确定小鸟的飞行状态，
需要以下若干个参数：
小鸟重心在空间的位置参数小鸟身体的水平转角 θ
小鸟身体的仰角 ψ
鸟翼的转角 ψ
所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组
m t x y z
(,,)P x y z
１、引入一、ｎ维向量 （ Vector）
小鸟身体的质量 ｍ
鸟翼的振动频率 ｔ
还有 …
２、定义 ｎ个数 组成的有序数组12,,,na a a
12 na a a
称为一个 ｎ维向量,其中 称为第 个 分量 （ 坐标 ）,ia i
12T na a a
,.,T T T记作如：
ｎ维向量写成一行，称为 行矩阵,也就是 行向量,1
2
n
a
a
a
如：
记作 α,β,γ,
ｎ维向量写成一列，称为 列矩阵,也就是 列向量,
（ Row Vector）
（ Column Vector）
注意
１、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
２、行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；
３、当没有明确说明时，都当作实的列向量,
2,元素全为零的向量称为 零向量 （ Null Vector）,
3、长度为 １的向量称为 单位向量 （ Identity Vector）,
4、维数相同的列（行） 向量同型,
元素是复数的向量称为 复向量 （ Complex Vector）,
３、几种特殊向量
1,元素是实数的向量称为 实向量 （ Real Vector）,
5、对应分量相等的 向量相等,
４、向量与矩阵的关系
1
2
T
T
T
m
A
其第 ｊ 个 列 向量 记作
1
2
j
j
j
mj
a
a
a
12 nA
ｍ个ｎ维 行向量,
按行分块
11 12 1
21 22 2
11
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
按列分块
ｎ个ｍ维 列向量,
其第 ｉ 个 行 向量 记作
12Ti i i ina a a
矩阵与向量的关系中注意什么是向量的 个数,什么是向量的 维数,二者必须分清,
1 1 2 2() nna b a b a b
12 nk k k a k a k a
二、向量的运算
1 1 2 2 nna b a b a b
1、加法1 2 1 2,,nna a a b b b
规定
2、数乘12,na a a k R
规定称为数 ｋ 与向量 α的 数量积,
向量的加法与数乘合称为向量的 线性运算,
称为 α与 β的 和向量,
称为 α与 β的 差向量,
4、乘法对于ｎ维行向量为一阶方阵，即一个数,
12T nx x x
1
2
12
T
n
n
x
x
x x x
x
为ｎ阶方阵；
1
2
12
T
n
n
x
x
x x x
x
3、转置
12T nx x x
1
2
n
x
x
x
5、运算规律
（ 1） （交换律）
（ 2） （结合律）( ) ( )
（ 3） O
（ 4） () O
（ 5） （减法） ()
(设 α,β,γ 均是ｎ维向量,λ,μ 为实数 )
（ 6） 1
（ 7） ( ) ( ) ( )
（ 8） ()
（ 9） ()
..or O.,0,,o r a n d OO 0
三、应用举例
2 ( )T T TE
例１
1100
22?
设ｎ维向量,矩阵
,2TTA E B E，其中 Ｅ 为设ｎ阶方阵，
证明,.AB E?
证明,( ) ( 2 )TTA B E E
2 2 ( ) ( )T T T TE
T又 1 1 14 4 2
12
2
TTA B E
故
E?
TTE
例２1 1 1 0 T,设3 340 T2 1 1 T,
1 2 3
31
,,2 1,
11
求解1 2 3 1 2 332
4 4 1,T
1 2 332
1 0 3
3 1 2 1 1 4
0 1 0
0 1 2,T?
1 2 3
0
1
2
1 0 3
1 1 1 1 1 4
0 1 0
4
4
1
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做 向量组,
例如
aaaa
aaaa
aaaa
A
mnmjmm
nj
nj
21
222221
111211
1? 2? j? n?
四、向量组、矩阵、线性方程组向量组 称为矩阵 Ａ 的 列向量组,12:,,,nA
对于一个 矩阵有ｎ个ｍ维 列向量,mn?
12:,,,sA记作,.,ior?
aaa
aaa
aaa
aaa
A
mnmm
inii
n
n
21
21
22221
11211
T1
T2
Ti
Tm
向量组 为矩阵 Ａ 的 行向量组,12:,,,T T TmA
类似的，矩阵有ｍ个ｎ维 行向量,
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵,1
2
T
T
T
m
B
12 nA
ｎ个ｍ维 列向量,所组成的向量组 12,,,n
构成一个 矩阵,mn?
ｍ个ｎ维 行向量,所组成的向量组 12,,,T T Tm
也构成一个 矩阵,mn?
矩阵与向量组之间一一对应．
1 1 2 2 nnx x x b
线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
1
2
12 n
n
x
x
b
x
即 Ax b? 或例３ ｎ维向量的集合是一个向量空间,记作,nR
,;i f V V V
五、向量空间
1、定义 设 Ｖ 为ｎ维非空向量组，且满足
① 对加法封闭
② 对数乘封闭那么就称向量组 Ｖ 为 向量空间 （ Vector Space）,
,.i f V R V
解 任意两个ｎ维向量的和仍是一个ｎ维向量；
任意ｎ维向量乘以一个数仍是一个ｎ维向量．
所以，所有ｎ维向量的集合构成一个向量空间,
易知 该集合对加法封闭，对数乘也封闭，
例４ 判别下列集合是否为向量空间,
1 2 20,,TnnV x x x x x R１,
2 2 21,,TnnV x x x x x R２,
解2 1 2 10,0TTnnif a a V b b V
2 2 10,Tnna b a b V有
21,0,Tnk R k k a k a V
所以 是一个向量空间,1V
解221 Tni f a a V
222,2 2 2 2,Tnk a a V
所以 不是一个向量空间,2V
例５ 判别下列集合是否为向量空间,
3 1 2 1 2,,,,0Tn n iV x x x x x x x R x且解,,0,0iiif V V a b３ ３ 有
30iia b V有
3,0,ik R k k a k V
所以 是一个向量空间,3V
解1 2 4 1Tniif a a a V a有
42,2 2,ik a V有所以 不是一个向量空间,V４
4 1 2 1 2,,,,1Tn n iV x x x x x x x R x且
,V x R
例６ 设 α,β 为两个已知的ｎ维向量 试判断集合是否为向量空间,
解 1 1 1 2 2 2,if x x
1 2 1 2 1 2x x V有
1 1 1,k R kx k k V
所以 是一个向量空间,V
定义 由向量组 的一切线性组合构成的集合12,,,r
称为 由 生成的 向量空间,记为：12,,,r
1 2 1 1 2 2,,,r r r iL x k k k k R
注 等价向量组生成相同的向量空间,
向 量
)3(?n解析几何 线性代数既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组几何形象：可 随 意平行移动的有向线段代数形象：向 量 的坐 标 表 示 式
12T na a a a?
坐标系
2、结构空 间
)3(?n解析几何 线性代数点空间,点的集合 向量空间,向量的集合坐标系代 数 形 象：
向量空间中的平面
dczbyaxzyxr T ),,(
几 何 形 象：
空间直线、曲线、
空间平面或曲面
dczbyaxzyx),,(
),,( zyxP Tr x y z?一 一 对 应
