随遇平衡状态:若
0
0
2
2
qqdq
Vd
平衡的稳定性：
平衡位置：
0
0
qqdq
dV
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