１,非齐次线性方程组
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
若记
（ 1）
一、非齐次线性方程组解的性质
11 12 1
21 22 2
12
,
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
1
2
,
n
x
x
x
x
则上述方程组（ 1）可写成向量方程,Ax b?
1
2
m
b
b
b
b
（ 2）若 为 的解，x 0?Ax x Ax b?为 的解，
1 1 2 2,nnx x x b又可记非齐次方程组不一定有解，若有解，则称方程组 相
２、非齐次线性方程组解的性质
（ 1）若 为 的解，则1 1 2 2,xxAx b? 12x
是其导出组 的解,0?Ax
（２）
容,若无解，则称方程组 不 相容,
与非齐次方程组称为该 非齐次方程组的 导出组,
Ax b? 0Ax?
也是 的解．x Ax b?则也是 的解．Ax b?
（ 3）若 12,,,s都为 的解,则 12 ssAx b?
对应的齐次方程组其中 为其导出组的通解，1 1 2 2 n r n rk k k
３、非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组 的通解为Ax b?
1 1 2 2,n r n rx k k k
为非齐次线性方程组的任意一个特解,
４、非齐次线性方程组有解的几个等价命题
1 2 1 2,,,,,,,nnR R b
线性方程组 有解，则以下命题等价：bAx?
12,,,n向量 ｂ 可由向量组 线性表示,
12,,,n向量组 等价,与向量组 12,,,,n b
设ｎ元非齐次线性方程组的系数矩阵为 Ａ,增广
R A R B n１）线性方程组 有唯一解bAx?
定理矩阵 为 Ｂ,则
R A R B n２）线性方程组 有无穷解bAx?
R A R B３）线性方程组 无解bAx?
12:,,,,nA推论 设 12:,,,,nBb
由向量组 Ａ 线性表示，但 表达式不 唯一 ；
时，向量 ｂ 可由向量组 Ａ 线性R A R B n当表示，且表达式 唯一 ；
时，向量 ｂ 不 可 由向量组 Ａ 线性表示,
R A R B n时，向量 ｂ 可当
R A R B?当例１ 求解下列非齐次线性方程组二、应用举例
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
1 2 4
2 2 1
2 4 8 2
2 4 2 3 3
3 6 6 4
x x x x
x x x
x x x x
x x x
1 2 2 1 1
2 4 8 0 2
2 4 2 3 3
3 6 0 6 4
B
解 方程组的增广矩阵为
1 2 2 1 1
0 0 2 1 0
~
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
( ) ( ),R A R B?所以线性方程组无解,
3 4,R A R B因 所以线性方程组有无穷多解,
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
22
24
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
例２ 求解下列非齐次线性方程组解 方程组的增广矩阵为
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
B
1 0 1 0 4
0 1 1 0 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
13
23
33
4
4
3
3
xx
xx
xx
x
1
2
3
4
x
x
x
x
x
即
14
13
10
03
c
其中ｃ为任意常数,
例３ 向量组
1 2,
10
a
2
2
1,
5
3
1
1,
4
1
,b
c
试问，当,,a b c 满足什么条件时线性表示，且表达式唯一？（１） ｂ 可由 1 2 3,,
线性表示，且表达式不唯一？（２） ｂ 可由 1 2 3,,
线性表示？（３） ｂ 不能由 1 2 3,,
解1 2 3B
40a 线性表示，且表达式唯一,时,ｂ 可由 1 2 3,,
线性表示,
时,ｂ 不能由 1 2 3,,
2 1 1
2 1 1
10 5 4
a
b
c
2 1 1
2 1 0 1
4 1 0 3 0 4
a
ab
ac
2 1 1
2 1 0 1
4 0 0 3 1
a
ab
a c b
当
40a当 3 1 0cb且 时,ｂ 可由 1 2 3,,线性表示，
但表达式不唯一；
40a当 3 1 0cb且四、小结设ｎ元非齐次线性方程组的系数矩阵为 Ａ,增广
R A R B n
１）线性方程组 有唯一解bAx?
矩阵 为 Ｂ,则
R A R B n
２）线性方程组 有无穷解bAx?
R A R B
３）线性方程组 无解bAx?
1 1 2 2 n r n rx k k k
