把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的 全排列 （或 排列 ）,
n n
个不同的元素的所有排列的种数用 表示，
且,
n nP
!nPn?
１ 排列
２ 逆序数逆序数为奇数的排列称为 奇排列,逆序数为偶数的排列称为 偶排列,
在一个排列 中，若数,
则称这两个数组成一个 逆序,一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数,
1 i j np p p pijpp?
３ 对换定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，
叫做 相邻对换,
定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．
4 n阶行列式的定义

nppp
ppp
t
nnnn
n
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D?

21
21
22221
11211
21
21
1

12
12
121 n
n
t
p p np
p p p
D a a a或其中 为排列 的逆序数,t 12 np p p
5 n阶行列式的性质性质 1 行列式与它的转置行列式相等,即,TDD?
性质 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号,
推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式为零,
性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数,等于用数 乘此行列式,k k
推论 2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，
则此行列式为零．
性质 4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和,
性质 5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去，行列式不变．
6 行列式按行和列展开余子式与代数余子式
ija
记作,
划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的 余子式,
在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列n i j
1n? ija
ijM
1 ijij ijAM,叫做元素 的 代数余子式,ija记关于代数余子式的重要性质
1
,,
0,;
n
k i k j ij
k
D i ja A D
ij



当当
1
,,
0,;
n
ik jk ij
k
D i ja A D
ij



当当 1,
0,.ij
ij
ij?


，当当
7 Cramer 法则在线性方程组中若常数项 不全为零，则称此方程组为 非齐次线性方程组 ；
12,,,nb b b
若常数项 全为零，则称此方程组为 齐次线性方程组,
12,,,nb b b
如果线性方程组的系数行列式 则线性方程组一定有解,且解是唯一的,
,0?D
如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零,
2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 1 k k k k k k
逆序数的求法
0 1 1 2 3 ( 1 )t k k2k?
( 2 1 ) ( 2 3 ) ( 2 5 ) 1t k k k2k?
解另行列式的求法
1、定义法
1 2 1
1
2
1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
nn
n
a a a a
b
b
b
2、展开法
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
000
0 0 0
xy
xy
x
xy
yx
3、加边法
2
1 1 2 1
2
2 1 2 2
2
12
1
1
1
n
n
n n n
x x x x x
x x x x x
x x x x x
4、拆分法
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b



5、递推法
9 5 0 0 0 0
4 9 5 0 0 0
0 4 9 0 0 0
0 0 0 9 5 0
0 0 0 4 9 5
0 0 0 0 4 9
n
6、三角法
1
2
0 1 1 1
1 0 0
1 0 0
1 0 0
n
a
a
a
7,Laplace展开定理
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
2 1 2 2 2 3 2 4 2 5
3 1 3 2
4 1 4 2
5 1 5 2
000
000
000
a a a a a
a a a a a
aa
aa
aa
9、综合法
1 3 3 3
3 2 3 3
3 3 3 3
333 n
8,Vander monde行列式
11
1 1 1 1 1 1
11
2 2 2 2 2 2
1
11
1 1 1 1 1 1
n n n n
n n n n
n
n n n n
n n n n n n
a a b a b b
a a b a b b
D
a a b a b b




10、降阶法 （略）
,
21
22221
11211
1
aaa
aaa
aaa
D
nnnn
n
n

,
2
2
1
1
2
22221
1
1
1
1211
2
ababa
baaba
babaa
D
nn
n
n
n
n
n
n
n
n



11、定义证明证明 12DD?
12、数学归纳法
c os 1 0 0 0
1 2 c os 1 0 0
0 1 2 c os 0 0
c os,
0 0 0 1
0 0 0 1 2 c os
n
Dn

计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用．
在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法．
小结
Cramer法则求一个二次多项式,使
( 1 ) 0,( 2 ) 3,( 3 ) 2 8f f f
()fx
解 设所求的二次多项式为
,)( 2 cbxxaxf
由题意得
,2839)3(
,324)2(
,0)1(



cbaf
cbaf
cbaf
.20,60
,40,020
32
1


DD
DD
由克莱姆法则，得
.1,3,2 321 DDcDDbDDa
于是，所求的多项式为
.132)( 2 xxxf