达朗伯 ( D′Alembert)原理
※ 引 言
※ 几个工程实际问题
※ 质点系的 达朗伯原理
※ 质点的惯性力与动静法
※ 刚体惯性力系的简化
※ 结论与讨论
※ 动绕定轴转动刚体的轴承动反力引 言
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 达朗伯原理（动静法）。
达朗伯原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方 法。
达朗伯原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。
几个工程实际问题爆破时烟囱怎样倒塌几个工程实际问题几个工程实际问题
s
FI F
N
F
ma
x
z
yO
m
A
FN —— 约束力；
F —— 主动力；
§ 16-1 惯性力 ·质点的达朗伯原理根据牛顿定律
ma ＝ F + FN
F + FN － ma ＝ 0
FI ＝ － ma
F + FN ＋ FI ＝ 0
FI —— 质点的惯性力。
非自由质点的达朗伯原理作用在质点上的主动力和约束力与假想施加在质点上的惯性力，形式上组成平衡力系。
FI ＝ － maF + FN ＋ FI＝ 0
应用达朗伯原理求解非自由质点动约束力的方法动静法
1、分析质点所受的主动力和约束力；
2、分析质点的运动，确定加速度；
3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力 。
非自由质点达朗贝尔原理的投影形式
0
0
0
N
N
N
zzz
yyy
xxx
FFF
FFF
FFF
BA
C
l
l
l
l
O1 x1
y1
例 题 1 离心调速器已知：
m1－ 球 A,B 的质量；
m2－ 重锤 C 的质量；
l－ 杆件的长度；
－ O1 y1轴的旋转角速度。
求,?－? 的关系。
解,1、分析受力：以球 B(或 A)和重锤 C
为研究对象，分析所受的主动力和约束力
B
FT1
FT2
m1 g
C
FT3
m2 g
FT1′
2、分析运动：施加惯性力。
球绕 O1y1轴作等速圆周运动，惯性力方向与法向加速度方向相反，其值为
FI＝ m1l? 2sin?
重锤静止，无惯性力。
FI
B
FT1
FT2
m1 g
C
FT3
m2 g
FT1′
FI
3、应用动静法：
0) c o s(0
0) s i n(s i n0
T2T111
T2T1
2
11
FFgmF
FFlmF
y
x
对于重锤 C
T1T1
2
T1T3T1 c o s2 FF
gmFFF ＝＝＝,,
对于球 B
glm mm 2
1
21c o s
例 题 2
平衡位置O
y
y＝ a sin? t
求,颗粒脱离台面的最小振动频率振动筛平衡位置O
y
y
m
amg
FN
FI
解,通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定颗粒脱离台面的位置和条件。
FI＝ ma? 2sin? t
0s in2N ＝＋－ tmamgF
颗粒脱离台面的条件 FN＝ 0，
sin? t＝ 1时,? 最小。
a
g＝?
应用动静法
(a) 当其在平衡位置的上方平衡位置O
y
y
m a
mg
FN
FI
(b) 当其在平衡位置的下方解,通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定颗粒脱离台面的位置和条件。
0s in2N ＝tmamgF
应用动静法
0s in2N?tmamgF＋＝
颗粒在平衡位置以下时不会脱离台面。
§ 16-2 质点系的达朗伯原理
a2
a1
ai
F1
F2
Fi
FN1
FN2
FNi
FI1
FI2 FIi
m1
mi
m2
质点系的主动力系质点系的约束力系质点系的惯性力系
ni F,,F,,F,F21
ni NN2N1N F,,F,,F,F
ni FFFF,,,,,21
对质点系应用达朗伯原理，由动静法得到
0)()()(
0
iONiOiO
iNii
FMFMFM
FFF
A
B
x
FAx
A
C
B
FT
mg
例 题 3 已知,m,l,?,?
求,BC绳的张力及 A 处约束反力。
解,取 AB 杆为研究对象
dFI
FI
dxxlmdF s in2
s i n21s i n 20 2 mldxxlmF l
00
00
mgFF
FFFF
Ayy
TAxx
0s i n
2
c o s
3
2
c o s
0
l
mglFlF
M
T
A
分析 AB 杆的运动，计算惯性力 FAy
A
B
x
FAx
A
C
B
FT
mg
dFI
FI
mgF
mgmlF
mgmlF
Ay
Ax
T
t a n
2
1
s i n
6
1
t a n
2
1
s i n
3
1
2
2
FAy
s in21s in 20 2 mldxxlmF l
00
00
mgFF
FFFF
Ayy
TAxx
0s in
2
c o s
3
2
c o s
0
l
mglFlF
M
T
A
O
x
y FIi
d?
FTFT
O
R
例 题 4 已知,m,R,?。
求,轮缘横截面的张力。
解,取上半部分轮缘为研究对象
2
2 RRdR
mF
i
02s in0 Tiy FFF?
