碰 撞
※ 几个工程实际问题
※ 动力学普遍定理在 碰撞问题中的应用
※ 恢复系数
※ 碰撞问题举例
※ 结论与讨论
※ 碰撞现象 · 碰撞力
※ 撞击中心
§ 15-1 碰撞现象 ·碰撞力碰撞 －物体与物体之间，在极短的时间内，发生有限量的动量传递与能量转换，同时伴随有极大的撞击力的动力学过程。
● 碰撞主要研究碰撞物与被碰撞物在碰撞后的运动效应。
塑料锤重 4.45N;
碰撞前锤的速度 457.2 mm/s;
碰撞的时间间隔 0.00044s;
撞击力峰值 1491 N，
静载作用的 335倍 。
铁锤打击钢板塑料锤重 4.45N;
碰撞前锤的速度 457.2 mm/s;
碰撞的时间间隔 0.01s;
撞击力峰值 244.8 N，
静载作用的 55倍 。
铁锤打击人体据有关资料介绍,一只重 17.8N 的飞鸟与飞机相撞，
如果飞机速度是 800km/h,碰撞力可高达 3.55× 105N,
即为鸟重的 2万倍 ！这就是航空上所谓“鸟祸”的原因之一。
★ 撞击力的瞬时性 —— 撞击力在很短的时间间隔内发生急剧变化：急剧增加到最大值后，很快衰减。
Fmax
t/s
F/N
▼ 碰撞冲量 —— 撞击力在碰撞时间内的累积效应。
2
1
t
t
dtFI
21 dtt tFI
研究碰撞问题的两点简化
（ 1）在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，普通力
（重力、弹性力等）的冲量可忽略不计 。
（ 2）在碰撞过程中，由于时间非常短促，物体的位移可忽略不计 。
上述的两点简化是在碰撞过程中所提出的假说，因此在具体问题的分析中，一定要分清 碰撞过程 和 一般过程 ；
分清运动的三个阶段，即 撞前的运动,碰撞阶段 和 撞后的运动 。
★ 几个工程实际问题两个飞船对接后速度？
A
vA
vB
B
mA
mB
★ 几个工程实际问题请注意撞击物与被撞击物的特点！
★ 几个工程实际问题请注意撞击物与被撞击物的特点！
★ 几个工程实际问题击球手的手握在哪里所受的撞击力最小？
★ 几个工程实际问题请注意这一装置的功能，与碰撞有没有关系？
★ 几个工程实际问题这与碰撞有关系吗？
§ 15-2 用于碰撞过程的基本定理
1,用于碰撞过程的动量定理 —— 冲量定理
t dtmm 0 IFvv
质点：
质点系：
)()( iieiiiii mm IIvv )()( iieiiiii mm IIvv
)( eiiiii mm Ivv
)( eiCC mm Ivv
质点系在碰撞开始和结束时动量的变化，等于作用于质点系的 外碰撞冲量 的主矢。
I—— 碰撞冲量
2,用于碰撞过程的动量矩定理 —— 冲量矩定理
)()( )( e
ii
e
iOOdt
d FrFML
)()( eiieiiO ddtd IrFrL
t eiiOOt eiiO dddOO 0 )(120 )(21 IrLLIrLLL 或
)( )()(120 )(12 eiOeiiOOt eiiOO d IMIrLLIrLL 或由质点系动量矩定理：
根据基本假设，碰撞前后各质点的位置不变：
质点系在碰撞开始和结束时对点 O的动量矩的变化，等于作用于质点系的 外碰撞冲量 对同一点的主矩。
3,碰撞时定轴转动刚体的动力学方程
)( )(12 eizzz MJJ I
4,碰撞时平面运动刚体的动力学方程
)(
)(
12
)(
)(
e
iCCC
e
iyCyCy
e
ixCxCx
MJJ
Ivmvm
Ivmvm
I
注意,以上各方程式中均不计普通力的冲量！
§ 15-3 恢复系数考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段
t
F
tmt1 t2
I1 I2
变形阶段的碰撞冲量；
m
t
t
t
1
d1 FI
恢复阶段的碰撞冲量。
2 d
2
t
t m
tFI
t
F
tmt1 t2
mB
mA mB
mA
vA?vAB vB?vAB
vAB?v'A vAB?v'B
I1 I2 I
2
I1
I2
I1
考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段变形阶段恢复阶段
★ 恢复系数 —— 碰撞的恢复阶段的冲量与变形阶段的冲量之比，
用 k 表示,1
2
I
Ik?
恢复系数与碰撞前和碰撞后的速度之间的关系
—— 应用动量定理的积分形式，对于球 A
vv
vv
vvm
vvm
I
Ik
A
A
AA
AA
)(
)(
1
2
B
B
BB
BB
vv
vv
vvm
vvm
I
Ik
1
2
对于球 B
BA
AB
vv
vv
I
Ik
1
2
对于球 A与固定平面的正碰撞情形
BA
AB
vv
vv
I
Ik
1
2
A
A
BB v
v
I
Ikvv
1
20,
B
A
h 2h 2
h 1 vA
A
h 2h 2
v'A 21 22 ghvghv AA,
1
2
h
hk?
