k２,子式与 阶子式
３,秩的定义及性质课前复习
１、矩阵的初等变换 （ Elementary transformation）
初等行 (列 )变换
;i j i jr r c c
;iir k c k
,i j i jr k r c k c
,mnin A if? 0;rD 1 0.rD（ 1） （ 2）
则 称为矩阵 的 最高阶非零子式,rD A
)(Ar )(AR记为 或,
最高阶非零子式的阶数称为 矩阵的 秩,
４,经过有限次初等变换变成矩阵,如果矩阵 A B
AB与 等 价就称矩阵,记作 ~AB
５,矩阵等价具有的性质;反 身 性 ;对 称 性,传 递 性利用初等行变换可把矩阵 化为 行阶梯形矩阵,A
利用初等行变换，也可把矩阵化为 行最简形矩阵,
６,
利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩 阵化为 标准形矩阵,
７,矩阵的秩
最高阶非零子式的 阶 数
行阶梯形矩阵非零行的行数
行最简形矩阵非零行的行数
标准形矩阵中单位矩阵的 阶 数
,ETEP 一 次相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵,
一、初等矩阵的概念定义
１、对调
1
10
01
1










就称为 初等矩阵,P
(,)E i j
01
10
()ir
()jr
()jc()ic
记作
()ir
()jr
(,)mE i j A?
11 12 1
12
12
12
n
j j jn
i i in
m m m n
a a a
a a a
a a a
a a a











11 1 1 1
21 2 2 2
1
j i n
j i n
m m j m i m n
a a a a
a a a a
a a a a



()jc()ic
(,)nA E i j?
２、数乘
1
1
1
1
1










11 1
1
1
n
i in
m m n
aa
ka ka
aa





()ir
()ic
()ir( ( ) )mE i k A?
1 1 1 1
1
in
m m i m n
a k a a
a k a a



(,)nA E i j?
()ic
E i k(）记作k
３、倍加
1
1
1
1









1 1 1 1 1 1
1
i j i n
m m i m j m i m n
a a a ka a
a a a ka a



,( )E i j k
1
1
k
()ir
()jr
()ic ()jc
记作
(,( ) )nA E i j k?
()ic ()jc
11 1
11
1
1
n
i j in jn
j jn
m m n
aa
a ka a a
aa
aa










基本事实相当于(,)E i j A,ijrr? (,)AE i j相当于,ijcc?
( ( ))E i k A相当于,irk? ( ( ))AE i k相当于,ick?
(,( ) )E i j k A相当于,ijr kr? (,( ) )A E i j k相当于,jic kc?
(,( ) )mE i j k A?
()ir
()jr
二、基本结论
１、初等矩阵均可逆
1 (,)E i j? 1 ( ( ))E i k?
1 (,( ) )E i j k?
(,);E i j? 1( ( ) ) ;Ei k?
(,( ) ),E i j k
ERTT h A B P A B一 次
ECTT h A B A Q B一 次
２,为初等矩阵,PQ
３,E T E TT h if A B B A
４,1T h if A12,,,,sp p p
12 sA p p p
有限个初等矩阵
T h A B P A Q B
rEOT h R A r P AQ OO

,PQ５,为可逆阵三、初等矩阵的应用
1A | | 0A 12 sA p p p 1 1 1 121sA p p p
又1A A E11A A A E1EA
1 1 121sp p p A E1EA
因此AEERT1EA?
类似的 1
A A
E


1 1 1
21 1s
AEp p p
EA



A
E

1
E
A?

因此 ECT
1
1
AA
EA



1
E
A?


AX B? 1X A B又
1A A B1E A B
因此ABERTEX
1A A
B


A
B


E
X

因此 ECT
XA B? 1X B A又
1
E
BA?


例１ 设 0,A? 求证 ( ) ( )R A B R B?
用初等变换解矩阵方程：
1 2 1
1 2 3
2 2 3,
2 3 1
3 3 5
AB





,求,使X
X A B X
例２
5 1 2 1 3
2 3 1,2 2
3 1 0 3 1
AB





A X X B
用初等变换解矩阵方程：例３
,求,使X
1 0 0 0
0 1 0 0
1 0 1 0
0 3 0 8
A






例４ 已知矩阵 的伴随矩阵A
,且 11 3A B A B A EB，求,
1 0 0 0 1 1
1 1 0,1 0 1
1 1 1 1 1 0
AB





例５
.A X A B X B A X B B X A E
,求,使X