2
s in
22
1
2
2
0
mR
dR
m
F T
刚体惯性力系特点
刚体惯性力 的分布与刚体的质量分布以及刚体上各点的绝对加速度有关。
FIi＝－ miai
对于平面问题 (或者可以简化为平面问题 )，
刚体的惯性力为面积力，组成平面力系 。
对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，
组成空间一般力系 。
§ 16-3 刚体惯性力系的简化
惯性力 系的主矢
C
i
ii
i
i mm aaFF ＝－－＝＝ )(R
惯性力 系的主矢等于刚体的质量与刚体质心 加速度的乘积，
方向与质心加速度方向相反。这一简化结果与运动形式无关。
惯性力 系的主矩－ 惯性力 系的主矩与刚体的运动形式有关。
aC
a1
a2
an
m
m2
mn
m1
FIn
FI1
FI2
FIR
1、刚体作平动
Cm aF ＝－R? 0＝CM?
刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。
O
2、刚体绕定轴转动
O
C
nCa
Ca
R?F
nR?F
R?F
C
mi
nia
ia
i?F
ni?F
)(
R
n
CC
Cii
m
mm
aa
aaF
z
iii
iO
J
rrm
MM
)(O F
MIO
O
R?FMIO
当刚体有对称平面且绕垂直于对称平面的定轴转动时，惯性力系简化为对称平面内的一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；这个力偶的矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。
O
C
R?FMIC
)(R nCCC mm aaaF
CJM C
O
R?FMIO
3、刚体作平面运动具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。
C
aC
R?F
MIC
Cm aFR
CJM C
例 题 5 已知,m,h,?,l。
求,A,D处约束反力。
mg
FN
FAx
FAyFI
B
D
C
A
解,取 AB 杆为研究对象
B
A
D
a
h
maF
其中：
0c o s0
0s i n0
NAyy
NAxx
mgFF
FFFF
0
s i n
s i n
2
c o s
2
0)(
h
F
l
F
l
mg
M
N
A F
mg
FN
FAx
FAyFI
B
D
C
A
maF
其中：
)s i nc os(c oss i n
2
s i n)s i nc os(
2
)s i nc os(s i n
2
2
ag
h
ml
mgF
ag
h
ml
maF
ag
h
ml
F
Ay
Ax
N
0c o s0
0s i n0
NAyy
NAxx
mgFF
FFFF
0
s i n
s i n
2
c o s
2
0)(
h
F
l
F
l
mg
M
N
A F
C
D
a
h
b
C
mg
F
FI
例 题 6 已知,m,h,a,b,f。
求,为了安全运送货物,小车的 amax。
解,取 小车杆为研究对象
0
2
0)(
00
00
m gd
h
FM
mgFF
FFF
D
Ny
x
F
FN
d
g
ahdmgFmaFF
N 2,,
货物不滑的条件,F≤ f FN,a≤ f g
货物不翻的条件,d ≤ b/2,a≤ bg/h
为了安全运送货物，应取两者中的小者作为小车的 amax。
O
r
lA B例 题 7 已知,AB杆质量为 m,长为 l=2r,
求,A 端的约束反力。
圆盘半径为 r,角速度为?,角加速度为?。
解,取 AB 杆为研究对象
FAx
FAy
mg
A BC
O
MIO?R?FnR?F
MA
（ 1）分析运动，施加惯性力。
2
2
3
7
2
2
mrJM
mrmaF
mrmaF
OO
n
C
n
R
CR
00)(
045c os)(0
045c os)(0
OAxAO
R
n
RAyy
R
n
RAxx
Mm grrFMM
FFmgFF
FFFF
F
)43(
3
)(
)(
2
2
2
2
mr
m g rM
mrmgF
mrF
A
Ay
Ax
FAx
FAy
mg
A BC
O
MIO?R?FnR?F
MA
2
2
3
7
2
2
mrJM
mrmaF
mrmaF
OO
n
C
n
R
CR
00)(
045c os)(0
045c os)(0
OAxAO
R
n
RAyy
R
n
RAxx
Mm grrFMM
FFmgFF
FFFF
F
FAx
FAy
mg
A BC
MA
2
2
3
1
2
2
mrJM
mrmaF
mrmaF
CC
n
C
n
R
CR
045c o s)(0)(
045c o s)(0
045c o s)(0
CR
n
RAA
R
n
RAyy
R
n
RAxx
MrFFm g rMM
FFmgFF
FFFF
F
)43(
3
)(
)(
2
2
2
2
mr
m g rM
mrmgF
mrF
A
Ay
Ax
MIC
（ 2）将惯性力系向质心 C简化。
R?FnR?F
A
B C
M
l
M
A
C
例 题 8 已知,A物体与轮 C的质量求,（ 1） A 物体上升的加速度；
（ 2） B 端的约束反力。
均为 m,BC 杆的质量为 m1，长为 l，在轮 C上作用一主动力偶 M 。
解,（ 1）取 A物体与轮 C为研究对象
mg
mg F
IA
MIC FCx
FCy
00 RFmg RMMM ACC
mR
m g RMa
A 3
)(2
A
A
CCC
AA
m R a
R
a
mRJM
maF
2
1
2
1 2
其中：
M
A
C
mg
mg F
IA
MIC FCx
FCy
00)( RFmg RMMM ACC F
mR
m g RMa
A 3
)(2
00
00
ACyy
Cxx
