机械振动基础
※ 引 言
※ 单自由度系统的自由振动
※ 计算固有频率的能量法
※ 单自由度系统的有阻尼自由振动
※ 单自由度系统的无阻尼受迫振动
※ 单自由度系统的有阻尼受迫振动
※ 结论与讨论引 言振动 是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作 往复运动 。
物理学知识的深化和扩展 －物理学中研究质点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以及工程构件和工程结构的振动。
振动属于动力学第二类问题 －已知主动力求运动。
振动问题的研究方法 －与分析其他动力学问题相类似：
选择合适的广义坐标；
分析运动；
分析受力；
选择合适的动力学定理；
建立运动微分方程；
求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。
振动问题的研究方法 －与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下,都选择平衡位置作为广义坐标的原点。
研究振动问题所用的动力学定理：
矢量动力学基础中的 －
动量定理；
动量矩定理；
动能定理；
达朗贝尔原理。
分析动力学基础中的 －
拉格朗日方程。
按激励特性划分：
振动问题的分类
自由振动 － 没有外部激励，或者外部激励除去后，
系统自身的振动。
参激振动 － 激励源为系统本身含随时间变化的参数
，这种激励所引起的振动。
自激振动 － 系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动。
受迫振动 － 系统在作为时间函数的外部激励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。
按系统特性或运动微分方程类型划分：
线性振动 － 系统的运动微分方程为线性方程的振动。
)s in (0eqeq tFkm ＝
0 kyym
非 线性振动 － 系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。
按系统的自由度划分：
单自由度 振动 － 一个自由度系统的振动。
多自由度 振动 － 两个或两个以上自由度系统的振动。
连续系统 振动 － 连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多个自由度。
§ 19-1 单自由度系统的自由振动
l0
m
k
k
x
O
x
l0
st
F
W
1.自由振动微分方程
l0—— 弹簧原长；
k—— 弹簧刚性系数；
st—— 弹簧的静变形；
kWkW stst /
取静平衡位置为坐标原点,x 向下为正，则有：
kx
xkWFW
dt
xdm
st
)(2
2
0 kxxm
0 kxxm
022 xxmk nn
积分常数 2121,s i nc o s CCtCtCx nn
212221 /t a n,CCCCA:令
)s in ( tAx n
A—— 振幅；
n—— 固有频率；
（?n +?） —— 相位；
—— 初相位。
f
T
T
n
n
2
1
2
2
周期单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程
0eqeq ＝qkqm
物理学基础的扩展这一方程，可以扩展为广义坐标的形式
0＝kxxm
加的力或力矩。需要在这一坐标方向施移，义坐标方向产生单位位等效刚度：使系统在广－eqk
向施加的力或力矩。度，需要在这一坐标方速义坐标方向产生单位加等效质量：使系统在广－eqm
0eqeq ＝qkqm 02 ＝qq n
tCtCq nn c o sc o s 21?＝tAq ns in＝
初始速度。初始广义坐标；振动的初位相；
振动的振幅；系统的固有频率；
－－－
－＝
00
0
0n
2
02
0
eq
eq
a r c t a n qq
q
q
q
qA
m
k
n
n
例 题 1
m
v
提升重物系统中，钢丝绳的横截面积 A＝ 2.89× 10－ 4m2，材料的弹性模量 E＝ 200GPa。 重物的质量 m＝ 6
000kg,以匀速 v ＝ 0.25m/s 下降。
当重物下降到 l ＝ 25m 时，钢丝绳上端突然被卡住。
l
求,（ 1） 重物的振动规律 ；
（ 2）钢丝绳承受的最大张力。
解,钢丝绳－重物系统可以简化为弹簧－物块系统,弹簧的刚度为
N / m103 1 22 6,lEAk
m
k
静平衡位置 O
x
设钢丝绳被卡住的瞬时 t＝ 0，
这时重物的位置为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移 x作为广义坐标，则系统的振动方程为
0 kxxm
方程的解为
1
n s63.19)s i n (
m
ktAx
n
利用初始条件
vvxx ( 0 )( 0 ),0)0(?
求得
m0127.0
0
n
v
A
tx s in 1 9,6 30127.0?
m
k
静平衡位置 O
x
mx
W
FT
（ 2）钢丝绳承受的最大张力。
取重物为研究对象
tmAWF
tmAxmFW
nnT
nnT
s i n
s i n
2
2
kN2.88
)( 22m a x
nnT AgmmAWF
tx s in 1 9,6 30127.0?
l
固定端均质等截面悬臂梁，长度为 l,
弯曲刚度为 EI。 梁的自由端放置一质量为 m的物块。若不计梁的质量。试写出梁－物块系统的运动微分方程。
例 题 2
mEI
l
固定端
ys
t
O
y
EI
m g l
EI
Wly
33
33
st
考察梁和物块所组成的系统。以物块铅垂方向的位移作为广义坐标 q=y,坐标原点 O设在梁变形后的平衡位置，这一位置与变形前的位置之间的距离，
即为物块静载作用下的挠度，亦即静挠度，用 yst表示。
分析物块运动到任意位置 (坐标为 y)时,物块的受力：应用牛顿第二定律
W=mg
F
Fmgym
分析物块运动到任意位置 (坐标为 y)时,梁的自由端位移与力之间的关系
EI
l
固定端
F' EI
Fl
EI
lFyy
33
33
st?
等效刚度－k
l
EI
k
yykF
3
st
3
y
ys
t
m
EI
l
固定端
O
y
Fmgym
styykF
0 kyym
EI
m g l
EI
Wly
33
33
st
此即梁－物块的运动微分方程
)s in ( tAy n
3
3
l
EIk?
串联弹簧与并联弹簧的等效刚度
21eq
111
kkk
k1
k2
eq
st
ststst
stst
k
mg
kk
mg
k
mg
k
mg
)
11
(
21
21
2
2
1
1
mg
k1
mg
k2
)( 21
21
kkm
kk
m
k eq
n
1,串 联
21eq kkk
k1 k2
m
k1
k2
m
mg
F1 F2
stst kFkF 2211,
steq
st
k
kkFFmg
)( 2121
m
kk
m
k eq
n
21
2,并 联
k4
k3
k2
k1
m
图示系统中有四根铅直弹簧，它们的刚度系数分别为 k1,k2,k3,k4
且 k1 =2 k2 =3 k3=4 k4 。假设质量为的物块被限制在光滑铅直滑道中作平动。
例 题 3
试求此系统的固有频率。
解,（ 1）计算 3,4的等效刚度
1
43
43
34 7
1 k
kk
kkk?