恢复系数与碰撞前和碰撞后的速度之间的关系
n
r
n
r
v
v
I
Ik
1
2
● 这一结果表明：对于确定的材料，不论碰撞前后物体的运动速度如何，两个碰撞物体碰撞前后的相对速度大小的比值是不变的。
● 对于确定的材料，恢复系数为常量。
● 恢复系数既描述了碰撞后物体速度的恢复程度，也描述了物体变形的恢复程度。
n
rv?
— 碰撞后两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度
nrv — 碰撞前两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度恢复系数的取值范围变形不能完全恢复；
损耗，非完全弹性碰撞：能量10 k
碰撞后变形完全恢复；
损耗，完全弹性碰撞：无能量1?k
变形完全不能恢复。
碰撞),完全非弹性碰撞( 塑性0?k
§ 15-4 碰撞问题举例由
BBAABBAA mmmm vvvv
A vB
vA B A v'A v'BBB
A
vAB
BA
AB
vv
vv
I
Ik
1
2
解得碰撞后两个球的速度分别为
BA
BA
A
BB
BA
BA
A
AA
vv
mm
m
kvv
vv
mm
m
kvv
1
1
例 题 1
碰撞前系统的总动能碰撞后系统的总动能
22
1 2
1
2
1
BBAA vmvmT
22
2 2
1
2
1
BBAA vmvmT
碰撞前、后系统动能的变化
BBBBBAAAAA vvvvmvvvvmTTT 212121 －＝
A vB
vA B A v'A v'BBB
A
vAB
BA
BA
A
BB
BA
BA
A
AA
vv
mm
m
kvv
vv
mm
m
kvv
1
1
BABABA
BA
BA vvvvvv
mm
mmkT
12
1＝
碰撞前、后系统动能的变化
221
2 BABA
BA vvk
mm
mmT
＝
BABABA
BA
BA vvvvvv
mm
mmkT
12
1＝
BA
AB
vv
vv
I
Ik
1
2
两种特殊情形下，碰撞前、后系统动能的变化完全弹性碰撞 —— k=1,?T=T2－ T1=0。
碰撞过程中没有能量损失。
塑性碰撞 —— k=0,动能损失为
2
2 BABA
BA vv
mm
mmT?
＝
若 vB=0
2
2 ABA
BA v
mm
mmT
＝
2
1 2
1
AA vmT?
11 1
1
T
m
m
T
mm
m
T
B
ABA
B
＝
锻造用的汽锤锤重与打桩机锤头重量均为 mAg; 汽锤的铁砧与桩的重量均为 mBg。汽锤和打桩机的锤头打击前速度均为 vA
试分析,汽锤与打桩机在打击过程中的动量传递与能量转换。
例 题 2
B
A
A
BA
BA
m
m
T
v
mm
mm
T
12
12 ＝＝
锤头的动能绝大部分转变为被锻造金属的塑性变形能。
1TT
mA? mB
0TmA?mB
锤头的动能绝大部分转变为锤头与桩一起运动的动能。
汽锤传递的动量一定时，铁砧质量 mB越大，其速度 vB 越小。′
打桩传递的动量一定时，桩的质量 mB越小，其速度 vB 越大。′
A
vA
vB
B
mA
mB
0m / s02.003.02.00
kg106.6kg1018 33
BA
BA mm
v kjiv,＝；，
在惯性参考系中：
求,1.对接成功后，联合体的质心速度；
2.对接不成功，恢复系数 e=0.95,碰撞后二者的速度。
(以上分析中均可略去飞船的 转动 )
例 题 3
解,1.对接成功时联合体的质心速度可以直接应用动量守恒关系式
BBAABBAA mmmm vvvv
这时，
ABBA vvv ＝＝
于是，有
ABBABBAA mmmm vvv
m / s015002201460
10661018
0020030201018
33
3
k.j.i.
.
k.j.i.
vv
v
BA
BBAA
AB
mm
mm
解,2.对接不成功时，二飞船的速度不考虑对接处的摩擦，二飞船在 y,z方向上的 速度分量保持不变；在 x方向上二飞船动量守恒：
BxBAxABxBAxA vmvmvmvm
同时利用恢复系数与速度的关系式
BA
AB
vv
vvk
m / s2850m / s0950,,＝，＝ BxAx vv
值代入后，解得和、、、将 evvmm BxAxBA
m / s2850m / s0950,,＝，＝ BxAx vv
考虑到碰撞前后，二飞船在 y,z方向上的速度不变，即
0m / s02.0m / s03.0 ＝＝，＝，＝ BzByAzAy vvvv
最后得到碰撞后，二飞船 的速度分别为
m / s2 8 50
m / s0200300 9 50
i.v
k.j.i.v
＝
，＝
B
A
1、乒乓球在运动的过程中发生了几次碰撞？
2、这种碰撞具有什么特点？请注意：
1,主要是来球和回球方向两次碰撞。
2,摩擦力的作用，使球发生旋转，回球碰撞台面后的速度大于球拍击出的速度。
来球与球拍的碰撞－ 挥拍击来球，
球受 FN1 和 F1 两个力。 FN1 为法向正压力； F1 为摩擦力。而且,F1> FN1 。
碰撞后，球在前进的同时发生旋转。
应用刚体平面运动的积分形式
trFJ C d0 0 112
tFFIvvm xNxxxx d0 11e11
回球与台面的碰撞－ 由于 F1> FN1,使得顺时针旋转的球的角速度很大，碰撞前，球与台面接触点的速度与球的运动方向相反。
因而，台面对球的切向碰撞力 (摩擦力 F2)与球的运动方向相同，
从而使这一次碰撞后，球前进的速度更高。
tFIvvm xxxx d0 2e22
回球与台面的碰撞
n
x
v2
v'2
又因为 F2与球的运动方向相同，上述积分恒为正，
于是，有
22 vv
>?
