课前复习矩阵运算
加法数乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵伴随矩阵方阵的行列式共轭矩阵矩阵的幂线性运算 AB BA?
A M A N? MN
AB O?,.A O o r B O
对称矩阵 反对称矩阵
.EAAAAA
乘法运算中的１，
11 1,a a a a
在数的运算中，当数 α ≠ ０ 时，
1 1a
a
则 称为 的倒数,a
个矩阵,1A?
在矩阵的运算中，
11,A A A A E
一、背景
1、数
2、矩阵则矩阵 Ａ 称为的 可逆矩阵,
a（或称为 的逆 ）；
有单位阵 Ｅ 相当于数的那么，对于矩阵 Ａ,如果存在 一有
1A? A称为 的逆阵,
3、线性变换
1 1 1 1 1 2 2 1
2 2 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
n n n nn n
y a x a x a x
y a x a x a x
y a x a x a x
它的系数矩阵是一个ｎ阶矩阵,若记
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
12
,,
n
n
n n n n n n
a a a x y
a a a x y
A X Y
a a a x y
.Y AX?则上述线性变换可表示为按 Cramer法则，若,0A? 则由上述线性变换可
11 12 1 1
21 22 2 2
12
1
n
n
i
n n n n n
a a y a
a a y a
x
A
a a y a
解出
1 1 2 21i i i n i nx A y A y A yA
在按第 列展开得i
即 1212i i niinA A Ax y y yA A A
则 可用 线性表示为12,,,nx x x12,,,ny y y
1 1 1 1 1 2 2 1
2 2 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
n n n nn n
x b y b y b y
x b y b y b y
x b y b y b y
若令,jiij
A
b A?
易知这个表达式是唯一的,
12,,,nx x x12,,,ny y y这是从 到 的线性变换，称为原 线性变换的逆变换,
若把此逆变换的系数记 作,B 则此逆变换也可以记作
X BY?
( ) ( )Y A X A B Y A B Y
AB 为恒等变换所对应的矩阵，故 AB E?
( ) ( )X B Y B A X B A X
因此 BA E?
于是有 A B B A E
由此，可得可见又例
11
11 22
,,
1 1 1 1
22
AB
,A B B A E
,A B B A E使得的逆矩阵记作 1.A?A
二、逆矩阵的概念和性质
1,定义对于 阶矩阵,如果有一个 阶矩阵,n A Bn
A则称矩阵 是 可逆 的，
B? A是 的逆矩阵,
B A并把矩阵 称为 的 逆矩阵,
若设 和 是 可逆矩阵，B C A 则有
,,A B B A E A C C A E
B
所以 的逆矩阵是唯一的,即A 1,B C A
说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是 唯一 的,A A
证明于是例 1
21
10A
设,求 的逆,A
解
abB
cd
设则
A B B A E
21
10
ab
cd
B
0 1?
1 2
()CA B? ()C AB? CE? C?EB?
22a c b d
ab
10
01
证明
0.A
1,A A E，使得
1 1,A A E两边求行列式，有定理 1 若矩阵 可逆，则 0.A?A
1A?A若矩阵 可逆，则 即有定理 2 矩阵 可逆的充要条件是,且A 0A?