（ 2）计算 2,3,4的等效刚度
13422 3 4 14
9 kkkk
k4
k3
k2
k1
m
解,（ 1）计算 3,4的等效刚度
1
43
43
34 7
1 k
kk
kkk?
（ 2）计算 2,3,4的等效刚度
13422 3 4 14
9 kkkk
（ 3）计算系统的等效刚度
12341 14
23 kkkk
eq
（ 4）计算系统的固有频率
m
k
m
k eq
n 14
23 1
？ 1
m
k
O
在图中，当把弹簧原长在中点 O 固定后，
系统的固有频率与原来的固有频率的比值为 。
k
k
ml 在图中，当物块在中点时其系统的固有频率为?n0，现将物块改移至距上端处，则其固有频率 =?n0 。
？ 2
mka
l
例 题 4
图示结构中，杆在水平位置处于平衡，若 k,m,a,l 等均为已知。
求,系统微振动的固有频率?
mg
F解,取静平衡位置为其坐标原点，由动量矩定理，得
c o sc o s2
2
Fam g ldtdJ O
)s in( akF st
s i n,1c o s则考虑到微转角,
在静平衡位置处，有
akm g l st
mka
l
mg
F
c o sc o s2
2
Fam g ldtdJ O
)s in( akF st
s i n,1c o s则考虑到微转角,
在静平衡位置处，有
akm g l st
2
2
2
)(
ka
aakm gl
dt
d
J stO
02 kaJ O
m
k
l
a
J
ka
O
n
§ 19-2 计算固有频率的能量法
m
k
静平衡位置 O
x
)s in ( tAx n
)c o s ( tAxv nn?
)(c o s2121 2222 tAmmvT nn
m g xxkV stst ])[(21 22
)(s i n2121 222 tkAkxV n
物块的动能为取静平衡位置为零势能点，有在静平衡位置处，有 mgk
st
22
m a x 2
1 AmT
n
2
m a x 2
1 kAV?
m a xm a x VT?
m
k
n
)(c o s2121 2222 tAmmvT nn
)(s i n2121 222 tkAkxV n
物块在平衡位置处，其动能最大物块在偏离平衡位置的极端处，其势能最大无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒
mka
l
)s in ( tA n
2222
m a xm a x 2
1)(
2
1
nAmllmT
222
m a xm a x 2
1)(
2
1 AkaakV
m a xm a x VT?
m
k
l
a
n
解,设 OA杆作自由振动时，
其摆角? 的变化规律为系统的最大动能为系统的最大势能为由机械能守恒定律有例 题 5 由能量法解 例题 4
例 题 6 半径为 r,质量为 m的均质圆柱体，在半径为 R 的刚性圆槽内作纯滚动 。
求：
1、圆柱体的运动微分方程；
2、微振动固有频率。R
C
O
R
C
O
解,取摆角?为广义坐标
22
2
1
2
1
CCC JmvT
c o s)( rRmgV
由运动学可知：
r
rR
r
v
rRv
C
C
C
)(
)(
22)(
4
3rRmT
系统的动能系统的势能拉氏函数为
c o s)()(43 22 rRmgrRmVTL
R
C
O
c o s)()(43 22 rRmgrRmVTL
s in)( rRmgL
2)(23 rRmL
2)(23)(dd rRmLt
0)(dd LLt?
0s in)(23 grR 0)(3 2 rR g
R
C
O
0)(dd LLt?
0s in)(23 grR 0)(3 2 rR g
)(3
2
rR
g
n
R
C
O
例 题 7 由能量法求固有频率
)s in ( tA n
2s i n)(2)c o s1)((
2 rRmgrRmgV
解,设摆角?的变化规律为系统的最大动能为取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为
222
2
m a x
2
m a x
)(
4
3
)(
4
3
nArRm
rRmT
s i n有考虑到微振动时,
2)(
2
1?rRmgV 2
m a x )(2
1 ArRmgV
R
C
O
222
2
m a x
2
m a x
)(
4
3
)(
4
3
nArRm
rRmT
2
m a x )(2
1 ArRmgV
m a xm a x VT?
)(3
2
rR
g
n
由机械能守恒定律有
§ 19-3 单自由度系统有阻尼自由振动阻尼 －系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的阻力。
物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系
vF cc
C－ 粘性阻尼系数或粘阻系数
1,阻 尼
2,振动微分方程
m
k
m
c
O
x
Fk Fc
v
取平衡位置为坐标原点，在建立此系统的振动微分方程时，
可以不再计入重力的影响。
物块的运动微分方程为
dt
dxckx
dt
xdm
2
2
02 22
2
xdtdxndt xd n?
粘性阻尼力弹性恢复力
xcF
kxF
c
k
m
cn
m
k
n 2,
2:令
02 22
2
xdtdxndt xd n?
本征方程
02 22 nnrr?
本征值
22
2
22
1
n
n
nnr
nnr
本征值与运动微分方程的通解的形式与阻尼比有关。
设其解为
rtex?
其通解为
trtr eCeCx 21 21
3,小阻尼情形
22
2
22
1
i
i
nnr
nnr
n
n
)s in ( 22 tnAex nnt
当 n<?n 时，阻尼系数,这时阻尼较小，
称为小阻尼情形。其两个根为共轭复数，即,mkc 2?
其方程的解为利用初始条件
0( 0 )( 0 ),0)0( vvxx
求得
00
22
n0
22
n
2
002
0 t a n
)(
nxv
nx
n
nxvxA
或
22)s in ( ntAex nddnt,其中
tAx nt ds ine －
ntA －e
ntA －eTd
A 2A
1
22
22
n
T
nd
d
衰减振动的周期：
引入阻尼比：
mk
cn
n 2
2
2
2222
1
1
11
22
nd
d
nn
d
ff
T
n
T得有阻尼自由振动和相应的无阻尼自由振动间的关系：
)ee( 2222 21 tntnnt nn CCex
大阻尼 (?>1)情形
222,1 nnnr
临界阻尼 (?＝ 1)情形
nrr 21
)( 21 tCCex nt
这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减
>1
＝ 1
x
O t
§ 19-4 单自由度系统无阻尼受迫振动
k
m0
e
受迫振动 系统在外界激励下产生的振动 。
激励形式 外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。
简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。
Fk
F1,振动微分方程
m
O
x
x激振力的初相位激振力的圆频率力幅简谐激振力
H
tHF )s i n (
)s in (2
2
tHkxdt xdm
振动微分方程
)s in (22
2
thxdt xd n
m
H
h
m
k
n
2?