假设球与台面的碰撞为完全弹性碰撞,
1
n2
n2
v
vk ＝
tFIvvm xxxx d0 2e22
O
C
例 题 4 已知,mA=0.05kg,mB=25kg,l=1.5m,
求,（ 1）弹丸入射后木板的角速度；
（ 2） O 处碰撞力的平均值。
=60°,vA=450m/s,?=0.0002s
解,取系统为研究对象，由于外碰撞冲量对
O轴的矩为零，因此，系统的动量矩守恒。
Ix
Iy
vC
202s i n
lvmJlvm
CAOAA
2,31 2 lvlmJ CBO:其中
r a d / s7 7 8.0
)43(
s i n6?
lmm
vm
BA
AA
解得：
vA C
O
A
O
C
由动量定理，得
Ix
Iy
vC
yAA
xAACBA
Ivm
Ivmvmm
c o s0
s i n)(
r a d / s7 7 8.0
)43(
s i n6?
lmm
vm
BA
AA
解得：
vA C
O
A
sN25.11
sN89.4
y
x
I
I
kN25.56
kN45.24
Oy
Ox
F
F
C
A
B
例 题 5
已知,l=1m,k =0.5,f =0.25,杆和球质量相等。
求,经过多长时间后，球开始纯滚。
解,本题可分为碰撞前、碰撞和碰撞后三个阶段，分别进行计算。
（ 1）碰撞前阶段
取 AB杆为研究对象，根据动能定理，有
20)3
1(
2
1 22 lmgml
l
g3
C
IA
I
I'
vC
（ 2）碰撞阶段
A
B
分别取 AB杆和圆球为研究对象，
进行分析计算。 对杆 AB，有
′?
IlJJ AA )(
Ilml )(31 2
Imv C 0
l
lvk C
glkv C 3
4
1
对球 C，有根据恢复系数的定义，有
C aC
mg
FN
F
（ 3）碰撞后阶段根据平面运动微分方程，有
m g f rFrJ
m g fFma
C
C
由运动学可知
t
tavv
C
CC
由平面运动可知，当 时，轮开始纯滚
Crv
s24.03
14
1 gl
gf
kt解得：
突加约束问题运动的刚体突然受到其他物体的阻碍，
发生碰撞，在接触处发生完全不可恢复的变形，亦即产生完全非弹性碰撞－ 突然施加约束,简称突加约束 。
C vC
h
例 题 6 质量为 m,半径为 r的均质圆柱体，以质心速度 v
C
求,碰撞后圆柱体的角速度、质心速度、碰撞冲量在水平面上自左向右作无滑动的滚动，
运动过程中，突然遇到高度为 h (h< r)
的凸台，发生完全非弹性碰撞。
解,1、碰撞过程分析
C
O'
n?
C vC
O'?
n?
hO
v'C
h
Omg
F FN
'
In
I?
碰撞前 碰撞后
r
vC＝?
r
v C＝?
C
O'
n?
v'C
h
O?'
In
I?
)( eIOOO MLL
I? 和 In通过 O点,MO(Ie)＝ 0
OO LL ＝?
碰撞前后圆柱体对 O点动量矩守恒解,2、确定碰撞后的速度和角速度碰撞前碰撞后
2mrJJhrmvL CCCO＝
22
2
3 mrmrJJJL
COOO ＝＝?
CCCC vrvvrvr
r
hr
3
c o s21
3
c o s21
3
21
C vC
O'?
n?
hO
解,3、计算碰撞冲量应用平面运动微分方程的积分形式
e
e
nnn
Imvvm
Imvvm
CC
CC
C
O'
n?
v'C
h
O?'
In
I?
