一、定义定义 设 Ａ,Ｂ 都是ｎ阶矩阵，若有可逆矩阵 Ｐ，
使得 1,P A P B则称 Ｂ 是 Ａ 的 相似矩阵,或者说 矩阵
Ａ 与 Ｂ 相似,
称为对 Ａ 进 行 相似变换,1,P AP?对 Ａ 进行运算可逆矩阵 Ｐ 称为把 Ａ 变成 Ｂ 的 相似 变换矩阵,
记作,Ａ ∽ Ｂ,
二、性质
（ 1） 反身性：
（ 2） 对称性：
（ 3） 传递性：
Ａ ∽ Ａ ；
Ａ ∽ Ｂ,则 Ｂ ∽ Ａ ；
Ａ ∽ Ｂ,Ｂ ∽ Ｃ,则 Ａ ∽ Ｃ ；
（ 4） Ａ ∽ Ｂ,则R A R B=
（ 5） Ａ ∽ Ｂ,则 AB?
（ 6） Ａ ∽ Ｂ,且 Ａ 可逆，则 11AB∽
定理 若ｎ阶矩阵 Ａ 与 Ｂ 相似，则 Ａ 与 Ｂ 有相同的特征多项式，从而 Ａ 与 Ｂ 有相同的特征值．
推论 若ｎ阶矩阵 Ａ 与对角矩阵
1
2
12
(,,,)
n
n
diag
相似,12,,,n就是 Ａ 的ｎ个特征值．则
1,kKA P P
1( ) ( ),A P P
而对对角阵? 有则若有可逆 矩阵 Ｐ 使
（ 8） Ａ ∽ Ｂ,则 Ａ 的多项式特别
AB∽
1,P A P 11
22
()
()
,( ),
()
k
k
k
k
nn
这样可以方便地计算 Ａ 的多项式 ( ).A?
（ 7） Ａ ∽ Ｂ,则 mmAB∽
若能寻得相似变换矩阵 Ｐ 使
1P A P
对ｎ阶方阵 Ａ,
称 之为 把方阵 Ａ 对角化,
三、相似对角化定理的推论说明,如果ｎ阶矩阵 Ａ 与对角矩阵 Λ相似，
那么，使得 1P A P的矩阵 Ｐ 又是怎样构成的呢？
则 Λ的主对角线上的元素就是 Ａ 的全部特征值．
设存在 Ｐ 可逆,1P A P使得
12,,,,nP p p p?若
A P P
有
1
2
1 2 1 2
,,,,,,
nn
n
A p p p p p p
1 1 2 2,,,nnp p p
于是有 ( 1,2,,),i i iA p p i n因为 Ｐ 可逆,故
0 ( 1,2,),ip i n于是 12,,,np p p是 Ａ 的ｎ个线性 无关的特征向量。
反之，
即 ( 1,2,,),i i iA p p i n设 12(,,,),nP p p p?
可逆，且则 Ｐ
12,,,np p p若 Ａ 有ｎ个线性无关的特征向量
1 2 1 1 2 2(,,,) (,,,)n n nAP Ap Ap Ap p p p
1
2
12
(,,,),
n
n
p p p P
所以 1,P A P即 Ａ 与对角矩阵 Λ相似．
定理 ｎ阶矩阵 Ａ 能与对角矩阵 Λ 相似
Ａ 有ｎ阶线性无关的特征向量．
推论 如果ｎ阶矩阵 Ａ 有ｎ个不同的特征值，则矩阵 Ａ
注意 Ｐ 中的列向量 12,,,np p p的排列顺序要与
12,,,n的顺序一致．
（ 1）
可相似对角化．
（ 2） 是ip ( ) 0A E x的基础解系中的解 向量，因
ip 的取法不是唯一的，故 因此 Ｐ 也是 不唯一的．
（ 3）
所以如果不计 的排列顺序，
0AE的根只有ｎ个（重根按重数计算）又
是唯一的．则i?
推论 若ｎ阶矩阵 Ａ 可相似对角化?Ａ 的任 重 特征值对应 个线性无关的特征 向量,
it
i? it