FmgmgFF
FF
R
m g RMFF
CyCx 3
)2(2,0
A
A
CCC
AA
m R a
R
a
mRJM
maF
2
1
2
1 2
其中：
（ 2）取 BC 杆为研究对象
B C F
Cx'
FCy'
MB
FBx
FBy
m1g
0
2
0)(
00
00
1
1
lF
l
gmMM
FgmFF
FFF
CyBB
CyByy
CxBxx
F
R
lm gRMglm
M
R
m gRM
gmF
F
B
By
Bx
3
)2(2
2
3
)2(2
0
1
1
例 题 9
已知,两均质直杆自水平位置无初速地释放。
求,两杆的角加速度和
O,A处的约束反力。
解,(1) 取系统为研究对象
A BO
MI1 MI2
mg mg
FI2FI1
FOy
FOx
BA
O
1?2
2
2
2212 12
1)
2( mlM
llmF
(2) 取 AB 杆为研究对象
MI2
mg
FI2
FAy
FAx
BA
2
2
2
2212 12
1)
2( mlM
llmF
l
g
l
g
7
3,
7
9
21
(2) 取 AB 杆为研究对象
MI2
mg
FI2
FAy
FAx
BA
2
2
2
2212 12
1)
2( mlM
llmF
00
00
2
FmgFF
FF
Ayy
Axx
mgF
F
Ay
Ax
14
1
0
l
g
l
g
7
3,
7
9
21
(3) 取系统为研究对象
MI1 MI2
mg mg
FI2FI1
FOy
FOx
BA
O
1?2
00
00
21
FFmgmgFF
FF
Oyy
Oxx
mgF
F
Oy
Ox
7
2
0
例 题 10
质量为 m和 2m，长度分别为 l和 2l的匀质细杆 OA 和 AB 在 A 点光滑铰接,OA
杆的 A端为光滑固定铰链,AB杆的 B端放在光滑水平面上。初瞬时,OA杆水平,AB杆铅直。由于初位移的微小扰动,AB杆的 B端无初速地向右滑动，
试求当 OA杆运动到铅垂位置时,A点处的约束反力。
A
B
O
解,(1) 取系统为研究对象，由动能定理得：
2220)(22
1
3
1
2
1 222 lmglmglmml
l
g
7
92
FAx
O
A
1
A
BC
FNB
2
2mg
FIy
FIx
FAy′
FAx′
(2) 取 OA 杆为研究对象
lFml Ax 1231?
(3) 取 AB 杆为研究对象
030s i n30c os)2(30c os2
0
020
00
CxyNB
A
AyyNBy
xAxx
MlFlmgFlF
M
mgFFFF
FFF
FAy
2
2
2
CC
Cyy
Cxx
JM
maF
maF
MIC
A
BC
2
O
A?Aa
nAa
nAa
Aa
CAa
A
B
2
nAa
Aa
BAa
1
(4) 对 AB 杆进行运动分析
1
2
7
9
la
g
la
A
n
A
取 A点为基点，研究 B点
CAAnAC aaaa
060s inBAnABy aaa
l
g
7
33
2
取 A点为基点，研究 C点
BAAnAB aaaa
14
9
60s i n
14
33
60c os 1
g
aaa
g
laaa
CA
n
ACy
CAACx
FAx
O
A
1
A
BC
FNB
2
2mg
FIy
FIx
FAy′
FAx′
(2) 取 OA 杆为研究对象
lFml Ax 1231?
(3) 取 AB杆为研究对象
030s i n30c os)2(30c os2
0)(
020
00
CxyNB
A
AyyNBy
xAxx
MlFlmgFlF
M
mgFFFF
FFF
F
FAy
14
9
60s i n
14
33
60c os 1
g
aaa
g
laaa
CA
n
ACy
CAACx
MIC
2
2
2
CC
Cyy
Cxx
JM
maF
maF
FAx
O
A
1
A
BC
FNB
2
2mg
FIy
FIx
FAy′
FAx′
FAy
mgF
mgF
mgF
l
g
l
g
l
g
NB
Ay
Ax
49
65
49
96
49
33
7
33
49
39
7
9
2
1
解得：
MIC
§ 16-4 绕定轴转动刚体的轴承动反力
m
m
A B A B
m
m
FI1
FI1＝ FI2 FI1>FI2
FRA FRB
理想状态
FI2
偏心状态
FI1
FI2
A
B
m
m
A
B
m
m
FRB
FRA
FRA
FRB
偏角状态 既偏心又偏角状态
FI1
FI2 FI2
FI1
y
x
z
O
ri m
i
ri
FIi
FIR
MIO
一般状态
)( iOO
i
FMM
aaFF Cii mm
ii
ii
vωrαa
rωv
i
)()(
)( iOO
iiiiii
iii
mm
m
vωrrαr
arFMM
)(
)(
)(
)(
ii
i
i
ij
kjikrωv
ij
kjikrα
kjir
yx
zyx
yx
zyx
zyx
)(
)(
2
i
ji
ijkvω
yx
yx
y
x
z
O
ri m
i
ri
FIi
FIR
MIO )(
])[(
)()(
)()(
)()(
2
22
2
O
ij
jik
jikji
ijkji
vωrkrαrM
yzxzm
yzxzyxm
yxmzyx
yxmzyx
mm
i
i
i
i
iiiiii
)(
)(
)(
)(
ii
i
i
ij
kjikrωv
ij
kjikrα
kjir
yx
zyx
yx
zyx
zyx
)(
)(
2
i
ji
ijkvω
yx
yx
y
x
z
O
ri m
i
ri
FIi
FIR
MIO
)(
])[(
)()(
)()(
)()(
2
22
2
O
ij
jik
jikji
ijkji
vωrkrαrM
yzxzm
yzxzyxm
yxmzyx
yxmzyx
mm
i
i
i
i
iiiiii
222 )( iiiz rmyxmJ
刚体对z 轴的惯性积?