3
c o s-1s i n
τn
CC mvImvI
C vC
O'?
n?
hO
c os
s in
3
c os21
0
n
n
CC
CC
CCC
C
vv
vv
vvv
v
其中：
l/2 l/2
A D B C
例 题 7
已知,两直杆铰接后水平地落到一支座上，到达支座时速度为 v，
并假定碰撞是塑性的。
求,碰撞时动能的损失。
B E CA BD
AB?BC
vEID
解,分别取两杆为研究对象由于碰撞是塑性的，对 AB 杆有
2
lIJ
BABD
对 BC 杆，有
BE
BBCE
Imvmv
l
IJ
2
其中：
)(
22
12
1 2
BCABBCBE
ED
ll
vv
mlJJ
IB IB′
B E CA BD
AB?BC
vEID
由于碰撞是塑性的，对 AB杆有
2
lIJ
BABD
对 BC杆，有
BE
BBCE
Imvmv
l
IJ
2
其中：
)(
22
12
1 2
BCABBCBE
ED
ll
vv
mlJJ
vvlv EBCAB 7676
解得：
IB IB′
B E CA BD
AB?BC
vEID
vvlv EBCAB 7676
解得：
IB IB′
碰撞结束后系统的动能：
2
222
22
2
7
3
2
1
12
1
2
1
12
1
2
1
mv
mvml
mlT
EAB
AB
222
1 2
1
2
1 mvmvmvT
2
21 7
4 mvTTT碰撞前系统的动能：
§ 15-5 撞击中心
O
C
x
y
IOx
IOy
I
具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。
当刚体受到位于对称平面内的碰撞冲量作用时，刚体的转动角速度将发生变化，同时在转动轴的轴承支承处将产生相应的碰撞约束力。
刚体上，能够使碰撞约束力等于零的主动力的碰撞冲量作用点，
称为 撞击中心,或 打击中心 。
O
C
x
y
IOx
IOy
I
应用冲量定理
OyyCyCy
OxxxCxC
IImvvm
IImvvm
yOy
xxCxCOx
II
IvvmI
)(
其中,0
CyCy vv
)()2(
0)1(
CxCxx
y
vvmI
I
:若
0
0
Oy
Ox
I
I
如果外碰撞冲量 I 作用在物体对称平面内，并且满足以上两个条件，则轴承反碰撞冲量等于零，即轴承处不发生碰撞。
O
C
x
y
I
a
K
l
1
2
Ima
vvmI xCxCx
)(
)(
12
IlJJ OzOz 12
★ 当外碰撞冲量作用于物体的对称平面内的 撞击中心,且垂直于支点与质心的连线时，在支点处不引起碰撞冲量。
由（ 1）可知，外碰撞冲量必须垂直于支点与质心的连线。
应用冲量矩定理由（ 2）得：
ma
Jl Oz? K—— 撞击中心
C h
I
一半径为 r 的均质球静止放置在水平地面上，今在球上 A 点作用一水平冲量 I，
欲使球开始滚动而不滑动，
则 A点距地面的高度应为 h =
思考题结论与讨论
__本章基本内容碰撞的力学特征
撞击力的瞬时性－撞击力在很短的时间间隔内发生急剧变化：急剧增加到最大值后，很快衰减。
撞击过程中能量的急剧转换－撞击过程中，
各种机械能之间、机械能与其他形式能量之间以极快的速度转换。
Fmax
t/s
F/N
O t1 t2
碰撞冲量－撞击力在碰撞时间内的累积效应。
研究 碰撞问题的两点简化
在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，普通力（重力、
弹性力等）的冲量可忽略不计 。
在碰撞过程中，由于时间非常短促，物体的位移可忽略不计 。
研究 碰撞问题的注意点
分清碰撞过程和非碰撞过程；
分清碰撞过程中平常力和碰撞力；
分清内、外碰撞冲量，以确定系统的动量和动量矩是否守恒。
动力学普遍定理在碰撞问题中的应用
动量定理的积分形式
动量矩定理的积分形式
n
i
iCC
n
i
i
n
i
t
t
i
n
i
ii
n
i
ii
mm
tmm
1
e
1
e
111
d
2
1
I
I
vv
Fvv
)()(
d
ee
1
12
e
111
2
1
IMIMLL
Irvrvr
Oi
n
i
OOO
i
n
i
t
t
i
n
i
iii
n
i
iii mm
刚体定轴转动运动微分方程的积分形式
刚体平面运动微分方程的积分形式
)( e12 Izzz MJJ
e
e
yCyCy
xCxCx
Imvvm
Imvvm
)( e12 IzCzCz MJJ
注意,以上各方程式中均不计普通力的冲量和系统的内碰撞冲量！
恢复系数
两球的正碰撞
两球的斜碰撞
碰撞系数表达式的一般形式
BA
AB
vv
vv
I
Ik
＝＝
1
2
A vBvA B
vA
A
Bm
m
nn
nn
BA
AB
vv
vvk
＝
n
r
n
r
v
v
I
Ik
1
2
nrv — 碰撞前两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度
nrv? — 碰撞后两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度撞击中心
对于具有质量对称平面、绕定轴转动的刚体，当外碰撞冲量通过撞击中心、并且垂直于刚体质心与转轴轴心的连线或连线的延长线，则在转轴轴承处不会引起碰撞约束力。
ma
Jh z?
