课前复习
,A B B A E使得的逆矩阵记作 1.A?A
定义 对于ｎ阶矩阵 Ａ,如果有一个ｎ阶矩阵 Ｂ,
则称矩阵 Ａ 是 可逆 的,并把矩阵 Ｂ 称为 Ａ 的 逆矩阵,
说明 若 Ａ 是可逆矩阵，则 Ａ 的逆矩阵是 唯一 的,
定理 1 若矩阵 Ａ 可逆，则 0.A?
定理 2 矩阵 Ａ 可逆的充要条件是,且0A?
1 1,AA
A
A?其中 为矩阵 Ａ 的伴随矩阵,
当 时,Ａ 称为 奇异矩阵 ；0A?
0A?当 时,Ａ 称为 非奇异矩阵,
运算规律 （设 ＡＢ 均是ｎ阶方阵）
1A 1,A1）若 11,AA且
1,A1,0A2）若 1 11,AA且
1,AB11,AB3）若,且 同阶，,AB
推广 1 1 1 12211,nn AA A AAA
1,TA1A4）若1 1,TTAA且
11AA1A5）若
1,A6）若 1,A
1 1,AAA
A
且
1 11A B B A且
（其中 ｋ λμ为整数）
7）其它的一些公式
1nAA
AA A A A E
2nA A A
1,A A A
1A A A
A B B A 11 nnnk A k A
0AE1 kkAA
A A AAA
8）一些规定
1nk A k A
b
b
a
a
A
110
101
000
001
一、矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，
经常采用 分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算,具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为 分块矩阵,
,
3
2
1
B
B
B例
A
1 0 0a0 0 0
1 0 1
a
b
0 1 1 b
1B
2B
3B
即
,?
BE
OA
1 2 3 4,A A A A
b
b
a
a
A
110
101
000
001
b
b
a
a
A
110
101
000
001
1
0
aA
a
b
bB
1
1?
1
01E
0
0O
1
0
1
0
a
A
1
0
1
2
a
0
3
b
b
4
注,分块时首先满足,再考虑对角或三角矩阵，E
O然后 考虑 以及其它的特殊矩阵,
按行分块或按列分块是两种特殊的分块形式,
1 1 1 1 1 1
11
.
rr
s s sr sr
A B A B
AB
A B A B
1 1 1 1 1 1
11
,
rr
s sr s sr
A A B B
AB
A A B B
二、分块矩阵的运算规则
1、矩阵的加法设 与 为同型矩阵，采用相同的分块法，有A B
其中 与 为同型矩阵，则ijA ijB
分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似,
1 1 1
1
,,
r
s sr
AA
AR
AA
2、数乘 1 1 1
1
.
r
s sr
AA
A
AA
则
3、乘法设,分块成,m l l nAB 1 1 1 1 1 1
11
,,
tr
s st t tr
A A B B
A A B B
其中 的列数分别等于 的行数,12,,,i i itA A A 12,,,j j tjB B B
1 1 1
1
r
s sr
CC
AB
CC
1
t
ij ik kj
k
C A B
其中1,,; 1,,.i s j r
1
1
11
,
ss r
rA
A
A
AA
4、转置
11
1
1
.
T
T
T
T
sr
T
r
sAA
A
A
A
则那么分块矩阵的转置为先大转置，而后小转置,
1,2,iA i s?都是方阵,
5,分块对角矩阵设 Ａ 为ｎ阶方阵，若 Ａ 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块（这些非零子块必须为方阵），其余子块全为零，那么方阵 Ａ 就称为 分块对角阵,
1
2
,
s
A
A
A
A
即如
1 0 0 0 0
0 1 2 0 0
0 1 3 0 0
0 0 0 2 1
0 0 0 1 5
2 0 0 0
0 3 0 0
0 0 0 1
0 0 2 0
都是 分块对角 阵,
分块对角矩阵具有下述性质,
12 ;sA A A A?1）
1
1
1
1;
s
A
A
A
2）
3） 若则有
11
,,
ss
AB
AB
AB
11;
ss
AB
AB
AB
若,则有0iA?
5） 若
1
,
s
A
A
A
1
1
1
1;
sA
A
A
则
1,2,iA i s?均为可逆方阵,
4） 若
1
,
s
A
A
A
1;
n
n
n
s
A
A
A
则
6,设12,sB 则
12 sA B A
12,sA A A
例 1 设
1 0 1 0
1 2 0 1
,
1 0 4 1
1 1 2 0
B
.AB
1 0 0 0
0 1 0 0
,
1 2 1 0
1 1 0 1
A
三、应用求
12
1
10
01
10
01
00
00
1
A
解 分块
1
,E OA E
10
11
10
41
2
10
0112
0
B
221
11
2
,BEBB
则?
2221
11
1 BB
EB
EA
OEAB,
22121111
11?
BABBA
EB
又 21111 BBA
11
01
21
01
11
21
,11 42?
02
14
11
21
221 BA,13
33?
于是
22121111
11
BABBA
EBAB
1 0 1 0
1 2 0 1
.