:令
)s in (22
2
thxdt xd n
.; 2121 特解通解 xxxxx微分方程的解为：
)s in (1 tAx n
)s in (2 tbx
将 x2 代入微分方程，得
)s i n ()s i n ()s i n ( 22 thtbtb n
解得
22
n
hb
)s i n ()s i n ( 22 thtAx
n
n
2,受迫振动的振幅
22
n
hb
k
Hhb
n
200(1)若
.,,
b
b
n
n
单调上升频率随着振幅0(2)若
.0,,
b
b
增大而减小随着频率振幅(3)若 n
幅频特性曲线
3,共振现象当? ＝?n 时,激振力频率等于系统的固有频率时，振幅在理论上应趋于无穷大，这种现象称为 共振 。
)s in (2 tBtx n
n
hB
2
)s in (22 tthx n
n
thb
n?2
这表明无阻尼系统发生共振时，
振幅将随时间无限地增大。
§ 19-5 单自由度系统有阻尼受迫振动
F
k
m
c
F
m
O
x
Fk Fc
简谐激振力 tHF?s in
tHdtdxckxdt xdm?s in2
2
thxdtdxndt xd n s in2 22
2
m
Hh
m
cn
m
k
n,2,
2?:令这一微分方程的全解等于齐次方程的全解与非齐次方程的特解之和。
有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解
)()( 21 txtxx
：－ 分方程的解有阻尼自由振动运动微)(1 tx
tnAx nnt 221 s ine －
设其为运动微分方程的特解,－)(2 tx
)s in (2 tbx
22
22222
2
t a n
4)(
n
n
n
n
h
b
代入微分方程，解得
)s i n ()s i n (e 22n tbtnAx nt－
运动微分方程的通解为：
在简谐激励的作用下，有阻尼系统的总响应由二部分组成：
第一部分是 衰减振动 ；第二部分是 受迫振动 。
引入：
振幅比阻尼比频率比
0
b
b
n
n
n
2
2222
0
1
2
t a n
4)1(
1
b
b
曲线族－幅频特性曲线 －
曲线族－相频特性曲线曲线族－幅频特性曲线
－
－
曲线族－相频特性曲线曲线族－幅频特性曲线
－
－
曲线族－相频特性曲线 －
幅频特性与相频特性
1,?＝ 0的附近区域 (低频区或弹性控制区 ),? → 1,?＝ 0，
响应与激励同相；对于不同的?值，曲线密集，阻尼影响不大。
2,? >>1的区域 (高频区或惯性控制区 ),? → 0,? →?,响应与激励反相；阻尼影响也不大。
幅频特性与相频特性在低频区和高频区，当?<<1时，由于阻尼影响不大，为了简化计算，可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。
幅频特性与相频特性
3,?＝ 1的附近区域 (共振区 ),?急剧增大并在?＝ 1略为偏左处有峰值。通常将?＝ 1,即?＝?n 称为共振频率。 阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。
在相频特性曲线图上，无论阻尼大小,?＝ 1时，总有，
＝?/2,这也是共振的重要现象。
例 题 8
惯性测振仪的内部安装有,质量 (m)－ 弹簧 (k)－ 阻尼器 (c)”系统。 测振仪外壳安置在被测振动的物体上。仪器内置质量块相对于外壳 (被测振动的物体 )
的运动被转换成电信号输出。当被测振动的物体的运动规律为 xe=asin?t 时，
试分析仪器 内置质量块相对于外壳 (被测振动的物体 )
的振动。
k c
m
解,在测振仪外壳上固结动坐标系 O－ xr,系统的牵连运动为平移。
以质量块相对于仪器外壳 (被测振动的物体 )的位移 xe 作为广义坐标。
系统的运动为非惯性系运动。
应用达朗贝尔原理，在质量块上附加惯性力 Fe,
建立系统的运动微分方程。
k c
m
Fe
xr
O
xe
O1
解,应用达朗贝尔原理，在质量块上附加惯性力 Fe,建立系统的运动微分方程。k
c
m
Fe
xr
O
xe
O1 errr Fkxxcxm
tamkxxcxm s in2rrr
其稳态响应为
－tBx s inr?
2222
2
1
2a r c t a n,
21?
aB
解,稳态响应的幅频特性与相频特性曲线幅频特性曲线的特点：
在 高频区，当?>>1时，
B /a → 1 。 因此，设计时应当使测振仪具有比较低的固有频率，才能有比较大的?值 。
被测频率愈高，测量精度也高；被测频率低，测量精度便低。
对于同一?值，阻尼较大时,B /a 趋 近于 1。
例 题 9
工作台
ck
m
xe
已知,m,k,c,xe=asin?t
试分析,仪器的稳态响应。
解,假设观察者在不动的地面上观察仪器的运动，仪器在铅垂方向的位移 x 作为广义坐标，以平衡位置为广义坐标的原点。
仪器的运动方程为
0ee xxkxxcxm
tactkakxxcxm c o ss i n
O
x
tactkakxxcxm c o ss i n
激励由两部分组成：一部分是弹簧的运动激励，其幅值与激励频率无关；另一部分是阻尼的运动激励，其幅值与缴励频率成正比，且相位比弹簧激励超前?/2。根据叠加原理，稳态响应也由两部分叠加而成,
2211 c o ss i n tBtBx
2222
0
1
2a r c t a n,
21
1
eqk
FB
212221 1
2a r c t a n,
21
1
aB
对于仅有弹簧的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差
222222 1
2a r c t a n,
21
2
aB
对于仅有阻尼的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差
212221 1
2a r c t a n,
21
1
aB
tBtBtBx s i nc o ss i n 2211 ＝
22
3
222
2
21
2a r c t a n,
21
21
aB
222222 1
2a r c t a n
21
2
,aB
212221 1
2a r c t a n
21
1
,aB
tBtBtBx s i nc o ss i n 2211 ＝
22
3
222
2
21
2a r c t a n
21
21
,aB
22
3
222
2
21
2a r c t a n,
21
21
aB
幅频特性和相频特性曲线本例所研究的实际上是隔振问题－将外界振源尽可能与研究对象隔离（称为被动隔振）。为取得隔振效果，即仪器振幅 B小于振源振幅 a，应当如何设计隔振层的刚度 k？对于隔振效果，阻尼大一点好还是小一点好？
关于本例的讨论
单自由度线性系统的受迫振动? 受迫振动中的能量关系惯性力、阻尼力、弹性恢复力和激励力在一个周期内怎样作功？又有怎样的能量关系呢？
