11 12 13 1
21 22 23 3
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n
m m m m n
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a





1、某班级同学早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况,
姓名 馒头 包子 鸡蛋 稀饭周星驰 4 2 2 1
张曼玉 0 0 0 0
陈水扁 4 9 8 6
4 2 2 1
0 0 0 0
4 9 8 6




为了方便，常用下面的数表表示一、矩阵的引入
2、某航空公司在 Ａ，Ｂ，Ｃ，
Ｄ 四城市之间的航线图其中 √ 表示有航班,
为了便于计算,把表中的 √ 改成１,空白地方填上０,就得到一个数表,
新乡伊朗天水上海这个数表反映了四城市间交通联接情况,
为了方便，常用下面的数表表示
0 1 1
11
1 1
1
0
0
0 0
0
0 00
天水伊朗新乡上海发站天水 伊朗 新乡 上海到站
0 1 1 0
1 0 1 0
1 0 0 1
0 1 0 0




11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b



3、线性方程组的解取决于,1,2,,( ),ija i j n m?系数
1,2,,ib i m?常数项
11 12 1 1
21 22 2 2
12
n
n
m m m n m
a a a b
a a a b
a a a b




线性方程组的系数与常数项按原位置可排为对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究,
二、矩阵的定义定义
()ij m nAa
）排成的 行 列的矩形数表，称为数域m n
由数域 中的 个数 （nm? ijaF 1,2,,;im?
1,2,,jn?
记作：
11 12 1
21 22 2
11
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a




mnA? ()ija
元素行标列标
ija 称为矩阵 的 元,A (,)ij
中的一个 矩阵,mn?F
元素是实数的矩阵称为 实矩阵,
元素是复数的矩阵称为 复矩阵,
注,１、
只有一行的矩阵称为 行矩阵,
只有一列的矩阵称为 列矩阵,
２、
３,行数与列数相等的矩阵称为 ｎ阶方阵,
４、
若,且,( ),( )ij m n ij s tA a B b,m s n t
称 两矩阵同型,
５、
称为 方阵的行列式,A
若,且,( ),( )ij m n ij m nA a B bij ijab?
称 两矩阵相等,
６、
例如

3469
5301 实矩阵42?
13 6 2
2 2 2
2 2 2
i



4
2
1
9532
矩阵（行矩阵）41?
4
矩阵（１阶方阵）11?
矩阵13?
（列矩阵）
33?
复矩阵
３阶方阵
12
11
21





01
23
22





两矩阵同型
1 1 3
2 0 2


1 1 3
2 0 2


两矩阵相等三、几种特殊的矩阵
１,零矩阵
mn? 个 元素全为零的矩阵称为 零矩阵,
注意 不同的零矩阵未必相等的,
记作 或,OmnO?
２,对角矩阵主对角线以外的所有 元素全为零的方阵称为 对角阵,


n

00
00
00
2
1
O
O
不全为 0
记作12,.,,nd ia g
３,单位矩阵主对角线上的所有 元素全为 1的对角阵称为 单位阵,
1 0 0
0 1 0
0 0 1





O
O
全为 1
记作,E
4,数量矩阵
00
00
00



O
O
记作,E?
主对角线上的所有 元素全为 的对角阵称为 数量阵,?
全为?
5,三角矩阵形如形如
11 12 1
22 2
n
n
nn
a a a
aa
a




11
21 22
12n n n n
a
aa
a a a




的矩阵称为上三角矩阵,
的矩阵称为下三角矩阵,
上三角矩阵与下三角矩阵统称为 三角阵,
记作.tria A
6,负矩阵称满足下列两个条件的矩阵为 行 阶梯形矩阵,
1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；
若
1 1 1
1
n
m m n
aa
A
aa




，则称
1 1 1
1
n
m m n
aa
aa




为 的 负矩阵,A 记作,A?
7,行 阶梯形矩阵
2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右,


40000
31000
23200
10010
1 2 3 1
0 0 1 4
0 0 0 2
0 0 0 0






0 1 2 1
0 0 0 5
0 0 0 0




2 1 2 1
0 1 1 1
0 0 1 2
0 0 0 5






如
0 0 0 0 1
00000
00000




a
称满足下列三个条件的矩阵为 行最简形矩阵,
1）行阶梯形矩阵
8,行最简形矩阵
2）各非零行的首非零元均为 1.
3）首非零元所在列其它元素均为０,
0 1 2 0
0 0 0 1
0 0 0 0




1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1






如 0 0 0 0 1
00000
00000




称满足下列两个条件的矩阵为 标准形,
1）左上角为单位阵；
９,标准形
２）其它元素均为０,1 0 0 0
0 1 0 0
0000




1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1






如
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0




1 0 0
0 1 0
0 0 1
000






1 0 0 0
0000
0000




EO
OO


之间的关系式



.
,
,
2211
22221212
12121111
nmnmmm
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay

一个 线性变换,
四、矩阵与线性变换的关系
1 2 1 2,,,,,,nmn x x x m y y y个变量 与 个变量
1 2 1 2,,,,,,nmx x x y y y表示一个从变量 到变量
ija其中 为常数,



.
,
,
2211
22221212
12121111
nmnmmm
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay

mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A

11
22221
11211

线性变换的系数构成的矩阵称为 系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系,
若线性变换为
nn
xy
xy
xy

,
,
22
11
称之为 恒等变换,
nn
xy
xy
xy

,
,
22
11
对应


100
010
001

单位阵,
线性变换
1 1 2
2 1 2
3 2.5,
2.5 2,
y x x
y x x


对应3 2,5
2,5 2


线性变换



.c oss i n
,s i nc os
1
1
yxy
yxx

对应?




c o ss i n
s i nc o s
X
Y
O?
yxP,
111,yxP
这是一个以原点为中心旋转 角的 旋转变换,?
( c o s,s in )P r r
1 ( c os( ),sin ( ) )P r r
(1)矩阵的概念五、小结
(2) 特殊矩阵
方阵;nm?
行矩阵与列矩阵；
单位矩阵；
对角矩阵 ；
零矩阵,
.
100
010
001



,
2
1


n
a
a
a
B
,,,,21 naaaA


n

00
00
00
2
1


0000
0000
0000
0000
2 0 5 0
0 10 7 0
3 0 5 5
0 5 0 1






矩阵与行列式的有何区别?
思考题矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，
而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同,
解答