撞击中心位于刚体质心与转轴轴心的连线或连线的延长线上；撞击中心到转轴的垂直距离为式中 a 是质心到轴心的距离。
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※ 几个工程实际问题
※ 动力学普遍定理在 碰撞问题中的应用
※ 恢复系数
※ 碰撞问题举例
※ 结论与讨论
※ 碰撞现象 · 碰撞力
※ 撞击中心
§ 15-1 碰撞现象 ·碰撞力碰撞 －物体与物体之间，在极短的时间内，发生有限量的动量传递与能量转换，同时伴随有极大的撞击力的动力学过程。
● 碰撞主要研究碰撞物与被碰撞物在碰撞后的运动效应。
塑料锤重 4.45N;
碰撞前锤的速度 457.2 mm/s;
碰撞的时间间隔 0.00044s;
撞击力峰值 1491 N，
静载作用的 335倍 。
铁锤打击钢板塑料锤重 4.45N;
碰撞前锤的速度 457.2 mm/s;
碰撞的时间间隔 0.01s;
撞击力峰值 244.8 N，
静载作用的 55倍 。
铁锤打击人体据有关资料介绍,一只重 17.8N 的飞鸟与飞机相撞，
如果飞机速度是 800km/h,碰撞力可高达 3.55× 105N,
即为鸟重的 2万倍 ！这就是航空上所谓“鸟祸”的原因之一。
★ 撞击力的瞬时性 —— 撞击力在很短的时间间隔内发生急剧变化：急剧增加到最大值后，很快衰减。
Fmax
t/s
F/N
▼ 碰撞冲量 —— 撞击力在碰撞时间内的累积效应。
2
1
t
t
dtFI
21 dtt tFI
研究碰撞问题的两点简化
（ 1）在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，普通力
（重力、弹性力等）的冲量可忽略不计 。
（ 2）在碰撞过程中，由于时间非常短促，物体的位移可忽略不计 。
上述的两点简化是在碰撞过程中所提出的假说，因此在具体问题的分析中，一定要分清 碰撞过程 和 一般过程 ；
分清运动的三个阶段，即 撞前的运动,碰撞阶段 和 撞后的运动 。
★ 几个工程实际问题两个飞船对接后速度？
A
vA
vB
B
mA
mB
★ 几个工程实际问题请注意撞击物与被撞击物的特点！
★ 几个工程实际问题请注意撞击物与被撞击物的特点！
★ 几个工程实际问题击球手的手握在哪里所受的撞击力最小？
★ 几个工程实际问题请注意这一装置的功能，与碰撞有没有关系？
★ 几个工程实际问题这与碰撞有关系吗？
§ 15-2 用于碰撞过程的基本定理
1,用于碰撞过程的动量定理 —— 冲量定理
t dtmm 0 IFvv
质点：
质点系：
)()( iieiiiii mm IIvv )()( iieiiiii mm IIvv
)( eiiiii mm Ivv
)( eiCC mm Ivv
质点系在碰撞开始和结束时动量的变化，等于作用于质点系的 外碰撞冲量 的主矢。
I—— 碰撞冲量
2,用于碰撞过程的动量矩定理 —— 冲量矩定理
)()( )( e
ii
e
iOOdt
d FrFML
)()( eiieiiO ddtd IrFrL
t eiiOOt eiiO dddOO 0 )(120 )(21 IrLLIrLLL 或
)( )()(120 )(12 eiOeiiOOt eiiOO d IMIrLLIrLL 或由质点系动量矩定理：
根据基本假设，碰撞前后各质点的位置不变：
质点系在碰撞开始和结束时对点 O的动量矩的变化，等于作用于质点系的 外碰撞冲量 对同一点的主矩。
3,碰撞时定轴转动刚体的动力学方程
)( )(12 eizzz MJJ I
4,碰撞时平面运动刚体的动力学方程
)(
)(
12
)(
)(
e
iCCC
e
iyCyCy
e
ixCxCx
MJJ
Ivmvm
Ivmvm
I
注意,以上各方程式中均不计普通力的冲量！
§ 15-3 恢复系数考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段
t
F
tmt1 t2
I1 I2
变形阶段的碰撞冲量；
m
t
t
t
1
d1 FI
恢复阶段的碰撞冲量。
2 d
2
t
t m
tFI
t
F
tmt1 t2
mB
mA mB
mA
vA?vAB vB?vAB
vAB?v'A vAB?v'B
I1 I2 I
2
I1
I2
I1
考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段变形阶段恢复阶段
★ 恢复系数 —— 碰撞的恢复阶段的冲量与变形阶段的冲量之比，
用 k 表示,1
2
I
Ik?
恢复系数与碰撞前和碰撞后的速度之间的关系
—— 应用动量定理的积分形式，对于球 A
vv
vv
vvm
vvm
I
Ik
A
A
AA
AA
)(
)(
1
2
B
B
BB
BB
vv
vv
vvm
vvm
I
Ik
1
2
对于球 B
BA
AB
vv
vv
I
Ik
1
2
对于球 A与固定平面的正碰撞情形
BA
AB
vv
vv
I
Ik
1
2
A
A
BB v
v
I
Ikvv
1
20,
B
A
h 2h 2
h 1 vA
A
h 2h 2
v'A 21 22 ghvghv AA,
1
2
h
hk?
