课前复习
１、定义 ｎ个数 组成的有序数组12,,,na a a
12 na a a
称为一个 ｎ维向量,其中 称为第 个 分量 （ 坐标 ）,ia i
.,TT记作ｎ维向量写成一行称为 行向量,
记作,,ｎ维向量写成一列称为 列向量,
２、几种特殊向量实向量,复向量，零向量，单位向量，向量同型，
向量相等,
注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清,
３、矩阵与向量的关系若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做 向量组,
５、向量组
,;i f V V V
６、向量空间设 Ｖ 为ｎ维非空向量组，且满足
① 对加法封闭
② 对数乘封闭那么就称集合 Ｖ 为 向量空间,
,.i f V R V
４、向量的运算向量的运算与采用矩阵的运算规律,
一、向量的线性相关性
1、基本概念
12:,,,rA定义 Ⅰ 给定向量组,对于任何一组数
12,rk k k，,,称向量 1 1 2 2 rrk k k为向量组的一个 线性组合 （ Linear Combination）,
12,rk k k，,为组合的 组合系数 （ Combination Coefficient）,
12:,,,rA定义 Ⅱ 设向量组 及向量 β 有关系
1 1 2 2 rrk k k
则 β 称为向量组的一个 线性组合,或称 β 可由向量组 Ａ
线性 表示 （ Linear Expression）,
12,rk k k，,称为 β在该 线 性组合下的组合系数,
① 若 α ＝ kβ,则称向量 α 与 β 成比例,
② 零向量 Ｏ 是任一向量组的线性组合．
④ 任一ｎ维向量12 na a a
1 1 0 0,2 0 1 0,,
0 0 1n,
都是 基本向量组的一个线性组合,1 1 2 2,nna a a
⑤ 向量 β 可由 12:,,,mA线性表示，
1
2
12 m
m
x
x
x







即方程组事实上，有
③ 向量组中每一向量都可由该向量组线性表示．
有解,
定义 Ⅲ 设两向量组 1 2 1 2:,,,:,,,.rsAB，
若向量组 Ａ 中每一个向量皆可由向量组 Ｂ 线性表示，
则称 向量组 Ａ 可以由向量组 Ｂ 线性表示,
若两个向量组可以互相线性表示，则称这 两向量组等价,
向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性,
12:,,,rA定义 Ⅳ 设ｎ维向量组为零的数 12,rk k k，,,使得 1 1 2 2 rrk k k 0,
则称向量组
，如果存在不全
12:,,,rA线性相关 （ Linear Dependent）,
反之，若当且仅当 12 0rk k k==,才有
1 1 2 2 rrk k k 0,则称向量组 12:,,,rA
线性无关 （ Linear Independent）,
即存在矩阵,.s r r s s rK A B K
② 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量．
③ 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量．
④ 一向量组中存在一个 Ｏ 向量，则一定线性相关,
⑤ 一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组都线性无关．
① 对于一个向量组，不是线性相关就是线性无关．
⑧ 几何上：两向量线性相关?两向量共线；
⑥ 两向量线性相关?两向量对应成比例三向量线性相关?三向量共面,
⑦ 两向量线性无关?两向量不对应成比例二、线性相关性的判断准则定理 向量组线性无关?齐次线性方程组只有零解；
定理 向量组线性相关?齐次线性方程组有非零解,
推论 ｎ个ｎ维向量线性相关?,0ija?
推论 ｎ个ｎ维向量线性无关?,0ija?
向量组线性无关?任何一个向量都不能由其向量线性表示．
定理向量组线性相关?至少有一个向量可由其余向量线性表示．
定理证 1:,,,,irif A11 0i i r rk k k
∵ Ａ 线性相关,0ik?
1 1 1 1 1 1i i i i r r i ik k k k k
111
1 1 1
ii r
i i i r
i i i i
kkkk
k k k k

得证至少有一个系数不为零，不妨设定理 如果向量组线性相关，则 α 可由 Ａ 唯一 线性 表示,
12,,,rA
12:,,,,rB
线性无关，而向量组证 1 1 2 2 0rrk k k k设
∵ Ａ 线性无关,而向量组 Ｂ 线性相关，
∴ ｋ ≠ ０，（ 否则与 Ａ 线性无关 矛盾）
1 1 2 2 rrk k k k
12
12
r
r
k k k
k k k∴ α 可由 Ａ 线性 表示,
下证 唯一性,
1 1 2 2 ;rr1 1 2 2 rr
两式相减有1 1 1 2 2 2 0r r r
∵ Ａ 线性无关,1 1 2 20,0,0rr
1 1 2 2,,rr即表达式唯一,
即有设定理 设向量组 12,,,rA,1 2 1,,,,rrB
若 Ａ 线性相关,则向量组 Ｂ 也线性相关；反之，若向量组 Ｂ 线性无关，则向量组 Ａ 也线性无关,
1 2 1,Ti i i m i m ia a a a
定理 设向量组
( 1,2,,)in12 Ti i i m ia a a
若 Ａ 线性无关，则向量组 Ｂ 也线性无关；反之，若向量组 Ｂ 线性相关，则向量组 Ａ 也线性相关,
12,,,,nA,12,,,.nB,其中
( 1,2,,)in?
注意,以上两个定理完全不同，千万不要混淆，第一个定理中是向量的 个数 变，在方程组中体现在 未知数的个数变；第二个定理中是向量的 维数 变，在方程组中体现在 方程 的个数变,
1、设向量组1 3 0,Tk2 1 2,Tk
3 0 2 1 Τ线性相关，则 ｋ,
2、设向量组1 0,T ac2 0,T bc
3 0T ab 线性无关，则,,a b c 必满足,
三、应用举例则（ ）
A,必可由 线性表示；1? 2 1 2,,
B,必可由 线性表示；2? 1 2 1,,
C,必可由 线性表示；2? 1 1 2,,
D,必不可由 线性表示,1? 1 2 2,,
3、若向量组 1 2 1,,线性无关,1 2 2,,线性相关，
3,,1k o r k
0abc?
B