线性代数课件：ch2-2

课前复习
1、矩阵的定义形数 表，称为数域 Ｆ 中的一个 ｍ × ｎ 矩阵,
由数域 Ｆ 中的ｍ × ｎ个数 排成的ｍ行ｎ列的矩ija
记作：
11 12 1
21 22 2
11
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a




注,实矩阵,复矩阵，行矩阵,列矩阵，方阵，方阵的行列式，两矩阵同型，两矩阵相等,
2、几种特殊的矩阵
1） 零矩阵
ｍ × ｎ 个 元素全为零的矩阵称为 零矩阵,
2） 对角矩阵主对角线以外的所有 元素全为零的方阵称为 对角阵,
3） 单位矩阵主对角线上的所有 元素全为１的对角阵称为 单位阵,
4） 数量矩阵主对角线上的所有 元素全为 λ 的对角阵称为 数量阵,
5） 三角矩阵上三角矩阵与下三角矩阵统称为 三角阵,
6） 负矩阵称满足下列两个条件的矩阵为 阶梯形矩阵,
1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；
7） 阶梯形矩阵
2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右,
称满足下列三个条件的矩阵为 行最简形矩阵,
1）行阶梯形矩阵
8） 行最简形矩阵
2）各非零行的首非零元均为１,
3）首非零元所在列其它元素均为０,
称满足下列两个条件的矩阵为 标准形,
1）左上角为单位阵；
9） 标准形
２）其它元素均为０,
一、矩阵的加法
1、定义注意,只有 同型矩阵 才能进行 加法 运算,
()ij ij m nA B a b
( ),( )ij m n ij m nA a B b,若规定
2、运算规律 （设 ＡＢＣＯ 均是同型矩阵）
（ 1） （交换律）A B B A
（ 2） （ 结合 律）( ) ( )A B C A B C
（ 3） A O A
（ 4） ()A A O
（ 5） （减法） ()A B A B
二、数乘矩阵
1、定义 ( ),,ij m nA a R
() ij m nA A a
若规定
2、运算规律 （设 均是 矩阵,）A B C mn?,R
1AA?（ 1） ( ) ( )AA（ 2）
()A B A B（ 3） () A A A（ 4）
（ 6） OO
1）数乘矩阵是数 λ 去乘 Ａ 中的每一个元素,注意,
0AO?（ 5）
2）若,则AO
0,,,,0,,o r A O o r a n d A O
矩阵的加法与数乘矩阵合称为矩阵的 线性运算,
三、矩阵的乘法
1、引例 设甲、乙两家公司生产 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ 三种 型
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
a a a
a a a


如果生产这三种型号的计算机每台的利润 (单位,万
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
甲乙
2 5 2 0 1 8
2 4 1 6 2 7
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
0.5
0.2
0.7
11
21
31
b
b
b





0.5
0.2
0.7
B





25 20 18
24 16 27A


那么这两家公司的月利润 (单位：万元 ) 为多少?
号的计算机，月产量（单位：台）为元／台 )为
29,1
34,1


C?
25 0,5 20 0,2 18 0,7
24 0,5 16 0,2 27 0,7


甲公司每月的利润为 29.1万元，乙公司的利润为由例题可知矩阵 Ａ,Ｂ,Ｃ 的元素之间有下列关系
1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 11
2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 1
a b a b a b c
C A B
a b a b a b c



1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1
2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1
a b a b a b
a b a b a b



1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
a a a
a a a


11
21
31
b
b
b





34.1万元,
依题意
2、定义
( ),ij m nA B C c
( ) ( ),ij m nss ijA a B b,若规定
1 1 2 2
1
ij i j i j is sj ik kjc a b a b a b a b

ｓ
ｋ
＝其中
1 2 1 2i m j n（,,,；,,,）
注,1）条件 左 矩阵 Ａ 的 列 数等于 右 矩阵 Ｂ 的 行 数
2）方法 C ijc
等于 左 矩阵 的 第 行 与 右 矩阵 的 第 列 对应元素左行右列法 —— 矩阵乘积 的元素
A B ji
乘积的和,
3）结果 左行右列 —— 左 矩阵 Ａ 的 行 数 为 乘积
Ｃ 的行数,右 矩阵 Ｂ 的 列 数为乘积 Ｃ 的列数,
特别：

