１、解向量设有齐次线性方程组
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
nn
nn
m m m n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
若记
（ 1）
一、齐次线性方程组解的性质
11 12 1
21 22 2
12
,
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
n
x
x
x
x
2
1
则上述方程组（ 1）可写成向量方程,Ax 0?
1 11 2 21 1,,,nnx x x若
11
21
1n
x
称为方程组（ 1）的解向量，
它也就是向量方程 的解．
２、齐次线性方程组解的性质
（ 1）若 为 的解，则1 1 2 2,xx 0?Ax 21x
也是 的解,0?Ax
（ 2）若 为 的解,为实数，则11x 0?Ax k 1?kx?
0?Ax也是 的解．
0Ax?称此向量空间为齐次线性方程组 的 解空间,
易知，方程组的 全体解向量 构成一个向量空间，
则使得方程 成立，0Ax?
0Ax?
１、基础解系的定义二、基础解系及其求法
12,,,s
基础解系,则方程组 的 通解 可表示为：0Ax?
方程组 的解空间中,它的某一个部分组0Ax?
② 线性相关,12,,,,,s
① 线性无关；12,,,s
则称 为齐次线性 方程组 的一组 基础解系,12,,,s
满足：
如果 为齐次线性 方程组 的12,,,s 0Ax?
1 1 2 2,ssx k k k
其中 为任意实数,12,,,sk k k
２、线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵 Ａ 的秩为ｒ，
量线性无关．
因此,Ａ 的前ｒ个行向0,rD?
又任意ｒ +１个行向量线性相关，所以齐即（１）中的前ｒ个方程与（１）同解,
rEBA
OO
（２）
并不妨设 Ａ 的左上角ｒ阶子式次线性方程组的ｍ -ｒ个方程多余,
所以对系数矩阵 Ａ 进行初等行变换，将其化为最简形
1 1 1 1 1 2 2 1,
1 1 2 2,
0
r r n r n
r r r r r r n r n
x b x b x b x
Ax
x b x b x b x
所以即
（３）
1 11 1 12 2 1,
2 21 1 22 2 2,
1 1 2 2,
11
22
r r n r n
r r n r n
r r r r r r n r n
rr
rr
nn
x b x b x b x
x b x b x b x
x b x b x b x
xx
xx
xx
于是,（１）的全部解就可以写成其中 12,,,r r nx x x是任意实数,
根据向量的运算法则,（３）可以整理成为：
令 （４）为
（４）
1 1 2 2 n r n rk k k（５）
则（５）就为方程组 的 通解,0Ax?
如果 12,,,nr为齐次线性 方程组（１） 的 一个基础解系,
1
2
1
2
r
r
r
n
x
x
x
x
x
x
11
21
1
1
1
0
0
r
r
b
b
b
x
12
22
2
2
0
1
0
r
r
b
b
b
x
1,
2,
,
0
0
1
nr
nr
r n r
n
b
b
b
x
１、证明 12,,,nr线性无关,
由于ｎ -ｒ个ｎ -ｒ维列向量
1 0 0
0 1 0
,,,
0 0 1
线性无关，
所以ｎ -ｒ个ｎ维向量 12,,,nr
２、证明解空间的任一解都可由 12,,,nr线性表示,
设11 Tr r nx 为某一解向量，
1 1 2 2r r n n r
再构造 12,,,nr的一个线性组合：
rn,,,21 0?Ax 0?Ax由于 是 的解，故 η 也是 的解,
亦线性无关,
下证 12,,,nr是线性方程组的一组基础解系,
1 1 2 2r r n n r
1
2
2
r
r
r
n
c
c
c
１
易知：方程组的前ｒ个未知量可由后ｎ－ｒ个未知量唯一确定,
11
21
1
1
1
0
0
r
r
b
b
b
12
22
2
2
0
1
0
r
r
b
b
b
1,
2,
,
0
0
1
nr
nr
r n r
n
b
b
b
1
1
2
.
r
r
r
n
c
c
.c,,c rr11
1
1
2
r
r
r
n
而 ；
.故 1 1 2 2,r r n n r即所以 是齐次线性方程组解空间的一个基,12,,,nr
说明 １、解空间的基不是唯一的．
２、解空间的基又称为方程组的基础解系．
３、任 ｎ -ｒ个线性无关的 解向量构成基础解系．
定理 ｎ元齐次线性方程组 的全体解所构成的 0mnAx
集合Ｓ是一个向量空间，当系数矩阵的秩为ｒ时，解空间 Ｓ的维数为ｎ -ｒ,
当 时，线性方程组必有含ｎ -ｒ个向量的 基()R A n?
