线性代数课件：Ex2.PPT

一、矩阵的定义定义
()ij m nAa
）排成的 行 列的矩形数表，称为数域m n
由数域 中的 个数 （nm? ijaF 1,2,,;im?
1,2,,jn?
记作,mnA? ()ija
中的一个 矩阵,mn?F
注,实矩阵、复矩阵、行矩阵、列矩阵、ｎ阶方阵、
方阵的行列式、两矩阵同型、两矩阵相等,
二、几种特殊的矩阵
1） 零矩阵
mn? 个 元素全为零的矩阵称为 零矩阵,
2） 对角矩阵主对角线以外的所有 元素全为零的方阵称为 对角阵,
3） 单位矩阵主对角线上的所有 元素全为 1的对角阵称为 单位阵,
4） 数量矩阵主对角线上的所有 元素全为 的对角阵称为 数量阵,?
5） 三角矩阵上三角矩阵与下三角矩阵统称为 三角阵,
6） 负矩阵
7） 对合矩阵
2AE?设 Ａ 为ｎ阶方阵，如果,则称矩阵为 对合矩阵,
8） 正交矩阵
TA A E?设 Ａ 为ｎ阶方阵，如果,则称矩阵为 正交矩阵,
9） 幂等矩阵
2AA?设 Ａ 为ｎ阶方阵，如果,则称矩阵为 幂等矩阵,
称满足下列两个条件的矩阵为 阶梯形矩阵,
1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；
10） 阶梯形矩阵
2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右,
称满足下列三个条件的矩阵为 行最简形矩阵,
1）行阶梯形矩阵
11） 行最简形矩阵
2）各非零行的首非零元均为 1.
3）首非零元所在列其它元素均为０,
称满足下列两个条件的矩阵为 标准形,
1）左上角为单位阵；
12） 标准形
２）其它元素均为０,



.
,
,
2211
22221212
12121111
nmnmmm
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay

三、矩阵与线性变换的关系之间的关系式
1 2 1 2,,,,,,nmn x x x m y y y个变量 与 个变量一个 线性变换,
1 2 1 2,,,,,,nmx x x y y y表示一个从变量 到变量
ija其中 为常数,
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系,
四、矩阵的运算
1,加法注意,只有 同型矩阵 才能进行 加法 运算,
()ij ij m nA B a b
( ),( )ij m n ij m nA a B b,若规定
2,数乘 ( ),,ij m nA a R
() ij m nA A a
若规定
3,乘法
( ),ij m nA B C c
( ) ( ),ij m nss ijA a B b，若规定
1 1 2 2
1
ij i j i j is sj ik kjc a b a b a b a b

ｓ
ｋ
＝其中
1 2 1 2i m j n（,,,；,,,）
4,幂 k
k
A A A A?( ),,ij n nA a k Z规定若注,1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵,
2,ｋ 只能是正整数,
把矩阵 Ａ 的行换成同序数的列得到的新矩阵，
叫做 Ａ 的 转置矩阵,记作,..A or A
5,转置设 Ａ 为ｎ阶方阵，若,即,TAA? ij jiaa?
那么 Ａ 称为 对称矩阵,
TAA ij jiaa设 Ａ 为ｎ阶方阵，若,即,
那么 Ａ 称为 反 对称矩阵,
行列式 的各个元素的代数余子式所构成矩阵的转置,
A
ijA
７、伴随矩阵
11 21 1
12 22 2
12
n
n
n n n n
A A A
A A A
A
A A A




记作
８、共轭矩阵当 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，记,称为 的 共轭矩阵,
ijaA? ija ija
ijaA? A A
6、方阵的行列式行列式 （各元素的位置不变）叫做 方阵 Ａ 的行列式,
记作,,e tA o r D A
由ｎ阶方阵 Ａ 的元素所构成的五、逆矩阵的概念和性质
,A B B A E使得的逆矩阵记作 1.A?A
1,定义对于 阶矩阵,如果有一个 阶矩阵,n A Bn
A则称矩阵 是 可逆 的,B A并把矩阵 称为 的 逆矩阵,
定理 1 若矩阵 可逆，则 0.A?A
定理 2 矩阵 可逆的充要条件是,且A 0A?
1 1,AA
A
AA?其中 为矩阵 的伴随矩阵,
2,性质六、矩阵的分块 及运算规则对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，
经常采用 分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算,具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为 分块矩阵,
分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似,
分块对角矩阵
1,2,iA i s?
都是方阵,
1
2
,
s
A
A
A
A




分块对角矩阵具有下述性质,
12 ;sA A A A?1）
1
1
1
1;
s
A
A
A




2）
3） 若则有
11
,,
ss
AB
AB
AB




11;
ss
AB
AB
AB




若,则有0iA?
4） 若
1
,
s
A
A
A




1
1
1
1;
sA
A
A




则
1,2,iA i s?均为可逆方阵,
5） 若
1
,
s
A
A
A




1;
n
n
n
s
A
A
A




则
6,设12,sB 则
12 sA B A
12,sA A A
七、矩阵的初等变换 （ Elementary Transformation）
1、定义 下面三种变换称为矩阵的 初等行变换,
ji rr?（ 1）互换两行：
（ 2）数乘某行,kri?
（ 3）倍加某行,ji krr?
同理，把 换成 可定义矩阵的 初等列变换,r c
ERT
ECT
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的 初等变换,ET
定义 经过有限次初等变换变成矩阵,如果矩阵 A B
AB与 等 价就称矩阵,记作 ~AB
等价关系的性质,反身性、对称性、传递性,
八、矩阵的秩
,mnin A if?定义 0;rD 1 0.rD（ 1） （ 2）
则 称为矩阵 的 最高阶非零子式,rD A
)(Ar )(AR记为 或,
最高阶非零子式的阶数称为 矩阵的 秩,
~,if A B R A R B定 理
，则称定义 An阶方阵,0 ( )if A R A n
,mnin A?
A
为 满秩阵,
定义 ()if R A m?
A，则称 为 行满秩阵 ；
()if R A n?A，则称 为 列满秩阵 ；
0 ( )if A R A nA，则称 为 降秩阵,
定义 所有与 Ａ 等价的矩阵的集合称为一个 等价类,
九、初等矩阵的概念
,ETEP 一 次相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵,
定义 就称为 初等矩阵,P
１、对调
(,)E i j?
1
01
10
1