yzmJ
xzmJ
iyz
ixz
kjiM zxzyzyzxz JJJJJ )()( 22O
kjiM zxzyzyzxz JJJJJ )()( 22O
zz
xzyzy
yzxzx
JM
JJM
JJM
2
2
A
B
y
x
z
O
FAx FAy
FBx FByFBz
FIR
MIO
FR
MO
主动力系的主矩主动力系的主矢惯性力系的主矩惯性力系的主矢
O
R
O
R
M
F
M
F
A
B
y
x
z
O
FAx FAy
FBx FByFBz
FIR
MIO
FR
MO
根据达朗伯原理，可列写下列六个方程：
0
0
0
0
0
0
zz
yyAxBx
xxAyBy
RzBz
yRyByAy
xRxBxAx
MM
MMOAFOBF
MMOAFOBF
FF
FFFF
FFFF
由此可求得轴承动反力
RzBz
yxRyxBy
xyRxyBx
yxRyxAy
xyRxyAx
FF
OAFMOAFM
AB
F
OAFMOAFM
AB
F
OBFMOBFM
AB
F
OBFMOBFM
AB
F
)]()[(
1
)]()[(
1
)]()[(
1
)]()[(
1
动反力 → 由主动力引起的静反力 + 惯性力引起的附加动反力要使附加动反力等于零，必须有：
0
0
yx
yx
FF
MM
要使附加动反力等于零，必须有：
0
0
yx
yx
FF
MM
0
0
0,0
2
2
xzyzy
yzxzx
CyyCxx
JJM
JJM
maFmaF
结论,刚体绕定轴转动时，避免出现轴承附加动反力的条件是,转轴通过刚体的质心，刚体对转轴的惯性积等于零。
避免出现轴承附加动反力的条件是,刚体转轴应为刚体的中心惯性主轴。
通过质心的惯性主轴，称为 中心惯性主轴。
结论与讨论
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 达朗伯原理。
达朗伯原理与动静法为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。
达朗伯原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。
质点的惯性力定义为质点的质量与加速度的乘积，并冠以负号，即
质点的达朗伯原理：质点上的主动力、约束反力和惯性力在形式上组成平衡力系，有
质点系的达朗伯原理：在质点系中每个质点上都假想地加上该质点的惯性力，则作用于各质点的真实力与惯性力在形式上组成平衡力系，有
FI ＝ － ma
F + FN ＋ FI＝ 0
Fi + FNi ＋ FIi＝ 0 (i=1,2,…n)
刚体的惯性力系简化结果
1、刚体作平动
质体作平动时，惯性力系简化为一个通过质心的合力 FI 。
FI ＝ － maC
2、刚体绕定轴转动
惯性力系向转轴上任一点 O简化，得一力和一力偶，该力等于惯性力系主矢 FI,该力偶的矩等于惯性力系对点的主矩 MIO 。
FI ＝ － maC
222
zyxO MMMM
)(
222
2
2
yxmrmJ
yzmJ
xzmJ
JM
JJM
JJM
iiiz
iyz
ixz
zx
xzyzy
yzxzx
其中
：
如果刚体具有对称平面，该平面与转轴垂直，则惯性力系向对称平面与转轴的交点 O简化，得在该平面的一力和一力偶。
FIR ＝ － maC
MIO ＝ － Jz?
3、刚体作平面运动
如果刚体具有对称平面，则惯性力系向质心简化得一力和一力偶。
FI R ＝ － m aC
MI C ＝ － JC?
