一、ｎ维向量
１、定义 ｎ个数 组成的有序数组12,,,na a a
12 na a a
称为一个 ｎ维向量,其中 称为第 个 分量 （ 坐标 ）,ia i
.,TT记作ｎ维向量写成一行称为 行向量,
记作,,ｎ维向量写成一列称为 列向量,
２、几种特殊向量实向量,复向量，零向量，单位向量，向量同型，
向量相等,
注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清,
３、矩阵与向量的关系若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做 向量组,
５、向量组
,;i f V V V
６、向量空间设 Ｖ 为ｎ维非空向量组，且满足
① 对加法封闭
② 对数乘封闭那么就称集合 Ｖ 为 向量空间,
,.if V R V
４、向量的运算向量的运算与采用矩阵的运算规律,
二、向量的线性相关性
1、基本概念
12:,,,rA定义 Ⅰ 给定向量组,对于任何一组数
12,rk k k，,,称向量 1 1 2 2 rrk k k为向量组的一个 线性组合 （ Linear Combination）,
12,rk k k，,为组合的 组合系数 （ Combination Coefficient）,
12:,,,rA定义 Ⅱ 设向量组 及向量 β 有关系
1 1 2 2 rrk k k
则 β 称为向量组的一个 线性组合,或称 β 可由向量组 Ａ
线性 表示 （ Linear Expression）,
12,rk k k，,称为 β在该 线 性组合下的组合系数,
定义 Ⅲ 设两向量组 1 2 1 2:,,,:,,,.rsAB，
若向量组 Ａ 中每一个向量皆可由向量组 Ｂ 线性表示，
则称 向量组 Ａ 可以由向量组 Ｂ 线性表示,
若两个向量组可以互相线性表示，则称这 两向量组等价,
向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性,
12:,,,rA定义 Ⅳ 设ｎ维向量组为零的数 12,rk k k，,,使得 1 1 2 2 rrk k k 0,
则称向量组
，如果存在不全
12:,,,rA线性相关 （ Linear Dependent）,
反之，若当且仅当 12 0rk k k==,才有
1 1 2 2 rrk k k 0,则称向量组 12:,,,rA
线性无关 （ Linear Independent）,
即存在矩阵,.s r r s s rK A B K
三、向量组的秩
１、极大线性无关组
② 线性相关, 121,,,,,i i i rjs
若满足：
设 是一个向量组，它的某一个部分组12,,,s
0 1 2:,,,i i irA
２、向量组的秩向量组的极大无关组所含向量个数称为 向量组的秩,
记作,Ｒ (Ａ ) 或12 sR
① 线性无关；0 1 2:,,,i i irA
则称 为 Ａ 的一个 极大线性无关组,0 1 2:,,,i i irA
３、向量组的秩与矩阵的秩的关系定义 矩阵
11 12 1
21 22 2
11
,
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
Ａ 的列向量组的秩称为列秩，记为：
Ａ 的行向量组的秩称为 行 秩，记为,.rA
.cA
定理11 TTm n n mR A c r
结论 mnin A?
①,则 所在行（列）向量组线性无关,rD0rD
②,则 Ａ 的任 ｒ 行（列）向量组线性相关,0rD
③,且含有 的,则,0rD rD 1 0rDR A r?
定理有相同的 线性关系,
相同的 线性关系 是指：
已知ｎ维列向量组 12,,,,s12,s nsA
若对 Ａ 施行初等行变换把 Ａ 化为12,s nsB 则向量组
1 2 1 2,,,,,,ppi i i i i i与121 pi i i s
①
1 2 1 2,,,,,,.ppi i i i i iRR
12,,,pi i i线性表示，且表达式的系数对应相同,
② 12,,,pi i i i可 以 由线性表示，对应的 i? 可 以 由
③ 1 2 1 2,,,,,,ss与极大无关组相对应,
四、向量空间定义
② 线性相关,12,,,,,j j iV
若满足：
设 Ｖ 是一个向量空间，它的某ｒ个向量
12,,,r
Ｖ 中的任一向量均可以表示成 基向量 所的线性组合，
记作,dimＶ,
① 线性无关；12,,,r
则称 为 Ｖ 的一个 基,ｒ称为 Ｖ 的 维数,12,,,r
且表达式唯一，其组合系数 称为 向量在该基下的坐标,
12,,,r设 为ｎ维向量组，下面命题等价
① 12,,,r线性无关,
1 1 2 2 0rrk k k② 满足 的数当且仅当全为零,
③ 2 2 21 2 1 1 2 20 0,r r rk k k k k k都 有
( 1 )i ir④ 都不可由其余向量线性表示,
12,,,.rRr⑤
12,,,r⑥ 向量组 的极大线性无关组是其本身,
⑦ 设12,rA 则矩阵 Ａ 的秩为ｒ,
⑧ 向量方程 只有零解,1 1 2 2 0rrx x x
⑨ 设12,rA 则方程 Ａ ｘ＝０只有零解,
⑩ 12,,,r不线性相关,
12,,,r设 为ｎ维向量组，下面命题等价
① 12,,,r线性相关,
1 1 2 2 0rrk k k② 满足 的数至少有组不为零,
③ 2 2 21 2 1 1 2 20 0,r r rk k k k k k使 得
( 1 )i ir④ 可由其余向量线性表示,
12,,,.rRr⑤
12,,,r⑥ 向量组 的极大线性无关组是真子集,
⑦ 设12,rA 矩阵 Ａ 的秩小于ｒ,
⑧ 向量方程 有非零解,1 1 2 2 0rrx x x
⑨ 设12,rA 则方程 Ａ ｘ＝０有非零解,
⑩ 12,,,r不线性无关,
12,,,,r设 为ｎ维向量组，下面命题等价
① 12,,,r可 由 线性表示,
④ 非奇次线性方程 Ａ ｘ＝ β 有解,
1 2 1 2,,,,,,,.rrRR③
12,,,r⑤ 向量组 的极大线性无关组也是
② 向量方程 有解,1 1 2 2 rrx x x
12,,,,r的极大线性无关组,
向量组 Ａ 可由 Ｂ 线性表示，则
② 若ｒ＞ｓ，则 Ａ 线性相关,
③ Ａ 线性无关,则 ｒ ≤ ｓ,
④ Ｒ (Ａ ) ≤ Ｒ (Ｂ ),
⑤ 等价向量组必有同秩．（反之则不然）
① 存在矩阵,.s r r s s rK A B K
定理 如果向量组线性相关，则 β 可由 Ａ 唯一线性表示,
12,,,rA
12,,,,r
线性无关，而向量组定理 设向量组 12,,,rA,1 2 1,,,,rrB
若 Ａ 线性相关,则向量组 Ｂ 也线性相关；反之，若向量组 Ｂ 线性无关，则向量组 Ａ 也线性无关,
1 2 1,Ti i i m i m ia a a a
定理 设向量组
( 1,2,,)in12 Ti i i m ia a a
若 Ａ 线性无关，则向量组 Ｂ 也线性无关；反之，若向量组 Ｂ 线性相关，则向量组 Ａ 也线性相关,
12,,,,nA,12,,,.nB,其中
( 1,2,,)in?