无阻尼自由振动系统机械能守恒，既无能量的损耗又无外界能量的输入，一个周期内仅有系统动能和势能的转换。
有阻尼自由振动阻尼不断耗散能量，而外界又无能量补充，因此振动幅值随时间衰减。
受迫振动
单自由度线性系统的受迫振动? 受迫振动中的能量关系根据力在 dt时间内所作之元功
dW=Fvdt
当力和速度同相位时，每一时刻都作正功；而当力和速度反相位时，每一时刻都作负功。
阻尼力和速度反相,因此始终作负功，在一个周期内所作的负功为
220 222200 cc πdc o sdd BcttBctxctxFW TT
单自由度线性系统的受迫振动? 受迫振动中的能量关系若力与速度相位相差?/2,则力在一个周期内作功等于零。
惯性力和弹性恢复力的相位都与速度相位相差?/2,因此，惯性力与弹性恢复力在一个周期内所作之功都作功等于零。
单自由度线性系统的受迫振动? 受迫振动中的能量关系激励力超前位移?相位，可将其分解为与速度和位移同相位的两部分。
对于微分方程简谐激励力
tFtF
tFtF
s i nc o sc o ss i n
s i ns i n
00
00
第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为
s i nπdc o ss i n 000 BFtxtBF T
txtFW T dc o ss in0 0F
单自由度线性系统的受迫振动? 受迫振动中的能量关系第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为
s i nπdc o ss i n 000 BFtxtBF T
txtFW T dc o ss in0 0F
这表明，稳态受迫振动一个周期内激励力所作之功等于阻尼力耗散的能量。这就可以解释为什么有阻尼系统受迫振动的稳态响应有一个稳定的振幅。
根据稳态响应幅值的表达式有
BcFs in0
c20F πs inπ WBcBFW
单自由度线性系统的受迫振动? 受迫振动中的能量关系因为在一个周期内激励力所作之功与振幅成正比，而阻尼耗散的能量与振幅平方成正比，当振动幅值还未达到稳定值 B0时，激励力所作之功大于阻尼耗散的能量，振幅将增加。
当振幅到达 B0时，激励力所作之功与阻尼耗散的能量相等，系统能够维持等幅振动。
单自由度线性系统的受迫振动? 受迫振动中的能量关系若由于某种干扰使振幅大于 B0
时，阻尼耗散的能量大于激励 力所作之功，振幅又会衰减，直至在 B0处又维持稳定的振幅。
结论与讨论
按激励不同，可将振动分为自由振动、强迫振动和自激振动等，若按系统特性分类，则可分为线性振动和非线性振动。
关于振动概念
工程力学将振动的概念从物理学中的单个质点扩展到系统。系统可以是单自由度，也可以是多自由度，乃至无限多自由度。
系统要产生振动必须有内因和外因：内因是系统本身既要有弹性又要有惯性，二者缺一不可。对有阻尼系统，
仅在弱阻尼时运动才有振动形态。外因是系统要受到激励。
结论与讨论? 关于运动微分方程
建立系统运动方程属于动力学第二类问题，即：已知主动力求运动的问题。主要过程与求解动力学其它问题相似，但振动问题还要注意广义坐标原点的选择，通常以静平衡位置作为广义坐标原点。
结论与讨论? 关于运动微分方程
建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理
拉格朗日方程－ 对于无阻尼的情形
2
eq
2
eq 2
1
2
1 qkVqmT,?
VTLqLqLt －＝，＝－ 0dd
2
eq
2
eq 2
1
2
1 qkVqmT,?
2
eq2
1
2
1 qcq
qqqcΦ i
ii
i
rr
VTLqΦqLqLt －＝，＝－－
d
d
结论与讨论? 关于运动微分方程
建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理
拉格朗日方程－ 对于有阻尼的情形
结论与讨论? 关于运动微分方程
动量矩定理－ 对于有一固定轴，并且绕固定轴转动的系统，特别对于扭转振动的情形，采用动量矩定理更好。
OO LJ
JO－ 系统绕固定轴 O的转动惯量的代数和 ；
LO－ 所有外力对固定轴 O之矩的代数和 。 力矩方向与广义坐标方向相同时为正，反之为负 。
建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理
结论与讨论? 关于运动微分方程
机械能守恒－ 对于没有能量损耗的保守系统
2
eq
2
eq 2
1
2
1 qkVqmT,?
EVT
0eqeq qqkqqm
建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理
结论与讨论
有阻尼系统仅在弱阻尼时才有振动形态，阻尼使自由振动频率略有降低使振幅按指数衰减，振动过程中有能量耗散。
单自由度线性系统自由振动要点
固有频率是系统的固有属性，它仅与系统的等效刚度和等效质量有关。
无阻尼系统的自由振动是简谐振动，其频率就是固有频率；振幅和初相位取决于初始条件；振动过程中没有能量的补充或耗散。
结论与讨论? 单自由度线性系统简谐激励的受迫振动要点
激励引起的稳态受迫振动，即微分方程的特解。振动频率为激励频率?。即使系统有阻尼，振幅也不会随时间衰减。
简谐激励的响应包括三部分：
激励引起的自由振动，频率也为?d，振幅与激励有关。
这两部分振动叠加就是运动微分方程满足初始条件的齐次解。对有阻尼系统，它们的振幅随时间衰减。
稳态受迫振动中最重要的是共振区、弹性区和惯性区幅频特性和相频特性研究。
初始条件引起的自由振动，频率为?d，振幅与激励无关。
结论与讨论? 单自由度线性系统简谐激励的受迫振动要点
稳态响应的振幅是稳定的，不会因受干扰而偏离；无阻尼系统共振时，振幅将越来越大。这些现象都可以由稳态受迫振动中的能量关系加以解释。
结论与讨论? 多自由度线性系统振动的概念
结论与讨论? 多自由度线性系统振动的概念
结论与讨论? 多自由度线性系统振动的概念
结论与讨论? 多自由度线性系统振动的概念
对于多自由度系统，固有频率怎样定义？
多自由度系统的振动有什么特点？
多自由度系统的自由振动是否也是简谐振动？
结论与讨论? 多自由度线性系统振动的概念一般情形下，多自由度系统的自由振动并不是简谐振动。但在特定条件下可以是简谐振动，此时系统各质点同步到达最大偏离位置或同步到达平衡位置。
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※ 引 言
※ 单自由度系统的自由振动
※ 计算固有频率的能量法
※ 单自由度系统的有阻尼自由振动
※ 单自由度系统的无阻尼受迫振动
※ 单自由度系统的有阻尼受迫振动
※ 结论与讨论引 言振动 是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作 往复运动 。