恢复系数与碰撞前和碰撞后的速度之间的关系
n
r
n
r
v
v
I
Ik
1
2
● 这一结果表明：对于确定的材料，不论碰撞前后物体的运动速度如何，两个碰撞物体碰撞前后的相对速度大小的比值是不变的。
● 对于确定的材料，恢复系数为常量。
● 恢复系数既描述了碰撞后物体速度的恢复程度，也描述了物体变形的恢复程度。
n
rv?
— 碰撞后两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度
nrv — 碰撞前两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度恢复系数的取值范围变形不能完全恢复；
损耗，非完全弹性碰撞：能量10 k
碰撞后变形完全恢复；
损耗，完全弹性碰撞：无能量1?k
变形完全不能恢复。
碰撞),完全非弹性碰撞( 塑性0?k
§ 15-4 碰撞问题举例由
BBAABBAA mmmm vvvv
A vB
vA B A v'A v'BBB
A
vAB
BA
AB
vv
vv
I
Ik
1
2
解得碰撞后两个球的速度分别为
BA
BA
A
BB
BA
BA
A
AA
vv
mm
m
kvv
vv
mm
m
kvv
1
1
例 题 1
碰撞前系统的总动能碰撞后系统的总动能
22
1 2
1
2
1
BBAA vmvmT
22
2 2
1
2
1
BBAA vmvmT
碰撞前、后系统动能的变化
BBBBBAAAAA vvvvmvvvvmTTT 212121 －＝
A vB
vA B A v'A v'BBB
A
vAB
BA
BA
A
BB
BA
BA
A
AA
vv
mm
m
kvv
vv
mm
m
kvv
1
1
BABABA
BA
BA vvvvvv
mm
mmkT
12
1＝
碰撞前、后系统动能的变化
221
2 BABA
BA vvk
mm
mmT
＝
BABABA
BA
BA vvvvvv
mm
mmkT
12
1＝
BA
AB
vv
vv
I
Ik
1
2
两种特殊情形下，碰撞前、后系统动能的变化完全弹性碰撞 —— k=1,?T=T2－ T1=0。
碰撞过程中没有能量损失。
塑性碰撞 —— k=0,动能损失为
2
2 BABA
BA vv
mm
mmT?
＝
若 vB=0
2
2 ABA
BA v
mm
mmT
＝
2
1 2
1
AA vmT?
11 1
1
T
m
m
T
mm
m
T
B
ABA
B
＝
锻造用的汽锤锤重与打桩机锤头重量均为 mAg; 汽锤的铁砧与桩的重量均为 mBg。汽锤和打桩机的锤头打击前速度均为 vA
试分析,汽锤与打桩机在打击过程中的动量传递与能量转换。
例 题 2
B
A
A
BA
BA
m
m
T
v
mm
mm
T
12
12 ＝＝
锤头的动能绝大部分转变为被锻造金属的塑性变形能。
1TT
mA? mB
0TmA?mB
锤头的动能绝大部分转变为锤头与桩一起运动的动能。
汽锤传递的动量一定时，铁砧质量 mB越大，其速度 vB 越小。′
打桩传递的动量一定时，桩的质量 mB越小，其速度 vB 越大。′
A
vA
vB
B
mA
mB
0m / s02.003.02.00
kg106.6kg1018 33
BA
BA mm
v kjiv,＝；，
在惯性参考系中：
求,1.对接成功后，联合体的质心速度；
2.对接不成功，恢复系数 e=0.95,碰撞后二者的速度。
(以上分析中均可略去飞船的 转动 )
例 题 3
解,1.对接成功时联合体的质心速度可以直接应用动量守恒关系式
BBAABBAA mmmm vvvv
这时，
ABBA vvv ＝＝
于是，有
ABBABBAA mmmm vvv
m / s015002201460
10661018
0020030201018
33
3
k.j.i.
.
k.j.i.
vv
v
BA
BBAA
AB
mm
mm
解,2.对接不成功时，二飞船的速度不考虑对接处的摩擦，二飞船在 y,z方向上的 速度分量保持不变；在 x方向上二飞船动量守恒：
BxBAxABxBAxA vmvmvmvm
同时利用恢复系数与速度的关系式
BA
AB
vv
vvk
m / s2850m / s0950,,＝，＝ BxAx vv
值代入后，解得和、、、将 evvmm BxAxBA
m / s2850m / s0950,,＝，＝ BxAx vv
考虑到碰撞前后，二飞船在 y,z方向上的速度不变，即
0m / s02.0m / s03.0 ＝＝，＝，＝ BzByAzAy vvvv
最后得到碰撞后，二飞船 的速度分别为
m / s2 8 50
m / s0200300 9 50
i.v
k.j.i.v
＝
，＝
B
A
1、乒乓球在运动的过程中发生了几次碰撞？
2、这种碰撞具有什么特点？请注意：
1,主要是来球和回球方向两次碰撞。
2,摩擦力的作用，使球发生旋转，回球碰撞台面后的速度大于球拍击出的速度。
来球与球拍的碰撞－ 挥拍击来球，
球受 FN1 和 F1 两个力。 FN1 为法向正压力； F1 为摩擦力。而且,F1> FN1 。
碰撞后，球在前进的同时发生旋转。
应用刚体平面运动的积分形式
trFJ C d0 0 112
tFFIvvm xNxxxx d0 11e11
回球与台面的碰撞－ 由于 F1> FN1,使得顺时针旋转的球的角速度很大，碰撞前，球与台面接触点的速度与球的运动方向相反。
因而，台面对球的切向碰撞力 (摩擦力 F2)与球的运动方向相同，
从而使这一次碰撞后，球前进的速度更高。
tFIvvm xxxx d0 2e22
回球与台面的碰撞
n
x
v2
v'2
又因为 F2与球的运动方向相同，上述积分恒为正，
于是，有
22 vv
>?
