21 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1(,,,) 2 2n n nf x x x a x a x x a x x
12,,,nx x x
22 2 2 2 3 2 3 2 222 nna x a x x a x x
23 3 3 3 32 nna x a x x
2n n nax
一、ｎ元二次型
1、定义的二次齐次多项式含有ｎ个变量
①
称为 二次型,
2
12
11
(,,,) 2
n
n ii i ij i j
i i j n
f x x x a x a x x

或记为注
① 当常数项为实数时，称为实二次型；
② 当常数项为复数时，称为复二次型．
21 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1(,,,)n n nf x x x a x a x x a x x
22 1 2 1 2 2 2 2 2nna x x a x a x x
21 1 2 2n n n n n n na x x a x x a x
11
ij
nn
ij
ij
a x x


二、二次型的矩阵表示定义 只含有平方项的二次型
2 2 21 2 1 1 1 2 2 2(,,,)n n n nf x x x a x a x a x
称为二次型的 标准形,
定义 特别地，称
2 2 2 21 2 1 1(,,,) ( )n p p p qf x x x x x x x p q n
为二次型的 规范形,
１、二次型的和式表示
②
２、二次型的矩阵表示
21 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1(,,,)n n nf x x x a x a x x a x x
22 1 2 1 2 2 2 2 2nna x x a x a x x
21 1 2 2n n n n n n na x x a x x a x
1 11 1 12 2 1 nnx a x a x a x
2 2 1 1 2 2 2 2 nnx a x a x a x
1 1 2 2n n n nn nx a x a x a x
11 11 11 1
21 22 2 2
12
12
n
n
n n n n n
a a a x
a a a x
x x x
a a a x






③
11 11 11
21 22 2
12
n
n n n n
a a a
a a a
A
a a a




则 二次型,Tf X A X? 其中矩阵 Ａ 为 对称矩阵,
令
1
2
n
x
x
X
x






任一 二次型 ｆ
三、二次型的矩阵及秩对称 矩阵 Ａ!
任一 对称矩阵 Ａ 二次型 ｆ!
一一对应
ｆ 称为 对称 矩阵 Ａ 的 二次型 ； Ａ 称为 二次型 ｆ 的 矩阵 ；
对称矩阵 Ａ 的秩称为 二次型 ｆ 的秩．
练习 写出下列二次型的对称矩阵．
3）复数域Ｃ上的４元二次型
222f a x b x y c y
2 2 2,)1 2 3 1 1 2 1 3 2 2 3 3(,2 4 6 5 3 7f x x x x x x x x x x x x
2)1 2 3 4 1 2 1 4 2 2 3(,,,3 5 ( 3 )f x x x x ix x x x x i x x
例１ 1）实数域Ｒ上的２元二次型
2） 实数域上Ｒ的３元二次型定义 设 Ａ,Ｂ 为ｎ阶方阵，若存在ｎ阶可逆阵 Ｐ,使得
,TP A P B?则称 Ａ 合同于 Ｂ,记为,AB
① 反身性
② 对称性
③ 传递性性质
④ 合同矩阵具有相同的秩,
⑤ 与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵,
等价
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
,
,
nn
nn
n n n n n n
x c y c y c y
x c y c y c y
x c y c y c y



设
,ijCc?
Cyx?
四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
记记作
Tf x A x?将其代入
Axxf T,yACCy TTCyACy T?
有若 |C| ≠0,则④称为非退化线性变换．
④
注 二次型经过非退化线性变换仍为二次型．
证明 于是即有为对称矩阵,,TAAA?
TTT ACCB?
,,,
,,1
ARBRB
AACCBC T
且也为对称矩阵则矩阵为对称如果令任给可逆矩阵定理
CAC TT?,BACC T
,ACCB T
,ARACRBR
,11 BCCA T?又,1 BRBCRAR
.BRAR
即 为对称矩阵,B
说明
2222211 nnTT ykykykA C yCy
就是要使变成标准形经可逆变换要使二次型,2 Cyxf,?
,),,,(
2
1
2
1
21


y
y
y
k
k
k
yyy
nn
n?
.成为对角矩阵也就是要使 ACC T;
,,1
ACCBA
fCyx,
T?
变为的矩阵由但其秩不变后二次型经可逆变换有型把此结论应用于二次即使总有正交矩阵阵由于对任意的实对称矩
,
.,
,,
1 APPAPP
PA
T

化为标准形使正交变换总有任给二次型定理
fPyx
aaxxaf jiij
n
ji
jiij
,
,2
1,

,2222211 nn yyyf
,,,,21 的特征值的矩阵是其中 ijn aAf
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1 AAxxf T 求出将二次型表成矩阵形式?;,,,.2 21 nA的所有特征值求出;,,,.3 21 n征向量求出对应于特征值的特
;,,,,,,,
,,,,,.4
2121
21
nn
n
C


记得单位化正交化将特征向量
.
,.5
22
11 nn yyf
fCyx

的标准形则得作正交变换
.,
844141417
323121
2
3
2
2
2
1
化成标准形通过正交变换将二次型
Pyx
xxxxxxxxxf
例 2
例 3
.
22
2222
,
4342
32413121
化为标准形把二次型求一个正交变换
xxxx
xxxxxxxxf
Pyx