物理学知识的深化和扩展 －物理学中研究质点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以及工程构件和工程结构的振动。
振动属于动力学第二类问题 －已知主动力求运动。
振动问题的研究方法 －与分析其他动力学问题相类似：
选择合适的广义坐标；
分析运动；
分析受力；
选择合适的动力学定理；
建立运动微分方程；
求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。
振动问题的研究方法 －与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下,都选择平衡位置作为广义坐标的原点。
研究振动问题所用的动力学定理：
矢量动力学基础中的 －
动量定理；
动量矩定理；
动能定理；
达朗贝尔原理。
分析动力学基础中的 －
拉格朗日方程。
按激励特性划分：
振动问题的分类
自由振动 － 没有外部激励，或者外部激励除去后，
系统自身的振动。
参激振动 － 激励源为系统本身含随时间变化的参数
，这种激励所引起的振动。
自激振动 － 系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动。
受迫振动 － 系统在作为时间函数的外部激励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。
按系统特性或运动微分方程类型划分：
线性振动 － 系统的运动微分方程为线性方程的振动。
)s in (0eqeq tFkm ＝
0 kyym
非 线性振动 － 系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。
按系统的自由度划分：
单自由度 振动 － 一个自由度系统的振动。
多自由度 振动 － 两个或两个以上自由度系统的振动。
连续系统 振动 － 连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多个自由度。
§ 19-1 单自由度系统的自由振动
l0
m
k
k
x
O
x
l0
st
F
W
1.自由振动微分方程
l0—— 弹簧原长；
k—— 弹簧刚性系数；
st—— 弹簧的静变形；
kWkW stst /
取静平衡位置为坐标原点,x 向下为正，则有：
kx
xkWFW
dt
xdm
st
)(2
2
0 kxxm
0 kxxm
022 xxmk nn
积分常数 2121,s i nc o s CCtCtCx nn
212221 /t a n,CCCCA:令
)s in ( tAx n
A—— 振幅；
n—— 固有频率；
（?n +?） —— 相位；
—— 初相位。
f
T
T
n
n
2
1
2
2
周期单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程
0eqeq ＝qkqm
物理学基础的扩展这一方程，可以扩展为广义坐标的形式
0＝kxxm
加的力或力矩。需要在这一坐标方向施移，义坐标方向产生单位位等效刚度：使系统在广－eqk
向施加的力或力矩。度，需要在这一坐标方速义坐标方向产生单位加等效质量：使系统在广－eqm
0eqeq ＝qkqm 02 ＝qq n
tCtCq nn c o sc o s 21?＝tAq ns in＝
初始速度。初始广义坐标；振动的初位相；
振动的振幅；系统的固有频率；
－－－
－＝
00
0
0n
2
02
0
eq
eq
a r c t a n qq
q
q
q
qA
m
k
n
n
例 题 1
m
v
提升重物系统中，钢丝绳的横截面积 A＝ 2.89× 10－ 4m2，材料的弹性模量 E＝ 200GPa。 重物的质量 m＝ 6
000kg,以匀速 v ＝ 0.25m/s 下降。
当重物下降到 l ＝ 25m 时，钢丝绳上端突然被卡住。
l
求,（ 1） 重物的振动规律 ；
（ 2）钢丝绳承受的最大张力。
解,钢丝绳－重物系统可以简化为弹簧－物块系统,弹簧的刚度为
N / m103 1 22 6,lEAk
m
k
静平衡位置 O
x
设钢丝绳被卡住的瞬时 t＝ 0，
这时重物的位置为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移 x作为广义坐标，则系统的振动方程为
0 kxxm
方程的解为
1
n s63.19)s i n (
m
ktAx
n
利用初始条件
vvxx ( 0 )( 0 ),0)0(?
求得
m0127.0
0
n
v
A
tx s in 1 9,6 30127.0?
m
k
静平衡位置 O
x
mx
W
FT
（ 2）钢丝绳承受的最大张力。
取重物为研究对象
tmAWF
tmAxmFW
nnT
nnT
s i n
s i n
2
2
kN2.88
)( 22m a x
nnT AgmmAWF
tx s in 1 9,6 30127.0?
l
固定端均质等截面悬臂梁，长度为 l,
弯曲刚度为 EI。 梁的自由端放置一质量为 m的物块。若不计梁的质量。试写出梁－物块系统的运动微分方程。
例 题 2
mEI
l
固定端
ys
t
O
y
EI
m g l
EI
Wly
33
33
st
考察梁和物块所组成的系统。以物块铅垂方向的位移作为广义坐标 q=y,坐标原点 O设在梁变形后的平衡位置，这一位置与变形前的位置之间的距离，
即为物块静载作用下的挠度，亦即静挠度，用 yst表示。
分析物块运动到任意位置 (坐标为 y)时,物块的受力：应用牛顿第二定律
W=mg
F
Fmgym
分析物块运动到任意位置 (坐标为 y)时,梁的自由端位移与力之间的关系
EI
l
固定端
F' EI
Fl
EI
lFyy
33
33
st?
等效刚度－k
l
EI
k
yykF
3
st
3
y
ys
t
m
EI
l
固定端
O
y
Fmgym
styykF
0 kyym
EI
m g l
EI
Wly
33
33
st
此即梁－物块的运动微分方程
)s in ( tAy n
3
3
l
EIk?
串联弹簧与并联弹簧的等效刚度
21eq
111
kkk
k1
k2
eq
st
ststst
stst
k
mg
kk
mg
k
mg
k
mg
)
11
(
21
21
2
2
1
1
mg
k1
mg
k2
)( 21
21
kkm
kk
m
k eq
n
1,串 联
21eq kkk
k1 k2
m
k1
k2
m
mg
F1 F2
stst kFkF 2211,
steq
st
k
kkFFmg
)( 2121
m
kk
m
k eq
n
21
2,并 联
k4
k3
k2
k1
m
图示系统中有四根铅直弹簧，它们的刚度系数分别为 k1,k2,k3,k4
且 k1 =2 k2 =3 k3=4 k4 。假设质量为的物块被限制在光滑铅直滑道中作平动。
例 题 3
试求此系统的固有频率。
解,（ 1）计算 3,4的等效刚度
1
43
43
34 7
1 k
kk
kkk?