假设球与台面的碰撞为完全弹性碰撞,
1
n2
n2
v
vk ＝
tFIvvm xxxx d0 2e22
O
C
例 题 4 已知,mA=0.05kg,mB=25kg,l=1.5m,
求,（ 1）弹丸入射后木板的角速度；
（ 2） O 处碰撞力的平均值。
=60°,vA=450m/s,?=0.0002s
解,取系统为研究对象，由于外碰撞冲量对
O轴的矩为零，因此，系统的动量矩守恒。
Ix
Iy
vC
202s i n
lvmJlvm
CAOAA
2,31 2 lvlmJ CBO:其中
r a d / s7 7 8.0
)43(
s i n6?
lmm
vm
BA
AA
解得：
vA C
O
A
O
C
由动量定理，得
Ix
Iy
vC
yAA
xAACBA
Ivm
Ivmvmm
c o s0
s i n)(
r a d / s7 7 8.0
)43(
s i n6?
lmm
vm
BA
AA
解得：
vA C
O
A
sN25.11
sN89.4
y
x
I
I
kN25.56
kN45.24
Oy
Ox
F
F
C
A
B
例 题 5
已知,l=1m,k =0.5,f =0.25,杆和球质量相等。
求,经过多长时间后，球开始纯滚。
解,本题可分为碰撞前、碰撞和碰撞后三个阶段，分别进行计算。
（ 1）碰撞前阶段
取 AB杆为研究对象，根据动能定理，有
20)3
1(
2
1 22 lmgml
l
g3
C
IA
I
I'
vC
（ 2）碰撞阶段
A
B
分别取 AB杆和圆球为研究对象，
进行分析计算。 对杆 AB，有
′?
IlJJ AA )(
Ilml )(31 2
Imv C 0
l
lvk C
glkv C 3
4
1
对球 C，有根据恢复系数的定义，有
C aC
mg
FN
F
（ 3）碰撞后阶段根据平面运动微分方程，有
m g f rFrJ
m g fFma
C
C
由运动学可知
t
tavv
C
CC
由平面运动可知，当 时，轮开始纯滚
Crv
s24.03
14
1 gl
gf
kt解得：
突加约束问题运动的刚体突然受到其他物体的阻碍，
发生碰撞，在接触处发生完全不可恢复的变形，亦即产生完全非弹性碰撞－ 突然施加约束,简称突加约束 。
C vC
h
例 题 6 质量为 m,半径为 r的均质圆柱体，以质心速度 v
C
求,碰撞后圆柱体的角速度、质心速度、碰撞冲量在水平面上自左向右作无滑动的滚动，
运动过程中，突然遇到高度为 h (h< r)
的凸台，发生完全非弹性碰撞。
解,1、碰撞过程分析
C
O'
n?
C vC
O'?
n?
hO
v'C
h
Omg
F FN
'
In
I?
碰撞前 碰撞后
r
vC＝?
r
v C＝?
C
O'
n?
v'C
h
O?'
In
I?
)( eIOOO MLL
I? 和 In通过 O点,MO(Ie)＝ 0
OO LL ＝?
碰撞前后圆柱体对 O点动量矩守恒解,2、确定碰撞后的速度和角速度碰撞前碰撞后
2mrJJhrmvL CCCO＝
22
2
3 mrmrJJJL
COOO ＝＝?
CCCC vrvvrvr
r
hr
3
c o s21
3
c o s21
3
21
C vC
O'?
n?
hO
解,3、计算碰撞冲量应用平面运动微分方程的积分形式
e
e
nnn
Imvvm
Imvvm
CC
CC
C
O'
n?
v'C
h
O?'
In
I?