★ 质刚体绕定轴转动时，轴承附加动反力等于零的条件为：
刚体的转轴是中心惯性主轴 。即,（ 1）转轴通过质心；（ 2）惯性积等于零。
请建立计算汽轮机叶片动应力的力学模型。
结论与讨论? 几个实际问题
1、建立蛤蟆夯的运动学和动力学模型；
2、分析蛤蟆夯工作过程中的几个阶段。
结论与讨论? 几个实际问题返回本章目录页
※ 引 言
※ 几个工程实际问题
※ 质点系的 达朗伯原理
※ 质点的惯性力与动静法
※ 刚体惯性力系的简化
※ 结论与讨论
※ 动绕定轴转动刚体的轴承动反力引 言
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 达朗伯原理（动静法）。
达朗伯原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方 法。
达朗伯原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。
几个工程实际问题爆破时烟囱怎样倒塌几个工程实际问题几个工程实际问题
s
FI F
N
F
ma
x
z
yO
m
A
FN —— 约束力；
F —— 主动力；
§ 16-1 惯性力 ·质点的达朗伯原理根据牛顿定律
ma ＝ F + FN
F + FN － ma ＝ 0
FI ＝ － ma
F + FN ＋ FI ＝ 0
FI —— 质点的惯性力。
非自由质点的达朗伯原理作用在质点上的主动力和约束力与假想施加在质点上的惯性力，形式上组成平衡力系。
FI ＝ － maF + FN ＋ FI＝ 0
应用达朗伯原理求解非自由质点动约束力的方法动静法
1、分析质点所受的主动力和约束力；
2、分析质点的运动，确定加速度；
3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力 。
非自由质点达朗贝尔原理的投影形式
0
0
0
N
N
N
zzz
yyy
xxx
FFF
FFF
FFF
BA
C
l
l
l
l
O1 x1
y1
例 题 1 离心调速器已知：
m1－ 球 A,B 的质量；
m2－ 重锤 C 的质量；
l－ 杆件的长度；
－ O1 y1轴的旋转角速度。
求,?－? 的关系。
解,1、分析受力：以球 B(或 A)和重锤 C
为研究对象，分析所受的主动力和约束力
B
FT1
FT2
m1 g
C
FT3
m2 g
FT1′
2、分析运动：施加惯性力。
球绕 O1y1轴作等速圆周运动，惯性力方向与法向加速度方向相反，其值为
FI＝ m1l? 2sin?
重锤静止，无惯性力。
FI
B
FT1
FT2
m1 g
C
FT3
m2 g
FT1′
FI
3、应用动静法：
0) c o s(0
0) s i n(s i n0
T2T111
T2T1
2
11
FFgmF
FFlmF
y
x
对于重锤 C
T1T1
2
T1T3T1 c o s2 FF
gmFFF ＝＝＝,,
对于球 B
glm mm 2
1
21c o s
例 题 2
平衡位置O
y
y＝ a sin? t
求,颗粒脱离台面的最小振动频率振动筛平衡位置O
y
y
m
amg
FN
FI
解,通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定颗粒脱离台面的位置和条件。
FI＝ ma? 2sin? t
0s in2N ＝＋－ tmamgF
颗粒脱离台面的条件 FN＝ 0，
sin? t＝ 1时,? 最小。
a
g＝?
应用动静法
(a) 当其在平衡位置的上方平衡位置O
y
y
m a
mg
FN
FI
(b) 当其在平衡位置的下方解,通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定颗粒脱离台面的位置和条件。
0s in2N ＝tmamgF
应用动静法
0s in2N?tmamgF＋＝
颗粒在平衡位置以下时不会脱离台面。
§ 16-2 质点系的达朗伯原理
a2
a1
ai
F1
F2
Fi
FN1
FN2
FNi
FI1
FI2 FIi
m1
mi
m2
质点系的主动力系质点系的约束力系质点系的惯性力系
ni F,,F,,F,F21
ni NN2N1N F,,F,,F,F
ni FFFF,,,,,21
对质点系应用达朗伯原理，由动静法得到
0)()()(
0
iONiOiO
iNii
FMFMFM
FFF
A
B
x
FAx
A
C
B
FT
mg
例 题 3 已知,m,l,?,?
求,BC绳的张力及 A 处约束反力。
解,取 AB 杆为研究对象
dFI
FI
dxxlmdF s in2
s i n21s i n 20 2 mldxxlmF l
00
00
mgFF
FFFF
Ayy
TAxx
0s i n
2
c o s
3
2
c o s
0
l
mglFlF
M
T
A
分析 AB 杆的运动，计算惯性力 FAy
A
B
x
FAx
A
C
B
FT
mg
dFI
FI
mgF
mgmlF
mgmlF
Ay
Ax
T
t a n
2
1
s i n
6
1
t a n
2
1
s i n
3
1
2
2
FAy
s in21s in 20 2 mldxxlmF l
00
00
mgFF
FFFF
Ayy
TAxx
0s in
2
c o s
3
2
c o s
0
l
mglFlF
M
T
A
O
x
y FIi
d?
FTFT
O
R
例 题 4 已知,m,R,?。
求,轮缘横截面的张力。
解,取上半部分轮缘为研究对象
2
2 RRdR
mF
i
02s in0 Tiy FFF?
