课前复习
１、内积 1 1 2 2,T nna b a b a b,
２、长度 2 2 212,na a a
３、夹角
,c os,
,ar c c os,0,
４、正交,0
５、施密特（ Schmidt）正交化法
６,正交矩阵 和正交变换
1,TTA A E A A即y Px? 其中 Ｐ 为正交矩阵．
正交变换的优良特性：
内积不变夹角不变长度不变一、特征值与特征向量的概念定义 Ａ 为ｎ阶方阵,λ 为数,? 为ｎ维非零向量，
A若则 λ 称为 Ａ 的 特征值,? 称为 Ａ 的 特征向量,
（１）
注
② 并不一定唯一；,
③ ｎ阶方阵 Ａ 的特征值，就是使齐次线性方程组
① 特征向量,特征值问题只针对与方阵；0
0E A x有非零解的 λ 值，即满足的 λ 都是 方阵 Ａ 的特征值．
0EA
定义 0EA称以 λ 为未知数的一元ｎ次方程为 Ａ 的 特征方程,
f E A定义 称以 λ 为变量的一元ｎ次多项式为 Ａ 的 特征多项式,
1 2 11 22( 2 ) ;n n na a a
12( 1 ) ;n A
定理 设ｎ阶方阵 的特征值为ijAa? 12,,,n
则证明① 当 是 Ａ 的特征值时,Ａ 的特征多项12,,,n
式可分解为f E A12 n
11 2 1 21 nnn nn
令 0, 得 A 121 n n
即 12,n A
证明 ② 因为行列式它的展开式中，主对角线上元素的乘积
1 1 2 2 nna a a
EA
是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至多含ｎ－２个主对角线上的元素，
含 的项只能在主对角线上元素的乘积项中,1nn与
11 1 2 2nn nnE A a a a故有比较①，有 1 2 11 22,n nna a a
11 12 1
21 22 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
a a a
因此，特征多项式中定义 方阵 Ａ 的主对角线上的元素之和称为方阵 Ａ 的 迹,
记为,ii itr A a
二、特征值和特征向量的性质推论１ ｎ阶方阵 Ａ 可逆?Ａ 的ｎ个特征值全不为零,
若数 λ 为可逆阵的 Ａ 的特征值，
则 为 的特征值．推论２ 1 1A?
则 为 的特征值．推论３ k? kA
则 为 的特征值．推论４ 1A A?
则 为 的特征值．推论５ m? mA
特别 单位阵 Ｅ 的一个 特征值为１．
三、应用举例
１、若 λ ＝２为可逆阵 Ａ 的特征值，则
1
21
3 A
的一个特征值为（ ）
２、证ｎ阶方阵 Ａ 的满足,则 Ａ 的特征值为2AA?
０或１．
３、三阶方阵 Ａ 的三个特征值为１、２、０，则
2 1 1
0 2 0
4 1 3
A
（ ） 3 1 1
7 5 1
6 6 2
B
223EA
４、求下列方阵的特征值与特征向量四、特征向量的性质定理 互异特征值对应的特征向量线性无关。
定理 互异特征值对应的各自线性无关的特征向量并在一块，所得的向量组仍然 线性无关。
定理 若ｎ阶矩阵 Ａ 的任 重 特征值 对应的线性无it i?
it关的特征 向量 的个数不超过,
