课前复习
1、矩阵的逆 11A A A A E1
AA
A
2、分块对角矩阵
12 ;sA A A A?1）
1
1
1
1;
s
A
A
A
2）
1
,
s
A
A
A
1
1
1
1;
sA
A
A
3） 若
4） 若
1
,
s
A
A
A
1;
n
n
n
s
A
A
A
则则
3、线性方程组的几种形式
Ax b?
11
22
T
T
T
mm
b
b
x
b
1
2
12
,,,
n
m
x
x
b
x
ΛmnA?4,与 的乘法
11
22
T
T
m m n
T
mm
Λ A
11m n n n nA Λ
引例 求解线性方程组一、消元法解线性方程组
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
22
24
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
④
①
②
③
解
④
①
②
③
① ②
2?③
1 2 3 422x x x x
1 2 3 424x x x x
1 2 3 42 3 2x x x x
1 2 3 43 6 9 7 9x x x x
B
B1B
④
①
②
③
1 2 3 424x x x x
2B③ ①2?
①3?④
2 3 42 2 2 0x x x
②?③
2 3 45 5 3 6xxx
2 3 43 3 4 3xxx
④
①
②
③
1 2 3 424x x x x
3B③ ②5?
②3?④
2 3 4 0x x x
426x
4 3x
② 2?
④
①
②
③
1 2 3 424x x x x
3B2 3 4 0x x x
4 3x
00?
③ 2?
③?④
13
23
33
4
4
3
3
xx
xx
xx
x
1
2
3
4
x
x
x
x
x
即
14
13
10
03
c
其中ｃ为任意常数,
总结 1、上述解方程组的方法称为 高斯消元法,
2、始终把方程组看作一个整体变形，用三种变换
（ 1）交换方程次序；
（ 2）以不等于０的数乘某个方程；
（ 3）一个方程的ｋ倍加到另一个方程．
3、这三种变换均可逆,
4、方程组的变换可以看成矩阵的变换,
1、定义 下面三种变换称为矩阵的 初等行变换,
ji rr?（ 1）互换两行：
（ 2）数乘某行,kri?
（ 3）倍加某行,ji krr?
二、矩阵的初等变换 （ Elementary Transformation）
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的 初等变换,
同理，把 换成 可定义矩阵的 初等列变换,r c
ERT
ECT
ET
ji rr? kri?;ji rr?
1( );
ir k?
ji krr?,ijr kr?
初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．
逆变换逆变换逆变换定义 经过有限次初等变换变成矩阵,如果矩阵 A B
AB与 等 价就称矩阵,记作 ~AB
等价关系的性质：
~;AA
~,~if A B B A? ；
~,~ C,if A B B ~ C A?
具有上述三条性质的关系就称为 等价,
（ 1）反身性：
（ 2）对称性：
（ 3）传递性：
利用 初等行变换可把矩阵 化为 行阶梯形矩阵,A
利用 初等行变换，也可把矩阵化为 行最简形矩阵,
定理利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩阵化为 标准形矩阵,
三、矩阵的秩
1、子阵与 阶子式k
将矩阵 nmijaA 的某些行和列划去（可以只划去某些行和列），剩下的元素按原来的顺序构成的新矩阵叫做 矩阵 的子矩阵,A
min{,},k m n?
2k
中，任取 行 列A k knm?在 矩阵位于这些行与列交叉处的 个元素，依照它们在 A
中的位置次序不变而得的 阶行列式，称为矩阵的一个
k
定义定义
A
k 阶子式,
nm? 矩阵共有 个 阶子式,kkmnCC k
1最低阶为 阶,最高阶为 阶,m in {,}mn
如：矩阵
1 3 9 3
0 1 3 4
2 3 9 6
A
取第 1行、第 3行和第 1列、第 4列交叉处的元素，
1262 31二阶子式是组成的的最高阶子式是 3阶，共有 4个 3阶子式,A易见而在这个矩阵中,
9?
13
01
23
都是矩阵 的子矩阵,A
1 3 9 3
0 1 3 4
2、矩阵的秩
,mnin A if?定义 0;rD 1 0.rD（ 1） （ 2）
则 称为矩阵 的 最高阶非零子式,rD A
)(Ar )(AR记为 或,
（ 1）性质：
( ) m i n {,}R A m n?
1()if R A n A
（ 2）
( ) ( ),( ) ( ),0TR A R A R k A R A k
( ) 0RO?
（ 3）
（ 4） An阶方阵,
1( ) ( ),R A R A?（ 5） 其中 1AA?
0 ( )rif D R A r
0 ( )rif D R A r
（ 6）
最高阶非零子式的阶数称为 矩阵的 秩,
定义 An阶方阵,0 ( )if A R A n
,mnin A?
A
为 满秩阵,
，则称定义 ()if R A m?