11
21
11 12 1
1
s
s
b
b
a a a
b






11 11 12 21 1 1ssa b a b a b11kkab

11
21
11 12 1
1
s
s
a
a
b b b
a






1 s? 1s?与 矩阵的乘积
1 s?1s? 与 矩阵的乘积为
11 11 11 12 11 1
21 11 21 12 21 1
1 11 1 12 1 1
s
s
s s s s
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b




为一阶方阵，即一个数一个ｓ阶方阵例 1 设 2 2 5 2 2 5,,,2 2 3 1 6 2A M N

解
,) ),,.M N A M N M N A A M A N求 (,(
22
22AB


33
33
00
00


12 12
12 12

BA?
33
33


22
22


AM? AN?16 616 6

16 6
16 6


33
33


5 2 2 5
3 1 6 2B M N


3、矩阵相乘的三大特征
1、无交换律
2、无消去律
3、若
AB BA?
A M A N? MN
AB O?,.A O o r B O
4、运算规律
（假定所有运算合法,是矩阵,）A B C,R
()A B C A C B C
()A B C A B C?（ 1） ( ) ( ) ( )A B A B A B（ 2）
()A B C A B A C（ 3）
（ 4） A O O A O（ 5） E A A E A
注 O E不尽相同,亦不尽相同,
定义 对于矩阵,若,称 与 可交换,,AB AB BA? BA
例 2 设,求 的所有可交换矩阵,A
10
21A


解 12
34
xxX
xx

设 A X X A?，于是即 1 2 1 2
3 4 3 4
1 0 1 0
2 1 2 1
x x x x
x x x x


12
1 3 2 422
xx
x x x x


建立方程组得 1 4 2 3,0,x x x x R
1
31
0 0.,,(,)x aX or X a b R
xx ba

所以
1 2 2
3 4 4
2
2
x x x
x x


四、方阵的幂
1、定义
k
k
A A A A?
( ),,ij n nA a k Z
规定若注,1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵,
2,只能是正整数,k
（ 1） 1 2 1 2k k k kA A A（ 2） 1 2 1 2()k k k kAA?
2、运算规律 （设 均是 阶方阵,）AB 12,,k k k Zn
（ 4） kEE?（ 3） () k k kAA
（ 5） 1 2 2 2 2 1k k k k kA A A A A A A A A
（ 6） 1kkA B A B A B
注,kAB kkAB?（ 1）
2AB 222A A B B（ 2）
（ 7）kAE
1 1 2 2 2 1 1k k k k k kk k kA C A C A C A E
例 3
1
01A

设,计算 23,,.kA A A
2 11
0 1 0 1A

解
12
01


32 1 1 2
0 1 0 1A AA


13
01


下用 数学归纳法 证明
1
01
k kA
猜想当 时，等式显然成立,2n?
当 时，等式成立,即nk?
11 ( 1,2,)
0 1 0 1
k
k kAk

等式成立,所以 猜想正确,
要证 时成立，此时有 1nk
1 11
0 1 0 1
kk kA AA

11
01
k


解
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
A B E






例 4 设,计算,
10
01
00
A




kA
2
0 0 1
0 0 0,
000
B




3
000
0 0 0,
000
B




易见
3 3 3 3k k kB B B O B O k
kkA B E
1 1 2 2 2 1 1k k k k k kk k kB C B C B C B E
1 1 2 2 2 3 3 3k k k kk k kE C B C B C B O O
1
1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0
kk k





.





2
0 0 1
1
000
2
000
kkk





12
1
( 1 )
2
0
00
k k k
kk
k
kk
k
k



把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的 转置矩阵,记作,..A or A
A
A
例,854 221?

