线性代数课件：ch3-3

1、基本概念 1 1 2 2 rr
k k k


线性 表示 LE
课前复习 线性组合 LC
组合系数 CC
线性相关 LD
线性无关 LID
向量组 LD?至少有一个向量可由其余向量 LE,定理向量组 LID?任何向量都不能由其余向量 LE,定理定理 向量组线性无关?齐次线性方程组只有零解；
定理 向量组线性相关?齐次线性方程组有非零解,
2、基本结论推论 ｎ个ｎ维向量线性相关?,0ija?
推论 ｎ个ｎ维向量线性无关?,0ija?
定理 如果向量组线性相关，则 β 可由 Ａ 唯一线性表示,
12,,,rA
12,,,,r
线性无关，而向量组定理 设向量组 12,,,rA,1 2 1,,,,rrB
若 Ａ 线性相关,则向量组 Ｂ 也线性相关；反之，若向量组 Ｂ 线性无关，则向量组 Ａ 也线性无关,
1 2 1,Ti i i m i m ia a a a
定理 设向量组
( 1,2,,)in12 Ti i i m ia a a
若 Ａ 线性无关，则向量组 Ｂ 也线性无关；反之，若向量组 Ｂ 线性相关，则向量组 Ａ 也线性相关,
12,,,,nA,12,,,.nB,其中
( 1,2,,)in?
一、向量组的秩
１、极大线性无关组
② 线性相关, 121,,,,,i i i rjs
若满足：
设 是一个向量组，它的某一个部分组12,,,s
0 1 2:,,,i i irA
２、向量组的秩向量组的极大无关组所含向量个数称为 向量组的秩,
记作,Ｒ (Ａ ) 或12 sR
① 线性无关；0 1 2:,,,i i irA
则称 为 Ａ 的一个 极大线性无关组,0 1 2:,,,i i irA
④ 一个向量组的任两个极大无关组所含向量个数相同,
① 一个向量组的极大无关组不是唯一的,
⑤ 一个线性无关的向量组的极大无关组就是其自身,
③ 一个向量组的任意两个极大无关组都等价,
⑦ 零向量组构成的向量组不存在极大无关组,
⑧ 任何非零向量组必存在极大无关组,
⑨ 任何ｎ维向量组 如果线性无关，那么它12,,,n
就是 中的极大无关组,nR
⑩ 显然ｎ维向量组 就是 中的极大无关组,nR12,,,n
② 向量组与它的任一极大无关组等价,
⑾ 等价的向量组同秩,
⑥ 一个线性相关的向量组的极大无关组是其真子集,
二、线性相关性的判断准则定理 向量组 Ａ 线性相关?Ｒ (Ａ )＜ｒ．
定理 向量组 Ａ 线性无关?Ｒ (Ａ )＝ｒ．
12,,,,rif A 12,,,sB
向量组 Ａ 中向量的个数ｒ＞向量的维数ｎ，则向量组 Ａ 线性相关,
推论定理 向量组 Ａ 可由 Ｂ 线性表示，则
② 若ｒ＞ｓ，则 Ａ 线性相关,
③ Ａ 线性无关,则 ｒ ≤ ｓ,
④ Ｒ (Ａ ) ≤ Ｒ (Ｂ ),
⑤ 等价向量组必有同秩．（反之则不然）
① 存在矩阵,.s r r s s rK A B K
1 1 2 2 0rrx x x证①,设
1
2
12
0.
r
r
x
x
x







即 记 0Ax?
又 Ａ 可由 Ｂ 线性表示，则,.srK A B K
00A x B K x仅考虑 0,Kx?
由于ｒ＞ｓ,所以 Ｋ 构成的列向量 线性相关,
故 有非零解,0Kx?
亦即12 0Trx x x x
1 1 2 2 0rrx x x
所以 Ａ 线性相关,
R A R B
证③：
的极大无关组,
因为 Ａ 可由 Ｂ 线性表示，则 线性表示，00AB可 由定理 向量组 Ａ 与 Ｂ 均线性无关,且 Ａ 与 Ｂ 等价,则,rs?
,,R A p R B q再设 分别为 Ａ,Ｂ00,AB设
( ) ( ),( ) ( ),m n m s s nif C A B R C R A R C R B推论
11,,nsC c c A a aijBb sn而,
设矩阵 Ｃ 和 Ａ 用其列向量表示为证明：