A，则称 为 行满秩阵 ；
()if R A n?A，则称 为 列满秩阵 ；
~,if A B R A R B定 理结论矩阵的秩
最高阶非零子式的 阶 数
行阶梯形矩阵非零行的行数
行最简形矩阵非零行的行数
标准形矩阵中单位矩阵的 阶 数
0 ( )if A R A nA，则称 为 降秩阵,
定义 所有与 等价的矩阵的集合称为一个 等价类,A
注,（１）所有 矩阵可以划分为mnm in,1mn?
一个 等价类,
（３）化 为行阶梯形矩阵或行最简形矩阵，仅能A
用初等行变换，而化 为标准形矩阵时，初等行变A
换和初等列变换均可使用,
（４）任一矩阵的行最简形矩阵与标准形矩阵唯一,
（５）标准形矩阵是等价类中最简单的矩阵,
（２）同型同秩矩阵等价,
例１
1 3 2 2
0 2 1 3
2 0 1 5
A
已 知,求 秩,
,0220 31
102
120
231
502
320
231
解 计算 A的 3阶子式，
,0?,0?
510
312
223
512
310
221
,0?,0,
,2 AR
用定义求矩阵的秩并非易事，后面我们将用初等变换法去求矩阵的秩,
四、应用举例解例２
并求 的一个最高阶非零子式,A
设
3 2 0 5 0
3 2 3 6 1
2 0 1 5 3
1 6 4 1 4
A
，求矩阵 的 秩，A
把矩阵 用初等行变换变成为行阶梯形矩阵：A
3 2 0 5 0
3 2 3 6 1
2 0 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4
3 2 0 5 0
41 rr?
0 4 3 1 1 A
24rr?
413rr?
312rr?
0 1 2 9 7 1 1
0 1 6 1 2 8 1 223 3rr?
24 4rr?
0 0 4 8?
0 0 0 4 8?
43rr?
0 0 0
( ) 3,RA
( ) 3,RA?
( ) 3,RB
求 的一个最高阶非零子式A
知 的一个最高阶非零子式为３阶，A
A的 阶子式共有 个，3 3345 40CC
考察 的行阶梯形矩阵A
1 2 3 4 5(,,,,),A a a a a a? 1 2 4(,,)B a a a?记 则 矩 阵的行阶梯形矩阵为
1 6 1
0 4 1
0 0 4
0 0 0
B? 中４个子式中必有３阶非零子式易验证
3 2 5
3 2 6
205
0.?
Ａ 的一个最高阶非零子式,
1 2 2 1 1
2 4 8 0 2
,
2 4 2 3 3
3 6 0 6 4
Ab
,,R A R B
例３ 设
B A b?其中求解 分析：直接将 化为阶梯形矩阵即可，故B
1 2 2 1 1
2 4 8 0 2
2 4 2 3 3
3 6 0 6 4
B
13600
51200
02400
11221
13
12
2
2
rr
rr
14 3rr?
10000
50000
01200
11221
00000
10000
01200
11221
23
2 2
rr
r
24 3rr?
53?r
34 rr?
.3)(,2)( BRAR
例 4 将下列矩阵利用初等变换化为 行阶梯形,再 化为 行最简形,最后 化为标准形,并求其 秩,
97963
42264
41211
21112
A
注意：化矩阵为行阶梯形或行最简形时仅能用初等行变换,化矩阵为标准形时，初等行变换和初等列变换均可以使用,
21 rr?
23?r
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
46224
3 6 9 7 9
A
1 1 2 1 4
2 1 1 1 2
2 3 1 1 2
3 6 9 7 9
13
32
2rr
rr
14 3rr?
1 1 2 1 4
02220
05536
03343
2
32
2
5
r
rr
24 3rr?
31000
62000
01110
41211
43 rr?
34 2rr?
1
00000
31000
01110
41211
B?
2
00000
31000
30110
40101
B?
21 rr?
32 rr
00000
31000
01110
41211
1
B
214 ccc
3215 334 cccc
43 cc?
3
00000
00100
00010
00001
B?
依次为行阶梯形和行最简形矩阵。
2B
最后得到的矩阵 是 的标准形，3B A,1B 2B 依次为秩显然为３,
k２,子式与 阶子式
３,秩的定义及性质五、小结
１、矩阵的初等变换 （ Elementary transformation）
初等行 (列 )变换
;i j i jr r c c
;iir k c k
,i j i jr k r c k c
,mnin A if? 0;rD 1 0.rD（ 1） （ 2）
则 称为矩阵 的 最高阶非零子式,rD A
)(Ar )(AR记为 或,
最高阶非零子式的阶数称为 矩阵的 秩,
４,经过有限次初等变换变成矩阵,如果矩阵 A B
AB与 等 价就称矩阵,记作 ~AB
５,矩阵等价具有的性质;反 身 性 ;对 称 性,传 递 性利用初等行变换可把矩阵 化为 行阶梯形矩阵,A
利用初等行变换，也可把矩阵化为 行最简形矩阵,
６,
利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩 阵化为 标准形矩阵,
７,矩阵的秩
最高阶非零子式的 阶 数
行阶梯形矩阵非零行的行数
行最简形矩阵非零行的行数
标准形矩阵中单位矩阵的 阶 数