A
14
2 5,
28
TA





9 6,B?
9,
6
TB

五,矩阵的转置
1、定义
2、运算规律
（假定所有运算合法,是矩阵,）AB R
TTAA?（ 1） () T T TA B A B（ 2）
T TTA B B A?（ 4）（ 3）T TAA
1 2 1 1 2 1T T T T Tn n n nA A A A A A A A特别例 5 ( ),.T T TA B B A求已知
10
21
2 3,,
43
45
AB





解
2 16 28
1 11 19
TAB

（ ）
2 4 1 2 4
1 3 0 3 5
TTBA

10
21
23
43
45
AB





所以而且
() T T TA B B A?显然
2 16 28
1 11 19


21
1 6 1 1
2 8 1 9




对称矩阵 的特点是：
它的元素以 主对角线为对称轴 对应相等,?
0211
2231
1310
1101
如
3、对称矩阵定义 设 为 阶方阵，若,即,A n TAA? ij jiaa?
那么 称为 对称矩阵,A
两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵,对称矩阵的数乘也是对称矩阵,但两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵,
特别
0 1 2 1
1 0 5 2
2 5 0 1
1 2 1 0




定义 A TAA ij jiaa设 为 阶方阵，若,即,n
那么 称为 反 对称矩阵,A
反 对称矩阵 的主要特点是,
主对角线上的元素为 0,其余的元素关于 主对角线 互为相反数,
如两个同阶的反对称矩阵的和还是反对称矩阵,
反对称矩阵的数乘也是反对称矩阵,但两个反对称矩阵的乘积不一定是反对称矩阵,
特别
4、反对称矩阵证明TTT XXEH 2TTT XXE 2?
,2 HXXE T
2HHH T22 TXXE?
TTT XXXXXXE 44
TTT XXXXXXE 44
TT XXXXE 44
例 6 设列矩阵,满足TnxxxX,,,21,1?XX T
En为 阶单位矩阵，且,证明 是对H2 TH E X X
TH H E?称矩阵，且,
H? 是对称矩阵,
又
.E?
证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵与反对称阵之和,
n A
证明
AAT,C?
所以 C为对称矩阵,
AAT,B
所以 B为反对称矩阵,
22
TT AAAA
A,22 BC 命题得证,
例 7
TC A A设
TTTC A A则
,TB A A设
TTTB A A则六、方阵的行列式注意 方阵与行列式是两个不同的概念,
1、定义 由ｎ阶方阵 Ａ 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做 方阵 Ａ 的行列式,
记作,,e tA o r D A
2、运算规律
（假定所有运算合法,ＡＢ 是矩阵,λ∈ Ｒ ）
TAA?（ 1） nAA（ 2）
nnAA?（ 4）（ 3） A B A B B A
注 AB? AB
例 8
3,,3,A B A A求已知
1 0 0 2 1 0
2 1 1,1 3 0,
3 2 4 0 0 4
AB





解所以
6,2 0,AB易见
120A B A B
33 216AA
33 3 1 6 2AA
1、定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所构成矩阵的转置,
A ijA
11 21 1
12 22 2
12
n
n
n n n n
A A A
A A A
A
A A A




七、伴随矩阵
A称为矩阵 的 伴随矩阵,
2、运算规律
（假定所有运算合法,是矩阵,）AB R
（ 1）T TAA （ 2）A B B A
同理可得性质,EAAAAA
证明
.EAAAAA所以
11 21 1
12 22 2
12
n
n
n n n n
A A A
A A A
A A A




11 12 1
21 22 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
AA
a a a




.EA?
.A A A E
A
A
A
八、共轭矩阵
1、定义 当 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，记,称为 的 共轭矩阵,
ijaA? ija ija
ijaA? A A
2、运算规律
（假定所有运算合法,是矩阵,）AB R
AA?（ 1） A B A B（ 2）
AA（ 3） ()TTAA?（ 4）
T TTA B B A?（ 6）A B A B?（ 5）
AA?（ 7）
九、小结矩阵运算
数乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵伴随矩阵方阵的行列式共轭矩阵矩阵的幂线性运算 AB BA?
A M A N? MN
AB O?,.A O o r B O
对称矩阵 反对称矩阵
.EAAAAA