2 4 3 3
1 1 3 1
3 4 1 0
0 2 1 1
例 2 设 1.A?
5 2 0 0
2 1 0 0
,
0 0 1 2
0 0 1 1
A
求
00
0
12
11
00
0
52
21 0
0
A
解 1
2
,A OO A
1
11
1
2
,
A
A OA
O
1
1
12
25,A
1
2
121
3 11,A
00
00
00
00
1 3 2 3
1 3 1 3
25
A
例 3 设 1.A?
1
2
1
0 0 0
0 0 0
,
0 0 0
0 0 0
n
n
a
a
A
a
a
求其中 0,ia?
00
00
00
解 1
2
,OAAOA
1
1
1
1
1
1
,
n
a
A
a
112,nAa
1
1
1
1
2,
O
O AA
A
1
1 1
1
1
1
0
0
0
,
0 0
0
n
n
a
A
a
a
,A A OA
O B B
例 4 设 为 阶方阵,分别为 的伴随矩阵，,AB n,AB,AB
分块阵
AOC
OB
C，则 （ ）
,B A OB
O A B
,A B OC
O A B
,B B OD
O A A
1C C C分析
1AO
AB
OB
1
1
AOAB
OB
1
1
A B A O
O A B B
B A O
O A B
B
例 5 设
3 4 0 0
4 3 0 0
,
0 0 2 0
0 0 2 2
A
84,.AA求解 令
1
2
,AOA OA
12
3 4 2 0,,
4 3 2 2AA
8
8 1
8
2
,AOA
OA
其中所以 8 8 812A A A? 8812AA? 1610?
4
4 1
4
2
,AOA
OA
而
2
2
1 2
5,
5
OA
O
4
4
1 4
5,
5
OA
O
2
102,
11A
4
44
2 64
10 202,
41 22A
所以 可求,
4A
称为矩阵 A 的 m 个 行向量,nm? 矩阵 A 有 m 个行，
1
2
T
T
T
m
A
称为矩阵 A 的 n 个 列向量,nm? 矩阵 A 有 n个列，
四、两种特殊的分块法 --按行分块与按列分块,
行记作iiniiTi aaa,,,21,则矩阵 A 便记为若第列记作j若第
1
2
j
j
j
mj
a
a
a
，则矩阵 A便记为
nA,,21?
对于线性方程组
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
若记
1 1 11 12 1 1
2 2 21 22 2 2
12
,,,
n
n
ij
n m m m m n m
x b a a a b
x b a a a b
A a x b B
x b a a a b
其中 称为 系数矩阵,A
称为 增广矩阵,B
x 称为 未知数向量,
b 称为 常数项向量,
按分块矩阵的记法，可记12,,,,nB A b b
利用矩阵的乘法，此方程组可记作 bAx?
如果把系数矩阵按行分成 块，则线性方程组m bAx?
可记作
11
22
T
T
T
mm
b
b
x
b
这就相当于把每个方程 ininii bxaxaxa2211
记作 ),,2,1( mibx iTi
1
2
12
,,,
n
n
x
x
b
x
如果把系数矩阵按列分成 块，则与 相乘的 相应n A x
的 应分为 块，从而可记作n
即 bxxx nn2211
对于矩阵 与矩阵 的乘积矩阵ij msAaij snBb
ij mnAB C c，若把 按行分成 块，把 分成A m nB
块，
,ij mnc
1 1 1 1 2 1
2 2 1 2 2 2
12
12
,,,
T T T T
n
T T T T
n
n
T T T T
m m m m n
AB
其中
1
2
12
1
,,,
j
s
jT
ij i j i i is ik k j
k
sj
b
b
c b a a a a b
b
便有
T
mm
T
T
T
m
T
T
m
nmm
AΛ
22
11
2
1
2
1
另外,以对角矩阵 左乘矩阵 时，把 按行mΛ nmA? A
分块，有另外,以对角矩阵 右乘矩阵 时，把 按列nΛ nmA? A
分块，有
m
nnnm
ΛA
2
1
21
,,,
nn,,,2211
在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,
最重要的计算技巧与方法,
(1) 加法
(2) 数乘
(3) 乘法分块矩阵之间的运算分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似：
同型矩阵，采同相同的分块法；
数 乘矩阵,需 乘 的每一个子块；k kA A
若 与 相乘，需 的列的划分与A AB B
的行的划分相一致,
五、小结
(4) 转置
(5) 分块对角阵的行列式与逆阵
(6) 两种特殊的分块法：按行分块与按列分块,
1
1
1
1;
s
A
A
A
12 ;sA A A A?
1;
n
n
n
s
A
A
A
,,0 都是可逆方阵和其中设 CBCDBA?
.,1?AA 并求可逆证明六、思考题证,,可逆由 CB,0 CBA有,可逆得 A
,1?
YW
ZXA设,
0
0
0
E
E
YW
ZX
C
DB则
.
,
,
,
ECY
OCW
ODYBZ
EDWBX
.
,
,
,
11
1
1
OW
DCBZ
CY
BX
.1
111
1
CO
DCBBA因此