（ 2）计算 2,3,4的等效刚度
13422 3 4 14
9 kkkk
k4
k3
k2
k1
m
解,（ 1）计算 3,4的等效刚度
1
43
43
34 7
1 k
kk
kkk?
（ 2）计算 2,3,4的等效刚度
13422 3 4 14
9 kkkk
（ 3）计算系统的等效刚度
12341 14
23 kkkk
eq
（ 4）计算系统的固有频率
m
k
m
k eq
n 14
23 1
？ 1
m
k
O
在图中，当把弹簧原长在中点 O 固定后，
系统的固有频率与原来的固有频率的比值为 。
k
k
ml 在图中，当物块在中点时其系统的固有频率为?n0，现将物块改移至距上端处，则其固有频率 =?n0 。
？ 2
mka
l
例 题 4
图示结构中，杆在水平位置处于平衡，若 k,m,a,l 等均为已知。
求,系统微振动的固有频率?
mg
F解,取静平衡位置为其坐标原点，由动量矩定理，得
c o sc o s2
2
Fam g ldtdJ O
)s in( akF st
s i n,1c o s则考虑到微转角,
在静平衡位置处，有
akm g l st
mka
l
mg
F
c o sc o s2
2
Fam g ldtdJ O
)s in( akF st
s i n,1c o s则考虑到微转角,
在静平衡位置处，有
akm g l st
2
2
2
)(
ka
aakm gl
dt
d
J stO
02 kaJ O
m
k
l
a
J
ka
O
n
§ 19-2 计算固有频率的能量法
m
k
静平衡位置 O
x
)s in ( tAx n
)c o s ( tAxv nn?
)(c o s2121 2222 tAmmvT nn
m g xxkV stst ])[(21 22
)(s i n2121 222 tkAkxV n
物块的动能为取静平衡位置为零势能点，有在静平衡位置处，有 mgk
st
22
m a x 2
1 AmT
n
2
m a x 2
1 kAV?
m a xm a x VT?
m
k
n
)(c o s2121 2222 tAmmvT nn
)(s i n2121 222 tkAkxV n
物块在平衡位置处，其动能最大物块在偏离平衡位置的极端处，其势能最大无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒
mka
l
)s in ( tA n
2222
m a xm a x 2
1)(
2
1
nAmllmT
222
m a xm a x 2
1)(
2
1 AkaakV
m a xm a x VT?
m
k
l
a
n
解,设 OA杆作自由振动时，
其摆角? 的变化规律为系统的最大动能为系统的最大势能为由机械能守恒定律有例 题 5 由能量法解 例题 4
例 题 6 半径为 r,质量为 m的均质圆柱体，在半径为 R 的刚性圆槽内作纯滚动 。
求：
1、圆柱体的运动微分方程；
2、微振动固有频率。R
C
O
R
C
O
解,取摆角?为广义坐标
22
2
1
2
1
CCC JmvT
c o s)( rRmgV
由运动学可知：
r
rR
r
v
rRv
C
C
C
)(
)(
22)(
4
3rRmT
系统的动能系统的势能拉氏函数为
c o s)()(43 22 rRmgrRmVTL
R
C
O
c o s)()(43 22 rRmgrRmVTL
s in)( rRmgL
2)(23 rRmL
2)(23)(dd rRmLt
0)(dd LLt?
0s in)(23 grR 0)(3 2 rR g
R
C
O
0)(dd LLt?
0s in)(23 grR 0)(3 2 rR g
)(3
2
rR
g
n
R
C
O
例 题 7 由能量法求固有频率
)s in ( tA n
2s i n)(2)c o s1)((
2 rRmgrRmgV
解,设摆角?的变化规律为系统的最大动能为取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为
222
2
m a x
2
m a x
)(
4
3
)(
4
3
nArRm
rRmT
s i n有考虑到微振动时,
2)(
2
1?rRmgV 2
m a x )(2
1 ArRmgV
R
C
O
222
2
m a x
2
m a x
)(
4
3
)(
4
3
nArRm
rRmT
2
m a x )(2
1 ArRmgV
m a xm a x VT?
)(3
2
rR
g
n
由机械能守恒定律有
§ 19-3 单自由度系统有阻尼自由振动阻尼 －系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的阻力。
物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系
vF cc
C－ 粘性阻尼系数或粘阻系数
1,阻 尼
2,振动微分方程
m
k
m
c
O
x
Fk Fc
v
取平衡位置为坐标原点，在建立此系统的振动微分方程时，
可以不再计入重力的影响。
物块的运动微分方程为
dt
dxckx
dt
xdm
2
2
02 22
2
xdtdxndt xd n?
粘性阻尼力弹性恢复力
xcF
kxF
c
k
m
cn
m
k
n 2,
2:令
02 22
2
xdtdxndt xd n?
本征方程
02 22 nnrr?
本征值
22
2
22
1
n
n
nnr
nnr
本征值与运动微分方程的通解的形式与阻尼比有关。
设其解为
rtex?
其通解为
trtr eCeCx 21 21
3,小阻尼情形
22
2
22
1
i
i
nnr
nnr
n
n
)s in ( 22 tnAex nnt
当 n<?n 时，阻尼系数,这时阻尼较小，
称为小阻尼情形。其两个根为共轭复数，即,mkc 2?
其方程的解为利用初始条件
0( 0 )( 0 ),0)0( vvxx
求得
00
22
n0
22
n
2
002
0 t a n
)(
nxv
nx
n
nxvxA
或
22)s in ( ntAex nddnt,其中
tAx nt ds ine －
ntA －e
ntA －eTd
A 2A
1
22
22
n
T
nd
d
衰减振动的周期：
引入阻尼比：
mk
cn
n 2
2
2
2222
1
1
11
22
nd
d
nn
d
ff
T
n
T得有阻尼自由振动和相应的无阻尼自由振动间的关系：
)ee( 2222 21 tntnnt nn CCex
大阻尼 (?>1)情形
222,1 nnnr
临界阻尼 (?＝ 1)情形
nrr 21
)( 21 tCCex nt
这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减
>1
＝ 1
x
O t
§ 19-4 单自由度系统无阻尼受迫振动
k
m0
e
受迫振动 系统在外界激励下产生的振动 。
激励形式 外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。
简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。
Fk
F1,振动微分方程
m
O
x
x激振力的初相位激振力的圆频率力幅简谐激振力
H
tHF )s i n (
)s in (2
2
tHkxdt xdm
振动微分方程
)s in (22
2
thxdt xd n
m
H
h
m
k
n
2?