2
s in
22
1
2
2
0
mR
dR
m
F T
刚体惯性力系特点
刚体惯性力 的分布与刚体的质量分布以及刚体上各点的绝对加速度有关。
FIi＝－ miai
对于平面问题 (或者可以简化为平面问题 )，
刚体的惯性力为面积力，组成平面力系 。
对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，
组成空间一般力系 。
§ 16-3 刚体惯性力系的简化
惯性力 系的主矢
C
i
ii
i
i mm aaFF ＝－－＝＝ )(R
惯性力 系的主矢等于刚体的质量与刚体质心 加速度的乘积，
方向与质心加速度方向相反。这一简化结果与运动形式无关。
惯性力 系的主矩－ 惯性力 系的主矩与刚体的运动形式有关。
aC
a1
a2
an
m
m2
mn
m1
FIn
FI1
FI2
FIR
1、刚体作平动
Cm aF ＝－R? 0＝CM?
刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。
O
2、刚体绕定轴转动
O
C
nCa
Ca
R?F
nR?F
R?F
C
mi
nia
ia
i?F
ni?F
)(
R
n
CC
Cii
m
mm
aa
aaF
z
iii
iO
J
rrm
MM
)(O F
MIO
O
R?FMIO
当刚体有对称平面且绕垂直于对称平面的定轴转动时，惯性力系简化为对称平面内的一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；这个力偶的矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。
O
C
R?FMIC
)(R nCCC mm aaaF
CJM C
O
R?FMIO
3、刚体作平面运动具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。
C
aC
R?F
MIC
Cm aFR
CJM C
例 题 5 已知,m,h,?,l。
求,A,D处约束反力。
mg
FN
FAx
FAyFI
B
D
C
A
解,取 AB 杆为研究对象
B
A
D
a
h
maF
其中：
0c o s0
0s i n0
NAyy
NAxx
mgFF
FFFF
0
s i n
s i n
2
c o s
2
0)(
h
F
l
F
l
mg
M
N
A F
mg
FN
FAx
FAyFI
B
D
C
A
maF
其中：
)s i nc os(c oss i n
2
s i n)s i nc os(
2
)s i nc os(s i n
2
2
ag
h
ml
mgF
ag
h
ml
maF
ag
h
ml
F
Ay
Ax
N
0c o s0
0s i n0
NAyy
NAxx
mgFF
FFFF
0
s i n
s i n
2
c o s
2
0)(
h
F
l
F
l
mg
M
N
A F
C
D
a
h
b
C
mg
F
FI
例 题 6 已知,m,h,a,b,f。
求,为了安全运送货物,小车的 amax。
解,取 小车杆为研究对象
0
2
0)(
00
00
m gd
h
FM
mgFF
FFF
D
Ny
x
F
FN
d
g
ahdmgFmaFF
N 2,,
货物不滑的条件,F≤ f FN,a≤ f g
货物不翻的条件,d ≤ b/2,a≤ bg/h
为了安全运送货物，应取两者中的小者作为小车的 amax。
O
r
lA B例 题 7 已知,AB杆质量为 m,长为 l=2r,
求,A 端的约束反力。
圆盘半径为 r,角速度为?,角加速度为?。
解,取 AB 杆为研究对象
FAx
FAy
mg
A BC
O
MIO?R?FnR?F
MA
（ 1）分析运动，施加惯性力。
2
2
3
7
2
2
mrJM
mrmaF
mrmaF
OO
n
C
n
R
CR
00)(
045c os)(0
045c os)(0
OAxAO
R
n
RAyy
R
n
RAxx
Mm grrFMM
FFmgFF
FFFF
F
)43(
3
)(
)(
2
2
2
2
mr
m g rM
mrmgF
mrF
A
Ay
Ax
FAx
FAy
mg
A BC
O
MIO?R?FnR?F
MA
2
2
3
7
2
2
mrJM
mrmaF
mrmaF
OO
n
C
n
R
CR
00)(
045c os)(0
045c os)(0
OAxAO
R
n
RAyy
R
n
RAxx
Mm grrFMM
FFmgFF
FFFF
F
FAx
FAy
mg
A BC
MA
2
2
3
1
2
2
mrJM
mrmaF
mrmaF
CC
n
C
n
R
CR
045c o s)(0)(
045c o s)(0
045c o s)(0
CR
n
RAA
R
n
RAyy
R
n
RAxx
MrFFm g rMM
FFmgFF
FFFF
F
)43(
3
)(
)(
2
2
2
2
mr
m g rM
mrmgF
mrF
A
Ay
Ax
MIC
（ 2）将惯性力系向质心 C简化。
R?FnR?F
A
B C
M
l
M
A
C
例 题 8 已知,A物体与轮 C的质量求,（ 1） A 物体上升的加速度；
（ 2） B 端的约束反力。
均为 m,BC 杆的质量为 m1，长为 l，在轮 C上作用一主动力偶 M 。
解,（ 1）取 A物体与轮 C为研究对象
mg
mg F
IA
MIC FCx
FCy
00 RFmg RMMM ACC
mR
m g RMa
A 3
)(2
A
A
CCC
AA
m R a
R
a
mRJM
maF
2
1
2
1 2
其中：
M
A
C
mg
mg F
IA
MIC FCx
FCy
00)( RFmg RMMM ACC F
mR
m g RMa
A 3
)(2
00
00
ACyy
Cxx