3
c o s-1s i n
τn
CC mvImvI
C vC
O'?
n?
hO
c os
s in
3
c os21
0
n
n
CC
CC
CCC
C
vv
vv
vvv
v
其中：
l/2 l/2
A D B C
例 题 7
已知,两直杆铰接后水平地落到一支座上，到达支座时速度为 v，
并假定碰撞是塑性的。
求,碰撞时动能的损失。
B E CA BD
AB?BC
vEID
解,分别取两杆为研究对象由于碰撞是塑性的，对 AB 杆有
2
lIJ
BABD
对 BC 杆，有
BE
BBCE
Imvmv
l
IJ
2
其中：
)(
22
12
1 2
BCABBCBE
ED
ll
vv
mlJJ
IB IB′
B E CA BD
AB?BC
vEID
由于碰撞是塑性的，对 AB杆有
2
lIJ
BABD
对 BC杆，有
BE
BBCE
Imvmv
l
IJ
2
其中：
)(
22
12
1 2
BCABBCBE
ED
ll
vv
mlJJ
vvlv EBCAB 7676
解得：
IB IB′
B E CA BD
AB?BC
vEID
vvlv EBCAB 7676
解得：
IB IB′
碰撞结束后系统的动能：
2
222
22
2
7
3
2
1
12
1
2
1
12
1
2
1
mv
mvml
mlT
EAB
AB
222
1 2
1
2
1 mvmvmvT
2
21 7
4 mvTTT碰撞前系统的动能：
§ 15-5 撞击中心
O
C
x
y
IOx
IOy
I
具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。
当刚体受到位于对称平面内的碰撞冲量作用时，刚体的转动角速度将发生变化，同时在转动轴的轴承支承处将产生相应的碰撞约束力。
刚体上，能够使碰撞约束力等于零的主动力的碰撞冲量作用点，
称为 撞击中心,或 打击中心 。
O
C
x
y
IOx
IOy
I
应用冲量定理
OyyCyCy
OxxxCxC
IImvvm
IImvvm
yOy
xxCxCOx
II
IvvmI
)(
其中,0
CyCy vv
)()2(
0)1(
CxCxx
y
vvmI
I
:若
0
0
Oy
Ox
I
I
如果外碰撞冲量 I 作用在物体对称平面内，并且满足以上两个条件，则轴承反碰撞冲量等于零，即轴承处不发生碰撞。
O
C
x
y
I
a
K
l
1
2
Ima
vvmI xCxCx
)(
)(
12
IlJJ OzOz 12
★ 当外碰撞冲量作用于物体的对称平面内的 撞击中心,且垂直于支点与质心的连线时，在支点处不引起碰撞冲量。
由（ 1）可知，外碰撞冲量必须垂直于支点与质心的连线。
应用冲量矩定理由（ 2）得：
ma
Jl Oz? K—— 撞击中心
C h
I
一半径为 r 的均质球静止放置在水平地面上，今在球上 A 点作用一水平冲量 I，
欲使球开始滚动而不滑动，
则 A点距地面的高度应为 h =
思考题结论与讨论
__本章基本内容碰撞的力学特征
撞击力的瞬时性－撞击力在很短的时间间隔内发生急剧变化：急剧增加到最大值后，很快衰减。
撞击过程中能量的急剧转换－撞击过程中，
各种机械能之间、机械能与其他形式能量之间以极快的速度转换。
Fmax
t/s
F/N
O t1 t2
碰撞冲量－撞击力在碰撞时间内的累积效应。
研究 碰撞问题的两点简化
在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，普通力（重力、
弹性力等）的冲量可忽略不计 。
在碰撞过程中，由于时间非常短促，物体的位移可忽略不计 。
研究 碰撞问题的注意点
分清碰撞过程和非碰撞过程；
分清碰撞过程中平常力和碰撞力；
分清内、外碰撞冲量，以确定系统的动量和动量矩是否守恒。
动力学普遍定理在碰撞问题中的应用
动量定理的积分形式
动量矩定理的积分形式
n
i
iCC
n
i
i
n
i
t
t
i
n
i
ii
n
i
ii
mm
tmm
1
e
1
e
111
d
2
1
I
I
vv
Fvv
)()(
d
ee
1
12
e
111
2
1
IMIMLL
Irvrvr
Oi
n
i
OOO
i
n
i
t
t
i
n
i
iii
n
i
iii mm
刚体定轴转动运动微分方程的积分形式
刚体平面运动微分方程的积分形式
)( e12 Izzz MJJ
e
e
yCyCy
xCxCx
Imvvm
Imvvm
)( e12 IzCzCz MJJ
注意,以上各方程式中均不计普通力的冲量和系统的内碰撞冲量！
恢复系数
两球的正碰撞
两球的斜碰撞
碰撞系数表达式的一般形式
BA
AB
vv
vv
I
Ik
＝＝
1
2
A vBvA B
vA
A
Bm
m
nn
nn
BA
AB
vv
vvk
＝
n
r
n
r
v
v
I
Ik
1
2
nrv — 碰撞前两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度
nrv? — 碰撞后两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度撞击中心
对于具有质量对称平面、绕定轴转动的刚体，当外碰撞冲量通过撞击中心、并且垂直于刚体质心与转轴轴心的连线或连线的延长线，则在转轴轴承处不会引起碰撞约束力。
ma
Jh z?
撞击中心位于刚体质心与转轴轴心的连线或连线的延长线上；撞击中心到转轴的垂直距离为式中 a 是质心到轴心的距离。
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