:令
)s in (22
2
thxdt xd n
.; 2121 特解通解 xxxxx微分方程的解为：
)s in (1 tAx n
)s in (2 tbx
将 x2 代入微分方程，得
)s i n ()s i n ()s i n ( 22 thtbtb n
解得
22
n
hb
)s i n ()s i n ( 22 thtAx
n
n
2,受迫振动的振幅
22
n
hb
k
Hhb
n
200(1)若
.,,
b
b
n
n
单调上升频率随着振幅0(2)若
.0,,
b
b
增大而减小随着频率振幅(3)若 n
幅频特性曲线
3,共振现象当? ＝?n 时,激振力频率等于系统的固有频率时，振幅在理论上应趋于无穷大，这种现象称为 共振 。
)s in (2 tBtx n
n
hB
2
)s in (22 tthx n
n
thb
n?2
这表明无阻尼系统发生共振时，
振幅将随时间无限地增大。
§ 19-5 单自由度系统有阻尼受迫振动
F
k
m
c
F
m
O
x
Fk Fc
简谐激振力 tHF?s in
tHdtdxckxdt xdm?s in2
2
thxdtdxndt xd n s in2 22
2
m
Hh
m
cn
m
k
n,2,
2?:令这一微分方程的全解等于齐次方程的全解与非齐次方程的特解之和。
有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解
)()( 21 txtxx
：－ 分方程的解有阻尼自由振动运动微)(1 tx
tnAx nnt 221 s ine －
设其为运动微分方程的特解,－)(2 tx
)s in (2 tbx
22
22222
2
t a n
4)(
n
n
n
n
h
b
代入微分方程，解得
)s i n ()s i n (e 22n tbtnAx nt－
运动微分方程的通解为：
在简谐激励的作用下，有阻尼系统的总响应由二部分组成：
第一部分是 衰减振动 ；第二部分是 受迫振动 。
引入：
振幅比阻尼比频率比
0
b
b
n
n
n
2
2222
0
1
2
t a n
4)1(
1
b
b
曲线族－幅频特性曲线 －
曲线族－相频特性曲线曲线族－幅频特性曲线
－
－
曲线族－相频特性曲线曲线族－幅频特性曲线
－
－
曲线族－相频特性曲线 －
幅频特性与相频特性
1,?＝ 0的附近区域 (低频区或弹性控制区 ),? → 1,?＝ 0，
响应与激励同相；对于不同的?值，曲线密集，阻尼影响不大。
2,? >>1的区域 (高频区或惯性控制区 ),? → 0,? →?,响应与激励反相；阻尼影响也不大。
幅频特性与相频特性在低频区和高频区，当?<<1时，由于阻尼影响不大，为了简化计算，可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。
幅频特性与相频特性
3,?＝ 1的附近区域 (共振区 ),?急剧增大并在?＝ 1略为偏左处有峰值。通常将?＝ 1,即?＝?n 称为共振频率。 阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。
在相频特性曲线图上，无论阻尼大小,?＝ 1时，总有，
＝?/2,这也是共振的重要现象。
例 题 8
惯性测振仪的内部安装有,质量 (m)－ 弹簧 (k)－ 阻尼器 (c)”系统。 测振仪外壳安置在被测振动的物体上。仪器内置质量块相对于外壳 (被测振动的物体 )
的运动被转换成电信号输出。当被测振动的物体的运动规律为 xe=asin?t 时，
试分析仪器 内置质量块相对于外壳 (被测振动的物体 )
的振动。
k c
m
解,在测振仪外壳上固结动坐标系 O－ xr,系统的牵连运动为平移。
以质量块相对于仪器外壳 (被测振动的物体 )的位移 xe 作为广义坐标。
系统的运动为非惯性系运动。
应用达朗贝尔原理，在质量块上附加惯性力 Fe,
建立系统的运动微分方程。
k c
m
Fe
xr
O
xe
O1
解,应用达朗贝尔原理，在质量块上附加惯性力 Fe,建立系统的运动微分方程。k
c
m
Fe
xr
O
xe
O1 errr Fkxxcxm
tamkxxcxm s in2rrr
其稳态响应为
－tBx s inr?
2222
2
1
2a r c t a n,
21?
aB
解,稳态响应的幅频特性与相频特性曲线幅频特性曲线的特点：
在 高频区，当?>>1时，
B /a → 1 。 因此，设计时应当使测振仪具有比较低的固有频率，才能有比较大的?值 。
被测频率愈高，测量精度也高；被测频率低，测量精度便低。
对于同一?值，阻尼较大时,B /a 趋 近于 1。
例 题 9
工作台
ck
m
xe
已知,m,k,c,xe=asin?t
试分析,仪器的稳态响应。
解,假设观察者在不动的地面上观察仪器的运动，仪器在铅垂方向的位移 x 作为广义坐标，以平衡位置为广义坐标的原点。
仪器的运动方程为
0ee xxkxxcxm
tactkakxxcxm c o ss i n
O
x
tactkakxxcxm c o ss i n
激励由两部分组成：一部分是弹簧的运动激励，其幅值与激励频率无关；另一部分是阻尼的运动激励，其幅值与缴励频率成正比，且相位比弹簧激励超前?/2。根据叠加原理，稳态响应也由两部分叠加而成,
2211 c o ss i n tBtBx
2222
0
1
2a r c t a n,
21
1
eqk
FB
212221 1
2a r c t a n,
21
1
aB
对于仅有弹簧的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差
222222 1
2a r c t a n,
21
2
aB
对于仅有阻尼的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差
212221 1
2a r c t a n,
21
1
aB
tBtBtBx s i nc o ss i n 2211 ＝
22
3
222
2
21
2a r c t a n,
21
21
aB
222222 1
2a r c t a n
21
2
,aB
212221 1
2a r c t a n
21
1
,aB
tBtBtBx s i nc o ss i n 2211 ＝
22
3
222
2
21
2a r c t a n
21
21
,aB
22
3
222
2
21
2a r c t a n,
21
21
aB
幅频特性和相频特性曲线本例所研究的实际上是隔振问题－将外界振源尽可能与研究对象隔离（称为被动隔振）。为取得隔振效果，即仪器振幅 B小于振源振幅 a，应当如何设计隔振层的刚度 k？对于隔振效果，阻尼大一点好还是小一点好？