FmgmgFF
FF
R
m g RMFF
CyCx 3
)2(2,0
A
A
CCC
AA
m R a
R
a
mRJM
maF
2
1
2
1 2
其中：
（ 2）取 BC 杆为研究对象
B C F
Cx'
FCy'
MB
FBx
FBy
m1g
0
2
0)(
00
00
1
1
lF
l
gmMM
FgmFF
FFF
CyBB
CyByy
CxBxx
F
R
lm gRMglm
M
R
m gRM
gmF
F
B
By
Bx
3
)2(2
2
3
)2(2
0
1
1
例 题 9
已知,两均质直杆自水平位置无初速地释放。
求,两杆的角加速度和
O,A处的约束反力。
解,(1) 取系统为研究对象
A BO
MI1 MI2
mg mg
FI2FI1
FOy
FOx
BA
O
1?2
2
2
2212 12
1)
2( mlM
llmF
(2) 取 AB 杆为研究对象
MI2
mg
FI2
FAy
FAx
BA
2
2
2
2212 12
1)
2( mlM
llmF
l
g
l
g
7
3,
7
9
21
(2) 取 AB 杆为研究对象
MI2
mg
FI2
FAy
FAx
BA
2
2
2
2212 12
1)
2( mlM
llmF
00
00
2
FmgFF
FF
Ayy
Axx
mgF
F
Ay
Ax
14
1
0
l
g
l
g
7
3,
7
9
21
(3) 取系统为研究对象
MI1 MI2
mg mg
FI2FI1
FOy
FOx
BA
O
1?2
00
00
21
FFmgmgFF
FF
Oyy
Oxx
mgF
F
Oy
Ox
7
2
0
例 题 10
质量为 m和 2m，长度分别为 l和 2l的匀质细杆 OA 和 AB 在 A 点光滑铰接,OA
杆的 A端为光滑固定铰链,AB杆的 B端放在光滑水平面上。初瞬时,OA杆水平,AB杆铅直。由于初位移的微小扰动,AB杆的 B端无初速地向右滑动，
试求当 OA杆运动到铅垂位置时,A点处的约束反力。
A
B
O
解,(1) 取系统为研究对象，由动能定理得：
2220)(22
1
3
1
2
1 222 lmglmglmml
l
g
7
92
FAx
O
A
1
A
BC
FNB
2
2mg
FIy
FIx
FAy′
FAx′
(2) 取 OA 杆为研究对象
lFml Ax 1231?
(3) 取 AB 杆为研究对象
030s i n30c os)2(30c os2
0
020
00
CxyNB
A
AyyNBy
xAxx
MlFlmgFlF
M
mgFFFF
FFF
FAy
2
2
2
CC
Cyy
Cxx
JM
maF
maF
MIC
A
BC
2
O
A?Aa
nAa
nAa
Aa
CAa
A
B
2
nAa
Aa
BAa
1
(4) 对 AB 杆进行运动分析
1
2
7
9
la
g
la
A
n
A
取 A点为基点，研究 B点
CAAnAC aaaa
060s inBAnABy aaa
l
g
7
33
2
取 A点为基点，研究 C点
BAAnAB aaaa
14
9
60s i n
14
33
60c os 1
g
aaa
g
laaa
CA
n
ACy
CAACx
FAx
O
A
1
A
BC
FNB
2
2mg
FIy
FIx
FAy′
FAx′
(2) 取 OA 杆为研究对象
lFml Ax 1231?
(3) 取 AB杆为研究对象
030s i n30c os)2(30c os2
0)(
020
00
CxyNB
A
AyyNBy
xAxx
MlFlmgFlF
M
mgFFFF
FFF
F
FAy
14
9
60s i n
14
33
60c os 1
g
aaa
g
laaa
CA
n
ACy
CAACx
MIC
2
2
2
CC
Cyy
Cxx
JM
maF
maF
FAx
O
A
1
A
BC
FNB
2
2mg
FIy
FIx
FAy′
FAx′
FAy
mgF
mgF
mgF
l
g
l
g
l
g
NB
Ay
Ax
49
65
49
96
49
33
7
33
49
39
7
9
2
1
解得：
MIC
§ 16-4 绕定轴转动刚体的轴承动反力
m
m
A B A B
m
m
FI1
FI1＝ FI2 FI1>FI2
FRA FRB
理想状态
FI2
偏心状态
FI1
FI2
A
B
m
m
A
B
m
m
FRB
FRA
FRA
FRB
偏角状态 既偏心又偏角状态
FI1
FI2 FI2
FI1
y
x
z
O
ri m
i
ri
FIi
FIR
MIO
一般状态
)( iOO
i
FMM
aaFF Cii mm
ii
ii
vωrαa
rωv
i
)()(
)( iOO
iiiiii
iii
mm
m
vωrrαr
arFMM
)(
)(
)(
)(
ii
i
i
ij
kjikrωv
ij
kjikrα
kjir
yx
zyx
yx
zyx
zyx
)(
)(
2
i
ji
ijkvω
yx
yx
y
x
z
O
ri m
i
ri
FIi
FIR
MIO )(
])[(
)()(
)()(
)()(
2
22
2
O
ij
jik
jikji
ijkji
vωrkrαrM
yzxzm
yzxzyxm
yxmzyx
yxmzyx
mm
i
i
i
i
iiiiii
)(
)(
)(
)(
ii
i
i
ij
kjikrωv
ij
kjikrα
kjir
yx
zyx
yx
zyx
zyx
)(
)(
2
i
ji
ijkvω
yx
yx
y
x
z
O
ri m
i
ri
FIi
FIR
MIO
)(
])[(
)()(
)()(
)()(
2
22
2
O
ij
jik
jikji
ijkji
vωrkrαrM
yzxzm
yzxzyxm
yxmzyx
yxmzyx
mm
i
i
i
i
iiiiii
222 )( iiiz rmyxmJ
刚体对z 轴的惯性积?