解系（此时解空间只含有零向量，称为０维向量空间）
当 时，线性方程组只有零解，故 没有基础()R A n?
础 解系,此时线性方程组的解可以表示为12,,,nr
1 1 2 2 n r n rk k k
其中 为任意实数，解空间可以表示为12,,,nrk k k?
1 1 2 2 1 2,,,n r n r n rS x k k k x k k k R
2 ( 1)r
1 3 2 2
2 0 1 5
0 2 1 3
例１ 求下列齐次线性方程组 的基础解系与通解,
1 2 3 4
1 3 4
2 3 4
3 2 2 0
2 5 0
2 3 0
x x x x
x x x
x x x
三、应用举例解 方程组的系数矩阵
212rr?
0 6 3 9?2 1 3
0 6 3 9?0000
2 1 3
122rr?
23? 1 1 0 4313?
1 2 4
22
3 2 4
44
4
23
x x x
xx
x x x
xx
所以
12
14
10
,;
23
01
从而基础解系为通解为 1 1 2 2,x k k
1 3 2 2
2 0 1 5
0 2 1 3
A
解
1 2 4
1 2 3 4 5
1 3 4 5
1 2 3 4 5
3 2 5 0
3 2 3 6 0
2 5 3 0
6 4 4 0
x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
把系数矩阵 Ａ 用初等行变换变成为
17
1 0 0
22
31
0 1 0
44
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
例２ 求下列齐次线性方程组 的基础解系与通解,
3 2 0 5 0
3 2 3 6 1
2 0 1 5 3
1 6 4 1 4
A
1 3 5
2 3 5
33
45
55
17
22
31
44
2
x x x
x x x
xx
xx
xx
所以
12
17
22
31
44,;
10
02
01
基础解系为所以线性方程组的通解为1 1 2 2 1 2,.x k k k k R
例３ 齐次线性方程组
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
0
0
x x x
x x x
x x x
只有零解，
则 λ 满足（ ）,1
例４ 设ｎ 阶矩阵 Ａ 的各行元素之和为 0，且秩为
0Ax? 的通解为 _______________.ｎ－１，则线性方程组1 1 1 Tk
分析,( ) 1,R A n 0Ax?则 的基础解系只有一个向量,
0Ax?设 的第ｉ个方程为 1 1 2 2 0,i i in na x a x a x
12 0,i i ina a a又矩阵 Ａ 的各行元素之和为 0，即
12 1nx x x为它的一个解向量,
0Ax的通解为1 1 1,Tk
例５ 设三 阶矩阵 Ｂ ≠ ０，且 Ｂ 的每一列均为方程的解，
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 0
20
30
x x x
x x x
x x x
（１）求 λ,
（２）证明 0.B?
解 （１） 因为 Ｂ ≠ ０，且 Ｂ 的每一列均为方程的解，
所以方程组有非零的解，即方程组的系数行列式等于零,1 2 2
21
3 1 1
D?
1 0,R B B
1 2 2
0 0 1
0 5 5
0? 1.
（２）当 时,方程组的矩阵为1
1 2 2
2 1 1
3 1 1
A
1 0 0
0 1 1
0 0 0
所以 2RA?
则线性方程组基础解系所含向量的个数为 3－ 2＝ 1个，
00
00
10
01
1
111
rn,rr
rn,
bb
bb
~A
四、小结
１、对系数矩阵 Ａ 进行初等变换，将其化为最简形
rAR?２、得出,同时也可知方程组的一个基础解系含有ｎ－ｒ个线性无关的解向量．
nrn,rrrr
nrn,r
xbxbx
xbxbx
Ax
11
11111
0
由于令
.,,,
x
x
x
n
r
r
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2
1
1 1 1 1 2 1,
1 2,
,,,,
nr
r r r r n r
x b b b
x b b b
得
,
b
b
r
0
0
1
1
11
1
,
b
b
r
0
1
0
2
12
2
,
b
b
,
rn,r
rn,
rn
1
0
0
1
故为齐次线性方程组的一个基础解系,
1 1 2 2 n r n rk k k
就为方程组的 通解,