关于本例的讨论
单自由度线性系统的受迫振动? 受迫振动中的能量关系惯性力、阻尼力、弹性恢复力和激励力在一个周期内怎样作功？又有怎样的能量关系呢？
无阻尼自由振动系统机械能守恒，既无能量的损耗又无外界能量的输入，一个周期内仅有系统动能和势能的转换。
有阻尼自由振动阻尼不断耗散能量，而外界又无能量补充，因此振动幅值随时间衰减。
受迫振动
单自由度线性系统的受迫振动? 受迫振动中的能量关系根据力在 dt时间内所作之元功
dW=Fvdt
当力和速度同相位时，每一时刻都作正功；而当力和速度反相位时，每一时刻都作负功。
阻尼力和速度反相,因此始终作负功，在一个周期内所作的负功为
220 222200 cc πdc o sdd BcttBctxctxFW TT
单自由度线性系统的受迫振动? 受迫振动中的能量关系若力与速度相位相差?/2,则力在一个周期内作功等于零。
惯性力和弹性恢复力的相位都与速度相位相差?/2,因此，惯性力与弹性恢复力在一个周期内所作之功都作功等于零。
单自由度线性系统的受迫振动? 受迫振动中的能量关系激励力超前位移?相位，可将其分解为与速度和位移同相位的两部分。
对于微分方程简谐激励力
tFtF
tFtF
s i nc o sc o ss i n
s i ns i n
00
00
第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为
s i nπdc o ss i n 000 BFtxtBF T
txtFW T dc o ss in0 0F
单自由度线性系统的受迫振动? 受迫振动中的能量关系第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为
s i nπdc o ss i n 000 BFtxtBF T
txtFW T dc o ss in0 0F
这表明，稳态受迫振动一个周期内激励力所作之功等于阻尼力耗散的能量。这就可以解释为什么有阻尼系统受迫振动的稳态响应有一个稳定的振幅。
根据稳态响应幅值的表达式有
BcFs in0
c20F πs inπ WBcBFW
单自由度线性系统的受迫振动? 受迫振动中的能量关系因为在一个周期内激励力所作之功与振幅成正比，而阻尼耗散的能量与振幅平方成正比，当振动幅值还未达到稳定值 B0时，激励力所作之功大于阻尼耗散的能量，振幅将增加。
当振幅到达 B0时，激励力所作之功与阻尼耗散的能量相等，系统能够维持等幅振动。
单自由度线性系统的受迫振动? 受迫振动中的能量关系若由于某种干扰使振幅大于 B0
时，阻尼耗散的能量大于激励 力所作之功，振幅又会衰减，直至在 B0处又维持稳定的振幅。
结论与讨论
按激励不同，可将振动分为自由振动、强迫振动和自激振动等，若按系统特性分类，则可分为线性振动和非线性振动。
关于振动概念
工程力学将振动的概念从物理学中的单个质点扩展到系统。系统可以是单自由度，也可以是多自由度，乃至无限多自由度。
系统要产生振动必须有内因和外因：内因是系统本身既要有弹性又要有惯性，二者缺一不可。对有阻尼系统，
仅在弱阻尼时运动才有振动形态。外因是系统要受到激励。
结论与讨论? 关于运动微分方程
建立系统运动方程属于动力学第二类问题，即：已知主动力求运动的问题。主要过程与求解动力学其它问题相似，但振动问题还要注意广义坐标原点的选择，通常以静平衡位置作为广义坐标原点。
结论与讨论? 关于运动微分方程
建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理
拉格朗日方程－ 对于无阻尼的情形
2
eq
2
eq 2
1
2
1 qkVqmT,?
VTLqLqLt －＝，＝－ 0dd
2
eq
2
eq 2
1
2
1 qkVqmT,?
2
eq2
1
2
1 qcq
qqqcΦ i
ii
i
rr
VTLqΦqLqLt －＝，＝－－
d
d
结论与讨论? 关于运动微分方程
建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理
拉格朗日方程－ 对于有阻尼的情形
结论与讨论? 关于运动微分方程
动量矩定理－ 对于有一固定轴，并且绕固定轴转动的系统，特别对于扭转振动的情形，采用动量矩定理更好。
OO LJ
JO－ 系统绕固定轴 O的转动惯量的代数和 ；
LO－ 所有外力对固定轴 O之矩的代数和 。 力矩方向与广义坐标方向相同时为正，反之为负 。
建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理
结论与讨论? 关于运动微分方程
机械能守恒－ 对于没有能量损耗的保守系统
2
eq
2
eq 2
1
2
1 qkVqmT,?
EVT
0eqeq qqkqqm
建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理
结论与讨论
有阻尼系统仅在弱阻尼时才有振动形态，阻尼使自由振动频率略有降低使振幅按指数衰减，振动过程中有能量耗散。
单自由度线性系统自由振动要点
固有频率是系统的固有属性，它仅与系统的等效刚度和等效质量有关。
无阻尼系统的自由振动是简谐振动，其频率就是固有频率；振幅和初相位取决于初始条件；振动过程中没有能量的补充或耗散。
结论与讨论? 单自由度线性系统简谐激励的受迫振动要点
激励引起的稳态受迫振动，即微分方程的特解。振动频率为激励频率?。即使系统有阻尼，振幅也不会随时间衰减。
简谐激励的响应包括三部分：
激励引起的自由振动，频率也为?d，振幅与激励有关。
这两部分振动叠加就是运动微分方程满足初始条件的齐次解。对有阻尼系统，它们的振幅随时间衰减。
稳态受迫振动中最重要的是共振区、弹性区和惯性区幅频特性和相频特性研究。
初始条件引起的自由振动，频率为?d，振幅与激励无关。
结论与讨论? 单自由度线性系统简谐激励的受迫振动要点
稳态响应的振幅是稳定的，不会因受干扰而偏离；无阻尼系统共振时，振幅将越来越大。这些现象都可以由稳态受迫振动中的能量关系加以解释。
结论与讨论? 多自由度线性系统振动的概念
结论与讨论? 多自由度线性系统振动的概念
结论与讨论? 多自由度线性系统振动的概念
结论与讨论? 多自由度线性系统振动的概念
对于多自由度系统，固有频率怎样定义？
多自由度系统的振动有什么特点？
多自由度系统的自由振动是否也是简谐振动？
结论与讨论? 多自由度线性系统振动的概念一般情形下，多自由度系统的自由振动并不是简谐振动。但在特定条件下可以是简谐振动，此时系统各质点同步到达最大偏离位置或同步到达平衡位置。
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