２、数乘
1
1
1
1
k










E i k
(）
３、倍加
1
1
1
1
k










,( )E i j k
十、初等矩阵的应用
AEERT1EA?
A
E

1
E
A?

ECT
1、求逆
ABERTEX
A
B


E
X

ECT
2、求方程
XA B? 1X B A
AX B? 1X A B
十一、重要公式
A B B A( ) ( )A B C A B CA O A
()A A O ()A B A B1AA?
( ) ( )AA ()A B A B
() A A AOO
0AO?
()A B C A C B C
()A B C A B C?
( ) ( ) ( )A B A B A B()A B C A B A C
A O O A OE A A E A
1 2 1 2k k k kA A A 1 2 1 2()k k k kAA?
kEE?
() k k kAA
1 2 2 2 2 1k k k k kA A A A A A A A A
TTAA? () T T TA B A B
T TTA B B A?
T TAA
TAA? nAA
nnAA?A B A B B AT TAA
A B B A,EAAAAA AA?
A B A BAA ()TTAA?
T TTA B B A?
A B A B?
AA? 11A A A A E
1kkA B A B A BkAE
1 1 2 2 2 1 1k k k k k kk k kA C A C A C A E
1 1 AAA A 1nAA
2nA A A 1A A A
1A A A
11 nnnk A k A
1 1 1nnk A k A A k A0AE?
1 kkAA
A A A
AA
1 1AA
A
1
1AA 1 1
1AA?

1 11BBAA1 1 TTAA 11AA
十二、关于秩的若干结论
（ 1）
( ) m in {,}mnR A m n（ 2）
( ) ( ),( ) ( ),0TR A R A R k A R A k
( ) 0RO?
（ 3）
（ 4）
1 0 ( )if A A R A nｎ阶方阵 Ａ,（ 5）
1( ) ( ),R A R A?其中 1AA?
0 ( )rif D R A r
0 ( )rif D R A r
（ 6）
1( ) 0,0rrR A r D D
（ 7）
（ 8）
~ ETif A B A B R A R B（ 9）
（ 10）
（ 11）
（ 12）
（ 13）
（ 14）
（ 15）
.,ERTif A B P is E M P A B
.,ECTif A B Q is E M A Q B
,if P Q 可 逆
R A R P A R A Q R P A Q
if R A r?
if A 可 逆 12,,,.,sp p p is E M
12 sA p p p
,PQ 可 逆 r
EOPAQ
OO


R A B R A R B
（ 16）,smnsif A B R A B R A R sB
（ 17）
证明,,,,P Q M N 可 逆,
1,r
EO
P AQ
OO



12,,if R A r R B r
2r
EO
M BN
OO



111,r
EO
A P Q
OO


211,r
EO
B M N
OO


121 1 1 1,rrE O E OR A B R P Q M N
O O O O


12 11rr
E O E O
H Q M
O O O O


令R A B R H?有
,m in,mnssif A B R A B R A R B
12 11rr
E O E O
H Q M
O O O O


而
12 1 2 1 2
3 4 3 4
rrE O E OQ Q M M
Q Q M MO O O O



211
2
112
3
rrr
r
M E OE Q E Q
M E OOO



1 2 1 21 1 2 3r r r r
E Q M E E Q M E O
OO
1 2 1 2r r r r
F G O
OO


12rr
WO
OO

12min,R AB R H R W r r
m i n,R A B R A R B




11
01
n R A n
R A R A n
R A n



（ 18）



,
,
nsm s
R A R B
if A B O R A B O
RB
s
s
s AO




（ 19）
证 1,10 0,nR A n A A A R A n
证 2, 10R A n A AA O
1R A R A n R A
11R A n R A 1RA

证 3,1 0 0,ijR A n A A O R A
（ 20）,mnssABif R A s R A B R Bif R B s R A B R A
十三、矩阵方程形如,X B B X 1 6,A X A X X A
1 6 2,A X A X A E 2,A X E A X的方程称为矩阵方程,
求未知矩阵 Ｘ,都是利用矩阵运算把矩阵方程化为若 ＡＢ 都可逆,上述类型的方程可以用求逆方法求出 Ｘ,
,,,A X B M A X M X B M
若 ＡＢ 不可逆,可以用待定系数法求出 Ｘ,
十四、应用举例例 1 设 矩阵0,0,ij ijab
1 1 1
1
,
n
n n n
a b a b
A
a b a b




则 ()RA?
例 2 设 Ａ 是 矩阵，且,而 2RA?
则 ()R A B?
43?
1 0 2
0 1 0
1 2 3
B




例 3 设 Ａ 是４阶方 阵，且,则 2RA ()RA
例 4 设 Ａ 是４阶方 阵，且1B E A E A
1 ()EB则