课前复习性质 1 行列式与它的转置行列式相等,即,TDD?
性质 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号,
推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式为零,
性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数,等于用数 乘此行列式,k k
推论 2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．
性质 4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和,
性质 5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去，行列式不变．
在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的 余子式,
n ija i j
1?n ija
1 ij iji j MA,叫做元素 的 代数余子式,ija
例如
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D?
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M?
233223 1 MA,23M
一、余子式与代数余子式
.ijM记作
,
444341
343331
242321
12
aaa
aaa
aaa
M?
122112 1 MA,12M
,
333231
232221
131211
44
aaa
aaa
aaa
M?
,1 44444444 MMA
注 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式,
即,ij ijD a A?
外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式ija ija
引理的乘积，ijA
n i一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除证 当 位于首位时,即ija
21 22 2
12
11
00
n
n n n n
a a a
a a a
a
D?
即有,1111 MaD?
又 111111 1 MA,11M?
从而,1111 AaD?
命题得证
11 1 1
1
00
jn
n n j n n
ij
a
a a a
D
a a a
得
1
1,1 1,1,
1
00
1
i
ii
ij
j i n
n n j n n
a a aD
a
a a a
把 的第 行依次与第 行，第 行,… 第 1行对调D i 1i? 2i?
下证一般情形,此时得
11
1,1,1 1,
,1
00
11
ij
i j i
ij
j i n
nj n j nn
a a aD
a a a
a
把 的第 列依次与第 列，第 列,… 第 1列对调D j 1j? 2j?
1,1,1 1,
,1
00
1
ij
i j i
ij
j i n
n j n j n n
a a a
a a a
a
11 1 1
1
00
jn
n n j n n
ij
a
a a a
D
a a a
中的余子式,ijM
1,1,1 1,
,1
00
i j i j i n
n j n j n n
ij
a a a
a a a
a
注意到：
元素 在行列式ija
中的余子式仍然是 在行列式ija
1,1,1 1,
,1
00
1
ij
i j i j i n
n j n
ij
j n n
a
a a aD
a a a
,1 ijijji Ma
于是有
1,1,1 1,
,1
00
i j i j i n
n j n j n n
ij
a a a
a a a
a
,ijij Ma?
故
.ij ijD a A?即 所以命题得证行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
ininiiii AaAaAaD2211ni,,2,1
证
1 1 1 2 1
12
12
0 0 0 0 0 0
n
i i in
n n nn
a a a
a a aD
a a a
二、行列式按行（列）展开法则
1 1 2 2j j j j n j n ja A a A a A,2,,jn?
定理利用行列式的性质四 --拆分原理有
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
21
1
11211
00?
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
21
2
11211
00?
nnnn
in
n
aaa
a
aaa
21
11211
00
ininiiii AaAaAa2211ni,,2,1
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
.ji,AaAaAa jninjiji 02211?
).(,02211 jiAaAaAa njnijiji
推论命题得证把行列式 按第 行展开有d e t ( )ijDa? j证
j第 行
i第 行
11 1
1
11
1
1
n
i in
j j jn jn
j jn
n n n
aa
aa
D a A a A
aa
aa
把行列式中的 换成 可得jka ( 1,,)ika k n?
1 1 2 2i j i j i n j na A a A a A
1i inaa
相同
,if i j?
).(,02211 jiAaAaAa jninjiji
同理 ).(,02211 jiAaAaAa njnijiji
命题得证关于代数余子式的重要性质
;,0
,,
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
kjki 当当?
;,0
,,
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
jkik 当当?
.,0
,1
ji
ji
ij 当
，当其中例 1
计算行列式常用方法：化零，展开,
三、应用举例
0 1 0 4
2 1 0 2
1 2 3 2
0 2 0 1
33
0 1 4
( 1 ) 3 2 1 2
0 2 1
D
12 14( 1 ) 2 3
21
( 6) ( 7 ) 4 2
解例 2
3 0 4 0
2 2 2 2
0 7 0 0
5 3 2 2
第四行各元素余子式之和为分析
41 42 43 44M M M M
以 表示 中元素 的余子式，则有ijaijM D
3 0 4 0
2 2 2 2
0 7 0 0
1 1 1 1
4 1 4 2 4 3 4 4A A A A3 4 0
7 2 2 2
1 1 1
3 4 0
1 4 1 1 1
0 0 2
34
28 11?
28
28?
例 3
1 2 2 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
.
0 0 0 1
n n n
x
x
x
D
x
a a a a a x
1( 1 ) nna 21 ( 1 ) nna
32 ( 1 ) nna 1( 1 ) ( )nn xa
211 2 1 nnn n na a x a x a x x
nE xp r
D 1( 1)n 2( )n x
32( 1 ) x 1nx?