yzmJ
xzmJ
iyz
ixz
kjiM zxzyzyzxz JJJJJ )()( 22O
kjiM zxzyzyzxz JJJJJ )()( 22O
zz
xzyzy
yzxzx
JM
JJM
JJM
2
2
A
B
y
x
z
O
FAx FAy
FBx FByFBz
FIR
MIO
FR
MO
主动力系的主矩主动力系的主矢惯性力系的主矩惯性力系的主矢
O
R
O
R
M
F
M
F
A
B
y
x
z
O
FAx FAy
FBx FByFBz
FIR
MIO
FR
MO
根据达朗伯原理，可列写下列六个方程：
0
0
0
0
0
0
zz
yyAxBx
xxAyBy
RzBz
yRyByAy
xRxBxAx
MM
MMOAFOBF
MMOAFOBF
FF
FFFF
FFFF
由此可求得轴承动反力
RzBz
yxRyxBy
xyRxyBx
yxRyxAy
xyRxyAx
FF
OAFMOAFM
AB
F
OAFMOAFM
AB
F
OBFMOBFM
AB
F
OBFMOBFM
AB
F
)]()[(
1
)]()[(
1
)]()[(
1
)]()[(
1
动反力 → 由主动力引起的静反力 + 惯性力引起的附加动反力要使附加动反力等于零，必须有：
0
0
yx
yx
FF
MM
要使附加动反力等于零，必须有：
0
0
yx
yx
FF
MM
0
0
0,0
2
2
xzyzy
yzxzx
CyyCxx
JJM
JJM
maFmaF
结论,刚体绕定轴转动时，避免出现轴承附加动反力的条件是,转轴通过刚体的质心，刚体对转轴的惯性积等于零。
避免出现轴承附加动反力的条件是,刚体转轴应为刚体的中心惯性主轴。
通过质心的惯性主轴，称为 中心惯性主轴。
结论与讨论
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 达朗伯原理。
达朗伯原理与动静法为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。
达朗伯原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。
质点的惯性力定义为质点的质量与加速度的乘积，并冠以负号，即
质点的达朗伯原理：质点上的主动力、约束反力和惯性力在形式上组成平衡力系，有
质点系的达朗伯原理：在质点系中每个质点上都假想地加上该质点的惯性力，则作用于各质点的真实力与惯性力在形式上组成平衡力系，有
FI ＝ － ma
F + FN ＋ FI＝ 0
Fi + FNi ＋ FIi＝ 0 (i=1,2,…n)
刚体的惯性力系简化结果
1、刚体作平动
质体作平动时，惯性力系简化为一个通过质心的合力 FI 。
FI ＝ － maC
2、刚体绕定轴转动
惯性力系向转轴上任一点 O简化，得一力和一力偶，该力等于惯性力系主矢 FI,该力偶的矩等于惯性力系对点的主矩 MIO 。
FI ＝ － maC
222
zyxO MMMM
)(
222
2
2
yxmrmJ
yzmJ
xzmJ
JM
JJM
JJM
iiiz
iyz
ixz
zx
xzyzy
yzxzx
其中
：
如果刚体具有对称平面，该平面与转轴垂直，则惯性力系向对称平面与转轴的交点 O简化，得在该平面的一力和一力偶。
FIR ＝ － maC
MIO ＝ － Jz?
3、刚体作平面运动
如果刚体具有对称平面，则惯性力系向质心简化得一力和一力偶。
FI R ＝ － m aC
MI C ＝ － JC?
★ 质刚体绕定轴转动时，轴承附加动反力等于零的条件为：
刚体的转轴是中心惯性主轴 。即,（ 1）转轴通过质心；（ 2）惯性积等于零。
请建立计算汽轮机叶片动应力的力学模型。
结论与讨论? 几个实际问题
1、建立蛤蟆夯的运动学和动力学模型；
2、分析蛤蟆夯工作过程中的几个阶段。
结论与讨论? 几个实际问题返回本章目录页
