课前复习余子式与代数余子式
ija
记作,
划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的 余子式,
在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列n i j
1n? ija
ijM
1 ijij ijAM,叫做元素 的 代数余子式,ija记关于代数余子式的重要性质
1
,,
0,;
n
k i k j ij
k
D i ja A D
ij



当当
1
,,
0,;
n
ik jk ij
k
D i ja A D
ij



当当 1,
0,.ij
ij
ij?


，当当
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
n n n n n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b



设线性方程组若常数项 不全为零，则称此方程组12,,,nb b b
若常数项 全为零，则称此方程组为12,,,nb b b
1、非齐次与齐次线性方程组的概念一,Cramer法则为 非齐次线性方程组 ；
齐次线性方程组,
使得方程组成立的一组数 称为 此方12,,,nx x x
程组的解,
如果线性方程组
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
n n n n n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b



的系数行列式不等于零，即
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D

21
22221
11211
0?
2,Cramer法则定理那么线性方程组有解，并且解可以 唯一 表示为
312
1 2 3,,,,.
n
n
DDDDx x x x
D D D D
右端的常数项代替后所得到的 阶行列式,n
其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组iDiD
二、几个结论
1、线性方程组的相关定理定理定理的系数行列式必为零,
如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它方程组一定有解,且解是唯一的,
0D?如果线性方程组的系数行列式,则线性
2、齐次线性方程组的相关定理
0?D如果齐次线性方程组的系数行列式,则齐次线性方程组没有非零解,即当且仅当只有零解,
如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零,
定理定理如果齐次线性方程组恒有零解,定理
52
25D?
今有牛五羊二，直金十两，牛二羊五，直金八两，
问牛羊各直几金？
例 1
12
12
5 2 1 0,
2 5 8,
xx
xx


52
25D? 25 4 2 1 0,
1D 34,? 20,?
D
Dx 1
1
34,
21 D
Dx 2
2?
20.
21?
解,牛羊分别直 12,xx金，记
10
8
52
25D?2D
10
8
例 2 用 Cramer法则解方程组
1 2 1
1 2 1
1 2 1
1 2 1
2
22
( 1 ) 2
2
nn
nn
nn
nn
x x x x
x x x x
x n x x x
n x x x x




解易见
1 1 1 1
1 1 2 1
1 1 1 1
1 1 1
D
n
n
0?
1 1 1 1
1 1 2 1
1 1 1 1
1 1 1
D
n
n
()in?
0?
i
i
Dx
D?
所以，线性方程组的解 唯一
2D? n
n
Dx
D?
()in?
2?
0?
2
2
2
2
1
1
1
1
1 1 1 1
1 1 2 1
1 1 1 1
1 1 1
D
n
n
2
2
2
2
nD
iD
例 3 齐次方程组
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( 1 ) 2 4 0
2 ( 3 ) 0
( 1 ) 0
x x x
x x x
x x x



有非零解,问 取何值时？
解

111
132
421
D


101
112
431
1 3 ( 1 ) ( 1 ) 4
2 1 2 ( 1 ) 1
1 0 0




齐次方程组有非零解，则 0?D
所以 或 时齐次方程组有非零解,20,3?
1 ( 1 )( 3 )
1 2 1




2
10( 3 )
12
2( 3) ( 2 )
23 2 3
1 2 1




( 2 ) ( 3 )
1、用克拉默法则解方程组的两个条件
(1)方程个数等于未知量个数 ;
(2)系数行列式不等于零,
2,Cramer法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系,它主要适用于理论推导,
三、小结
3、如果线性方程组的系数行列式 则线性方程组一定有解,且解是唯一的,
,0?D
4、如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零,
证明
.的 非 零 解
0,0,0a x b y c b x c y a c x a y b
四、思考题证 明 平 面 上 三 条 不 同 的 直 线
0.a b c相 交 于 一 点 的 充 分 必 要 条 件 是
00(,),M x y必 要 性 设 所 给 三 条 直 线 交 于 一 点
0 0,,1x x y zy则 可 视 为 齐 次 线 性 方 程 组
0,
0,
0
a x b y c z
b x c y a z
c x a y b z



abc
b c a
c a b
从 而 有 系 数 行 列 式0.?
,
,
a x b y c
b x c y a
c x a y b



（ １ ）
,,,,a b c因 为 三 条 直 线 互 不 相 同 所 以 也 不 全 相 同
0,a b c充 分 性 如 果 将 方 程 组
3 3 33D a b c a b c
2 2 21 () ( ) ( ) ( )2 a b c a b b c c a
0.a b c故的 第 一,二 两 个 方 程 加 到 第 三 个 方 程,得
,
,
0 0,
a x b y c
b x c y a



（ ２ ）
.下 证 此 方 程 组 （ ２ ） 有 唯 一 解
2 22( ) 2[ ( ) ]b a c a c a cac ac由 得,
2200ab a c a cbb
bc如 果,则,
22( ) 0 0,a c a cac于 是,从 而 有