1 1 1
1
n
ns
s sn
bb
c c a a
bb




由而 线性无关,则,pq?0A
( ) ( ),R C R A?因 此
,( ) ( ),T T T T TC B A R C R B又 因 易 知( ) ( ),R C R B?即易知矩阵 Ｃ 的列向量组能由 Ａ 的列向量组线性表示，
设向量组 Ｂ 是向量组 Ａ 的部分组，若向量组 Ｂ 线性推论无关，且向量组 Ａ 能由向量组 Ｂ 线性表示，则向量组 Ｂ
是向量组 Ａ 的一个极大无关组,
设向量组 Ｂ 含ｒ个向量，则它的秩为ｒ，证明：
因向量组 Ａ 能由向量组 Ｂ 线性表示，故 Ａ 组的秩 ≤ ｒ，
从而 Ａ 组中任意ｒ +１个向量线性相关，所以向量组 Ｂ
满足定义中极大无关组的条件,
所以向量组 Ｂ 是向量组 Ａ 的一个极大无关组,
三、向量组的秩与矩阵的秩的关系定义 矩阵
11 12 1
21 22 2
11
,
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a




Ａ 的列向量组的秩称为列秩，记为：
Ａ 的行向量组的秩称为 行 秩，记为,.rA
.cA
定理11 TTm n n mR A c r
结论 mnin A?
①,则 所在行（列）向量组线性无关,rD0rD
②,则 Ａ 的任 ｒ 行（列）向量组线性相关,0rD
③,且含有 的,则,0rD rD 1 0rDR A r?
定理有相同的 线性关系,
相同的 线性关系 是指：
已知ｎ维列向量组 12,,,,s12,s nsA
若对 Ａ 施行初等行变换把 Ａ 化为12,s nsB 则向量组
1 2 1 2,,,,,,ppi i i i i i与121 pi i i s
①
1 2 1 2,,,,,,.ppi i i i i iRR
12,,,pi i i线性表示，且表达式的系数对应相同,
② 12,,,pi i i i可 以 由线性表示，对应的 i? 可 以 由
③ 1 2 1 2,,,,,,ss与极大无关组相对应,
.,ERTi f A B P i s I M P A B证明
1 2 1 2,,ssn s n sAB
12 sP A P
iiP即
12 sP P P12 s
设 Ａ 的某些列 12,,,pi i i有关系
1212 0pi i p il l l
则相应的
1212 pi i p il l l
1212 pi i p il P l P l P
1212 pi i p iP l l l0?
具有相同的 线性关系,12,,,pi i i
即 Ｂ 中列向量组 12,,,pi i i与 Ａ 中列向量组
1、向量组 线性无关，证明：12,,,r
11, 2 1 2,, 12rr线性无关,
11,r 22,,r 11,r r rrr
2、向量组 线性无关，证明：12,,,r
线性无关,
中线性相关的是（ ）
A、,,12 23 31
3、已知向量组 1 2 3,,线性无关，则下列向量组
12 23 31B、,,
12 23 31C、,,12 23 31D、,,
四、应用举例
D
例４ 设1 111,3 2 4 7,2 0 2 5,
1 2 3TTT
1 0 2
1 2 4
1 5 7




1 0 2
0 1 1
0 0 0




所以 2RA? 12:,A线性无关
2RB?
试讨论 及 秩及线性相关性,1 2 3:,,B12:,A
1 2 3:,,B线性相关例５ 已知 1 2 3:,,, 1 2 3 4:,,,, 1 2 3 5:,,,,
设3,4,R R R
证明 1 2 3 5 4,,,线性无关,
解
3 1 22且
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
A




求向量组 Ａ 的列向量组的秩及一个极大线性无关组，
例６ 设矩阵并将其余向量用该极大线性无关组线性表示,
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
A




1 1 2 1 4
0 1 1 1 0
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
ERT





所以 Ａ 的列向量组的秩为３,
故极大线性无关组所含向量的个数为３个,
解
1 1 2 1 4
0 1 1 1 0
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
A




显然极大线性无关组为 1 2 4,,,
0 1 0 4
0 1 1 0 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0
ERT





3 1 2 40,5 1 2 44 3 3,所以可得例７ 设1 111,3 1 3,t2 1 2 3,
① 当ｔ为何值时,线性无关1 2 3,,
② 当ｔ为何值时,线性相关1 2 3,,
③ 当 线性相关时，将 用 线性表示,1 2 3,, 3? 12,
五、向量空间的基与维数定义
② 线性相关,12,,,,,j j rV
若满足：
设 Ｖ 是一个向量空间，它的某ｒ个向量
12,,,r
Ｖ 中的任一向量均可以表示成 基向量 的线性组合，
记作,dimＶ,
① 线性无关；12,,,r
则称 为 Ｖ 的一个 基,ｒ称为 Ｖ 的 维数,12,,,r
且表达式唯一，其组合系数 称为 向量在该基下的坐标,