1 1,AA
A
AA?其中 为矩阵 的伴随矩阵,
证明 因为矩阵与其伴随矩阵有 **AA A A A E
，故有
11A A A A E
AA
0A?又因为所以，按逆矩阵的定义，即有 1 1,AAA
当 时,称为 奇异矩阵 ；0A? A
证明推论 A B E?若 1BABA E?或,则
B? 1.A
0A?当 时,称为 非 奇异矩阵,A
2、奇异矩阵与非奇异矩阵
1A B E易知 1A0A
于是 EB? 1()A A B? 1 ()A A B 1AE
AB E?只证 时，
3、运算规律 （设 均是 阶可逆方阵）AB n
1A 11,A1）若 11,AA且
1 1 1 1 1 1A B B A A B B A A E A A A E证明
1 11,A B B A由推论，即有
1,A1,0A2）若 1 11,AA且
1,AB
1 11,ABA B且
11,AB3）若,且 同阶，,AB
推广 1 1 1 12211,nn AA A AAA
11TTTA A A ATEE
1 1,TTAA
证明
1,TA1A4）若1 1,TTAA且
1A A E 1 1,AA 11,AA
11AA1A5）若
1,A6）若证明
1,A1 1,AAA A且证明? 1A A A
1 AA
A
11 1 1 AA A A A而
1 1AA
A
因为
11 1A A A所以
1 1,AAA A
为整数）,,k（其中
7）其它的一些公式
1nAA
AA A A A E
2nA A A
1,A A A
1A A A
A B B A
0AE1 kkAA
A A AAA
8）一些规定
1 1 1nnk A k A A k A
四、应用例 2
11
22
,,0
i
nn
aa
aa
A B a
aa
求下列矩阵的逆，其中解 1）
1
1
1
1 2
1
n
a
a
A
a
依对角矩阵的性质知：
0iAa 1
1
2
1
1
1
n
a
a
a
依矩阵的逆的定义，必有 1
1
1
2
1
1
n
a
B
a
a
易知：
1210nn iBa1B解 2）
11B B B B E
11a?
12a?
1na?
即
1 24 4 1 6TE A E A E A计算其中例３ 的行列式,
1 0 0
1 2 0,
3 0 2
A
解1 24 4 1 6TE A E A E A
14 4 4 4TE A E A E A E A
44 TE A E E AE44 TE A E A
24 EA
2
5 0 0
1 2 0
3 0 6
26 0 3 6 0 0
例４
300
1 1 0,
114
A
求解 2,A X A X
设 且满足 2,A X A X.X
有2 E X A
1 0 0
2 1 1 0
1 1 2
AE
而 2 2 0AE
12AE
1
2 0 0
1
2 2 2 0
2
2 1 1
AE
12,X A E A 2 0 0 3 0 0
1
2 2 0 1 1 0
2
2 1 1 1 1 4
3 0 0
2 1 0
2 1 2
1A X B X A B 1X A B X B A 11A B C X A C B
33,A?设求例 5
13 2,AA
AA?其中 为矩阵 的伴随矩阵,12A?
解 132AA
1 1 132A A A 1
2
3 A
1 11AA1B B B nBB
3
12
3 A
16
27
例 6 解矩阵方程
1 4 2 0 3 1
1 2 1 1 0 1X
解
111 4 3 1 2 0
1 2 0 1 1 1
X
2 4 3 1 1 01
12 1 1 0 1 1 2
6 6 1 01
12 3 0 1 2
11
1
0
4
0,kA?设例 7 证明 1 21,kE A E A A A
方法三 0kA?
2 2 1 1k k kE E A A A A A A A
2 2 1 1k k kE A A A A A A A
21 kE A E A A A
21 kE A E E A A E A A E A A
1 21,kE A E A A A
方法一 kE A E21 kE A E A A A
1 21,kE A E A A A
方法二 0kA?
kE E A21 kE A E A A A
1 21,kE A E A A A
A所以 可逆,
0,A2AEAE 12
AEA
1A?
2 20A A E由 2A A E E，得例 8
,2A A E?可逆，并求它们的逆矩阵,
2 3 4 0A E A E E
1 1,2A A E
2 20A A E由设方阵 A 满足方程,证明2 20A A E
123 4A E A E E
12AE
12 3 14A E A E
证明
2AE?所以 可逆, 1 32,4EAAE
2 0,AE
逆矩阵的概念及运算性质,
逆矩阵的计算方法
1 AA
A
利 用 公 式
0.A?逆矩阵 存在1A
五、小结定义法初等变换法（后面介绍）