例 4 计算范德蒙德 (Vander monde)行列式
12
2 2 2
12
1 1 1
12
1 1 1
n
nn
n n n
n
x x x
x x xD
x x x
将前一行乘以 加到后一行上1x?解 （从后往前）
2 1 3 1 1
2 2 1 3 3 1 1
2 2 2
2 2 1 3 3 1 1
1 1 1 1
0
0 ( ) ( ) ( )
0 ( ) ( ) ( )
n
nnn
n n n
nn
x x x x x x
x x x x x x x x xD
x x x x x x x x x
2 1 3 1 1
2 2 1 3 3 1 1
2 2 2
2 2 1 3 3 1 1
1 1 1 1
0
0 ( ) ( ) ( )
0 ( ) ( ) ( )
n
nnn
n n n
nn
x x x x x x
x x x x x x x x xD
x x x x x x x x x
1()ixx?按第一列展开，并把每一列的共因子 提出，有
23
2 1 3 1 1
2 2 2
23
1 1 1
( ) ( ) ( )
n
nn
n n n
n
x x x
D x x x x x x
x x x
n-1阶范德蒙德行列式
22
1
( ),ij
n i j
aa
2 1 3 1 4 1 1( ) ( ) ( ) ( )nx x x x x x x x
3 2 4 2 2 2( ) ( ) ( )nnx x x x x x D
2 1 3 1 4 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n nD x x x x x x x x D
4 3 3 3( ) ( )nnx x x x D
2 1 3 1 4 1 1( ) ( ) ( ) ( )nx x x x x x x x
3 2 4 2 2( ) ( ) ( )nx x x x x x
4 3 3( ) ( )nx x x x
2 1 3 1 4 1 1( ) ( ) ( ) ( )nx x x x x x x x
3 2 4 2 2( ) ( ) ( )nx x x x x x
1()nnxx
).(
1 jjin i
xx
2
2
2
1 1 1
2 2 2
.3 3 3
n
n
n
n
D
n n n
解
21
21
21
1 1 1 1
1 2 2 2
!.1 3 3 3
1
n
n
n
n
Dn
n n n
每一行提取各行的公因子,于是得到例 5 计算上面等式右端行列式为 n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知
1
! ( )
n i j
n i j
nD?
! ( 2 1 ) ( 3 1 ) ( 4 1 ) ( 1 )nn
( 3 2 ) ( 4 2 ) ( 2 )n
[ ( 1 ) ]nn
! ( 1 ) ! ( 2 ) ! 2 ! 1 !,n n n
( 4 3 ) ( 3 )n
四、行列式按某 k行 (列 )展开（ Laplace定理）
定义 ( 1 1 ),kn
位于这些行和列交叉处的 个元素，按照原来的顺序2k
定义行标、列标,
在 阶行列式中,任意取定 行 (列 )n k
构成一个 阶行列式,称为 的一个 阶子式,M kDk
划去这 行 列，余下的元素按照原来的顺序k k
构成一个 阶行列式，称为 的 余子式,在其前面nk? M
1 2 1 2( 1 ) kki i i j j j,称为 的 代数余子式,M冠以符号
1 2 1 2,,,,,,,kki i i j j j分别为 阶子式在 中的其中 Dk
n 行列式 共有 个 阶子式,2knC k
例 6 求行列式
2 3 5 4
0 2 3 0
2 1 2 3
0 1 1 0
D?
24,Exp r rD
解 2 4 2 3( 1 )
( 1 ) ( 1 ) ( 2)2
定理 ( 1 1 ),kn在 阶行列式中,取定 行 (列 )n k
式的乘积之和等于行列式,
由这 行 (列 )组成的所有 阶子式与它们的代数余子k k
D
1 1 2 2 ttD M A M A M A即
24
23
23
11
例 7 求行列式
2 n
ab
ab
ab
D
cd
cd
cd
ab
cd
nab
cd
() na d b c
每次按第一、最后一行展开解
ab
cd?
ab
cdD?
42
31
kk
kk
例 8 求行列式
13
57
2
13
68
24
kk
D
kk
13
24
3
4( 2 )
k
每次按中间两行展开解
57
68
2
13
kk
kk
D?
42
31
kk
kk
五、小结余子式与代数余子式
ija
记作,
划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的 余子式,
在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列n i j
1n? ija
ijM
1 ijij ijAM,叫做元素 的 代数余子式,ija记关于代数余子式的重要性质
1
,,
0,;
n
k i k j ij
k
D i ja A D
ij
当当
1
,,
0,;
n
ik jk ij
k
D i ja A D
ij
当当 1,
0,.ij
ij
ij?
，当当六、思考题
n
n
D
n
001
0301
0021
321
求第一行各元素的代数余子式之和,
解
nAAA 11211
n?
001
0301
0021
1111
.11!
2
n
j j
n
第一行各元素的代数余子式之和为
