一,内积 的定义与性质
1、定义设ｎ维实向量 称实数
11
22
,,
nn
ab
ab
ab
,.1 1 2 2 nna b a b a b为向量 α 与 β 的 内积,记作注,内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有
1
2
12
.
T
n
n
b
b
a a a
b
,
２、性质
（ 1）对称性：
（ 2）线性性：
（ 3）正定性：
１、长度的概念
,,
,,,
,,kk
,0, 0,0,当且仅当 时二、向量的长度与夹角
2 2 212,na a a令 为ｎ维向量 α
的 长度 （ 模 或 范数 ）,
特别 长度为１的向量称为 单位向量,
（ 1）正定性：
（ 2）齐次性：
（ 3）三角不等式：
２、性质
0 ; 0 0且 ；;kk;
（ 4）柯西－施瓦兹（ Cauchy－ Schwarz）不等式,
2 22,,2,即,,
当且仅当 α 与 β 的线性相关时，等号成立,
注 ① 当 时，0
② 由非零向量 α 得到单位向量是 α 的 单位向量,0 1
0 1
称为把 α 单位化 或 标准化,
的过程
３、夹角设 α与 β为ｎ维空间的两个非零向量,α与 β的夹角的余弦为
,c os,
因此 α与 β的 夹角 为
,ar c c os,0,
例1 2 2 3,3 1 5 1,,.求
,c os
解
18
3 2 6
1
2?,4
,求,1 1 1 1,1 1 1 0,TT练习三、正交向量组
1、正交当,称 α 与 β 正交,,0
注 ① 若,则 α 与任何向量都正交,0
0.②
③ 对于非零向量 α 与 β,,,2
2、正交组若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则这个向量组称为 正交向量组,简称 正交组,
3、标准正交组由单位向量组成的正交组称为 标准正交组,
定理
4、性质正交向量组必为线性无关组,
定理 若向量 β 与
β 与
12,,,s中每个向量都正交,则的任一线性组合也正交,12,,,s
5、正交基若 正交向量组 12,,,r
则称 为向量空间 Ｖ 上的一个 正交基,12,,,r
为向量空间 Ｖ 上的一个基，
6、标准正交基若标准 正交组 12,,,r
则称 为向量空间 Ｖ 上的一个 标准正交基,
为向量空间 Ｖ 上的一个基，
12,,,r
7、施密特（ Schmidt）正交化法设 是向量空间 Ｖ 的一个基，要求向量空12,,,r
间 Ｖ 的一个标准正交基，就是 要找到一组两两正交的单位向量 12,,,r，使 12,,,r与 12,,,r等价，
此问题称为把 这组基 标准正交化,12,,,r
1）正交化令 11
12
2 2 1
11
,
,
1 2 1
r 1 2 1
1 1 2 2 1 1
,,,
,,,
r r r r
rr
rr
就得到 Ｖ 的一个标准正交向量组,
Ｖ 的一组标准正交基,
如果上述方法称为施密特 （ Schmidt） 正交化法,
2）标准化
1 1 2 2
12
1 1 1,,,,
rr
r
令
12,,,r是 Ｖ 的一组基，则 12,,,r就是注则 两两正交，且与 12,,,r等价,12,,,r
上述 方法中的两个向量组对任意的 1,kr
12,,,k与 12,,,k都是等价的,
四、应用举例例 1 证明,中，勾股定理nR 2 2 2x y x y成立的充要条件是 正交,,xy
解2,x y x y x y,,2,x x y y x y
22 2,x y x y
所以 2 2 2x y x y成立的充要条件是,0,xy?
即 正交,,xy
已知三维向量空间中，
12
11
1,2
11
例 2 正交，
试求 3 1 2 3,,, 是三维向量空间的一个正交基,
解 设3 1 2 3 0Tx x x则 1 3 2 3,0,,0,
即
1 2 3
1 2 3
0
20
x x x
x x x
13
2
33
0
xx
x
xx
3
1
0.
1
例 4 已知向量
1
1
1,
1
求 的一个标准 正交基,3R
解
1 2 3 0,x x x
设非零向量 都于 正交，23, 1? 1 0,T x即满足方程或
12
10
0,1,
11
其基础解系为
2 1 3 2
10
0,1,
11
令 1
1
1,
1
1）正交化令 11 122 2 1
11
,
,
1 3 2 3
3 3 1 2
1 1 2 2
,,
,,
2）标准化
1
1
1
1,
3
1
令
23
32
22
,
,
1
1,
1
2
1
0,
1
1
1
2,
2
1
2
1
1
0,
2
1
3
1
1
2,
26
1
1,
ii
i
五、正交矩阵和正交变换
1、定义 如果ｎ阶矩阵满足：
则称 Ａ 为 正交矩阵,
则可表示为若 Ａ 按列分块表示为 Ａ ＝
1,TTA A E A A即
12(,,,),nTA A E
1
2
12
T
T
n
T
n
1
1
,
1
E
亦即其中
1( ) (,1,2,,),
0ij n n
if i j i j n
if i j
( ) ( )Ti j n n ij n n
① Ａ 的列向量是标准正交组,
nR
的一个标准正交基,
正交矩阵 Ａ 的ｎ个列（行）向量构成向量空间
2、正交矩阵的充要条件
② Ａ 的行向量是标准正交组,
注
3、正交变换若 Ｐ 为正交矩阵，则 ｙ =Ｐｘ 线性变换称为 正交变换,
设 ｙ =Ｐｘ 为 正交变换,则有
y? Txx?TTx P P x,Ty y y y,.x x x
经正交变换后向量的长度保持不变,内积保持不变,注从而夹角保持不变,
1 8 4
9 9 9
8 1 4
9 9 9
4 4 7
9 9 9
11
1
23
1
01
2
1
11
2
1 1 1
2 2 6
12
0,
26
1 1 1
2 2 6
1 1 1
3 2 6
12
0
36
1 1 1
3 2 6
判断下列矩阵是否为正交矩阵,
